2014年下学期数学实验与数学建模作业习题6

2014年下学期数学实验与数学建模作业习题6
1．求下列级数的和： (1) ∑∞=-1212n n n (2) ∑∞=+1)
12(1n n n (3) 112n n n n ∞=+⋅∑ (4) 313n n n ∞=∑
(5) ∑∞=12
sin n n x
【1】求解代码：
【2】运行结果: syms n x
s1=symsum((2*n-1)/2^n,n,1,inf)
s2=symsum(1/n/(2*n+1),n,1,inf)
s3=symsum((n+1)/n/2^n,n,1,inf)
s4=symsum(n^3/3^n,n,1,inf)
s5=symsum(sin(x)/n^2,n,1,inf)
2．求级数∑∞=021n n 的前n 项和与∑∞=121
n n 的级数和。

【1】求和代码：
【
2】运行结果： syms n x
s1=symsum(1/2^n,n,0,n-1)
s2=symsum(1/n^2,n,1,inf)
s=s1+s2
3．将函数sin x 展开为x 的幂级数，分别展开至5次和20次。

4．将函数(1)m x +展开为x 的幂级数，m 为任意常数。

展开至4次幂。

5．将函数21()53
f x x x =+-展开为(2)x -的幂级数。

6．将函数cos x 展开成()3
x π-
的幂级数，取前10项。

【1】syms n x m t pi
%3题 taylor(sin(x),x,6)
taylor(sin(x),x,21)
%4题
taylor((1+x)^m,x,5)
%5题
taylor(1/(x*x+5*x-3),x,6,2)
%新版本用taylor(1/(x*x+5*x-3),x,'ExpansionPoint',2)
%6题
taylor(cos(x),x,10,pi/3)
【2】运行结果：
3-（1）
3-（2）
4题
5题
6题
ans =
(3^(1/2)*(pi/3 - x)^5)/240 - (3^(1/2)*(pi/3 - x)^3)/12 - (3^(1/2)*(pi/3 - x)^7)/10080 + (3^(1/2)*(pi/3 - x)^9)/725760 - (pi/3 - x)^2/4 + (pi/3 - x)^4/48 - (pi/3 - x)^6/1440 + (pi/3 - x)^8/80640 + (3^(1/2)*(pi/3 - x))/2 + 1/2
7．求函数2()f x x =在[,]ππ-上的傅立叶级数。

8．求出函数32()f x x x =+在区间[,]ππ-上的前11个傅立叶系数，即n ＝5。

【1】建立afourier 函数和safourier 函数
function [a0,an,bn] = afourier(f,l)
%求解傅里叶级数系数，l 半周期
syms x n l a0
a0=int(f,x,-l,l)/l;
an=int(f*cos(n*pi*x/l),x,-l,l)/l;
bn=int(f*sin(n*pi*x/l),x,-l,l)/l;
function S = safourier(f,a0,an,bn,l,m)
%求解傅里叶级数，l为半周期,m为展开到n=m
syms x n l pi
sn=an*cos((n*pi*x)/l)+bn*sin((n*pi*x)/l);
ssn=symsum(sn,n,1,m);
S=a0/2+ssn;
End
调用命令：syms x a0 m n
[a0,an,bn]=afourier(x*x,pi)
safourier(x*x,a0,an,bn,pi,5)
【2】运行结果：
a0 =(2*l^2)/3
an =(2*(pi^2*l^3*n^2*sin(pi*n) - 2*l^3*sin(pi*n) + 2*pi*l^3*n*cos(pi*n)))/(pi^3*l*n^3)
bn =0
ans =
l^2/3 - (4*l^2*cos((pi*x)/l))/pi^2 + (l^2*cos((2*pi*x)/l))/pi^2 - (4*l^2*cos((3*pi*x)/l))/(9*pi^2) + (l^2*cos((4*pi*x)/l))/(4*pi^2) - (4*l^2*cos((5*pi*x)/l))/(25*pi^2)。