现代控制原理第6版胡寿松第九章课后

第九章 线性系统的状态空间分析与综合 9-1 已知电枢控制的直流司服电机的微分方程组及传递函数为

baaaaaEtddiLiRu，tddKEmbb，ammiCM，tddftddJMmmmmm22；

)]()([)()(2mbmaammamamamCKfRsRJfLsJLsCsUs。

⑴ 设状态变量mx1，mx2，mx3，输出量my，试建立其动态方程； ⑵ 设状态变量aix1，mx2，mx3，输出量my，试建立其动态方程； ⑶ 设xTx，确定两组状态变量间的变换矩阵T。 解：⑴ 由传递函数得 amammambmamauCxRJfLxCKfRxJL323)()(，动态方程为

xyuxxxxxx001100010001032121321







，其中)/()()/()()/(21maammamambmamaamJLRJfLJLCKfRJLuCu；

⑵ 由微分方程得

31332311xfxCxJxxuxKxRxLmmmabaa







，即 xyuxxxaaaaxxxa0200010100032133311311321，其中 mmmmabaaJfaJCaLKaLRa////33311311；

⑶ 由两组状态变量的定义，直接得到32133313210100010xxxaaxxx。 9-2 设系统的微分方程为 uxxx23

其中u为输入量，x为输出量。 ⑴ 设状态变量xx1，xx2，试列写动态方程； ⑵ 设状态变换211xxx，2122xxx，试确定变换矩阵T及变换后的动态方程。

解：⑴ uxxxx1032102121，2101xxy；

⑵ 2121xxTxx，2111T；11121T；ATTA1，BTB1，CTC； 得，2111T；uxxxx1110012121，2111xxy。 9-3 设系统的微分方程为 uyyyy66116

其中u、y分别系统为输入、输出量。试列写可控标准型(即A为友矩阵)及可观标准型(即A为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。 解：可控标准型和可观标准型状态空间表达式依次为， xyuxx0061006116100010；xyuxx1000066101101600





；

可控标准型和可观标准型的状态变量图依次为，

9-4 已知系统结构图如图所示，其状态变量为1x、2x、3x。试求动态方程，并画出状态变量图。 解：由图中信号关系得，31xx，uxxx232212，32332xxx，1xy。动态方程为 uxx020120302100，xy001；

状态变量图为

9-5 已知双输入-双输出系统状态方程和输出方程 232132132121

61162uxxxxuuxxuxx





，32122112xxxyxxy，

写出其向量-矩阵形式并画出状态变量图。 解：状态方程 uxx1012016116100010，xy112011； 状态变量图为

6 6 11

s-1 s-1 s-1 6 3

x 2x



1x

1x

u

- y

6 11 6

s-1 s-1 s-1 6

3x 2x 1x 1x u - y - - 2x 3

x

32s )1(2ss

s

X1(s)=Y(s) X2(s) X3(s) - - U(s)

- y - - 2x 3x 1x u 2x 3x

3 2 s-1 2 s-1 s-1

3

2 s-1 s-1 s-1

6 2

11 3

x 1x 1x

-

y1

2x u2 y2 - u1 x2 x3

- - 9-6 已知系统传递函数为 3486)(22sssssG，

试求出可控标准型(A为友矩阵)、可观标准型(A为友矩阵转置)、对角型(A为对角阵)动态方程。 解：135.015.113452)(2ssssssG；可控标准型、可观标准型和对角型依次为

uxyuxx25104310；uxyuxx10254130；uxyuxx11

5.05.13001

。

9-7 已知系统传递函数为 )2()1(5)(2sssG，

试求约当型(A为约当阵)动态方程。

解：2)1(5)1(525)(ssssG；uxx555100110002，xy011。

9-8 已知矩阵







0001100001000010A,

试求A的特征方程、特征值、特征向量，并求出变换矩阵将A约当化。 解：特征方程0)Idet(As，即014s；特征值11、12、j3、j4； 特征向量依次对应矩阵1T的列，所求变换矩阵为T；

jjjjT111111111111211；jjjjT11111111111121；





jjTATA00000000100001

1。

9-9 已知矩阵 

1001A，

试用幂级数法及拉普拉斯变换法求出矩阵指数(即状态转移矩阵)。 解：幂级数法求解，

kkkA100)1(；

ttkkktAeetAket00!1)(

0；

拉普拉斯变换法求解， 



)1/(100)1/(11001)I(11ssss

As；tteeAsLs00])I[()(11。

9-10 求下列状态方程的解： xx300020001。

解：ttteeet32000000)(，得到 )0()0()0(00000023132xxxeeexttt。 9-11 已知系统的状态方程为 uxx1111

01，

初始条件为1)0(1x，0)0(2x。试求系统在单位阶跃输入作用下的响应。 解法1：



ttteteessLt01101)(

1

1；



tttttttttttttteeteeteedeeteeteex212111)(

0010

0





。

解法2： 

ssssssssssxsBuAssx21

)1(111)1(11)1(1

)}0()({)I()(

2

2221；



ttteesxLx212

)]([1。

9-12 已知系统的状态转移矩阵 



tttttttteeeeeeeet222232332223

)(，

试求该系统的状态阵A。 解：4321)(0ttA。(注：原题给出的)(t不满足A)0(及AttAt)()()(。) 9-13 已知系统动态方程 uxx210311032010，xy100，

试求传递函数)(sG。 解：BAsCsG1)I()(，