二次函数中轴线公式
二次函数的基本形式
二次函数的基本形式二次函数是一种常见的数学函数，它的表达式形式为：y = ax^2 +bx + c，其中a、b、c为常数，且a ≠ 0。
本文将介绍二次函数的基本形式，以及相关的性质和应用。
一、基本形式二次函数的基本形式是y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a≠ 0。
这个形式中，x是自变量，y是对应的函数值。
二、图像特点二次函数的图像通常为一个开口朝上或朝下的抛物线。
其开口方向取决于a的正负性。
当a>0时，抛物线开口朝上；当a<0时，抛物线开口朝下。
抛物线的顶点坐标为(-b/2a, -D/4a)，其中D为抛物线的判别式，即D = b^2 - 4ac。
三、轴对称和顶点二次函数的图像关于x = -b/2a这条直线对称。
这条直线称为二次函数的轴线。
二次函数的顶点坐标为(-b/2a, -D/4a)。
四、判别式和根的情况对于二次函数y = ax^2 + bx + c，其判别式D = b^2 - 4ac可以用来判断根的情况。
1. 当D > 0时，二次函数有两个不相等的实数根。
此时，抛物线与x轴相交于两个点。
2. 当D = 0时，二次函数有且仅有一个实数根。
此时，抛物线与x轴相切于一个点。
3. 当D < 0时，二次函数没有实数根。
此时，抛物线与x轴不相交。
五、导数和凸性二次函数的导数是一次函数，导数表达式为y' = 2ax + b。
根据导数的正负性可以判断二次函数的凸性。
1. 当a > 0时，二次函数在顶点的左侧凹，右侧凸。
2. 当a < 0时，二次函数在顶点的左侧凸，右侧凹。
六、应用示例二次函数的应用非常广泛，以下是一些具体的应用示例。
1. 物体抛射问题：当物体在重力作用下抛射时，其运动轨迹可以用二次函数来描述。
2. 经济学模型：在经济学中，二次函数常被用来建模分析供给、需求、成本等方面的关系。
3. 工程问题：在建筑设计、桥梁设计等工程中，二次函数常用于描述和分析结构物的变形和荷载。
二次函数顶点坐标公式怎么求
二次函数顶点坐标公式怎么求二次函数最高次必须为二次，二次函数的图像是一条对称轴与y 轴平行或重合于y轴的抛物线。
接下来给大家分享二次函数顶点坐标公式的推导过程。
二次函数顶点坐标公式二次函数的一般形式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)二次函数的顶点式：y=a(x-h)^2+k k(a≠0,a、h、k为常数),顶点坐标为(h,k)推导过程：y=ax^2+bx+cy=a(x^2+bx/a+c/a)y=a(x^2+bx/a+b^2/4a^2+c/a-b^2/4a^2)y=a(x+b/2a)^2+c-b^2/4ay=a(x+b/2a)^2+(4ac-b^2)/4a即h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a对称轴x=-b/2a顶点坐标(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)二次函数顶点式的几种情况当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到;当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
二次函数顶点公式二次函数顶点公式的求法
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二次函数顶点式二次函数顶点公式：y=a(x-h)²+k(a≠0,a、h、k为常数)，顶点坐标为(h,k)，对称轴为直线x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax²的图像相同，当x=h时，y最大(小)值=k。
具体情况当h>0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向右平行移动h个单位得到;当h<0时，y=a(x-h)²的图像可由抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位得到;当h>0,k>0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向上移动k个单位，就可以得到y=a(x-h)²+k的图象;当h>0,k<0时，将抛物线y=ax²向右平行移动h个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;当h<0,k>0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象;当h<0,k<0时，将抛物线y=ax²向左平行移动|h|个单位，再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)²+k的图象。
二次函数顶点公式的求法二次函数的顶点式方程可以通过配方法求出假设这个二次函数的普通表达式是：y=ax²+bx+c，(a≠0)进行配方，方法如下：1、提出系数a，y=a(x²+bx/a)+c;2、配方，配一次项系数的一半的平方，y=a(x²+bx/a+b²/4a²)+c-b²/4a;3、化简，y=a[x+b/(2a)]²-(b²-4ac)/(4a);，对称轴是c=-b/(2a)，顶点坐标是：(-b/(2a)，-(b²-4ac)/(4a));二次函数的基本表示形式为y=ax²+bx+c(a≠0)。
二次函数图像
二次函数图像二次函数是一种常见的代数函数，可以用来描述抛物线的形状。
它的一般形式可以表示为y = ax^2 + bx + c。
其中，a、b和c是常数，且a不等于零。
二次函数的图像呈现出拱形或凹形，形状取决于参数a的正负值。
当a大于零时，图像是面向上的拱形，又称为凹向上的抛物线；当a小于零时，图像是面向下的拱形，又称为凹向下的抛物线。
通过改变a、b和c的值，可以调整二次函数的图像位置和形状。
下面将详细介绍二次函数的图像特征和常见变化。
一、二次函数的对称轴和顶点二次函数的对称轴可以通过以下公式求得：x = -b / (2a)。
对称轴是二次函数图像的中轴线，将图像分为两个对称的部分。
对称轴上的点也是图像的顶点。
顶点的纵坐标可以通过将对称轴的x值代入原方程求得，即：y = a*(-b/(2a))^2 + b*(-b/(2a)) + c。
化简后得：y = c - b^2 / (4a)。
二、判别式和零点判别式D可以通过以下公式求得：D = b^2 - 4ac。
判别式D可以帮助我们判断二次函数的零点个数和类型。
当D大于零时，二次函数有两个不同实数的零点；当D等于零时，二次函数有一个重复的实数零点；当D小于零时，二次函数没有实数零点。
计算实数零点可以使用以下公式：x = (-b ± √D) / (2a)。
三、开口方向和极值二次函数的开口方向取决于参数a的正负。
当a大于零时，抛物线开口向上，函数的最小值即为顶点的纵坐标；当a小于零时，抛物线开口向下，函数的最大值即为顶点的纵坐标。
四、图像的平移通过增加或减少常数项c，可以使二次函数的图像上下移动。
当c大于零时，图像向上平移；当c小于零时，图像向下平移。
通过增加或减少线性项b，可以使二次函数的图像左右移动。
当b大于零时，图像向左平移；当b小于零时，图像向右平移。
五、图像的伸缩通过改变参数a的绝对值，可以使二次函数的图像上下翻转。
当|a|大于1时，图像上下翻转，峰值变高，谷底变低；当|a|小于1时，图像上下翻转，峰值变低，谷底变高。
完整版)二次函数公式汇总
完整版)二次函数公式汇总文章中存在的格式错误已被删除，以下是改写后的文章：求解二次函数的顶点、对称轴、解析式和与x轴的交点等问题，是二次函数的基本内容。
下面将对这些问题进行讲解。
1.求解抛物线的顶点和对称轴：抛物线的顶点是（h，k），对称轴是直线x=h。
其中，对称轴在y轴左侧。
2.用待定系数法求二次函数的解析式：二次函数的解析式有三种形式：一般式y=ax2+bx+c、顶点式y=a(x-h)2+k和交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
这三种形式可以互相转化。
但只有当抛物线与x轴有交点时，解析式才可以用交点式表示。
3.求解二次函数的解析式：已知图像上三点或三对x、y的值，通常选择一般式y=ax2+bx+c；已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式y=a(x-h)2+k；已知图像与x轴的交点坐标x1、x2，通常选用交点式y=a(x-x1)(x-x2)。
4.求解抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线y=ax2+bx+c与x轴两交点为A(x1,0)和B(x2,0)，则AB的长度为| x1-x2 |=| (x1+x2)/2 |。
5.求解点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离：点A(x1,y1)和点B(x2,y2)之间的距离为√[(x1-x2)2+(y1-y2)2]。
6.求解直线的斜率：直线的斜率为k=tanα=(y2-y1)/(x2-x1)。
7.求解点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离：点P(x0,y0)到直线ax+by+c=0的距离为d=|ax0+by0+c|/√(a2+b2)。
8.平移口诀：对于二次函数的平移，上加下减，左加右减。
二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达。
其中，关于x轴对称的解析式为y=-ax2-bx-c或y=-a(x-h)2-k，关于y轴对称的解析式为y=ax2-bx+c或y=a(x+h)2-k，关于原点对称的解析式为y=ax2+bx或y=a(x-h)2.当抛物线y=ax2+bx+c关于y轴对称时，解析式变为y=ax2-bx+c。
二次函数常用公式、结论及训练
二次函数常用公式、结论及训练(总10页)-CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1初中函数问题涉及到的常用公式或结论及其训练一、 常用公式或结论（1）横线段的长 = x 大-x 小 =x 右-x 左 =横标之差的绝对值（用于情况不明）。
纵线段的长 = y 大-y 小=y 上-y 下 = 纵标之差的绝对值（用于情况不明）。
（2）点轴距离：点P （x 0 ，y 0）到X 轴的距离为0y ，到Y 轴的距离为o x 。
（3）两点间的距离公式：若A （x 1,y 1），B(x 2,y 2), 则（4）点到直线的距离：点P （x 0 ，y 0）到直线Ax+By+C=0 (其中常数A,B,C 最好化为整系数，也方便计算)的距离为：d（5）中点坐标公式:若A(x 1,y 1)，B （x 2,y 2），则线段AB 的中点坐标为（1212,22x x y y ++）（6）直线的斜率公式：若A （x 1,y 1），B （x 2,y 2）(x 1≠x 2)，则直线AB 的斜率为：1212=AB y y k x x --,（x 1≠x 2） （7）两直线平行的结论： 已知直线l 1: y=k 1x+b 1 ; l 2: y=k 2x+b 2 ①若l 12121x x k -•+2122124)(1x x x x k -+•+221221)()(y y x x -+-2212221)()(x x k x x -+-2212))(1(x x k -+2121x x k -•+2122124)(1x x x x k -+•+•K=030K=1±045K=060-x x 大小-y y 大小(x y 标标，）y 标x 223t t +-243t t ++x 标标（或y 1212,x x y y ++1-3，11，（1）某直线与直线y=2x+3平行，且过点（1，-1），求此直线的解析式。
（2）某直线与直线y=12-x+1平行，且过点（2，3），求此直线的解析式。
对称轴二次函数公式
对称轴二次函数公式对称轴的二次函数公式是y=a(x-h)²+k。
其中，a为抛物线的开口方向和大小，h为抛物线的左右平移的距离，k为抛物线的上下平移的距离。
二次函数的图像是一个抛物线，而对称轴是抛物线上的所有点关于其中一直线对称的轴线。
对称轴是垂直于抛物线的轴线，且通过抛物线的顶点。
对称轴将抛物线分为两个对称的部分。
下面我们将从几个方面来介绍对称轴的二次函数公式。
一、关于对称轴二次函数的一般形式对称轴的二次函数公式的一般形式是y=a(x-h)²+k。
其中，x和y分别表示抛物线上的点的横纵坐标。
二、参数a对抛物线开口方向的影响参数a表示二次函数的开口方向和大小。
如果a>0，则抛物线开口向上；如果a<0，则抛物线开口向下。
当a的绝对值越大时，抛物线的开口越大。
三、参数h对抛物线的平移影响参数h表示抛物线的左右平移的距离。
当h>0时，抛物线向右平移；当h<0时，抛物线向左平移。
四、参数k对抛物线的平移影响参数k表示抛物线的上下平移的距离。
当k>0时，抛物线向上平移；当k<0时，抛物线向下平移。
五、顶点坐标的确定在对称轴的二次函数公式y=a(x-h)²+k中，顶点的坐标为(h,k)。
在二次函数上，顶点是抛物线的最低点或最高点，也是抛物线的对称轴的中点。
六、判断对称轴的方法对称轴是通过抛物线的顶点，并且与抛物线垂直。
可以根据抛物线的形状和参数来判断对称轴的位置。
若二次函数为y=a(x-h)²+k，且a不等于0，那么对称轴的方程为x=h。
七、对称轴与抛物线的关系对称轴将抛物线分成了左右对称的两部分。
抛物线上的任意一点P关于对称轴对称的点P′的坐标可表示为(x,y)和(2h-x,y)，其中h为对称轴的横坐标。
八、实际应用对称轴的二次函数公式在数学中应用十分广泛。
例如，在物理学中，二次函数可以描述抛体运动、自由落体等；在工程学中，二次函数可以描述电磁波的传播、工程建设的曲线等；在经济学中，二次函数可以描述收益曲线、成本曲线等。
二次方程对称轴和顶点的公式
二次方程对称轴和顶点的公式在学习二次函数时，我们经常会遇到求二次方程的对称轴和顶点的问题。
对称轴和顶点是二次函数图像的重要特征，通过它们我们可以更好地理解和分析二次函数的性质。
我们来介绍二次方程的对称轴的求法。
对称轴是指二次函数图像关于某一直线的对称轴线，它将图像分为左右对称的两部分。
对称轴的求法非常简单，只需要利用二次函数的标准形式即可。
二次函数的标准形式为：y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为常数，a ≠ 0。
对称轴的求法是通过将二次函数的x值代入到函数中，求得y值后确定的。
我们知道，对称轴与y轴平行，所以对称轴的方程为x = h，其中h为常数。
那么我们只需要求出h的值即可确定对称轴的方程。
对称轴的公式为：x = -b / (2a)。
接下来，我们来介绍二次方程的顶点的求法。
顶点是二次函数图像的最高点或最低点，是图像的转折点。
顶点的求法也是通过二次函数的标准形式进行计算的。
顶点的x坐标可以通过对称轴的公式得到，即x = -b / (2a)。
将这个x值代入二次函数的标准形式中，即可得到顶点的y坐标。
顶点的公式为：( -b / (2a), f( -b / (2a) ) )，其中f(x)表示二次函数的值。
通过对称轴和顶点的公式，我们可以轻松求得二次方程的对称轴和顶点。
这些信息对于我们分析二次函数的性质和解题非常有帮助。
例如，我们有一个二次方程 y = 2x^2 + 4x + 1。
我们可以先求对称轴的方程。
根据公式，我们有 x = -b / (2a) = -4 / (2*2) = -1。
所以对称轴的方程为 x = -1。
接下来，我们可以求顶点的坐标。
根据公式，我们有( -1, f( -1 ) )。
将x = -1代入二次函数的标准形式中，我们得到y = 2*(-1)^2 + 4*(-1) + 1 = -1。
所以顶点的坐标为 ( -1, -1 )。
通过对称轴和顶点的求法，我们可以得到二次方程的图像关于对称轴对称，且顶点为 (-1, -1)。
初中数学二次函数重要知识点整理
初中数学二次函数重要知识点整理
初中数学二次函数知识点总结
二次函数的三种表达式
一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c为常数，a≠0)
顶点式：y=a(x-h)^2+k[抛物线的顶点P(h，k)]
交点式：y=a(x-x₁)(x-x₂)[仅限于与x轴有交点A(x₁，0)和B(x₂，0)的抛物线]
注：在3种形式的互相转化中，有如下关系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x₁,x₂=(-b±√b^2-4ac)/2a
二次函数与一元二次方程
特别地，二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c，
当y=0时，二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程)，即ax^2+bx+c=0
此时，函数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
二次函数学习需要注意哪些
把握要点(也是中考的考点及要求)
1.理解二次函数概念、性质、含画二次函数的图像。
2.能确定抛物线的开口方向，顶点坐标，对称轴方程，以及抛物线与坐标轴的交点坐标。
3.含根据不同条件确定二次函数的解析式。
4.灵活运用函数思想，数形结合思想解决问题。
学习二次函数注意如下几点
1.函数图像中点的横纵坐标与二条线段之间的转化。
2.函数题目中有关”函数语言“的理解及表达，例如二次函数图象过原点，将二次函数以轴翻折，系数即改变符号等等。
3.当绘画出函数图象后，一定要分析图像的性质及基本图形的特征，例如出现等腰直角三角形，平行四边形等等。
二次函数必背公式
二次函数必背公式一、二次函数的基本概念和性质：二次函数是指形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b和c是常数且a≠0。
基本概念：1.顶点：二次函数的图像是抛物线，最高点或最低点的坐标就是顶点。
2.对称轴：过顶点且垂直于x轴的直线叫做二次函数的对称轴，方程为x=-b/2a。
3.开口方向：二次函数开口向上或向下，由二次函数的系数a的正负号决定。
4. 零点：二次函数与x轴交点的纵坐标为0的点叫做零点，也就是方程ax^2+bx+c=0的解。
性质：1.顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a,f(-b/2a))。
2.对称性：二次函数关于对称轴对称。
3.开口方向：a>0时，开口向上；a<0时，开口向下。
4. 零点的判别式：二次函数的零点个数和判别式Δ=b^2-4ac 的正负有关。
-当Δ>0时，有两个不相等的实根；-当Δ=0时，有两个相等的实根；-当Δ<0时，没有实根。
5.函数的增减性：二次函数在对称轴的两侧关于对称轴对称，其增减性取决于a的正负。
二、二次函数的图像和方程：1.二次函数的图像：-当a>0时，图像开口向上，顶点为最低点；-当a<0时，图像开口向下，顶点为最高点。
2.二次函数的标准方程：y=a(x-h)^2+k，其中(h,k)为顶点坐标。
标准方程可以通过平移坐标轴和顶点坐标变换得到。
3. 二次函数的一般方程：y=ax^2+bx+c。
一般方程可以通过展开和化简标准方程得到。
4.二次函数的顶点坐标：通过一般方程求解顶点坐标的公式是：(-b/2a,f(-b/2a))。
三、二次函数的相关求解方法：1.求顶点坐标：直接使用公式(-b/2a,f(-b/2a))即可求解函数的顶点坐标。
2.求对称轴方程：对称轴的方程为x=-b/2a。
3.求零点：零点即为方程 ax^2+bx+c=0 的解，通过求解二次方程可以得到。
4.求最值：-当a>0时，函数的最小值为顶点的纵坐标；-当a<0时，函数的最大值为顶点的纵坐标。