北京市东城区八年级(上)期末数学试卷
2020-2021学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）如果有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x＜22．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）若分式，则x的值是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝0D．x≠﹣14．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．a3•a3＝2a3B．（a2）3＝a6C．（2a2）3＝2a6D．a6÷a2＝a35．（3分）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（）A．1.25×10﹣9米B．1.25×10﹣8米C．1.25×10﹣7米D．1.25×10﹣6米6．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（）A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6xB．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）27．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（）A．20B．30C．50D．1009．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．610．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）因式分解：x2y﹣4y＝．12．（2分）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m的值是．13．（2分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是．14．（2分）如图所示，已知P是AD上的一点，∠ABP＝∠ACP，请再添加一个条件：，使得△ABP≌△ACP．15．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm 和20cm，则这根铁丝的长为cm．16．（2分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B ＝°17．（2分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD ＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为．18．（2分）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（5分）计算：|﹣|+﹣（π﹣2）0+（）﹣1．20．（5分）如图，点B，C，D，F在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝∠DEF，求证：AC∥DE．21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．22．（4分）尺规作图：如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG和公路CE的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等，如果你是红方的指挥员，请你在图中标出蓝方指挥部点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．23．（5分）解方程：+＝1．24．（5分）化简求值：（）÷，其中x＝2+．25．（5分）列分式方程解应用题：截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．26．（6分）已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在线段AB上，∠PDQ＝120°．（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：DB＝DP；（2）如图2，若点P在线段BC上，AC＝8，求AQ+PC的值．27．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB的中点，E为CA延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF．作点B关于直线DF的对称点G，连接DG．（1）依题意补全图形；（2）若∠ADF＝α；①求∠EDG的度数（用含α的式子表示）；②请判断以线段AE，BF，EF为边的三角形的形状，并说明理由．28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是；（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝＝2，不是最简二次根式；C、＝|a|，不是最简二次根式；D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．3．【分析】分式的值为零：分子等于零，分母不等于零．【解答】解：依题意得，x﹣1＝0，且x+1≠0，解得x＝1．故选：A．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A、a3•a3＝a6，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．5．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6．【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．7．【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n 的方程组，就可以求出边数n．【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，（n﹣2）×180°＝1080°，∴n＝8，所以该多边形的边数是八边形．故选：C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．8．【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．9．【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝4，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：故选：A．【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．故答案为：y（x﹣2）（x+2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．12．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2﹣10x+m是一个完全平方式，∴m＝25．故答案为：25．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．【解答】解：∵图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），∴正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．故答案为（a﹣b）2．【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．14．【分析】利用全等三角形的判定定理解决问题即可．【解答】解：若添加∠BAP＝∠CAP，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP ≌△ACP；若添加∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；若添加∠BPD＝∠CPD，可得∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；故答案为∠BAP＝∠CAP或∠APB＝∠APC或∠BPD＝∠CPD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．15．【分析】等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm时，第三边的长可能为15cm或20cm，分别求得三角形的周长，即为铁丝的长．【解答】解：∵等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm，∴当第三条边的长为15cm时，这根铁丝的长为15+15+20＝50（cm），此时15+15＞20，符合三角形的三边关系；当第三条边的长为20cm时，这根铁丝的长为15+20+20＝55（cm）．故答案为：50或55．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题的关键．16．【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．【解答】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+105°﹣＝180°，解得：α＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB ＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，根据勾股定理进行计算，即可得出PC+PD的最小值为2．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，∵PC+PD＝PC+PE，∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．18．【分析】根据等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，得到∠OB1A1＝∠MON，根据等腰三角形的判定定理得到A1B1＝OA1＝1，总结规律，根据规律解答．【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠MON，∴A1B1＝OA1＝1，同理可得，A2B2＝OA2＝2，A3B3＝OA3＝4＝22，……，∴△A2021B2021A2022的边长＝22020，故答案为：22020．【点评】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．【分析】根据绝对值，零指数幂、负整数指数幂的性质进行计算即可．【解答】解：原式＝+﹣1+2＝+2+1＝3+1．【点评】本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值，另指数幂、负整数指数幂的性质的性质是正确计算的前提．20．【分析】先证△ABC≌△EFD（SAS），得出∠ACB＝∠EDF，则∠ACD＝∠EDC，再由平行线的判定即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（SAS），∴∠ACB＝∠EDF，∴∠ACD＝∠EDC，∴AC∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；证明△ABC≌△EFD是解题的关键．21．【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．22．【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即为所求作．【解答】解：如图，点P即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），解这个方程得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，x＝﹣3是原方程的解；∴原方程的解是：x＝﹣3．【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．24．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（）÷＝（﹣）•＝•＝，当x＝2+时，原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．【分析】可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可【解答】解：设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，依题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，x+10＝30+10＝40（元），答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26．【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠E，即可得出DB＝DE；（2）如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，可证△ADH是等边三角形，由“ASA”可证△QDH≌△PDC，可得HQ＝PC，即可求解．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵D为AC的中点，∴DB平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∵∠EDB＝120°∴∠P＝180°﹣120°﹣30°＝30°∴∠DBC＝∠P，∴DB＝DP；（2）解：如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，∵△ABC是等边三角形，AC＝8，点D是AC的中点，∴AD＝CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，BC＝AC＝8，∵DH∥BC，∴∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∠HDC＝120°，∴AD＝HD＝AH＝4，∴HD＝CD＝4＝BH，∵∠QDP＝∠HDP＝120°，∴∠QDH＝∠PDC，在△QDH和△PDC中，，∴△QDH≌△PDC（ASA）∴HQ＝PC，∴AQ+PC＝AQ+QH＝AH＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝GE，进而解答即可．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）①∵∠ADF＝α，∴∠BDF＝180°﹣α，由轴对称性质可知，∠GDF＝∠BDF＝180°﹣α，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EDG＝∠GDF﹣∠EDF＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；②以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形，连接GF，GE，由轴对称性质可知，GF＝BF，∠DGF＝∠B，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵GD＝BD，∴AD＝GD，∵∠GDE＝∠EDA＝90°﹣α，DE＝DE，在△GDE与△ADE中，，∴△GDE≌△ADE（SAS），∴∠EGD＝∠EAD，AE＝GE，∵∠EAD＝90°+∠B，∴∠EGD＝90°+∠B，∴∠EGF＝∠EGD﹣∠DGF＝90°+∠B﹣∠B＝90°，∴以线段GE，GF，EF为边的三角形是直角三角形，∴以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．28．【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；∵B（﹣2，0），∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；∵C（﹣3，1），∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），∴DD'＝6+a﹣a＝6．（3）∵点P（a，1），∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），∵Q（a+1，1），∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），当P'Q'与EH有公共点时，，∴﹣3≤a≤﹣2，当P'Q'与FG有公共点时，，∴﹣1≤a≤0，∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．。
2021-2022学年北京市东城区景山学校八年级(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年北京市东城区景山学校八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分）1.下列标志中，只是中心对称图形，不是轴对称图形的是()A. B. C. D.2.用配方法解方程x2+2x−3=0，下列配方结果正确的是()A. (x−1)2=2B. (x−1)2=4C. (x+1)2=2D. (x+1)2=4,y1)，B(1,y2)，则下列说法正确的是() 3.一次函数y=−x+4的图象上有两点A(−12A. y1≤y2B. y1>y2C. y1≥y2D. y1<y24.在如图4×4的正方形网格中，△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，则其旋转中心可能是()A. 点AB. 点BC. 点CD. 点D5.某市严格落实国家节水政策，2018年用水总量为6.5亿立方米，2020年用水总量为5.265亿立方米．设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x满足的方程是()A. 6.5(1−x)2=5.265B. 6.5(1+x)2=5.265C. 5.265(1−x)2=6.5D. 5.265(1+x)2=6.56.在爱心一日捐活动中，我校八年级50名学生参与献爱心，捐款情况如下表，则50名学生捐款金额的中位数，众数分别是()金额/元50100150200300人数4181486A. 100，100B. 100，150C. 150，100D. 150，1507.如图，将长方形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为∠α(0°<∠α<90°).若∠1=112°，则∠α的大小是()A. 68°B. 20°C. 28°D. 22°8.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AD>AB，点E从点B出发(不含点B)沿BC向点C运动，移动到点C停止，延长EO交AD于点F，则四边形BEDF形状的变化依次为()A. 平行四边形→菱形→正方形→矩形B. 平行四边形→正方形→菱形→矩形C. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形D. 平行四边形→正方形→平行四边形一矩形二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.请写出一个图象经过第一、第三象限的一次函数关系式______.(写出一个即可)．10.菱形的两条对角线长分别是方程x2−7x+12=0的两实根，则菱形的面积为______ ．11.已知a是x2+x−2=0的根，则代数式2a2+2a+3的值为______．12.关于x的一元二次方程(m−3)x2+(2m−1)x+m2−9=0的一个根是0，则m的值是______．13.如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转，使得点A落在CB的延长线上的点E处，则∠BDC的度数为______度．14.为庆祝中国共产党建党100周年，某高校组织党史知识竞赛．根据小明、小刚5次预赛成绩绘制成统计图．下面有三个推断：①与小刚相比，小明5次成绩的极差大；②与小刚相比，小明5次成绩的方差小；③与小刚相比，小明的成绩比较稳定．其中，所有合理推断的序号是______．15.已知A(2,1)，B(2,4).若直线l：y=x+b与线段AB有一个交点，则b的取值范围为______．16.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，点D为BC中点，且以D为一个顶点作正方形DEFG，且DE=BC，连接AE，将正方形DEFG绕点D旋转一周，在整个旋转过程中，AE的最大值为______．三、解答题（本大题共12小题，共96.0分）17.解方程：(1)x−2=x(x−2)；(2)2x2−7x+6=0．18.下面是小东设计的“作矩形”的尺规作图过程已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．作法：如图，①作线段AC的垂直平分线交AC于点O；②连接BO并延长，在延长线上截取OD=OB③连接AD，CD所以四边形ABCD即为所求作的矩形根据小东设计的尺规作图过程，(1)使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)(2)完成下面的证明．证明：∵OA=______，OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形(______)(填推理的依据)．∵∠ABC=90°，四边形ABCD是矩形(______)(填推理的依据)19.已知：在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标分别为A(5,4)，B(0,3)，C(2,1)．(1)画出△ABC关于原点成中心对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；(2)画出将A1B1C1绕点C1按顺时针旋转90°所得的△A2B2C1．20.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)若该方程的两个根都是整数，写出一个符合条件的m的值，并求此时方程的根．21.疫情结束后，某景区推出销售纪念品活动，已知纪念品每件的进货价为30元，经市场调研发现，当该纪念品的销售单价为40元时，每天可销售280件；当销售单价每增加1元，每天的销售数量将减少10件．(销售利润=(销售单价−成本价)×销售数量)(1)若该商品的销售单价为43元，则当天的销售量是______件，当天销售利润是______元；(2)求销售单价增加多少元时，该商品的当天销售利润是3450元．22.如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG//EF．(1)求证：四边形OEFG是矩形；(2)若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．23.在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到．(1)求这个一次函数的解析式；(2)当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=kx+b的值，直接写出m的取值范围．24.第24届冬季奥林匹克运动会，又称2022年北京冬奥会，将于2022年2月4日至2月20日，在北京市和张家口市同时举行，为了调查同学们对冬奥知识的了解情况，小冬从初中三个年级各随机抽取10人，进行了相关测试，获得了他们的成绩(单位：分)，并对数据(成绩)进行了整理、描述和分析，下面给出了相关信息：a.30名同学冬奥知识测试成绩的统计图如下：b.30名同学冬奥知识测试成绩的频数分布直方图如下(数据分成6组：40≤x<50，50≤x<60，60≤x<70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x<100)．c.测试成绩在70≤x<80这一组的是：7073747475757778．d.小明的冬奥知识测试成绩为78分．根据以上信息，回答下列问题：(1)小明的测试成绩在抽取的30名同学的成绩中从高到低排名第______；(2)抽取的30名同学的成绩的中位数为______；(3)序号(见图1横轴)为1−10的学生是七年级的，他们的成绩的方差记为s12；序号为11−20的学生是八年级的，他们的成绩的方差记为s22；序号为21−30的学生是九年级的，他们的成绩的方差记为s32.直接写出s12，s22，s32中最小的是______；(4)成绩80分及以上记为优秀，若该校初中三个年级1500名同学都参加测试，估计成绩优秀的同学约为______人．25.关于x的一元二次方程x2+bx+c=0经过适当变形，可以写成(x−m)(x−n)=p(m≤n)的形式．现列表探究x2−6x−7=0的变形：回答下列问题：(1)表格中t的值为______；(2)观察上述探究过程，表格中m与n满足的等量关系为______；(3)记x2+bx+c=0的两个变形为(x−m1)(x−n1)=p1和(x−m2)(x−n2)=p2(p1≠p2)，求n1−n2的值．m1−m226.定义：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根为x1，x2(x1<x2)，分别以x1，x2为横坐标和纵坐标得到点M(x1,x2)，则称点M为该一元二次方程的衍生点．(1)若方程为x2−2x=0，求出该方程的衍生点M的坐标；(2)若关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M，过点M向x轴和y轴作垂线，两条垂线与坐标轴恰好围成一个正方形，求m的值；(3)是否存在b，c，使得不论k(k≠0)为何值，关于x的方程x2+bx+c=0的衍生点M始终在直线y=kx+1的图象上，若有请直接写出b，c的值，若没有说明理由．27.已知点P为线段AB上一点，将线段AP绕点A逆时针旋转60°，得到线段AC；再将线段BP绕点B逆时针旋转120°，得到线段BD；连接AD，取AD中点M，连接BM，CM．(1)如图1，当点P在线段CM上时，求证：PM//BD；(2)如图2，当点P不在线段CM上，写出线段BM与CM的数量关系与位置关系，并证明．28.在平面直角坐标系xOy中，对于直线l及点P给出如下定义：过点P作y轴的垂线交直线l于点Q，若PQ≤1，则称点P为直线l的关联点，当PQ=1时，称点P为直线l的最佳关联点，当点P与点Q重合时，记PQ=0．例如，点P(1,2)是直线y=x的最佳关联点．根据阅读材料，解决下列问题．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y=−x+3，l2：y=2x+b．,1)，C(2,3)，上述各点是直线l1的关联点是______ ；(1)已知点A(0,4)，B(32(2)若点D(−1,m)是直线l1的最佳关联点，则m的值是______ ；(3)点E在x轴的正半轴上，以OA、OE为边作正方形AOEF.若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则b的取值范围是______ ．答案和解析1.【答案】A【解析】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；C、是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；故选：A．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．2.【答案】D【解析】【分析】此题考查了配方法解一元二次方程，解题时要注意解题步骤的准确应用．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．配方法的一般步骤：(1)把常数项移到等号的右边；(2)把二次项的系数化为1；(3)等式两边同时加上一次项系数一半的平方．【解答】解：∵x2+2x−3=0∴x2+2x=3∴x2+2x+1=1+3∴(x+1)2=4故选：D．3.【答案】B【解析】解：∵k=−1<0，∴y随x的增大而减小，又∵点A(−12,y1)，B(1,y2)均在一次函数y=−x+4的图象上，且−12<1，∴y1>y2．故选：B．由k=−1<0，利用一次函数的性质可得出y随x的增大而减小，结合−12<1，即可得出y1>y2．本题考查了一次函数的性质，牢记“k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小”是解题的关键．4.【答案】B【解析】【分析】本题考查了学生的理解能力和观察图形的能力，重点掌握旋转的性质，注意：旋转时，对应顶点到旋转中心的距离应相等且旋转角也相等，对称中心在连接对应点线段的垂直平分线上．连接PP1、NN1、MM1，分别作PP1、NN1、MM1的垂直平分线，看看三线都过哪个点，那个点就是旋转中心．【解答】解：∵△MNP绕某点旋转一定的角度，得到△M1N1P1，∴连接PP1、NN1、MM1，作PP1的垂直平分线过B、D、C，作NN1的垂直平分线过B、A，作MM1的垂直平分线过B，∴三条线段的垂直平分线正好都过B，即旋转中心是B．故选：B．5.【答案】A【解析】解：设该市用水总量的年平均降低率是x，则2019年的用水量为6.5(1−x)，2020年的用水量为6.5(1−x)2，故选：A．首先根据降低率表示出2019年的用水量，然后表示出2020年的用水量，令其等5.265即可列出方程．本题考查求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b．6.【答案】C【解析】解：由表知，这组数据的第25、26个数据分别为150、150，=150，众数为100，所以其中位数为150+1502故选：C．根据中位数和众数的定义求解即可．本题主要考查众数和中位数，解题的关键是掌握众数与中位数的定义．7.【答案】D【解析】【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．先根据长方形的定义得∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，再根据旋转的性质得∠BAB′=∠α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，然后根据两个三角形的内角和得到∠3=68°，再利用互余即可得到∠α的大小．【解答】解：∵四边形ABCD为长方形，∴∠BAD=∠ABC=∠ADC=90°，∵长方形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为∠α，∴∠BAB′=∠α，∠B′AD′=∠BAD=90°，∠AD′C′=∠ADC=90°，∵∠2=∠1=112°，连接BD′，而∠ABC=∠AD′C′=90°，∴∠3=180°+180°−∠2−∠ABD′−∠CBD′−∠AD′B−∠C′D′B=360°−90°−90°−112°=68°，∴∠BAB′=90°−68°=22°，即∠α=22°．故选：D．8.【答案】C【解析】解：连接BD．∵点O为矩形ABCD的对称中心，∴BD经过点O，OD=OB，∵AD//BC，∴∠FDO=∠EBO，在△DFO和△BEO中，{∠FDO=∠EBO OD=OB∠DOF=∠BOE，∴△DFO≌△BEO(ASA)，∴DF=BE，∵DF//BE，∴四边形BEDF是平行四边形，观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．故选：C．根据对称中心的定义，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形AECF形状的变化情况．考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据EF与AC的位置关系即可求解．9.【答案】y=x【解析】解：∵一次函数的图象经过第一、三象限，∴所填函数x的系数大于0，常数项为0．如：y=x(答案不唯一)．一次函数的图象经过第一、三象限，则x的系数大于0，常数项为0，据此写出一次函数．本题考查的知识点为：一次函数图象经过第一、三象限，说明函数为增函数．10.【答案】6【解析】解：设菱形的两条对角线长分别是a、b，∵菱形的两条对角线长分别是方程x2−7x+12=0的两实根，∴ab=12，ab=6．∴菱形的面积=12故答案为6．设菱形的两条对角线长分别是a、b，根据一元二次方程根与系数的关系得出ab=12，再根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半即可求解．本题考查了菱形的性质，一元二次方程根与系数的关系，掌握菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键．11.【答案】7【解析】解：∵a是方程x2+x−2=0的根，∴a2+a−2=0，∴a2+a=2，∴2a2+2a+3=2(a2+a)+3=2×2+3=7．故答案为：7．把x=a代入已知方程，得到a2+a=2，然后代入所求的代数式进行求值即可．本题考查的是一元二次方程的解，把方程的解代入方程，得到关于a的式子，代入代数式化简求值．12.【答案】−3【解析】解：把x=0代入方程(m−3)x2+(2m−1)x+m2−9=0，得m2−9=0，解得：m=±3，∵m−3≠0，∴m=−3，故答案为−3．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即把0代入方程求解可得m的值．本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．13.【答案】15【解析】解：根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，则△CBD是等腰三角形，∠BDC=∠BCD，∠CBD=180°−∠DBE=180°−30°=150°，∠BDC=1(180°−∠CBD)=15°．2故答案为15°．根据旋转的性质△ABC≌△EDB，BC=BD，求出∠CBD的度数，再求∠BDC的度数．根据旋转的性质，确定各角之间的关系，利用已知条件把一个直角三角尺ACB绕着30°角的顶点B顺时针旋转求出即可．=94(分)，【解析】解：小明5次预赛成绩的平均数为：92+94+100+91+935极差为：100−91=9(分)，[(92−94)2+(94−94)2+(100−94)2+(91−94)2+(93−94)2]=10，方差为：15=94(分)，小刚5次预赛成绩的平均数为：88+100+93+98+915极差为：100−88=12(分)，[(88−94)2+(100−94)2+(93−94)2+(98−94)2+(91−94)2]=19.6，方差为：15因此①不正确；②正确；③小明的方差较小，其成绩比较稳定，因此③正确；所以正确的有：②③，故答案为：②③．分别求出小刚和小明的平均数、方差、极差后进行判断即可．本题考查平均数，极差、方差，理解平均数、极差、方差的意义，掌握平均数、极差、方差的计算方法是正确判断的前提．15.【答案】−1≤b≤2．【解析】解：把A(2,1)，B(2,4)分别代入y=x+b，得1=2+b，此时b=−1；4=2+b，此时b=2．所以，b的取值范围为：−1≤b≤2．故答案是：−1≤b≤2．将点A、B的坐标分别代入一次函数解析式，求得相应的b值，由此得到b的取值范围．本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，属于基础题．【解析】解：∵∠BAC=90°，AB=AC=2，∴BC=√AB2+AC2=2√2，∵点D为BC中点，∴BD=CD=AD=√2，∵DE=BC=2√2，∴DE−AD≤AE≤DE+AD，如图，当点A、D、E在同一条直线上时，AE取得最大值．∴AE=AD+DE=√2+2√2=3√2，∴在整个旋转过程中，AE的最大值为3√2．故答案为：3√2．当点A、D、E在同一条直线上时，AE取得最大值，画出图形，由勾股定理求出BC的长度，利用等腰直角三角形的性质求出AD的长，进而可得AE的长．本题主要考查旋转的性质、等腰直角三角形的性质等知识的综合运用，解决此题的关键是明确当点A、D、E在同一条直线上时，AE有最大值．17.【答案】解：(1)方程整理得：(x−2)−x(x−2)=0，分解因式得：(1−x)(x−2)=0，解得：x1=2，x2=1；(2)分解因式得：(2x−3)(x−2)=0，可得x−2=0或2x−3=0，解得：x1=2，x2=3．2【解析】(1)方程整理后，利用因式分解法求出解即可；(2)方程利用因式分解法求出解即可．此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．18.【答案】OC对角线互相平分的四边形是平行四边形有一个角是直角的平行四边形是矩形【解析】解：(1)如图，矩形ABCD即为所求．(2)：∵OA=OC，OD=OB，∴四边形ABCD是平行四边形(对角线互相平分的四边形是平行四边形)，∵∠ABC=90°，四边形ABCD是矩形(有一个角是直角的平行四边形是矩形)故答案为：OA=OC，对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形．(1)根据要求作出图形即可．(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断．本题考查作图−复杂作图，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．19.【答案】解：(1)如图所示，△A1B1C1即为所求，其中点C1的坐标为(−2,−1)．(2)如图所示，△A2B2C1即为所求．【解析】此题主要考查了图形的旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．(1)分别作出三顶点关于原点的对称点，再顺次连接即可得；(2)分别作出点A1、B1绕点C1按顺时针旋转90°所得的对应点，再顺次连接即可得．20.【答案】解：(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根，∴(2m+1)2−4m2>0，．解得：m>−14(2)利用求根公式表示出方程的解为x=−2m−1±√4m+1，2∵方程的解为整数，∴4m+1为完全平方数，则当m的值为0时，方程为：x2+x=0，解得：x1=0，x2=−1(不唯一)．【解析】(1)根据关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2=0有两个不相等的实数根，则△>0，列出不等式，即可求出m的取值范围．(2)根据方程的两个根都是整数，确定出m的值，经检验即可得到满足题意的m的值，并求出方程的根(答案不唯一)．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式△=b2−4ac：当△>0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△<0，方程没有实数根．21.【答案】2503250【解析】解：(1)当该商品的销售单价为43元时，当天的销售量是280−10×(43−40)= 250(件)，当天销售利润是(43−30)×250=3250(元)．故答案为：250；3250．(2)设销售单价增加x元，则每件的销售利润是(40+x−30)元，当天的销售量是(280−10x)件，依题意得：(40+x−30)(280−10x)=3450，整理得：x2−18x+65=0，解得：x1=5，x2=13．答：销售单价增加5元或13元时，该商品的当天销售利润是3450元．(1)利用当天的销售量=280−10×上涨的价格，即可求出当该商品的销售单价为43元时当天的销售量；利用该商品的当天的销售利润=(销售单价−成本价)×当天的销售量，即可求出当该商品的销售单价为43元时当天销售利润；(2)设销售单价增加x元，则每件的销售利润是(40+x−30)元，当天的销售量是(280−10x)件，利用该商品的当天的销售利润=(销售单价−成本价)×当天的销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用以及有理数的混合运算，解题的关键是：(1)根据各数量之间的关系，列式计算；(2)找准等量关系，正确列出一元二次方程．22.【答案】解：(1)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，∵E是AD的中点，AD，∴AE=OE=12∴∠EAO=∠AOE，∴∠AOE=∠BAO，∴OE//FG，∵OG//EF，∴四边形OEFG是平行四边形，∵EF⊥AB，∴∠EFG=90°，∴四边形OEFG是矩形；(2)∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，AB=AD=10，∴∠AOD=90°，∵E是AD的中点，∴OE=AE=1AD=5；2由(1)知，四边形OEFG是矩形，∴FG=OE=5，∵AE=5，EF=4，∴AF=√AE2−EF2=3，∴BG=AB−AF−FG=10−3−5=2．【解析】本题考查了矩形的判定和性质，菱形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．AD，推出OE//FG，(1)根据菱形的性质得到BD⊥AC，∠DAO=∠BAO，得到AE=OE=12求得四边形OEFG是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；AD=5；由(1)知，(2)根据菱形的性质得到BD⊥AC，AB=AD=10，得到OE=AE=12四边形OEFG是矩形，求得FG=OE=5，根据勾股定理得到AF=√AE2−EF2=3，于是得到结论．23.【答案】解：(1)函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到y=x−1，∵一次函数y=kx+b(k≠0)的图象由函数y=x的图象向下平移1个单位长度得到，∴这个一次函数的表达式为y=x−1．(2)把x=−2代入y=x−1，求得y=−3，∴函数y=mx(m≠0)与一次函数y=x−1的交点为(−2,−3)，，把点(−2,−3)代入y=mx，求得m=32∵当x>−2时，对于x的每一个值，函数y=mx(m≠0)的值大于一次函数y=2x−1的值，∴1≤m≤3．2【解析】(1)根据平移的规律即可求得．(2)根据点(−2,−3)结合图象即可求得．本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键．24.【答案】1174s32500【解析】解：(1)由频数分布直方图可知，成绩在80≤x<90的有7人，成绩在90≤x< 100的有3人，结合70≤x<80这组的数据可得，成绩为78分处在第11名，故答案为：11；(2)将这30名学生的成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数都是74分，因此中位数是74分，故答案为：74；(3)从图1中，1～10号，11～20号，21～30号学生成绩分布的离散程度可以直观看出，21～30号学生的成绩分布的离散程度较小，比较整齐，即它的方差较小，因此九年级的方差s32中最小，故答案为：s32；=500(名)，(4)1500×7+330故答案为：500．(1)根据成绩的频数分布直方图以及成绩在70≤x<80这组的数据进行判断即可；(2)根据中位数的定义进行判断即可；(3)从图1的数据分布的离散程度进行判断即可；(4)从样本中得出“优秀”所占的百分比进行估算即可..本题考查频数分布直方图，中位数、方差以及样本估计总体，理解中位数、方差的定义，掌握样本估计总体的方法是解决问题的前提．25.【答案】5m+n=6【解析】解：(1)x2−6x−7+12=12，x2−6x+5=12，(x−1)(x−5)=12，所以t=5；故答案为5；(2)−1+7=6，0+6=6，1+5=6，3+3=6，所以m+n为一次项系数的相反数，即m+n=6；故答案为m+n=6；(3)由(2)的结论得到m1+n1=−b，m2+n2=−b，所以m1+n1=m2+n2，即n1−n2=−(m1−m2)，=−1．∴n1−n2m1−m2(1)先把方程两边加上12，然后把方程左边因式分解，从而得到t的值；(2)利用表中数据得到m与n的和为一次项系数的相反数；(3)由(2)的结论得到m1+n2=−b，m2+n2=−b，则m1+n1=m2+n2，从而得到n1−n2的值．m1−m2本题考查了解一元二次方程，熟练掌握利用公式法、因式分解法和配方法解一元二次方程．26.【答案】解：(1)∵x2−2x=0，∴x(x−2)=0，解得：x1=0，x2=2故方程x2−2x=0的衍生点为M(0,2)；(2)关于x的一元二次方程x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M，∵m<0，∴2m<0解x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)得：x1=2m，x2=1，∴方程x2−(2m+1)x+2m=0(m<0)的衍生点为M(2m,1)．∴点M在第二象限内且纵坐标为1，由于过点M向两坐标轴作垂线，两条垂线与x轴y轴恰好围成一个正方形，所以2m=−1，解得m=−1；2(3)存在．直线y=kx+1，过定点M(0,1)，∴x2+bx+c=0两个根为x1=0，x2=1，∴0+1=−b，0×1=c，∴b=−1，c=0．【解析】(1)求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点即可解决问题；(2)求出方程的两根，根据一元二次方程的衍生点的定义，再利用正方形的性质构建方程即可解决问题；(3)求出定点，利用根与系数的关系解决问题即可．本题考查一次函数综合题、一元二次方程的根与系数的关系、正方形的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．27.【答案】解：(1)有题意可得，∠CAP=60°，且AP=AC，∴△APC是等边三角形，∴∠APC=60°，∴∠BPM=60°，又∵∠PBD=120°，∴∠BPM+∠PBD=180°，∴PM//BD．(2)猜想，CM⊥MB，CM=√3MB，理由如下：如图2，延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，GD，∵AM=MD，GM=BM，∴四边形AGDB是平行四边形，∴AG=BD，AG//BD，∴∠BAG=180°−∠ABD=60°，∴∠CAG=120°，∵△APC是等边三角形，∴AC=CP，∠CPB=120°，∵PB=DB=AG，∴△CAG≌△CPB(SAS)，∴CG=CB，∠ACG=∠PCB，∴∠GCB=60°，∴△CBG是等边三角形，∵GM=BM，∴CM⊥BM，CM=√3MB．【解析】(1)由旋转可得，△APC是等边三角形，∠PBD=120°，则∠BPM+∠PBD=180°，所以PM//BD．(2)延长BM至点G，使得MG=MB，连接AG，BC，GC，PC，可证△CBG是等边三角形且点M是BG的中点，则有CM⊥BM，CM=√3MB．本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质与判定等；构造合适辅助线是解题关键．28.【答案】A，B3或52≤b≤4或−8≤b≤−4【解析】解：(1)如图1，将点A(0,4)的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=−1，∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是−1，0−(−1)=1，∴点A是直线l1的关联点；将点B(32,1)的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=2，∴2−32=12<1，∴点B是直线l1的关联点；将点C(2,3)的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=0，∴过点A垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是0，2−0=2>1，∴点C不是直线l1的关联点；故答案为：A，B；(2)将点D的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，得：x=3−m，∴过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标是3−m，∵点D(−1,m)是直线l1的最佳关联点，∴丨3−m−(−1)丨=丨4−m丨=1，解得：m=3或5，故答案为：3或5；(3)如图2，由图可得，直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间时，符合要求，直线与l3正方形AOEF相交于A(0,4)时，b=4，直线l4与正方形AOEF相交于A(0,2)时，b=2，直线l5与正方形AOEF相交于F(4,4)时，b=−4，直线l6与正方形AOEF相交于E(4,0)时，b=−8，∴b的取值范围为2≤b≤4或−8≤b≤−4．故答案为：2≤b≤4或−8≤b≤−4．(1)将点A，B，C的纵坐标分别代入直线l1：y=−x+3，分别求出过点A，B，C垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标，根据关联点的定义即可求解；(2)将点D的纵坐标分别代入直线l1，求出过点D垂直于y轴的直线与l1的交点横坐标，根据最佳关联点的定义列出关于m的方程，解方程即可；(3)如图，若直线l2与正方形AOEF相交，且交点中至少有一个是直线l1的关联点，则直线l2的位置l3与l4之间或l5与l6之间，根据点A，E的坐标即可得b的取值范围．本题考查一次函数综合题、P为直线l的关联点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．。
2023-2024学年北京市东城区八年级上学期数学期末学情检测模拟卷合集两套(含解析)
2023-2024学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）一,填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．1.2018-1（）=_____．2.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．3.当x _______时，分式293x x --的值为零．4.一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为__cm ．5.已知29x mx ++是完全平方式，则m =_________．6.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点．二、选一选（本大题共8小题，每小题4分，共32分）．7.在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是()A. B. C. D.8.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.1cm ，2cm ，4cmB.4cm ，6cm ，8cmC.5cm ，6cm ，12cmD.2cm ，3cm ，5cm9.如图，在ABC 和DBE ∆中，BC BE =，还需再添加两个条件才能使ABC DBE ≌，则没有能添加的一组条件是（）A.AC=DE，∠C=∠EB.BD=AB，AC=DEC.AB=DB，∠A=∠DD.∠C=∠E，∠A=∠D10.下列计算中，正确的是（）A.x3•x2＝x4B.（x+y）（x﹣y）＝x2+y2C.（x﹣3）2＝x2﹣6x+9D.3x3y2÷xy2＝3x411.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A.3x+2x﹣1=5x﹣1B.（3a+2b）（3a﹣2b）=9a2﹣4b2C.x2+x=x2（1+1x） D.2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y）12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，则CD等于（）A.3B.4C.5D.613.如图所示，小兰用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：①分别以点DE为圆心，大于DE的一半长为半径作弧两弧交于F；②作射线BF，交边AC于点H；③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；④取一点K使K和B在AC的两侧；所以BH就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（）A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①14.如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC ＝n，则△DBC的周长为()A.m ＋nB.2m ＋nC.m ＋2nD.2m -n三、解答题：（本大题共9小题，共70分）15.计算22(2)4()ab a b a b -÷--16.解方程.542332x x x+=--17.先化简(1111x x --+)÷222x x -,然后在-1、1、4中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．18.已知：如图，点C 和点D 在线段BF 上，AB ∥DE ，AB =DF ，∠A =∠F ．求证：BC =DE ．19.如图，∠ABC =38°，∠ACB =100°，AD 平分∠BAC ，AE 是BC 边上的高，求∠DAE 的度数．20.如图，已知∠ABC=90°,D 是直线AB 上的点，AD=BC ，过点A 作AF ⊥AB,并截取AF=DB ,连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明.21.列方程或方程组解应用题：某中学为迎接校运会，筹集7000元购买了甲、乙两种品牌的篮球共30个，其中购买甲品牌篮球花费3000元，已知甲品牌篮球比乙品牌篮球的单价高50%，求乙品牌篮球的单价及个数．22.如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）⑴作出与△ABC 关于y 轴对称△A 1B 1C 1，并写出三个顶点的坐标为：A 1（），B 1（），C 1（）；⑵在x 轴上找一点P ，使PA +PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标；⑶在y 轴上是否存在点Q ，使得S △AOQ =12S △ABC ，如果存在，求出点Q 的坐标，如果没有存在，说明理由．23.已知：△ABC 是等边三角形．（1）如图，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，BD ＝CE ，BE 与CD 交于点F ．试判断BF 与CF 的数量关系，并加以证明；（2）点D 是AB 边上的一个动点，点E 是AC 边上的一个动点，且BD ＝CE ，BE 与CD 交于点F ．若△BFD 是等腰三角形，求∠FBD 的度数．2023-2024学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷一）一,填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）．1.2018-1（）=_____．【正确答案】1【详解】2018(1）=12018=1，故答案为1.2.若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是______．【正确答案】8【详解】解：设边数为n ，由题意得，180（n -2）=360⨯3，解得n =8．所以这个多边形的边数是8．故8．3.当x _______时，分式293x x --的值为零．【正确答案】=-3【分析】根据分母为0是分式无意义，分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零列式计算即可．【详解】解：根据题意，∵分式293x x --的值为零，∴29030x x ⎧-=⎨-≠⎩，∴3x =-；故3=-．本题考查的是分式为0的条件、分式有意义的条件，掌握分式值为零的条件是分子等于零且分母没有等于零是解题的关键．4.一个等腰三角形的两边长分别为4cm 和9cm ，则它的周长为__cm ．【正确答案】22【分析】底边可能是4，也可能是9，分类讨论，去掉没有合条件的，然后可求周长.【详解】试题解析：①当腰是4cm ，底边是9cm 时：没有满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm ，腰长是9cm 时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm ．故填22．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答.5.已知29x mx ++是完全平方式，则m =_________．【正确答案】6±【分析】根据完全平方式的形式，可得答案．【详解】∵x 2+mx +9是完全平方式，∴m =2136±⨯⨯=±，故答案为6±．本题考查了完全平方式，注意符合条件的答案有两个，以防漏掉．6.观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第9个图形中共有______个点．【正确答案】135【详解】试题分析：仔细观察图形：个图形有3=3×1=3个点，第二个图形有3+6=3×（1+2）=9个点；第三个图形有3+6+9=3×（1+2+3）=18个点；…第n 个图形有3+6+9+…+3n=3×（1+2+3+…+n ）=个点；当n=9时，=135个点，故答案为135．考点：规律型：图形的变化类二、选一选（本大题共8小题，每小题4分，共32分）．7.在天气预报图上，有各种各样表示天气的符号，下列表示天气符号的图形中，既是对称图形又是轴对称图形的是()A. B. C. D.【正确答案】C【分析】根据轴对称图形和对称图形的定义进行判断即可.【详解】解：A、是轴对称图形，没有是对称图形，本选项没有符合题意；B、是对称图形，没有是轴对称图形，本选项没有符合题意；C、是轴对称图形也是对称图形，本选项符合题意；D、是轴对称图形，没有是对称图形，本选项没有符合题意.故选：C.本题考查了轴对称图形和对称图形的定义，属于基础题型，熟练掌握轴对称图形和对称图形的概念是判断的关键.8.以下列各组线段为边，能组成三角形的是（）A.1cm，2cm，4cmB.4cm，6cm，8cmC.5cm，6cm，12cmD.2cm，3cm，5cm【正确答案】B【分析】根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．【详解】解：根据三角形的三边关系，知A、1+2＜4，没有能组成三角形；B、4+6＞8，能组成三角形；C、5+6＜12，没有能够组成三角形；D、2+3=5，没有能组成三角形．故选：B．此题考查了三角形的三边关系．判断能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数．9.如图，在ABC 和DBE ∆中，BC BE =，还需再添加两个条件才能使ABC DBE ≌，则没有能添加的一组条件是（）A.AC=DE ，∠C=∠EB.BD=AB ，AC=DEC.AB=DB ，∠A=∠DD.∠C=∠E ，∠A=∠D【正确答案】C【分析】根据全等三角形的判定方法分别进行判定即可．【详解】A.已知BC=BE,再加上条件AC=DE,∠C=∠E 可利用SAS 证明△ABC ≌△DBE ，故此选项没有合题意；B.已知BC=BE,再加上条件BD=AB,AC=DE 可利用SSS 证明△ABC ≌△DBE ，故此选项没有合题意；C.已知BC=BE,再加上条件AB=DB,∠A=∠D 没有能证明△ABC ≌△DBE ，故此选项符合题意；D.已知BC=BE ,再加上条件∠C=∠E,∠A=∠D 可利用ASA 证明△ABC ≌△DBE ，故此选项没有合题意；故选C.此题考查全等三角形的判定，解题关键在于掌握判定定理.10.下列计算中，正确的是（）A.x 3•x 2＝x 4B.（x +y ）（x ﹣y ）＝x 2+y 2C.（x ﹣3）2＝x 2﹣6x +9 D.3x 3y 2÷xy 2＝3x 4【正确答案】C【分析】分别根据同底数幂的乘法、平方差公式、完全平方公式和单项式除以单项式的法则计算可得．【详解】A、x 3•x 2=x 5，此选项错误；B、（x+y）（x-y）=x 2-y 2，此选项错误；C、（x-3）2=x 2-6x+9，此选项正确；D、3x 3y 2÷xy 2=3x 2，此选项错误；故选C．本题考查了整式的混合运算，解题的关键是掌握同底数幂的乘法、平方差公式、完全平方公式和单项式除以单项式的法则．11.下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（）A.3x+2x﹣1=5x﹣1B.（3a+2b）（3a﹣2b）=9a2﹣4b2C.x2+x=x2（1+1x） D.2x2﹣8y2=2（x+2y）（x﹣2y）【正确答案】D【详解】A.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故A错误；B.是整式的乘法，故B错误；C.没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C错误；D.把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D正确；故选：D.12.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=8，则CD等于（）A.3B.4C.5D.6【正确答案】B【详解】∵∠ACB=90°,∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBA=30°，∴BD=AD，∵AD=8，∴BD=8，∴CD=12BD=4.故选：B.13.如图所示，小兰用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：①分别以点DE为圆心，大于DE的一半长为半径作弧两弧交于F；②作射线BF，交边AC于点H；③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；④取一点K使K和B在AC的两侧；所以BH就是所求作的高．其中顺序正确的作图步骤是（）A.①②③④B.④③①②C.②④③①D.④③②①【正确答案】B【分析】根据直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．【详解】用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，做法如下：④取一点K使K和B在AC的两侧；③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；①分别以点D、E为圆心，大于DE的长为半径作弧两弧交于F；②作射线BF，交边AC于点H；故选B．考查了复杂作图，关键是掌握线段垂直平分线、垂线的作法．14.如图，△ABC中，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，∠DBC＝30°，若AB＝m，BC ＝n，则△DBC的周长为()A.m＋nB.2m＋nC.m＋2nD.2m-n【正确答案】A【详解】∵AB的垂直平分线MN交AC于点D,∠A=40°，∴AD=BD ，∴∠A=∠ABD=40°，∵∠DBC=30°，∴∠ABC=40°+30°=70°,∠C=180°−40°−40°−30°=70°，∴∠ABC=∠C ，∴AC=AB=m ，∴△DBC 的周长是DB+BC+CD=BC+AD+DC=AC+BC=m+n ，故答案为m+n.点睛：本题考查了三角形内角和定理、线段垂直平分线性质、等腰三角形的性质的应用.注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.三、解答题：（本大题共9小题，共70分）15.计算22(2)4()ab a b a b -÷--【正确答案】34b 【详解】、试题分析：多项式的混合运算，先算乘方，再算乘除，合并即可.试题解析：原式=2234ab 4ab 4b -+=34b .16.解方程.542332x x x+=--【正确答案】x =1.【分析】先将分式方程去分母化为一元方程，再解方程后检验是否为增根即可解题.【详解】方程两边都乘(2x -3)，得x -5=4(2x -3)，解得x =1.检验：当x =1时，2x -3≠0.∴原方程的根是x =1.本题考查了解分式方程，解本题的关键是注意符号问题以及增根问题.17.先化简(1111x x --+)÷222x x -,然后在-1、1、4中选取一个合适的数作为x 的值代入求值．【正确答案】4,1x 【详解】试题解析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取一个合适的数作为x 的值代入进行计算即可．解：原式=()222x 1x 1x 14x 1x x -+-+⨯=-，∵x≠0，x≠1，∴当x=4时，441x 4==.18.已知：如图，点C 和点D 在线段BF 上，AB ∥DE ，AB =DF ，∠A =∠F ．求证：BC =DE．【正确答案】证明见解析【分析】先由平行线得出∠B =∠EDF ，再由ASA 证明△ABC ≌△FDE ，得出对应边相等即可．【详解】证明：∵AB ∥DE∴∠B =∠EDF ；在△ABC 和△FDE 中，A F AB DF B EDF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABC ≌△FDE （ASA ），∴BC =DE ．考点：全等三角形的判定与性质．19.如图，∠ABC =38°，∠ACB =100°，AD 平分∠BAC ，AE 是BC 边上的高，求∠DAE的度数．【正确答案】31︒【分析】根据三角形内角和求出∠BAC 的度数，根据角平分线求出∠BAD 的度数，根据外角的性质求出∠ADE 的度数，根据三角形内角和求出∠DAE 的度数．【详解】解：∵∠ABC =38°，∠ACB =100°（已知)，∴∠BAC =180°―38°―100°=42°（三角形内角和180°)又∵AD 平分∠BAC （已知)，∴∠BAD =21°∴∠ADE =∠ABC +∠BAD =59°（三角形的外角性质)，又∵AE 是BC 边上的高，即∠E =90°∴∠DAE =90°―59°=31°本题考查了三角形内角和定理以及外角的性质，角平分线的定理，解题的关键是掌握相应的定理．20.如图，已知∠ABC=90°,D 是直线AB 上的点，AD=BC ，过点A 作AF ⊥AB,并截取AF=DB ,连接DC 、DF 、CF ，判断△CDF 的形状并证明.【正确答案】△CDF 是等腰直角三角形，证明见解析【详解】试题分析：由“ASA”证明△ADF ≌△BCD 得到DF=CD ，∠ADF=∠BCD ，再利用∠BCD+∠CDB=90°得到∠CDF=90°，则可判断△CDF 为等腰直角三角形.试题解析：△CDF 是等腰直角三角形，证明如下：∵AF ⊥AD ，∠ABC=90°，∴∠FAD=∠DBC ，在△FAD 与△DBC 中，AD BC FAD DBC AF BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△FAD ≌△DBC （SAS ）；∴FD=DC ，∴△CDF 是等腰三角形，∵△FAD ≌△DBC ，∴∠FDA=∠DCB ，∵∠BDC+∠DCB=90°，∴∠BDC+∠FDA=90°，∴△CDF 是等腰直角三角形.21.列方程或方程组解应用题：某中学为迎接校运会，筹集7000元购买了甲、乙两种品牌的篮球共30个，其中购买甲品牌篮球花费3000元，已知甲品牌篮球比乙品牌篮球的单价高50%，求乙品牌篮球的单价及个数．【正确答案】乙品牌篮球的单价为200元/个，购买了20个.【详解】试题分析：设乙品牌篮球的单价为x 元/个，则甲品牌篮球的单价为1.5x 元/个，根据相等关系：7000元购买了甲、乙两种品牌的篮球共30个，即可得出关于x 的分式方程，求解即可．试题解析：解：设乙品牌篮球的单价为x 元，则甲品牌篮球的单价为1.5x 元/个，根据题意得：300070003000301.5x x-+=解得：x =200．经检验：x =200是原方程的解，且符合题意．∴7000300020200-=．答：乙品牌篮球的单价为200元/个，购买了20个．点睛：本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．22.如图，△ABC 三个顶点的坐标分别为A （1，1），B （4，2），C （3，4）⑴作出与△ABC 关于y 轴对称△A 1B 1C 1，并写出三个顶点的坐标为：A 1（），B 1（），C 1（）；⑵在x 轴上找一点P ，使PA +PB 的值最小，请直接写出点P 的坐标；⑶在y 轴上是否存在点Q ，使得S △AOQ =12S △ABC ，如果存在，求出点Q 的坐标，如果没有存在，说明理由．【正确答案】⑴A1（-1，1），B1（-4，2），C1（-3，4）；（2）P坐标为（2，0）；（3）Q（0，7 2）或（0，7 2 ）【详解】试题分析：（1）找出点A、B、C关于y轴的对称点的位置，然后顺次连接即可得到△A1B1C1；（2），找出A的对称点A′，连接BA′，与x轴交点即为P，从而得到点P的坐标；（3）作AD⊥y轴于D，设Q点坐标为（0，y），则OQ＝｜y｜，AD＝1，根据三角形的面积求出S△ABC，再由S△AOQ=12S△ABC解y值即可得到点Q坐标.试题解析：（1）△A1B1C1如图所示，A1（-1，1），B1（-4，2），C1（-3，4）；（2）如图1，找出A的对称点A′（1，﹣1），连接BA′，与x轴交点即为P，点P坐标为（2，0）；（3）设存在点Q ，使得S △AOQ =12S △ABC ，如图2，作AD ⊥y 轴于D ，设Q 点坐标为（0，y ），则OQ ＝｜y ｜，AD ＝1，S △ABC ＝11133312132222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯＝72，由题意，S △AOQ =12S △ABC ，得117y 1222⨯⨯=⨯，7y 2=或7y 2=-，∴Q 点坐标为（0，72）或（0，72-）.23.已知：△ABC 是等边三角形．（1）如图，点D 在AB 边上，点E 在AC 边上，BD ＝CE ，BE 与CD 交于点F ．试判断BF 与CF 的数量关系，并加以证明；（2）点D 是AB 边上的一个动点，点E 是AC 边上的一个动点，且BD ＝CE ，BE 与CD 交于点F ．若△BFD 是等腰三角形，求∠FBD 的度数．【正确答案】（1）BF=CF ；理由见解析；（2）40°或20°【详解】试题分析：（1）由等边三角形的性质得出∠ABC=∠ACB=60°，由SAS 证明△BCD ≌△CBE ，得出∠BCD=∠CBE ，由等角对等边即可得出BF=CF ．（2）设∠BCD=∠CBE=x ，则∠DBF=60°-x ，分三种情况：①若FD=FB ，则∠FBD=∠FDB>∠A ，证出∠FBD<60°，得出FD=FB 的情况没有存在；②若DB=DF ，则∠FBD=∠BFD=2x ，得出方程60°-x=2x，解方程即可得出结果；③若BD=BF，则∠BDF=∠BFD=2x，由三角形内角和定理得出方程，解方程即可得出结果．试题解析：（1）BF=CF；理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=60°，在△BCD和△CBE中，BD CEABC ACB BC CB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCD≌△CBE（SAS），∴∠BCD=∠CBE，∴BF=CF．（2）由（1）得：∠BCD=∠CBE，∠ACB=60°，设∠BCD=∠CBE=x，∴∠DBF=60°﹣x，若△BFD是等腰三角形，分三种情况：①若FD=FB，则∠FBD=∠FDB＞∠A，∴∠FBD=∠FDB＞60°，但∠FBD＞∠ABC，∴∠FBD＜60°，∴FD=FB的情况没有存在；②若DB=DF，则∠FBD=∠BFD=2x，∴60°﹣x=2x，解得：x=20°，∴∠FBD=40°；③若BD=BF，如图所示：则∠BDF=∠BFD=2x，在△BDF中，∠DBF+∠BDF+∠BFD=180°，∴60°﹣x+2x+2x=180°，解得：x=40°，∴∠FBD=20°；综上所述：∠FBD 的度数是40°或20°.点睛：此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，对等腰三角形的边分情况讨论是解此题的关键.2023-2024学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）一、选一选（本题共30分，每小题3分）1.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A.5.6×10﹣1 B.5.6×10﹣2 C.5.6×10﹣3 D.0.56×10﹣12.江永女书诞生于宋朝，是世界上一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是()A. B. C. D.3.下列式子为最简二次根式的是（）A. B. C. D.4.若分式23x x -+的值为0，则x 的值等于（）A.0 B.2 C.3 D.-35.下列运算正确的是A.532b b b ÷=B.527()b b =C.248·b b b =D.2·22a a b a ab-=+（）6.如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ，若BE=1，则AC 的长为（）A.2B.3C.4D.237.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB =AD ，BC =DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE =∠PAE ．则说明这两个三角形全等的依据是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS 8.如图，根据计算长方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A .222()2a b a ab b +=++ B.222()2a b a ab b -=-+C.22()()a b a b a b +-=- D.2()a a b a ab +=+9.如图，已知在△ABC ，AB ＝AC ．若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（）A.AE＝ECB.AE＝BEC.∠EBC＝∠BACD.∠EBC＝∠ABE10.如图，点P是∠AOB内任意一点，且∠AOB＝40°，点M和点N分别是射线OA和射线OB 上的动点，当△PMN周长取最小值时，则∠MPN的度数为（）A.140°B.100°C.50°D.40°二、填空题：（本题共16分，每小题2分）x x的取值范围是_______．11.112.在平面直角坐标系xOy中，点P（2，1）关于y轴对称的点的坐标是_____．13.如图，点B、F、C、E在一条直线上，已知BF=CE，AC∥DF，请你添加一个适当的条件______，使得△ABC≌△DEF．14.等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是_________．15.如图，△ABC≌△ADE，∠EAC＝40°，则∠B＝_______°．16.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为_____．17.如果实数a，b满足a+b＝6，ab＝8，那么a2+b2＝_____．18.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小红的作法如下：老师说：“小红的作确．”请回答：小红的作图依据是_________________________．三、解答题(本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.计算：)101326212-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭20.因式分解：（1）24x -（2）2244ax axy ay -+21.如图，点E 、F 在线段AB 上，且AD ＝BC ，∠A ＝∠B ,AE ＝BF .求证：DF ＝CE .22.已知2+2x x =，求()()()()22311x x x x x +-+++-的值23.解分式方程.11222x x x-+=--24.先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭32x =-．列分式方程解应用题：25.列分式方程解应用题：北京条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区．据统计，2017年地铁每小时客运量是2002年地铁每小时客运量的4倍，2017年客运240万人所用的时间比2002年客运240万人所用的时间少30小时，求2017年地铁每小时的客运量．26.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AM 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线．（1）求证：AM ∥BC ；（2）若DN 平分∠ADC 交AM 于点N ，判断△ADN 的形状并说明理由．27.定义：任意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩充得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.(1)若1,a b ==直接写出,a b 的“如意数”c ；(2)如果4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数”0c ≤；（3）已知()2=10a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b =_______________________(用含x 的式子表示)28.如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E ．（1）依题意补全图形；（2）若∠PAC ＝20°，求∠AEB 的度数；（3）连结CE ，写出AE ，BE ，CE 之间的数量关系，并证明你的结论．2023-2024学年北京市东城区八年级上册数学期末专项突破模拟卷（卷二）一、选一选（本题共30分，每小题3分）1.世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司．将0.056用科学记数法表示为（）A.5.6×10﹣1 B.5.6×10﹣2 C.5.6×10﹣3 D.0.56×10﹣1【正确答案】B【详解】0.056用科学记数法表示为：0.056=-25.610⨯，故选B .2.江永女书诞生于宋朝，是世界上一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而神奇的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，基本是轴对称图形的是()A. B. C. D.【正确答案】A【详解】解：选项A 是轴对称图形，选项B 、C 、D 都没有是轴对称图形，故选A.3.下列式子为最简二次根式的是（）A. B. C. D.【正确答案】C【详解】选项A ，=a b +；选项B ，=；选项C ，是最简二次根式；选项D ，=22．故选C.4.若分式23x x -+的值为0，则x 的值等于（）A.0B.2C.3D.-3【正确答案】B【详解】分式的值为0，分子为0分母没有为0，由此可得x-2=0且x+3≠0，解得x=2，故选B.5.下列运算正确的是A.532b b b ÷=B.527()b b =C.248·b b b =D.2·22a a b a ab-=+（）【正确答案】A【详解】选项A ，532b b b ÷=，正确；选项B ，()25b =10b ，错误；选项C ，24·b b =6b ，错误；选项D ，2·22a a b a ab -=-，错误.故选A.6.如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60°，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ，若BE=1，则AC 的长为（）A.2B.C.4D.【正确答案】C 【详解】解：∵∠B=60°，DE⊥BC，∴BD=2BE=2，∵D 为AB 边的中点，∴AB=2BD=4，∵∠B=∠C=60°，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=AB=4，故选：C．7.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB =AD ，BC =DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE =∠PAE ．则说明这两个三角形全等的依据是（）A.SASB.ASAC.AASD.SSS【正确答案】D 【详解】解：在△ADC 和△ABC 中，AD AB DC BC AC AC ⎧⎪⎨⎪⎩＝＝＝，∴△ADC ≌△ABC （SSS ），∴∠DAC =∠BAC ，即∠QAE =∠PAE ．故选D ．8.如图，根据计算长方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A.222()2a b a ab b +=++ B.222()2a b a ab b -=-+C.22()()a b a b a b +-=- D.2()a a b a ab+=+【正确答案】D 【详解】长方形ABCD 的面积的两种表示方法可得()2a ab a ab +=+，故选D.9.如图，已知在△ABC ，AB ＝AC ．若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论一定正确的是（）A.AE ＝ECB.AE ＝BEC.∠EBC ＝∠BACD.∠EBC ＝∠ABE【正确答案】C 【分析】利用等腰三角形的性质分别判断后即可确定正确的选项．【详解】解：AB AC = ，ABC ACB ∴∠=∠，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，BE BC ∴=，ACB BEC ∴∠=∠，BEC ABC ACB ∴∠=∠=∠，A EBC ∴∠=∠，故选：C ．本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是掌握当等腰三角形的底角对应相等时其顶角也相等，难度没有大．10.如图，点P 是∠AOB 内任意一点，且∠AOB ＝40°，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时，则∠MPN 的度数为（）A.140°B.100°C.50°D.40°【正确答案】B 【分析】根据轴对称的性质证得△OCD 是等腰三角形，求得得∠OCD =∠ODC =50°，再利用SAS证明△CON ≌△PON ，△ODM ≌△OPM ，根据全等三角形的性质可得∠OCN =∠NPO =50°，∠OPM =∠ODM =50°，再由∠MPN =∠NPO +∠OPM 即可求解．【详解】解∶如图，分别作点P 关于OB 、OA 的对称点C 、D ，连接CD ，分别交OA 、OB 于点M 、N ，连接OC 、OD 、PM 、PN 、MN ，此时△PMN 周长取最小值．∴OC =OP =OD ，∠CON =∠PON ，∠POM =∠DOM ；∵∠AOB =∠MOP +∠PON ＝40°，∴∠COD =2∠AOB =80°，在△COD 中，OC =OD ，∠AOB ＝40°，∴∠OCD =∠ODC =50°；在△CON 和△PON 中，OC =OP ，∠CON =∠PON ，ON =ON ，∴△CON ≌△PON ，∴∠OCN =∠NPO =50°，同理∠OPM =∠ODM =50°，∴∠MPN =∠NPO +∠OPM =50°+50°=100°．故选：B ．本题考查了轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、全等三角形的判定与性质等知识点．二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11.x 的取值范围是_______．【正确答案】1≥x 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x 的没有等式，求出x 的取值范围即可．在实数范围内有意义，∴x -1≥0，解得x ≥1．故x ≥1．本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0．12.在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，1）关于y 轴对称的点的坐标是_____．【正确答案】（-2，1）【详解】关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，由此可得点P （2，1）关于y 轴对称的点的坐标是（-2，1）.13.如图，点B 、F 、C 、E 在一条直线上，已知BF =CE ，AC ∥DF ，请你添加一个适当的条件______，使得△ABC ≌△DEF．【正确答案】∠A =∠D (答案没有)【详解】添加∠A =∠D ．理由如下：∵FB =CE ，∴BC =EF ．又∵AC ∥DF ，∴∠ACB =∠DFE ．∴在△ABC 与△DEF 中，A D ACB DFE BC EF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ABC ≌△DEF （AAS ）．14.等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是_________．【正确答案】18或21【详解】分两种情况：①当8为腰时，此三角形的周长=8+8+5=21；②当5为腰时，此三角形的周长=8+5+5=18．15.如图，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B ＝_______°．【正确答案】70【分析】根据全等三角形的对应边相等、对应角相等得到∠BAC=∠DAE，AB=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算即可．【详解】∵△ABC≌△ADE，∴∠BAC=∠DAE，AB=AD，∴∠BAD=∠EAC=40°，∴∠B=（180°-40°）÷2=70°，故70本题考查的是全等三角形的性质和三角形内角和定理，掌握全等三角形的对应边相等、对应角相等是解题的关键．16.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为_____．【正确答案】4cm##4厘米【详解】解：∵BC=10cm，BD：DC=3:2，∴BD=6cm，CD=4cm，∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，∴点D 到AB 的距离等于DC ，即点D 到AB 的距离等于4cm ．故4cm17.如果实数a ，b 满足a +b ＝6，ab ＝8，那么a 2+b 2＝_____．【正确答案】20【详解】∵6,a b +=∴222()236,a b a ab b +=++=∵ab=8，∴22a b +=36-2ab=36-2×8=20.本题考查了完全平方公式的变形应用，熟练进行完全平方公式的变形是解题的关键.18.阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：小红的作法如下：老师说：“小红的作确．”请回答：小红的作图依据是_________________________．【正确答案】到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线.【分析】根据线段垂直平分线的作法即可得出结论．【详解】如图，∵由作图可知，AC =BC =AD =BD ，∴直线CD 就是线段AB 的垂直平分线.故答案为到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线.本题考查了作图—基本作图及线段垂直平分线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键.三、解答题(本题共9个小题，共54分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)19.计算：)10112-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭【正确答案】【分析】根据值的性质、二次根式的乘法法则、负整数指数幂的性质、零指数幂的性质分别计算各项后，再化简合并即可．【详解】解：原式=)10112-⎛⎫+-- ⎪⎝⎭，21=-，．本题考查了实数的运算，二次根式的运算，负整指数幂和零指数幂，掌握这些运算的法则是解题的关键.20.因式分解：（1）24x -（2）2244ax axy ay -+【正确答案】（1）x 2)(2)x -+（（2）2(2)a x y -【详解】试题分析：（1）直接利用平方差公式因式分解即可；（2）提公因式a 后再利用完全平方公式因式分解即可.试题解析：（1）()24=x 2)2x x --+（;（2）()()2222244442ax axy ay a x xy y a x y -+=-+=-.21.如图，点E 、F 在线段AB 上，且AD ＝BC ，∠A ＝∠B ,AE ＝BF .求证：DF ＝CE.【正确答案】证明见解析【详解】试题分析：由AE ＝BF 可证得AF ＝BE ，已知条件利用SAS 证明△ADF ≌△BCE ，根据全等三角形的对应边相等的性质即可得结论.试题解析：证明：∵点E ，F 在线段AB 上，AE ＝BF .∴AE +E F ＝BF +EF ，即：AF ＝BE ．在△ADF 与△BCE 中，,,,AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADF ≌△BCE (SAS )∴DF=CE （全等三角形对应边相等）22.已知2+2x x =，求()()()()22311x x x x x +-+++-的值【正确答案】5【分析】根据完全平方公式、单项式乘以单项式的乘法法则、平方差公式把所给的整式展开，合并同类项化为最简后，再代入求值即可.【详解】解：原式=222244313x x x x x x x ++--+-=++当22x x +=时，原式=2+3=5，所以原式的值为5.本题考查了完全平方公式和整式的混合运算，涉及到了整体代入的思想方法，解题的关键是正确化简题中代数式．23.解分式方程.11222x x x-+=--【正确答案】无解【分析】分式方程变形后，去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解.【详解】方程两边同乘()2x -，得()1221x x +-=-解得2x =检验：当2x =时，20x -=2x ∴=没有是原方程的解，即原方程无解.此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．24.先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭2x =-．【正确答案】33【分析】先把括号内的式子进行通分，然后把把除法运算转化为乘法运算，约分化为最简分式后代入求值即可．【详解】解：259123x x x -⎛⎫-÷ ⎪++⎝⎭，()()33323x x x x x +--=÷++＝()()33233x x x x x -+⋅++-＝12x +当2x =-时，原式3===.列分式方程解应用题：25.列分式方程解应用题：北京条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营．截至2017年1月，。
2019-2020年北京市东城区八年级上册期末数学试题(有答案)
八年级（上）期末数学试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a35．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•256．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．79．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48°B．55°C．65°D．以上都不对10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=．14．（3分）2++9是完全平方式，则=．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于cm．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B所经过的路径的长为．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．22．（5分）解方程： +=．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；故选：C．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【解答】解：点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．故选：A．4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a3【解答】解：A、b3•b3=b6，故A不符合题意；B、2•3=5，故B不符合题意；C、（a5）2=a10，故C不符合题意；D、a5÷a3=a2，故D符合题意；故选：D．5．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•25【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；C、42+4=4（+1），是因式分解，故本选项正确；D、67=32•25，不是因式分解，故本选项错误．故选：C．6．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：去分母得：2+2+6﹣12=2﹣4，移项合并得：8=8，解得：=1，经检验=1是分式方程的解，故选：A．7．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2=4（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2=3（cm），能够组成三角形．所以该等腰三角形的底边为5cm或3cm，故选：C．8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．7【解答】解：∵m+=5，∴m2+=（m+）2﹣2=25﹣2=23，故选：A．9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48°B．55°C．65°D．以上都不对【解答】解：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，整理可得∠β=55°．故选：B．10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=100，4×ab=100﹣20=80，即2ab=80，则（a+b）2=a2+2ab+b2=100+80=180，∴每个直角三角形的周长为10+=10+故选：A．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于2．【解答】解：根据题意得：﹣2=0，解得：=2．此时2+1=5，符合题意，故答案是：2．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为4．【解答】解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b，=（a+b）（a﹣b）+4b，=2（a﹣b）+4b，=2a+2b，=2（a+b），=2×2，=4．故答案为：4．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=6．【解答】解：由题意得，﹣2=0，3﹣y=0，解得=2，y=3，所以，y=2×3=6．故答案为：6．14．（3分）2++9是完全平方式，则=±6．【解答】解：中间一项为加上或减去和3的积的2倍，故=±6．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于10cm．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AB=6cm，∴AC=6cm，∵AB的垂直平分线交AC于P点，∴BP+PC=AC，∴△PBC的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=6+4=10cm．故答案为：10．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：直角三角形．【解答】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为．【解答】解：如图，过点B作BD⊥轴于D，∵A（0，2），B（4，3），∴OA=2，BD=3，OD=4，根据题意得：∠ACO=∠BCD，∵∠AOC=∠BDC=90°，∴△AOC∽△BDC，∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，∴OC=OD=×4=，∴AC==，∴BC=，∴AC+BC=．即这束光从点A到点B所经过的路径的长为：．故答案为：．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B 都在线段PQ的垂直平分线上）．【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．【解答】解：3ab2+6ab+3a=3a（b2+2b+1）=3a（b+1）2．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．【解答】解：原式=a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2=2ab﹣2b2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．【解答】解：原式=2++8+1=3+9．22．（5分）解方程： +=．【解答】解：两边都乘（+3）（﹣3），得+3（﹣3）=+3，解得=4，经检验：=4是原分式方程的根．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．【解答】解：（+）÷，=[+]•，=，=，=，当=12时，原式==．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AB=3，在Rt△ABD中，AD==9，在Rt△ADC中，CD==12，∴BC=BD+CD=3+12．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5千米/时．根据题意得：﹣=，解得：=180，经检验，=80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5=1.5×180=270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠CAE=∠B，∴∠CAE=∠EAB=∠B．∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，∴∠B=30°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，∴AB=2AC=6cm；（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：∵∠EAB=∠B，∴EB=EA，∵ED平分∠AEB，∴ED⊥AB．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为10．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是﹣，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为6、8，则这个直角三角形斜边长==10，故答案为：10；（2）在Rt△ADC中，AD==2，∴BD=AD=2；（3）点A在数轴上表示的数是：﹣=﹣，由勾股定理得，OC=，以O为圆心、OC为半径作弧交轴于B，则点B即为所求，故答案为：﹣．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=3：1．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD．又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．故答案为：15cm；（2）连接AD，如图所示．∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=BD，EA=AD，∴BE：EA=BD：AD，又∵BD=AD，∴BE：AE=3：1．故答案为：3：1．（3）∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，∴BQ===．。
2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷
2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷2018-2019学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（）A. B. C. D.2.若分式有意义，则a的取值范围是（）A. B. C. 且 D. 一切实数3.下列运算中，正确的是（）A. B. C. D.4.2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（）A. B.C. D.5.如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（）A.B.C.D.6.下列二次根式中，是最简二次根式的是（）A. C. D.7.已知a m=2，a n=3，则a3m+2n的值是（）A. 6B. 24C. 36D. 728.如图，已知∠1=∠2，AC=AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB=AE，②BC=ED，③∠C=∠D，④∠B=∠E，这四个关系中可以选择的是（）A. ①②③B. ①②④C. ①③④D. ②③④9.如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为（）A. 2B. 4C. 6D. 810.定义运算“※”：a※b=，＞，＜．若5※x=2，则x的值为（）A. B. 或10 C. 10 D. 或二、填空题（本大题共6小题，共14.0分）11.分解因式：2ax2-8a=______．12.多项式（mx+8）（2-3x）展开后不含x项，则m=______．13.当x=______时，分式的值为0．14.课本上有这样一道例题：作法：（1）作线段AB=a（2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D．（3）在MN上取一点C，使DC=h．（4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形．请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是______．15.如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC=5，BC=8，则△AEC的周长最小值为______．16.已知在△ABC中，AB=AC．（1）若∠A=36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是______；（2）若∠A≠36°，当∠A=______时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括△ABC）．（写出两个答案即可）三、解答题（本大题共12小题，共56.0分）17.计算：+（2-π）0-（）-2．18.计算：（1）；（2）（x-2）2-（x+3）（x-3）．19.在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所得整式可以因式分解，并进行因式分解．20.解分式方程：+1=．21.先化简，然后a在-2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值．22.如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）．（1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．23.如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D．（1）求证：△ABC≌△DEF；（2）若BE=10m，BF=3m，求FC的长度．24.列方程解应用题：港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仪为原来路程行驶完全程时间的，求港珠澳大桥的设计时速是多少？25.如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断AE与AF的位置关系并证明．26.阅读下列材料，然后回答问题：观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：===-1．===-．（一）还可以用以下方法化简：．（二）（1）请用不同的方法化简．参照（一）式得=______；参照（二）式得=______；（2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解决：1．求的值；2．化简：+++…+．27.（1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长．小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题．请根据小明同学的思路直接写出DE的长．（2）【类比探究】老师引导同学继续研究：1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求DE的长．2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为______（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）28.在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P．（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数；（2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示）（3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果）答案和解析1.【答案】C【解析】解：0.00000032=3.2×10-7；故选：C．绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．2.【答案】A【解析】解：若分式有意义，则a-1≠0，即a≠1，故选：A．分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得．本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零．3.【答案】B【解析】解：A、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误；B、a?a2=a3，正确；C、3a6÷a3=3a3，故此选项错误；D、（ab）3=a3b3，故此选项错误；故选：B．直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘除运算以及积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．4.【答案】B【解析】解：A、不是轴对称图形，不合题意；B、是轴对称图形，符合题意；C、不是轴对称图形，不合题意；D、不是轴对称图形，不合题意．故选：B．直接根据轴对称图形的概念分别解答得出答案．本题考查的是轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．5.【答案】D【解析】解：∵4+4-=6，∴选项A不符合题意；∵4+40+40=6，∴选项B不符合题意；∵4+=6，∴选项C不符合题意；∵4-1÷+4=4，∴选项D符合题意．故选：D．根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误即可．此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．6.【答案】A【解析】解：A、是最简二次根式，正确；B、不是最简二次根式，错误；C、不是最简二次根式，错误；D、不是最简二次根式，错误；故选：A．直接利用最简二次根式的定义分析得出答案．此题主要考查了最简二次根式，正确把握定义是解题关键．7.【答案】D【解析】解：∵a m=2，a n=3，∴a3m+2n=（a m）3×（a n）2=23×32=72．故选：D．直接利用同底数幂的乘法运算法则结合幂的乘方运算法则计算得出答案．此题主要考查了同底数幂的乘法运算以及幂的乘方运算，正确将原式变形是解题关键．8.【答案】C【解析】解：∵∠1=∠2，∴∠1+∠EAB=∠2+∠EAB，即∠CAB=∠DAE，①加上条件AB=AE可利用SAS定理证明△ABC≌△AED；②加上BC=ED不能证明△ABC≌△AED；③加上∠C=∠D可利用ASA证明△ABC≌△AED；④加上∠B=∠E可利用AAS证明△ABC≌△AED；故选：C．由∠1=∠2结合等式的性质可得∠CAB=∠DAE，再利用全等三角形的判定定理分别进行分析即可．此题主要考查了三角形全等的判定方法，解题时注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9.【答案】C【解析】【分析】本题考查了含30°角的直角三角形的性质、角平分线的性质以及等边三角形的判定与性质．利用三角形外角性质得到∠AEB=60°是解题的关键．易得△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB中，利用含30度角的直角三角形的性质来求EB的长度，然后在等腰△BEC中得到CE的长度，则易求AC的长度．【解答】解：∵△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°．又∵BE是∠ABC的平分线，∴∠EBC=30°，∴∠AEB=∠C+∠EBC=60°，∠C=∠EBC，∴∠AEP=60°，BE=EC．又AD⊥BC，∴∠CAD=∠EAP=60°，则∠AEP=∠EAP=60°，∴△AEP的等边三角形，则AE=AP=2，在直角△AEB中，∠ABE=30°，则EB=2AE=4，∴BE=EC=4，∴AC=CE+AE=6．故选：C．10.【答案】B【解析】解：若5＞x，即x＜5时，原方程可整理得：=2，方程两边同时乘以（5-a）得：5=2（5-x），解得：x=，经检验：x=是原方程的解，且＜5，即x=符合题意，若5＜x，即x＞5时，原方程可整理得：=2，方程两边同时乘以（x-5）得：x=2（x-5），解得：x=10，经检验：x=10是原方程的解，且10＞5，即x=10符合题意，故选：B．分别讨论5＞x和5＜x时，得到的分式方程，解之，找出符合题意的即可．本题考查了解分式方程，有理数的混合运算，正确掌握解分式方程的方法是解题的关键．11.【答案】2a（x+2）（x-2）【解析】解：原式=2a（x2-4）=2a（x+2）（x-2）．故答案为：2a（x+2）（x-2）．首先提公因式2a，再利用平方差进行二次分解即可．此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．12.【答案】12【解析】解：（mx+8）（2-3x）=2mx-3mx2+16-24x=-3mx2+（2m-24）x+16，∵多项式（mx+8）（2-3x）展开后不含x项，∴2m-24=0，解得：m=12，故答案为：12．乘积含x项包括两部分，①mx×2，②8×（-3x），再由展开后不含x的一次项可得出关于m的方程，解出即可．此题考查了多项式乘多项式的知识，属于基础题，注意观察哪些项相乘所得的结果含一次项，难度一般．13.【答案】-2【解析】∴x=-2．故答案为：-2．分式的值为0的条件是：（1）分子=0；（2）分母≠0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．此题考查的是对分式的值为0的条件，分子等于0，分母不能等于0，题目比较简单．14.【答案】线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义【解析】解：若CD垂直平分AB，则根据线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等得到CA=CB，然后根据等腰三角形的定义可判断△ABC就是等腰三角形．故答案为线段垂直平分线上的点与这条线段两端点距离相等，等腰三角形定义．利用线段垂直平分线的性质和等腰三角形的定义，由CD垂直平分AB可得到△ABC就是等腰三角形．本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．15.【答案】13【解析】解：如图，连接BE，∵点D是AB边的中点，l⊥AB，∴l是AB的垂直平分线，∴AE+CE=BE+CE，∵BE+CE≥BC，∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=5+8=13，故答案为：13．连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC 的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC．本题主要考查了最短距离问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点．16.【答案】108°，36°90°或108°【解析】解：（1）如图1所示：∵AB=AC，∠A=36°，∴当AE=BE，则∠A=∠ABE=36°，则∠AEB=108°，则∠EBC=36°，∴这2个等腰三角形的顶角度数分别是108度和36度；故答案为：108°，36°；（2）当∠A=90°或108°时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形，故答案为：90°或108°．（1）根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论；（2）当∠A=90°或108°时，根据等腰三角形的性质即可得到结论．此题主要考查了应用作图与设计以及等腰三角形的性质，得出分割图形是解题关键．17.【答案】解：原式=3+1-4=0．【解析】直接利用零指数幂的性质、负指数幂的性质、算术平方根分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．18.【答案】解：（1）原式==；（2）原式=x2-4x+4-x2+9=-4x+13．【解析】（1）直接利用二次根式的性质分别化简得出答案；（2）直接利用乘法公式化简求出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简二次根式是解题关键．19.【答案】解：方法一：（x2+2xy）+x2=2x2+2xy=2x （x+y）；方法二：（y2+2xy）+x2=（x+y）2；方法三：（x2+2xy）-（y2+2xy）=x2-y2=（x+y）（x-y）；方法四：（y2+2xy）-（x2+2xy）=y2-x2=（y+x）（y-x）．【解析】本题考查整式的加法运算，要先去括号，然后合并同类项，最后进行因式分解．本题答案不唯一．本题考查了整式的加减，整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项，因式分解时先考虑提取公因式，没有公因式的再考虑运用完全平方公式或平方差公式进行因式分解．20.【答案】解：方程两边同乘以2（x+3），得4x+2（x+3）=7，解得x=，检验：当x=时，2（x+3）≠0，∴x=是分式方程的解．【解析】根据等式的性质，可得整式方程，根据解整式方程，可得答案．本题考查了解分式方程，利用等式的性质得出整式方程是解题关键，要检验方程的根．21.【答案】解：原式===．当a=0时，=．【解析】先去括号，然后化除法为乘法进行化简计算，最后代入求值即可．考查了分式的化简求值，注意：如a取-2，2，3时，分式无意义．22.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求；（2）当△BCD与△BCA关于BC对称时，点D坐标为（0，3），当△BCA与△CBD关于BC的中点对称时，点D坐标为（ 0，-1），△BCA与△CBD关于BC的中垂线对称时，点D坐标为当（2，-1）．【解析】（1）利用轴对称变换，即可作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；（2）依据以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，可知两个三角形有公共边BC，运用对称性即可得出所有符合条件的点D坐标．本题主要考查了利用轴对称变换作图以及全等三角形的判定的运用，解题时注意，成轴对称的两个三角形或成中心对称的两个三角形全等．23.【答案】（1）证明：∵AB∥DE，∴∠ABC=∠DEF，在△ABC与△DEF中∴△ABC≌△DEF；（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，∴BF+FC=EC+FC，∴BF=EC，∵BE=10m，BF=3m，∴FC=10-3-3=4m．【解析】（1）先证明∠ABC=∠DEF，再根据ASA即可证明．（2）根据全等三角形的性质即可解答．本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的判定等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，记住平行线的判定方法，属于基础题，中考常考题型．。
2015-2016学年北京市东城区八年级上学期期末考试数学试卷(带解析)
绝密★启用前2015-2016学年北京市东城区八年级上学期期末考试数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：139分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 的中点，AC 的垂直平分线分别交AC ，AD ，AB 于点E ，O ，F ，连接OC ，OB ，则图中全等的三角形有（ ）A ．1对B ．2对C ．3对D ．4对2、若x-=1，则x +的值是（ ）A ．3B ．2C ．1D ．43、若分式的值为0，则x 的值为（ ）A ．x=1B ．x=-1C ．x=±1D ．x≠14、如图，所示的图形面积由以下哪个公式表示（ ）A ．a -b =a （a-b ）+b （a-b ）B ．（a-b ）=a -2ab+bC ．（a+b ）=a +2ab+bD ．a -b =（a-b ）（a+b ）5、如图在△ABC 中，∠ACB=90°，BE 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于点D ，如果AC=3cm ，那么AE+DE 等于（ ）A ．2cmB ．3cmC ．4cmD ．5cm6、如果有意义，那么x 的取值范围是（ ）A ．x>2B ．x≥2C ．x≤2D ．x<27、下列式子为最简二次根式的是（ ）A ．B ．C ．D ．8、下列计算正确的是（ ） A ．x+x =xB ．x ·x =xC ．（x ）=xD ．x ÷x =x9、下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ）10、如图，正方形ABCD 的面积为12，△ABE 是等边三角形，点E 在正方形ABCD 内，在对角线AC 上有一点P ，使PD+PE 最小，则这个最小值为（ ）A ．B ．2C ．2D ．第II卷（非选择题）二、填空题（题型注释）11、在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，3），在坐标轴上找一点P，使得△AOP 是等腰三角形，则这样的点P共有_______个.12、如图，Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=2，则△AMB的面积为______.13、若x+2（m-3）x+16是一个完全平方式，那么m应为_______.14、如图，AB=AC，点E，点D分别在AC，AB上，要使△ABE≌△ACD，应添加的条件是______.（添加一个条件即可）15、中国女药学家屠呦呦获2015年诺贝尔医学奖，她的突出贡献是创制新型抗疟药青蒿素和双氢青蒿素，这是中国医学界迄今为止获得的最高奖项.已知显微镜下的某种疟原虫平均长度为0.0000015米，该长度用科学记数法表示为____米.三、计算题（题型注释）16、如图①，在△ABC中，D、E分别是AB，AC上的点，AB=AC，AD=AE，然后将△ADE绕点A顺时针旋转一定角度，连接BD，CE，得到图②，将BD，CE分别延长至M ，N ，使DM=BD ，EN=CE ，连接AM ，AN ，MN 得到图③，请解答下列问题：（1）在图②中，BD 与CE 的数量关系是__________；（2）在图③中，猜想AM 与AN 的数量关系，∠MAN 与∠BAC 的数量关系，并证明你的猜想.17、先化简，再求值：÷（x-2+），其中x=-1.18、计算：（1）[（2x+3y ）-（2x+y ）（2x-y ）] ÷2y（2）（2-6+3）÷2四、解答题（题型注释）19、2015年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年.某商家用1200元购进了一批抗战主题纪念衫，上市后果然供不应求，商家又用2800元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了5元. （1）该商家购进的第一批纪念衫是多少件？（2）若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖出，如果两批纪念衫全部售完利润率不低于16％（不考虑其它因素），那么每件纪念衫的标价至少是多少元？20、在△ABC 中，∠A=60°，∠ABC ，∠ACB 所对的边b ，c 满足：b +c -4（b+c ）+8=0.（1）证明：△ABC 是边长为2的等边三角形.（2）若b ，c 两边上的中线BD ，CE 交于点O ，求OD ：OB 的值.21、如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC ，（1）作图：作BC 边的垂直平分线分别交BC ，BD 于点E ，F （用尺规作图法，保留作图痕迹，不要求写作法）；（2）在（1）的条件下，连接CF ，若∠A=60°，∠ABD=24°，求∠ACF 的度数.22、如图，点C ，D 在线段BF 上，AB ∥DE ，AB=DF ，∠A=∠F. 求证：△ABC ≌△FDE.23、如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为A （2，3），B （3，1），C （-2，-2）.（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′），并直接写出A′，B′，C′的坐标.（2）求△A′B′C′的面积.24、解方程：-=1.25、因式分解：（1）4x-9（2）3ax-6axy+3ay26、观察下列关于自然数的等式：3-4×1="5" ①5-4×2=9 ②7-4×3=13 ③根据上述规律解决下列问题：（1）完成第四个等式：_________________；（2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示）______________________.参考答案1、D2、A3、B4、C5、B6、B7、A8、C9、D10、B11、812、113、-1或714、∠B=∠C 或AE=AD 或∠AEB=∠ADC15、1.5×1016、（1）BD=CE；（2）AM=AN，∠MAN=∠BAC ，理由见解析.17、，18、（1）6x+5y（2）719、（1）40件（2）40元20、（1）证明见解析（2）OD：OB=1：221、（1）见解析（2）48°22、证明见解析.23、（1）A′（-2，3），B′（-3，1），C′（2，-2）图略（2）S△A′B′C′=6.524、x=-25、（1）（2x+3）（2x-3）（2）3a（x-y）26、9-4×4=17，（2n+1）-4n=4n+1【解析】1、试题分析：∵ D为BC中点，∴CD=BD，又∵∠BDO=∠CDO=90°，∴在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD；∵EF垂直平分AC，∴OA=OC，AE=CE，在△AOE和△COE中，，∴△AOE≌△COE；在△BOD和△COD中，，∴△BOD≌△COD；在△AOC和△AOB中，，∴△AOC≌△AOB；所以共有4对全等三角形，故选：D．考点：全等三角形的判定.2、试题分析：因为x-=1，所以x+= ，故选：A.考点：分式的化简求值.3、试题分析：因为分式的值为0，所以，解得x=-1，故选：B.考点：分式的值为零的条件.4、试题分析：根据图形可知：大正方形的面积=（a+b），又大正方形的面积=两个小正方形的面积和再加上两个长方形的面积=a+2ab+b，所以可得（a+b）=a+2ab+b ，故选：C.考点：完全平方公式.5、试题分析：因为BE平分∠ABC，DE⊥AB，∠ACB=90°，所以DE=EC,所以AE+DE=AE+EC=AC=3cm,故选：B.考点：角平分线的性质.6、试题分析：当时有意义，解得x≥2，故选：B.考点：二次根式有意义的条件.7、试题分析：因为不能再化简，所以是最简二次根式，所以A正确；因为=2，所以B错误；因为，所以C错误；因为，所以D错误，故选：A.考点：最简二次根式8、试题分析：因为x与x不是同类项，不能合并，所以A错误；因为，所以B错误；因为，所以C正确；因为，所以D 错误；故选：C.考点：1.整式的加减2.幂的运算.9、试题分析：根据轴对称图形的定义可知：A\B\C都不是轴对称图形，D是轴对称图形，故选：D.考点：轴对称图形10、试题分析：因为四边形ABCD是正方形，所以点BD关于AC所在的直线对称，所以PD=PE,所以BE与AC的交点即为所求的点，此时PD+PE最小值=BE，又正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，所以BE= ,故选：B.考点：1.正方形的性质2.等边三角形的性质3.二次根式4.轴对称.11、试题分析：如图，以点O为圆心，OP长为半径画圆与坐标轴有4个交点，可知使得△AOP是等腰三角形；以点P为圆心，OP长为半径画圆与坐标轴有2个交点，符合要求；线段OP的垂直平分线与坐标轴有2个交点，符合要求；所以可知使得△AOP是等腰三角形的点P共有8个.考点：等腰三角形的判定.12、试题分析：∵Rt△ABC的斜边AB的中垂线MN与AC交于点M，∠A=15°，BM=2，∴AM=BM=2，∠ABM=∠A=15°，∴∠BMC=∠A+∠ABM=30°，∴BC=BM=×2=1，MC==，∴S△AMB=AM•BC=×2×1=1．考点：1.线段垂直平分线的性质2.等腰三角形的判定与性质3.勾股定理13、试题分析：因为符合形式的多项式是完全平方式，所以若x+2（m-3）x+16是一个完全平方式，则，所以m=-1或7.考点：完全平方式14、试题分析：∵AB=AC，∠A为公共角，所以添∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；添加AE=AD，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；添∠AEB=∠ADC 利用AAS即可证明△ABE≌△ACD；所以答案不唯一.．考点：全等三角形的判定.15、试题分析：根据科学记数法的概念可知：用科学记数法可将一个数表示的形式，所以用科学记数法表示0.0000015=1.5×10.考点：科学记数法16、试题分析：（1）根据条件证明△CAE≌△BAD即可得出结论；（2）先根据条件证明△CAE≌△BAD，得出∠ACE=∠ABD，然后再证明△ABM≌△ACN即可得出结论.试题解析：（1）BD="CE"（2）AM=AN，∠MAN=∠BAC∵∠DAE=∠BAC∴∠CAE=∠BAD在△BAD和△CAE中，∴△CAE≌△BAD（SAS）∴∠ACE=∠ABD ∴CE="BD"∵DM=BD，EN=CE，BD=CE，∴BM=CN在△ABM和△ACN中，∴△ABM≌△ACN（SAS）∴AM=AN∴∠BAM=∠CAN，即∠MAN=∠BAC.考点：1.图形旋转的性质2.全等三角形的判定与性质.17、试题分析：先把所给的分式化简为最简分式，然后把x=-1代入计算即可.试题解析：÷（x-2+）=÷=·=当x=-1时，原式==考点：分式的化简求值.18、试题分析：（1）先利用平方差公式和完全平方公式计算小括号内的，然后合并同类项，再计算多项式的除法即可；（2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并同类二次根式，再算除法即可.试题解析：（1）[（2x+3y）-（2x+y）（2x-y）] ÷2y=[4x+12xy+9y-4x+y]÷2y=[12xy+10y]÷2y="6x+5y"（2）（2-6+3）÷2=（4-2+12）÷2=14÷2="7"考点：1.整式的乘除2.二次根式的计算.19、试题分析：（1）设该商家购进第一批纪念衫x件，根据两次单价差5元，列分式方程解答即可；（2））设每件纪念衫标价至少是a元，根据两批纪念衫全部售完利润率不低于16％列不等式解答即可.试题解析：（1）设该商家购进第一批纪念衫x件，则第二批纪念衫2x件由题意，可得-="5"解得x="40"经检验x=40是原方程的根即商家购进第一批纪念衫40件（2）设每件纪念衫标价至少是a元由（1）得第一批的进价为1200÷400=30（元/件）第二批的进价为35（元/件）由题意，可得40×（a-30）+（80-20）×（a-35）+20×（0.8a-35）≥16%×4000，解得116a≥4640所以a≥40即每件纪念衫最少是40元考点：1.分式方程的应用2.不等式的应用.20、试题分析：（1）把b+c-4（b+c）+8=0配方得出b=c=2，再加条件∠A=60°可证出结论；（2）利用等腰三角形三线合一的性质可得BD⊥AC，∠DBC=∠ABC=30°，然后利用直角三角形中30°角的性质可得OB=OC=2OD，从而得出结论.试题解析：（1）∵b+c-4（b+c）+8=0∴（b-2）+（c-2）="0"∵（b-2）≥0，（c-2）≥0，∴（b-2）=（c-2）=0∴b="c=2"∵∠A=60°∴△ABC是边长为2的等边三角形（2）∵AB=BC且BD是AC边上的中线∴BD⊥AC，∠DBC=∠ABC=30°同理∠ECB=∠ECA=30°∴∠DBC=∠ECB∴OB="OC"由已知：BD⊥AC，∠ECA=30°，OB=OC，∴OB=OC=2OD∴OD：OB=1：2考点：1.等边三角形的判定与性质2.等腰三角形的性质3.直角三角形的性质.21、试题分析：（1）按照尺规作图的基本作图的步骤作图即可；（2）根据BD平分∠ABC，可得∠FBC=24°，根据EF垂直平分BC，可得出∠FCB=∠FBC=24°，然后利用三角形外角的性质和三角形的内角和可求出∠ACF的度数.试题解析：（1）如图：（2）∵BD平分∠ABC，∠ABD=24°，∴∠FBC=24°∵EF垂直平分BC，∴BF=CF∴∠FCB=∠FBC="24°"在△FDC中，∠FDC=∠A+∠ABD="60°+24°=84°"∠DFC=∠FCB+∠FBC="24°+24°=48°"∴∠ACF="180°-84°-48°=48°"考点：1.尺规作图2.线段垂直平分线的性质3.角的计算.22、试题分析：先由条件AB∥DE得出∠B=∠EDF ，然后利用ASA可证出结论.试题解析：∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF在△ABC和△FDE中∴△ABC≌△FDE（ASA）考点：全等三角形的判定.23、试题分析：（1）分别作出点A，B，C的对称点A′，B′，C′，然后顺次连接各点即可，根据图形然后直接写出A′，B′，C′的坐标；（2）利用图形的面积的和差关系可计算出△A′B′C′的面积.试题解析：（1）如图：（2）△A′B′C′的面积=5×5-=6.5.考点：1.轴对称图形2.点的坐标与图形的变换.24、试题分析：先去分母，再解整式方程，检验即可.试题解析：方程两边乘（x-4），得x（x+2）-1=x-4x+2x-1=x-42x=-3解得x=-经检验可知x=-是原方程的根∴原方程的根是x=-考点：解分式方程.25、试题分析：（1）利用平方差公式分解因式即可；（2）先提公因式3a，然后利用完全平方公式分解因式即可.试题解析：（1）4x-9=（2x+3）（2x-3）（2）3ax-6axy+3ay=3a（x-2xy+y）=3a（x-y）考点：因式分解26、试题分析：由①②③三个等式可得规律是，被减数是从3开始连续奇数的平方，减数是从1开始连续自然数的平方的4倍，计算的结果是被减数的底数的4倍加1，所以第四个等式：9-4×4=17，第n个等式为：（2n+1）2-4n2=4n+1.考点：1.规律题2.整式的计算.。
120172018北京市东城区八年级上学期期末数学试卷含答案
东城区2019——2018学年度第一学期期末教学目的检测初二数学2018.1一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个．．是符合题意的1．世界上最小的鸟是生活在古巴的吸蜜蜂鸟，它的质量约为0.056盎司。
将0.056用科学记数法表示为A. -15.610⨯B. -25.610⨯C.-35.610⨯ D ．-10.5610⨯ 2．江永女书诞生于宋朝，是世界上唯一一种女性文字，主要书写在精制布面、扇面、布帕等物品上，是一种独特而奇妙的文化现象．下列四个文字依次为某女书传人书写的“女书文化”四个字，其中根本是轴对称图形的是 3．下列式子为最简二次根式的是 A.2()+a bB. 12aC. 2D.124．若分式23x x -+的值为0，则x 的值等于A ．0B ．2C ．3D ．-3 5．下列运算正确的是A. 532b b b ÷=B.527()b b =C.248b b b = D ．2-22a a b a ab =+（）6．如图，在△ABC 中，∠B =∠C =60︒，点D 为AB 边的中点，DE ⊥BC 于E ， 若BE=1，则AC 的长为A ．2B ．3C ．4D ．237.如图，小敏做了一个角平分仪ABCD ，其中AB=AD ，BC=DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们分别落在角的两边上，过点A ，C 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线。
此角平分仪的画图原理是：根据仪器构造，可得△ABC ≌△ADC ，这样就有∠QAE=∠PAE. 则说明这两个三角形全等的根据是A. SASB. ASAC. AASD. SSS8．如图，根据计算长方形ABCD 的面积，可以说明下列哪个等式成立a bb aa a aD CBAA. 2222)(b ab a b a ++=+B. 2222)(b ab a b a +-=-C. 22))((b a b a b a -=-+ D. 2()a a b a ab +=+9．如图，已知等腰三角形ABC AB AC =，，若以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交腰AC 于点E ，则下列结论肯定．．正确的是A ．AE =ECB ．AE =BEC ．∠EBC =∠BACD ．∠EBC =∠ABE10．如图，点P 是∠AOB 内随意一点，且∠AOB ＝40°，点M 和点N 分别是射线OA 和射线OB 上的动点，当△PMN 周长取最小值时,则∠MPN 的度数为（ ）A ．140° B．100° C．50° D． 40° 二、填空题：（本题共16分，每小题2分）11x 的取值范围是 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，点P （2，1）关于y 轴对称的点的坐标是 ．13．如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，已知BF =CE ，AC //DF ，请你添加一个适当的条件 使得△ABC ≌△DEF ． 14．等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则其周长是 ．15.如图，D 在BC 边上，△ABC ≌△ADE ，∠EAC ＝40°，则∠B 的度数为_______．第15题 图 第16题 图16．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，AD 平分∠ABC ，BC =10cm ，BD ：DC =3:2，则点D 到AB 的间隔 为_____ cm ．17．假如实数,a b 满意226,8,a b ab a b +==+=那么 ； 18．阅读下面材料：在数学课上，教师提出如下问题：小俊的作法如下：教师说：“小俊的作法正确．”请答复：小俊的作图根据是_________________________．三、解答题(本题共9个小题，共54分，解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤)19．(5分)计算：101326()(21)2--++--20．（5分）因式分解：（1）24x - （2） 2244ax axy ay -+21．（5分）如图，点E ，F 在线段AB 上，且AD ＝BC ，∠A ＝∠B ，AE ＝BF .求证：DF =CE .22．（5分）已知2+2x x =，求()()()()22311x x x x x +-+++-的值23．（5分）解分式方程：11+2-22-xx x+=． 24．（5分）先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中32x =-． 25．（6分）列分式方程解应用题：北京第一条地铁线路于1971年1月15日正式开通运营.截至2019年1月，北京地铁共有19条运营线路，覆盖北京市11个辖区.据统计，2019 年地铁每小时客运量是2019年地铁每小时客运量的4倍，2019年客运240万人所用的时间比2019年客运240万人所用的时间少30小时，求2019年地铁每小时的客运量？如图，①分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于点C ； ②再分别以点A 和点B 为圆心，大于12AB 的长为半径（不同于①中的半径）作弧，两弧相交于点D ，使点D 与点C 在直线AB 的同侧；③作直线CD . 尺规作图：作一条线段的垂直平分线．已知：线段AB ．26.（6分）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AD ⊥于点D ，AM 是△ABC 的外角∠CAE 的平分线．(1)求证：AM ∥BC ；(2)若DN 平分∠ADC 交AM 于点N ，推断△ADN 的形态并说明理由． 27．（6分）定义：随意两个数,a b ，按规则c ab a b =++扩大得到一个新数c ，称所得的新数c 为“如意数”.（1） 若1,a b ==干脆写出,a b 的“如意数”c ；（2）假如4,a m b m =-=-,求,a b 的“如意数”c ，并证明“如意数” 0c ≤（3）已知2=1(0)a x x -≠，且,a b 的“如意数”3231,c x x =+-，则b = (用含x 的式子表示)28. (6分)如图，在等边三角形ABC 的外侧作直线AP ，点C 关于直线AP 的对称点为点D ，连接AD ，BD ，其中BD 交直线AP 于点E. （1）依题意补全图形；（2）若∠PAC ＝20°，求∠AEB 的度数；（3）连结CE ，写出AE , BE , CE 之间的数量关系，并证明你的结论．东城区2019——2018学年度第一学期期末教学目的检测初二数学评分标准及参考答案一、选择题（本题共30分，每小题3分）三、解答题（本题共54分）21. 如图，点E，F在AB上，AD＝BC，∠A＝∠B，AE＝BF.求证：△ADF≌△BCE.证明：∵点E，F在线段AB上，AE＝BF.，∴AE +E F ＝BF +EF ， 即：AF ＝BE ．………1分 在△ADF 与△BCE 中，,,,AD BC A B AF BE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩………3分∴△ADF ≌△BCE (SAS ) ………4分∴ DF=CE （全等三角形对应边相等）………5分 23.解方程：11+2-22-xx x+=解：方程两边同乘（x －2），得1＋2(x －2)＝－1-x 2分 解得：2.33x分24. 先化简，再求值：259123x x x -⎛⎫-÷⎪++⎝⎭，其中2x =．当2x =-时，原式===．…5分25.解：设2019年地铁每小时客运量x 万人，则2019年地铁每小时客运量4x 万人……1分由题意得240240-304x x= ……………3分解得x ＝6 …………… 4分经检验x ＝6是分式方程的解 ……………5分4x 24=……………6分答：2019年每小时客运量24万人 26.（1）∵AB =AC ，AD ⊥BC ，∴∠BAD =∠CAD =12BAC ∠．…………… 1分∵AM 平分∠EAC ，∴∠EAM =∠MAC=12EAC ∠．…………… 2分∴∠MAD =∠MAC +∠DAC =1122EAC BAC ∠+∠=1180902⨯︒=︒。
2019-2020年北京市东城区八年级上册期末数学试题(有答案)
八年级（上）期末数学试卷一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a35．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•256．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．47．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．79．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48° B．55°C．65°D．以上都不对10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=．14．（3分）2++9是完全平方式，则=．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于cm．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A 到点B所经过的路径的长为．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．22．（5分）解方程： +=．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（以下每题只有一个正确的选项，每小题3分，共30分）1．（3分）下列图标是节水、节能、低碳和绿色食品的标志，其中是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、不是轴对称图形，故本选项错误；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项正确．故选：D．2．（3分）下列二次根式中，最简二次根式的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；B、中被开方数是分数，故不是最简二次根式；C、中被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数，故是最简二次根式；D、中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式；故选：C．3．（3分）点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（）A．（2，1）B．（1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（2，﹣1）【解答】解：点M（﹣2，1）关于y轴的对称点N的坐标是（2，1）．故选：A．4．（3分）下列运算中正确的是（）A．b3•b3=2b3B．2•3=6C．（a5）2=a7D．a5÷a2=a3【解答】解：A、b3•b3=b6，故A不符合题意；B、2•3=5，故B不符合题意；C、（a5）2=a10，故C不符合题意；D、a5÷a3=a2，故D符合题意；故选：D．5．（3分）下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（）A．3+3y﹣5=3（+y）﹣5 B．（+1）（﹣1）=2﹣1C．42+4=4（+1）D．67=32•25【解答】解：A、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；B、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项错误；C、42+4=4（+1），是因式分解，故本选项正确；D、67=32•25，不是因式分解，故本选项错误．故选：C．6．（3分）分式方程+=1的解是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：去分母得：2+2+6﹣12=2﹣4，移项合并得：8=8，解得：=1，经检验=1是分式方程的解，故选：A．7．（3分）等腰三角形的周长为13cm，其中一边长为5cm，则该等腰三角形的底边为（）A．5cm B．4cm C．5cm或3cm D．8cm【解答】解：当5cm是等腰三角形的底边时，则其腰长是（13﹣5）÷2=4（cm），能够组成三角形；当5cm是等腰三角形的腰时，则其底边是13﹣5×2=3（cm），能够组成三角形．所以该等腰三角形的底边为5cm或3cm，故选：C．8．（3分）若m+=5，则m2+的结果是（）A．23 B．8 C．3 D．7【解答】解：∵m+=5，∴m2+=（m+）2﹣2=25﹣2=23，故选：A．9．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠A=75°，∠B=60°，将纸片的角折叠，使点C落在△ABC内，若∠α=35°，则∠β等于（）A．48° B．55°C．65°D．以上都不对【解答】解：∠α+∠β+（180°﹣∠C）+∠A+∠B=360°，整理可得∠β=55°．故选：B．10．（3分）2002年8月在北京召开的国际数学家大会会徽取材于我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的大正方形，如图所示，如果大正方形的面积是100，小正方形的面积为20，那么每个直角三角形的周长为（）A．10+6B．10+10C．10+4D．24【解答】解：根据题意得：c2=a2+b2=100，4×ab=100﹣20=80，即2ab=80，则（a+b）2=a2+2ab+b2=100+80=180，∴每个直角三角形的周长为10+=10+故选：A．二、填空题（每小题3分，共24分）11．（3分）若分式的值为零，则的值等于2．【解答】解：根据题意得：﹣2=0，解得：=2．此时2+1=5，符合题意，故答案是：2．12．（3分）已知a+b=2，则a2﹣b2+4b的值为4．【解答】解：∵a+b=2，∴a2﹣b2+4b，=（a+b）（a﹣b）+4b，=2（a﹣b）+4b，=2a+2b，=2（a+b），=2×2，=4．故答案为：4．13．（3分）若+|3﹣y|=0，则y=6．【解答】解：由题意得，﹣2=0，3﹣y=0，解得=2，y=3，所以，y=2×3=6．故答案为：6．14．（3分）2++9是完全平方式，则=±6．【解答】解：中间一项为加上或减去和3的积的2倍，故=±6．15．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC 于P点，若AB=6cm，BC=4cm，△PBC 的周长等于10cm．【解答】解：∵△ABC中，AB=AC，AB=6cm，∴AC=6cm，∵AB的垂直平分线交AC于P点，∴BP+PC=AC，∴△PBC的周长=（BP+PC）+BC=AC+BC=6+4=10cm．故答案为：10．16．（3分）如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长都为1，则△ABC是：直角三角形．【解答】解：∵AC2=22+32=13，AB2=62+42=52，BC2=82+12=65，∴AC2+AB2=BC2，∴△ABC是直角三角形．17．（3分）如图，从点A（0，2）发出一束光，经轴反射，过点B（4，3），则这束光从点A到点B所经过的路径的长为．【解答】解：如图，过点B作BD⊥轴于D，∵A（0，2），B（4，3），∴OA=2，BD=3，OD=4，根据题意得：∠ACO=∠BCD，∵∠AOC=∠BDC=90°，∴△AOC∽△BDC，∴OA：BD=OC：DC=AC：BC=2：3，∴OC=OD=×4=，∴AC==，∴BC=，∴AC+BC=．即这束光从点A到点B所经过的路径的长为：．故答案为：．18．（3分）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程：已知：直线l和l外一点P．（如图1）求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：如图2（1）在直线l上任取两点A，B；（2）分别以点A，B为圆心，AP，BP长为半径作弧，两弧相交于点Q；（3）作直线PQ．所以直线PQ就是所求的垂线．请回答：该作图的依据是到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B 都在线段PQ的垂直平分线上）．【解答】解：到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上（A、B都在线段PQ的垂直平分线上），理由：如图，∵PA=AQ，PB=QB，∴点A、点B在线段PQ的垂直平分线上，∴直线AB垂直平分线段PQ，∴PQ⊥AB．三、解答题（第19、20题每小题3分，第21-28题每小题3分，共46分）19．（3分）因式分解：3ab2+6ab+3a．【解答】解：3ab2+6ab+3a=3a（b2+2b+1）=3a（b+1）2．20．（3分）计算：（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）2．【解答】解：原式=a2﹣b2﹣a2+2ab﹣b2=2ab﹣2b2．21．（5分）计算： +|﹣|+（）﹣3+（π﹣3.14）0．【解答】解：原式=2++8+1=3+9．22．（5分）解方程： +=．【解答】解：两边都乘（+3）（﹣3），得+3（﹣3）=+3，解得=4，经检验：=4是原分式方程的根．23．（5分）先化简，再求值：（+）÷，其中=12．【解答】解：（+）÷，=[+]•，=，=，=，当=12时，原式==．24．（5分）如图，在△ABC中，∠B=60°，AC=15，AB=6，求BC的长．【解答】解：作AD⊥BC于D，∵∠B=60°，∴∠BAD=30°，∴BD=AB=3，在Rt△ABD中，AD==9，在Rt△ADC中，CD==12，∴BC=BD+CD=3+12．25．（5分）北京时间2015年7月31日，国际奥委会主席巴赫宣布：中国北京获得2022年第24届冬季奥林匹克运动会举办权．北京也创造历史，成为第一个既举办过夏奥会又举办冬奥会的城市，张家口也成为本届冬奥会的协办城市．近期，新建北京至张家口铁路可行性研究报告已经获得国家发改委批复，同意新建北京至张家口铁路，铁路全长约180千米．按照设计，京张高铁列车的平均行驶速度是普通快车的1.5倍，用时比普通快车用时少了20分钟，求高铁列车的平均行驶速度．【解答】解：设普通快车的平均行驶速度为千米/时，则高铁列车的平均行驶速度为1.5千米/时．根据题意得：﹣=，解得：=180，经检验，=80是所列分式方程的解，且符合题意．则1.5=1.5×180=270．答：高铁列车的平均行驶速度为270千米/时．26．（5分）已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，AE是△ABC的角平分线；ED平分∠AEB，交AB于点D；∠CAE=∠B．（1）求∠B的度数．（2）如果AC=3cm，求AB的长度．（3）猜想：ED与AB的位置关系，并证明你的猜想．【解答】解：（1）∵AE是△ABC的角平分线，∴∠CAE=∠EAB，∵∠CAE=∠B，∴∠CAE=∠EAB=∠B．∵在△ABC中，∠C=90°，∴∠CAE+∠EAB+∠B=3∠B=90°，∴∠B=30°；（2）∵在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=3cm，∴AB=2AC=6cm；（3）猜想：ED⊥AB．理由如下：∵∠EAB=∠B，∴EB=EA，∵ED平分∠AEB，∴ED⊥AB．27．（5分）阅读下列材料，并回答问题．事实上，在任何一个直角三角形中，两条直角边的平方之和一定等于斜边的平方，这个结论就是著名的勾股定理．请利用这个结论，完成下面活动：（1）一个直角三角形的两条直角边分别为6、8，那么这个直角三角形斜边长为10．（2）如图1，AD⊥BC 于D，AD=BD，AC=BE，AC=3，DC=1，求BD的长度．（3）如图2，点A在数轴上表示的数是﹣，请用类似的方法在图2数轴上画出表示数的B点（保留作图痕迹）．【解答】解：（1）直角三角形的两条直角边分别为6、8，则这个直角三角形斜边长==10，故答案为：10；（2）在Rt△ADC中，AD==2，∴BD=AD=2；（3）点A在数轴上表示的数是：﹣=﹣，由勾股定理得，OC=，以O为圆心、OC为半径作弧交轴于B，则点B即为所求，故答案为：﹣．28．（5分）如图1所示，等边△ABC中，AD是BC边上的中线，根据等腰三角形的“三线合一”特性，AD平分∠BAC，且AD⊥BC，则有∠BAD=30°，BD=CD=AB．于是可得出结论“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”．请根据从上面材料中所得到的信息解答下列问题：（1）如图2所示，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线交AB于点D，垂足为E，当BD=5cm，∠B=30°时，△ACD的周长=15cm．（2）如图3所示，在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，DE⊥AB，垂足为E，那么BE：EA=3：1．（3）如图4所示，在等边△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，且AE=DC，AD、BE交于点P，作BQ⊥AD于Q，若BP=2，求BQ的长．【解答】解：（1）∵DE是线段BC的垂直平分线，∠ACB=90°，∴CD=BD，AD=BD．又∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，∴AC=AB，∴△ACD的周长=AC+AB=3BD=15cm．故答案为：15cm；（2）连接AD，如图所示．∵在△ABC中，AB=AC，∠A=120°，D是BC的中点，∴∠BAD=60°．又∵DE⊥AB，∴∠B=∠ADE=30°，∴BE=BD，EA=AD，∴BE：EA=BD：AD，又∵BD=AD，∴BE：AE=3：1．故答案为：3：1．（3）∵△ABC为等边三角形．∴AB=AC，∠BAC=∠ACB=60°，在△BAE和△ACD中，，∴△BAE≌△ACD（SAS），∴∠ABE=∠CAD．∵∠BPQ为△ABP外角，∴∠BPQ=∠ABE+∠BAD．∴∠BPQ=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°∵BQ⊥AD，∴∠PBQ=30°，∴BP=2PQ=2，∴PQ=1，∴BQ===．。
2020-2021学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．（3分）如果有意义，那么x的取值范围是（）A．x＞2B．x≥2C．x≤2D．x＜22．（3分）下列各式是最简二次根式的是（）A．B．C．D．3．（3分）若分式，则x的值是（）A．x＝1B．x＝﹣1C．x＝0D．x≠﹣14．（3分）下列各式中，运算正确的是（）A．a3•a3＝2a3B．（a2）3＝a6C．（2a2）3＝2a6D．a6÷a2＝a35．（3分）2020年突如其来的新型冠状病毒肺炎疫情席卷全球，我国在党中央的坚强领导下，取得了抗击疫情的巨大成就．科学研究表明，某种新型冠状病毒颗粒的直径约为125纳米，1纳米＝1.0×10﹣9米，若用科学记数法表示125纳米，则正确的结果是（）A．1.25×10﹣9米B．1.25×10﹣8米C．1.25×10﹣7米D．1.25×10﹣6米6．（3分）下列各式由左到右是分解因式的是（）A．x2+6x﹣9＝（x+3）（x﹣3）+6xB．（x+2）（x﹣2）＝x2﹣4C．x2﹣2xy﹣y2＝（x﹣y）2D．x2﹣8x+16＝（x﹣4）27．（3分）一个多边形内角和是1080°，则这个多边形是（）A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形8．（3分）如图所示，点O是△ABC内一点，BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，连接OA，若OD＝5，AB＝20，则△AOB的面积是（）A．20B．30C．50D．1009．（3分）如图，已知∠AOB＝60°，点P在边OA上，OP＝10，点M、N在边OB上，PM ＝PN，若MN＝2，则OM＝（）A．3B．4C．5D．610．（3分）剪纸是我国传统的民间艺术．将一张纸片按图中①，②的方式沿虚线依次对折后，再沿图③中的虚线裁剪，最后将图④中的纸片打开铺平，所得图案应该是（）A．B．C．D．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．（2分）因式分解：x2y﹣4y＝．12．（2分）如果x2﹣10x+m是一个完全平方式，那么m的值是．13．（2分）图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，把它分成四块形状和大小都一样的小长方形，然后按图（2）那样拼成一个正方形，则中间空的部分的面积是．14．（2分）如图所示，已知P是AD上的一点，∠ABP＝∠ACP，请再添加一个条件：，使得△ABP≌△ACP．15．（2分）小明同学用一根铁丝恰好围成一个等腰三角形，若其中两条边的长分别为15cm 和20cm，则这根铁丝的长为cm．16．（2分）如图，在△ABC中，D是BC上一点，AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，则∠B ＝°17．（2分）如图，等腰直角△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，D为BC的中点，AD ＝2，若P为AB上一个动点，则PC+PD的最小值为．18．（2分）如图，∠MON＝30°，点A1，A2，A3，A4，…在射线ON上，点B1，B2，B3，…在射线OM上，且△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，以此类推，若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．（5分）计算：|﹣|+﹣（π﹣2）0+（）﹣1．20．（5分）如图，点B，C，D，F在一条直线上，AB＝EF，AC＝ED，∠CAB＝∠DEF，求证：AC∥DE．21．（5分）已知x2﹣x+1＝0，求代数式（x+1）2﹣（x+1）（2x﹣1）的值．22．（4分）尺规作图：如图所示，在一次军事演习中，红方侦察员发现：蓝方指挥部点P在A区内，且到铁路FG和公路CE的距离相等，到两通讯站C和D的距离也相等，如果你是红方的指挥员，请你在图中标出蓝方指挥部点P的位置（保留作图痕迹，不必写作法）．23．（5分）解方程：+＝1．24．（5分）化简求值：（）÷，其中x＝2+．25．（5分）列分式方程解应用题：截止到2020年11月23日，全国832个国家级贫困县全部脱贫摘帽．某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗．已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，求甲、乙两种树苗每棵的价格．26．（6分）已知△ABC是等边三角形，点D是AC的中点，点P在射线BC上，点Q在线段AB上，∠PDQ＝120°．（1）如图1，若点Q与点B重合，求证：DB＝DP；（2）如图2，若点P在线段BC上，AC＝8，求AQ+PC的值．27．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＞BC，D为AB的中点，E为CA延长线上一点，连接DE，过点D作DF⊥DE，交BC的延长线于点F，连接EF．作点B关于直线DF的对称点G，连接DG．（1）依题意补全图形；（2）若∠ADF＝α；①求∠EDG的度数（用含α的式子表示）；②请判断以线段AE，BF，EF为边的三角形的形状，并说明理由．28．（7分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l经过点M（3，0），且平行于y轴．给出如下定义：点P（x，y）先关于y轴对称得点P1，再将点P1关于直线l对称得点P′，则称点P′是点P关于y轴和直线l的二次反射点．（1）已知A（﹣4，0），B（﹣2，0），C（﹣3，1），则它们关于y轴和直线l的二次反射点A′，B′，C′的坐标分别是；（2）若点D的坐标是（a，0），其中a＜0，点D关于y轴和直线l的二次反射点是点D′，求线段DD′的长；（3）已知点E（4，0），点F（6，0），以线段EF为边在x轴上方作正方形EFGH，若点P（a，1），Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点分别为P′，Q′，且线段P′Q′与正方形EFGH的边有公共点，求a的取值范围．2020-2021学年北京市东城区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个1．【分析】根据被开方数大于等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x﹣2≥0，解得x≥2．故选：B．【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．2．【分析】根据最简二次根式的概念判断即可．【解答】解：A、是最简二次根式；B、＝＝2，不是最简二次根式；C、＝|a|，不是最简二次根式；D、，被开方数的分母中含有字母，不是最简二次根式；故选：A．【点评】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．3．【分析】分式的值为零：分子等于零，分母不等于零．【解答】解：依题意得，x﹣1＝0，且x+1≠0，解得x＝1．故选：A．【点评】本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．4．【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方运算法则，积的乘方运算法则以及同底数幂的除法法则逐一判断即可．【解答】解：A、a3•a3＝a6，故本选项不合题意；B、（a2）3＝a6，故本选项符合题意；C、（2a2）3＝8a6，故本选项不合题意；D、a6÷a2＝a4，故本选项不合题意；故选：B．【点评】本题主要考查了同底数幂的乘除法以及幂的乘方与积的乘方，熟记幂的运算法则是解答本题的关键．5．【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【解答】解：125纳米＝0.000000125米＝1.25×10﹣7米．故选：C．【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．6．【分析】根据分解因式的定义逐个判断即可．【解答】解：A．等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；B．等式由左到右的变形属于整式乘法，不属于分解因式，故本选项不符合题意；C．等式两边不相等，即等式由左到右的变形不属于分解因式，故本选项不符合题意；D．等式由左到右的变形属于分解因式，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了因式分解的定义，注意：把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，也叫分解因式．7．【分析】设这个多边形是n（n≥3）边形，则它的内角和是（n﹣2）180°，得到关于n 的方程组，就可以求出边数n．【解答】解：设这个多边形是n边形，由题意知，（n﹣2）×180°＝1080°，∴n＝8，所以该多边形的边数是八边形．故选：C．【点评】根据多边形的内角和定理，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．8．【分析】根据角平分线的性质求出OE，最后用三角形的面积公式即可解答．【解答】解：过O作OE⊥AB于点E，∵BO平分∠ABC，OD⊥BC于点D，∴OE＝OD＝5，∴△AOB的面积＝，故选：C．【点评】此题考查角平分线的性质，关键是根据角平分线的性质得出OE＝OD解答．9．【分析】作PH⊥MN于H，根据等腰三角形的性质求出MH，根据直角三角形的性质求出OH，计算即可．【解答】解：作PH⊥MN于H，∵PM＝PN，∴MH＝NH＝MN＝1，∵∠AOB＝60°，∴∠OPH＝30°，∴OH＝OP＝5，∴OM＝OH﹣MH＝4，故选：B．【点评】本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键．10．【分析】对于此类问题，只要依据翻折变换，将图（4）中的纸片按顺序打开铺平，即可得到一个图案．【解答】解：按照图中的顺序，向右对折，向上对折，从斜边处剪去一个直角三角形，从直角顶点处剪去一个等腰直角三角形，展开后实际是从原菱形的四边处各剪去一个直角三角形，从菱形的中心剪去一个正方形，可得：故选：A．【点评】本题主要考查了剪纸问题，解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确地找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．二、填空题（本题共16分，每小题2分）11．【分析】首先提取公因式y，再利用平方差公式分解因式即可．【解答】解：x2y﹣4y＝y（x2﹣4）＝y（x﹣2）（x+2）．故答案为：y（x﹣2）（x+2）．【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用乘法公式分解因式是解题关键．12．【分析】利用完全平方公式的结构特征判断即可求出m的值．【解答】解：∵x2﹣10x+m是一个完全平方式，∴m＝25．故答案为：25．【点评】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．13．【分析】先求出正方形的边长，继而得出面积，然后根据空白部分的面积＝正方形的面积﹣矩形的面积即可得出答案．【解答】解：∵图（1）是一个长为2a，宽为2b（a＞b）的长方形，∴正方形的边长为：a+b，∵由题意可得，正方形的边长为（a+b），∴正方形的面积为（a+b）2，∵原矩形的面积为4ab，∴中间空的部分的面积＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2．故答案为（a﹣b）2．【点评】此题考查了完全平方公式的几何背景，求出正方形的边长是解答本题的关键．14．【分析】利用全等三角形的判定定理解决问题即可．【解答】解：若添加∠BAP＝∠CAP，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP ≌△ACP；若添加∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；若添加∠BPD＝∠CPD，可得∠APB＝∠APC，且∠ABP＝∠ACP，AP＝AP，由“AAS”可证△ABP≌△ACP；故答案为∠BAP＝∠CAP或∠APB＝∠APC或∠BPD＝∠CPD．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键．15．【分析】等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm时，第三边的长可能为15cm或20cm，分别求得三角形的周长，即为铁丝的长．【解答】解：∵等腰三角形中两条边的长分别为15cm和20cm，∴当第三条边的长为15cm时，这根铁丝的长为15+15+20＝50（cm），此时15+15＞20，符合三角形的三边关系；当第三条边的长为20cm时，这根铁丝的长为15+20+20＝55（cm）．故答案为：50或55．【点评】本题考查了等腰三角形的判定及三角形的三边关系，熟练掌握相关性质及定理并分类讨论是解题的关键．16．【分析】设∠ADC＝α，然后根据AC＝AD＝DB，∠BAC＝105°，表示出∠B和∠BAD 的度数，最后根据三角形的内角和定理求出∠ADC的度数，进而求得∠B的度数即可．【解答】解：∵AC＝AD＝DB，∴∠B＝∠BAD，∠ADC＝∠C，设∠ADC＝α，∴∠B＝∠BAD＝，∵∠BAC＝105°，∴∠DAC＝105°﹣，在△ADC中，∵∠ADC+∠C+∠DAC＝180°，∴2α+105°﹣＝180°，解得：α＝50°，∴∠B＝∠BAD＝＝25°，故答案为：25．【点评】本题考查了等腰三角形的性质：①等腰三角形的两腰相等；②等腰三角形的两个底角相等，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．17．【分析】作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，依据轴对称的性质，即可得到DB ＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，根据PC+PD＝PC+PE，可得当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，根据勾股定理进行计算，即可得出PC+PD的最小值为2．【解答】解：如图所示，作点D关于AB的对称点E，连接PE，BE，则DB＝EB，DP＝EP，∠ABC＝∠ABE＝45°，∵D是BC的中点，∴BD＝BC＝2，∴BE＝2，∵PC+PD＝PC+PE，∴当C，P，E在同一直线上时，PC+PE的最小值等于CE的长，此时，PC+PD最小，在Rt△BCE中，CE＝＝＝2，∴PC+PD的最小值为2．故答案为：2．【点评】此题考查了轴对称﹣线路最短的问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．18．【分析】根据等边三角形的性质得到∠B1A1A2＝60°，根据三角形的外角性质求出∠OB1A1，得到∠OB1A1＝∠MON，根据等腰三角形的判定定理得到A1B1＝OA1＝1，总结规律，根据规律解答．【解答】解：∵△A1B1A2为等边三角形，∴∠B1A1A2＝60°，∵∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠B1A1A2﹣∠MON＝30°，∴∠OB1A1＝∠MON，∴A1B1＝OA1＝1，同理可得，A2B2＝OA2＝2，A3B3＝OA3＝4＝22，……，∴△A2021B2021A2022的边长＝22020，故答案为：22020．【点评】本题考查的是图形的变化规律、等边三角形的性质、三角形的外角性质，根据等边三角形的性质总结出规律是解题的关键．三、解答题（本题共54分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．19．【分析】根据绝对值，零指数幂、负整数指数幂的性质进行计算即可．【解答】解：原式＝+﹣1+2＝+2+1＝3+1．【点评】本题考查绝对值，零指数幂、负整数指数幂，掌握绝对值，另指数幂、负整数指数幂的性质的性质是正确计算的前提．20．【分析】先证△ABC≌△EFD（SAS），得出∠ACB＝∠EDF，则∠ACD＝∠EDC，再由平行线的判定即可得出结论．【解答】证明：在△ABC和△EFD中，，∴△ABC≌△EFD（SAS），∴∠ACB＝∠EDF，∴∠ACD＝∠EDC，∴AC∥DE．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的判定等知识；证明△ABC≌△EFD是解题的关键．21．【分析】根据多项式乘多项式进行化简，然后整体代入即可求值．【解答】解：原式＝x2+2x+1﹣2x2+x﹣2x+1＝﹣x2+x+2，当x2﹣x+1＝0，即﹣x2+x＝1时，原式＝1+2＝3．【点评】本题考查了多项式乘多项式，解决本题的关键是掌握多项式乘多项式．22．【分析】作线段CD的垂直平分线MN，作∠CBF的角平分线BE交MN于点P，点P即为所求作．【解答】解：如图，点P即为所求作．【点评】本题考查作图﹣应用与设计，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．23．【分析】首先方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程，求出整式方程的解，再代入最简公分母检验即可．【解答】解：方程两边乘以（x+1）（x﹣1）得：（x+1）2+4＝（x+1）（x﹣1），解这个方程得：x＝﹣3，检验：当x＝﹣3时，（x+1）（x﹣1）≠0，x＝﹣3是原方程的解；∴原方程的解是：x＝﹣3．【点评】本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法；熟练掌握分式方程的解法，方程两边乘以最简公分母，把分式方程化成整式方程是解决问题的关键．24．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．【解答】解：（）÷＝（﹣）•＝•＝，当x＝2+时，原式＝＝．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．25．【分析】可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可【解答】解：设甲种树苗价格是x元/棵，则乙种树苗价格是（x+10）元/棵，依题意得：＝，解得：x＝30，经检验，x＝30是原方程的解，x+10＝30+10＝40（元），答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．【点评】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．26．【分析】（1）由等边三角形和等腰三角形的性质得出∠DBC＝∠E，即可得出DB＝DE；（2）如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，可证△ADH是等边三角形，由“ASA”可证△QDH≌△PDC，可得HQ＝PC，即可求解．【解答】证明：（1）∵△ABC为等边三角形，∴BA＝BC，∠ABC＝60°，∵D为AC的中点，∴DB平分∠ABC，∴∠DBC＝30°，∵∠EDB＝120°∴∠P＝180°﹣120°﹣30°＝30°∴∠DBC＝∠P，∴DB＝DP；（2）解：如图2，过点D作DH∥BC交AB于H，∵△ABC是等边三角形，AC＝8，点D是AC的中点，∴AD＝CD＝4，∠ABC＝∠ACB＝∠A＝60°，BC＝AC＝8，∵DH∥BC，∴∠ADH＝∠AHD＝60°，∴△ADH是等边三角形，∠HDC＝120°，∴AD＝HD＝AH＝4，∴HD＝CD＝4＝BH，∵∠QDP＝∠HDP＝120°，∴∠QDH＝∠PDC，在△QDH和△PDC中，，∴△QDH≌△PDC（ASA）∴HQ＝PC，∴AQ+PC＝AQ+QH＝AH＝4．【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．27．【分析】（1）根据题意画出图形解答即可；（2）①根据轴对称的性质解答即可；②根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质得出AE＝GE，进而解答即可．【解答】解：（1）补全图形，如图所示：（2）①∵∠ADF＝α，∴∠BDF＝180°﹣α，由轴对称性质可知，∠GDF＝∠BDF＝180°﹣α，∵DF⊥DE，∴∠EDF＝90°，∴∠EDG＝∠GDF﹣∠EDF＝180°﹣α﹣90°＝90°﹣α；②以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形，连接GF，GE，由轴对称性质可知，GF＝BF，∠DGF＝∠B，∵D是AB的中点，∴AD＝BD，∵GD＝BD，∴AD＝GD，∵∠GDE＝∠EDA＝90°﹣α，DE＝DE，在△GDE与△ADE中，，∴△GDE≌△ADE（SAS），∴∠EGD＝∠EAD，AE＝GE，∵∠EAD＝90°+∠B，∴∠EGD＝90°+∠B，∴∠EGF＝∠EGD﹣∠DGF＝90°+∠B﹣∠B＝90°，∴以线段GE，GF，EF为边的三角形是直角三角形，∴以线段AE，BF，EF为边的三角形是直角三角形．【点评】此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据轴对称的性质和全等三角形的判定和性质解答．28．【分析】（1）根据二次反射点的定义直接得出答案；（2）根据二次反射点的定义得出D′（6+a，0），则可得出答案（3）根据二次反射点的定义得出P′（6+a，1），Q′（7+a，1），由题意分两种情况列出不等式组，解不等式组可得出答案．【解答】解：（1）∵A（﹣4，0），∴点A关于y轴点的对称的坐标为（4，0），∵（4，0）关于直线l对称得点A′（2，0），∴点A（﹣4，0）关于y轴和直线l的二次反射点A′（2，0）；∵B（﹣2，0），∴点B关于y轴点的对称的坐标为（2，0），∵（2，0）关于直线l对称得点B′（4，0），∴点B（﹣2，0）关于y轴和直线l的二次反射点B′（4，0）；∵C（﹣3，1），∴点C关于y轴点的对称的坐标为（3，1），∵（3，1）关于直线l对称得点C′（3，1），∴点C（﹣3，1）关于y轴和直线l的二次反射点C′（3，1）；故答案为：A′（2，0），B′（4，0），C′（3，1）；（2）∵点D的坐标是（a，0），a＜0，∴点D关于y轴对称的点的坐标为（﹣a，0），∴（﹣a，0）关于直线l对称得点D′（6+a，0），∴DD'＝6+a﹣a＝6．（3）∵点P（a，1），∴点P（a，1）关于y轴和直线l的二次反射点为P′（6+a，1），∵Q（a+1，1），∴Q（a+1，1）关于y轴和直线l的二次反射点为Q′（7+a，1），当P'Q'与EH有公共点时，，∴﹣3≤a≤﹣2，当P'Q'与FG有公共点时，，∴﹣1≤a≤0，∴﹣3≤a≤﹣2或﹣1≤a≤0，【点评】本题考查了正方形的性质，轴对称性质，动点问题，新定义二次反射点的理解和运用；解题关键是对新定义二次反射点的正确理解．。
2019-2020学年北京市东城区八年级上学期期末数学真题试卷(学生版+解析版)
2019-2020 学年北京市东城区八年级(上)期末数学试卷一、选择题(共 10 个小题)．1．在国庆 70 周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏， 0.0009m 微间距显示屏就是其 中之一．数字 0.0009 用科学记数法表示应为 ( A ．9 10 4B ．9 10 32．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 A ． m(a b) ma mb C ． x 23x 2 (x 1)(x 2)3．如图是 3 3的正方形网格，其中已有 2 个小方格涂成了黑色．现在要从编号为① ?④的C ． 0.9 103D ． 0.9 10 4()2B ． 3x 2 3x 1 3x( x 1) 1D ．(a 2)2 a 24 a 41小方格中选出 1 个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是()B．C．③D．④4．列各式计算正确的是A．3a2ga 13a B．(ab2)3ab6C．( x 2)2 4 D． 6 x82x23x 4 5．对于任意的实数x，总有意义的分式是A．x x2 51B．x x2 3x C．2x218x2D．x140 ，A B 的垂直平分线分别交 AB ，AC于点 D，E，连接 BE，B． 50 C． 80 D． 1007．若分式22x 1的值为正数，则x 23x 需满足的条件是 ( )A．①6如图， ABC 中，8．已知 ABC ，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在 AB ， AC 上，且这组对应边所对的顶点重合于点 M ，点 M 一定在 ( )B ． AC 边的高上9．如图，已知 MON 及其边上一点 A ．以点 A 为圆心， AO 长为半径画弧，分别交 OM ， ON 于点 B 和C ．再以点 C 为圆心， AC 长为半径画弧，恰好经过点 B ．错误的结论是 (A ．S AOC S ABCB ． OCB 90C ． MON 30D ．OC 2BC10．已知OP 平分 AOB ，点Q 在OP 上，点M 在OA 上，且点Q ， M 均不与点 O 重合．在 OB 上确定点 N ，使 QN QM ，则满足条件的点 N 的个数为 ( ) A ．1个B ．2个C ．1或 2个D ．无数个二、填空题(本题共 16 分，每小题 2分) 11．因式分解： a 39a ． xk12．已知 2是关于 x 的分式方程 2x 的根，则实数 k 的值为 ．x31A ． x 为任意实数B ． x 12C ．xC ． BC 边的垂直平分线上D ． AB 边的中线上A ． A 的平分线1 13．如图， BE 与CD交于点 A，且 C D ．添加一个条件：，使得 ABC AED ．14．如图，将长方形纸片 ABCD折叠，使顶点 A ， C重合，折痕为 EF ．若 BAE28 ，则 AEF 的大小为．15．如图，等边 ABC 中， AD是BC边上的中线，且 AD 4，E，P分别是 AC ，AD 上的动点，则 CP EP 的最小值等于．16．我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a b）n（n 1，2，3，4，5， 6）的展开式（按 a的次数由大到小顺序排列）的系数规律．例如，第三行的三个数 1， 2，1，恰好对应）（a b）2 a2 2ab b2展开式中各项的系数；第五行的五个数 1，4，6，4，1，恰好对应着）（ a b）4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4展开式中各项的系数．（1）（a b）5展开式中 a4b的系数为；1（2）（a b）7展开式中各项系数的和为．三、解答题（本题共 68分，第 17-22题，每小题 5分，第 23-26题，每小题 5分，第 27-28题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程18．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段 m ， n 及 O ．求 作 ： ABC ， 使 得 线 段 m ， n 及① 以点 O 为圆心， m 长为半径画弧，分别交 O 的两边于点 M ，N ； ② 画一条射线 AP ，以点 A 为圆心， m 长为半径画弧，交 AP 于点 B ； ③ 以点 B 为圆心， MN 长为半径画弧，与第 ② 步中所画的弧相交于点 D ； ④ 画射线 AD ；⑤ 以点 A 为圆心， n 长为半径画弧，交 AD 于点 C ； ⑥ 连接 BC ，则 ABC 即为所求作的三角形． 请回答：1）步骤 ③ 得到两条线段相等，即 2） A O 的作图依据是17．计算：x3x 2 x 3O 分 别 是 它 的 两 边 和3）小红说小明的作图不全面，原因是的长．24．如图， ABC ．1）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O ．不写作法，保留作图痕迹；2）分别以直线 AB ， OC 为 x 轴， y 轴建立平面直角坐标系， 使点 B ，C 均在正半轴上． 若 A 45 ，写出点 B 关于 y 轴的对称点 D 的坐标；ACD 的面积．角形纸片按图 1方式折叠， 使点 A 的对应点 A 落在 AB 的延长线上， 折痕为 ED ，AE 交 BC 于点 F ．1）求 CFE 的度数；2）如图 2，继续将纸片沿 BF 折叠，点 A 的对应点为 A ， A F 交 DE 于点 G ．求线段 DG和 ADE 中 ， BAC DAE ， AD AE ． 连 接 BD ， CE ， AB AC ．21． 计算： [(m n)( m n) 22． 解方程： x 11 x 21 x223． 在三角形纸片 ABC 中，2(m n) 4m(m n)] 2m ． B 90 ， A 30 ， AC 4 ，点 E 在 AC 上， AE 3 ．将三 20 ． 如 图 ， 在 ABC5 4 AB 7.5， OC 4.5，25．先化简，再求值：(a a2 22a a2 a4a14) a a 42，其中 a是满足 |a 3| 3 a的最大整数．26．列方程，解应用题：第二届中国国际进口博览会于 2019年 11月 5日至 10日在上海国家会展中心举行．与首届相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览面积由的 270000 平方米增加到 330000 平方米．参展企业比首届多了约 300 家，参展企业平均展览面积增加了 12.8% ，求首届进博会企业平均展览面积．（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系．设首届进博会企业平均展览面积为 x 平方米，把下表补充完整：届别总面积（平方米）参展企业数量企业平均展览面积（平方米）首届270000x第二届330000（2）根据以上分析，列出方程（不解方程）．27．在 ABC 中， AB BC ，直线 l 垂直平分 AC ．（1）如图 1，作 ABC 的平分线交直线 l 于点 D ，连接 AD ， CD ．①补全图形；②判断 BAD 和 BCD 的数量关系，并证明．（2）如图 2，直线 l 与 ABC 的外角 ABE 的平分线交于点 D，连接 AD ，CD ．求证：ABC 的边上，且 PM 1 PM 2 PM3 PM n ，那么称点 M1，M2 ，M3 ，M n为 ABCM n 都在关于点 P的等距点，线段 PM1， PM2， PM3，， PM n为 ABC 关于点 P的等距线段．② ABC 关于点 P 的两个等距点 M 1，M 2 分别在边 AB ， AC 上，当相应的等距线段最短时，（2） ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C ， D 是 ABC 关于点 P 的等距 点，且 PC 1，求线段 DC 的长；（3）如图 2，在 Rt ABC 中， C 90 ， B 30 ．点 P 在 BC 上， ABC 关于点 P 的等 距点恰好有四个，且其中一个是点 C ．若 BC a ，直接写出 PC 长的取值范围． （用含 a 的 式子表示）参考答案一、选择题(本题共 20 分，每小题 2分)第 1-10题均有四个选项，符合题意的选项只有一 个.1．在国庆 70 周年的庆典活动中，使用了大量的电子显示屏， 0.0009m 微间距显示屏就是其中之一．数字 0.0009 用科学记数法表示应为 ( )A ．9 10 4B ．9 10 3C ． 0.9 103D ． 0.9 10解：数字 0.0009 用科学记数法表示应为 9 10 4．故选： A ．2．下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是 ()A ． m(a b) ma mbB ． 2 3x 2 3x1 3x( x1) 12C ． x 23x 2 (x 1)(x 2)D ． (a 2)2a 24 a 4（1） 如图 1， ABC 中， A 90 ， AB ①点 B ， C ABC 关于点 P 的等距点， （填是”或“不是” ）AC ，点 P 是 BC 的中点． 线段 PA ，PB ABC 关于点 P 的等距线段； 在图 1 中画出线段 PM 1 ， PM2 ；解： A 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；B 、不是积的形式，不是因式分解，故本选项不符合题意；C 、是因式分解，故本选项符合题意；D 、是整式的乘法，不是因式分解，故本选项不符合题意；故选： C ．3．如图是3 3的正方形网格，其中已有2 个小方格涂成了黑色．现在要从编号为① ?④的小方格中选出 1 个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是( )A ．① B．②C．③D．④ 解：要从编号为① ?④的小方格中选出 1个也涂成黑色，使黑色部分依然是轴对称图形，不能选择的是④ ，故选： D ．4．下列各式计算正确的是 ( )解： Q DE 是 AB 的垂直平分线， EA EB ， EBAA 40 ，BEC EBA A 80 ， 故选： C ．21A ．3a 2ga 13a2 3 6B ． (ab 2)3ab 6C ．( x 2)2D ． 6x82424解： Q 3a 2ga 13a ，故本选项符合题意；Q(ab 2)3 a 3b 6 ，故本选项不符合题意； Q (x 2)2 x 24x 4 ，故本选项不符合题意；Q 6x 8 2x 2 3x 6，故本选项不符合题意；故选： A ．5．对于任意的实数 x ，总有意义的分式是 (x5 A ． xx2 51解： A 、当 x 1 时，x3 B ． 2x1 x2 5无意义，故此选项错误； x2 1C ． x218x D ．2x1B 、 无论x 为何值， x 21 0 ，则 x2 3总有意义，故此选项正确； x21C 、 当x 0 时，D 、当x 1时， 2x 8x2 x1 无意义，故此选项错误；1无意义，故此选项错误； 故选： B ．中， A 40 ， AB 的垂直平分线分别交 AB ， AC 于点 D ， E ，连接BE ， B ． 50 C ． 80 D ． 1006．如图，ABC)ON 于点 B 和C ．再以点 C 为圆心， AC 长为半径画弧，恰好经过点 B ．错误的结论是 (7．若分式 22x 1的值为正数，则 x 需满足的条件是 ( ) x2311 A ． x 为任意实数 B ． x C ． x22 解：Q 分式 22x 1的值为正数，x232x 2 3 恒为正数，2x 1 0 ，1 x ． 2故选： C ．8．已知 ABC ，两个完全一样的三角板如图摆放，它们的一组对应直角边分别在 AB ， AC解： 作射线 AM ， 由题意得， MG MH ， MG AB ， MH AC ， AM 平分 BAC ， 故选： A ．9．如图，已知 MON 及其边上一点 A ．以点 A 为圆心， AO 长为半径画弧，分别交 OM ，上，且这组对应边所对的顶点重合于点M ，点 M 一定在 ( ) C ． BC 边的垂直平分线上B ． AC 边的高上D ． AB边的中线EQ QF ，若点 M 与点 E 重合，则点 N 与点 F 重合，此时满足条件的点 N 的个数为 1 个， 若点 M 与点 E 不重合，则以 Q 为圆心， MQ 为半径作圆，与 OB 有两个交点 N ， N ，此时 满足条件的点 N 的个数为 2 个，B ． OCB 90C ． MON 30D ． OC 2BC解： 由题意可知 OA AC AB BC ，ABC 是等边三角形，CAB 60 ， MONOCA 30 ，OCB 30 60 90 AOC SABC ，故选： D ．10．已知 OP 平分 AOB ， 点 Q 在 OP 上，点 M 在 OA 上，且点 Q ， M 均不与点 O 重合．在 OB 上确定点 N ，使 QN QM ，则满足条件的点 N 的个数为 ( C ．1 或 2 个 D ．无数个QF OB 于 F ，OFQ 90 ，OEQOFQ ( AAS)A ．S AOC S ABC S A ，B ，C ，正确．A ．1个B ．2AOPBOP ，且 OQ QO ， OEQ故选： C ．、填空题(本题共 16 分，每小题 2分)311．因式分解： a 3 9a a(a 3)( a 3) 解： 原式 a(a 29)a(a 3)(a 3) ， 故答案为： a(a 3)(a 3) ． 12．已知 2是关于 x 的分式方程 x k2x 的根，则实数 k 的值为 2x3解：将 x 2代入分式方程 x k2x ，x3可得： 2 k 4 ，解得： k 2 ， 故答案为 2．与 CD 交于点 A ，且 C D ．添加一个条件： 答案不唯一，但必须是解： Q BAE EAF 90 ， BAE 28 ，13．如图， BE AC AD ，使得 ABC AED ．，则添加一组对应边相等即可．答案不唯一，但必须是一组对应边，如： AC AD ．14．如图， 将长方形纸片 ABCD 折叠，使顶点 A ， C 重合，折痕为 EF ．若 BAE 28 ，组对应边，EAD (对顶角相等) 故答案则 AEF 的大小为 59EAF 90 28 62 Q AF / / BE ，AEB EAF 62 ．15．如图，等边 ABC 中， AD 是BC 边上的中线，且 AD 4，E ，P 分别是 AC ，AD 上Q ABC 是等边三角形， AD 是 BC 边上的中线， AD BC ，AD 是 BC 的垂直平分线， 点 E 关于 AD 的对应点为点 F ，由折叠的性质，可知： AEF C EF ． Q AEBAEF C EF 180 ，1 12(180AEB) 1(180 62 ) 59 ．AEF的动点，则 CP EP 的最小值等于 4CF 就是 EP CP 的最小值．Q ABC 是等边三角形， E 是 AC 边的中点，F 是 AB 的中点，CF 是 ABC 的中线，CF AD 4 ，即 EP CP 的最小值为 4 ，故答案为： 4．16．我国古代数学曾有许多重要的成就，其中“杨辉三角”（如图）就是一例．这个三角形给出了（a b）n（n 1，2，3，4，5， 6）的展开式（按 a的次数由大到小顺序排列）的系数规数；第五行的五个数 1，4，6，4，1，恰好对应着）（ a b）4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4展开式中各项的系数．（1）（a b）5展开式中 a4b的系数为 5 ；2）（a b）7展开式中各项系数的和为(a b)5a55a4b 10a3b210a2b35ab4b5；a4b 的系数为 5，故答案为： 5；（2）1Q （a b）1的展开式的各项系1 12 21，(a b)2的展开式的各项系数之和12 1 4 22(a b)3的展开式的各项系数之和13 3 1 8 23，(a b)4的展开式的各项系数之和14 6 4 11624，律．例如，第三行的三个数1，2，1，恰好对应）（a b）2 a2 2ab b2展开式中各项的系解：（1）由图可得：（a b ）n（n 取正整数）的展开式的各项系数之和是 2n，（a b ）7 展开式中各项系数的和为 27128 ．故答案为： 128． 三、解答题（本题共 68分，第 17-22题，每小题 5分，第 23-26题，每小题 5分，第 27-28题，每小题 5 分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程18．下面是小明设计的“已知两线段及一角作三角形”的尺规作图过程． 已知：线段 m ， n 及 O ．求 作 ： ABC ， 使 得 线 段 m ， n 及① 以点 O 为圆心， m 长为半径画弧，分别交 O 的两边于点 M ，N ； ② 画一条射线 AP ，以点 A 为圆心， m 长为半径画弧，交 AP 于点 B ； ③ 以点 B 为圆心， MN 长为半径画弧，与第 ② 步中所画的弧相交于点 D ； ④ 画射线 AD ；⑤ 以点 A 为圆心， n 长为半径画弧，交 AD 于点 C ； ⑥ 连接 BC ，则 ABC 即为所求作的三角形． 请回答：1）步骤 ③ 得到两条线段相等，即 BD 2） A O 的作图依据是 ；3）小红说小明的作图不全面，原因是17．计算：x3x 2 x 3 解：原式x(x (x32))(x3(x 3)2)x26(x 2)( xO 分 别 是 它 的 两 边 和解1) BD ， MN ．2）三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等3）小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．故答案为 BD，MN ，三边对应相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等，小明没有对已知中的边和角的位置关系分类讨论．19．计算： ( 13) 216 ( 5)0| 5 3| ．解： (1) 216 ( 5)0| 5 3 |9 4 1 3 59520 ．如图，在 ABC 和 ADE 中， BAC DAE ， AD AE ．连接 BD ， CE ，AC ．DAE ，BAC CAD DAE CAD ，即 BAD CAE ，在 BAD 和 CAE 中，BAD CAEABD ACEAD AEBAD CAE ( AAS) ，AB AC ．221．计算：[(m n)(m n) (m n)2 4m(m n)] 2m ．22 2 2 2 2(m n m 2mn n 4m 4mn) 2m解：[(m n)(m n) (m n)2 4m( m n)] 2m2( 2m 2mn) 2m m n ．x 1 5 22．解方程： x 11 2 5．x 2 x 24解： 去分母得： x 2 3x 2 x 24 5 ， 解得： x1，3， 经检验 x 11是原方程的解．23．在三角形纸片 ABC 中， B 90 ， A 30 ，AC 4，点E 在AC 上， AE 3．将三 角形纸片按图 1方式折叠， 使点 A 的对应点 A 落在 AB 的延长线上， 折痕为 ED ，AE 交 BC 于点 F ． 1）求 CFE 的度数；2）如图 2，继续将纸片沿 BF 折叠，点 A 的对应点为 A ， A F 交 DE 于点 G ．求线段 DG的长．解：（1）Q 将三角形纸片按图 1方式折叠，使点 A 的对应点 A 落在 AB 的延长线上，A A ， AE AE ， Q A 30A 30Q A BF 90 ，A FB 60 ，Q CFEAFB ，CFE 60 ；2）Q 点A 与点 A 关于直线 DE 对称， DE AA ． Q A 30 ， AE 3 ，13 DE AE ， 22由（ 1）知， CFE 60 ， C 60 ，CFE 是等边三角形．EF CE AC AE 1 ，同理，EFG 也是等边三角形EG EF 1，DG DE EG1．224．如图，ABC ．（1）尺规作图：过点 C 作 AB 的垂线交 AB 于点 O ．不写作法，保留作图痕迹；（2）分别以直线 AB ，OC 为 x轴， y轴建立平面直角坐标系，使点 B，C 均在正半轴上．若AB 7.5 ， OC 4.5， A 45 ，写出点 B关于 y轴的对称点 D 的坐标；OD OB ，Q A 45 ，ACO 45 ，OA OC 4.5 ，OB OD 7.5 4.5 3 ，D( 3,0) ；ACD 的面积．(3) S1AD gCO1 3 9 27(3)S ACDAD gCO ． 2 2 2 2 825．先化简，再求值： ( a2 42 a 1) a 5，其中 a 是满足 |a3| 3 a 的最大整 a 2 2a a 24a 4 a 2数．a 2 a 1 a 2解： 原式 [ 2 ] g ， a(a 2) ( a 2)2a 4[(a 2)(a 2) a(a 1) ]g a 2 ， [a(a 2)2 a(a 2)2]ga 4 ，22a 4 a a a 226．列方程，解应用题： 第二届中国国际进口博览会于 2019年 11月 5日至 10日在上海国家会展中心举行．与首届 相比，第二届进博会的展览面积更大，企业展设置科技生活、汽车、装备等七个展区，展览 面积由的 270000 平方米增加到 330000 平方米． 参展企业比首届多了约 300 家，参展企业平 均展览面积增加了 12.8% ，求首届进博会企业平均展览面积．（1）在解应用题时，我们常借助表格、线段图等分析题目中的数量关系． 设首届进博会企业平均展览面积为 x 平方米，把下表补充完整：（2）根据以上分析，列出方程（不解方程） 解：（1）3 a ⋯0 ，4g ， a( a 2)2a 4a 4 g a 2， a( a 2)2 ga 41， a( a 2) 1， 2， a22aQa 是满足 |a 3| 3 a 的最大整数，a, 3 ．当 a 3 时，原式11x届别故答案为：270000， 330000，(1 12.8%) x ； x (1 12.8%) x 2）由题意可得：2）如图 2，直线 l 与 ABC 的外角 ABE 的平分线交于点 D ，连接 AD ，CD ．求证： 总面积（平方米）参展企业数量 企业展平均面积（平方米）首届270 000第二届 330 000270000 x330000(1 12.8%)x(1 12.8%) x270000 300x330000 (1 12.8%)x 27．在 ABC 中，AB BC ，直线 l 垂直平分 AC ． 1）如图 1， ABC 的平分线交直线 l 于点 D ，连接 AD ，CD ． ①补全图形； ②判断 BAD 和 BCD 的数量关系，并证明．BAD BCD ．②结论： BAD BCD 180 ，x理由如下：过点 D 作 DE AB 于 E ，作 DF BC 交 BC 的延长线于 F ，Q BD 平分 ABC ，DE DF ．Q 直线 l 垂直平分 AC ，DA DC ，在 Rt ADE 和 Rt CDF 中，DA DCDE DFRt ADE Rt CDF(HL) ．BAD FCD ．Q FCD BCD 180 ，BAD BCD 180 ；(2)结论： BAD BCD ，理由如下：过点 D 作 DN AB 于 N ，作 DM BE 于 M ，Q BD 平分 ABE ，DM DN ．Q 直线 l 垂直平分 AC ， DA DC ，在 Rt ADN 和 Rt CDM 中， DA DC DN DMRt ADN Rt CDM （HL ） ． BAD BCD ．28．对于 ABC 及其边上的点 P ，给出如下定义： 如果点 M 1，M 2 ，M 3， ，M n 都在 ABC的边上， 且PM 1 PM 2 PM 3PM n ，那么称点 M 1，M 2 ，M 3 ，，M n 为 ABC关于点 P 的等距点，线段 PM 1， PM 2， PM 3， ， PM n 为 ABC 关于点 P 的等距线段．①点 B ，C 是 ABC 关于点 P 的等距点，线段 PA ， PB ABC 关于点 P 的等距线 段；（填“是”或“不是” ） ② ABC 关于点 P 的两个等距点 M 1，M 2 分别在边 AB ， AC 上，当相应的等距线段最短时， 在图 1 中画出线段 PM 1， PM 2 ；（2） ABC 是边长为 4 的等边三角形，点 P 在 BC 上，点 C ， D 是 ABC 关于点 P 的等距 点，且 PC 1，求线段 DC 的长；（3）如图 2，在 Rt ABC 中， C 90 ， B 30 ．点 P 在 BC 上， ABC 关于点 P 的等 距点恰好有四个，且其中一个是点 C ．若 BC a ，直接写出 PC 长的取值范围． （用含 a 的 式子表示） 解：（1）①Q 点P 是BC 的中点， PB PC ，P 是 BC 的中点 B ， C 是 ABC 关于点 P 的等距点； Q AB AC ，PA BC ， PA PB ，线段 PA ，PB 不是 ABC 关于点 P 的等距线段； 故答案为：是，不是；②作 PM 1 AB 于M 1，PM 2 AC 于M 2，连接 PA ，如图 1 1所示： Q AB AC ，点 P 是 BC 的中点， PA 平分 BAC ， PM 1 PM 2；由垂线段最短可知： PM 1，PM 2 是 ABC 关于点 P 等距线段最短的线段；（2）如图1 2，以P 为圆心， PC 长为半径作圆 P ，交AC 于D ，交BC 于D ，连接 PD ， 则 PD PCPD 1，CD PC PD2；Q ABC 是等边三角形，BC AC 4， C 60 PCD 是等边三角形，CD PC 1；即线段 DC 的长为 2 或 1； （3）当 PC1BC 1a 时，22当 P 为 BC 的中点，则 PBPC ， B 、 C是， ABC 关于点 P 的等距点，作 PE AB 于 E ，截取 EF EB ，连接 PF ，如图 2所示则 PF PB12a ，QB 30，PE 1 BP 14a ，AB 边上存在 2 个 ABC 关于点 P 的等距点，Q ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点C ．1aPC 12BC ，即PC a2；1 12 1 1PC BC a 时， a ，BP a3 3 3 2 3则 ABC 关于点 P 的等距点有 2 个在 BC 上，有 1 个在 AB 上， Q ABC 关于点 P 的等距点恰好有四个，且其中一个是点 C ．1PC BC ，3。
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第1页，共23页 八年级（上）期末数学试卷 题号 一 二 三 总分 得分
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分） 1. 生物学家发现了一种病毒，其长度约为0.00000032mm，数据0.00000032用科学记数法表示正确的是（ ） A. 3.2×107 B. 3.2×108 C. 3.2×10−7 D. 3.2×10−8
2. 若分式1a−1有意义，则a的取值范围是（ ） A. a≠1 B. a≠0 C. a≠1且a≠0 D. 一切实数
3. 下列运算中，正确的是（ ） A. 3x2+2x3=5x5 B. a⋅a2=a3 C. 3a6÷a3=3a2 D. (ab)3=a3b
4. 2017年12月15日，北京2022年冬奥会会徽“冬梦”正式发布．以下是参选的会徽设计的一部分图形，其中是轴对称图形的是（ ）
A. B.
C. D. 5. 如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项错误的是（ ） A. 4+4−4=6
B. 4+40+40=6
C. 4+34+4=6
D. 4−1÷4+4=6
6. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. 32 B. 23 C. 43 D. 3x3
7. 已知am=2，an=3，则a3m+2n的值是（ ）
A. 6 B. 24 C. 36 D. 72
8. 如图，已知∠1=∠2，AC=AD，要使△ABC≌△AED，还需添加一个条件，那么在①AB=AE，②BC=ED，③∠C=∠D，④∠B=∠E，这四个关系中可以选择的是（ ） 第2页，共23页
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
9. 如图，在△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，AD⊥BC于D，BE是∠ABC的平分线，且交AD于P，如果AP=2，则AC的长为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
10. 定义运算“※”：a※b=aa−b，a＞bbb−a，a＜b．若5※x=2，则x的值为（ ） A. 52 B. 52或10 C. 10 D. 52或152
二、填空题（本大题共6小题，共14.0分） 11. 分解因式：2ax2-8a=______．
12. 多项式（mx+8）（2-3x）展开后不含x项，则m=______． 13. 当x=______时，分式x2−4x−2的值为0． 14. 课本上有这样一道例题： 作法：（1）作线段AB=a （2）作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D． （3）在MN上取一点C，使DC=h． （4）连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形． 请你思考只要CD垂直平分AB，那么△ABC就是等腰三角形的依据是______．
15. 如图，在△ABC中，点D是AB边的中点，过点D作边AB的垂线l，E是l上任意一点，且AC=5，BC=8，则△AEC的周长最小值为______．
16. 已知在△ABC中，AB=AC． （1）若∠A=36°，在△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括 △ABC），这2个等腰三角形的顶角的度数分别是______； 第3页，共23页
（2）若∠A≠36°，当∠A=______时，在等腰△ABC中画一条线段，能得到2个等腰三角形（不包括 △ABC）．（写出两个答案即可） 三、解答题（本大题共12小题，共56.0分） 17. 计算：9+（2-π）0-（12）-2．
18. 计算： （1）(12+3)−(2−12)； （2）（x-2）2-（x+3）（x-3）．
19. 在三个整式x2+2xy，y2+2xy，x2中，请你任意选出两个进行加（或减）运算，使所
得整式可以因式分解，并进行因式分解．
20. 解分式方程：2xx+3+1=72x+6． 21. 先化简(1−1a−2)÷a2−6a+9a2−4，然后a在-2，0，1，2，3中选择一个合适的数代入并求值． 第4页，共23页
22. 如图，在平面直角坐标系xOy中，△ABC的三个顶点的坐标分别是A（2，3），B（1，0），C（1，2）． （1）在图中作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1； （2）如果要使以B、C、D为顶点的三角形与△ABC全等，写出所有符合条件的点D坐标．
23. 如图，点B、F、C、E在直线l上（F、C之间不能直接测量），点A、D在l异侧，测得AB=DE，AB∥DE，∠A=∠D． （1）求证：△ABC≌△DEF； （2）若BE=10m，BF=3m，求FC的长度． 第5页，共23页
24. 列方程解应用题： 港珠澳大桥是世界上最长的跨海大桥，是被誉为“现代世界七大奇迹”的超级工程，它是我国从桥梁大国走向桥梁强国的里程碑之作．开通后从香港到珠海的车程由原来的180千米缩短到50千米，港珠澳大桥的设计时速比按原来路程行驶的平均时速多40千米，若开通后按设计时速行驶，行驶完全程时间仪为原来路程行驶完全程时间的16，求港珠澳大桥的设计时速是多少？
25. 如图，AE是△ACD的角平分线，B在DA延长线上，AE∥BC，F为BC中点，判断
AE与AF的位置关系并证明．
26. 阅读下列材料，然后回答问题：
观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式： 12+1=1×(2−1)(2+1)(2−1)=2−12−1=2-1． 13+2=1×(3−2)(3+2)(3−2)=3−23−2=3-2． （一）13+2还可以用以下方法化简：13+23−23+2=(3)2−(2)23+2=(3+2)(3−2)3+2=3−2． （二） （1）请用不同的方法化简25+3． 参照（一）式得25+3=______； 参照（二）式得25+3=______； （2）从计算结果中找出规律，并利用这一规律选择下面两个问题中的一个加以解第6页，共23页
决： 1．求(12+1+13+2+14+3+…+12019+2018)(2019+1)的值； 2．化简：13+1+15+3+17+5+…+12n+1+2n−1．
27. （1）老师在课上给出了这样一道题目：如图1，等边△ABC边长为2，过AB边上
一点P作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D，求DE的长． 小明同学经过认真思考后认为，可以通过过点P作平行线构造等边三角形的方法来解决这个问题． 请根据小明同学的思路直接写出DE的长． （2）【类比探究】 老师引导同学继续研究： 1．等边△ABC边长为2，当P为BA的延长线上一点时，作PE⊥CA的延长线于点E，
Q为边BC上一点，且AP=CQ，连接PQ交AC于D．请你在图2中补全图形并求
DE的长． 2．已知等边△ABC，当P为AB的延长线上一点时，作PE⊥射线AC于点E，Q为
______（①BC边上；②BC的延长线上；③CB的延长线上）一点，且AP=CQ，
连接PQ交直线AC于点D，能使得DE的长度保持不变．（将答案的编号填在横线上）
28. 在平面直角坐标系xOy中，△ABO为等边三角形，O为坐标原点，点A关于y轴的
对称点为D，连接AD，BD，OD，其中AD，BD分别交y轴于点E，P． 第7页，共23页
（1）如图1，若点B在x轴的负半轴上时，直接写出∠BDO的度数； （2）如图2，将△ABO绕点O旋转，且点A始终在第二象限，此时AO与y轴正半轴夹角为α，60°＜α＜90°，依题意补全图形，并求出∠BDO的度数；（用含α的式子表示） （3）在第（2）问的条件下，用等式表示线段BP，PE，PO之间的数量关系．（直接写出结果） 第8页，共23页 答案和解析 1.【答案】C
【解析】
解：0.00000032=3.2×10-7； 故选：C． 绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10
-n，与较大
数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
2.【答案】A
【解析】
解：若分式有意义，则a-1≠0，即a≠1， 故选：A． 分式有意义的条件是分母不等于零，据此可得． 本题主要考查分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于零． 3.【答案】B
【解析】
解：A、3x2+2x3，无法计算，故此选项错误； B、a•a2=a3，正确； C、3a6÷a3=3a3，故此选项错误； D、（ab）3=a3b3，故此选项错误； 故选：B． 直接利用同底数幂的乘除运算法则以及积的乘方运算法则分别计算得出答