南京邮电大学电路分析基础 第5章2

t R1C ( R1 R2 ) C
U S (1 e ) iC ( t ) e R1 R2
t R1C
例20 原电路已稳定。求t0的iC(t)和 uC(t)。 1 0.1H iL 6 +
10V
-
t=0+ 2V -
2 0.5F
+ uC -
3
解：求初始状态 uC (0 ) 3 V iL (0 ) 1A
4，将初始值、终值及时间常数代 入三要素公式，得到响应表达式：
uC (t ) 7 (8 7)e
i (t ) 1.5 (1 1.5)e
10t
7e
10t
V
10t
(t 0)
A (t 0)
10t
1.5 0.5e
下面看响应过程——波形
1.5 1 8 7 0
2，计算稳态值u()、i() t ，电路 + u ( ) 重新达到稳定， 2A 4 4 电容开路，终 i( ) + 2i ( ) 值图如右，得：
u() 0 i ( ) 2A
3，计算时间常数 电容相连接的电阻网络如 4 Req i + 2i 右图，用加压求流法得：
Req 10 时间常数为 Req C 0.1s
所以
iL (t ) 8 7e
10t
V t 0
2 7 0.5 t uC (t ) e V t 0 3 3
5－8 阶跃信号和阶跃响应
5－8-1 阶跃信号
定义：
0 t 0 (t ) 1 t 0
(t)
1 0 t
延迟单位阶跃信号：
0 t t 0 (t t0 ) 1 t t 0

由于开关转换时，电容电流有界，电容 电压不能跃变，故 uC (0 ) uC (0 ) 8V
2
画0+图如右 2A
4

+
8V 4
i(0+) +
10V
-
-
10 uC (0 ) 10 8 i (0 ) 1A 2 2

2，计算稳态值uC()、i()
换路后，经一 2A + 段时间，重新 10V 4 uC () 达到稳定，电 4 容开路，终值 图如右，运用 叠加定理得 4 // 4 uC () (4 // 4 // 2) 2 10 2 5 7V 2 4 // 4
uC(t) uC(t) U0 U <U U0 U <U S S 0 0 US US uCp(t) uCzS(t) U0 -US u (t) u (t)
Ch Czi
t uC(t)=uCh(t)+uCp(t)
t uC(t)=uCzi(t)+uCzs(t)
5-6
R
一阶电路的三要素法
+ uC iL
duC (t ) uC (t ) uS (t 0) RC dt u ( 0 ) U 0 C
duC RC uC U S dt
(t 0)
其解为
uC (t ) uCh (t ) uCp (t ) Ae

t RC
US
代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0，可得
uC (0 ) U 0 A U S

求得
A U 0 US
t RC
则：uC (t ) uCh (t ) uCp (t ) (U 0 U S )e
换路后，电路可分成两部分 1 0.1H iL 6
+
10V
+
2V
+
2V
2 0.5F
-
-
-
+ uC -
3
iL (0 ) iL (0 ) 1A uC (0 ) uC (0 ) 3V
i L ( ) 8 A
uC () 2 / 3 V
L L / R 0.1 s C RC 2 s
r(0+) r()
t t 可见，直流激励下一阶电路中任一响应 总是从初始值 r(0+) 开始，按照指数 规律增长或衰减到稳态值r()，响应的 快慢取决于的时间常数 。
注意：（1） 直流激励； （2）一阶 电路任一支路的电压或电流的（全）响 应； （3）适合于求零输入响应和零 状态响应。 直流激励下一阶电路的全响应取决于 r(0+)，r()和 这三个要素。只要分 别计算出这三个要素，就能够确定全响 应，而不必建立和求解微分方程。这种 方法称为三要素法。
例16 电路原处于稳定状态。求t0的 uC(t)和i(t)，并画波形图。 2 i t=0 2A + +
4 0.1F uC 4 10V
-
-
解：1，计算初始值uC(0+)、i(0+) 开关闭合前，电路已稳定，电容相当于 开路，电流源电流全部流入4电阻中，
uC (0 ) 4 2 8V
uC () U S
-
1 R1C
R1
+
Us C
iC(t)
US iC ( t ) e R1

US i C (0 ) R1

i C ( ) 0
1 t R1C
-
A 0 t R1C
uC (t ) U S (1 e


1 t R1C
) 0 t R1C
1
uC ( R1C ) U S (1 e )
5-5 一阶电路的全响应
全响应：由储能元件的初始储能和 独立电源共同引起的响应。 下面讨论RC串联电路在直流电压源作 用下的全响应。已知：uC(0-)=U0。 t=0时开关闭合。
i+ t=0 C uC(0-)=U0 为了求得电容电压的全响应，以 uC(t)为变量，列出电路的微分方程 + Us -
R
t
C RC 1s
RL部分： 1A
2

t=0
0.5F
+ 1A 1
1H
uL

1H
+ uC +
uL
+
2
u(t)
2
-
_
iL (0 ) iL (0 ) 2A 所以 2 t uL (0 ) 2 V uL (t ) 2e V t 0 uL () 0 u(t ) uC (t ) uL (t ) L L / R 0. 5 s t 2t 2 e 2e V t 0
2，稳态值r()的计算(画终了图) 根据t>0电路达到新的稳态，将电容用开 路或电感用短路代替，得一个直流电阻 电路，再从稳态图求稳态值r()。 3，时间常数 的计算(开关已动作) 先计算与电容或电感连接的电阻单口网 络的输出电阻Ro，然后用公式 =RoC 或 =L/Ro计算出时间常数。 4，将r(0+),r()和 代入三要素公式 得到响应的一般表达式。
t


r ( t ) rp ( t ) [r (0 ) r p (0 )]e , t 0


一阶电路任意激励下uC(t)和iL(t) 响应的公式
推广应用于任意激励下任一响应
在直流输入的情况下，t时， rh(t)0， rp(t)为常数，则有 rp ( t ) r ( ) r p (0 1 uab (0 )( ) 2 4 4 4 4 i ( 0 ) u ( 0 ) ab
i(0+) + 2i (0+) -
b
uab (0 ) 3.2V

解得：
则：
i (0 ) 0.8A

u(0 ) 4.8 V
r(0+)表示电容电压的初始值uC(0+)或电 感电流的初始值iL(0+)； =RC 或 =GL=L/R；w(t)表示电压源的电压 uS或电流源的电流is。其通解为
r ( t ) rh ( t ) rp ( t ) Ae r p ( t )

t
t=0+代入，得：
因而得到
A r (0 ) r p (0 )
+ uS -
C
iS
G
L
di L ( t ) i L ( t ) iS ( t 0 ) GL dt i (0 ) I 0 L
若用r(t)来表示电容电压uC(t)和电感 电流iL(t)，上述两个电路的微分方程 可表为统一形式
dr ( t ) r (t ) w(t ) dt r (0 ) ( t 0)
U S (1 e ) iC ( t ) e R1 R2
1 t R1C ( R1 R2 ) C
t R1C
US iC ( t ) e R1

1 t R1C
A 0 t R1C
iC US/R1
U S (1 e ) R1 R2
1
1 1
1
2 t
10 uC ( ) 10 7 i ( ) 1.5A 2 2
2
i() +
3，计算时间常数 计算与电容相连接的电阻单口网络的 输出电阻，它是三个电阻的并联 2 i(t) 2A + +
4 uC 4
10V
-
-
Ro 4 // 4 // 2 1
时间常数为 τ RoC 1 0.1 0.1s
t=R1C 时 ， 第 二 + iC(R1C+) 次换路, 由换路 R US(1-e-1) 2 定则得： 1
R1
uC ( R1C ) uC ( R1C ) U S (1 e ) 1 1 + 得t=R1C iC ( R1C ) U S (1 e ) R1 R2 图如上： iC ( ) 0 2 ( R1 R2 )C