稳定性数学模型
生活中的数学模型案例
生活中的数学模型案例吉林省松原市宁江区第五中学二年三班许立伟指导教师：李光辉生活中的数学模型案例吉林省松原市宁江区第五中学许立伟生活与数学是分不开的，在很多领域中人们总在用不同的数学模型来描述、刻画某些生活现象或规律。
其实数学和数学模型离我们很近，它是和语言一样具有国际通用性的一种工具，无论你从事什么职业。
都不同程度地会用到数学知识与技能以及数学模型的思考方法。
本文是我对日常生活中一般数学模型的了解，并运用数学模型来分析和解决生活中常见的几个实际问题。
案例一三角形具有稳定性通过课本的学习我知道三角形具有稳定性，有着稳固、坚定、耐压的特点。
原因是一旦三角形的三个边长确定了，三角形就确定了，各个角的角度，三个边所围成的面积，等等都不会改变，我也学过三个点可以确定一个面。
一个三条腿的板凳不论在哪里都可以放稳。
所以其实三角形是稳定的。
埃及金字塔、钢轨、起重机、三角形吊臂、屋顶、三角形钢架、钢架桥中都应用三角形的原理。
案例二轴对称图形什么是轴对称图形呢？如果把一个图形沿着一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。
在我们的生活中，有很多美丽的轴对称图形。
数字：0 3 8 字母：E H 汉字：中由日等，还有很多建筑如案例三黄金分割比黄金分割比是把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。
近似值是0.618。
由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割。
也称为中外比。
一个常见的生活案例：女士们多数喜欢穿高跟鞋．因为高跟鞋使人的身材更美，那穿多高的跟才能使女士显得迷人呢? 经过计算发现，人体的腿长与身高的比值近似0．618时(也即是黄金分割比值)。
其身材显得迷人漂亮(肚脐足理想的黄金分割点)，也就是说，若此比值愈接近0．618．就愈给人一种美的感觉，一般女士由脚底至肚脐的长度与身高比都不能达到此比值，要通过高跟鞋来调节。
总之，生活中的数学和数学模型可以说是无处不在的。
数学建模简介
●模型求解和分析
在模型构成中建立的数学模型可以采用解方程、推理、图 解、计算机模拟、定理证明等各种传统的和现代的数学方法对 其进行求解，其中有些可以用计算机软件来做这些工作。建模 的目的是解释自然现象、寻找规律以解决实际问题。要达到此 目的，还要对获得结果进行数学上的分析，如分析变量之间的 依赖关系和稳定状况等，这一过程称为模型求解与分析。
( x y) 30 750 ( x y) 50 750
实际上方程组就是上述航行问题的数学模型。列 出方程组，原问题已转化为纯粹的数学问题。方程的 解x=20km/h、y=5km/h，最终给出了航行问题的答案。
大家都做过数学应用题，比如说“树上有十只鸟，开枪打死一 只，还剩几只？”，这样的问题就是一道数学应用题，正确答案应 该是0只。这样的题同样是数学建模题，不过答案就不重要了，重 要是过程。 真正的数学建模选手会这样回答这道题。 “是无声手枪吗？”“您确定那只鸟真的被打死啦？” “树上的鸟里有没有聋子？”“有没有关在笼子里的？” “边上还有没有其他的树，树上还有没有其他鸟？” “有没有残疾的或饿的飞不动的鸟？”“算不算怀孕肚子里的小 鸟？”“打鸟的人眼有没有花？保证是十只？” “有没有傻的不怕死的？”“会不会一枪打死两只？” “所有的鸟都可以自由活动吗？”“如果您的问题没有骗人，打死 的鸟要是挂在树上没掉下来，那么就剩一只，如果掉下来，就一只 不剩。”
分析：设甲桶中有x个红球，乙桶中有y个蓝球，因为对
甲桶来说，甲桶中的蓝球数加上乙桶中的蓝球
数等于10000，所以
10000-x+y=10000
即 x=y
故甲桶中的红球和乙桶中的蓝球一样多。
问题2、哥哥和妹妹分别在离家2km和1km且方向相反的两 所学校上学，每天同时放学后分别以4km/h和2km/h的速度 步行回家。一小狗以6km/h的速度由男孩处奔向女孩，又 从女孩处奔向男孩，如此往返直至回到家中，问小狗奔跑 了多少路程？
《离散系统的稳定性》课件
离散系统稳定性控制的方法
极点配置法
通过选择适当的系统参数， 使得系统的极点位于复平面 的某一区域，从而实现系统 的稳定性。
反馈控制
利用负反馈原理，通过将系 统输出信号的一部分或全部 反馈到输入端，对系统进行 调节，使其达到稳定状态。
状态反馈控制
根据系统当前状态变量反馈 信息，计算出控制输入信号 ，使得系统状态变量能够跟 踪设定的参考轨迹。
离散系统的应用领域
• 离散系统广泛应用于工程、科学 、经济和社会等领域。例如，数 字信号处理、控制系统、计算机 仿真、经济模型等领域中经常涉 及到离散系统的分析和设计。
02 离散系统的稳定性分析
离散系统的稳定性定义
离散系统
离散系统是指系统的状态变量只在离 散时刻发生变化，如数字电路、控制 系统等。
05 离散系统稳定性的未来研 究方向
离散系统稳定性的深入研究
深入研究离散系统的稳定性理论，包括离散系统的稳定性判据、离散系统的稳定性分析方法等，以提 高对离散系统稳定性的认识和理解。
深入研究离散系统的动态行为，包括离散系统的响应特性、离散系统的控制性能等，以揭示离散系统 稳定性的内在机制。
离散系统稳定性与其他领域的交叉研究
离散系统的稳定性分析方法
直接法
直接法是通过分析系统状态方程的解的性质，判断系统是否稳定。例如，通过 求解状态方程的解，观察其收敛性或发散性，判断系统的稳定性。
频域分析法
频域分析法是通过将离散系统转化为频域表示形式，分析系统的频率响应特性 ，判断系统的稳定性。例如，通过绘制系统的频率响应曲线，观察其穿越频率 和阻尼比等参数，判断系统的稳定性。
鲁棒控制
针对具有不确定性的离散系 统，设计一种控制策略，使 得系统在各种不确定性条件 下都能保持稳定。
自动控制原理第四章-1-劳斯稳定性判据
04
劳斯稳定性判据的优缺点
优点
简单易行
劳斯稳定性判据是一种直接的方法，用于确定系统的稳定 性。它不需要求解系统的极点，只需要检查劳斯表格的第 一列。
普遍适用性
劳斯稳定性判据适用于所有线性时不变系统，无论系统是 单输入单输出（SISO）还是多输入多输出（MIMO）。
数学基础
劳斯稳定性判据基于数学中的因式分解和不等式性质，具 有坚实的数学基础。
劳斯稳定性判据的局限性在于它只能判断系统 的稳定性，无法给出系统动态性能的评估和优 化。
对自动控制原理的展望
随着科技的发展，自动控制原理的应用领域不断扩大，涉及到工业、交通、医疗、 农业等多个领域。
未来，自动控制原理将与人工智能、机器学习等先进技术相结合，实现更加智能化、 自适应的控制方案。
自动控制原理的理论体系也将不断完善和发展，以适应不断变化的应用需求和技术 环境。
2
在航空航天领域，为了确保飞行器的安全和稳定， 需要利用劳斯稳定性判据对飞行控制系统进行稳 定性分析和设计。
3
在化工领域，为了确保生产过程的稳定和安全， 需要利用劳斯稳定性判据对工业控制系统进行稳 定性分析和设计。
02
劳斯稳定性判据的基本原理
线性系统的稳定性
线性系统
01
在自动控制原理中，线性系统是指系统的数学模型可以表示为
缺点
01
对初始条件的敏感性
劳斯稳定性判据对系统的初始条件非常敏感。即使系统在大部分时间内
是稳定的，如果初始条件设置不正确，可能会导致错误的稳定性判断。
02
数值稳定性问题
在计算劳斯表格时，可能会遇到数值稳定性的问题，例如数值溢出或数
值不精确。这可能会影响判据的准确性。
电力系统暂态稳定性分析的数学模型及其求解方法
电力系统暂态稳定性分析的数学模型及其求解方法电力系统暂态稳定性是电力系统运行中一个重要的问题，它涉及到了电力系统的可靠性和安全性。
在电力系统中，由于各种原因（如电力故障、突发负荷变化等），系统会发生暂态扰动，这会对系统的稳定性产生影响。
因此，对电力系统的暂态稳定性进行分析和求解具有重要的实际意义。
一、电力系统暂态稳定性的数学模型电力系统暂态稳定性的数学模型是对电力系统进行描述和分析的基础。
其核心是用一组偏微分方程描述电力系统的动态行为。
通常，电力系统暂态稳定性的数学模型可以分为两个方面，即电力系统的动态方程和控制方程。
1. 电力系统的动态方程电力系统的动态方程描述了电力系统各个元件（包括发电机、负荷等）的动态行为。
其中，最重要的是发电机的动态方程，其模型可以采用不同的形式，如压敏调压器模型、电压控制器模型等。
此外，还需要考虑负荷、传输线和变压器的动态方程等。
2. 电力系统的控制方程电力系统的控制方程是为了描述系统中各种控制装置的动态行为。
常见的控制方程包括励磁控制方程、电压和功率控制方程等。
这些方程描述了控制装置对电力系统的调控作用，能够稳定系统的运行。
二、电力系统暂态稳定性的求解方法为了求解电力系统的暂态稳定性问题，需要采用一些数值计算方法。
以下介绍几种常用的求解方法。
1. 时域法时域法是一种基于系统动态方程的求解方法。
它通过数值积分的方式，迭代求解系统的动态响应。
这种方法适用于电力系统的小扰动和中等扰动情况，可以得到系统的暂态过程。
2. 频域法频域法是一种基于系统频域响应的求解方法。
它可以通过系统的频率响应特性来分析系统的暂态稳定性。
常见的频域法有等效系统法、阻抗法等。
这些方法适用于长时间尺度上的电力系统分析。
3. 优化算法优化算法是一种基于优化理论的求解方法。
它通过优化问题的数学模型，寻找系统的最优运行条件，以提高电力系统的暂态稳定性。
常见的优化算法有遗传算法、粒子群算法等。
4. 强化学习算法强化学习算法是一种基于智能系统的求解方法。
生态系统稳定性的数学模型分析
生态系统稳定性的数学模型分析生态系统是由生物、非生物及它们之间相互作用组成的一个复杂系统。
它包含了各种气体、水、土壤、植物和动物等要素，这些要素之间相互依存、相互作用，形成了一个相对稳定的系统。
然而，由于人类对自然环境的破坏和污染，使得很多生态系统无法保持原有的平衡和稳定，很容易出现劣化和破坏。
为了解决这个问题，科学家们通过建立数学模型来研究生态系统的稳定性，从而预测出生态系统变化的趋势，并制定相应的保护方案。
下面，我们将介绍一些常用的生态系统稳定性数学模型。
1. Rosenzweig-MacArthur模型Rosenzweig-MacArthur（RM）模型是用来研究食物链稳定性的经典模型。
它的基本思想是通过食物链上的捕食关系来分析生态系统的稳定性。
该模型采用两种物种——食饵和掠食者来模拟生态系统，假设食饵和掠食者之间的相互作用遵循Logistic增长模型和Lotka-Volterra方程，分析它们的数量变化。
RM模型中，掠食者数量的增长受到食饵数量的限制，而食饵数量的减少是受到掠食者数量的影响。
通过这两种相互作用的平衡，RM模型可以分析出食物链稳定性是否会破坏。
2. Holling-II模型Holling-II模型是一种关于捕食者与食饵数量之间关系的经典模型。
该模型认为，食饵数量的增加会导致捕食者数量的增加，而当食饵数量达到一定程度时，捕食者的数量就会饱和或变化趋于平缓。
Holling-II模型中，食饵数量的增长率是一个关于食饵数量本身的函数，而捕食者数量的增长率则考虑到食饵数量对其的影响。
通过该模型可以分析出生态系统是否处于均衡状态，并且可以预测出生态系统在受到外界干扰时的反应。
3. Ricker模型Ricker模型是用来分析种群数量变化的数学模型。
该模型认为，种群数量的变化受到环境因素的影响，而环境因素则可以用时间的函数来表达。
Ricker模型中，种群数量的增长率是一个关于种群密度的函数，函数形式即为Ricker方程形式，可以用来预测种群数量的变化趋势。
多种群落数学模型的稳定性分析
报（自然科学版）2007,35(2)
利用Liapunov第二方法,通过构造Liapunov函数,讨论了一类具有非线性密度制约的食物链生态系统平衡点的稳定性.
7.学位论文 杨顺文 Nash平衡点的存在性和通有稳定性 2006
朱吉祥， 朱丽 陕西师范大学数学与信息科学学院,西安,710062
陕西师范大学继续教育学报 JOURNAL OF FURTHER EDUCATION OF SHAANXI NORMAL UNIVERSITY 2002，19(1) 0次
参考文献(3条) 1.朱吉祥 生态数学模型的定性分析 1999(01) 2.Hirsch M· W.Smale S Differential Equations, Dynamical Systems,and Linear Algebra 1974 3.刘志汉 常微分方程 1987
全文共分三章： 第一章：简要介绍在本文中将用到的基础知识。主要包括拓扑空间中的紧性和连通性、度量空间的完备性和Hausdorff距离、Baire空间和通有性、 凸集与凸函数、集值映射及其半连续性等有关概念和性质。 第二章：系统地研究了集值映射平衡点集的稳定性。首先给出了一致度量拓扑下集值映射平衡点集的通有稳定性，并在图像拓扑意义下作出了推广 。然后用俞建等2004年给出的一个统一的本质连通区的存在性条件重新推导出了集值映射平衡点集至少存在一个本质连通区。最后给出两个应用，由集 值映射平衡点集至少存在一个本质连通区导出了集值映射不动点集至少存在一个本质连通区和集值映射重合点集至少存在一个本质连通区。 第三章：两类特殊问题解集的本质连通区。进一步研究了微分包含问题和线性模型中最大似然估计问题解的稳定性，得到了微分包含解集和最大似 然估计解集都至少存在一个本质连通区。
李雅普诺夫稳定性的基本定理
定义3-5 设xRn,是Rn中包含原点的一个区域,若实函数V(x) 对任意n维非零向量x都有V(x)>0;当且仅当x=0时,才有
V(x)=0,
则称函数V(x)为区域上的正定函数。
实函数的正定性(2/4)—函数定号性定义
K2
x1
K1, K2 0
试确定系统在原点处的稳定性。
解 1： 由状态方程知,原点为该系统的平衡态。
将系统在原点处线性化,则系统矩阵为
f (x)
0
A x xxe K2
因此,系统的特征方程为
1
K1
|I-A|=2+K1+K2=0
李雅普诺夫第一法(8/7)
李雅普诺夫第一法(2/7)
下面将讨论李雅普诺夫第一法的结论以及在判定系统的状态稳 定性中的应用。
设所讨论的非线性动态系统的状态方程为 x’=f(x)
其中f(x)为与状态向量x同维的关于x的非线性向量函数,其各元 素对x有连续的偏导数。
参看课本P167
李雅普诺夫第一法(5/7)
李雅普诺夫第一法的基本结论是: 1. 若线性化系统的状态方程的系统矩阵A的所有特征值都 具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe渐近稳定,而且系 统的稳定性与高阶项R(x)无关。 2. 若线性化系统的系统矩阵A的特征值中至少有一个具有 正实部,则原非线性系统的平衡态xe不稳定,而且该平衡态 的稳定性与高阶项R(x)无关。 3. 若线性化系统的系统矩阵A除有实部为零的特征值外,其 余特征值都具有负实部,则原非线性系统的平衡态xe的稳 定性由高阶项R(x)决定。
=-mgx’(cos-fsin)+mgx’cos =mgx’fsin
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0
x2
N2 /1
N2
0
(3) 1<1, 2<1 P3 稳定
0
N 1 / 2 x1
P3
0
0
x2
N2
N2 /1
N1
N 1 / 2 x1
0
N1
P2
0
(4) 1>1, 2>1
有相轨线趋向P1 有相轨线趋向P2
P1, P2都不 (局部)稳定
P3
0
p1 ( N1 ,0)
2>1, 1<1 1>1, 2<1
p2 (0, N 2 )
r1 (1 1 ) r2 r1r2 (1 1 )
N1 (1 1 ) N 2 (1 2 ) r1 (1 1 ) r2 (1 2 ) r1r2 (1 1 )(1 2 ) 1<1, 2<1 p3 1 , 1 1 1 2 1 1 2 1 2 1 2
• 鱼销售价格p
• 单位捕捞强度费用c 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE
单位时间利润
R T S pEx cE
稳定平衡点 x0 N (1 E / r )
E R ( E ) T ( E ) S ( E ) pNE (1 ) cE r r c r ER (1 ) E* 求E使R(E)最大 2 pN 2 rN c2 渔场 x N (1 ER ) N c hR (1 2 2 ) R 4 p N 2 2p 鱼量 r
北方民族大学信息与计算科学系
6.1
捕鱼业的持续收获
问 题 及 分 析
• 在捕捞量稳定的条件下，如何控 制捕捞使产量最大或效益最佳。 • 如果使捕捞量等于自然增长量，渔 场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。
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产量模型 假
x(t) ~ 渔场鱼量
• 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律
线性常系数 x(t ) ax by 的平衡点及其稳定性 微分方程组 y (t ) cx dy
ax by 0 cx dy 0
平衡点P0(x0,y0)=(0,0) ~代数方程
的根
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军备竞赛
平衡点 稳定性判断
模型
x (t ) x k y g y (t ) lx y h
S2
0
S1 : x1 0, x2 0 S 2 : x1 0, x2 0
S3 : x1 0, x2 0
P1
N2
S1
0
N1 / 2
N 1 x1
P1(N1,0)是稳定平衡点
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x2
N2
N2 /1
P2
(2) 1>1, 2<1
x1 x2 0 1 f ( x1 , x2 ) r1 x1 1 N1 N2 g ( x , x ) r x 1 x1 x2 0 1 2 2 2 2 N1 N 2
平衡点：P ( N1 ,0), P2 (0, N 2 ), 1
模
•甲乙两种群独自生存时数量变化 均服从Logistic规律;
型
假 设 模型
x1 x1 (t ) r1 x1 (1 ) N1
•乙对甲增长的阻滞作用与乙的数量成正 比; 甲对乙有同样的作用。
x2 x2 (t ) r2 x2 (1 ) N2
x1 x2 x2 x1 x1 (t ) r1 x1 1 1 x2 (t ) r2 x2 1 2 N N1 N 2 N2 1
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E r F ( x0 ) 0, F ( x1 ) 0
E~捕捞强度
x0稳定, x1不稳定
x0不稳定, x1稳定
r~固有增长率
x0 稳定, 可得到稳定产量
x1 稳定, 渔场干枯
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y
F ( x) 0
f 与h交点P
hm h
y=rx y=E*x
P*
E r x0稳定
y=h(x)=Ex y=f(x) x
P
0
x0*=N/2
x0
N
P ( x0 N / 2, hm rN / 4)
* *
* E * hm / x0 r / 2
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效益模型
假设
在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞 强度使效益最大.
x1 x2 ( x1 , x2 ) 1 1 N1 N2
x1 x2 ( x1 , x2 ) 1 2 N1 N 2 S1 : 0, 0
t x1, x2 t x1 , x2 t x1, x2
x2
N2 /1
S3
0
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第六章
6.1
6.2
稳定性模型
捕鱼业的持续收获
军备竞赛
6.3
6.4
种群的相互竞争
种群的相互依存
6.5
种群的弱肉强食
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稳定性模型
• 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时 间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状 态是否稳定。 • 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性 理论研究平衡状态的稳定性。
2>1 甲的竞争力强
甲达到最大容量，乙灭绝
• P2稳定的条件：1>1, 2<1 • P3稳定的条件：1<1, 2<1 通常1 1/2，P3稳定条件不满足
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捕捞 • 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 E 过度 • 开放式捕捞只求利润R(E) > 0
E R ( E ) T ( E ) S ( E ) pNE (1 ) cE r
R
r c (1 ) 2 pN
c Es r (1 ) pN
R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER
P1稳定的条件：直接法2>1
P1
0
N1 / 2
加上与(4)相区别的 1<1
x1
N1
P1全局稳定
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结果解释
• P1稳定的条件：1<1, 2>1
对甲增长的阻滞 作用，乙小于甲 乙的竞争力弱
对于消耗甲的资源而言， 乙(相对于N2)是甲(相对 1 1 于N1)的1 倍。
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3）若 g,h 不为零，即便双方一时和解，使某时x(t), y(t) 很小，但因 x 0, y 0，也会重整军备。
4）即使某时一方(由于战败或协议)军备大减, 如 x(t)=0， 也会因 x ky g 使该方重整军备， 即存在互不信任( k 0 ) 或固有争端( g 0 ) 的单方面 裁军不会持久。
p4 (0,0)
(r1 r2 )
r r2 1
不稳定
P1, P2 是一个种群存活而另一灭绝的平衡点
P3 是两种群共存的平衡点
P1稳定的条件 1<1 ?
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平衡点稳 定性的相 轨线分析
(1) 2>1, 1<1
x1 x2 x1 (t ) r1 x1 1 1 N N2 1 x1 x2 x2 (t ) r2 x2 1 2 N1 N 2
N1 (1 1 ) N 2 (1 2 ) P3 1 , 1 , P4 (0,0) 1 2 1 2
仅当1, 2 < 1或1, 2 > 1时，P3才有意义
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平衡点稳 定性分析
x1 x2 1 f ( x1 , x2 ) r1 x1 1 N1 N2 g ( x , x ) r x 1 x1 x2 1 2 2 2 2 N1 N 2
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模型的定性解释
双方军备稳定(时间充分长后趋向有限值)的条件
kl
1) 双方经济制约大于双方军备刺激时，军备竞赛 才 会稳定，否则军备将无限扩张。 2) 若g=h=0, 则 x0=y0=0, 在 > kl 下 x(t), y(t)0,
即友好邻国通过裁军可达到永久和平。
设
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建
x(t)~甲方军备数量， y(t)~乙方军备数量
模
x(t ) x ky g
y(t ) lx y h
, ~ 本方经济实力的制约；
k, l ~ 对方军备数量的刺激；
g, h ~ 本方军备竞赛的潜力。
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1 1
对甲增长的阻滞 作用，乙大于甲
乙的竞争力强
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模型 t 时x1 (t ), x2 (t )的趋向 (平衡点及其稳定性) 分析
(二阶)非线性 (自治)方程
x1 (t ) f ( x1 , x2 ) x2 (t ) g ( x1 , x2 )
的平衡点及其稳定性
kh g x0 , kl
k
l g h y0 kl
p ( ) 0 q det A kl
系数 A l 矩阵