高二理科数学第二学期期末考试试卷(含答案)
第二学期高二数学理科期末考试试卷 试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹第二学期高二数学理科期末考试试卷2021．6本卷须知：1．本套试卷分为必答局部与选答局部．考试时间是是120分钟．2．必答局局部第一卷〔选择题〕和第二卷〔非选择题〕，一共4页，总分值是120分．3．请将必答局部中的第一卷之答案填涂在答题卡上，第二卷的解答写在答题卷上．在套本套试卷上答题无效．4．选答局部在四个模块中选两个模块答题．一共2页，总分值是40分．必答局部第一卷〔选择题一共40分〕一、选择题：本大题一一共8小题，每一小题5分，一共40分．在每一小题给出的四个选项里面，只有一项为哪一项哪一项符合题目要求的．1． 复数34i +的一共轭复数是A ．34i -B ．34+iC ．34i -+D ．34i --2． 下面是一个算法的伪代码．假设输入的x 的值是20，那么输出的y 的值是C ．20D ．153． )，且⊥a b ，那么实数x 的值是C ．103-D ．1034． m ，n ∈R ，那么“0m n ⋅<〞是“方程122=+ny m x 表示双曲线〞的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5． 用0，1，2，3，4五个数字，可组成无重复数字的三位偶数的个数是A ．48B ． 30C ．18D ．126． {(,)|6,0,0}x y x y x y Ω=+≤≥≥，{(,)|4,0,20}A x y x y x y =-≤≥≥，假设向区域Ω内随机投一点P ，那么点P 落入区域A 的概率为A ．29B ．23C ．13D ．147． 设2,[0,1],()2,(1,2].x x f x x x ⎧∈=⎨-∈⎩那么20()f x dx ⎰等于 A ．34B ．45C ．56D ．678． 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，假设点P 到直线BC的间隔等于点P 到直线C 1D 1的间隔，那么动点P 的轨迹是A ．线段B ．圆的一局部C ．双曲线的一局部D ．抛物线的一局部第二卷〔非选择题，一共80分〕二、填空题：本大题一一共4小题，每一小题5分，一共20分．把答案填在答卷相应位置上．9． “x ∀∈R ，210x x ++>〞的否认是▲．10．在26(1)(1)(1)x x x ++++⋅⋅⋅++的展开式中，x 项的系数是▲．〔用数字答题〕 11．观察以下等式：1=12，2+3+4=32，3+4+5+6+7=52，4+5+6+7+8+9+10=72，……由此归纳，可得到一般性的结论是▲．12．在如下程序框图中，输入0()cos f x x =，那么输出的是▲．1A A三、解答题：本大题一一共4小题，一共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤．13．〔本小题总分值是15分，第一小问总分值是7分，第二小问总分值是4分，第三小问总分值是4分〕从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数． 〔Ⅰ〕求ξ的分布列； 〔Ⅱ〕求ξ的数学期望；〔Ⅲ〕求“所选3人中女生人数1ξ≤〞的概率．14．〔本小题总分值是15分，第一小问总分值是6分，第二小问总分值是9分〕 如图，在三棱锥ABC S -中，侧面⊥SAB 底面ABC ，且︒=∠=∠90ABC ASB ，2==SB AS ，23AC =．〔Ⅰ〕求证SA ⊥SC ；〔Ⅱ〕在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式2Sr l=〔其中l 是三角形的周长，S 是三角形的面积〕，常用如下方法〔如右图〕：①以内切圆的圆心O 为顶点，将三角形ABC 分割成三个小三角形：△OAB ，△OAC ，△OBC ． ②设△ABC 三边长分别为a ，b ，c ．由ABC OBC OAC OAB S S S S ∆∆∆∆=++，得111222S ar br cr =++12lr =，那么2S r l=．类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式〔不要求说明类比过程〕，并利用该公式求出三棱锥ABC S -内切球的半径．15．〔本小题总分值是15分，第一小问总分值是6分，第二小问总分值是9分〕设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F 1〔2，0〕，左准线l 1与x 轴交于N 〔3，0〕，过点N 作倾斜角为30°的直线l 交椭圆于两个不同的点A ，B ．CBA SOCBAll 1F 1BA NO yx〔Ⅰ〕求直线l 及椭圆C 的方程；〔Ⅱ〕求证：点F 1在以线段AB 为直径的圆上．16．〔本小题总分值是15分，第一小问总分值是7分，第二小问总分值是8分〕函数()ln f x x =，()g x x =．〔Ⅰ〕假设1x >，求证：1()2()1x f x g x ->+； 〔Ⅱ〕务实数k 的取值范围，使得方程21()2(1||)2g x k f x -=+有四个不同的的实数根．选答局部〔一共40分〕从下面4组问题中任意选择2组答题，3组或者4组都答的只计算前2组每一小题5分．请在答题卷上答题．在套本套试卷上答题无效．1． 如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点，AE 交BC 于F ，那么BF FC的值等于A ．12B ．13C ．14D ．252． 等边△DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，AH ⊥BC 于点H ，BC =4，AH DEF的边长为A ．2B ．34C ．43D 3． 如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，那么∠AQP 的大小为___▲___．4． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC ＝AB ，BC 交⊙O 于点D ．BC ＝4，AD ＝6，那么四边形ABDE 的周长为___▲___． 5． 矩阵A ＝1234⎡⎤⎢⎥⎣⎦的逆矩阵为 A ．213122-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B ．213122-⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎣⎦C ．312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦D ．312221⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦6． 圆221x y +=在矩阵A =2003⎡⎤⎢⎥⎣⎦对应的变换下，得到的曲线的方程是A ．22123x y +=B ．22132x y += C ．22149x y += D ．22194x y += FE DCBAHF EDCB AOQPCBAEODCBA7． 矩阵M 有特征值18λ=及对应的一个特征向量e 1＝11⎡⎤⎢⎥⎣⎦，并有特征值22λ=及对应的一个特征向量e 2＝12⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，那么矩阵M ＝▲． 8． 设a ，b ∈R ，假设M ＝01a b ⎡⎤⎢⎥-⎣⎦所定义的线性变换把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：x ＋y －3＝0，那么a ＋b ＝▲． 第3组9． 参数方程sin ,cos 2x y θθ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕表示的曲线为A ．圆的一局部B ．椭圆的一局部C ．双曲线的一局部D ．抛物线的一局部10．在x 轴正向到y 轴正向的角为60°的斜坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A (3,2)-，B (3,223)+，那么线段AB 的长度为A ．26B ．23C ．6D ． 311．假设直线x +y =m 与圆cos ,sin x m y m ϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩(φ为参数，m >0)相切，那么m 为▲．12．在极坐标系中，曲线C 的方程是32cos ρθ=-，过极点作直线l 与极轴成60°角，设直线l 交曲线C 于P ，Q 两点，那么线段PQ 的长等于▲．第4组13．利用数学归纳法证明不等式1111122n n n n +++>+++〔n >1，n N *〕的过程中，用n =k +1时左边的代数式减去n =k 时左边的代数式的结果为A ．12(1)k +B ．11212(1)k k +++C ．11212(1)k k -++D ．121k + 14．a b c <<，设23x a b c =++，23y a b c =++，32z a b c =++，那么以下不等式正确的选项是A ．x z y >>B ．y x z >> C ．z y x >> D ．x y z >>15．x ，y 均为正实数，且24x y =，那么x y +的最小值等于▲．16．222436,x y kz ++=(其中k >0)且t x y z =++的最大值是7，那么k =▲．[参考答案]一、选择题9．x ∃∈R ,210xx ++≤10．21 11．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-12．sin x ．三、解答题：本大题一一共4小题，一共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 13．〔本小题总分值是15分，第一小问总分值是7分，第二小问总分值是4分，第三小问总分值是4分〕 解：〔Ⅰ〕ξ可能取的值是0，1，2．由题意：(3,2,6)H ξ，2,1,0,)(36342=⋅==-k C C C k P kk ξ． 所以，ξ的分布列为：〔Ⅱ〕解：由〔Ⅰ〕，ξ的数学期望为1512531510=⨯+⨯+⨯=ξE ．〔Ⅲ〕解：由〔Ⅰ〕，“所选3人中女生人数1ξ≤〞的概率为134(1)(0)(1)555P P P ξξξ==+==+=≤．14．〔本小题总分值是15分，第一小问总分值是6分，第二小问总分值是9分〕 〔Ⅰ〕过S 作SO⊥AB ，垂足为O ， ∵侧面⊥SAB 底面ABC ，∴⊥OS 底面ABC ．∵SA =SB ，∴O 为AB 中点．以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系如下列图．C∵︒=∠=∠90ABC ASB ，2==SB AS，AC =∴2AB BC ==，2=OS ，∴A ，C (2,0)，S ．∴(2,0,SA =，(2,SC =-．那么2020SA SC ⋅=-++=．∴SA ⊥SC ．〔Ⅱ〕三棱锥内切球的半径公式为3V r S=〔其中V 为三棱锥的体积，S 为三棱锥的外表积〕．在Rt △SAB 中，SA =SB =2，∴2SABS =．在Rt △ABC 中，AB，AC =BC =2．∴ABCS= 在Rt △SAC 中，SA=2，AC =SC =SACS=(B ，(0,2,0)BC =，(2,0,SB =-，∴0BC SB⋅=，那么BC ⊥SB ．在Rt △SBC 中，SB =2，BC =2．∴2SBCS =．又1433S ABCABC V S SO -∆=⋅=．∴31Vr S==．15．〔本小题总分值是15分，第一小问总分值是6分，第二小问总分值是9分〕〔Ⅰ〕由题意，22222,3,,c ac a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩∴a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩那么椭圆C 的方程为22162x y +=．直线l的方程为3)3y x =+．〔Ⅱ〕椭圆C 的方程即为22360xy +-=，由223),3360,y x x y ⎧=+⎪⎨⎪+-=⎩得22630x x ++=． 设A 11(,)x y ，B 22(,)x y ，那么12123,3.2x x x x +=-⎧⎪⎨=⎪⎩∵111(2,)F A x y =+，122(2,)F B x y =+，∴11F A F B ⋅=1212(2)(2)x x y y +⋅++．∵11(3)3y x =+，223)3y x =+， ∴11F A F B ⋅=12121(2)(2)(3)(3)3x x x x +⋅+++⋅+=131212[49()21]x x x x +++=1(62721)03-+=． ∴11F A F B ⊥．∴点F 1在以线段AB 为直径的圆上．16．〔本小题总分值是15分，第一小问总分值是7分，第二小问总分值是8分〕 〔Ⅰ〕令1()()2()1x F x f x g x -=-+=1ln 21x x x --+，()()()222114()11x F x x x x x -'=-=++．当1x >时，()F x '>0恒成立，∴()F x 在〔1，+∞〕上是增函数．∵()F x 在x =1处连续，∴()F x >(1)F ． ∵(1)F =0，∴当x 〔1，+∞〕时，()F x >0恒成立．∴1()2()1x f x g x ->+．〔Ⅱ〕原方程化为21()2(1||)2g x f x k -+=, 令21()()2(1||)2G x g x f x =-+，那么21()2ln(1||)2G x x x =-+． ∵()()G x G x -=，∴()G x 是偶函数．当x ≥0时，21()2ln(1)2G x x x =-+〔x ≥0〕， 那么2()1G x x x'=-+221x x x +-=+． ∵x ≥0，∴令()0G x '=，得1x =．当x[0，1)，()0G x '<，G (x )单调递减；当x (1，+∞)，()0G x '>，G (x )单调递增． ∴x ≥0时，在x =1处G (x )获得极小值为G (1)=12ln 22-． 又G (0)=0，∴当k (12ln 22-,0)时函数21()2ln(1)2G x x x =-+〔x ≥0〕与y =k 有两个不同的交点． ∵()G x 是偶函数，∴()G x =k 在k (12ln 22-,0)时有四个不同的实数根． 选答局部从下面4组问题中任意选择2组答题，3组或者4组都答的只计算前2．第1组1．A 2．C 3．135°4．184105+5．A6．C．7．6244⎡⎤⎢⎥⎣⎦8．1679．D10．C11．212．16 513．C14．D．15．316．9。
高二理科数学第二学期期末试题(选修)
高二（理科）数学第二学期期末试题（一）（选修2-1,2-2,2-3,4-4）一、选择题(本大题共12个小题，每小题只有一个正确选项。
每小题4分，共48分) 1．复数ii-+11等于（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．12． 8名学生和2位老师站成一排合影，2位老师不相邻的排法种数为（ ）A ．8289A A B.8289A C C.8287A A D.8287A C3．一个物体的位移s (米)和与时间t (秒)的关系为242s t t =-+，则该物体在4秒末的瞬时速度是A ．12米/秒B ．8米/秒C ．6米/秒D ．8米/秒 4.函数x x x f ln )(=，则 （ ）A.在),0(∞上递增；B.在),0(∞上递减；C.在)1,0(e 上递增； D.在)1,0(e上递减 5. 4)21(x -展开式中含x 项的系数 ( ) A ．32 B. 4 C. -8 D. -326.A,B,C,D,E 五人站成一排，如果A,B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同排法种数有（ ） A. 60种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 7．()22sin cos d x x x ππ-+⎰的值为 ( )A ．0B ．2C ．4D ．4π8．点()3,1-P ，则它的极坐标是（ ）A ．⎪⎭⎫⎝⎛3,2π B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛34,2π C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-3,2π D ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-34,2π 9． 设6件产品中有4件合格品2件不合格品，从中任意取2件，则其中至少一件是不合格品的概率为 ( )A ．0.4B ．0.5C ．0.6D ．0.7 10．函数xxy ln =的最大值为（ ） A ．1-e B ．e C ．2e D ．31011．已知函数1)(23--+-=x ax x x f 在R 上是单调函数,则实数a 的取值范围是（ ）A ．),3[]3,(+∞--∞B ．]3,3[-C ．),3()3,(+∞--∞D ．)3,3(- 12．若1001002210100)32(x a x a x a a x ++++=+ ， 则2202410013599()()a a a a a a a a ++++-++++的值为（ ）A ．1B ．1-C ．0D ．2二、填空题(本大题共8个小题，每小题4分，共32分)13．i 为虚数单位，当复数mi m m +-)1(为纯虚数时，实数m 的值为 .14．在2017)32-x （的展开式中，各项系数的和为 ．15．在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为 .16．已知随机变量1(6,)3B ξ，)(ξD 随机变量ξ的方差，则)33(+ξD = .17．若下表数据对应的y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.7yx a =+ ，则a ＝ .18．如图,用5种不同颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个区域涂色,规定一个区域只涂一种颜色, 相邻区域必须涂不同的颜色,不同的涂色方案有 种.19．如图所示的三角形数阵叫“莱布尼兹调和三角形”，它们是由整数的倒数组成的，第n 行有n 个数且两端的数均为1n（n ≥２），其余每个数是它下一行左右相邻两个数的和，如：１１＝１２＋１２，１２＝１３＋１６，１３＝１４＋１１２，．．．．．．，则第7行第4个数（从左往右数）为 .20．的直线的左右焦点，过分别是双曲线1222221)0,0(1:,F b a by a x C F F >>=-l 与双曲线的左右两支分别交于M,N两点。
人教版高二数学下册期末考试理科数学试卷(附答案)
( ) 即 a 2x −1 = 2x −1对一切实数 x 都成立．
∴ a = 1，∴ a = b = 1 ．……5 分
f ( x) 是 R 上的减函数。……6 分
⑵ 不等式 f (t2 − 2t) + f (2t2 − k ) 0等价于 f (t2 − 2t) f (k − 2t2 ) ．
又 f ( x) 是 R 上的减函数，∴ t2 − 2t k − 2t2 ． ……8 分
内碳 14 含量的测量,估计该古墓群应该形成于公元前 850 年左右的西周时期,已
知碳 14 的“半衰期”为 5730 年(即含量大约经过 5730 年衰减为原来的一半)，
由此可知，所测生物体内碳 14 的含量应最接近于（ ）
A．25﹪
B．50﹪
C．70﹪
D．75﹪
11. 对 大 于 1 的 自 然 数 m 的 三 次 幂 可 用 奇 数 进 行 以 下 形 式 的 “ 分 裂 ” ：
地运往 C 地, 现在 AB 上的距点 B 为 x 的点 M 处修一公路至点 C.已知铁路运 费为每公里 2 元,公路运费为每公里 4 元. （1）将总运费 y 表示为 x 的函数. （2）如何选点 M 才使总运费最小？
-5-
-6-
11B-SX-0000001 20. （本小题满分 12 分）
已知数列an 的前 n 项和为 Sn ，且 a1 = 1, Sn = n2an (n N+ )
( ) ( ) ⑵ 若对任意的 t R ，不等式 f t2 − 2t + f 2t2 − k 0恒成立，求实数 k 的取
值范围．
18. （本小题满分 12 分）
为了增强环保意识，某社团从男生中随机抽取了 60 人，从女生中随机抽取了
高二下理科数学期末复习题(含答案)
XX 中学高20XX 级2015-2016学年（下）期末复习题2（理科）一、选择题（60分）1.设点P 对应的复数为i 33+-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系， 则点P 的极坐标可能为( )A. (3，π43) B. (3，π45) C. (23，π43) D. (23,π45) 2.在极坐标系中，圆2sin ρθ=-的圆心的极坐标是( )A. 1,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭B. 1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．(1,0) D ．(1，π)3.有一段 “三段论”推理是这样的：对于可导函数()f x ，若0()0f x '=，则0x x = 是函数()f x 的极值点.因为3()f x x =在0x =处的导数值(0)0f '=，所以0x =是3()f x x =的极值点.以上推理中 （ ）A ．大前提错误B ．小前提错误C ．推理形式错误D ．结论正确 4.若)(x f 在R 上可导,3)2('2)(2++=x f x x f ,则=⎰30)(dx x f ( )A ．16B ．18-C ．24-D ．545.设函数)(x f 在定义域内可导,)(x f y =的图象如下右图所示,则导函数)(x f y '=可能为( )6.设随机变量)4(,)(),,2(2c P a c P N ->=>ξξσξ则若服从正态分布等于 A. a B. a -1 C. a 2 D. a 21-7.()123x x+展开式中含的有理项共有（ ）A. 1项B. 2项C. 3项D. 4项8.某人将英语单词“apple ”记错字母顺序，他可能犯的错误次数最多是(假定错误不重犯)( ) A.60 B.59 C.58 D.579.观察()/22xx =，()/434x x =，()/cos sin x x =-，由归纳推理可得：若定义在R 上的函数()f x 满足()()f x f x -=，记()g x 为()f x 的导函数，则()g x -=（ ） A ．()f x B ．()f x - C ．()g x D ．()g x -10.若一个三位数十位数字比各位数字和百位数字都大，则称这个数为“凸”数，现从0,1，2,3,4，5这六个数中任取三个数，组成无重复数字的三位数，其中“凸”数的概率为（ ） A.38 B.310 C.35 D.3411.若函数()32f x x ax bx c =+++有极值点12,x x ，且()11f x x =，则关于x 的方程()()()2320f x af x b ++=的不同实根的个数是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612.已知函数f (x )= 12a(x )ln x(a R )x --∈，g(x )=ax-，若至少存在一个0x ∈[1，e]，使00f (x )g(x )>成立，则实数a 的范围为( )．A ．[1，+∞)B ．(0，+∞)C ．[0，+∞)D ．(1，+∞)二、填空题（20分）13.甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生面试，若甲、乙能通过面试的概率分别是和，则面试结束后通过的人数ξ的数学期望Eξ是 ．14.若2014220140122014(12)x a a x a x a x -=++++，则0102()()a a a a +++++02014()a a += ；15.椭圆的标准方程为12222=+b y a x （0>>b a ），圆的标准方程)0(222>=+r r y x ，即12222=+ry r x ，类比圆的面积2r S π=推理得椭圆的面积=S 。
高二数学下学期期末考试试卷含答案(共3套)
高二年级下学期期末考试数学试卷(考试时间：120分钟；满分：150分)一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设103iZ i=+，则Z 的共轭复数为( ) A ．13i -+ B ．13i -- C ．13i + D ．13i -2．6把椅子摆成一排，3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为( ) A ．144 B ．120 C ．72 D ．243．已知(1,21,0),(2,,),a t t b t t b a =--=-则的最小值是( )A B C D4．已知正三棱锥P ABC -的外接球O 的半径为1，且满足0,OA OB OC ++=则正三棱锥的体积为( )A ．4 B ．34C ．2D ．4 5．已知函数(),1,x xf x a b e=-<<且则( ) A ．()()f a f b = B ．()()f a f b <C ．()()f a f b >D ．()()f a f b ，大小关系不能确定 6．若随机变量~(,),X B n p 且()6,()3,(1)E X D X P X ===则的值为( ) A ．232-• B ．42- C ．1032-• D ．82-7．已知10件产品有2件是次品．为保证使2件次品全部检验出的概率超过0.6，至少应抽取作检验的产品件数为( )A ．6B ．7C ．8D ．98．若2211S x dx =⎰，2211S dx x =⎰，231x S e dx =⎰，则123,,S S S 的大小关系为( )A ．123S S S <<B ．213S S S <<C ．231S S S <<D ．321S S S <<9．平面内有n 条直线，最多可将平面分成()f n 个区域，则()f n 的表达式为( )A ．1n +B ．2nC ．222n n ++ D ．21n n ++10．设m 为正整数，2()m x y +展开式的二项式系数的最大值为a ，21()m x y ++展开式的二项式系数的最大值为b .若137a b =，则m =( )A ．5B ．6C ．7D ．811．已知一系列样本点(,)i i x y (1,2,3,i =…,)n 的回归直线方程为ˆ2,yx a =+若样本点(,1)(1,)r s 与的残差相同，则有( )A ．r s =B ．2s r =C ．23s r =-+D ．21s r =+12．设点P 在曲线12x y e =上，点Q 在曲线(2)y ln x =上，则PQ 的最小值为( )A ．12ln - B2)ln - C ．12ln + D2)ln + 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知复数5()12iz i i =+是虚数单位，则z =__________；14．直线21cos ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为__________； 15．二项式822x y 的展开式中，的系数为__________； 16．已知11()123f n =+++…*15(),(4)2,(8),(16)32n N f f f n +∈>>>经计算得，7(32),2f >则有__________(填上合情推理得到的式子)．三、解答题（本大题共6小题，17小题10分， 18-22题每小题12分，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．已知曲线C 的极坐标方程是2()3cos πρθ=+，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，且取相等的单位长度，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程是1,()2x t t y =--⎧⎪⎨=+⎪⎩是参数，设点(1,2)P -． (Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，将直线l 的参数方程化为普通方程； (Ⅱ)设直线l 与曲线C 相交于,M N 两点，求PM PN •的值．18．我校为了解学生喜欢通用技术课程“机器人制作”是否与学生性别有关，采用简单随机抽列联表：已知从该班随机抽取1人为喜欢的概率是3．(Ⅰ)请完成上面的22⨯列联表；(Ⅱ)根据列联表的数据，若按90%的可靠性要求，能否认为“喜欢与否和学生性别有关”？请说明理由．22(),()()()()n ad bc K n a b c d a b c d a c b d -==+++++++（参考公式：其中）19．在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设123,,a a a 分别表示甲，乙，丙3个盒中的球数． (Ⅰ)求1232,1,0a a a ===的概率；(Ⅱ)记12,a a ξ=+求随机变量ξ的概率分布列和数学期望．20．已知数列1111{},,21n n nx x x x +==+满足 其中n N *∈ . （Ⅰ）写出数列{}n x 的前6项；（Ⅱ）猜想数列2{}n x 的单调性，并证明你的结论.21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是梯形，//AD BC ，,AD BC >090BAD ∠=，,,PA ABCD PA AB ⊥=底面点E PB 是的中点． (Ⅰ)证明：PC AE ⊥；(Ⅱ)若1,3,AB AD PA ==且与平面PCD 所成角的大小为045，求二面角A PD C --的正弦值．22．已知函数(),()()ln xg x f x g x ax x==-. （Ⅰ）求函数()g x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在()1,a +∞上是减函数，求实数的最小值；（Ⅲ）若21212,[,],()()(0)x x e e f x f x a a '∃∈≤+>使成立，求实数a 的取值范围.下学期高二年级期末考试数学参考答案一、选择题二、填空题13．14． 15．70 16．*2(2)(2,)2n n f n n N +>≥∈ 三、解答题17．解：(Ⅰ) 曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程为：22x y x +=- ，即221()(122xy -++= ；直线l 20y ++= ．(Ⅱ) 直线l 的参数方程化为标准形式为11,2()22x m m y m ⎧=--⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩是参数，①将①式代入22x y x +=，得：23)60m m +++= ，②由题意得方程②有两个不同的根，设12,m m 是方程②的两个根，由直线参数方程的几何意义知：12PM PN m m •=•=6+． (Ⅱ)根据列联表数据，得到2260(1422618) 3.348 2.706,32282040K ⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯ 所以有90%的可靠性认为“喜欢与否和学生性别有关”．19．解：由题意知，每次抛掷骰子，球依次放入甲,乙,丙盒中的概率分别为111,,632．(Ⅰ) 由题意知，满足条件的情况为两次掷出1点，一次掷出2点或3点，121233111(2,1,0)()()6336p p a a a C ====== ．(Ⅱ) 由题意知，ξ可能的取值是0，1，2，3 ．1231(0)(0,0,3),8p p a a a ξ======12121231233311113(1)(0,1,2)(1,0,2)()()()()32628p p a a a p a a a C C ξ=====+====+=123123123(2)(2,0,1)(1,1,1)(0,2,1)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===1231233311111113()()()()()()()62632328C A C =++=123123123(3)(0,3,0)(1,2,0)(2,1,0)p p a a a p a a a p a a a ξ=====+===+===+1231(3,0,0)8p a a a ====．故ξ的分布列为：期望()012388882E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯= ．20．解：（Ⅰ）由121112,213x x x ===+得； 由232213,315x x x ===+得； 由343315,518x x x ===+得； 由454518,8113x x x ===+得； 由5658113,13121x x x ===+得； （Ⅱ）由（Ⅰ）知246,x x x >>猜想：数列2{}n x 是递减数列. 下面用数学归纳法证明：①当1n =时，已证命题成立；②假设当n k =时命题成立，即222k k x x +>. 易知20k x >，当1n k =+时，2224k k x x ++- 21231111k k x x ++=-++23212123(1)(1)k k k k x x x x ++++-=++22222122230(1)(1)(1)(1)k k k k k k x x x x x x ++++-=>++++即2(1)2(1)2k k x x +++>.也就是说，当1n k =+时命题也成立.根据①②可知，猜想对任何正整数n 都成立.21． 解：解法一（向量法）：建立空间直角坐标系A xyz -，如图所示．根据题设，可设(,0,0),(0,,0),(0,0,),(,,0)D a B b P b C c b ， （Ⅰ）证明：0,,22b b AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭，(,,)PC c b b =-， 所以0()022bb AE PCc b b ⋅=⨯+⋅+⋅-=， 所以AE PC ⊥，所以PC AE ⊥．（Ⅱ）解：由已知，平面PAD 的一个法向量为(0,1,0)AB =． 设平面PCD 的法向量为(,,)m x y z =， 由0,0,m PC m PD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,00,cx y z y z +-=⎧⎪+⋅-=令1z =，得11m ⎫=⎪⎭．而(0,0,1)AP =，依题意PA 与平面PCD 所成角的大小为45︒，所以||sin 45||||m AP m AP ⋅︒==，即=，解得32BC c =（32BC c ==去），所以2133m ⎛⎫=⎪⎪⎭． 设二面角A PD C --的大小为θ，则233cos ||||12133m ABm AB θ⋅===++， 所以6sin θ，所以二面角A PD C --的正弦值为6． 解法二（几何法）：（Ⅰ）证明：因为PA ⊥平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，所以BC PA ⊥． 又由ABCD 是梯形，AD BC ∥，90BAD ∠=︒，知BC AB ⊥，而AB AP A =，AB ⊂平面PAB ，AP ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ． 因为AE ⊂平面PAB ，所以AE BC ⊥．又PA AB =，点E 是PB 的中点，所以AE PB ⊥．因为PB BC B =，PB ⊂平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，所以AE ⊥平面PBC ． 因为PC ⊂平面PBC ，所以AE PC ⊥． （Ⅱ）解：如图4所示，过A 作AF CD ⊥于F ，连接PF ， 因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以CD PA ⊥，则CD ⊥平面PAF ，于是平面PAF ⊥平面PCD ，它们的交线是PF ． 过A 作AG PF ⊥于G ，则AG ⊥平面PCD ， 即PA 在平面PCD 上的射影是PG ，所以PA 与平面PCD 所成的角是APF ∠．由题意，45APF ∠=︒． 在直角三角形APF 中，1PA AF ==，于是2AG PG FG ===． 在直角三角形ADF 中，3AD ，所以2DF = 方法一：设二面角A PD C --的大小为θ， 则2232cos 13PDG APDS PG DF S PA AD θ⋅===⋅⨯△△，所以sin θ，所以二面角A PD C --方法二：过G 作GH PD ⊥于H ，连接AH ，由三垂线定理，得AH PD ⊥，所以AHG ∠为二面角A PD C --的平面角， 在直角三角形APD中，2PD =，PA AD AH PD ⋅===． 在直角三角形AGH中，sin AG AHG AH ∠===， 所以二面角A PD C --22．解：由已知，函数()g x ，()f x 的定义域为(0,1)(1,),+∞ 且()ln xf x ax x=-. （Ⅰ）函数221ln ln 1()(ln )(ln )x x x x g x x x -⋅-'==， 当01()0x e x g x '<<≠<且时，；当()0x e g x '>>时，.所以函数()g x 的单调减区间是(0,1),(1,),()e e +∞增区间是，. （Ⅱ）因()f x 在(1,)+∞上为减函数，故2ln 1()0(ln )x f x a x -'=-≤在(1,)+∞上恒成立. 所以当(1,)x ∈+∞时，max ()0f x '≤. 又222ln 111111()()(),(ln )ln ln ln 24x f x a a a x x x x -'=-=-+-=--+- 故当11,ln 2x =即2x e =时，max 1()4f x a '=-. 所以1110,,444a a a -≤≥于是故的最小值为.（Ⅲ）命题“若21212,[,],()()x x e e f x f x a '∃∈≤+使成立”等价于 “当2min max [,],()()x e e f x f x a '∈≤+时有” . 由（Ⅱ）知，当2max max 11[,],(),()44x e e f x a f x a ''∈=-∴+=时有.问题等价于：“2min 1[,],()4x e e f x ∈≤当时有” .① 当14a ≥时，由（Ⅱ）知，2()[,]f x e e 在上为减函数，则222min2111()(),2424e f x f e ae a e==-≤≥-故 .②当104a <<时，由于2111()()ln 24f x a x '=--+-在2[,]e e 上为增函数，故21()(),(),4f x f e f e a a '''的值域为[],即[--] .由()f x '的单调性和值域知，200,,()0x e e f x '∃∈=唯一()使，且满足：当0,,()0,()x e x f x f x '∈<()时为减函数； 当20,,()0,()x x e f x f x '∈>()时为增函数； 所以，20min 00001()(),(,)ln 4x f x f x ax x e e x ==-≤∈ . 所以，2001111111,ln 4ln 4244a x x e e ≥->->-= 与104a <<矛盾，不合题意. 综上，得21124a e ≥-.高二年级第二学期期末考试数学试题一、选择题（每小题5分，共50分）1.已知集合{}322+<=x x x M ，{}2<=x x N ，则=⋂N M ( )A ．(-1，2)B ．(-3，2)C ．(-3，1)D ．(1，2)2.欧拉公式x i x e ix sin cos +=（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天骄”。
高二下学期期末考试数学理科试题答案试题
卜人入州八九几市潮王学校二零二零—二零二壹下期期末统一检测高二数学试题(理科)参考答案及评分意见一．选择题〔50分〕 CDCADCDCBD二．填空题〔25分〕11. 11611x －y －4＝0.15.①②④ 三．解答题〔75分〕 16.〔12分〕解令x ＝1，那么a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝－1. ①.......................2分令x ＝－1，那么a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＝37.②.......................6分(1)∵a 0＝C ＝1，..............................................8分 ∴a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7＝－2........................................10分 (2)(①＋②)÷2， 得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝＝1093......................................................................12分 17.〔12分〕 解：〔1〕-.3006-100080030010-100020005006-1000200050010-10004000800,2000,4000.(800)0.50.40.2,(2000)0.50.60.50.40.5,(4000)0.50.60.3X X p X p X p X =⨯⨯=⨯=⨯=⨯===⨯===⨯+⨯===⨯=利润产量价格成本考虑产量和价格，利润可以取，，，，即三个X 的分布列如下表：.............................................8分 〔2〕.............................................................12分 18.〔12分〕解：(1)f ′(x )＝3x 2－x ＋b ，因f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数， 那么f ′(x )≥0，即3x 2－x ＋b ≥0，∴b ≥x －3x 2在(－∞，＋∞)上恒成立．...........................3分 设g (x )＝x －3x 2.当x ＝时，g (x )max ＝，∴b ≥......................................6分 (2)由题意知f ′(1)＝0，即由〔1〕得3－1＋b ＝0，∴b ＝－2.............7分x ∈[－1,2]时，f (x )<c 2恒成立，只需f (x )在[－1,2]上的最大值小于c 2即可．因f ′(x )＝3x 2－x －2，令f ′(x )=0，得x ＝1或者x ＝－.f ′(x )>0,得x 2(,)3∈-∞-或者x (1,)∈∞,f ′(x )<0,得x 2(,1)3∈-即f(x)在x ＝－处取极大值...................................10分.. 又)32(-f ＝＋c ，f (2)＝2＋c .∴f (x )max ＝f (2)＝2＋c ，∴2＋c <c 2.解得c >2或者c <－1，所以c 的取值范围为(－∞，－1)∪(2，＋∞)．........................12分 19.〔12分〕解：〔1〕设AD 中点为O ，连接PO∆PAD 为等边三角形，且边长为2 ∴PO ⊥AD ，PO ＝3ODCBA Pzyx又 面PAD ⊥面ABCD 于AD∴PO ⊥面ABCD∴PO 为点P 到平面ABCD 的间隔，即P 到平面ABCD 的间隔为3...............6分连接BO ， ABCD 是菱形，且∠BAD ＝60，O 为AD 中点，∴BO ⊥AD∴以O 为坐标原点，OA 、OB 、OP 分别为z y x ,,轴，建立如下列图的空间直角坐标系，那么有A(1，0，0)、P 〔0，0，3〕、B 〔0，3，0〕、C 〔－2，3，0〕. 设APB 平面的法向量为()z y x n ,,1=()0,3,1-=AB ，()3,0,1-=AP⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+-∴zx y x z x y x 33,0303，∴可取()1,1,31=n同理，可取平面PAC 的法向量()1,1,02=n 设二面角A —PB －C 的平面角为θ，那么510252cos =⋅==θ 由图可知，二面角A —PB －C 的平面角是钝角∴二面角A —PB －C 的平面角的余弦值为510-……………………………………….12分 20.〔13分〕解(1)F (x )＝ax 2－2ln x ，其定义域为(0，＋∞)，∴F ′(x )＝2ax －＝2(ax 2−1)x(x >0)．………………………………………2分①当a >0时，由ax 2－1>0，得x >. 由ax 2－1<0，得0<x <. 故当a >0时，F (x )在区间⎪⎭⎫⎝⎛+∞,1a 上单调递增，在区间⎪⎭⎫⎝⎛a 1,0上单调递减．…………………………………………………6分 ②当a ≤0时，F ′(x )<0(x >0)恒成立．故当a ≤0时，F (x )在(0，＋∞)上单调递减．……………………………8分 (2)原式等价于方程a ＝＝φ(x )在区间[，e]上有两个不等解．∵φ′(x )＝2x (1−2lnx )x 4>0,∴φ(x )在(，)上为增函数，在(，e)上为减函数，那么φ(x )max ＝φ()＝，……………………………10分 而φ(e)＝<＝＝φ()． ∴φ(x )min ＝φ(e)， 如图当f (x )＝g (x )在[，e]上有两个不等解时有φ(x )min ＝，……………………………12分a 的取值范围为≤a <.………………………………………………..13分21.〔14分〕解：〔1〕函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1．……………………………1分理由如下：因为()e sin cos x f x x x =-，所以()e sin e cos sin x x f x x x x '=++．……………………2分 因为π02x <<，所以()0f x '>， 所以函数()f x 在π(0,)2上是单调递增函数． ················· 3分因为(0)10f =-<，π2π()e 02f =>，根据函数零点存在性定理得函数()y f x =在π(0,)2上的零点的个数为1． ················· 4分〔2〕因为不等式12()()f x g x m +≥等价于12()()f x m g x -≥，所以12ππ[0,],[0,]22x x ∀∈∃∈，使得不等式12()()f x g x m +≥成立，等价于()1min 2min ()()f x m g x -≥，即1min 2max ()()f x m g x -≥． ············· 6分当π[0,]2x ∈时，()e sin e cos sin 0x x f x x x x '=++>，故()f x 在区间π[0,]2上单调递增，所以0x =时，()f x 获得最小值1-． ······················ 7分又()cos sin x g x x x x '=-，由于0cos 1,sin x x x x ≤≤≥所以()g x '0<，故()g x 在区间π[0,]2上单调递减，因此，0x =时，()g x 获得最大值． ·················· 8分所以(1m --≥，所以21m --≤．所以实数m 的取值范围是(,1-∞-． ·················· 9分 〔3〕当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证()()f x g x >只要证e sin cos cos x x x x x x ->，只要证(()e sin 1cos x x x x >+，由于sin 0,10x x +>+>，只要证e1x x >+． ··········· 10分 下面证明1x >-时，不等式e1x x +成立． 令()()e 11x h x x x =>-+，那么()()()()22e 1e e 11x x xx x h x x x +-'==++， 当()1,0x ∈-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当()0,x ∈+∞时，()0h x '>，()h x 单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 获得极小值也就是最小值为1．令k ，其可看作点()sin ,cos A x x 与点()B 连线的斜率，所以直线AB 的方程为：(y k x =，由于点A 在圆221x y +=上，所以直线AB 与圆221x y +=相交或者相切， 当直线AB 与圆221x y +=相切且切点在第二象限时，直线AB 获得斜率k 的最大值为1． ···················· 12分故0x =时，()10k h <=；0x ≠时，()1h x k >≥．··········· 13分 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立． …………………………………14分。
高二数学第二学期期末试卷 理(含解析)-人教版高二全册数学试题
2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤34．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=15．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 76．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞18．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2} 11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 812．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．2014-2015学年某某省某某市满城中学高二（下）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1．若直线的参数方程为（t为参数），则直线的倾斜角为（）A． 30° B． 60° C． 120° D． 150°考点：直线的参数方程．专题：直线与圆．分析：设直线的倾斜角为α，则α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．可得直线的斜率，即可得出．解答：解：设直线的倾斜角为α，α∈[0°，180°）．由直线的参数方程为（t为参数），消去参数t可得．∴直线的斜率，则直线的倾斜角α=150°．故选D．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、直线的斜率与倾斜角的关系，属于基础题．2．“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的（）A．充要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：不等式的解法及应用．分析：因为“x2﹣x＞0”可以求出x的X围，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：∵x2﹣2x＜0⇔0＜x＜2，若0＜x＜2可得0＜x＜4，反之不成立．∴“x2﹣2x＜0”是“0＜x＜4”的充分非必要条件，故选B．点评：此题主要考查一元二次不等式的解法，以及充分必要条件的定义，是一道基础题；3．若命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值X围为（） A． a＞3或a＜﹣1 B． a≥3或a≤﹣1 C．﹣1＜a＜3 D．﹣1≤a≤3考点：特称命题．分析：根据所给的特称命题写出其否定命题：任意实数x，使x2+ax+1≥0，根据命题否定是假命题，得到判别式大于0，解不等式即可．解答：解：∵命题“存在x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是“任意实数x，使x2+ax+1≥0”命题否定是真命题，∴△=（a﹣1）2﹣4≤0，整理得出a2﹣2a﹣3≤0∴﹣1≤a≤3故选D．点评：本题考查命题的否定，解题的关键是写出正确的全称命题，并且根据这个命题是一个真命题，得到判别式的情况．4．在极坐标系中圆ρ=2cosθ的垂直于极轴的两条切线方程分别为（）A．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=2 B．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=2C．θ=（ρ∈R）和ρcosθ=1 D．θ=0（ρ∈R）和ρcosθ=1考点：简单曲线的极坐标方程；圆的切线方程．专题：直线与圆．分析：利用圆的极坐标方程和直线的极坐标方程即可得出．解答：解：如图所示，在极坐标系中圆ρ=2cosθ是以（1，0）为圆心，1为半径的圆．故圆的两条切线方程分别为（ρ∈R），ρcosθ=2．故选B．点评：正确理解圆的极坐标方程和直线的极坐标方程是解题的关键》5．若x，y∈R且满足x+3y=2，则3x+27y+1的最小值是（）A． B． C． 6 D． 7考点：基本不等式．专题：计算题．分析：将x用y表示出来，代入3x+27y+1，化简整理后，再用基本不等式，即可求最小值．解答：解：由x+3y﹣2=0得x=2﹣3y代入3x+27y+1=32﹣3y+27y+1=+27y+1∵，27y＞0∴+27y+1≥7当=27y时，即y=，x=1时等号成立故3x+27y+1的最小值为7故选D．点评：本题的考点是基本不等式，解题的关键是将代数式等价变形，构造符合基本不等式的使用条件．6．不等式||＞a的解集为M，又2∉M，则a的取值X围为（）A．（，+∞） B． [，+∞） C．（0，） D．（0，]考点：绝对值不等式的解法．专题：综合题．分析：本题为含有参数的分式不等式，若直接求解，比较复杂，可直接由条件2∉M出发求解．2∉M即2不满足不等式，从而得到关于a的不等关系即可求得a的取值X围．解答：解：依题意2∉M，即2不满足不等式，得：||≤a，解得a≥，则a的取值X围为[，+∞）．故选B．点评：本题考查绝对值不等式的解法和等价转化思想，属于基础题．7．如果关于x的不等式|x﹣3|+|x﹣4|＜a的解集不是空集，则实数a的取值X围是（） A． 0＜a≤1 B． a≥1 C． 0＜a＜1 D． a＞1考点：绝对值不等式的解法．专题：函数的性质及应用．分析：利用绝对值的意义求得|x﹣3|+|x﹣4|的最小值为1，再结合条件求得实数a的取值X围．解答：解：|x﹣3|+|x﹣4|表示数轴上的x对应点到3、4对应点的距离之和，它的最小值为1，故a＞1，故选：D．点评：本题主要考查绝对值的意义，属于基础题．8．极坐标系中，圆ρ=2cosθ与直线2ρcos（θ+）=﹣1的位置关系为（）A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，再与半径比较大小即可得出．解答：解：圆ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为x2+y2=2x，配方为（x﹣1）2+y2=1，∴圆心C （1，0），半径r=1．直线2ρcos（θ+）=﹣1展开为=﹣1，化为x﹣y+1=0．∴圆心C到直线的距离d==1=r．∴直线与圆相切．故选：B．点评：本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程的方法、点到直线的距离公式、直线与圆的位置关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．下列说法中正确的是（）A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题为假命题B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1＞0”C．设x，y为实数，则“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件D．若“p∧q”为假命题，则p和q都是假命题考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由指数函数的单调性和命题的否命题，即可判断A；由含有一个量词的命题的否定，即可判断B；运用对数函数的单调性和充分必要条件的定义，即可判断C；由复合命题的真假，结合真值表，即可判断D．解答：解：A．命题“若x＞y，则2x＞2y”的否命题是“若x≤y，则2x≤2y”是真命题，故A错；B．命题“∃x∈R，使得x2+x+1＜0”的否定为“∀x∈R，满足x2+x+1≥0”，故B错；C．设x，y为实数，x＞1可推出lgx＞lg1=0，反之，lgx＞0也可推出x＞1，“x＞1”是“lgx＞0”的充要条件，故C正确；D．若“p∧q”为假命题，则p，q中至少有一个为假命题，故D错．故选C．点评：本题主要考查简易逻辑的基础知识：四种命题及关系、命题的否定、充分必要条件和复合命题的真假，注意否命题与命题的否定的区别，是一道基础题．10．如图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A={x|y=}，B={y|y=3x，x＞0}，则A#B=（）A． {x|0＜x＜2} B． {x|1＜x≤2} C． {x|0≤x≤1或x≥2} D． {x|0≤x≤1或x＞2}考点： Venn图表达集合的关系及运算．专题：计算题；新定义．分析：利用函数的定义域、值域的思想确定出集合A，B是解决本题的关键．弄清新定义的集合与我们所学知识的联系：所求的集合是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合．解答：解：依据定义，A#B就是指将A∪B除去A∩B后剩余的元素所构成的集合；对于集合A，求的是函数的定义域，解得：A={x|0≤x≤2}；对于集合B，求的是函数y=3x（x＞0）的值域，解得B={y|y＞1}；依据定义，借助数轴得：A#B={x|0≤x≤1或x＞2}，故选D．点评：本小题考查数形结合的思想，考查集合交并运算的知识，借助数轴保证集合运算的准确定．11．若n＞0，则n+的最小值为（）A． 2 B． 4 C． 6 D． 8考点：平均值不等式．专题：计算题；转化思想．分析：利用题设中的等式，把n+的表达式转化成++后，利用平均值不等式求得最小值．解答：解：∵n+=++∴n+=++（当且仅当n=4时等号成立）故选C点评：本题主要考查了平均值不等式求最值．注意把握好一定，二正，三相等的原则．12．已知a，b，c为三角形的三边且S=a2+b2+c2，P=ab+bc+ca，则（）A． S≥2P B． P＜S＜2P C． S＞P D． P≤S＜2P考点：基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：由于a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，可得ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，可得SP ＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，可得S≥P，即可得出．解答：解：∵a+b＞c，a+c＞b，c+b＞a，∴ac+bc＞c2，ab+bc＞b2，ac+ab＞a2，∴2（ac+bc+ab）＞c2+b2+a2，∴SP＞S．又2S﹣2P=（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2≥0，∴S≥P＞0．∴P≤S＜2P．故选：D．点评：本题考查了基本不等式的性质、三角形三边大小关系，考查了变形能力与计算能力，属于中档题．二.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把最简答案填在题后横线上）13．不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集为{x|﹣1＜x＜1} ．考点：绝对值不等式的解法．专题：计算题；转化思想．分析：首先分析题目求不等式|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0的解集，可以考虑平方去绝对的方法，先移向，平方，然后转化为求解一元二次不等式即可得到答案．解答：解：|2x﹣1|﹣|x﹣2|＜0移向得：丨2x﹣1丨＜丨x﹣2丨两边同时平方得（2x﹣1）2＜（x﹣2）2即：4x2﹣4x+1＜x2﹣4x+4，整理得：x2＜1，即﹣1＜x＜1故答案为：{x|﹣1＜x＜1}．点评：此题主要考查绝对值不等式的解法的问题，其中涉及到平方去绝对值的方法，对于绝对值不等式属于比较基础的知识点，需要同学们掌握．14．在平面直角坐标系xOy中，若直线l：，（t为参数）过椭圆C：（θ为参数）的右顶点，则常数a的值为 3 ．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆锥曲线的关系．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：直接划参数方程为普通方程得到直线和椭圆的普通方程，求出椭圆的右顶点，代入直线方程即可求得a的值．解答：解：由直线l：，得y=x﹣a，再由椭圆C：，得，①2+②2得，．所以椭圆C：的右顶点为（3，0）．因为直线l过椭圆的右顶点，所以0=3﹣a，所以a=3．故答案为3．点评：本题考查了参数方程和普通方程的互化，考查了直线和圆锥曲线的关系，是基础题．15．已知集合A={﹣1，1}，B={x|ax+1=0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1} ．考点：集合的包含关系判断及应用．专题：阅读型．分析：根据B⊆A，利用分类讨论思想求解即可．解答：解：当a=0时，B=∅，B⊆A；当a≠0时，B={﹣}⊆A，﹣=1或﹣=﹣1⇒a=1或﹣1，综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣1，0，1}．故答案是{﹣1，0，1}．点评：本题考查集合的包含关系及应用．16．已知p：|x﹣3|≤2，q：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，若￢p是￢q的充分而不必要条件，则实数m的取值X围为[2，4] ．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：先求出命题p，q的等价条件，然后利用p是￢q的必要非充分条件，建立条件关系即可求出m的取值X围．解答：解：∵log2|1﹣|＞1；∴：|x﹣3|≤2，即﹣2≤x﹣3≤2，∴1≤x≤5，设A=[1，5]，由：（x﹣m+1）（x﹣m﹣1）≤0，得m﹣1≤x≤m+1，设B=[m﹣1，m+1]，∵￢p是￢q的充分而不必要条件，∴q是p的充分而不必要条件，则B是A的真子集，即，∴，即2≤m≤4，故答案为：[2，4]．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的应用，根据不等式的性质求出命题p，q的等价条件是解决本题的关键．三.解答题（本大题共6小题，70分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）17．⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为ρ=4coθ，ρ=﹣sinθ．（1）把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的极坐标方程．考点：简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（1）利用ρcosθ=x，ρsinθ=y，ρ2=x2+y2，代入两个圆的极坐标方程，化简后可得⊙O1和⊙O2的直角坐标方程；（2）把两个圆的直角坐标方程相减可得公共弦所在的直线方程，再化为极坐标方程．解答：解：（1）∵圆O1的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴化为直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，∵圆O2的极坐标方程ρ=﹣sinθ，即ρ2=﹣ρsinθ，∴化为直角坐标方程为 x2+（y+）2=．（2）由（1）可得，圆O1：（x﹣2）2+y2=4，①圆O2：x2+（y+）2=，②①﹣②得，4x+y=0，∴公共弦所在的直线方程为4x+y=0，化为极坐标方程为：4ρcosθ+ρsinθ=0．点评：本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法，求直线的极坐标方程，属于基础题．18．选修4﹣5：不等式选讲设函数，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．（I）求证f（x）≥1；（II）若f（x）=成立，求x的取值X围．考点：带绝对值的函数．专题：计算题；证明题；函数的性质及应用．分析：（I）利用绝对值不等式即可证得f（x）≥1；（II）利用基本不等式可求得≥2，要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2即可．解答：解：（Ⅰ）证明：由绝对值不等式得：f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|=1 …（5分）（Ⅱ）∵==+≥2，∴要使f（x）=成立，需且只需|x﹣1|+|x﹣2|≥2，即，或，或，解得x≤，或x≥．故x的取值X围是（﹣∞，]∪[，+∞）．…（10分）点评：本题考查带绝对值的函数，考查基本不等式的应用与绝对值不等式的解法，求得≥2是关键，属于中档题．19．极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，已知曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）．（1）求C的直角坐标方程；（2）直线l：为参数）与曲线C交于A，B两点，与y轴交于E，求|EA|+|EB|的值．考点：参数方程化成普通方程；直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：（1）将极坐标方程两边同乘ρ，进而根据ρ2=x2+y2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，可求出C的直角坐标方程；（2）将直线l的参数方程，代入曲线C的直角坐标方程，求出对应的t值，根据参数t的几何意义，求出|EA|+|EB|的值．解答：解：（1）∵曲线C的极坐标方程为ρ=2（cosθ+sinθ）∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ∴x2+y2=2x+2y即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）（2）将l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程，得t2﹣t﹣1=0，所以|EA|+|EB|=|t1|+|t2|=|t1﹣t2|==．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）点评：本题考查的知识点是参数方程与普通方程，直线与圆的位置关系，极坐标，熟练掌握极坐标方程与普通方程之间互化的公式，及直线参数方程中参数的几何意义是解答的关键．20．已知直线l：（t为参数），曲线C1：（θ为参数）．（Ⅰ）设l与C1相交于A，B两点，求|AB|；（Ⅱ）若把曲线C1上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．考点：圆的参数方程；函数的图象与图象变化；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．专题：计算题．分析：（I）将直线l中的x与y代入到直线C1中，即可得到交点坐标，然后利用两点间的距离公式即可求出|AB|．（II）将直线的参数方程化为普通方程，曲线C2任意点P的坐标，利用点到直线的距离公式P到直线的距离d，分子合并后利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，与分母约分化简后，根据正弦函数的值域可得正弦函数的最小值，进而得到距离d的最小值即可．解答：解：（I）l的普通方程为y=（x﹣1），C1的普通方程为x2+y2=1，联立方程组，解得交点坐标为A（1，0），B（，﹣）所以|AB|==1；（II）曲线C2：（θ为参数）．设所求的点为P（cosθ，sinθ），则P到直线l的距离d==[sin（）+2]当sin（）=﹣1时，d取得最小值．点评：此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有直线与圆的参数方程与普通方程的互化，点到直线的距离公式，两角和与差的正弦函数公式，正弦函数的定义域与值域，以及特殊角的三角函数值，根据曲线C2的参数方程设出所求P的坐标，根据点到直线的距离公式表示出d，进而利用三角函数来解决问题是解本题的思路．21．已知函数f（x）=|2x﹣a|+a．（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|﹣2≤x≤3}，某某数a的值．（2）在（1）的条件下，若存在实数n使f（n）≤m﹣f（﹣n）成立，某某数m的取值X 围．考点：分段函数的应用．专题：函数的性质及应用．分析：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，从而求得a的值．（2）由题意可得|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，构造函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，求得y的最小值，从而求得m的X围．解答：解：（1）原不等式可化为|2x﹣a|≤6﹣a，∴，解得a﹣3≤x≤3．再根据不等式f（x）≤6的解集为[﹣2，3]，可得a﹣3=﹣2，∴a=1．（2）∵f（x）=|2x﹣1|+1，f（n）≤m﹣f（﹣n），∴|n﹣1|+1≤m﹣（|﹣2n﹣1|+1），∴|n﹣1|+|2n﹣1|+2≤m，∵y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2，当n≤时，y=﹣3n+4≥，当≤n≤1时，y=n+2≥，当n≥1时，y=3n≥3，故函数y=|n﹣1|+|2n﹣1|+2的最小值为，∴m≥，即m的X围是[，+∞）．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，带有绝对值的函数，体现了转化的数学思想，属于中档题．22．在直角坐标xoy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ，如图，曲线C与x轴交于O，B两点，P是曲线C在x轴上方图象上任意一点，连结OP并延长至M，使PM=PB，当P变化时，求动点M的轨迹的长度．考点：简单曲线的极坐标方程；轨迹方程．专题：坐标系和参数方程．分析：设出点M的极坐标（ρ，θ），表示出OP、PB，列出的极坐标方程，再化为普通方程，求出点M的轨迹长度即可．解答：解：设M（ρ，θ），θ∈（0，），则OP=2cosθ，PB=2sinθ；∴ρ=OP+PM=OP+PB=2cosθ+2sinθ，∴ρ2=2ρcosθ+2ρsinθ；化为普通方程是x2+y2=2x+2y，∴M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=2（x＞0，y＞0）；∴点M的轨迹长度是l=×2π×=π．点评：本题考查了极坐标的应用问题，解题时应根据题意，列出极坐标方程，再化为普通方程，从而求出解答来，是基础题．。
高二下学期期末考试数学(理)考试题(带答案)详解+解析点睛
高二下学期期末考试数学（理）考试题（带答案）详解+解析点睛姓名:_____________ 年级:____________ 学号:______________题型选择题填空题简答题xx题xx题xx题总分得分一、xx题评卷人得分（每空xx 分，共xx分）第 1 题设，则在复平面内对应的点位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案解析】C【分析】首先求出复数的共轭复数，再根据复数的几何意义判断复数在复平面内所在的象限得选项.【详解】解：因为，所以，在复平面内表示的点的坐标为位于第三象限，故选：C.【点睛】本题考查复数的共轭复数的计算，复数的几何意义，属于基础题.第 2 题若双曲线的离心率为2，则其渐近线方程为（）A. B. C. D.【答案解析】B【分析】由离心率是2得，代入得，求出的值，再求出双曲线的渐近线方程．【详解】解：由题意得，，则即，所以双曲线的渐近线方程为，即，故选：B．【点睛】本题考查双曲线的标准方程以及简单的几何性质，属于基础题．第 3 题在下列结论中，正确的是（）A. “”是“”的必要不充分条件B. 若为真命题，则p，q均为真命题C. 命题“若，则”的否命题为“若，则”D. 已知命题，都有，则，使【答案解析】D【分析】对于A，解不等式，可知A不正确；对于B，命题与命题一个为真命题、一个为假命题时，可得命题“”是真命题，所以B不正确；对于C，只否定了结论，没有否定条件，故C不正确；对于D，根据命题的否定的概念，可知D正确.【详解】对于A，时，则成立，但是当时，或.所以“”是“”的充分不必要条件，故A错误；对于B，若为真命题，则p，q至少一个为真命题，故B错误；对于C，“若，则”的否命题为“若，则”故C错误；对于D，，都有，则，使，故D正确.故选：D．【点睛】本题考查了命题真假的判断，充分、必要条件，特称命题的否定，原命题的否命题，复合命题与简单命题的关系等知识，是基础题．第 4 题用数学归纳法证明：时，从“到”等式左边的变化结果是（）A. 增乘一个因式B. 增乘两个因式和C. 增乘一个因式D. 增乘同时除以【答案解析】C【分析】根据题意得出当和时等式的左边，比较之后可得出结论.【详解】当时，则有；当时，则有.，故从“到”等式左边变化结果是：增乘一个因式.故选：C.【点睛】本题考查数学归纳法，考查从“到”等式的变化，一般要将等式写出来，考查计算能力，属于基础题.第 5 题若两条不重合直线和的方向向量分别为，，则和的位置关系是（） A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 不确定【答案解析】A【分析】由，可知两直线的位置关系是平行的【详解】解：因为两条不重合直线和的方向向量分别为，，所以，即与共线，所以两条不重合直线和的位置关系是平行，故选：A【点睛】此题考查了直线的方向向量，共线向量，两直线平行的判定，属于基础题.第 6 题在对具有线性相关的两个变量和进行统计分析时，得到如下数据：48101212356.由表中数据求得关于的回归方程为，则，，这三个样本点中落在回归直线下方的有( )个A 1 B. 2 C. 3 D. 0【答案解析】B因为，所以将其代入可得，故当时，在直线上方；当时，在直线下方；当时，在直线下方，应选答案B．第 7 题设函数其中，，则f(x)的展开式中的系数为（） A. -60 B. 60 C. -240 D. 240【答案解析】D【分析】根据定积分和求导运算求得，再运用二项式的展开式可求得选项.【详解】因为，，，，，，，令，所以的展开式中的系数为，故选：D.【点睛】本题中涉及到的知识点较多，主要有定积分的计算(首要找到被积函数的原函数)，函数求导数及二项式定理中求指定项的系数，属于中档题.第 8 题在△ABC中，若，则△ABC的最大内角与最小内角的和为（）A. B. C. D.【答案解析】D【分析】由正弦定理可得，，三边的关系，由大边对大角可得最小，最大；由余弦定理可得的值，进而由三角形内角和为可得的值．【详解】解：因为，由正弦定理可得，设，，，三角形中由大边对大角可得角最大，角最小，由余弦定理可得，因为，所以，所以，故选：．【点睛】本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的应用，属于基础题．第 9 题已知正实数x，y满足.则的最小值为（）A. 4B.C.D.【答案解析】D【分析】先把变形为，则展开后，再利用基本不等可求出其最小值.【详解】解：由，得，因为x，y为正实数，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故选：D【点睛】此题考查了利用基本不等式最值，注意利用基本不等式求最值必须满足“一正、二定、三相等”，属于基础题.第 10 题2020年教育部决定在部分高校中开展基础学科招生考试试点（也称为强基计划），某高校计划让参加“强基计划”招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试.已知在这8个试题中甲能够答对6个，则甲通过初试的概率为（）A. B. C. D.【答案解析】A【分析】事件“至少答对3个”可能分类为“恰好答对3个”和“4个全对”，求出方法数后可得概率．【详解】从8个试题中任选4个有种选法，“至少答对3个”的方法数有，所以所求概率为．故选：A．【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定分类还是分步求出基本事件的个数．第 11 题已知椭圆的左、右焦点分别为、，点P在椭圆上且异于长轴端点，点M，N在△所围区域之外，且始终满足，，则的最大值为（）A. 8B. 7C. 10D. 9【答案解析】A【分析】设，的中点分别为，，则，在分别以，为圆心的圆上，直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，的最大，可得的最大值为即可．【详解】解：设，的中点分别为，，，，则，在分别以，为圆心的圆上，∴直线与两圆的交点△所围区域之外）分别为，时，最大，又椭圆，所以，∴的最大值为，故选：A．【点睛】本题考查了椭圆的定义与性质，以及两个圆上的点的距离的最值，考查了转化思想，属于中档题．第 12 题已知函数，数列{an}的前n项和为Sn，且满足，，则下列有关数列{an}的叙述正确的是（）A. B.C. D.【答案解析】C【分析】利用递推公式可判断A选项的正误；推导出数列的单调性可判断B选项的正误；推导出，可得出，可判断C选项的正误；推导出以及，可判断D选项的正误.【详解】，，A选项错误；，，当时，，此时，函数单调递增；令，可得，令，定义域为，，令，可得.当时，，此时，函数单调递减；当时，，此时，函数单调递增.，，，则，由零点存在定理可知，存在唯一的，使得.所以，当时，，即且，则；当时，，即.，则，，，以此类推，，所以，数列是单调递减数列，B选项错误；，，C选项正确；，而，，D选项错误.故选：C.【点睛】本题主要考查数列递推公式的应用，考查推理能力与计算能力，属于难题.第 13 题已知函数，则f(x)的单调减区间为__________.【答案解析】【分析】先求函数定义域，然后对函数求导，使导函数小于零，求出的解集与定义域求交集就是所求的单调减区间【详解】解：函数的定义域为，由，得，令，则，解得，又因为，所以，所以的单调减区间为，故答案为：【点睛】此题考查利用导数求函数的单调区间，解题时要注意函数的定义域，考查计算能力，属于基础题.第 14 题平面几何中直角三角形勾股定理是我们熟知的内容，即“在中，，则”；在立体几何中类比该性质，在三棱锥P﹣ABC中，若平面PAB，平面PAC，平面PBC 两两垂直，记，，，的面积分别是，，，，则，，，关系为__________.【答案解析】【分析】如图，过作于，连接，则由已知可得,，则化简可得结论.【详解】解：如图，过作于，连接，因为平面PAB，平面PAC，平面PBC两两垂直，所以,所以平面，所以，所以平面，所以，所以,所以，故答案为：，【点睛】此题考查了类比推理，体现了数形结合的思想，利用了三角形的面积公式，属于基础题.第 15 题某医疗研究所为了了解某种血清预防感冒的作用，把500名使用过该血清的人与另外500名未使用该血清的人一年中的感冒记录作比较，提出假设H0：“这种血清不能起到预防感冒的作用”．已知利用2×2列联表计算得K2≈3.918，经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中，正确结论的序号是________．①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”；②若某人未使用该血清，那么他在一年中有95%的可能性得感冒；③这种血清预防感冒的有效率为95%；④这种血清预防感冒的有效率为5%.【答案解析】①因为K2≈3.918≥3.841，而P(K2≥3.841)≈0.05，所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”，故①正确；②显然错误；因为我们检验的是假设是否成立，和该血清预防感冒的有效率是没有关系的，故③④错误．第 16 题在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为线段A1B1，AB的中点，O为四棱锥的外接球的球心，点M，N分别是直线DD1，EF上的动点，记直线OC与MN所成的角为，则当最小时，__________.【答案解析】【分析】如图，设分别为棱和的中点，则四棱锥的外接球即为三棱柱的外接球，所以外接球球心O为上、下底面三角形外心和连线的中点，是平面内的一条动直线，所以最小是直线OC与平面所成角，即问题转化为求直线OC与平面所成角的正切值，通过建立空间直角坐标系算出直线OC与平面所成角的正切值即可.【详解】如图，设分别为棱和的中点，则四棱锥{{2l 因为为等腰三角形，所以外接圆的直径为,则，从而，如图，以为原点，以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以故答案为：【点睛】本题主要考查了点、线、面的位置关系，考查了直观想象与数学运算的核心素养，考查了转化与化归的数学思想，属于中档题.第 17 题已知{an}是单调递减的等比数列，，且成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，求数列{bn}的前50项和．【答案解析】（1）；（2）．【分析】（1）设等比数列的公比为，运用等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，可得首项和公比的方程，解方程可得首项和公比，进而得到所求通项公式；（2）求得，再由数列的裂项相消求和．【详解】解：（1）设是公比为q的等比数列，因为，且成等差数列，故可得，又因为，所以，解得或者，，又因为是单调递减的等比数列，所以，则；（2），，，．【点睛】本题考查等比数列的通项公式和等差数列的中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及化简运算能力，属于中档题．第 18 题如图，在五面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，为等边三角形，且平面平面，.（1）证明：平面平面ABCD；（2）若，求二面角的余弦值.【答案解析】（1）证明见解析；（2）.【分析】（1）取的中点，连接，利用面面垂直的性质定理推导出平面，可得出，由已知条件得出，进而利用线面垂直的判定定理可得出平面，再利用面面垂直的判定定理可证得平面平面；（2）取中点，推导出平面，以点为坐标原点，为轴、垂直平分线为轴，为轴建立空间直角坐标系，设，推导出，设可得出，由求出的值，可求得点的坐标，然后利用空间向量法可求得二面角的余弦值.【详解】（1）取的中点，连接，为等边三角形，且为的中点，于是，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面，又因为平面，则，又四边形为矩形，则，，所以平面，平面，平面平面；（2）取中点，则，平面平面，平面平面，平面，于是平面，以点为坐标原点，为轴、垂直平分线为轴，为轴建立空间直角坐标系.设，则，，，，因为，平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，则，所以设，所以点.那么，，由于，所以，解得，于是，，设平面的法向量为，由，得，取，得，又平面的一个法向量为，记二面角为，所以，又因为是锐角，所以二面角的余弦值为.【点睛】本题考查面面垂直的证明，同时也考查了利用空间向量法求解二面角的余弦值，考查推理能力与计算能力，属于中等题.第 19 题在直角坐标系xOy中，已知点，，直线AM，BM交于点M，且直线AM与直线BM的斜率满足：．（1）求点M的轨迹C的方程；（2）设直线l交曲线C于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积等于－3，证明：直线l过定点．【答案解析】（1）；（2）证明见解析.【分析】（1）设，结合，坐标，通过斜率关系，求解即可．（2）设，，，，通过，得到，求出直线的方程：，说明直线恒过定点．【详解】解：（1）设，又，，则，可得，因为，所以M的轨迹C的方程为；（2）证明，设，，，又，可得，又因为，即有，即由直线l的斜率为可得直线l的方程为，化为，又因为，可得，可得直线恒过定点．【点睛】本题考查轨迹方程的求法，直线系方程的应用，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．第 20 题已知函数．（1）若，求在处的切线方程；（2）若对，不等式恒成立，求实数m的取值范围．【答案解析】（1）；（2）.【分析】（1）求出和的值，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）由题意得出，对实数的取值进行分类讨论，利用导数分析函数在区间上的单调性，验证是否恒成立，由此可得出实数的取值范围.【详解】（1）当时，，则，，.所以，曲线在处的切线方程为，即；（2），则，且.由题意可知l 综上所述，实数的取值范围是.【点睛】本题考查利用导数求函数的切线方程，同时也考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，考查计算能力，属于中等题.第 21 题甲、乙两厂均生产某种零件.根据长期检测结果：甲、乙两厂生产的零件质量（单位：）均服从正态分布，在出厂检测处，直接将质量在之外的零件作为废品处理，不予出厂；其它的准予出厂，并称为正品.（1）出厂前，从甲厂生产的该种零件中抽取10件进行检查，求至少有1片是废品的概率；（2）若规定该零件的“质量误差”计算方式为：该零件的质量为，则“质量误差”.按标准，其中“优等”、“一级”、“合格”零件的“质量误差”范围分别是，、（正品零件中没有“质量误差”大于1.0g的零件），每件价格分别为75元、65元、50元.现分别从甲、乙两厂生产的正品零件中随机抽取100件，相应的“质量误差”组成的样本数据如下表（用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率）：质量误差甲厂频数103030510510乙厂频数2530255105..（ⅰ）记甲厂该种规格的2件正品零件售出的金额为X（元），求X的分布列及数学期望；（ⅱ）由上表可知，乙厂生产的该规格的正品零件只有“优等”、“一级”两种，求5件该规格零件售出的金额不少于360元的概率.附：若随机变量.则；，，.【答案解析】（1）（2）（ⅰ）详见解析（ⅱ）【分析】（1）求得没有废品的概率之后，利用对立事件概率公式可求得结果；（2）（ⅰ）首先确定“优等”、“一级”、“合格”的概率，接着确定所有可能的取值，求解出每个取值对应的概率后可得分布列，由数学期望计算公式计算可得期望；（ⅱ）利用构造不等式可确定可能的取值，利用二项分布概率公式可求得结果.【详解】（1）由正态分布可知，抽取的一件零件的质量在之内的概率为，则这件质量全都在之内（即没有废品）的概率为；则这件零件中至少有件是废品的概率为.（2）（ⅰ）由已知数据，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，得该厂生产的一件正品零件为“优等”、“一级”、“合格”的概率分别为；则的可能取值为元，有：；；；；；，得到的分布列如下：150140130125115100..则数学期望为：（元）.（ⅱ）设乙厂生产的5件该零件规格的正品零件中有件“优等”品，则有件“一级”品，由已知有，解得：，则取或.故所求的概率为：.【点睛】本题考查概率分布中离散型随机变量分布列与数学期望的求解、二项分布概率问题的求解、正态分布的相关知识，是对概率分布部分知识的综合考查，属于中档题.第 22 题在平面直角坐标系xOy中，直线C1的参数方程为（t为参数，为倾斜角），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为，在平面直角坐标系xOy中，将曲线C2上所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到曲线C3．（1）求曲线C2、C3的直角坐标方程；（2）直线C1与曲线C3相交于E，F两个不同的点，点P的极坐标为，若，求直线C1的普通方程．【答案解析】（1）；；（2）．【分析】（1）曲线的极坐标方程转化为，由此能求出曲线的直角坐标方程．再根据圆锥曲线的变换规则求出的直角坐标方程；（2）首先求出的直角坐标，再将直线的参数方程代入的直角坐标方程，消元列出韦达定理，根据直线的参数方程的参数的几何意义及求出，即可得到直线的直角坐标方程；【详解】解：（1）由得，又，∴，∴．设是曲线上任意一点，点P的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，再向上平移2个单位长度得到点为，则，又，∴，；（2）因为点P的极坐标为，所以，所以点P的直角坐标为，将代入得，因为相交于不同两点，∴．∵，∴．设方程的两个实数根为，，则，．由参数t的几何意义知，，∴，∴，∴，又，∴，所以直线的斜率，又直线过点，所以直线的普通方程为．【点睛】本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查直线方程的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．第 23 题已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若两函数与的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．【答案解析】（1）；（2）．【分析】（1）将不等式等价于三个不等式组，解不等式即可得答案；（2）求出函数在处取得最大值，只需，即可得答案；【详解】（1）当时，，或或解得：；不等式的解集；（2）由函数知，该函数在处取得最小值1，因为，∴在上递增，在上递减，在上递减，故在处取得最大值，所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，只需，即．【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式、不等式恒成立问题求参数取值，考查函数与方程思想、转化与化归思想、分类讨论思想，考查运算求解能力.。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学第二学期期末考试（理科）试题（含答案）一、选择题：（每题5分，共60分)
1．若将复数表示为、是虚数单位）的形式，则（)
A．0 B．-1 C．1D．2
2。
在的展开式中的常数项是（）
A。
B．C．D．
3。
函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示,则函数在内有极大值点（）A．1个B．2个
C．3个D．4个
4．已知曲线,其中x∈[—2，2］,则等于( ）
A．B．C．D．-4
5．设随机变量X～B（3，)，随机变量Y=2X+3，则变量Y的期望和方差分别为（）A．7，B．7，C．8, D．8,
6．给出下列四个命题，其中正确的一个是（）
A．在线性回归模型中，相关指数，说明预报变量对解释变量的贡献率是
B．在独立性检验时，两个变量的列联表中对角线上数据的乘积相差越大，说明这两个变量没有关系成立的可能性就越大
C．相关指数用来刻画回归效果,越小，则残差平方和越大，模型的拟合效果越好
D．随机误差e是衡量预报精确度的一个量，它满足E（e）=0
7．在平面上，若两个正三角形的边长之比1：2，则它们的面积之比为1：4，类似地,在空间中，若两个正四面体的棱长之比为1:2,则它的体积比为(）
A．1：4 B．1:6 C．1：8 D．1：9
8．某台小型晚会由6个节目组成，演出顺序有如下要求:节目甲必须排在前两位,节目乙不能排在第一位,节目丙必须排在最后一位．该台晚会节目演出顺序的编排方案共有（）
A．36种B．42种C．48种D．54种
9．一个电路如图所示，A、B、C、D、E、F为6个开关，其闭合的概率都是错误!，且是相互独立的，则灯亮的概率是（)
A.错误!
B.错误!
C.错误!
D.错误!
10．函数的最小值是（）
A．10 B. 9 C．8 D．7
11．f′(x)是f(x）的导函数，f′(x）的图象如下面右图，则f（x）的图象只可能是( ）
A．B．C．D．
12．已知函数f（x）＝x3－3x2－9x＋3，若函数g（x）＝f（x）－m在x∈［－2,5]上有3个零点,则m 的取值范围为()
A．(－24,8）B．(－24，1] C．［1，8）D．［1，8]
二、填空题（每题5 分，共20分)
13．如果随机变量,且,则_ _ __
14．已知,那么等于________________
15。
若X是离散型随机变量P（X=x1）=，P（X=x2）=,且x1〈x2，又已知E（X）=，D（X）=，则x1+x2的值为
16．在平面几何中,有射影定理：“在中，，点在边上的射影为，有。
”类比平面几何定理，研究三棱锥的侧面面积与射影面积、底面面积的关系，可以得出的正确结论是：“在三棱锥中,平面,点在底面上的射影为,则有________________."
三、解答题:
17(本小题满分10分）．
已知z为复数，z＋2i和均为实数,其中i是虚数单位．
（Ⅰ）求复数z;
（Ⅱ)若复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围．
18。
(本小题满分12分）
已知x=是函数f（x）=ln（x+1）—x+的一个极值点．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程．
19。
（本小题满分12分)
某公司拟资助三位大学生自主创业，现聘请两位专家，独立地对每位大学生的创业方案进行评审．假设评审结果为“支持”或“不支持"的概率都是。
若某人获得两个“支持”，则给予10万元的创业资助；若只获得一个“支持”,则给予5万元的资助；若未获得“支持”,则不予资助，令表示该公司的资助总额．
(1) 写出的分布列；
(2） 求数学期望． 20．（本小题满分12分)
已知（x ＋错误!)n 展开式中，各项系数的和与其二项式系数的和之比为64.
( I )求x 3项的系数;
（ II)求二项式系数最大的项． （III ）求二项展开式中所有的有理项 21。
（本小题满分12分）
甲乙两个林果示范园分别培育了某种珍稀果木2400株与2000株，两个林果园示范园区的果木除使用不同的肥料外，其他条件基本一致，上级林果部门为了了解这些果林的生长情况，采用分层抽样的方法从两个示范园区一共测量了55株,并将这55株的高度（单位：cm)作出了频数分布统计如下：
甲示范区
（ I )计算x ，y 的值；
（ II ）若规定高度在［120,150］内为生长情况优秀，在甲示范区所抽取的果木中任取2株，设X 为生长情况优秀的果木数,求X 的分布列及期望； （III)由以上统计数据填写下面2×2列联表，并判断是否有90％的把握认为两个示范园区的果木生长
参考公式：其中 临界值表
22．(本小题满分12分） 函数
（1）若,求的极值；
(2）讨论（1)中在上的单调性；
（3）若在（0,）上恒成立,求满足此条件的实数k 的取值范围.
高二理科数学参考答案
一、选择题
CABDA DCBBC DC 二、填空题
13、0.1587 14、-—2 15、3 16、 三、解答题 17。
解：（1）设z =x +yi （x ，y ∈R)
则x +(y +2）i ∈R ，
∴ ∴ ∴z =4-2i …………5分 （2）∵在复平面对应的点在第一象限
∴ 故a 的范围为2<a 〈6 ……..10分 18。
解:（Ⅰ） f （x ）=ln （x+1）—x+， ∴f ′(x)=﹣1+ax
∵x=—是函数f （x)的一个极值点． ∴f ′（）=0，
∴2﹣1﹣=0,故a=2．…………………………6分 （Ⅱ）由（Ⅰ)知：f ′(x ）=+2x ﹣1 从而曲线y=f （x ）在点（1，f （1））处的切线的斜率k=,又f （1）=ln2，
故曲线y=f(x ）在点（1，f （1））处的切线方程为y=x+ln2﹣． …………………………12分 19.解:（1）的所有取值为 …………8分 （2).
………………。
12分 20。
解 令x ＝1,得各项系数和为4n ,
又二项式系数和为2n ，故有＝2n ＝64，∴n ＝6. …………。
2分 (I ）由可知当r=0时，x 3的系数为1；……。
5分 （II)∵此展开式共有7项，
∴二项式系数最大的项为第4项，
∴T 4＝C 错误!（错误!）3(错误!）3＝540错误!. …………8分
（III)由知当r=0或6时二项展开式为有理项 ∴T 4=x 3 T 7=37x -2
故二项展开式的有理项为x 3和37x -2。
………12分
21.解:（I ）由题意，甲示范园区应抽取株，乙示范园区应抽取株，故x=6，y=3. …………………3分 (II ）随机变量的可能取值为0，1,2
则,,
所以X的分布列为
∴X数学期望……………9分
由公式的，故没有90%的把握认为这两个示范园区中的珍稀果木生长情况与使用的肥料有关。
………………12分
22。
解：（1）F´（x）=,由F´（x）=0得，又F（x）的定义域为（0，+），时F´（x）〉0,在上单调递增；时F´（x）0，F（x)在上单调递减,所以的极大值为……..4分
（2）当，即时，,此时在上单调递增;
当即时，在上单调递增，在上单调递减………7分
(3）∵G（x）=，则，由得，
时，，G(x）为增函数，时，，G（x)为减函数，
时，G（x）取最大值，
在上恒成立，即
(12)。