建筑力学之材料力学第4章(华南理工)

简支梁两种常见的典型情况: ⑴ 跨间作用集中力 内力在全梁范围内不能 用一个统一的函数来表达, 必须以F的作用点C为界分段 来列内力表达式, 即需分段画 出内力图。 支座反力: FRA = b F , FRB = a F 剪力图:
l
l
AC段: FS ( x1 )=FRA = b F l a CB段: FS ( x2 )= - FRB = - F l x1 =0, M A =0 弯矩图: x =a , M = ab F C l AC段: M ( x1 )=FRA x1 = b Fx1 1 x2 =a, M C = ab F l l a F (l - x ) CB段: M ( x2 )=FRB (l - x2 )= 2 x2 =l , M B =0 l
M1 =14kN 1m 3kN 3=5kN m
得正值表示实际内力方向与原假定的方向相同。
例4-3 求图示梁截面1-1、2-2上的剪力和弯矩。
FRA =14kN( ) FRB =9kN( )
FRA
FRB
⑵ 求2-2截面上的内力：
M2
F =0,
y
FS2
FRB FS2 =0
校核: ∑Fy=0, FRA+FRB−R=0
1 q l 1 q l 1 q l =0 3 0 6 0 2 0
正确无误!
§4-3 梁的内力及其求法
m
a
FRA
m
M
FS
F =0, F F =0, F =F M =0, M F a =0, M =F
y RA S S RA O RA S
FRy
⑵ 可动铰支座 或
FRy
⑶ 固定支座
MA
FRx
FRy
工程中常用的简单梁依支座情况有以下几种: ⑴ 简支梁: 一端为固定铰支座, 另一端为可动铰支座。 ⑵ 外伸梁: 一端或两端向外伸出的简支梁。
⑶ 悬臂梁: 一端为固定支座, 另一端自由的梁。
⑷ 多跨静定梁: 由简单梁铰结而成。
⑸ 超静定梁:பைடு நூலகம்仅用平衡方程不能求出全部未知力的梁。
支座反力:
FRA =FRB = 1 ql 2
梁任意截面的内力:
FS ( x)=FRA q x = 1 ql qx 2 M ( x )=FRA x qx x 2 q = x l x 2
梁跨中截面的弯矩:
ql 2 ql 2 ql 2 M max =FRA l q l l = = 2 2 4 4 8 8
若取1-1截面右边为脱离体:
FS1 =F2 FRB =2kN M1 =FRB 3m F2 1m =12kN m
⑴ 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧(左侧 或右侧)所有的竖向外力(包括斜向外力的竖向分力)的代数和。 ⑵ 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧(左侧 或右侧)所有的外力(包括外力偶)对该截面形心力矩的代数和。
简支梁两种常见的典型情况: ⑴ 跨间作用集中力 剪力图不连续的情况, 是 由于假定集中力作用在一个 “点”上造成的, 实际上, F不可 能作用在一个“点”上, 而总是 分布在梁的一小段长度上, 如 果将力F按作用在梁的一小段 长度上的均布荷载来考虑, 则 剪力图不会发生突变:
分成三段
简支梁两种常见的典型情况: ⑴ 跨间作用集中力 ⑵ 跨间作用集中力偶 由梁的整体平衡可求得 支座反力为: Me Me FRA = , FRB = l l 剪力表达式: Me FS ( x )= - FRA = l 因C处作用有集中力偶, 弯矩表达式应分段列出: Me x1 AC段: M ( x1 )= - FRA x1 = l Me ( l x2 ) CB段: M ( x2 )=FRB ( l x2 )= l
例4-3 求图示梁截面1-1、2-2上的剪力和弯矩。
FRA =14kN( ) FRB =9kN( )
FRA
FRB
解: 首先求支座反力. 由∑MA=0, 得: FRB 6m F2 3m F1 2m=0 由∑MB=0, 得:
F1 8m+F2 3m FRA 6m=0
FS ( x )
FS ( x ) dFS ( x )
二、剪力图、弯矩图的规律 ⑴ q(x)=0的情况: FS(x)=常数, M(x)为x的一次函数。 ⑵ q(x)=常数的情况: FS(x)为x的一次函数, M(x)为x的二次函数。 弯矩图的凹向取决于分布荷载的方向, 在FS(x)=0处, M(x)具 有极值。 三、画剪力图、弯矩图的简便方法
例4-6 求截面1-1和2-2的内力。
解: 首先求支座反力. FRA = 3 ql , FRB = 1 ql 4 4 FRA 由∑MB=0, 得:


FRB
FRA = 1 ql 1 ql 1 ql = 3 ql 2 4 2 4
Me1 Me2 +q l l FRA l =0 2
M ( x ) dM ( x )
O
[M (x ) dM (x )] M (x )
d 2 M (x ) dFS (x ) = =q(x ) 2 即弯矩对x的导数等于相应截面上的剪力。 dx dx
FS (x )dx q(x )dx dx =0 2 略去二阶微量, 整理后得: dM (x ) =FS (x ) dx
P.83 表4-1
d 2 M (x ) dFS (x ) = =q(x ) 2 dx dx
例4-7 画剪力图和弯矩图。 解: ⑴ 求支座反力. FRB =20kN
l=4m
FRD =8kN ∑MD=0, 得: q l 5 l F l FRB l =0 2 4 2 ∑MB=0, 得: FRD l q l l F l =0 2 4 2 ⑵ 画剪力图
R
l =0 FRA FRB l R 3 1 q l l =0 FRB = 1 q0l FRB l 0 6 2 3 R 2l FRA l =0 3 1 q l 2l F l =0 RA 2 0 3
FRB

由∑MB=0, 得:
FRB = 1 q0l 3
15kN 9kN 4m 6kN m=0
FRD =15kN( ) FRA =9kN( )
正确无误!
由∑MD=0, 得:
校核: ∑Fy=0, FRA+FRD−4q=0
例5-2 求图示梁的支座反力。 解: 将三角形分布荷载用合力 R来代替, 合力值为ql0/2 (即三 角形的面积)。 由∑MA=0, 得:
⑵ 求截面2-2上的内力. 取2-2截面右边为脱离体:
FS2 = FRB = 1 ql 4 M2 = Me2 = 1 ql 2 4
⑴ 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧(左侧 或右侧)所有的竖向外力(包括斜向外力的竖向分力)的代数和。 ⑵ 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧(左侧 或右侧)所有的外力(包括外力偶)对该截面形心力矩的代数和。
第4章 梁的内力
§4-1 工程中的弯曲问题
水槽
火车轮轴
梁的横截面常用的几种形状(至少有一个对称轴):
荷载一般作用在梁的纵向对称平面内:
变形特点: 梁的轴线仍保持在同一平面(荷载作用平面)内, 梁的轴线成为一条平面曲线, 这类弯曲称为平面弯曲。
§4-2 梁的荷载和支座反力 一、梁的荷载 ⑴ 集中力: 即作用在梁的微小局部上的横向力(图中的F)。

l +F l =0 由∑MA=0, 得: Me1 Me2 q l 2 RB
FRB = 1 ql 1 ql 1 ql = 1 ql 2 4 2 4

⑴ 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧(左侧 或右侧)所有的竖向外力(包括斜向外力的竖向分力)的代数和。 ⑵ 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧(左侧 或右侧)所有的外力(包括外力偶)对该截面形心力矩的代数和。
⑵ 集中力偶: 即作用在通过梁的轴线的平面(或与该面平行 的平面)内的力偶(图中的力偶Me)。 ⑶ 分布荷载: 即沿梁长连续分布的横向力。
均布荷载
q( x )= lim F 分布荷载的集度: x 0 x
非均布荷载
(单位: N/m, kN/m)
二、梁的支座及支座反力 ⑴ 固定铰支座 F Rx 或
例4-3 求图示梁截面1-1、2-2上的剪力和弯矩。
FRA =14kN( ) FRB =9kN( )
FRA
FRB
FS1 M 1 ⑴ 求截面1-1上的内力: Fy =0, FRA F1 FS1 =0
FS1 =14kN 3kN=11kN
M
C
=0, M1 F1 3m FRA 1m=0
结论： ⑴ 梁的任一横截面上的剪力在数值上等于该截面一侧(左侧 或右侧)所有的竖向外力(包括斜向外力的竖向分力)的代数和。 ⑵ 梁的任一横截面上的弯矩在数值上等于该截面一侧(左侧 或右侧)所有的外力(包括外力偶)对该截面形心力矩的代数和。
例4-5 求截面1-1的剪力和弯矩。 解: 首先求支座反力. 由∑MB=0, 得: 由∑MA=0, 得:
FS2 = 9kN
M
C
=0, FRB 1.5m M2 =0
M2 =9kN 1.5m=13.5kN m
例4-4 求截面1-1的剪力和弯矩。
解: 取1-1截面右边为脱离体.
F =0, F
y
S1
-F -qa=0
M1
FS1 =5kN+4kN m 2 13kN
MC =0, M1 F a q a a =0 FS1 2 M1 = kN 2m 4kN m 2m 1m = kN m