(完整版)平面向量重要基础知识点
平面向量知识点总结
1．向量的有关概念(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的长度(或模)．(2)零向量：长度为0的向量，其方向是任意的．(3)单位向量：长度等于1个单位的向量．(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量．平行向量又叫共线向量．规定：0与任一向量平行．(5)相等向量：长度相等且方向相同的向量．(6)相反向量：长度相等且方向相反的向量．2．向量的加法和减法(1)加法法则：服从三角形法则，平行四边形法则．运算性质：a＋b＝b＋a；(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)．(2)减法与加法互为逆运算；服从三角形法则．3．实数与向量的积(1)实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定：①长度：|λa|＝|λ||a|；②方向：当λ>0时，λa与a的方向相同；当λ＜0时，λa与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0.(2)运算律：设λ、μ∈R，则：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb.4．平面向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa. 5．平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于该平面内任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.6．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底．对于平面内的一个向量a，有且只有一对实数x、y，使a＝x i＋y j，把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a＝(x，y)，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标．7．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.8．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ∥b ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.9．平面向量的数量积(1)定义：已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 与b 的数量积(或内积)．规定：零向量与任一向量的数量积为0.(2)几何意义：数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积．10．平面向量数量积的运算律(1)交换律：a ·b ＝b ·a ；(2)数乘结合律：(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )；(3)分配律：a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c .11．平面向量数量积的性质及其坐标表示设非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ＝〈a ，b 〉．结论1.若P 为线段AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP →＝12(OA →＋OB →)．2．若A 、B 、C 是平面内不共线的三点，则P A →＋PB →＋PC →＝0⇔P 为△ABC 的重心．3.若a 、b 为非零向量，当a ∥b 时，a ，b 的夹角为0°或180°，求解时容易忽视其中一种情形而导致出错．4．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0，不能表示成x 1x 2＝y 1y 2，因为x 2，y 2有可能等于0. 5.若a 与b 不共线，λa ＋μb ＝0，则λ＝μ＝0.6．已知OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为常数)，则 A ，B ，C 三点共线的充要条件是 λ＋μ＝1.。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳
1.定义和表示：
o平面向量是具有大小和方向的量，通常用有向线段表示。
o平面向量可以由坐标表示为(a, b)，其中a和b是平面上的两个分量。
2.向量运算：
o向量加法：将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量作为它们的和。
o向量减法：将两个向量的对应分量相减，得到一个新的向量作为它们的差。
o数量乘法：将一个向量的每个分量乘以一个标量，得到一个新的向量。
3.向量的模和单位向量：
o向量的模：向量的大小，可以用欧几里得范数或绝对值表示。
o单位向量：具有相同方向但模为1的向量。
4.向量的数量积：
o数量积（也称为点积或内积）：两个向量的数量积是它们对应分量的乘积之和。
o数量积的性质：数量积满足交换律、分配律、与标量乘法结合。
5.向量的向量积：
o向量积（也称为叉积或外积）：两个向量的向量积是一个与它们均垂直，并其模长等于由它们围成的平行四边形的面积的向量。
o向量积的性质：向量积与原向量的顺序相关，满足反交换律、非结合律，但满足分配律。
6.平面向量的坐标表示：
o平面向量可以表示为点P(x, y)和原点O之间的有向线段。
o平面向量的坐标形式是将点P的坐标与原点O的坐标相减得到的。
7.平面向量的共线与垂直关系：
o两个向量共线：当两个向量的方向相同或相反时，它们共线。
o两个向量垂直：当两个向量的数量积为0时，它们垂直。
8.平面向量的投影：
o向量在另一个向量上的投影是一个标量，表示向量在另一个向量方向上的投影长度。
(完整版)中职数学平面向量复习
复习模块：平面向量一 、知识点（1）平面向量的概念及线性运算平面向量两要素：大小,方向。
零向量：记作0，手写时记做0，方向不确定。
单位向量：模为1的向量。
平行的向量（共线向量）：方向相同或相反的两个非零向量，记作a //b 。
规定：零向量与任何一个向量平行。
相等向量：模相等,方向相同，记作a = b 。
负向量:与非零向量a 的模相等,方向相反的向量，记作-a 。
规定：零向量的负向量仍为零向量。
向量加法的三角形法则：如图1,作AB =a ， BC =b ,则向量AC 记作a＋b ，即 ，和向量的起点是向量a 的起点，终点是向量b 的终点．向量加法的平行四边形法则：如图2，在平行四边形ABCD 中，AB ＋AD =AB ＋BC =AC , AC 所表示的向量就是AB 与AD 的和．平行四边形法则不适用于共线向量。
向量的加法具有以下的性质：（1）a ＋0 = 0＋a = a ; a ＋（−a ）= 0;（2）a ＋b =b ＋a ；（3）（a ＋b ）＋ c = a ＋（b ＋c )．向量的减法：起点相同的两个不共线向量a 、 b ，a 与b 的差运算的结果仍然是向量，叫做a 与b 的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a 的终点．如图3。
a −b =a+(−b ），设a =OA ，b =OB ，向量的数乘运算:数与向量的乘法运算。
一般地,实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa ,它的模为， 若||λ≠a 0，则当λ＞0时，λa 的方向与a 的方向相同，当λ＜0时，λa 的方向与a的方向相反．共线向量充要条件：对于非零向量a 、b ，当0λ≠一般地，有 0a = a Aa -b Bb O 图3 图1A CBa ba +b a b 图2 C B0, λ0 = 0 .线性组合：一般地，λa ＋μb 叫做a , b 的一个线性组合．如果l ＝λa ＋μ b ，则称l 可以用a ,b 线性表示．（2）平面向量的坐标表示设点1122(,)(,)A x y B x y ， ,则起点为11(,)A x y ，终点为22(,)B x y 的向量坐标为2121()=--AB x x y y ，． 设平面直角坐标系中,11(,)x y =a ，22(,)x y =b ，则由此得到，对非零向量a 、 b ,设1122(,),(,),a b ==xy x y当0≠λ时（3）平面向量的内积向量a 与向量b 的夹角，记作<a ，b>. []o o b a 180,0,>∈<内积的定义：两个向量a ，b 的模与它们的夹角的余弦之积叫做向量a 与向量b 的内积,它是一个数量，又叫做数量积．记作a ·b ，结论：（1）cos<a ,b >＝||||⋅a b a b 。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳在代数学和几何学中，平面向量是一种常用的数学工具，用来描述平面上的长度和方向。
平面向量具有许多重要的性质和运算规律，对于解决各种几何问题和物理问题非常有帮助。
本文将对平面向量的相关知识点进行归纳和总结。
一、平面向量的定义平面向量是由两个有序实数或复数构成的有序对(a, b)，通常用字母小写的粗体字母表示，如：→a。
其中，a表示向量在x轴上的投影，b表示向量在y轴上的投影。
二、平面向量的表示平面向量可以使用坐标表示法或分量表示法。
坐标表示法将向量表示为一个有向线段，起点为原点，终点为向量的坐标。
分量表示法将向量表示为两个实数或复数，分别表示向量在x轴方向和y轴方向上的分量。
三、平面向量的运算1. 加法：向量之间的加法是指将两个向量的对应分量相加，得到一个新的向量。
例如，向量→a=(a1, a2)，向量→b=(b1, b2)，它们的和向量→c=(a1+b1, a2+b2)。
2. 数乘：向量与一个实数或复数相乘，可以理解为将向量的每个分量都乘以这个数。
例如，向量→a=(a1, a2)，实数k，则k×→a=(ka1, ka2)。
3. 减法：向量减法可以通过向量加法和数乘运算来定义。
向量→a减去向量→b等于向量→a加上向量→b的负向量。
即→a-→b=→a+(-→b)。
4. 数量积/点积：向量→a和→b的数量积/点积（也称为内积）表示为→a·→b，等于它们对应分量的乘积之和，即→a·→b=a1b1+a2b2。
5. 向量积/叉积：向量→a和→b的向量积/叉积（也称为外积）表示为→a×→b，等于一个新的向量，该向量垂直于→a和→b所确定的平面，并且其大小等于以→a和→b为两条边所构成的平行四边形的面积。
四、平面向量的性质和定理1. 零向量：零向量是长度为零的向量，表示为→0=(0, 0)。
它与任何向量的数量积都为零。
2. 平行向量：两个向量的方向相同或相异，它们就是平行的。
平面向量知识点归纳总结
平面向量知识点归纳总结平面向量是数学中的一个重要概念，它在几何、物理、工程等领域中具有广泛的应用。
本文将对平面向量的定义、运算、性质和常见应用进行归纳总结。
一、平面向量的定义平面向量是具有大小和方向的量，用箭头表示。
一个平面向量由起点和终点确定，可以用有序对表示。
例如，向量AB表示从点A指向点B的有向线段，记作AB。
二、向量的表示方法1. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，一个平面上的向量可以表示为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
2. 线段表示：向量的起点和终点可以表示为两个点的坐标，向量本身可以表示为连接这两个点的线段。
三、向量的运算1. 加法运算：向量的加法运算满足平行四边形法则。
设有向量A和B，它们的和记作A + B，可以通过将A的终点与B的起点相连，得到一条新的有向线段，该线段的起点为A的起点，终点为B的终点。
新的线段即为向量A + B。
2. 数乘运算：向量的数乘运算满足分配律和结合律。
设有向量A和实数k，它们的数乘记作kA，向量kA的长度是向量A长度的k倍，方向与A相同（当k>0时）或相反（当k<0时）。
3. 减法运算：向量的减法可以通过将减数取负后与被减数进行加法运算得到。
即A - B = A + (-B)。
4. 零向量：零向量是长度为0的向量，记作0。
任何向量与零向量相加等于该向量本身。
四、向量的性质1. 平移不变性：向量在平面上进行平移操作时，大小和方向保持不变。
2. 相等性：两个向量相等，当且仅当它们的起点和终点重合。
3. 平行性：两个向量平行，当且仅当它们的方向相同或相反。
4. 共线性：三个或三个以上的向量共线，当且仅当它们在同一条直线上或平行于同一条直线。
5. 长度：向量的长度可以利用勾股定理计算得到，即向量AB的长度为√(x2 - x1)² + (y2 - y1)²。
6. 单位向量：长度为1的向量称为单位向量。
五、向量的应用1. 向量的分解：一个向量可以被分解成x轴和y轴上的两个分量。
(完整版)平面向量知识梳理及高考真题汇总
《平面向量》1.向量2.表示方法3.向量模（长度）4.零向量5.单位向量6.相等向量7.相反向量8.共线（平行）向量 例：下列命题中，正确的是（ ）A 、|a r |＝|b r |⇒a r ＝b rB 、|a r |＞|b r |⇒a r ＞b rC 、a r ＝b r ⇒a r ∥b rD 、｜a r ｜＝0⇒a r＝0一、 不用坐标研究向量A （1）加法运算 （2）减法运算 （3）数乘运算（4）数量积运算cos a b a b θ→→→→⋅⋅=22a a→→=cos θ=a →= a b →→⊥⇔ a b →→⇔∥例1：等边三角形ABC 的边长为2，则=⋅？例2:12,e e →→是两个单位向量，它们的夹角是ο60，则=+-⋅-)23()2(2121e e e e例3：(1) |a →|=1，|b →|=2，向量a →与b →的夹角为60°，则|a →-b →|=(2)已知a b a b →→→→+=-，则a b →→⋅=？例4：已知单位向量12,e e →→的夹角为3π，122a e e →→→=-，则a →在1e →上的投影是？【2017全国理13】已知向量a →，b →的夹角为60°，|a →|=2，|b →|=1，则|a →+2b →|=例4：21,e e 是平面内不共线两向量，已知2121213,2,e e e e e k e -=+=-=， 若D B A ,,三点共线，则k 的值是（ ）B. 平面向量基本定理：平面内任何一个向量都能由另外两个不共线的向量表示出来。
例：平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是BC ，DC 的中点。
若AB u u u r =a r ，=b r ，试以a r ,b r 为基底表示DE 、BF u u u r【2018全国文7】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =u u u rA ．3144AB AC -u u u r u u u r B ．1344AB AC -u u ur u u u rC ．3144AB AC +u u u r u u u rD ．1344AB AC +u u u r u u u r【2015全国理7】设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则（A ）1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u r (B)1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r（C ）4133AD AB AC =+u u u u u r u u u r u u u r (D)4133AD AB AC =-u u u u u u u ru u u r u u u r【典型例题】已知1a b →→==，a →与b →的夹角是直角，23c a b →→→=+，4d k a b →→→=-，c d →→⊥则k =?【典型例题】△ABC 为腰长为4的等腰三角形，顶角A 为D 为BC 边上的中点，E 为AD 上的一点，求BC CE →→⋅=?【2018淄博一模】已知直线(a-1)x+(a+1)y-a-1=0过定点A ，线段BC 是圆22(2)(3)1x y -+-=的直径，则AB AC →→⋅=？二、 用坐标研究向量 1. 向量坐标的求法【2015全国文科2】点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--u u u r，则向量BC =u u u r（A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)2. 向量的坐标运算 若11(,)x y a →=22(,)x y b →= 则(1)1212(,)x x y y a b →→±±±= (2)11(,)x y a λλλ→= (3)1212x x y y a b →→⋅+=（4）cos θ= （5）a →= （6）a b →→⊥⇔ （7）a b →→⇔∥1.【2014山东文科高考】向量(3,)a b m →→== . 若向量,a b →→ 的夹角为6π，则m =(A)(B)(C) 0 (D)2.【2017全国文13】向量a →=(-1,2)，b →=(m ,1)．若a →⊥(a →+b →)，则实数m 的值为？3.【2016山东文科】向量a →=(1,–1)，b →=(6,–4)．若a →⊥(t a →+b →)，则实数t 的值为？4. 【2013山东文科高考填空】在平面直角坐标系xOy 中，已知(1,)OA t =-u u u r ，(2,2)OB =u u u r，若90o ABO ∠=，则实数t 的值为？5. 【2016山东理科】已知非零向量a →，b →满足4│a →│=3│b →│，cos<a →,b →>=13.若b →⊥(t a →+b →)，则实数t 的值为 （A ）4 （B ）–4 （C ）94（D ）–946. 【2014全国文】设F E D ,,分别为ABC ∆的三边AB CA BC ,,的中点，则=+FC EBA.ADD.7.【2014全国理】已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2AO AB AC →→→=+，则 AB →与AC →的夹角为?8.【2013山东理科】已知向量−→−AB 与−→−AC 的夹角1200且|−→−AB |=3，|−→−AC |=2，若−→−−→−−→−+=AC AB AP λ，且−→−−→−⊥BC AP ，则实数λ的值为？9. 已知直线L ：ax -y +2=0与圆M ：x 2+y 2-4y +3=0的交点为A 、B ，点C 是圆M 上的一个动点，P(0,-1) 则++PA PB PC u u ru u u ru u u r的最大值是？10.(文)已知△ABC的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、，满足0PA PC +=u u u r u u u r r，2QA BQ =u u u r u u u r则APQ ∆的面积为？（A ）12（B ）23 （C ）1 （D ）211.(理)已知△ABC的面积为2，在△ABC 所在的平面内有两点P Q 、，满足0PA PC +=u u u r u u u r r，QA QB QC BC ++=u u u r u u u r u u u r u u u r 则APQ ∆的面积为？ （A ） 12（B ）23（C ）1 （D ）212. 【湖南高考】P 是△ABC 内一点(1)若−→−PA •−→−PB =−→−PB •−→−PC =−→−PC •−→−PA 则P 是△ABC 的（ ）心; (2)若−→−PA +−→−PB +−→−PC =−→−0，则P 是△ABC 的（ ）心13. 【江苏理科高考】O 为三角形ABC 中线AM 上的一个动点，AM=2,求()OA OB OC →→→•+的最小值是？14. 【2013湖南理科】已知a →和b →是单位向量，a →b →⋅=0，│c a b →→→--│=1则│c →│的最大值为？15. 【2011江苏】()2sin()84f x x ππ=+（-2<x <14）的图象与x 轴的交点为A ，过A 的直线与f(x)的图象交于B 、C 两点，求()OB OC OA →→→+⋅=？16. 【2010山东理科12题】a →=(m,n ), b →=(p,q )，若a →⊙b →=mq-np ，则说法错误的是？ （A ）若a →与b →共线，则a →⊙b →=0 （B ）a →⊙b →=b →⊙a →（C ）对任意的λ∈R ，有（λa →）⊙b →=λ（a →⊙b →） （D ）（a →⊙b →）2+（a →·b →）2=|a →|2|b →|217.【2011山东理科选择12题】平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ→→=，1412A A A A μ→→=，且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A 。
平面向量复习基本知识点总结及基础训练(高一下学期复习专用)
平面向量复习基本知识总结及基础训练1、向量有关概念：（1）向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。
向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段，为什么？（向量可以平移）。
例：已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____。
（2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向 ； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB 共线的单位向量是： )；（4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有 ；（5）平行向量（也叫 ）：方向 或 的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作： ，规定零向量和任何向量平行。
提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0 )；④三点A B C 、、共线⇔ AB AC 、共线；（6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。
的相反向量是 。
例：命题：（1）若a b = ，则a b = 。
（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。
（3）若AB DC = ，则ABCD 是平行四边形。
（4）若ABCD 是平行四边形，则AB DC = 。
（5）若,a b b c == ，则a c = 。
（6）若//,//a b b c ，则//a c 。
其中正确的是_______；2、向量的表示方法：（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为(),a xi y j x y =+= ，称(),x y 为向量的坐标，＝ 叫做向量的坐标表示。
(完整版)平面向量知识点与考点精(经典)
平面向量知识点与2013 考点精讲知识网络向量的观点向量的加、减法向量的运算实数与向量的积两向量平行的充要条件向量的数目积向量的坐两向量垂直的充要条件标运算平面向量的基本定理及坐标表示向量的模几何中的运用向量的运用向量的夹角物理学中的运用两点间的距离第 1 讲向量的观点与线性运算★知识梳理★1．平面向量的有关观点：（1）向量的定义：既有 ____大小又有方向 _________的量叫做向量 .（2）表示方法：用有向线段来表示向量. 有向线段的 ____ 长度 _____表示向量的大小，用 _____箭头所指的方向 ____表示向量的方向. 用字母a，b，或用AB ， BC ，表示 .特别提示：1)模：向量的长度叫向量的模，记作| a| 或 | AB |.2)零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作0；零向量的方向不确立 .3)单位向量：长度为 1 个长度单位的向量叫做单位向量.4)共线向量：方向同样或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.5)相等的向量：长度相等且方向同样的向量叫相等的向量.2．向量的线性运算1.向量的加法：（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法.a，b，在平面内任取一点uuur uuurb，则向量AC叫做 a 与 b 的和，记如图，已知向量A，作AB a，BC作 a+b，即 a+buuur uuur uuurAB BC ACCCa ba+bB a+bBDbaba三角形法例平行四边形法例A(1)A特别状况：a ab ba b a bA B( 2C C A B )( 3 )对于零向量与任一直量a，有 a0 0 a a（2）法例： ____三角形法例 _______， _____平行四边形法例 ______（3）运算律： ____ a +b=b+a； _______， ____（a+b） +c=a+（b+c） ._______ 2.向量的减法：（1）定义：求两个向量差的运算，叫做向量的减法.减法的三角形法例作法：在平面内取一点O，作OA=a,OB=b,则 BA=a b注意：1)AB 表示a b重申：差向量“箭头”指向被减数2)用“相反向量”定义法作差向量，a b = a +(-b)明显，此法作图较繁，但最后作图可一致a∥ b∥ c a b = a + ( b) a b3.实数与向量的积：（ 1）定义：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，规定： | λa|=| λ|| a|. 当λ＞ 0 时，λa的方向与 a 的方向同样；当λ＜0时，λa 的方向与 a 的方向相反；当λ=0时，λ a=0.（ 2）运算律：λ（μa） =（λμ）a，（λ+μ）a=λa+μa，λ（a+b） =λa+λb.特别提示：1)向量的加、减及其与实数的积的结果还是向量。
平面向量知识点总结
平面向量知识点总结平面向量是二维空间中的向量，它在数学中有着广泛的应用。
在平面向量的研究中，我们需要了解平面向量的定义、运算法则、坐标表示、线性相关与线性无关、向量的模和方向、向量的投影、平行四边形法则、平面向量的夹角、向量的数量积等内容。
本文将对这些内容进行详细的总结，以帮助读者更好地理解平面向量的相关知识。
1. 定义：平面向量是一个具有大小和方向的量。
它可以用一个有向线段来表示，也可以用它的坐标来表示。
平面向量的定义包括初始点和终点，表示为AB。
2. 运算法则：平面向量有加法和数乘两种运算方式。
向量的加法规则是将两个向量的横纵坐标分别相加，得到一个新的向量。
向量的数乘规则是将向量的横纵坐标分别与给定的实数相乘，得到一个新的向量。
3. 坐标表示：平面向量可以用坐标表示，即用其横纵坐标表示向量的位置。
设向量AB的坐标为(a, b)，则向量AB的终点的坐标为(A.x + a, A.y + b)，其中A.x和A.y分别为点A 的横纵坐标。
4. 线性相关与线性无关：若存在一组实数k1, k2, ... , kn，使得k1v1 + k2v2 + ... + knvn = 0，则向量组V1, V2, ... , Vn是线性相关的。
否则，向量组V1, V2, ... , Vn是线性无关的。
线性无关的向量组在平面向量的研究中具有重要的作用。
5. 向量的模和方向：向量的模表示向量的大小，即向量的长度。
向量的方向表示向量的朝向，即向量的角度。
向量的模可以用勾股定理计算，即v的模等于√(x^2 + y^2)，其中x 和y分别为向量v的横纵坐标。
6. 向量的投影：向量的投影指的是一个向量在另一个向量上的投影长度。
设向量A在向量B上的投影为P，且向量A 和向量B的夹角为θ，则投影P的长度等于A在B上的模乘以cosθ。
7. 平行四边形法则：平行四边形法则是用来计算两个向量的和的规则。
根据平行四边形法则，两个向量的和等于以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线。
平面向量知识点归纳
平面向量知识点归纳一、平面向量的基本概念平面向量是既有大小又有方向的量。
1、向量的定义既有大小又有方向的量叫做向量。
例如，力、位移、速度等都是向量。
2、向量的表示（1）几何表示：用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向。
（2）字母表示：通常在平面内，用小写字母 a、b、c 等来表示向量。
3、向量的模向量的大小叫做向量的模，记作｜a|。
4、零向量长度为 0 的向量叫做零向量，记作 0。
零向量的方向是任意的。
5、单位向量长度等于 1 个单位的向量叫做单位向量。
6、平行向量（共线向量）方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，也叫共线向量。
规定：零向量与任意向量平行。
7、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
8、相反向量长度相等且方向相反的向量叫做相反向量。
二、平面向量的线性运算1、向量加法（1）三角形法则：已知向量 a、b，在平面内任取一点 A，作 AB ＝ a，BC ＝ b，则向量 AC 叫做 a 与 b 的和，记作 a ＋ b ，即 a ＋ b ＝AB ＋ BC ＝ AC 。
（2）平行四边形法则：已知向量 a、b，以同一点 O 为起点作 OA ＝ a，OB ＝ b，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB，则对角线OC 就是 a 与 b 的和。
向量加法满足交换律：a ＋ b ＝ b ＋ a ；结合律：（a ＋ b) ＋ c ＝ a ＋（b ＋ c) 。
2、向量减法（1）与向量 a 长度相等，方向相反的向量叫做 a 的相反向量，记作 a 。
（2）向量减法：已知向量 a、b，作 OA ＝ a，OB ＝ b，则 BA ＝OA OB ＝ a b 。
3、数乘向量（1）实数λ与向量 a 的积是一个向量，记作λa ，它的长度｜λa| ＝｜λ| ｜a| ，它的方向：当λ ＞ 0 时，λa 与 a 同向；当λ ＜ 0 时，λa与 a 反向；当λ ＝ 0 时，λa ＝ 0 。
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平面向量重要知识点
1、向量有关概念：
(1) 向量的概念：既有大小又有方向的量，向量是可以平移的，(2)零向量：长度为0 的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的；
uuu
单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量 (与AB 共线的单位向量是 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性; 平行向量(也叫共线向量)：方向相同或相反 的非零向量a 、b 叫做平行向量，记
作：a // b ，规定零向量和任何向量平行。
提醒平行向量 无传递性！(因为有0)
2.平面向量的基本定理：如果e i 和e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任
4、平面向量的数量积： (1)两个向量的夹角：
(2) 平面向量的数量积：规定：零向量与任一向量的数量积是 0
注意数量积是一个实数，不再是一个向量。
(3) b 在a 上的投影为|b|cos ，它是一个实数，但不一定大于 0。
(4) a ?b 的几何意
义：数量积a?b 等于a 的模与b 在a 上的投影的积。
(5)向量数量积的性质：设两个非零向量a ，b ，其夹角为，则:
r r r
b a?b 0 ；
(3) uuu
AB ).
uuu)， |AB|
一向量a ，有且只有一对实数1
2
，使 a= 1^ + 2 62。
3、实数与向量的积：实数 与向量a 的积是一个向量，记作 a :当>0时，a 的方
向与a 的方向相同，当 <0时,
a 的方向与a 的方向相反
②当
「2 r r 特别地，a a?a
a ，
b 同向时，a ?b =
拧 ；当a 与b 反向时,
;当为锐角时，a?b > 0,且a、b不同向，ab 0是为锐角的必要非充分a ? b
5、向量的运算：
(1)几何运算：掌握三角形发展或者平行四边形法则, (2)坐标运算：设 a (x 1, y 1),b (x 2, y 2)，贝U:
7、向量平行(共线)的充要条件 8、8.线段的定比分点：
(1)定比分点的概念：设点P 是直线P 1P 2上异于P i 、P 2的任意一点，若存在一个实数
的定比分点;
X L 1
(知道怎样推出来的吗)
* y 2 1
9.
向量平移
平面向量章节复习题
r f r r
条件；当 为钝角时，a ?b < 0,且a 、b 不反向,
r r
a b 0是为钝角的必要非充分条件； ③非零向量a ， b 夹角的计算公式：cos
④ ia?bi |；|£|。
①向量的加减法运算：a r b (X 1 X 2， y 1
y 2)。
②实数与向量的积
X i , y i 。
④平面向量数量积 r
r :a?b X i X 2
6向量的运算律:
(1)交换律:
r r
a?b b?a ；⑵结合律:
r r r r a b c, a r r a ?b
r a?b
r a?
(3)分配律：
r r r r a a, a b
r r r ?c a?c r r b?c
向量的“乘法”不满足结合律 ，即 a(b?c) (a?b)c ，为什么?
，使 PP 阳，则叫做点P 分有向线段
ULUr UULU
PP 2所成的比，P 点叫做有向线段PP 2的以定比 (2)线段的定比分点公式：设Rd^yJ 、
UULU
P 2(X 2, y 2)，P(x, y)分有向线段PP ?所成的比为
X
，则
y
X 2
r r
1•若将向量 a =（2, 1）围绕原点按逆时针方向
旋转n得到向量
4
则向量b的坐标为（
2.
3.
4.
A.
5.
学）B •兰）
为得到函数y= f （- 2x）图象.可把A. (l , 0) B
如图，非零向量
A.
C.
如果
6.
A.
C.
7.
9.
.(-I , 0)
OA a,oB
-2x）图象按向量
y= f (1
1 1
.(—,0) D .(—— , 0)
2 2
a平移，则向量
ba BC OA, C为垂足,若OC a,则
a等于（
）
a b
1訂
2
c,且a
B.」
|a||b
|
D.
|a||b
|
—r f
a b
那么
ABC重心作一直线分别交
若向量
3 C 2 D 1
a、b满足关系式|a
b为邻边的四边形是矩形
( )
D . b,c在a方向上的投影相等
AB,AC 于D,E,若AD xAB, AE yAC,( xy
1
0),则丄
x
b| |a
B.
a、b中至少有一个是零向量
正三角形ABC的边长为
D.
b|，则下列结论中正确的是（
b中至少有一个零向量或
b均为零向量
设AB a,
BC
b, AC
32
已知
相等
已知
该方程
x2 A至少有一根10.如图，在△
且a和b不垂
直
、方向相同
ABC 中,
r
b1
-
3
0是关于
至多有一根
UU
T
BD
、方向相反 D
c，那么a b b c c a的值是（
的一元二次方程，其中
（
C、有两个不等的根
uu
u
1UULT -
DC, AE
2
uur uuu
3ED,右AB
方向相同或相反
a,b,c是非零向量，且向量a和b不共线，
贝9
LUL
T
T
a,AC
、有无数个互不相同的根
T UUU b,
则BE =
r
a1
-
2
11.关于非零向量a和b，有下列四个命题:
(
其中真命题的个数是
12.若向量a =(cos ,sin
A. a与b的夹角等于
13 .
0P 的充要条件是“的充要条件是的充要条件是的充要条件是
O是平面上一定
O A (丝笠),
|AB| |AC|
((
a和b的方向相
同”；
b = COS
点，A,B,C
[0
,
A外心 B 内心 C 重心 D 垂心
14•向量AB =( 3, 4)按向量a=(1,2) A (4, 6) B 、(2, 2) C
15.将函数y=2x的图象按向量
0）②a的坐标可以是（-
3 ,
其中真命题的个数是
a和b的方向相
反”；
a和b有相等的
模”；
,si
n
的方向相
同”；
a与b不共线，则a与b 一定满足（
）
面上不共
）,则P的轨迹一定通过^
平移后为
(3, 4) D、(3, 8)
a平移后得到0)和(0, 6)
D.
线的三个
ABC的()
y=2x+6的图象，给出以下四个命题:
点，动点P满足
①a的坐标可以是（-3 , ③a的坐标可以是（0, 6）④a的坐标可以有无数种情况,
16 .在ABC 中, AB BC b 0 ,贝y ABC的形状是
A、锐角三角形 B 、直角三角形、钝角三角形 D 、不能确定
17.设a,b,c是任意的非零平面向量且互不共线，以下四个命题:
①(a b) c cab 0
③b c a c a b不与（垂直④若a b,则a b与c不平
行
其中正确命题的个数是
18.已知向量uuu uur
OB (2,0), OC
uuu
(2,2),CA
L L uuu uuu
(J2cosa,J2sin a)则向量OA,OB的夹角范围是(
A、[ n
/12 ,
5n /12] B 、[0 , n /4] C 、[ n /4 , 5n /12] D 、[5 n /12 , n /2]。