滑移线法
理想刚塑性体的
平面应变问题
1
金属塑性加工变形的特点：
材料的塑性变形很大
弹性变形可以忽略
冲模对金属块状材料的作用（塑性成形）
塑性极限状态的荷载
理论分析方法：滑移线法
2
13
滑移线的几何性质
当滑移线沿着与之相交的另一族滑移线过渡到同族的另一条滑移线时，和的变化为常量。
θσHencky 第一定理：
沿滑移线性质：
9沿着滑移线平均应力的变化与夹角的变化成比例θσ9当滑移线为直线，均沿着滑移线为常数θσ9在被两根滑移线所截的另一族滑移线中，若某一段为直线，则被截的所有滑移线段都为直线
简单滑移线场
1. 均匀滑移线场
αβ
和线为两族相互正交的直线，代表均匀应力状态2. 中心扇形滑移线场
滑移线场为同心圆族和在圆心共点的直线族组成，
代表简单应力状态
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滑移线场求解问题的例题
1. 刚性平冲头压入半平面的极限荷载
2. 单边受压力的楔形体
3. 两侧带缺口板条的拉伸
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高中数学线面角与线线角例题、习题-学生
线面角与线线角专练（小练习一）【知识网络】 1、异面直线所成的角：（1）范围：(0,]2π θ∈； （2）求法； 2、直线和平面所成的角：（1）定义：（2）范围：[0,90]o o ；（3）求法； 【典型例题】 例1：（1）在正方体1111ABCD A B C D -中，下列几种说法正确的是 （ ） A 、11AC AD ⊥ B 、11D C AB ⊥ C 、1AC 与DC 成45o 角 D 、11AC 与1B C 成60o 角 （2）在正方体AC 1中，过它的任意两条棱作平面，则能作得与A 1B 成300角的平面的个数为 （ ） A 、2个 B 、4个 C 、6个 D 、8个 （3）正六棱柱ABCDEF －A 1B 1C 1D 1E 1F 1底面边长是1，2则这个棱柱的侧 面对角线E 1D 与BC 1所成的角是 （ ） A ．90o B ．60o C ．45o D ．30o （4）在空间四边形ABCD 中，AB ⊥CD ，BC ⊥DA ，那么对角线AC 与BD 的位置关系是 。 （5）点AB 到平面α距离距离分别为12，20，若斜线AB 与α成030的角，则AB 的长等于__ ___. 例2：．如图：已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1，AB ＝AC ，F 为棱BB 1上一点，BF ∶FB 1＝2∶1，BF ＝BC ＝2a 。 （I ）若D 为BC 的中点，E 为AD 上不同于 A 、D 的任意一点，证明EF ⊥FC 1； （II ）试问：若AB ＝2a ，在线段AD 上的E 点能否使EF 与平面BB 1C 1C 成60°角，为什么？证明你的结论。 例3： 如图, 四棱锥P-ABCD 的底面是AB=2, BC =2的矩形, 侧面PAB 是等边三角形, 且侧面 PAB ⊥底面ABCD. (Ⅰ)证明:BC ⊥侧面PAB; (Ⅱ)证明: 侧面PAD ⊥侧面PAB; (Ⅲ)求侧棱PC 与底面ABCD 所成角的大小; A B C D P
7滑移线法分析
18.2 滑移线法slip field theory 内容：滑移线法原理及应用。 重点：滑移线场slip field 的合理建立。 滑移线： 塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线 特点： 滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场 适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题再适当推广 满足条件：静力学+运动学（速度场条件） 18.2.1 基本概念 18.2.1.1 平面变形的应力 ???? ???????=+32 120 00000 03 1σσεσσ 23 1σσσ+= m 塑变屈服时()K =-=3121 max σστ
莫尔圆为： ??? ??±=+=-=ω τω σσω σσ2cos 2sin 2sin k k k xy m y m x ?????-==+==k k m m m σσσσσσω3 2145时 18.2.2 最大切应力迹线——滑移线 变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，P 3，……P 6 1τ为P 1点最大切应力方向 2τ为P 2点 的 （1τ为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。 α族，β族 18.2.2.1 ωβα及. 1） 逆时针方向 线组成顺时针方向族线西侧的最大切应力,.βα 图7-3
2）角方向成线为线 4531σσβα 3） ()同坐标轴逆时针正轴正向为起始顺时针负角以,ox ω 18.2.2.2 滑移线方程 ()()?? ???-=+==族βωωω πctg tg tg dx dy dx dy 2 Hencky 方程：ωσ~m 平面应变应力平衡微分方程为： ?? ???=+ =+????????00y x y x y y x x y x σττσ 将屈服准则式代入有 () ???????=--??=+-??????????02cos 2sin 20)2sin 2(cos 2y x m y x m k y k x ωωω ωωωσ ωωσ 未知数：m σ，ω，但难求。 变换坐标系：取滑移线本身作坐标轴
线面角的计算方法
教师姓名 余永奇 学生姓名 洪 懿 上课时间 2014.11.15 辅导学科 数学 学生年级 高二 教材版本 人教版 课题名称 线面角，二面角的计算方法（文科） 本次学生 课时计划 第（10）课时 共（60）课时 教学目标 线面角的计算方法 教学重点 线面角的计算方法 教学难点 线面角的计算方法 教师活动 学生活动 上次作业完成情况(%) 一．检查作业完成情况，并讲解作业中存在的问题 二．回顾上次课辅导内容 三．知识回顾，整体认识 1、本章知识回顾 （1）空间点、线、面间的位置关系； （2）直线、平面平行的判定及性质； （3）直线、平面垂直的判定及性质。 2、本章知识结构框图 （二）整合知识，发展思维 1、刻画平面的三个公理是立体几何公理体系的基石，是研究空间图形问题，进行逻辑推理的基础。 公理1——判定直线是否在平面内的依据； 公理2——提供确定平面最基本的依据； 公理3——判定两个平面交线位置的依据； 公理4——判定空间直线之间平行的依据。 2、空间问题解决的重要思想方法：化空间问题为平面问题； 3、空间平行、垂直之间的转化与联系： 平面（公理1、公理2、公理3、公理4） 空间直线、平面的位置关系 直线与直线的位置关系 直线与平面的位置关系 平面与平面的位置关系 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行
4、观察和推理是认识世界的两种重要手段，两者相辅相成，缺一不可。 典型例题： 线面夹角的计算 例1（2014浙江高考文科20题）如图，在四棱锥A-BCDE中，平面ABC⊥平面BCDE，∠CDE=∠BED =90°，AB=CD=2, DE=BE=1，AC=2. （Ⅰ）证明：AC⊥平面BCDE； （Ⅱ）求直线AE与平面ABC所成的角的正切值. 例2(2013浙江，文20)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB＝BC＝2，AD＝CD＝7，PA ＝3，∠ABC＝120°，G为线段PC上的点． (1)证明：BD⊥平面APC； (43 3 ) (2)若G为PC的中点，求DG与平面APC所成的角的正切值； (3)若G满足PC⊥平面BGD，求PG GC 的值．(3/2) 直线与直线垂直直线与平面垂直平面与平面垂直
线面角的求法总结
线面角的三种求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ ,则sin θ =h ／AB=4／5
高中数学必修2立体几何专题线面角典型例题求法总结
线面角的求法 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。（2）SC 与平面ABC 所成的角。 B M H S C A 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 A 1 C 1 D 1 H 4 C B 1 23 B A D
8滑移线法(参考模板)
第八章 滑移线法 返 回目录 本章内容：滑移线法原理及应用。 本章重点：滑移线场的合理建立。 滑移线： 塑性变形物体内各质点的最大切应力迹线 特点： 滑移线（成对出现，相互正交）→滑移线场 适用范围：理想刚塑性材料的平面变形问题，再适当推广 满足条件：静力学+运动学（速度场条件） 第一节 基本概念 平面变形的应力状态 ???? ? ??????=+32 120 0000 03 1σσεσσ 231σσσ+=m 塑变屈服时()K =-=3121 max σστ
莫尔圆为： ??? ??±=+=-=ω τω σσωσσ2cos 2sin 2sin k k k xy m y m x ?????-==+==k k m m m σσσσσσω3 2145时 第二节 最大切应力迹线——滑移线 变形平面xoy ，取点P 1及邻近点P 2，P 3，……P 6 1τ为P 1点最大切应力方向 2τ为P 2 （1τ为P 1P 2折线）当P 1P 2无限邻近时，曲线变为光滑曲线即滑移线。 α族，β族 一 规定族线及转角ωβα. 1) 位于第一与第最大主应力族线构成右手坐标系，、1σβα 图7-3 2） 逆时针方向 线组成顺时针方向族线西侧的最大切应力,,.βα
3）()同坐标轴逆时针正轴正向为起始顺时针负角以,ox ω 二 滑移线方程 ()()?? ???-=+ ==族族）βωωαωπ ctg tg tg dx dy dx dy 2 ( Hencky 方程：ωσ~m 平面应变应力平衡微分方程为： ?? ???=+=+????????00y x y x y y x x y x σττσ 将屈服准则式代入有 () ???????=--??=+-??????????02cos 2sin 20)2sin 2(cos 2y x m y x m k y k x ωωω ωωωσ ωωσ 未知数：m σ，ω，但难求。变换坐标系：取滑
线面角与面面角同步练习题
线面角与面面角同步练习题 1.设集合A 、B 、C 分别表示异面直线所成的角、平面的斜线与平面所成的角、直线与平面所成的角的取值范围,则 (A)A=B=C (B)A=B ?C (C)A ?B ?C (D) B ?A ?C. 2．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ?α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为 A ．有最小值θ，有最大值2π B ．无最小值，有最大值2 π 。 C ．有最小值θ，无最大值 D ．有最小值θ，有最大值π-θ。 3.∠ACB=90ο在平面α内,PC 与CA 、CB 所成的角∠PCA=∠PCB=60o ,则PC 与平面α所成的角为 . 4.平面α与直线a 所成的角为 3 π ,则直线a 与平面α内所有直线所成的角的 取值范围是 ． 5.有一个三角尺ABC,∠A=30ο, ∠C=90ο,BC 是贴于桌面上,当三角尺与桌面成45ο 角时,AB 边与桌面所成角的正弦值是 ． 6．正三棱锥的侧面与底面所成的二面角为arctan ，则它的侧棱与底面所成的角为 7.如图在正方体AC 1中, (1) 求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角; (2) 求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 8．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值． 9．A 是△BCD 所在平面外的点，∠BAC=∠CAB=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. （Ⅰ）求证：AB ⊥CD ； （Ⅱ）求AB 与平面BCD 所成角的余弦值. 10．正四面体ABCD 中，E 是AD 边的中点，求：CE 与底面BCD 所成角的正弦值． A C B
空间中线线角,线面角,面面角成法原理与求法思路
D B A C α 空间中的夹角 福建屏南一中 李家有 QQ52331550 空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 1、异面直线所成的角 （1）异面直线所成的角的范围是]2,0(π 。求两条异面直线所成的角的大小一般方法是通过平行移动 直线，把异面问题转化为共面问题来解决。 具体步骤如下： ①利用定义构造角，可固定一条，平移另一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选择在特殊的位置上； ②证明作出的角即为所求的角； ③利用解三角形来求角。简称为“作，证，求” 2、线面夹角 直线与平面所成的角的范围是]2,0[π 。求直线和平面所成的角用的是射影转化法。 具体步骤如下：（若线面平行，线在面内，线面垂直，则不用此法，因为角度不用问你也知道） ①找过斜线上一点与平面垂直的直线； ②连结垂足和斜足，得出斜线在平面的射影，确定出所求的角； ③把该角置于三角形中计算。 也是简称为“作，证，求” 注：斜线和平面所成的角，是它和平面内任何一条直线所成的一切角 中的最小角，即若θ为线面角，β为斜线与平面内任何一条直线所成的角，则有θβ≤；（这个证明，需要用到正弦函数的单调性，请跳过。在右图的解释为 BAD CAD ∠>∠） ） 2.1确定点的射影位置有以下几种方法： ①斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上； ②如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上； 已知：如图，BAC ∠在一个平面α内， ,,PN AC PM AB PN PM ⊥⊥且＝（就是点P 到角 两边的距离相等）过P 作PO α⊥（说明点O 为P 点 在面α内的射影） 求证：OAN OAM ∠∠＝ （OAN OAM ∠∠＝，所以AO 为BAC ∠的角 平分线，所以点O 会在BAC ∠的角平分线上） 证明：Q PA ＝PA ，PN ＝PM ， 90PNA PMA ∠∠?＝＝ PNA PMA ∴???（斜边直角边定理） AN AM ∴＝ ①
线面角的几种求法
线面角的三种求法 河北 王学会 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5
线面所成角的求法
线面所成角的求法 ⒈作图——证明——计算 求角的关键在于找出平面的垂线及斜线的射影。一般地通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线来找角。角的计算一般是把已知条件归结到同一个或归结到几个有关的三角形中，从而把空间的计算转变为平面图形内的解直角三角形或斜三角形的问题。 3.向量法： 如图，设l 为平面α的斜线，l ∩α＝A ，a 为l 的方向向量，n 为平面α的法向量，φ为l 与α所成的角，则sin φ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n ||a ||n | . 1．在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中对角线B 1D 与平面 A 1BC 1所成的角大小为 ( ) 2．如图，在棱长均为1的三棱锥S －ABC 中，E 为棱SA 的中点，F 为△ABC 的中心，则直线EF 与平面ABC 所成角的正切值是 ( ) 3．已知正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的侧棱长与底面边长相等，则AB 1与侧面ACC 1A 1所成角的正弦值等于( ) A.64 B.104 C.22 D.32 4．如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，A 1D 与BC 1 所成的角为π2 ，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成角的正弦值为( )
A.63 B.12 C.155 D.32 5.．正四棱锥S -ABCD 中，O 为顶点在底面上的射影，P 为侧棱SD 的中点，且SO ＝OD ，则直线BC 与平面P AC 所成的角是________． 6.如图，已知点P 在正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′的对角线BD ′上，∠PDA ＝60°. (1)求DP 与CC ′所成角的大小； (2)求DP 与平面AA ′D ′D 所成角的大小． 7．已知三棱锥P －ABC 中，P A ⊥平面ABC ，AB ⊥AC ，P A ＝AC ＝12 AB ，N 为AB 上一点，AB ＝4AN ，M ，S 分别为PB 、BC 的中点． (1)证明：CM ⊥SN ； (2)求SN 与平面CMN 所成角的大小． 8．如图，在五棱锥P -ABCDE 中，P A ⊥平面ABCDE ，AB ∥CD ，AC ∥ED ，AE ∥BC ，∠ABC ＝45°，AB ＝22，BC ＝2AE ＝4，三角形P AB 是等腰三角形！ (1)求证：平面PCD ⊥平面P AC ； (2)求直线PB 与平面PCD 所成角的大小； (3)求四棱锥P -ACDE 的体积． 9.如图所示，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 是棱DD 1 的中点． (1)求直线BE 和平面ABB 1A 1所成的角的正弦值； (2)在棱C 1D 1上是否存在一点F ，使B 1F ∥平面A 1BE ？
线面角的三种求法
河北 王学会 1．直接法 ：平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角即为直线与平面所成的角。通常是解由斜线段，垂线段，斜线在平面内的射影所组成的直角三角形，垂线段是其中最重要的元素，它可以起到联系各线段的作用。 例1 （ 如图1 ）四面体ABCS 中，SA,SB,SC 两两垂直，∠SBA=45°, ∠SBC=60°, M 为 AB 的中点，求（1）BC 与平面SAB 所成的角。 （2）SC 与平面ABC 所成的角。 解:（1） ∵SC ⊥SB,SC ⊥SA, B M H S C A 图1 ∴SC ⊥平面SAB 故 SB 是斜线BC 在平面SAB 上的射影， ∴∠SBC 是直线BC 与平面SAB 所成的角为60°。 （2） 连结SM,CM ，则SM ⊥AB, 又∵SC ⊥AB,∴AB ⊥平面SCM, ∴面ABC ⊥面SCM 过S 作SH ⊥CM 于H, 则SH ⊥平面ABC ∴CH 即为 SC 在面ABC 内的射影。 ∠SCH 为SC 与平面ABC 所成的角。 sin ∠SCH=SH ／SC ∴SC 与平面ABC 所成的角的正弦值为√7／7 （“垂线”是相对的，SC 是面 SAB 的垂线，又是面 ABC 的斜线. 作面的垂线常根据面面垂直的性质定理，其思路是：先找出与已知平面垂直的平面，然后一面内找出或作出交线的垂线，则得面的垂线。） 2. 利用公式sin θ=h ／ι 其中θ是斜线与平面所成的角， h 是 垂线段的长，ι是斜线段的长，其中求出垂线段的长（即斜线上的点到面的距离）既是关键又是难点，为此可用三棱锥的体积自等来求垂线段的长。 例2 （ 如图2） 长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1 , AB=3 ,BC=2, A 1A= 4 ，求AB 与面 AB 1C 1D 所成的角。 解：设点 B 到AB 1C 1D 的距离为h, ∵V B ﹣AB 1C 1=V A ﹣BB 1C 1∴1／3 S △AB 1C 1·h= 1／3 S △BB 1C 1·AB ，易得h=12／5 设AB 与 面 A B 1C 1D 所成的角为θ,则sin θ=h ／AB=4／5