2015-2016学年江苏省盐城市时杨中学高二(下)期中数学试卷(文科)
2015-2016年江苏省扬州中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：每题5分，14小题，满分70分1．（5分）已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是．2．（5分）已知复数z=（1+i）（2﹣i），则|z|=．3．（5分）若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=．4．（5分）函数f（x）=+的定义域是．5．（5分）命题“∀x∈[1，2]，使x2﹣a≥0”是真命题，则a的范围是．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为．7．（5分）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=e x时，上述结论中正确结论的序号是．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＞0的解集是．9．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与在区间[1，2]上都是减函数，则a的值范围是．10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2016）=．11．（5分）当x∈（﹣∞，1]，不等式1+2x+4x•a＞0恒成立，则实数a的取值范围为．12．（5分）若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=6，则实数t的值为．13．（5分）如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=．14．（5分）设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．当a=时，g（x）=t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围．二、解答题：6小题，满分90分.15．（14分）已知复数，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若z1∈R，求a的值；（2）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围．16．（14分）已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0，其中m＞0．（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．17．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解不等式f（x）＜；（3）求f（x）的值域．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）成立②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1 恒成立（1）求f（1）的值．（2）求f（x）的解析式（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤x．19．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m 的取值范围．20．（16分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．2015-2016学年江苏省扬州中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：每题5分，14小题，满分70分1．（5分）已知x2∈{0，1，x}，则实数x的值是﹣1．【考点】12：元素与集合关系的判断．【解答】解：∵x2∈{1，0，x}，∴x2=1，x2=0，x2=x，由x2=1得x=±1，由x2=0，得x=0，由x2=x得x=0或x=1．综上x=±1，或x=0．当x=0时，集合为{1，0，0}不成立．当x=1时，集合为{1，0，1}不成立．当x=﹣1时，集合为{1，0，﹣1}，满足条件．故答案是：﹣1．2．（5分）已知复数z=（1+i）（2﹣i），则|z|=．【考点】A8：复数的模．【解答】解：复数z=（1+i）（2﹣i）=3+i，则|z|==，故答案为：．3．（5分）若函数f（2x+1）=x2﹣2x，则f（3）=﹣1．【考点】36：函数解析式的求解及常用方法．【解答】解法一：（换元法求解析式）令t=2x+1，则x=则f（t）=﹣2=∴∴f（3）=﹣1解法二：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x=∴∴f（3）=﹣1解法三：（凑配法求解析式）∵f（2x+1）=x2﹣2x令2x+1=3则x=1此时x2﹣2x=﹣1∴f（3）=﹣1故答案为：﹣14．（5分）函数f（x）=+的定义域是{2}．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：要使函数有意义，则，解得：x=2．函数的定义域为：{2}．故答案为：{2}．5．（5分）命题“∀x∈[1，2]，使x2﹣a≥0”是真命题，则a的范围是（﹣∞，1]．【考点】2H：全称量词和全称命题．【解答】解：命题p：a≤x2在[1，2]上恒成立，y=x2在[1，2]上的最小值为1；∴a≤1；故答案为：（﹣∞，1]．6．（5分）执行如图所示的流程图，则输出的k的值为4．【考点】EF：程序框图．【解答】解：当k=1，S=1时，进入循环，S=1，不满足退出循环的条件，k=2，S=2，不满足退出循环的条件，k=3，S=6，不满足退出循环的条件，k=4，S=15，满足退出循环的条件，故输出的k的值为4．故答案为：47．（5分）对于函数f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），有如下结论：（1）f（x1+x2）=f（x1）f（x2）（2）f（x1x2）=f（x1）+f（x2）（3）当f（x）=e x时，上述结论中正确结论的序号是（1）、（3）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【解答】解：∵f（x）=e x时，f（x）定义域中任意的x1，x2（x1≠x2），∴f（x1+x2）===f（x1）f（x2），故（1）正确；f（x1x2）=≠+=f（x1）+f（x2），故（2）不正确；∵f（x）=e x是增函数，∴，故（3）正确．故答案为：（1）、（3）．8．（5分）已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，当x≤0时，f（x）=x+2，那么不等式2f（x）﹣1＞0的解集是（﹣，）．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：当x≤0时，∵2f（x）﹣1＞0，即2x+4﹣1＞0，解得x＞﹣，∴﹣＜x≤0．∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴当0时，2f（x）﹣1＞0仍成立．∴2f（x）﹣1＞0的解集为（﹣，）．故答案为：．9．（5分）若f（x）=﹣x2+2ax与在区间[1，2]上都是减函数，则a的值范围是（0，1]．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3V：二次函数的性质与图象．【解答】解：∵函数f（x）=﹣x2+2ax的对称轴为x=a，开口向下，∴单调减区间为[a，+∞）又∵f（x）在区间[1，2]上是减函数，∴a≤1∵在区间[1，2]上是减函数，∴a＞0综上得0＜a≤1故答案为（0，1]10．（5分）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2016）=．【考点】3T：函数的值．【解答】解：∵定义在R上的函数f（x）满足，∴f（2016）=f（﹣2016+3×672）=f（0）=30﹣1=．故答案为：．11．（5分）当x∈（﹣∞，1]，不等式1+2x+4x•a＞0恒成立，则实数a的取值范围为（，+∞）．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：由题意：设2x=t，则不等式1+2x+4x•a＞0转化为1+t+at2＞0恒成立，∵x∈（﹣∞，1]，∴0＜t≤2，令函数f（t）=a•t2+t+1，当a=0时，函数f（t）=t+1在（0，2]恒大于0．当a≠0时，要使函数f（t）在（0，2]大于0恒成立，则：，解得：，∴实数a的取值范围为（+∞）．故答案为（，+∞）．12．（5分）若关于x的函数f（x）=（t＞0）的最大值为M，最小值为N，且M+N=6，则实数t的值为3．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【解答】解：由题意，f（x）==t+，函数y=是奇函数，函数f（x）最大值为M，最小值为N，且M+N=6，∴2t=6，∴t=3，故答案为：3．13．（5分）如图．小正六边形沿着大正六边形的边按顺时针方向滚动，小正六边形的边长是大正六边形的边长的一半．如果小正六边形沿着大正六边形的边滚动一周后返回出发时的位置，在这个过程中，向量围绕着点O旋转了θ角，其中O为小正六边形的中心，则sin+cos=﹣1．【考点】F1：归纳推理．【解答】解：从图中得出：第一个到第二个OA转过了60度，第二个到第三个转过了120度，依此类推每一次边上是60度，转角是120度，共有6个转角一共就是1080度，所以x sin180°+cos180°=﹣1．故答案为：﹣114．（5分）设函数f（x）=kx2+2x（k为实常数）为奇函数，函数g（x）=a f（x）﹣1（a＞0且a≠1）．当a=时，g（x）=t2﹣2mt+1对所有的x∈[﹣1，1]及m∈[﹣1，1]恒成立，则实数t的取值范围（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：由f（﹣x）=﹣f（x）得kx2﹣2x=﹣kx2﹣2x，∴k=0，∵g（x）=a f（x）﹣1=（a2）x﹣1，①当a2＞1，即a＞1时，g（x）=（a2）x﹣1在[﹣1，2]上为增函数，∴g（x）最大值为g（2）=a4﹣1；②当a2＜1，即0＜a＜1时，∴g（x）=（a2）x在[﹣1，2]上为减函数，∴g（x）最大值为g（﹣1）=﹣1，∴g（x）max=；由②得g（x）在x∈[﹣1，1]上的最大值为g（1）=﹣1=1，∴1≤t2﹣2mt+1即t2﹣2mt≥0在[﹣1，1]上恒成立，令h（m）=﹣2mt+t2，∴即，∴t∈（﹣∞，﹣2]∪{0}∪[2，+∞）．二、解答题：6小题，满分90分.15．（14分）已知复数，z2=2+（3a+1）i（a∈R，i是虚数单位）．（1）若z1∈R，求a的值；（2）若复数z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，求实数a的取值范围．【考点】A1：虚数单位i、复数；A4：复数的代数表示法及其几何意义．【解答】解：（1）复数，z1∈R，可得a2﹣3=0，解得：；（2）由条件复数，z2=2+（3a+1）i得，因为z1﹣z2在复平面上对应点落在第一象限，故有，∴，解得﹣2＜a＜﹣1．16．（14分）已知p：x2﹣7x+10＜0，q：x2﹣4mx+3m2＜0，其中m＞0．（1）若m=4，且p∧q为真，求x的取值范围；（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件；2E：复合命题及其真假．【解答】解（1）由x2﹣7x+10＜0，解得2＜x＜5，所以p：2＜x＜5；又x2﹣4mx+3m2＜0，因为m＞0，解得m＜x＜3m，所以q：m＜x＜3m．当m=4时，q：4＜x＜12，又p∧q为真，p，q都为真，所以4＜x＜5．（2）由¬q是¬p的充分不必要条件，即¬q⇒¬p，¬p≠＞¬q，其逆否命题为p⇒q，q≠＞p，由（1）p：2＜x＜5，q：m＜x＜3m，所以，即：．17．（14分）已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求a，b的值；（2）解不等式f（x）＜；（3）求f（x）的值域．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0⇒﹣1+b=0，解得b=1，又由f（1）=﹣f（﹣1）⇒，解得a=2．（2）不等式f（x）＜，即不等式＜，化简可得2x＞，∴x＞，∴不等式的解集为{x|x＞}；（3）f（x）=﹣+，∵2x+1＞1，∴﹣＜f（x）＜，∴f（x）的值域是（﹣，）．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R）满足下列条件：①当x∈R时，f（x）的最小值为0，且f（x﹣1）=f（﹣x﹣1）成立②当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1 恒成立（1）求f（1）的值．（2）求f（x）的解析式（3）求最大的实数m（m＞1），使得存在实数t，只要当x∈[1，m]时，就有f （x+t）≤x．【考点】3H：函数的最值及其几何意义．【解答】解：（1）∵当x∈（0，5）时，x≤f（x）≤2|x﹣1|+1 恒成立，∴当x=1时，1≤f（1）≤2|1﹣1|+1；∴f（1）=1；（2）∵f（x﹣1）=f（﹣x﹣1），∴函数f（x）=ax2+bx+c的图象关于x=﹣1对称，又∵当x∈R时，f（x）的最小值为0，∴f（x）=a（x+1）2，a＞0；又∵f（1）=4a=1；∴a=；故f（x）=（x+1）2；（3）∵f（x+t）=（x+t+1）2≤x，∴x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1≤0；设g（x）=x2+（2t﹣2）x+t2+2t+1，则g（1）=t2+4t≤0，g（m）=m2+（2t﹣2）m+t2+2t+1≤0；则﹣4≤t≤0，1﹣t﹣2≤m≤1﹣t+2，所以m≤1+4+2•=9，故m的最大值为9．19．（16分）某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型．【解答】解：（1）由题意，20=，∴2p=100，∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；（2）∴0≤M≤30，∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；设=t，则≤t≤1，．由≤（x=4时取等号），可得m≥，由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，∴≤m≤．20．（16分）设函数f（x）=a x﹣（k﹣1）a﹣x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．（1）求k值；（2）若f（1）＜0，试判断函数单调性并求使不等式f（x2+tx）+f（4﹣x）＜0恒成立的t的取值范围；（3）若f（1）=，且g（x）=a2x+a﹣2x﹣2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为﹣2，求m的值．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断；4E：指数函数综合题．【解答】解：（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，…（2分）∴1﹣（k﹣1）=0，∴k=2．…（4分）（2）∵函数f（x）=a x﹣a﹣x（a＞0且a≠1），∵f（1）＜0，∴a﹣＜0，又a＞0，∴1＞a＞0．…（6分）由于y=a x单调递减，y=a﹣x单调递增，故f（x）在R上单调递减．不等式化为f（x2+tx）＜f（x﹣4）．∴x2+tx＞x﹣4，即x2+（t﹣1）x+4＞0 恒成立，…（8分）∴△=（t﹣1）2﹣16＜0，解得﹣3＜t＜5．…（10分）（3）∵f（1）=，a﹣=，即2a2﹣3a﹣2=0，∴a=2，或a=﹣（舍去）．…（12分）∴g（x）=22x+2﹣2x﹣2m（2x﹣2﹣x）=（2x﹣2﹣x）2﹣2m（2x﹣2﹣x）+2．令t=f（x）=2x﹣2﹣x，由（1）可知k=2，故f（x）=2x﹣2﹣x，显然是增函数．∵x≥1，∴t≥f（1）=，令h（t）=t2﹣2mt+2=（t﹣m）2+2﹣m2（t≥）…（15分）若m≥，当t=m时，h（t）min=2﹣m2=﹣2，∴m=2…（16分）若m＜，当t=时，h（t）min=﹣3m=﹣2，解得m=＞，舍去…（17分）综上可知m=2．…（18分）。
2016-2017年江苏省盐城市时杨中学高二(下)期中数学试卷和答案
2016-2017学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0的解集是．2．（5分）设z=3+4i，则复数z的模为．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为．4．（5分）若曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，则P的横坐标为．5．（5分）函数y=1+lnx的导函数y′=．6．（5分）条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的条件．7．（5分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上且过点P（4，1），则抛物线的标准方程为．8．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的a的值是．9．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．10．（5分）已知a＞1，且b＞1，若a+b=6，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值是．11．（5分）椭圆上的一点M到左焦点的距离为3，那么点M到右准线的距离为．12．（5分）双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．13．（5分）函数f（x）=，x∈[﹣2，+∞）的单调减调区间是．14．（5分）若不等式≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（15分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P且q为真命题，求实数m的取值范围．16．（15分）已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．17．（15分）（文科做）设全集是实数集R，A={x|x2+x﹣6≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．18．（理科做）用数学归纳法证明：．19．（15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（I）求f（x）的表达式；（II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．20．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．21．（15分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x1，x2∈[﹣1，1]，使得|f（x1）﹣f（x2）|≥e﹣1（e是自然对数的底数），求实数a的取值范围．2016-2017学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．（5分）不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0的解集是[1，2]．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：∵不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0，解得1≤x≤2．∴解集为[1，2]．故答案为：[1，2]．2．（5分）设z=3+4i，则复数z的模为5．【考点】A8：复数的模．【解答】解：|z|==5，故答案为：5．3．（5分）某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为30．【考点】B3：分层抽样方法．【解答】解：分层抽样的抽取比例为：=，∴抽取学生的人数为600×=30．故答案为30．4．（5分）若曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，则P的横坐标为±1．【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：设P的横坐标为a，曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，可得2﹣3a2=﹣1，解得a=±1．故答案为：±1．5．（5分）函数y=1+lnx的导函数y′=．【考点】63：导数的运算．【解答】解：根据题意，函数y=1+lnx，则导数y′=1′+（lnx）′=，即y′=，故答案为：．6．（5分）条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的充分不必要条件．【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：由x2﹣1=0，解得x=±1．∴条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．7．（5分）抛物线顶点在原点，焦点在y轴上且过点P（4，1），则抛物线的标准方程为x2=16y．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：抛物线顶点在原点，焦点在y轴上，设抛物线方程为：x2=my，抛物线过点P（4，1），可得16=m，所求的抛物线方程为：x2=16y，故答案为：x2=16y，8．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的a的值是127．【考点】EF：程序框图．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1a=3不满足条件a＞64，a=7不满足条件a＞64，a=15不满足条件a＞64，a=31不满足条件a＞64，a=63不满足条件a＞64，a=127满足条件a＞64，退出循环，输出a的值为127．故答案为：127．9．（5分）若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为1．【考点】7C：简单线性规划．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（0，1），此时z=0×2+1=1，故答案为：110．（5分）已知a＞1，且b＞1，若a+b=6，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值是4．【考点】7F：基本不等式及其应用．【解答】解：∵a＞1，且b＞1，a+b=6，变形为：（a﹣1）+（b﹣1）=4．则（a﹣1）（b﹣1）≤==4，当且仅当a=b=3时取等号．故答案为：4．11．（5分）椭圆上的一点M到左焦点的距离为3，那么点M到右准线的距离为．【考点】K4：椭圆的性质．【解答】解：根据椭圆的第二定义可知P到F1的距离与其到准线的距离之比为离心率，依题意可知a=2，b=，∴c==，∴e==，右准线方程为x==．∵P到椭圆左焦点的距离为3，∴P到椭圆右焦点的距离为1，∴点P到椭圆右准线的距离d；．d=故答案为：．12．（5分）双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．【考点】K8：抛物线的性质．【解答】解：双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，可得b=12，则c=12，双曲线的离心率为：=．故答案为：．13．（5分）函数f（x）=，x∈[﹣2，+∞）的单调减调区间是[﹣2，+∞）．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．【解答】解：f′（x）=x+e x﹣（e x+xe x）=x﹣xe x=x（1﹣e x），当﹣2≤x≤0时，f′（x）≤0，当x＞0时，f′（x）＜0，∴f′（x）≤0在[﹣2，+∞）上恒成立，∴f（x）在[﹣2，+∞）上单调递减，故答案为：[﹣2，+∞）．14．（5分）若不等式≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．【考点】3R：函数恒成立问题．【解答】解：∵≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴4c≤=，令=t＞1，∴4c≤，令f（t）=，则f′（t）==，当t＞2+时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜2+时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，f（2+）=2﹣4．∴实数4c的最大值为2﹣4，则c的最大值为，故答案为：．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（15分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P且q为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题及其真假．【解答】解：由题意，得p ：，解之得m＞2，q：△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0，解之得1＜m＜3…（6分）∵p且q为真，∴p，q 同时为真，则，解之得2＜m＜3，…（9分）∴实数m的取值范围是2＜m＜3．…．（12分）16．（15分）已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在[﹣2，2]上的最大值和最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数研究函数的最值．【解答】解：（I）f′（x）=9x2﹣9．（2分）令9x2﹣9＞0，（4分）解此不等式，得x＜﹣1或x＞1．因此，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．（（6分）（II）令9x2﹣9=0，得x=1或x=﹣1．（8分）当x变化时，f′（x），f（x）变化状态如下表：（10分）从表中可以看出，当x=﹣2或x=1时，函数f（x）取得最小值﹣1．当x=﹣1或x=2时，函数f（x）取得最大值11．（12分）17．（15分）（文科做）设全集是实数集R，A={x|x2+x﹣6≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【解答】解：（1）A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，当a=﹣4时，B={x|x2+a＜0}={x|﹣2＜x＜2}；∴A∩B={x|﹣2＜x＜2}A∪B={x|﹣3≤x≤2}；（2）若A∩B=B，则B⊆A；由题意，x2＜﹣a；当a≥0时，B=∅，满足题意；当a＜0时，﹣a＞0，解得﹣＜x＜，则，解得﹣4≤a＜0；综上，a的取值范围是[﹣4，+∞）．18．（理科做）用数学归纳法证明：．【考点】RG：数学归纳法．【解答】解：证明：（1）当n=1时，1=1，等式成立．（2）假设当n=k时，有1+2+3+…+k=k（k+1）成立．那么，当n=k+1时，1+2+3+…+k+k+1=k（k+1）+（k+1）=（k+1）（k+2），=（k+1）[（k+1）+1]，∴当n=k+1时等式成立，∴对任意的n∈N*，等式都成立．19．（15分）某工厂利用辐射对食品进行灭菌消毒，现准备在该厂附近建一职工宿舍，并对宿舍进行防辐射处理，建房防辐射材料的选用与宿舍到工厂距离有关．若建造宿舍的所有费用p（万元）和宿舍与工厂的距离x（km）的关系为：，若距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元．为了交通方便，工厂与宿舍之间还要修一条道路，已知购置修路设备需5万元，铺设路面每公里成本为6万元，设f（x）为建造宿舍与修路费用之和．（I）求f（x）的表达式；（II）宿舍应建在离工厂多远处，可使总费用f（x）最小，并求最小值．【考点】5C：根据实际问题选择函数类型；7F：基本不等式及其应用．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，距离为1km时，测算宿舍建造费用为100万元∴，∴k=800（3分）∴（7分）（Ⅱ）∵（11分）当且仅当即x=5时f（x）min=75．（14分）答：宿舍应建在离厂5km处可使总费用f（x）最小为75万元．（15分）20．（15分）已知椭圆的离心率为，且过点．（1）求椭圆C的方程；（2）若点A，B分别是椭圆的左、右顶点，直线l经过点B且垂直于x轴，点P 是椭圆上异于A，B的任意一点，直线AP交l于点M．设直线OM的斜率为k1，直线BP的斜率为k2，求证：k1k2为定值．【考点】K3：椭圆的标准方程；KI：圆锥曲线的综合．【解答】解：（1）由椭圆的离心率e==，则a=2c，则b2=a2﹣c2=3c2，将E代入椭圆方程：，解得：c=1，则a=2，b=，∴椭圆的标准方程：；（2）证明：由（1）可知：A（﹣2，0），B（2，0），设P（x0，y0）（y0≠0），则直线AP的方程为：y=（x+2）令x=2得M（2，）∴k1=，则k2=，∴k1k2=，∵P（x0，y0）在椭圆上，∴，y02=∴k1k2==为定值．∴k1k2为定值．21．（15分）已知函数f（x）=a x+x2﹣xlna（a＞0，a≠1）．（1）求函数f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）求函数f（x）单调增区间；（3）若存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1（e 是自然对数的底数），求实数a 的取值范围．【考点】6B ：利用导数研究函数的单调性；6E ：利用导数研究函数的最值；6H ：利用导数研究曲线上某点切线方程．【解答】解：（1）∵f （x ）=a x +x 2﹣xlna ，∴f ′（x ）=a x lna+2x ﹣lna ，∴f ′（0）=0，f （0）=1即函数f （x ）图象在点（0，1）处的切线斜率为0，∴图象在点（0，f （0））处的切线方程为y=1；（3分）（2）由于f'（x ）=a x lna+2x ﹣lna=2x+（a x ﹣1）lna ＞0①当a ＞1，y=2x 单调递增，lna ＞0，所以y=（a x ﹣1）lna 单调递增，故y=2x+（a x ﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x ﹣1）lna ＞2×0+（a 0﹣1）lna=0，即f'（x ）＞f'（0），所以x ＞0 故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；②当0＜a ＜1，y=2x 单调递增，lna ＜0，所以y=（a x ﹣1）lna 单调递增，故y=2x+（a x ﹣1）lna 单调递增，∴2x+（a x ﹣1）lna ＞2×0+（a 0﹣1）lna=0，即f'（x ）＞f'（0），所以x ＞0 故函数f （x ）在（0，+∞）上单调递增；综上，函数f （x ）单调增区间（0，+∞）；（8分）（3）因为存在x 1，x 2∈[﹣1，1]，使得|f （x 1）﹣f （x 2）|≥e ﹣1，所以当x ∈[﹣1，1]时，|（f （x ））max ﹣（f （x ））min |=（f （x ））max ﹣（f （x ））min ≥e ﹣1，（12分）由（2）知，f （x ）在[﹣1，0]上递减，在[0，1]上递增，所以当x ∈[﹣1，1]时，（f （x ））min =f （0）=1，（f （x ））max =max{f （﹣1），f （1）}，而f （1）﹣f （﹣1）=（a+1﹣lna ）﹣（+1+lna ）=a ﹣﹣2lna ，记g （t ）=t ﹣﹣2lnt （t ＞0），因为g ′（t ）=1+﹣=（ ﹣1）2≥0（当t=1时取等号），所以g（t）=t﹣﹣2lnt在t∈（0，+∞）上单调递增，而g（1）=0，所以当t＞1时，g（t）＞0；当0＜t＜1时，g（t）＜0，也就是当a＞1时，f（1）＞f（﹣1）；当0＜a＜1时，f（1）＜f（﹣1）（14分）①当a＞1时，由f（1）﹣f（0）≥e﹣1⇒a﹣lna≥e﹣1⇒a≥e，②当0＜a＜1时，由f（﹣1）﹣f（0）≥e﹣1⇒+lna≥e﹣1⇒0＜a≤，综上知，所求a的取值范围为a∈（0，]∪[e，+∞）．（16分）。
江苏省盐城市时杨中学09-10学年高二下学期期末考试(数学文).
盐城市时杨中学2009/2010学年度第二学期期末考试高二年级数学（文）试题命题人：张 建 2010年7月一．填空题（本题共14小题，每小题5分，共70分）1．已知集合{}1,3,5,7,9U =，{}1,5,7A =，则U C A =___________ 2．不等式32x x -+＜0的解集为_________________ 3．设i 为虚数单位，则51ii -=+ _________4．“a ＞0”是“a ＞0”的_________________ (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)5．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=___________6．满足线性约束条件23,23,0,0x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩的目标函数z x y =+的最大值是___________7．若()1f x ax b =+-（01a <≤）在[]0,1上有零点，则2b a -的最小值为 ▲ ．8．抛物线28y x =的焦点坐标是9．已知α是第二象限的角,21tan =α，则=αcos __________ 10．在△ABC 中，若b = 1，c =3，23C π∠=，则a =11．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线112422=-y x 上一点M ，点M 的横坐标是5，则M 到双曲线右焦点的距离是__________12．已知函数)1(2-x f 的定义域为[0，3]，则函数)(x f y =的定义域为 13．已知曲线 x e y =在点P 处的切线经过原点，则此切线的方程为 14．若三角形内切圆的半径为r ，三边长分别为c b a ,,，则三角形的面积)(21c b a r S ++=。
根据类比推理的方法，若一个四面体的内切球的半径为R ，四个面的面积分别为4321,,,S S S S ，则四面体的体积=V二、解答题(本题共6小题，共90分．解答应写．．．．出文字说明、证明过．．．．．．．．．程或演算步骤．．．．．．．) 15．（本题满分14分）设集合{}08U x x =∈<N ≤，{}1245S =，，，，{}357T =，，，求：16．（本题满分14分）已知函数2()sin 22sin f x x x =- （I ）求函数()f x 的最小正周期。
【试卷】2013-2014学年江苏省盐城中学高二(下)期中数学试卷(文科)
2013-2014学年江苏省盐城中学高二（下）期中数学试卷（文科）2013-2014学年江苏省盐城中学高二（下）期中数学试卷（文科），则）中，已知是双曲线（（y=，满足+λ﹣（﹣）的大小；2013-2014学年江苏省盐城中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，计70分．不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上）1．（5分）命题“∃x∈R，x2+x+1=0”的否定是：∀x∈R，x2+x+1≠0．2．（5分）在区间[0，4]上任取一个实数x，则x＞1的概率是．的概率为，故答案为：3．（5分）已知集合A={1，2，4}，B={2，4，6}，则A∩B={2，4}．5．（5分）已知甲、乙、丙三人将参加某项测试，他们能达标的概率分别是0.8、0.6、0.5，则三人都达标的概率是0.24．6．（5分）已知A为函数f（x）=x4+x图象上一点，在A处的切线平行于直线y=5x，则A点坐标为（1，2）．7．（5分）（2015•广东模拟）已知函数f（x）=，则f[f（）]的值是．，，故代入时的解析式；求出，故答案为：8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，已知是双曲线的一条渐近线方程，则此双曲线的离心率为2．﹣=1±x，依题意，可求得=双曲线﹣±x∴，又∴=是关键，属于中档题．9．（5分）若集合M={a﹣3，2a﹣1，a2+4}，且﹣3∈M，则实数a的取值是{0，﹣1}．10．（5分）函数y=f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，若f（）=2，则满足不等式f（x）＞2的x的范围为，．））时，＜﹣，故答案为：11．（5分）若函数f（x）=|x﹣a|在区间（﹣∞，1]内为减函数，则a的范围是[1，+∞）．12．（5分）已知p：|x﹣a|＜4；q：（x﹣2）（x﹣3）＜0，若q是p的充分条件，则a的取值范围为﹣1≤a≤6．，即13．（5分）圆心在抛物线x=4y上，并且和抛物线的准线及y轴都相切的圆的标准方程为（x±2）+（y﹣1）=4．|1+14．（5分）设函数f（x）=a2lnx﹣x2+ax，a＞0，不等式e﹣1≤f（x）≤e2对x∈[1，e]恒成立，则a的取值集合是{e}．=，二、解答题：（本大题共6小题，计80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）15．（12分）（2011•东莞二模）将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，求：（1）两数之和为5的概率；（2）以第一次向上点数为横坐标x，第二次向上的点数为纵坐标y的点（x，y）在圆x2+y2=15的内部的概率．=的概率为．=的内部的概率16．（12分）设p：函数y=（a﹣1）x+1在x∈（﹣∞，+∞）内单调递减；q：曲线y=x2+ax+1与x轴交于不同的两点．（1）若p为真且q为真，求a的取值范围；（2）若p与q中一个为真一个为假，求a的取值范围．假时，真时，⇒17．（13分）二次函数y=f（x）的最小值等于4，且f（0）=f（2）=6（1）求f（x）的解析式；（2）若函数f（x）的定义域为[﹣1，4]，求f（x）的值域；（3）若函数f（x）的定义域为[a，a+1]，f（x）的值域为[12，22]，求a的值．=1∴∴18．（13分）（2011•福建）某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y=+10（x﹣6）2，其中3＜x＜6，a为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）若该商品的成品为3元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．，所以19．（15分）已知椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F（1，0），离心率e=，A，B是椭圆上的两动点，动点P满足=+λ，（其中实数λ为常数）．（1）求椭圆标准方程；（2）当λ=1，且直线AB过F点且垂直于x轴时，求过A，B，P三点的外接圆方程；（3）若直线OA与OB的斜率乘积k OA•k OB=﹣，问是否存在常数λ，使得动点P满足PG+PQ=4，其中G（﹣，0），Q（，0），若存在求出λ的值，若不存在，请说明理由．，动点满足=λ，（﹣，（）有题设可知：∴椭圆标准方程为代入解得得x+2y+2y+x+x+2y=，．即点是椭圆，∴（﹣（﹣（20．（15分）已知函数f（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2lnx．（a为常数）（1）当a=0时，①求f（x）的单调增区间；②试比较f（m）与f（）的大小；（2）g（x）=e x﹣x+1，若对任意给定的x0∈（0，1]，在（0，e]上总存在两个不同的x i（i=1，2），使得f（x i）=g （x0）成立，求a的取值范围．2lnm=））时，，上不单调∴①，，）先减后增，即令∴即对任意的④参与本试卷答题和审题的老师有：yhx01248；清风慕竹；wubh2011；maths；翔宇老师；双曲线；wdlxh；wfy814；caoqz；wsj1012；wyz123；涨停；742048；ywg2058；王兴华（排名不分先后）菁优网2015年3月15日。
2015-2016年江苏省盐城市阜宁中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二（下）期中数学试卷（文科）一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）设A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x≥0}，则A∩B=．2．（5分）命题“∀x∈（0，），都有x＞sin x”的否定是．3．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．4．（5分）某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k=．5．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为．6．（5分）若函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x，则k=2是函数f（x）为奇函数的条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）7．（5分）从区间（0，1）中随机取两个数，则两数之和小于1的概率为．8．（5分）如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=．9．（5分）某兴趣小组有男生2名，女生1名，现从中任选2名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为．10．（5分）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|值域是．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为．12．（5分）已知函数f（x）=的定义域为（﹣∞，﹣1]，则实数a=．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f（x+3）﹣f（﹣x）=0，当x∈（0，1]时f（x）=x2﹣4x，则f（2015）+f（2016）=．14．（5分）已知关于x的不等式x2﹣4x+t≤0的解集为A，若（﹣∞，t]∩A≠∅，则实数t的取值范围是．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．16．（14分）（1）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率；（2）从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，则其和为偶数的概率是多少？17．（14分）已知a为实数，p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部；q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若q为假命题，求a的取值范围；（3）若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，求a的取值范围．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a∈R）．（1）判断f（x）奇偶性；（2）当f（x）在（1，+∞）递增，求a的取值范围．19．（16分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．（1）求f（0），f（﹣1）；（2）求函数f（x）的表达式；（3）若f（a﹣1）﹣f（3﹣a）＜0，求a的取值范围．20．（16分）已知函数f（x）=ln（e kx+1）﹣x（其中e为自然对数的底数）为定义在R上的偶函数，且f（x）=lnu（x）．（1）求实数k的值，并求函数u（x）的表达式；（2）若函数g（x）=e2x+e﹣2x﹣2p•u（x）的最小值为﹣3，求实数p的值；（3）设函数h（x）=，若对任意的x1，x2，x3∈R，都有h（x1）+h（x2）≥h（x3），求实数m的取值范围．2015-2016学年江苏省盐城市阜宁中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．请将答案填入答题纸填空题的相应答题线上．）1．（5分）设A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x≥0}，则A∩B={x|0≤x≤3}．【考点】1E：交集及其运算．【解答】解：∵A={x|﹣2≤x≤3}，B={x|x≥0}，∴A∩B={x|0≤x≤3}．故答案为：{x|0≤x≤3}．2．（5分）命题“∀x∈（0，），都有x＞sin x”的否定是∃x∈（0，），都有x≤sin x．【考点】2J：命题的否定．【解答】解：全称命题的否定是特称命题，所以命题“∀x∈（0，），都有x＞sin x”的否定是：∃x∈（0，），都有x ≤sin x．故答案为：∃x∈（0，），都有x≤sin x．3．（5分）已知一组数据4，6，5，8，7，6，那么这组数据的方差为．【考点】BC：极差、方差与标准差．【解答】解：∵数据4，6，5，8，7，6的平均数为=（4+6+5+8+7+6）=6，∴这组数据的方差为S2=×[（4﹣6）2+2×（6﹣6）2+（5﹣6）2+（8﹣6）2+（7﹣6）2]=．故答案为：．4．（5分）某流程图如图所示，则该程序运行后输出的k=5．【考点】EF：程序框图．【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：第一圈k=3 a=43b=34第二圈k=4 a=44b=44第三圈k=5 a=45b=54，此时a＞b，退出循环，k值为5故答案为：5．5．（5分）一个总体分为A，B两层，用分层抽样方法从总体中抽取一个容量为10的样本．已知B层中每个个体被抽到的概率都为，则总体中的个体数为120．【考点】B3：分层抽样方法；C6：等可能事件和等可能事件的概率．【解答】解：∵B层中每个个体被抽到的概率都为，∴总体中每个个体被抽到的概率是，∴由分层抽样是等概率抽样得总体中的个体数为10÷=120故答案为：120．6．（5分）若函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x，则k=2是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件．（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”）【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【解答】解：若函数f（x）=2x﹣（k2﹣3）•2﹣x为奇函数，则f（﹣x）=2﹣x﹣（k2﹣3）2x=（k2﹣3）2﹣x﹣2x，∴k2﹣3=1，解得：k=±2，∴k=2是函数f（x）为奇函数的充分不必要条件，故答案为：充分不必要．7．（5分）从区间（0，1）中随机取两个数，则两数之和小于1的概率为．【考点】CF：几何概型．【解答】解：设取出的两个数为x、y；则有0＜x＜1，0＜y＜1，其表示的区域为纵横坐标都在（0，1）之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜1表示的区域为直线x+y=1下方，且在0＜x＜1，0＜y＜1表示区域内部的部分，如图，易得其面积为；则两数之和小于1的概率是故答案为：8．（5分）如图，给出一个算法的伪代码，已知输出值为3，则输入值x=4．【考点】EA：伪代码（算法语句）．【解答】解：本题的伪代码表示一个分段函数f（x）=∵输出值为3∴或∴x=4∴输入值x=4故答案为：49．（5分）某兴趣小组有男生2名，女生1名，现从中任选2名学生去参加问卷调查，则恰有一名男生与一名女生的概率为．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：男生2名记为A，B，女生1名记为C，现从中任选2名学生，共有AB，AC，BC，3种选择方法，恰有一名男生与一名女生的有有AC，BC，2种故则恰有一名男生与一名女生的概率为，故答案为：10．（5分）函数f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|值域是[1，+∞）．【考点】34：函数的值域．【解答】解：∵|x﹣1|+|x﹣2|≥|（x﹣1）﹣（x﹣2）|≥1；∴f（x）≥1；即函数f（x）的值域是[1，+∞）．故答案为：[1，+∞）．11．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在（0，+∞）上是增函数，又f（﹣3）=0，则不等式xf（x）＜0的解集为（﹣3，0）∪（0，3）．【考点】3E：函数单调性的性质与判断．【解答】解：∵f（x）在R上是奇函数，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上也是增函数，由f（﹣3）=0，得﹣f（3）=0，即f（3）=0，由f（﹣0）=﹣f（0），得f（0）=0，作出f（x）的草图，如图所示：由图象，得xf（x）＜0⇔或⇔0＜x＜3或﹣3＜x＜0，∴xf（x）＜0的解集为：（﹣3，0）∪（0，3），故答案为：（﹣3，0）∪（0，3）．12．（5分）已知函数f（x）=的定义域为（﹣∞，﹣1]，则实数a=﹣4．【考点】33：函数的定义域及其求法．【解答】解：由题意得：1+a•4x≥0在x∈（﹣∞，﹣1]恒成立，∴a•4x≥﹣1在x∈（﹣∞，﹣1]恒成立，a≥0时，a•4x≥﹣1在R恒成立，定义域是R，与定义域为（﹣∞，﹣1]不符，a＜0时，4x≤﹣，x≤=﹣1，∴﹣=，解得：a=﹣4，故答案为：﹣4．13．（5分）已知f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f（x+3）﹣f（﹣x）=0，当x∈（0，1]时f（x）=x2﹣4x，则f（2015）+f（2016）=﹣3．【考点】3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：∵设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x都有f（x+3）=f（﹣x）=﹣f（x），∴f（x+6）=﹣f（x+3）=f（x），∴函数f（x）是周期为6的周期函数，∵当x∈[0，2]时，f（x）=x2﹣4x，∴f（0）=0，f（1）=2﹣1=1，f（2）=0，f（3）=﹣1，∴f（2015）=f（335×6+5）=f（5）=﹣f（﹣5）﹣f（﹣5+6）=﹣f（1）=﹣3f（2016）=f（6×336）=f（0）=0，f（2015）+f（2016）=﹣3+0=﹣3故答案为：﹣314．（5分）已知关于x的不等式x2﹣4x+t≤0的解集为A，若（﹣∞，t]∩A≠∅，则实数t的取值范围是[0，4]．【考点】73：一元二次不等式及其应用．【解答】解：关于x的不等式x2﹣4x+t≤0的解集为A，且（﹣∞，t]∩A≠∅，等价于二次函数f（x）=x2﹣4x+t，在区间（﹣∞，t]内至少存在一个数c使得f （c）≤0，其否定是：对于区间（﹣∞，t]内的任意一个x都有f（x）＞0，∴①或②；由①得，解得t＜0；由②得，解得t＞4；即t＜0或t＞4；∴二次函数f（x）在区间（﹣∞，t]内至少存在一个实数c，使f（c）≤0的实数t的取值范围是[0，4]．故t的取值范围是[0，4]．故答案为：[0，4]．二、解答题：（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．（14分）某市规定，高中学生在校期间须参加不少于80小时的社区服务才合格．某校随机抽取20位学生参加社区服务的数据，按时间段[75，80），[80，85），[85，90），[90，95），[95，100]（单位：小时）进行统计，其频率分布直方图如图所示．（Ⅰ）求抽取的20人中，参加社区服务时间不少于90小时的学生人数；（Ⅱ）从参加社区服务时间不少于90小时的学生中任意选取2人，求所选学生的参加社区服务时间在同一时间段内的概率．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为20×0.04×5=4（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为20×0.02×5=2（人）．所以参加社区服务时间不少于90小时的学生人数为4+2=6（人）．…（5分）（Ⅱ）设所选学生的服务时间在同一时间段内为事件A．由（Ⅰ）可知，参加社区服务在时间段[90，95）的学生有4人，记为a，b，c，d；参加社区服务在时间段[95，100]的学生有2人，记为A，B．从这6人中任意选取2人有ab，ac，ad，aA，aB，bc，bd，bA，bB，cd，cA，cB，dA，dB，AB共15种情况．事件A包括ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7种情况．所以所选学生的服务时间在同一时间段内的概率．…（13分）16．（14分）（1）两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，求灯与两端距离都大于2m的概率；（2）从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，则其和为偶数的概率是多少？【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【解答】解：（1）∵两根相距6m的木杆上系一根绳子，并在绳子上挂一盏灯，∴灯与两端距离都大于2m的概率p==．（2）从1，2，3，4，5，6这6个数字中，任取2个数字相加，基本事件总数n==15，其和为偶数包含的基本事件个数m==6，∴其和为偶数的概率p===．17．（14分）已知a为实数，p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部；q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0．（1）若p为真命题，求a的取值范围；（2）若q为假命题，求a的取值范围；（3）若“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题，求a的取值范围．【考点】2E：复合命题及其真假．【解答】解：（1）∵p：点M（1，1）在圆（x+a）2+（y﹣a）2=4的内部∴（1+a）2+（1﹣a）2＜4，解得﹣1＜a＜1，故p为真命题时a的取值范围为（﹣1，1）．（2）∵q：∀x∈R，都有x2+ax+1≥0∴若q为真命题，则△=a2﹣4≤0，解得﹣2≤a≤2，故q为假命题时a的取值范围（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）．（3）∵“p且q”为假命题，且“p或q”为真命题∴p与q一真一假，从而①当p真q假时有，无解；②当p假q真时有，解得﹣2≤a≤﹣1或1≤a≤2．∴实数a的取值范围是[﹣2，﹣1]∪[1，2]．18．（16分）已知函数f（x）=ax2+（a∈R）．（1）判断f（x）奇偶性；（2）当f（x）在（1，+∞）递增，求a的取值范围．【考点】3E：函数单调性的性质与判断；3K：函数奇偶性的性质与判断．【解答】解：（1）①当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，②当a≠0时，∵f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，可得f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，∴f（x）为非奇非偶函数．（2）对f（x）进行求导，可得f′（x）=，∵f（x）在（1，+∞）递增，即f′（x）≥0对x∈（1，+∞）恒成立，∴2ax3﹣1≥0对x∈（1，+∞）恒成立，∴2a，x∈（1，+∞），∴2a≥1，∴a≥，即a∈[，+∞）．故a的取值范围为[，+∞）．19．（16分）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且x≥0时，．（1）求f（0），f（﹣1）；（2）求函数f（x）的表达式；（3）若f（a﹣1）﹣f（3﹣a）＜0，求a的取值范围．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【解答】解：（1）f（0）=0（2分）f（﹣1）=f（1）=﹣（14分）（2）令x＜0，则﹣x＞0∴x＜0时，（8分）∴（10分）（3）∵在[0，+∞）上为减函数，∴f（x）在（﹣∞，0）上为增函数．由于f（a﹣1）＜f（3﹣a）∴|a﹣1|＞|3﹣a|（14分）∴a＞2．（16分）20．（16分）已知函数f（x）=ln（e kx+1）﹣x（其中e为自然对数的底数）为定义在R上的偶函数，且f（x）=lnu（x）．（1）求实数k的值，并求函数u（x）的表达式；（2）若函数g（x）=e2x+e﹣2x﹣2p•u（x）的最小值为﹣3，求实数p的值；（3）设函数h（x）=，若对任意的x1，x2，x3∈R，都有h（x1）+h （x2）≥h（x3），求实数m的取值范围．【考点】4N：对数函数的图象与性质．【解答】解：（1）f（x）=ln（e kx+1）﹣x=ln（e kx+1）﹣lne x=ln．f（﹣x）=ln=ln（e﹣kx+x+e x）．∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴f（﹣x）=f（x）恒成立．∴e﹣kx+x+e x=，即e（1﹣k）x+e x=e（k﹣1）x+恒成立，∴1﹣k=﹣1，k=2．∴u（x）==e x+e﹣x．（2））g（x）=e2x+e﹣2x﹣2p•（e x+e﹣x）=（e x+e﹣x）2﹣2p（e x+e﹣x）﹣2，令e x+e﹣x=t，则t≥2，令F（t）=t2﹣2pt﹣2．则F（t）的图象开口向上，对称轴为t=p，①若p≤2，则F（t）在[2，+∞）上是增函数，∴g min（x）=F min（t）=F（2）=2﹣4p=﹣3，解得p=．②若p＞2，则F（t）在[2，p]上是减函数，在（p，+∞）上是增函数，∴g min（x）=F min（t）=F（p）=﹣p2﹣2=﹣3．解得p=±1（舍）．综上，p的值为．（3）∵对任意的x1，x2，x3∈R，都有h（x1）+h（x2）≥h（x3），∴2h min（x）≥h max（x）．令e x=t，则t＞0，h（x）==1+．①当m＞2时，h（x）在（0，1]上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，=1，=1，h（1）=1+，∴h（x）∈（1，1+]，∴2≥1+，解得2＜m≤6．②当m＜2时，h（x）在（0，1]上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，=1，=1，h（1）=1+，∴h（x）∈[1+，1），∴2+≥1，解得0≤m＜2．③当m=2时，h（x）=1，显然成立．综上，m的取值范围是[0，6]．。
2015-2016年江苏省盐城中学高二(下)期中数学试卷(文科)和答案
2015-2016学年江苏省盐城中学高二（下）期中数学试卷（文科）一.填空题（共14题，每题5分，共70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，sin x+cos x＞2”的否定是．2．（5分）设z=3﹣2i（i是虚数单位），则|z|=．3．（5分）函数f（x）=lg（3﹣2x）的定义域为．4．（5分）如图是一个算法的流程图，最后输出的S=5．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于．6．（5分）若f（x）=3sin x，则=．7．（5分）甲乙两人比赛射击，两人的平均环数相同，甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5，6，9，10，5，那么这两个人中成绩较为稳定的是．8．（5分）从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从集合{2，3，4}中随机选取一个数b，则b＞a的概率是．9．（5分）一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为cm3．10．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的条件．（“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）11．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于．12．（5分）过直线x+y﹣2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是．13．（5分）如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是．14．（5分）设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是．二.解答题（共6题，共90分）15．（14分）在锐角△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量=（，cos A），=（sin A，﹣），且（1）求角A的大小；（2）若a=7，b=8，求△ABC的面积．16．（14分）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BD⊥平面CDE．17．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣10时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为18，求它在该区间上的最小值．18．（16分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右焦点为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x 轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：AP⊥OM；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．20．（16分）已知首项为1的正项数列{a n}满足a n+12+a n2＜，n∈N*，S n 为数列{a n}的前n项和．（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若＜S n+1＜2S n，n∈N*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+a k=120，求正整数k 的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，a k．2015-2016学年江苏省盐城中学高二（下）期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一.填空题（共14题，每题5分，共70分）1．（5分）命题：“∃x∈R，sin x+cos x＞2”的否定是∀x∈R，sin x+cos x≤2．【解答】解：∵命题：“∃x∈R，sin x+cos x＞2”是特称命题，∴特称命题的否定是全称命题得“∃x∈R，sin x+cos x＞2”的否定是：“∀x∈R，sin x+cos x≤2”．故答案为：“∀x∈R，sin x+cos x≤2”．2．（5分）设z=3﹣2i（i是虚数单位），则|z|=．【解答】解：∵z=3﹣2i，∴，故答案为：．3．（5分）函数f（x）=lg（3﹣2x）的定义域为（﹣∞，）．【解答】解：由对数的真数大于0，可得3﹣2x＞0，解得x＜，故函数f（x）的定义域为（﹣∞，），故答案为：（﹣∞，）．4．（5分）如图是一个算法的流程图，最后输出的S=127【解答】解：模拟执行程序，可得S=0，i=1执行循环体，S=1，i=2不满足条件S＞100，执行循环体，S=3，i=3不满足条件S＞100，执行循环体，S=7，i=4不满足条件S＞100，执行循环体，S=15，i=5不满足条件S＞100，执行循环体，S=31，i=6不满足条件S＞100，执行循环体，S=63，i=7不满足条件S＞100，执行循环体，S=127，i=8满足条件S＞100，退出循环，输出S的值为127．故答案为：127．5．（5分）若双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，则|PF2|等于9．【解答】解：设|PF2|=x，∵双曲线E：=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线E上，且|PF1|=3，∴a=3，b=4．c=5，∴|x﹣3|=6，解得x=9或x=﹣3（舍）．∴|PF2|=9．故答案为：9．6．（5分）若f（x）=3sin x，则=0．【解答】解：f′（x）=3cos x，∴f′（）=3cos=0，故答案为：0．7．（5分）甲乙两人比赛射击，两人的平均环数相同，甲所得环数的方差为5，乙所得环数如下：5，6，9，10，5，那么这两个人中成绩较为稳定的是乙．【解答】解：乙的平均数=（5+6+9+10+5）=7，S乙2=（5﹣7）2+（6﹣7）2+（9﹣7）2+（10﹣7）2+（5﹣7）2]=4.4，则甲的方差大于乙的方差，所以成绩较稳定的是乙，故答案为：乙．8．（5分）从集合{1，2，3，4，5}中随机选取一个数a，从集合{2，3，4}中随机选取一个数b，则b＞a的概率是．【解答】解：所有的选法共有5×3=15种，其中满足b＞a的选法有1+2+3=6种，故b＞a的概率是；故答案为：．9．（5分）一个圆锥筒的底面半径为3cm，其母线长为5cm，则这个圆锥筒的体积为12πcm3．【解答】解：圆锥的高h==4，∴圆锥的体积V=×π×32×4=12π．故答案为：12π．10．（5分）“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的充分不必要条件．（“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）【解答】解：a=1时两条直线不平行，舍去；直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0分别化为：，y=﹣x﹣．由于两条直线平行，∴，﹣≠﹣，解得a=3，﹣2．∴“a=3”是“直线ax+2y+3a=0和直线3x+（a﹣1）y+7=0平行”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要．11．（5分）已知数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，则数列{a n}的前n项和等于2n﹣1．【解答】解：数列{a n}是递增的等比数列，a1+a4=9，a2a3=8，可得a1a4=8，解得a1=1，a4=8，∴8=1×q3，q=2，数列{a n}的前n项和为：=2n﹣1．故答案为：2n﹣1．12．（5分）过直线x+y﹣2=0上点P作圆x2+y2=1的两条切线，若两条切线的夹角是60°，则点P的坐标是（，）．【解答】解：根据题意画出相应的图形，如图所示：直线P A和PB为过点P的两条切线，且∠APB=60°，设P的坐标为（a，b），连接OP，OA，OB，∴OA⊥AP，OB⊥BP，PO平分∠APB，∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=30°，又圆x2+y2=1，即圆心坐标为（0，0），半径r=1，∴OA=OB=1，∴OP=2AO=2BO=2，∴=2，即a2+b2=4①，又P在直线x+y﹣2=0上，∴a+b﹣2=0，即a+b=2②，联立①②解得：a=b=，则P的坐标为（，）．故答案为：（，）13．（5分）如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B、C分别在m、n上，，则的最大值是．【解答】解：由点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3，可得平行线m、n间的距离为2，以直线m为x轴，以过点A且与直线m垂直的直线为y轴建立坐标系，如图所示：则由题意可得点A（0，1），直线n的方程为y=﹣2，设点B（a，0）、点C（b，﹣2），∴=（a，﹣1）、=（b，﹣3），∴+=（a+b，﹣4）．∵，∴（a+b）2+16=25，∴a+b=3，或a+b=﹣3．当a+b=3时，=ab+3=a（3﹣a）+3=﹣a2+3a+3，它的最大值为=．当a+b=﹣3时，=ab+3=a（﹣3﹣a）+3=﹣a2﹣3a+3，它的最大值为=．综上可得，的最大值为，故答案为：．14．（5分）设函数f（x）=，若对任意给定的y∈（2，+∞），都存在唯一的x∈R，满足f（f（x））=2a2y2+ay，则正实数a的最小值是．【解答】解：根据f（x）的函数，我们易得出其值域为：R又∵f（x）=2x，（x≤0）时，值域为（0，1]；f（x）=log2x，（x＞0）时，其值域为R∴可以看出f（x）的值域为（0，1]上有两个解，要想f（f（x））=2a2y2+ay，在y ∈（2，+∞）上只有唯一的x∈R满足，必有f（f（x））＞1 （因为2a2y2+ay＞0）所以：f（x）＞2解得：x＞4，当x＞4时，x与f（f（x））存在一一对应的关系∴2a2y2+ay＞1，y∈（2，+∞），且a＞0所以有：（2ay﹣1）（ay+1）＞0解得：y＞或者y＜﹣（舍去）∴≤2∴a≥故答案为：二.解答题（共6题，共90分）15．（14分）在锐角△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知向量=（，cos A），=（sin A，﹣），且（1）求角A的大小；（2）若a=7，b=8，求△ABC的面积．【解答】解：（1）∵向量=（，cos A），=（sin A，﹣），且⊥，∴sin A﹣cos A=0，∵0＜A＜90°，∴cos A≠0，∴tan A=，则A=60°；（2）由正弦定理=，a=7，b=8，A=60°，∴sin B===，∵△ABC为锐角三角形，∴cos B==，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+cos A sin B=×+×=，=ab sin C=10．∴S△ABC16．（14分）如图，平行四边形ABCD中，BD⊥CD，正方形ADEF所在的平面和平面ABCD垂直，H是BE的中点，G是AE，DF的交点．（1）求证：GH∥平面CDE；（2）求证：BD⊥平面CDE．【解答】证明：（1）G是AE，DF的交点，∴G是AE中点，又H是BE的中点，∴△EAB中，GH∥AB，（3分）∵AB∥CD，∴GH∥CD，又∵CD⊂平面CDE，GH⊂平面CDE∴GH∥平面CDE（7分）（2）平面ADEF⊥平面ABCD，交线为AD，∵ED⊥AD，ED⊂平面ADEF∴ED⊥平面ABCD，（10分）∴ED⊥BD，又∵BD⊥CD，CD∩ED=D∴BD⊥平面CDE．（14分）17．（14分）已知函数f（x）=﹣x3+3x2+9x+a．（1）当a=﹣10时，求f（x）在x=2处的切线方程；（2）若f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为18，求它在该区间上的最小值．【解答】解：（1）f（x）的导数为f′（x）=﹣3x2+6x+9，可得切线的斜率为f′（2）=9，函数f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣10的切点为（2，12），所以f（x）在x=2处的切线方程为y﹣12=9（x﹣2），即9x﹣y﹣6=0．（2）令f′（x）=﹣3x2+6x+9=0，得x=3（舍）或x=﹣1，当x∈（﹣2，﹣1）时，f'（x）＜0，所以f（x）在x∈（﹣2，﹣1）时单调递减，当x∈（﹣1，2）时f'（x）＞0，所以f（x）在x∈（﹣1，2）时单调递增，又f（﹣2）=2+a，f（2）=22+a，所以f（2）＞f（﹣2）．因此f（2）和f（﹣1）分别是f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值和最小值，于是有22+a=18，解得a=﹣4．故f（x）=﹣x3+3x2+9x﹣4，因此f（﹣1）=﹣9，即函数f（x）在区间[﹣2，2]上的最小值为﹣9．18．（16分）植物园拟建一个多边形苗圃，苗圃的一边紧靠着长度大于30m的围墙．现有两种方案：方案①多边形为直角三角形AEB（∠AEB=90°），如图1所示，其中AE+EB=30m；方案②多边形为等腰梯形AEFB（AB＞EF），如图2所示，其中AE=EF=BF=10m．请你分别求出两种方案中苗圃的最大面积，并从中确定使苗圃面积最大的方案．【解答】解：设方案①，②的多边形苗圃的面积分别为S1，S2，方案①，设AE=x，则S1=x（30﹣x）≤[]2=，当且仅当x=15时，取等号，方案②，设∠BAE=θ，则S2=100sinθ（1+cosθ），θ∈（0，），由S2′=100（2cos2θ+cosθ﹣1）=0得cosθ=（cosθ=﹣1舍去），∵θ∈（0，），∴θ=，当S2′＞0，解得0＜x＜，函数单调递增，当S2′＜0，解得＜x＜，函数单调递减，∴当θ=时，（S2）max=75，∵＜75，∴建立苗圃时用方案②，且∠BAE=．19．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：的右焦点为，且经过点，过椭圆的左顶点A作直线l⊥x 轴，点M为直线l上的动点（点M与点A不重合），点B为椭圆右顶点，直线BM交椭圆C于点P．（1）求椭圆C的方程；（2）求证：AP⊥OM；（3）试问是否为定值？若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．【解答】解：（1）由已知得c=①，又+=1②，a2=b2+c2③；联立①②③，解得a2=4，b2=2；所以椭圆C的方程为+=1；（2）证明：由（1）知，A（﹣2，0），B（2，0），直线BM斜率显然存在，设BM方程为y=k（x﹣2），则M（﹣2，﹣4k），由，消去y得（2k2+1）x2﹣8k2+8k2﹣4=0，解得x1=，x2=2；∴x P=，∴y P=k（x P﹣2）=，即P（，）；又=（，），=（﹣2，﹣4k）；∴•=+=0，∴⊥，即AP⊥OM；（3）∵=（，），∴•=+==4；∴•为定值4．20．（16分）已知首项为1的正项数列{a n}满足a n+12+a n2＜，n∈N*，S n 为数列{a n}的前n项和．（1）若a2=，a3=x，a4=4，求x的取值范围；（2）设数列{a n}是公比为q的等比数列，若＜S n+1＜2S n，n∈N*，求q的取值范围；（3）若a1，a2，…，a k（k≥3）成等差数列，且a1+a2+…+a k=120，求正整数k 的最小值，以及k取最小值时相应数列a1，a2，…，a k．【解答】解：（1）∵首项为1的正项数列{a n}满足a n+12+a n2＜，n∈N*，化为（2a n+1﹣a n）（a n+1﹣2a n）＜0，∴＜2．又a2=，a3=x，a4=4，∴，，解得：2＜x＜3．∴x的取值范围是（2，3）．（2）由于首项为1的正项数列{a n}，∵＜2．∴．①q=1时，n=1时不满足：＜S n+1＜2S n，n∈N*，因此q≠1．②可得＜2，＜q＜1时，化为2q n+1﹣q n＜1，q n+1﹣2q n+1＞0，由于q n（2q﹣1）＜1，因此2q n+1﹣q n＜1恒成立；由q n＜q，可得q2n＜q n+1，∴q n，∴2q n＜1+q n+1，因此q n+1﹣2q n+1＞0恒成立，可得：＜q＜1．2＞q＞1时，化为2q n+1﹣q n﹣1＞0，q n+1﹣2q n+1＜0，无解，舍去．综上可得：＜q＜1．（3）设首项为1的正项数列{a n}的公差为d，d≥0，由＜2，可得＜＜2，化为1+（n﹣1）d＜2（1+nd）＜4[1+（n﹣1）d]，n=1时，0≤d＜1；n=2时，d≥0；n≥3时，d≥0．综上可得：0≤d＜1．∵a1，a2，…，a k（k≥3）成等差数列，a1+a2+…+a k=120，∴k+d=120，k=1时，不成立，舍去．k≥2时，解得d=，∵0≤d＜1．∴0≤＜1．解得：15＜k≤120．∴满足条件的正整数k的最小值为16，此时d=，相应数列的通项公式为：a n=1+（n﹣1）=．数列为：1，， (14)。
2015-2016年江苏省盐城市时杨中学高二(下)期中数学试卷(理科)和答案
2015-2016学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷（理科）一、填空题：（70分）1．（5分）在复平面内，复数z=﹣1+2i对应的点所在的象限是．2．（5分）若空间中的三个点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b+2）共线，则a+b=．3．（5分）若复数（1+bi）•（2﹣i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=．4．（5分）数列1，4，7，10，…，的第8项等于．5．（5分）i+i2+i3+i4=．6．（5分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值为．7．（5分）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=．8．（5分）用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设．9．（5分）已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=x，则x+y+z=．10．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端在n=k 时的左端加上．11．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦为，则λ等于．12．（5分）现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．13．（5分）正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面P AC所成的角是．14．（5分）一同学在电脑中打出如下若干个圈：〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●〇〇〇〇〇●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前160个圈中的●的个数是．二、解答题（90分）15．（14分）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位，若z=1+i．（1）求复数（1+z）•；（2）求（1+）•z2的模．16．（14分）用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=（n∈N*）17．（14分）已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．18．（16分）（Ⅰ）已知是空间的两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量，．求向量与的夹角；（Ⅱ）已知是两个不共线的向量，．求证：共面．19．（16分）已知数列{a n}满足条件a n+1=．（1）若a1=，求a2，a3，a4的值．（2）已知对任意的n∈N+，都有a n≠1，求证：a n+3=a n对任意的正整数n都成立；（3）在（1）的条件下，求a2015．20．（16分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD 的中点．（1）求||（2）求直线EC与AF所成角的余弦值；（3）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．2015-2016学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题：（70分）1．（5分）在复平面内，复数z=﹣1+2i对应的点所在的象限是第二象限．【解答】解：因为复数z=﹣1+2i的实部﹣1＜0，虚部为2＞0，所以复数z=﹣1+2i 对应的点所在的象限是第二象限．故答案为第二象限．2．（5分）若空间中的三个点A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b+2）共线，则a+b=5．【解答】解：∵A（1，5，﹣2），B（2，4，1），C（a，3，b+2），∴=（1，﹣1，﹣3），=（a﹣1，﹣2，b+4），∵A，B，C三点共线，∴=λ，∴（1，﹣1，3）=λ（a﹣1，﹣2，b+4），∴，解得λ=，a=3，b=2，即a+b=5．故答案为：5．3．（5分）若复数（1+bi）•（2﹣i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b=﹣2．【解答】解：（1+bi）（2﹣i）=2+b+2bi﹣i=（2+b）+（﹣1+2b）i，∵（1+bi）•（2﹣i）是纯虚数，∴实部为0，即2+b=0，∴b=﹣2，此时﹣1+2b≠0，∴b=﹣2．故答案为：﹣2．4．（5分）数列1，4，7，10，…，的第8项等于22．【解答】解：∵数列1，4，7，10，…中，a1=1，d=3，∴a8=1+3×（8﹣1）=22．故答案为：22．5．（5分）i+i2+i3+i4=0．【解答】解：i+i2+i3+i4=i﹣1+i2•i+i2•i2=i﹣1﹣i+1=0．故答案为：0．6．（5分）已知=（1，1，0），=（﹣1，0，2），且与互相垂直，则k的值为2．【解答】解：∵=（1，1，0），=（﹣1，0，2），∴=（k﹣1，k，2），=（2，1，﹣2），又（）⊥（），∴2（k﹣1）+k﹣4=0，解得k=2．故答案为：2．7．（5分）若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b= 1．【解答】解：∵=，∴a=0，b=1．则a+b=1．故答案为：1．8．（5分）用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”时，应假设三个内角都大于60°．【解答】解：根据用反证法证明数学命题的方法和步骤，先把要证的结论进行否定，得到要证的结论的反面，而命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60°”的否定为“三个内角都大于60°”，故答案为三个内角都大于60°．9．（5分）已知S是△ABC所在平面外一点，D是SC的中点，若=x，则x+y+z=．【解答】解：如图，根据条件：===；又；∴由空间向量基本定理得．故答案为：．10．（5分）用数学归纳法证明1+2+3+…+n2=时，当n=k+1时左端在n=k 时的左端加上（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2．【解答】解：n=k时左端为：1+2+3+…+k2，n=k+1时左端为：1+2+3+…+k2+（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）2．故答案为：（k2+1）+（k2+2）+…+（k+1）211．（5分）若向量=（1，λ，2），=（2，﹣1，2），且与的夹角余弦为，则λ等于，﹣2．【解答】解：设与的夹角为θ，则有cosθ===，即=，，55λ2+108λ﹣4=0，解得λ=﹣2或λ=，故答案为．12．（5分）现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．【解答】解：∵同一个平面内有两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为，类比到空间有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为，故答案为．13．（5分）正四棱锥S﹣ABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面P AC所成的角是30°．【解答】解：如图所示，以O为原点建立空间直角坐标系O﹣xyz．设OD=SO=OA=OB=OC=a，则A（a，0，0），B（0，a，0），C（﹣a，0，0），P．则=（2a，0，0），=，设平面P AC的法向量为n，可求得n=（0，1，1），则cos＜C，n＞═=．∴＜C，n＞=60°，∴直线BC与平面P AC所成的角为90°﹣60°=30°．故答案为：30°14．（5分）一同学在电脑中打出如下若干个圈：〇●〇〇●〇〇〇●〇〇〇〇●〇〇〇〇〇●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前160个圈中的●的个数是16．【解答】解：由图看出，第一个●含（●）前有2个圈，往下依次是3个圈，4个圈，…圈的个数构成以2为首项，以1为公差的等差数列，其前n项和为，由，解得，∵n∈N*，∴n=16．即那么在前160个圈中的●的个数是16．故答案为：16．二、解答题（90分）15．（14分）把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位，若z=1+i．（1）求复数（1+z）•；（2）求（1+）•z2的模．【解答】解：（1）∵z=1+i，∴=1﹣i，∴（1+z）•=（2+i）（1﹣i）=2﹣2i+i﹣i2=3﹣i，（2）（1+）•z2=（2﹣i）（1+i）2=（2﹣i）•2i=2+4i，∴|（1+）•z2|==2．16．（14分）用数学归纳法证明：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=（n∈N*）【解答】证明：①n=1时，左边=2，右边=2，等式成立；②假设n=k时，结论成立，即：（k+1）+（k+2）+…+（k+k）=则n=k+1时，等式左边=（k+2）+（k+3）+…+（k+k+1）+（k+1+k+1）=+3k+2=故n=k+1时，等式成立由①②可知：（n+1）+（n+2）+…+（n+n）=（n∈N*）成立17．（14分）已知x，y∈R+，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．【解答】解：用反证法．假设与都大于或等于2，即，（4分）∵x，y∈R+，故可化为，两式相加，得x+y≤2，（10分）与已知x+y＞2矛盾．所以假设不成立，即原命题成立．（12分）18．（16分）（Ⅰ）已知是空间的两个单位向量，它们的夹角为60°，设向量，．求向量与的夹角；（Ⅱ）已知是两个不共线的向量，．求证：共面．【解答】解：（Ⅰ）∵是两个单位向量，所以||=||=1，由于其夹角为60°所以向量=cos60°=∴=（2））=﹣6+=||===同理||=，所以cos＜＞===所以夹角120°…7分（Ⅱ）证明：因为向量是两个不共线的向量设=x（）+y（）=（x+3y）+（x﹣2y）=2+3所以，这表明存在实数，，使根据共面向量定理知：向量共面…14分．19．（16分）已知数列{a n}满足条件a n+1=．（1）若a1=，求a2，a3，a4的值．（2）已知对任意的n∈N+，都有a n≠1，求证：a n+3=a n对任意的正整数n都成立；（3）在（1）的条件下，求a2015．【解答】（1）解：由数列{a n}满足条件a n+1=，a1=，∴a2==2，同理可得：a3=﹣1，a4=．（2）证明：∵，∴，∴．即a n+3=a n对任意的正整数n都成立；（3）解：由前面的结论，可得a2015=a671×3+2=a2=2．20．（16分）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD 的中点．（1）求||（2）求直线EC与AF所成角的余弦值；（3）求二面角E﹣AF﹣B的余弦值．【解答】解：（1）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐标系．则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），，…（2分）∴…（4分）（2）∵，，∴…（6分）∴直线EC与AF所成角的余弦值为．…（8分）（如果把向量的夹角当成直线的夹角，扣1分）（3）平面ABCD的一个法向量为…（9分）设平面AEF的一个法向量为，∵，，∴，令x=1，则y=2，z=﹣1，…（10分）则…（12分）由图知二面角E﹣AF﹣B为锐二面角，其余弦值为．…（14分）（如果把向量的夹角当成二面角的平面角，扣2分）。
江苏省盐城市时杨中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学(文)试卷
盐城市时杨中学2014/2015学年度第二学期期中考高二年级数学试题（文科）一．填空题（5分×14）1．已知集合{}{}4,2,4,2,1==B A ，则集合A B =；2．数列1，4，7，10，…，的第8项等于；3．复数2,z i i =-+是虚数单位，则z 在复平面内对应的点在第象限； 4．从甲、乙、丙三人中任选2名代表，甲被选中的概率为；5．在空间，若长方体的长、宽、高分别为a 、b 、c ，则长方体的对角线长为.将此结论类比到平面内，可得：矩形的长、宽分别为a 、b ，则矩形的对角线长为；6．已知()2a i i b i -=+，其中,,a b R i ∈是虚数单位，则a ＋b ＝；7．已知222211132135313574,,,,=+=++=+++=…，将此等式推广到一般情形，可得2n =；8．计算：234i i i i +++=；9．掷一枚骰子，观察掷出的点数，则事件“掷出奇数点或3的倍数”的概率为； 10．定义集合运算：*{|,,}A B z z xy x A y B ==∈∈.设12{,}A =，02{,}B =，则集合*A B 的所有元素之和为；11．函数21()y a x b =-+在R 上是单调减函数，则实数a 的取值范围是； 12．有一段长为10米的木棍，现要截成两段，每段不小于3米的概率为； 13．已知命题p :,1sin ,R ≤∈∀x x 则p ⌝为；14．已知定义域为R 的函数f(x)满足f(x+1)=2f(x)，当x ∈（1,2]时，2()f x x x =-，则f(x)在x ∈（-2,-1]上的最大值为.二．解答题（共6小题）15．（14分）已知函数()()211,f x g x x ==-()f x 的定义域为A ， (1)求集合A ；(2)若函数()g x 的值域为集合B ，求A B .16．（14分）已知复数z ＝362+--m m m ＋i m m )152(2--. (1) m 取何实数值时，z 是实数？ (2) m 取何实数值时，z 是纯虚数？ 17．（14分）已知关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=，满足a ≥0且b ≥0. （1）若a 是从0、1、2三个数中任取的一个数，b 是从0、1两个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率.（2）若1a =，b 是从区间［0，3］任取的一个数，求上述方程有实根的概率.18．（16分）已知数列{}n a 满足条件111n na a +=-. (1)若112a =，求234,,a a a 的值. (2)已知对任意的n N +∈，都有1n a ≠，求证：3n n a a +=对任意的正整数n 都成立； (3)在(1)的条件下，求2015a .19．（16分）已知命题P ：方程210x mx ++=有两个不等的正实数根，命题Q ：方程244210()x m x +++=无实数根．若命题“P 或Q ”是真命题，求实数m 的取值范围．20．（16分）定义在R 上的函数()f x 满足：对任意实数m 、n ，总有)()()(n f m f n m f ⋅=+，且当x>0时，0<()f x <1。
江苏省盐城市时杨中学2016-2017学年高二下学期期中数学试卷
2016-2017学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）1．不等式（x﹣1）（x﹣2）≤0的解集是．2．设z=3+4i，则复数z的模为．3．某校共有师生1600人，其中教师有1000人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为80的样本，则抽取学生的人数为．4．若曲线y=2x﹣x3在点P处的切线的斜率是﹣1，则P的横坐标为．5．函数y=1+lnx的导函数y′=．6．条件“x=1”是条件“x2﹣1=0”的条件．7．抛物线顶点在原点，焦点在y轴上且过点P（4，1），则抛物线的标准方程为．8．如图是一个算法流程图，则输出的a的值是．9．若实数x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+y的最小值为．10．已知a＞1，且b＞1，若a+b=6，则（a﹣1）（b﹣1）的最大值是．11．椭圆上的一点M到左焦点的距离为3，那么点M到右准线的距离为．12．双曲线﹣=1的两条渐近线互相垂直，那么它的离心率为．13．函数f（x）=，x∈﹣2，2﹣1，11，21，21，2﹣2，+∞）的单调减调区间是﹣2，+∞）上恒成立，∴f（x）在﹣2，+∞）．14．若不等式≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x，y恒成立，则实数c的最大值为．【考点】3R：函数恒成立问题．【分析】把≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，转化为4c ≤=，换元后利用导数求函数的最小值，可得4c的最大值，可得c的最大值．【解答】解：∵≤2cx（y﹣x）对任意满足x＞y＞0的实数x、y恒成立，∴4c≤=，令=t＞1，∴4c≤，令f（t）=，则f′（t）==，当t＞2+时，f′（t）＞0，函数f（t）单调递增；当1＜t＜2+时，f′（t）＜0，函数f（t）单调递减．∴当t=2+时，f（t）取得最小值，f（2+）=2﹣4．∴实数4c的最大值为2﹣4，则c的最大值为，故答案为：．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不等的负根，命题q：4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根，P且q为真命题，求实数m的取值范围．【考点】2E：复合命题的真假．【分析】若命题p为真，由一元二次方程的判别式和韦达定理，联列不等式组并解之得m＞2；若命题q为真，则方程4x2+4（m﹣2）x+1=0的根的判别式小于0，解之得1＜m ＜3．命题p且q为真，说明命题p和q都是真命题，取交集即得实数m的取值范围．【解答】解：由题意，得p：，解之得m＞2，q：△=16（m﹣2）2﹣16=16（m2﹣4m+3）＜0，解之得1＜m＜3…∵p且q为真，∴p，q同时为真，则，解之得2＜m＜3，…∴实数m的取值范围是2＜m＜3．…．16．已知函数f（x）=3x3﹣9x+5．（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）求函数f（x）在上的最大值和最小值．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（I）求出函数f（x）的导函数，令导函数大于0求出x的范围，写成区间即为函数f（x）的单调递增区间．（II）列出当x变化时，f′（x），f（x）变化状态表，求出函数在上的极值及两个端点的函数值，选出最大值和最小值．【解答】解：（I）f′（x）=9x2﹣9．令9x2﹣9＞0，解此不等式，得x＜﹣1或x＞1．因此，函数f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1）和（1，+∞）．（（II）令9x2﹣9=0，得x=1或x=﹣1．当x变化时，f′（x），f（x）变化状态如下表：x﹣2（﹣2，﹣1）﹣1（﹣1，1）1（1，2）2f′（x）+0﹣0+f（x）﹣1↑11↓﹣1↑11从表中可以看出，当x=﹣2或x=1时，函数f（x）取得最小值﹣1．当x=﹣1或x=2时，函数f（x）取得最大值11．17．（文科做）设全集是实数集R，A={x|x2+x﹣6≤0}，B={x|x2+a＜0}．（1）当a=﹣4时，求A∩B和A∪B；（2）若A∩B=B，求a的取值范围．【考点】1H：交、并、补集的混合运算．【分析】（1）解不等式求出集合A、B，根据交集与并集的定义写出A∩B、A∪B；（2）根据A∩B=B得B⊆A，讨论a的取值，求出满足条件的a的取值范围．【解答】解：（1）A={x|x2+x﹣6≤0}={x|﹣3≤x≤2}，当a=﹣4时，B={x|x2+a＜0}={x|﹣2＜x＜2}；∴A∩B={x|﹣2＜x＜2}A∪B={x|﹣3≤x≤2}；（2）若A∩B=B，则B⊆A；由题意，x2＜﹣a；当a≥0时，B=∅，满足题意；当a＜0时，﹣a＞0，解得﹣＜x ＜，则，解得﹣4≤a＜0；综上，a的取值范围是（k+1）+1﹣1，1﹣1，1﹣1，1﹣1，00，1﹣1，1∪hslx3y3h e，+∞）．2017年6月28日。
江苏省盐城市时杨中学、建湖二中高二数学上学期期中联
2014-2015学年江苏省盐城市时杨中学、建湖二中联考高二（上）期中数学试卷一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是，它是命题（填“真”或“假”）．2．不等式≥0的解集．3．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的条件．4．双曲线﹣=1渐近线方程为．5．点A（3，1）和B（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是．6．若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是．7．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为．8．已知F1、F2是椭圆+=1的左右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率是．9．在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．10．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为．11．若关于x的方程9x﹣（4+a）•3x+4=0有解，则实数a的取值范围是．12．命题“∃x∈，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为．13．设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（﹣2）的取值范围用区间表示为．14．若x，y∈R+且2x+8y﹣xy=0，则x+y的最小值为．二、解答题（共6小题，满分90分）15．若双曲线的一条渐近线方程是y=﹣x，且过点（2，3），求双曲线的标准方程．16．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．17．已知实数x，y满足．（1）若z=2x+y，求z的最小值；（2）若z=，求z的最大值．18．已知命题p：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：x2﹣2x﹣a＞0在x∈上恒成立．如果p或q为真，p且q为假，试求a的取值范围．19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D 点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值．2014-2015学年江苏省盐城市时杨中学、建湖二中联考高二（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分．）1．命题“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是若a≠0且b≠0，则ab≠0 ，它是真命题命题（填“真”或“假”）．考点：四种命题的真假关系．专题：规律型．分析：将原命题的条件、结论否定，并交换可得：“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题，根据命题的等价性，可知逆否命题为真．解答：解：将原命题的条件、结论否定，并交换可得：“若ab=0，则a=0或b=0”的逆否命题是若a≠0且b≠0，则ab≠0∵原命题若ab=0，则a=0或b=0”为真命题∴根据命题的等价性，可知逆否命题为真故答案为：若a≠0且b≠0，则ab≠0，真命题点评：本题的考点是四种命题的真假关系，考查原命题的逆否命题，考查命题的真假判断，属于基础题．2．（5分）（2014秋•建湖县校级期中）不等式≥0的解集（，1] ．考点：其他不等式的解法．专题：不等式的解法及应用．分析：依题意可得①或②，分别解之，取并即可．解答：解：∵≥0，∴①或②解①得：x∈∅；解②得：＜x≤1，∴不等式≥0的解集为（，1]．故答案为：（，1]．点评：本题考查分式不等式的解法，转化为一次不等式组是关键，属于中档题．3．已知条件p：x≤1，条件q：，则￢p是q的充分不必要条件．考点：充要条件．专题：阅读型．分析：先求出条件q满足的条件，然后求出¬p，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题¬p的关系．解答：解：条件q：，即x＜0或x＞1￢p：x＞1∴￢p⇒q为真且q⇒￢p为假命题，即¬p是q的充分不必要条件故答案为：充分不必要点评：判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．4．双曲线﹣=1渐近线方程为y=±x ．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得﹣=1的渐近线方程为﹣=0，化简可得y=±x．故答案为：y=±x．点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的简单性质，解题的关键是正确运用双曲线的标准方程．5．点A（3，1）和B（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧，则a的取值范围是（﹣7，24）．考点：二元一次不等式的几何意义．专题：计算题．分析：由题意A（3，1）和B（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧可得不等式（7+a）（﹣24+a）＜0，解出此不等式的解集即可得到所求的答案解答：解：由题意点A（3，1）和B（﹣4，6）在直线3x﹣2y+a=0的两侧∴（3×3﹣2×1+a）（3×（﹣4）﹣2×6+a）＜0即（7+a）（﹣24+a）＜0解得﹣7＜a＜24故答案为（﹣7，24）点评：本题考点二元一次不等式的几何意义，考查了二元一次不等式与区域的关系，解题的关键是理解二元一次不等式与区域的关系，利用此关系得到参数所满足的不等式，解出取值范围，本题属于基本题6．若椭圆两焦点为F1（﹣4，0），F2（4，0）点P在椭圆上，且△PF1F2的面积的最大值为12，则此椭圆的方程是．考点：椭圆的标准方程；椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先设P点坐标为（x，y），表示出△PF1F2的面积，要使三角形面积最大，只需|y|取最大，因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，故可求．解答：解：设P点坐标为（x，y），则，显然当|y|取最大时，三角形面积最大．因为P点在椭圆上，所以当P在y轴上，此时|y|最大，所以P点的坐标为（0，±3），所以b=3．∵a2=b2+c2，所以a=5∴椭圆方程为．故答案为点评：本题的考点是椭圆的标准方程，主要考查待定系数法求椭圆的方程，关键是利用△PF1F2的面积取最大值时，只需|y|取最大7．双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，则该双曲线的方程为．考点：双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设双曲线的标准方程为，（a＞0， b＞0），由已知得，由此能求出双曲线的方程．解答：解：∵双曲线的离心率为，且与椭圆=1有公共焦点，∴双曲线的焦点坐标为，，设双曲线的标准方程为，（a＞0，b＞0），∴，解得a=2，c=，b=1，∴该双曲线的方程为．故答案为：．点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时发认真审题，注意双曲线性质的合理运用．8．已知F1、F2是椭圆+=1的左右焦点，弦AB过F1，若△ABF2的周长为8，则椭圆的离心率是．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据a2=k+2，b2=k+1求得c的表达式．再根据椭圆定义知道|AF1|+|AF2|关于k的表达式，再根据三角形ABF2的周长求得k，进而可求得a，最后根据e=求得椭圆的离心率．解答：解：由题意知a2=k+2，b2=k+1c2=k+2﹣（k+1）=1所以c=1根据椭圆定义知道：lAF1l+lAF2l=lBF1l+lBF2l=2而三角形ABF2的周长=lABl+lAF2l+lBF2l=lAF1l+lAF2l+lBF1l+lBF2l=4=8得出k+2=4得K=2∴a==2，e==故答案为：点评：本题主要考查了椭圆性质．要利用好椭圆的第一和第二定义．9．在△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为．考点：双曲线的标准方程；双曲线的简单性质．专题：计算题．分析：先求出边AC的长，在利用双曲线的定义，求出离心率．解答：解：由题意知，AB=2c，又△ABC中，BC=AB，∠ABC=120°，∴AC=2c，∵双曲线以A，B为焦点且过点C，由双曲线的定义知，AC﹣BC=2a，即：2c﹣2c=2a，∴=，即：双曲线的离心率为．故答案为．点评：本题考查双曲线的定义及性质．10．已知p：﹣2≤x≤11，q：1﹣3m≤x≤3+m（m＞0），若¬p是¬q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为，使x2﹣2x+m≤0”是假命题，则实数m的取值范围为（1，+∞）．．考点：特称命题．专题：简易逻辑．分析：写出命题的否命题，据已知命题为假命题，得到否命题为真命题；分离出m；通过导函数求出不等式右边对应函数的在范围，求出m的范围．解答：解：∵命题“∃x∈时，满足不等式x2﹣2x+m≤0是假命题，∴命题“∀x∈时，满足不等式x2﹣2x+m＞0”是真命题，∴m＞﹣x2+2x在上恒成立，令f（x）=﹣x2+2x，x∈，∴f（x）max=f（1）=1，∴m＞1．故答案为：（1，+∞）．点评：本题考查了命题的真假判断与应用、二次函数恒成立问题．解答关键是将问题等价转化为否命题为真命题即不等式恒成立，进一步将不等式恒成立转化为函数的最值．13．设f（x）=ax2+bx，且1≤f（﹣1）≤2，2≤f（1）≤4，则f（﹣2）的取值范围用区间表示为．考点：二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：由条件，可得f（﹣2）=4a﹣2b=2﹣，由此可得结论．解答：解：由f （x）=ax2+bx得f（﹣1）=a﹣b ①；f（1）=a+b ②由①+②得2a=，由②﹣①得2b=从而f（﹣2）=4a﹣2b=2﹣=3f（﹣1）+f（1）∵1≤f（一1）≤2，3≤f（1）≤4∴3×1+3≤3f（﹣1）+f（1）≤3×2+4∴6≤3f（﹣1）+f（1）≤10∴f （﹣2）的取值范围是：6≤f （﹣2）≤10，即f（﹣2）的取值范围是故答案为：．点评：本题考查取值范围的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14．若x，y∈R+且2x+8y﹣xy=0，则x+y的最小值为18 ．考点：基本不等式．专题：计算题；转化思想．分析：等式2x+8y﹣xy=0变形为+=1，则x+y=（x+y）（+），根据基本不等式即可得到答案．解答：解：由题意2x+8y=xy即：+=1．∵x，y∈R+，利用基本不等式：则x+y=（x+y）（+）=+10≥8+10=18．当且仅当，即x=2y，∵+=1，∴x=12，y=6时等号成立，此时x+y的最小值为18．故答案为18．点评：本题以等式为载体，主要考查基本不等式的应用问题，题中将等式变形，从而利用1的代换是解题的关键，有一定的技巧性，属于基础题目．二、解答题（共6小题，满分90分）15．若双曲线的一条渐近线方程是y=﹣x，且过点（2，3），求双曲线的标准方程．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=﹣x，可设双曲线方程为9x2﹣16y2=λ（λ≠0），又由双曲线过点P（2，3），将点P的坐标代入可得λ的值，进而可得答案．解答：解：根据题意，双曲线的一条渐近线方程为y=﹣x，设双曲线方程为9x2﹣16y2=λ（λ≠0），∵双曲线过点P（2，3），∴36﹣144=λ，即λ=﹣108．∴所求双曲线方程为．点评：本题考查双曲线的标准方程的求法，需要学生熟练掌握已知渐近线方程时，如何设出双曲线的标准方程．16．解关于x的不等式ax2﹣（a+1）x+1＜0．考点：一元二次不等式的解法．专题：计算题；分类讨论．分析：当a=0时，得到一个一元一次不等式，求出不等式的解集即为原不等式的解集；当a ≠0时，把原不等式的左边分解因式，然后分4种情况考虑：a小于0，a大于0小于1，a大于1和a等于1时，分别利用求不等式解集的方法求出原不等式的解集即可．解答：解：当a=0时，不等式的解为x＞1；当a≠0时，分解因式a（x﹣）（x﹣1）＜0当a＜0时，原不等式等价于（x﹣）（x﹣1）＞0，不等式的解为x＞1或x＜；当0＜a＜1时，1＜，不等式的解为1＜x＜；当a＞1时，＜1，不等式的解为＜x＜1；当a=1时，不等式的解为∅．点评：此题考查了一元二次不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道综合题．17．已知实数x，y满足．（1）若z=2x+y，求z的最小值；（2）若z=，求z的最大值．考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：（1）作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，进行平移即可得到结论．（2）根据z的几何意义即可得到结论．解答：解：（1）作出不等式组对应的平面区域如图：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小，由，解得，即A（1，2），此时z=2+2=4．（2）z的几何意义为区域内的点与原点连线的斜率，由图象可得OA的斜率最大，此时z=．点评：本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．18．已知命题p：函数y=lg（ax2﹣x+a）的定义域为R，命题q：x2﹣2x﹣a＞0在x∈上恒成立．如果p或q为真，p且q为假，试求a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题；简易逻辑．分析：首先推出命题p、q为真时a的取值范围，由果p或q为真，p且q为假知p、q一真一假，从而得到．解答：解：若命题p为真，则，解得，a，若命题q为真，则9﹣6﹣a＞0，则a＜3；由题意可得，p、q一真一假，若p真q假，则a≥3，若p假q真，则a，则a≥3或a．点评：本题考查了复合命题的真假性的应用，属于基础题．19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=3米，AD=2米．（Ⅰ）要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？（Ⅱ）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；函数模型的选择与应用．专题：综合题．分析：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米，表示出矩形的面积，利用矩形AMPN的面积大于32平方米，即可求得DN的取值范围．（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．解答：解：（Ⅰ）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+2）米∵，∴∴由S AMPN＞32得又x＞0得3x2﹣20x+12＞0解得：0＜x＜或x＞6即DN的长取值范围是（Ⅱ）矩形花坛的面积为当且仅当3x=，即x=2时，矩形花坛的面积最小为24平方米．点评：本题考查根据题设关系列出函数关系式，并求出处变量的取值范围；考查利用基本不等式求最值，解题的关键是确定矩形的面积．20．已知椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为A．（1）求椭圆的方程；（2）设垂直于y轴的直线l交椭圆于B，C两点，试求△ABC面积的最大值．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）根据椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，建立方程，求出几何量，从而可得椭圆C的方程；（2）设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，利用基本不等式可求△ABC 面积的最大值解答：解：（1）∵椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，且过点，∴=，，∴a=1，b=c=，所以椭圆C的方程为x2+2y2=1；（2）设B（m，n），C（﹣m，n），则S△ABC=×2|m|×|n|=|m|•|n|，又1=m2+2n2≥2|m|•|n|，所以|m|•|n|≤，当且仅当|m|=|n|时取等号…8分从而S△ABC≤，即△ABC面积的最大值为．点评：本题考查椭圆的性质与方程，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2015-2016学年江苏省盐城市时杨中学高二（下）期中数学试卷
（文科）
一、填空题：（70分）
1．(★★★★)命题p“∀x∈R，sinx≤1”的否定是∂x∈R，sinx＞1 ．
2．(★★★★)若复数（1+bi）•（2-i）是纯虚数（i是虚数单位，b是实数），则b= -
2 ．
3．(★★★★★)已知集合A={-3，-1，1，2}，集合B=0，+∞），则A∩B= {1，2} ． 4．(★★★)数列1，4，7，10，…，的第8项等于 22 ．
5．(★★★★)i+i 2+i 3+i 4= 0 ．
6．(★★★★)已知函数f（x）=2x-1，则f（x-1）= 2x-3 ．
7．(★★★★)若将复数表示为a+bi（a，b∈R，i是虚数单位）的形式，则a+b=
1 ．
8．(★★★)用反证法证明命题：“三角形三个内角至少有一个不大于60o”时，应假设三个内角都大于60o ．
9．(★★★★)若函数则的值等于 2 ．
10．(★★★)已知条件p：a≥3，条件q：a（a-3）≥0，则p是q 充分不必要条件．
11．(★★★★)已知函数f（x）=x 2+2（a-1）x+2在区间（-∞，6上递减，则a的取值范围是（-∞，-5 ．
12．(★★★)现有一个关于平面图形的命题：如图，同一个平面内有
两个边长都是a的正方形，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方形重叠部分的面积恒为．类比到空间，有两个棱长均为a的正方体，其中一个的某顶点在另一个的中心，则这两个正方体重叠部分的体积恒为．
13．(★★★)已知偶函数f（x）在0，+∞）上是增函数，则不等式的解集是 {x| } ．
14．(★★★★)一同学在电脑中打出如下若干个圈：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前160个圈中的●的个数是 16 ．
二、解答题（90分）
15．(★★★★)把复数z的共轭复数记作，i为虚数单位，若z=1+i．
（1）求复数（1+z）•；
（2）求（1+ ）•z 2的模．
16．(★★★)若集合A={x|x 2-2x-8＜0}，B={x|x-m＜0}．
（Ⅰ）若m=3，全集U=R，试求A∩（∁U B）；
（Ⅱ）若A∩B=∅，求m的取值范围．
17．(★★★)已知x，y∈R +，且x+y＞2，求证：与中至少有一个小于2．
18．(★★★)设命题p：实数x满足x 2-4ax+3a 2＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足x 2+2x-8＞0
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若￢q是￢p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．(★★★)已知数列{a n}满足条件a n+1= ．
（1）若a 1= ，求a 2，a 3，a 4的值．
（2）已知对任意的n∈N +，都有a n≠1，求证：a n+3=a n对任意的正整数n都成立；
（3）在（1）的条件下，求a 2015．
20．(★★★)已知函数f（x）=-x 2+（a+4）x+2+b，log 2f（1）=3，且g（x）=f（x）-2x 为偶函数．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）若函数f（x）在区间m，+∞）的最大值为1-3m，求m的值．。