1984年全国高考数学试题及其解析

1984年全国高考数学试题及其解析
理工农医类试题
（本试卷共八大题，满分120分第九题是附加题，满分10分，不计入总分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分
1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y 2．如果圆x 2+y 2
+Gx+Ey+F=0与x 轴相切于原点，那么（ ） （A ）F=0，G ≠0，E ≠0. （B ）E=0，F=0，G ≠0. （C ）G=0，F=0，E ≠0. （D ）G=0，E=0，F ≠0. 3.如果n 是正整数，那么)1]()1(1[8
1
2
---n n 的值 （ ）
（A ）一定是零 （B ）一定是偶数 （C ）不一定是整数（D ）是整数但不一定是偶数
4.)arccos(x -大于x arccos 的充分条件是 （ ）
（A ）]1,0(∈x （B ）)0,1(-∈x （C ）]1,0[∈x （D ）]2
,0[π
∈x 5．如果θ是第二象限角，且满足,sin 12sin 2cos
θ-=θ-θ那么2
θ
（ ） （A ）是第一象限角 （B ）是第三象限角
（C ）是第二象限角 （D ）可能是第一象限角，也可能是第三象限角 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积2.函数)44(log 2
5.0++x x 在什么区间上是增函数？
3．求方程2
1
)cos (sin 2
=+x x 的解集 4．求3)2|
|1
|(|-+
x x 的展开式中的常数项 5．求1
321lim +-∞→n n
n 的值
6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算）
三．（本题满分12分）本题只要求画出图形
1．设⎩⎨
⎧>≤=,
0,1,
0,0)(x x x H 当当画出函数y=H(x-1)的图象
2．画出极坐标方程)0(0)4
)(2(>ρ=π
-
θ-ρ的曲线 四．（本题满分12分）
已知三个平面两两相交，有三条交线求证这三条交线交于一点或互相平行 五．（本题满分14分）
设c,d,x 为实数，c ≠0，x 为未知数讨论方程1log
)
(-=+x x
d
cx 在什么情况下有解有解时
求出它的解
六．（本题满分16分）
1．设0≠p ，实系数一元二次方程022
=+-q pz z 有两个虚数根z 1,z 2.再设z 1,z 2在复平面内的对应点是Z 1，Z 2求以Z 1，Z 2为焦点且经过原点的椭圆的长轴的长（7分）
2．求经过定点M （1，2），以y 轴为准线，离心率为
2
1
的椭圆的左顶点的轨迹方程（9分） 七．（本题满分15分）
在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别为a ,b,c ，且c=10，
3
4
cos cos ==a b B A ，P 为△ABC 的内切圆上的动点求点P 到顶点A ，B ，C 的距离的平方和的最大值与最小值 八．（本题满分12分）
设a ＞2，给定数列{x n },其中x 1=a ,)2,1()
1(22
1
=-=+n x x x n n
n 求证： 1．);2,1(1,21
=<>+n x x x n
n n 且
2．);2,1(21
2,31
=+
≤≤-n x a n n 那么如果
3．.3,3
4lg 3lg
,31<≥>+n x a n a 必有时那么当如果 九．（附加题，本题满分10分，不计入总分）
如图，已知圆心为O 、半径为1的圆与直线L 相切于点A ，一动
点P 自切点A 沿直线L 向右移动时，取弧AC 的长为 直线PC 与直线AO 交于点M 又知当AP=
4
3π
时，点P 的速度为V 求这时点M 的速度
文史类试题
（本试卷共八道大题，满分120分）
一．（本题满分15分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的把正确结论的代号写在题后的圆括号内每一个小题：选对的得3分;不选，选错或者选出的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得负1分 1．数集X={（2n+1）π，n 是整数}与数集Y={（4k ±1）π，k 是整数}之间的关系是 （ ） （A ）X ⊂Y （B ）X ⊃Y （C ）X=Y （D ）X ≠Y
2.函数y=f(x)与它的反函数y=f -1
(x)的图象 （ ）
（A ）关于y 轴对称 （B ）关于原点对称 （C ）关于直线x+y=0对称 （D ）关于直线x-y=0对称
3复数
i 2
321-的三角形式是 （ ） （A ）)3sin()3
cos(π
-+π-i （B ）3sin 3cos
π+πi （C ）3
sin 3cos π
-πi （D ）6
5sin
3cos π
+πi 4．直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的 （ ）
（A ）一条直线不相交 （B ）两条直线不相交 （C ）任意一条直线都不相交 （D ）无数条直线不相交
5．方程x 2
-79x+1=0的两根可分别作为 （ ） （A ）一椭圆和一双曲线的离心率 （B ）两抛物线的离心率 （C ）一椭圆和一抛物线的离心率 （D ）两椭圆的离心率 二．（本题满分24分）本题共6小题，每一个小题满分4分
1．已知函数0)32(log 5.0>-x ，求x 的取值范围
2．已知圆柱的侧面展开图是边长为2与4的矩形，求圆柱的体积 3．已知实数m 满足2x 2
-(2i-1)x+m-i=0,求m 及x 的值
4.求)
2)(1()
()2()1(lim 222--++++++∞→n n n n n n n n 的值
5．求6)12(x
x -
的展开式中x 的一次幂的系数
6．要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少种不同的排法（只要求写出式子，不必计算） 三．（本题满分12分）本题只要求画出图形
1．画出方程y 2
=-4x 的曲线
2．画出函数2
)
1(1
+=x y 的图象
四．（本题满分12分）
已知等差数列a ,b,c 中的三个数都是正数，且公差不为零求证它们的倒数所组成的数
列
c
b a 1
,1,1不可能成等差数列 五．（本题满分14分）
把α-β-α-
422
cos sin 2sin 4
11化成三角函数的积的形式(要求结果最简） 六．（本题满分14分）
如图，经过正三棱柱底面一边AB ，作与底面成300
角的
平面，已知截面三角形ABD 的面积为32cm 2
，求截得的三棱锥D-ABC 的体积 七．（本题满分14分）
某工厂1983年生产某种产品2万件，计划从1984年开始，每年的产量比上一年增长20%问从哪一年开始，这家工厂生产这种产品的年产量超过12万件（已知lg2=0.3010,lg3=0.4771) 八．（本题满分15分）
已知两个椭圆的方程分别是 C 1:x 2+9y 2-45=0, C 2:x 2+9y 2
-6x-27=0. 1．求这两个椭圆的中心、焦点的坐标
2．求经过这两个椭圆的交点且与直线x-2y+11=0相切的圆的方程
理工农医类参考答案
一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)C; (3)B; (4)A; (5)B.
二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
（1）.84ππ或 （2）x ＜-2. （3）},12
|{},127|{Z n n x x Z n n x x ∈π+π-=⋃∈π+π=
（4）-20 （5）0 （6）!64
7⋅P
三、本题考查在直角坐标系和极坐标系内画出图形的能力. 解:
四、本题考查直线、平面之间的位置关系,空间想象能力和逻辑推理能力. 证明：设三个平面为α,β,γ,且α∩β=c,α∩γ=b,β∩γ=a. ∵ α∩β=c, α∩γ=b,
从而c 与b 或交于一点或互相平行.
(1)若c 与b 交于一点,设c ∩b=P.由P ∈c,且c β,有P ∈β;又由P ∈b,且b γ,有P ∈γ.于是P ∈β∩γ=a. 所以a,b,c 交于一点(即P 点).
(2)若c ∥b,则由b γ,有c ∥γ.又由c β,且β∩γ=a,可知c ∥a.
所以a,b,c 互相平行.
五、本题考查对数函数的基本概念、对数方程的解法和分析问题的能力.
解：原方程有解的充要条件是：
⎪⎪⎪⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧=+≠+>+>-(4)
)((3)
,0(2) ,0(1)
,01
x x d cx x d cx x d cx x 由条件（4）知1)(=+
x d cx x ，所以12=+d cx 再由c ≠0，可得.12c
d
x -= 又由1)(=+x d cx x 及x ＞0，知0>+x
d
cx ，即条件（2）包含在条件（1）及（4）中
再由条件（3）及1)(=+x
d
cx x ，知.1≠x 因此，原条件可简化为以下的等价条件组：
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-=≠>(6) .1x (5)
1,x (1)
,02c d x 由条件（1）（6）知.01>-c
d
这个不等式仅在以下两种情形下成立：
①c ＞0,1-d ＞0,即c ＞0,d ＜1; ②c ＜0,1-d ＜0,即c ＜0,d ＞1. 再由条件（1）（5）及（6）可知d c -≠1
从而，当c ＞0,d ＜1且d c -≠1时，或者当c ＜0,d ＞1且d c -≠1时，原方程有解，它的解是c
d
x -=
1 六、本题考查复数的概念、复数的几何意义、椭圆的基础知识和轨迹方程的求法.
解：1.因为p,q 为实数，0≠p ，z 1,z 2为虚数，所以0,04)2(2
2>><--p q q p 由z 1,z 2为共轭复数，知Z 1，Z 2关于x 轴对称， 所以椭圆短轴在x 轴上又由椭圆经过原点， 可知原点为椭圆短轴的一端点
根据椭圆的性质，复数加、减法几何意义及一元二次方程根与系数的关系，可得椭圆的 短轴长=2b=|z 1+z 2|=2|p|,
焦距离=2c=|z 1-z 2|=2
212212|4)(|p q z z z z -=-+, 长轴长=2a=.222
2q c b =+
2.因为椭圆经过点M （1，2），且以y 轴为准线，所以椭圆在y 轴右侧，长轴平行于x 轴
设椭圆左顶点为A （x,y ），因为椭圆的离心率为
2
1， 所以左顶点A 到左焦点F 的距离为A 到y 轴的距离的2
1
，
从而左焦点F 的坐标为,2
3(y x
设d 为点M 到y 轴的距离，则d=1
根据
21
||=d MF 及两点间距离公式，可得22222312
(1)(2)(),9()4(2)1223
x y x y -+-=-+-=即 这就是所求的轨迹方程
七、本题考查解三角形和用坐标法解几何问题的能力.
解：由
a
b
B A =cos cos ，运用正弦定理，有
.2sin 2sin cos sin cos sin ,sin sin cos cos B A B B A A A
B
B A =∴=∴= 因为A ≠B ，所以2A=π-2B ，即A+B=2
π
由此可知△ABC 是直角三角形
由c=10，
.8,60,0,3
4222
==>>=+=b a b a c b a a b 可得以及 如图，设△ABC 的内切圆圆心为O ＇，切点分别为D ，E ，F ，则 AD+DB+EC=
.12)6810(2
1
=++但上式中AD+DB=c=10， 所以内切圆半径r=EC=2. 如图建立坐标系， 则内切圆方程为:
(x-2)2+(y-2)2
=4
设圆上动点P 的坐标为(x,y),则
2222222222222||||||(8)(6)3316121003[(2)(2)]47634476884.
S PA PB PC x y x y x y x y x y x y x x x =++=-+++-++=+--+=-+--+=⨯-+=-
因为P 点在内切圆上，所以40≤≤x ， S 最大值=88-0=88， S 最小值=88-16=72
解二：同解一，设内切圆的参数方程为),20(sin 22cos 22π<α≤⎩⎨⎧α
+=α
+=y x
从而2
2
2
||||||PC PB PA S ++=
222222(2cos 6)(22sin )(22cos )(2sin 4)(22cos )(22sin )808cos ααααααα
=-+++++-++++=-因为πα20<≤，所以 S 最大值=80+8=88，S 最小值=80-8=72
八、本题考查数列的基础知识、不等式的证明和数学归纳法的运用.
1．证：先证明x n ＞2(n=1,2,…）用数学归纳法 由条件a ＞2及x 1=a 知不等式当n=1时成立 假设不等式当n=k(k ≥1)时成立
当n=k+1时，因为由条件及归纳假设知,0)2(04422
21>-⇔>+-⇔>+k k k k x x x x 再由归纳假设知不等式0)2(2
>-k x 成立，所以不等式21>+k x 也成立从而不等式x n ＞2
对于所有的正整数n 成立(归纳法的第二步也可这样）证：
2)22(2
1]211)1[(211=+>+-+-=+k k k x x x
所以不等式x n >2(n=1,2,…）成立）
再证明
).2,1(11
=<+n x x n
n 由条件及x n >2(n=1,2,…）知 ,21)1(211>⇔<-⇔<+n n n n n x x x x x 因此不等式).2,1(11 =<+n x x
n
n 也成立 （也可这样证：对所有正整数n 有
.1)1
21
1(21)111(211=-+<-+=+n n n x x x 还可这样证：对所有正整数n 有
,0)1(2)2(1>--=
-+n n n n n x x x x x 所以).2,1(11 =<+n x x
n
n ）
2．证一：用数学归纳法件x 1=a ≤3知不等式当n=1时成立
假设不等式当n=k(k ≥1)时成立
当n=k+1时，由条件及2>k x 知
22
111111112(1)(2)2(2)2(2)0(2)[(2)]0,22222
k k k k k k k k k k k k x x x x x x x +-≤+
⇔≤-+⇔-+++≤⇔--+≤再由2>k x 及归纳假设知，上面最后一个不等式一定成立，所以不等式k k x 2
1
21+≤+也成
立，从而不等式121
2-+≤n n x 对所有的正整数n 成立
证二：用数学归纳法证不等式当n=k+1时成立用以下证法：
由条件知)1
11(211-++=
+k k k x x x 再由2>k x 及归纳假设可得k k k x 21211)212(2111+=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++≤
-+ 3．证：先证明若.43,31<>+k k k x x x 则
这是因为.4
3
)1311(21)111(211=-+<-+=+k k k x x x 然后用反证法若当3
4lg 3lg
a
n >时，有,31≥+k x 则由第1小题知.3121≥>>>>+n n x x x x 因此，由上面证明的结论及x 1=a 可得,)4
3
(31231211n n n n a x x x x x x x x <⋅⋅⋅⋅
=≤++
即3
4lg 3lg
a
n <，这与假设矛盾所以本小题的结论成立 九、(本题不计入总分)本题考查导数概念、微分法和利用导数概念的物理意义解决实际问题的能力.
解：作CD ⊥AM ，并设AP=x ，AM=y ，∠COD=θ由假设，
AC 的长为
x AP 3
2
32=， 半径OC=1，可知θx 3
2
=
考虑),0(π∈x ∵△APM ∽△DCM ，DC
DM
AP AM =
∴
而.)
43()843(2,,43])3
2sin ()
32
cos 321)(32cos 1()32sin 3232cos 1)(32sin ([
/.32sin )
32
cos 1(.3
2sin )
32
cos 1(,32sin ),32cos 1(222
v dt dy M v dt
dx x dt
dx x x x x x x x x x x dt dy x
x x x y x x y x
y x DC x y DM -π-π-π==π=----+--=∴--=
--=
∴=--=点的速度
代入上式得时当解得
文史类参考答案
一、本题考查基本概念和基本运算. (1)C; (2)D; (3)A; (4)C; (5)A.
二、本题考查基础知识和基本运算,只需直接写出结果.
（1）
.223<<x （2）ππ8
4或 （3）m=0,x=-2
1. （4）1 （5）240 （6）!64
7⋅P
三．（本题满分12分）本题只要求画出图形 解：
四．（本题满分12分） 证：如果
c
b a 1
,1,1成等差数列，那么,,,1111c
c b a b a b cb c b bc b a b c a b -=--=--=-得两边乘以即 又因为a ,b,c 成等差数列，且公差不为零，所以.0≠-=-c b b a 由以上两式，可知.1
1c
a = 两边都乘以a c ，得a =c.
但由数列a ,b,c 的公差不为零，知a ≠c ，这就得出矛盾
从而
c
b a 1
,1,1不可能成等差数列 五．（本题满分14分）
六．（本题满分14分）
解：因为这个三棱锥是正三棱锥，所以△ABC 是正三角形，且DC 所在直线与△ABC 所在平面垂直如图，作△ABC 的高CE ，连结DE 由三垂线定理，知DE ⊥AB ，所以∠DEC 是二面角α-AB-β的平面角，∠DEC=30
CE=AB AB CE DE AB tg AB =⨯=︒==︒233230cos ,23602 用S 截表示△ABD 的面积，则.8,2
121322=∴=⋅==AB AB DE AB S 截 用S 底表示△ABC 的面积，则S 底=.3164
3212==⋅AB CE AB ∵∠DEC=300
，所以DC=4. ∴)(3364431631312cm DC S V =⨯⨯=⋅=底三棱锥 七．（本题满分14分）
解：设a 1为这家工厂1983年生产这种产品的年产量，即a 1=2.
并将这家工厂1984，1985，…年生产这种产品的年产量分别记为a 2,a 3, ….根据题意，数
列{a n }是一个公比为1.2的等比数列，其通项公式为12.12-⨯=n n a
根据题意，设122.121=⨯-n 两边取常用对数，得
84.1010791
.07781.0112lg 23lg 2lg 2lg 23lg 12.1lg 2lg 12lg .
12lg 2.1lg )1(2lg ≈+=+-+-+=+-==-+x x 因为x
y 2.12⨯=是增函数，现x 取正整数，可知从1993年开始，这家工厂生产这种产品的产量超过12万台 答：略
八．（本题满分15分） 1．解：把C 1的方程化为标准方程，得.102,5,5315
45:2
21===∴=+c b a y x C 可知椭圆C 1的中心是原点，焦点坐标分别是)0,102(),0,102(-
把C 2的方程化为标准方程，得.24,2,614
36)3(:2
22===∴=+-c b a y x C 可知椭圆C 2的中心坐标是（3，0），焦点坐标分别)0,243(),0,243(-+
2．解一：解方程组⎪⎩⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧-=====--+=-+,2,3,2,3,
02769,04592222y x y x x y x y x 或解得 所以两椭圆C 1，C 2的交点坐标是A （3，2），B （3，-2）
设所求圆的方程为x 2+y 2+Dx+Ey+F=0.
因为A ，B 两点在圆上，所以有⎩⎨⎧--===++-=+++133,0.
01323,01323D F E F E D F E D 解得
从而所求圆的方程为x 2+y 2+Dx-3D-13=0
由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知方程 28,205626006912)422(50133)2
11(
2222-===-+=+-++=--+++D D D D D x D x D Dx x x 或解得就是的判别式为即 从而所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0,或x 2+y 2
-28x+71=0.
解二：同解一，求出两椭圆交点坐标为A （3，2），B （3，-2）
所求圆的圆心在线段AB 的垂直平分线上即x 轴上，因此可设圆心为（m,0)
由所求圆与直线x-2y+11=0相切，可知点（m,0)到直线x-2y+11=0的距离等于点（m,0)与点A （3，2）之间的距离（都等于所求圆的半径），所以 01413:,2)3(41|
11|222=--+-=++m m m m 化简得整理解得m=-1,或m=14.
当m=-1时，圆的半径52=r ，所求圆的方程是x 2+y 2+2x-19=0;
当m=14时，圆的半径55=r ，所求圆的方程是x 2+y 2-28x+71=0.。