高中数学函数知识总结

指数与指数函数

知识梳理

1.指数

（1）n 次方根的定义

若x n

=a ，则称x 为a 的n 次方根，“n

”是方根的记号.

在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根. （2）方根的性质

①当n 为奇数时，n n a =a.

②当n 为偶数时，n n a =|a|=??

?<-≥).

0(),

0(a a

a a

（3）分数指数幂的意义

①a n

m =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）. ②a

n

m -=

n

m a

1=

n

m

a

1

（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.

2. 一般地，函数y=a x

（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数. 3.指数函数的图象和性质y=a

x

例题讲解

例1、3a ·6a -等于

A.－a -

B.－a

C.a -

D. a

例2、函数y=－e x

的图象

A.与y=e x

的图象关于y 轴对称 B.与y=e x

的图象关于坐标原点对称 C.与y=e －x 的图象关于y 轴对称

D.与y=e －x

的图象关于坐标原点对称

例3、已知关于x 的方程2a －7a

+3=0有一个根是2, 求a 的值和方程其余的根

例4、设a 是实数，试证明对于任意a,为增函数

例5、已知函数f(x)=(a －a )(a>0且a 1)在(－, +)上是增函数, 求实

数a 的取值范围

2

2-x 1

-x )(1

22

)(R x a x f x

∈+-=)(x f 9

|1|2

--a a x

x

-≠∞∞

例6、求函数y x x =

--15

1

1

的定义域.

例7、若a ＞0，b ＞0，且a +b =c ，

求证：(1)当r ＞1时，a r +b r ＜c r ；(2)当r ＜1时，a r +b r ＞c r .

例8、已知函数)1(122>-+=a a a y x x

在区间[－1,1]上的最大值是14，求a 的值.

例9、（1）已知m x f x

+-=

1

32

)(是奇函数，求常数m 的值； （2）画出函数|13|-=x

y 的图象，并利用图象回答：k 为何值时，方程|3x

－１｜＝k 无解？有一解？有两解？

例10、已知函数1

1

)(+-=x x a a x f (a ＞1).

（1）判断函数f (x )的奇偶性； （2）求f (x )的值域；

（3）证明f (x )在(－∞，+∞)上是增函数.

例11、已知函数f(x)＝a

x －2

(x≥0)的图象经过点? ??

??4，19，其中a>0且a≠1.

(1)求a 的值；

(2)求函数y ＝f(x)(x≥0)的值域．

例12、画出下列函数的图象，并说明它们是由函数f(x)＝2x

的图象经过怎样的变换得到的．

(1)y ＝2

x －1

；(2)y ＝2x ＋1；(3)y ＝2|x|

；

(4)y ＝－2x

.

例13、函数f(x)＝a x

(a>0，且a≠1)在区间[1,2]上的最大值比最小值大a 2，求a 的值．

【答案】

例1、A 例2、D

例3、解: 2a －7a+3=0, a=

或a=3. a=时, 方程为: 8·()－14·()+3=0x=2或x=1－log 3 a=2时, 方程为: ·2－·2+3=0x=2或x=－1－log 2

例4、证明：设∈R,且

则

由于指数函数 y=在R 上是增函数,且, 所以

即<0，

又由>0得+1>0, +1>0 所以<0即

因为此结论与a 取值无关，所以对于a 取任意实数，为增函数 例5、解: 由于f(x)递增， 若设x

则f(x )－f(x )=

[(a －a )－(a

－a

)]=

(a －a )(1+a ·a

)<0,

故(a －9)( (a －a )<0.

(1), 解得a>3; (2) , 解得0

综合(1)、(2)得a (0, 1)(3, +)。

2

?2

1

2121x 22

1x

?221x 22

7x

?321,x x 21x x <)

12)(12()

22(222122)

122

()122()()(2121122121++-=

-+=

+--+-

=-x x x

x

x x x x a a x f x f x

221x x <2122x x <2122x x -x

212x

22x

)()(21x f x f -)()(21x f x f <)(x f 12129

|1|2

--a a 1

x 1

x -2

x 2

x -9

|1|2

--a a 1x 2

x 1

x -2

x -2

1x

2

x ??

?>->0

912

a a ??

?<-<<0

9102

a a ∈?∞

例6、解：要使函数有意义必须：

x x x x x -≠-≠???

???≠≠??

?10

1

010

∴定义域为：{}

x x R x x ∈≠≠且01,

例7、 解：r r r r

r c b c a c b a ??

? ??+??? ??=+，其中10,10<<<

b c a . 当r ＞1时，1

=+

? ??+??? ??c

b c a c b c a r r ，所以a r +b r ＜c r ； 当r ＜1时，1=+>??

? ??+??? ??c

b c a c b c a r

r ，所以a r +b r ＞c r .

例8、解： )1(122>-+=a a a y x x ，

换元为)1

(

122

a t a

t t y <<-+=，对称轴为1-=t . 当1>a ，a t =，即x =1时取最大值，略 解得 a=3 (a= －5舍去)

例9、解： （1）常数m =1

（2）当k <0时，直线y =k 与函数|13|-=x

y 的图象无 交点,即方程无解;

当k =0或k ≥1时, 直线y =k 与函数

|13|-=x

y 的图象有唯一的交点，所以方程有一解; 当0

y 的图象有两个不同交点，所以方程有两解。 例10、解：(1)是奇函数.(2)值域为(－1，1).(3)设x 1＜x 2，

则1111)()(221121+--

+-=-x x x x a a a a x f x f 。=)

1)(1()1)(1()1)(1(212

121++-+-+-x x x x x x a a a a a a ∵a ＞1，x 1＜x 2， ∴a 1

x ＜a

2

x .

又∵a 1

x +1＞0，a 2

x +1＞0，

∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2). 函数f(x)在(－∞，+∞)上是增函数

.

例11、【解析】 (1)函数图象过点? ??

??4，19， 所以a

4－2

＝19＝? ????132，∴a＝13

， (2)f(x)＝? ??

??13x －2

(x≥0)，

由x≥0，得x －2≥－2，

∴0

??13－2

＝9，

∴函数y ＝f(x)(x≥0)的值域为(0,9]．

例12、【解析】 如图所示．

y=2x-1的图象是由y=2x 的图象向右平移1个单位得到； y=2x+1的图象是由y=2x 的图象向上平移1个单位得到；

y=2|x|的图象是由y=2x 的y 轴右边的图象和其关于y 轴对称的图象组成的； y=-2x 的图象与y=2x 的图象关于x 轴对称． 例13、【解析】 (1)若a>1，则f(x)在[1,2]上递增，

∴a 2

－a ＝a 2，即a ＝32或a ＝0(舍去)．

(2)若0

＝a 2，即a ＝12或a ＝0(舍去)，

综上所述，所求a 的值为12或3

2

.