七年级数学下册 培优新帮手 专题07 整式的加减试题 (新版)新人教版
【精品资料】2019七年级数学下册 培优新帮手 专题03 从算术到代数试题 (新版)新人教版
03 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：_______________________________(山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（ ）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a ＋1开始，这100个连续自然数的和为（a ＋1）＋(a ＋2)＋ …＋(a ＋100)＝100a ＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A ＝221212++´222323++´223434+´＋…＋221003100410031004+´＋221004100510041005+´，求A 的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A 中第n 项22(1)(1)n n n n ++?的特征入手.【例4】现有a 根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m 个正方形，按如图②摆放时可摆成2n 个正方形.(1)用含n 的代数式表示m ；(2)当这a 根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a 的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m 个正方形、图②中有2n 个正方形，可设图③中有3p 个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m ，n ，p 的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯.（江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：1 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*）（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝22001时，求m的值和这m个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n （n ≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s ，按此规律推断s 与n 之间的关系是______________.n ＝2 n ＝3 n ＝4 s ＝4 s ＝8 s ＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a ，b ）和（c ，d ）， 当且仅当a ＝c 且b ＝d 时，（a ，b ）＝（c ，d ）．定义运算“⊗”：（a ，b ）⊗（c ，d ）＝（ac －bd ，ad ＋bc ）．若（1，2）⊗（p ，q ）＝（5，0），则p ＋q ＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n 个图形中需要黑色瓷砖______块（含n 代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a 是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（ ） A.1000a ＋1 B. 100a ＋1 C. 10a ＋1 D. a ＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a ＋b ，a 2—b 3，a 3＋b 5，a 4—b 7，…，其中第十个式子是（ ） A. a 10＋b 19B. a 10-b 19C. a 10-b 17D. a 10-b 21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A.3a b c ++ B. 3a b c+- C. a ＋b －c D. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）； （2）试求出用b 表示a 的关系式； （3）若1名质检员1天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （广东省广州市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25； 252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________.3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24aa ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________.(“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B地的小时数是（）6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m元，零售价比高a%，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b%出售，那么调价后的零售价是（）A．m（1＋a%）（1－b%）元B．m a%（1－b%）元C．m（1＋a%）b%元D．m（1＋a%b%）元（山东省竞赛试题）7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（）A．22ca bB．2cabC．2abcD．22a bc(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（天津市竞赛试题）专题03 从算术到代数例1 2(2)1(1)n n n ++=+ 例2 A例3 原式=1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005+-++-++-+++-++-=121004(1)1005⨯+-故其整数部分为2008 例4 设图③中含有3p 个正方形. (1) 由3152m n +=+,得513n m +=(2) 由315273,a m n p =+=+=+得325177m n p --==,因,,m n p 均是正整数, 所以当17,10m n ==时,7,p =此时317152a =⨯+=例5解法1:1n = 时,29919811910010⨯+=+==; 2n =时, 49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==,猜想:2999999199910n n n n ⨯+=个个个个, 计算过程类似于2n =29999991999(101)9991999999000999199910n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=个个个个个个个个个解法2: 1n =时,2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =时, 49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=猜想: 原式210n =验证如下:9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++个个个个个个个个个个299910101010n n n n n =⨯=⨯=个反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设999n a =个,得另一种解法解法3: 原式22222(1)a 21(1)(10)10n n a a a a a =+++=++=+==例6 (1)(※) 可分组为112123123412345(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,121321432154321可知各组数的个数依次为1,2,3,.按其规律22001应在第2002组1232002(,,,,)2002200120001中, 该组前面共有1234200120+++++=个数. 故当2()2001F m =时,200300122003003m =+=. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为121200220012003001⨯=(2) 依题意,c 为每组倒数第2个数,d 为每组最后一个数, 设它们在第n组,别1,,21n nc d -==(1)20010002n n -∴=.即(1)400200020012000n n -==⨯,2001,n ∴=得20011200022c -==,20011d = A 级1. 100 提示:21010a ab b+=⨯ 中, 根据规律可得210,10199,a b ==-=故1099109a b +=+= 2. 4(1)(2)s n n =-≥3.1- 提示: 根据题中定义的运算可列代数式25,20p q q p -=+=,可得1,2,p q ==-故1p q +=-4. 10 31n +5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 31n + (2) 不能, 33不符合31n + 10. (1) 2a b +或2(5)3a b +或32b +(2) 由2(2)2(5)23a b a b ++=,得4a b = (3)2(2)47.5825a b b +÷=≈ B 级1. (1) 1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++11 (2) 100(1)25n n ⨯++ (3) 39800252. (1) 2085(2) 22100 提示: 原式2224(1225)=⨯+++ 3.20114026 提示: 由1234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯可得, 原式111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-= 4. 595 提示: 设17个连续整数为,1,,16,m m m ++且(1)(16)306m m m +++++=,它后面紧接的17 个连续自然数应为17,18,19,,33m m m m ++++,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为c ab 块,c 名同学按此速度每小时所搬砖头为2c ab块. 8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝13n ，b ＝15m ，故m －15m ＝n －13n ，56m n =． 9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝()211212312⨯+=①．假设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中没一个数都小于33，则有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＜231．与①矛盾，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．10．设四个不同整数为a 1，a 2，a 3，a 4（a 1＞a 2＞a 3＞a 4），则（a 1－a 2）＋（a 1－a 3）＋（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＋（a 2－a 4）＋（a 3－a 4）＝18，即3（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＝18．又因3（a 1－a 4），18均为3的倍数，故a 2－a 3也是3的倍数，a 2－a 3＜a 1－a 4，则a 2－a 3＝3，a 1－a 4＝5，a 1－a 2＝1，a 3－a 4＝1，又a 1a 2a 3a 4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a 1＝15，a 2＝14，a 3＝11，a 4＝10．。
七年级数学下册 培优新帮手 专题03 从算术到代数试题 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中七年级
03 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.字母表示数有如下特点：即字母可以表示任意的数.即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：_______________________________(某某某某地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（某某省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212222323223434＋…＋221003100410031004＋221004100510041005，求A的整数部分.（市竞赛试题）解题思路：从分析A中第n项22(1)(1)n nn n的特征入手.【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形.(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值.（某某省竞赛试题）解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式.【例5】 化简个个个n n n 9199999999+⨯. （某某省竞赛试题）解题思路：先考察n ＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：11，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*） （1）在（*）中，从左起第m 个数记为F (m )＝22001时，求m 的值和这m 个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c ，它后面的一个数记为d ，是否存在这样的两个数c 和d ，使cd ＝2001000，如果存在，求出c 和d ；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A 级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋a b ＝102×a b （a ，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(某某省某某市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(某某省某某市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q ＝________．(某某省某某市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（某某省中考试题）-=a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C.10a＋1D.a＋1(某某市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C.a10-b17D.a10-b21(某某省眉山市竞赛试题)x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A.3a b c B. 3a b cC. a ＋b －cD. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（某某省某某市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a （a ＞0）个成品，且每个每天都生产b （b ＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a 、b 的代数式表示）； （2）试求出用b 表示a 的关系式； （3）若1名质检员1天能检验54b 个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？ （某某省某某市中考试题）B 级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n ＋5）（n 为自然数），即求（10·n ＋5）2的值（n 为自然数），分析n ＝1，n ＝2，n ＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）. （1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25； 252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25； 352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（某某省某某市中考试题）2＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________；(2)22＋42＋…＋502＝__________________.n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________. (“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（某某市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B 地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）(1)s a b B ．(1)ss ba C ．(1)s s ab D ．(1)ssba6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元（某某省竞赛试题）a 名同学在b 小时内共搬运c 块砖，那么个以同样速度所需要的数是（ ）A ．22c a bB ．2c abC ．2ab cD ．22a b c(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（某某市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数， 再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.（某某市竞赛试题）专题03 从算术到代数例1 2(2)1(1)n n n ++=+ 例2 A例3 原式=1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005+-++-++-+++-++-=121004(1)1005⨯+-故其整数部分为2008 例4 设图③中含有3p 个正方形. (1)由3152m n +=+,得513n m +=(2) 由315273,a m n p =+=+=+得325177m n p --==,因,,m n p 均是正整数, 所以当17,10m n ==时,7,p =此时317152a =⨯+=例5解法1:1n =时,29919811910010⨯+=+==;2n =时, 49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==,猜想:2999999199910n n n n ⨯+=个个个个,计算过程类似于2n =29999991999(101)9991999999000999199910n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=个个个个个个个个个解法2: 1n =时,2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =时, 49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=猜想:原式210n = 验证如下:9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++个个个个个个个个个个299910101010n n n n n =⨯=⨯=个反思结论必为一个数的平方形式,不妨设999n a =个,得另一种解法解法3: 原式22222(1)a 21(1)(10)10n n a a a a a =+++=++=+==例6 (1)(※)可分组为112123123412345(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,121321432154321可知各组数的个数依次为1,2,3,.按其规律22001应在第2002组1232002(,,,,)2002200120001中,该组前面共有123420012003001+++++=个数.故当2()2001F m =时,200300122003003m =+=. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为121200220012003001⨯=(2) 依题意,c 为每组倒数第2个数,d 为每组最后一个数, 设它们在第n组,别1,,21n nc d -==(1)20010002n n -∴=.即(1)400200020012000n n -==⨯,2001,n ∴=得20011200022c -==,20011d = A 级1. 100 提示:21010a ab b+=⨯中,根据规律可得210,10199,a b ==-=故1099109a b +=+= 2. 4(1)(2)s n n =-≥3.1-提示: 根据题中定义的运算可列代数式25,20p q q p -=+=,可得1,2,p q ==- 故1p q +=-4. 10 31n +5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 31n + (2) 不能, 33不符合31n + 10. (1) 2a b +或2(5)3a b +或32b + (2) 由2(2)2(5)23a b a b ++=,得4a b = (3)2(2)47.5825a b b +÷=≈ B 级1. (1) 1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++(2) 100(1)25n n ⨯++ (3) 3980025 2. (1) 2085(2) 22100提示:原式2224(1225)=⨯+++3.20114026提示:由1234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯可得,原式111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯ 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-=4. 595 提示: 设17个连续整数为,1,,16,m m m ++且(1)(16)306m m m +++++=,它后面紧接的17 个连续自然数应为17,18,19,,33m m m m ++++,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为c ab块,c 名同学按此速度每小时所搬砖头为2c ab 块.8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝13n ，b ＝15m ，故m －15m ＝n －13n ，56m n =．9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝()211212312⨯+=①．假设a 1，a 2，a 3，worda4，a5，a6，a7中没一个数都小于33，则有a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＜231．与①矛盾，所以a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．10．设四个不同整数为a1，a2，a3，a4（a1＞a2＞a3＞a4），则（a1－a2）＋（a1－a3）＋（a1－a4）＋（a2－a3）＋（a2－a4）＋（a3－a4）＝18，即3（a1－a4）＋（a2－a3）＝18．又因3（a1－a4），18均为3的倍数，故a2－a3也是3的倍数，a2－a3＜a1－a4，则a2－a3＝3，a1－a4＝5，a1－a2＝1，a3－a4＝1，又a1a2a3a4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a1＝15，a2＝14，a3＝11，a4＝10．11 / 11。
初一数学整式的加减专题突破训练题(附答案)
初一数学整式的加减专题突破训练题（附答案）一．选择题（共17小题）1．把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在一个底面为长方形（长为mcm，宽为ncm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．4mcm B．4ncm C．2（m+n）cm D．4（m﹣n）cm 2．如图1，将一个边长为a的正方形纸片剪去两个小矩形，得到一个“”的图案，如图2所示，再将剪下的两个小矩形拼成一个新的矩形，如图3所示，则新矩形的周长可表示为（）A．2a﹣3b B．4a﹣8b C．2a﹣4b D．4a﹣10b3．如图，把六张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠的放在一个底面为长方形（长为7cm，宽为6cm）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示，则图②中两块阴影部分的周长和是（）A．16cm B．24cm C．28cm D．32cm4．计算6a2﹣5a+3与5a2+2a﹣1的差，结果正确的是（）A．a2﹣3a+4B．a2﹣3a+2C．a2﹣7a+2D．a2﹣7a+45．如图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高峰时刻，单位时间进出路口A，B，C的机动车辆数如图所示．图中x1，x2，x3分别表示该时段单位时间通过路段AB，BC，CA 的机动车辆数（假设单位时间内在上述路段中同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则有（）A．x1＞x2＞x3B．x1＞x3＞x2C．x2＞x3＞x1D．x3＞x2＞x16．如图，有四个大小相同的小长方形和两个大小相同的大长方形按如图位置摆放，按照图中所示尺寸，则小长方形的长与宽的差是（）A．3b﹣2a B．C．D．7．x2+ax﹣2y+7﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）的值与x的取值无关，则a+b的值为（）A．﹣1B．1C．﹣2D．28．一个多项式加上3y2﹣2y﹣5得到多项式5y3﹣4y﹣6，则原来的多项式为（）A．5y3+3y2+2y﹣1B．5y3﹣3y2﹣2y﹣6C．5y3+3y2﹣2y﹣1D．5y3﹣3y2﹣2y﹣19．若多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项，则m等于（）A．2B．﹣2C．4D．﹣410．某校组织若干师生到恩施大峡谷进行社会实践活动．若学校租用45座的客车x辆，则余下20人无座位；若租用60座的客车则可少租用2辆，且最后一辆还没坐满，则乘坐最后一辆60座客车的人数是（）A．200﹣60x B．140﹣15x C．200﹣15x D．140﹣60x11．完全相同的4个小矩形如图所示放置，形成了一个长、宽分别为m、n的大长方形，则图中阴影部分的周长是（）A．4m B．4n C．2m+n D．m+2n12．已知关于x的多项式（2mx2+5x2+3x+1）﹣（6x2+3x）化简后不含x2项，则m的值是（）A．0B．0.5C．3D．﹣2.513．如图，4张如图1的长为a，宽为b（a＞b）长方形纸片，按图2的方式放置，阴影部分的面积为S1，空白部分的面积为S2，若S2＝2S1，则a，b满足（）A．a＝B．a＝2b C．a＝b D．a＝3b14．七张如图1的长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在长方形ABCD内，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．a＝b B．a＝2b C．a＝3b D．a＝4b15．李老师用长为6a的铁丝做了一个长方形教具，其中一边长为b﹣a，则另一边的长为（）A．7a﹣b B．2a﹣b C．4a﹣b D．8a﹣2b16．如图1，将7张长为a，宽为b（a＞b）的小长方形纸片，按图2的方式不重叠地放在矩形ABCD内，未被覆盖的部分（两个矩形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差为S，当BC的长度变化时，按照同样的放置方式，S始终保持不变，则a，b满足（）A．a＝b B．a＝3b C．a＝2b D．a＝4b17．A和B都是三次多项式，则A+B一定是（）A．三次多项式B．次数不高于3的整式C．次数不高于3的多项式D．次数不低于3的整式二．填空题（共19小题）18．若关于a，b的多项式3（a2﹣2ab﹣b2）﹣（a2+mab+2b2）中不含有ab项，则m＝．19．若代数式﹣（3x3y m﹣1）+3（x n y+1）经过化简后的结果等于4，则m﹣n的值是．20．若m2+mn＝﹣3，n2﹣3mn＝18，则m2+4mn﹣n2的值为．21．已知a、b互为相反数，并且3a﹣2b＝5，则a2+b2＝．22．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示：则代数式|a+c|﹣2|a﹣b|+|b﹣c|化简后的结果为．23．嘉淇准备完成题目：化简：（4x2﹣6x+7）﹣（4x2﹣口x+2）发现系数“口”印刷不清楚，妈妈告诉她：“我看到该题标准答案的结果是常数”，则题目中“口”应是．24．若关于a，b的多项式（a2+2ab﹣b2）﹣（a2+mab+2b2）中不含ab项，则m＝．25．已知m2+2mn＝13，3mn+2n2＝21，则2m2+13mn+6n2﹣44的值为．26．如图所示，点A、点B、点C分别表示有理数a、b、c，O为原点，化简：|a﹣c|﹣|b﹣c|＝．27．化简：4（a﹣b）﹣（2a﹣3b）＝．28．某同学在做计算A+B时，误将“A+B”看成了“A﹣B”，求得的结果是9x2﹣2x+7，已知B＝x2+3x+2，则A+B的正确答案为．29．若x+y＝7，y+z＝8，z+x＝9，则x+y+z＝．30．对于有理数a、b，定义a*b＝3a+2b，化简x*（x﹣y）＝．31．去括号合并：（3a﹣b）﹣3（a+3b）＝．32．扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作：第一步分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两张，且各堆牌的张数相同；第二步从左边一堆拿出两张，放入中间一堆；第三步从右边一堆拿出一张，放入中间一堆；第四步左边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入左边一堆．这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的张数．你认为中间一堆牌的张数是．33．如图，将一个长方形ABCD分成4个长方形，其中②与③的大小形状都相同，已知大长方形ABCD的边BC＝5，则①与④两个小长方形的周长之和为．34．班主任老师的想法：七年级我班50名同学，想参加元旦长跑活动的同学就举手，当举手的人数和没有举手的人数之差是一个奇数时，全班就不参加；如果是偶数，全班就参加元旦长跑活动．请思考：老师的想法（填“参加”或“不参加”）．35．已知代数式x2+xy＝2，y2+xy＝5，则2x2+5xy+3y2＝．36．若a﹣b＝2，b﹣c＝﹣5，则a﹣c＝．三．解答题（共7小题）37．已知多项式A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，A﹣2B中不含有x2项和y项，求n m+mn的值．38．已知代数式A＝x2+xy﹣2y，B＝2x2﹣2xy+x﹣1（1）求2A﹣B；（2）若2A﹣B的值与x的取值无关，求y的值．39．已知A＝2x2+3xy﹣2x﹣1，B＝﹣x2+xy﹣1；（1）求3A+6B；（2）若3A+6B的值与x无关，求y的值．40．已知A＝3a2b﹣2ab2+abc，小明错将“2A﹣B”看成“2A+B”，算得结果C＝4a2b﹣3ab2+4abc．（1）计算B的表达式；（2）求正确的结果的表达式；（3）小强说（2）中的结果的大小与c的取值无关，对吗？若a＝，b＝，求（2）中代数式的值．41．整式化简：（1）x﹣5y+（﹣3x+6y）；（2）3a2b2+4（a2b2+ab2）﹣（4ab2+5a2b2）．42．整式的化简：（1）a﹣（2a﹣3b）+2（3b﹣2a）（2）3a2b﹣[4ab2﹣3（ab2+a2b）﹣ab2]﹣6a2b43．如图，已知a、b、c在数轴上的位置，求|b+c|﹣|a﹣b|﹣|c﹣b|的值．参考答案：一．选择题（共17小题）1．解：设小长方形卡片的长为a，宽为b，∴L上面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a），L下面的阴影＝2（m﹣2b+n﹣2b），∴L总的阴影＝L上面的阴影+L下面的阴影＝2（n﹣a+m﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4m+4n﹣4（a+2b），又∵a+2b＝m，∴4m+4n﹣4（a+2b），＝4n．故选：B．2．解：根据题意得：2[a﹣b+（a﹣3b）]＝4a﹣8b．故选：B．3．解：设小长方形的长为xcm，宽为ycm（x＞y），则根据题意得：3y+x＝7，阴影部分周长和为：2（6﹣3y+6﹣x）+2×7＝12+2（﹣3y﹣x）+12+14＝38+2×（﹣7）＝24（cm）故选：B．4．解：（6a2﹣5a+3 ）﹣（5a2+2a﹣1）＝6a2﹣5a+3﹣5a2﹣2a+1＝a2﹣7a+4．故选：D．5．解：依题意，有x1＝50+x3﹣55＝x3﹣5，推出x1＜x3，同理，x2＝30+x1﹣20＝x1+10，推出x1＜x2，同理，x3＝30+x2﹣35＝x2﹣5，推出x3＜x2．故选：C．6.解：设小长方形的长为x，宽为y，根据题意得：a+y﹣x＝b+x﹣y，即2x﹣2y＝a﹣b，整理得：x﹣y＝，则小长方形的长与宽的差是，故选：B．7．解：x2+ax﹣2y+7﹣（bx2﹣2x+9y﹣1）＝x2+ax﹣2y+7﹣bx2+2x﹣9y+1，＝（1﹣b）x2+（2+a）x﹣11y+8，∴1﹣b＝0，2+a＝0，解得b＝1，a＝﹣2，a+b＝﹣1．故选：A．8．解：（5y3﹣4y﹣6）﹣（3y2﹣2y﹣5）＝5y3﹣3y2﹣2y﹣1．故选D．9．解：∵多项式2x3﹣8x2+x﹣1与多项式3x3+2mx2﹣5x+3的差不含二次项，∴2x3﹣8x2+x﹣1﹣（3x3+2mx2﹣5x+3）＝﹣x3﹣（8+2m）x2+6x﹣4，∴8+2m＝0，解得：m＝﹣4．故选：D．10．解：∵学校租用45座的客车x辆，则余下20人无座位，∴师生的总人数为45x+20，又∵租用60座的客车则可少租用2辆，∴乘坐最后一辆60座客车的人数为：45x+20﹣60（x﹣3）＝45x+20﹣60x+180＝200﹣15x．故选：C．11．解：设小矩形的长为a，宽为b，可得a+2b＝m，可得左边阴影部分的长为2b，宽为n﹣a，右边阴影部分的长为m﹣2b，宽为n﹣2b，图中阴影部分的周长为2（2b+n﹣a）+2（m﹣2b+n﹣2b）＝4b+2n﹣2a+2m+2n﹣8b＝2m+4n﹣2a﹣4b＝2m+4n﹣2（a+2b）＝2m+4n﹣2m＝4n，12．解：原式＝2mx2+5x2+3x+1﹣6x2﹣3x＝（2m﹣6）x2+5x2+1＝（2m﹣1）x2+1令2m﹣1＝0，∴m＝，故选：B．13．解：由图形可知，，，∵S2＝2S1，∴a2+2b2＝2（2ab﹣b2），∴a2﹣4ab+4b2＝0，即（a﹣2b）2＝0，∴a＝2b，故选：B．14．解：左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b ﹣a）PC+12b2﹣3ab，则3b﹣a＝0，即a＝3b．故选：C．15．解：另一边长＝3a﹣（b﹣a）＝3a﹣b+a＝4a﹣b．16．解：如图，左上角阴影部分的长为AE，宽为AF＝3b，右下角阴影部分的长为PC，宽为a，∵AD＝BC，即AE+ED＝AE+a，BC＝BP+PC＝4b+PC，∴AE+a＝4b+PC，即AE﹣PC＝4b﹣a，∴阴影部分面积之差S＝AE•AF﹣PC•CG＝3bAE﹣aPC＝3b（PC+4b﹣a）﹣aPC＝（3b ﹣a）PC+12b2﹣3ab，则3b﹣a＝0，即a＝3b．故选：B．方法二：∵S左上﹣S右下＝定值，S右上为定值，S左下为定值，∴S上﹣S下＝定值设BC＝x，则S上﹣S下＝3bx﹣ax＝（3b﹣a）x为定值，∴a＝3b．故选B．17．解：A和B都是三次多项式，则A+B一定是次数不高于3的整式，故选：B．二．填空题（共19小题）18．解：原式＝3a2﹣6ab﹣3b2﹣a2﹣mab﹣2b2＝2a2﹣（6+m）ab﹣5b2，由于多项式中不含有ab项，故﹣（6+m）＝0，∴m＝﹣6，故填空答案：﹣6．19．解：﹣（3x3y m﹣1）+3（x n y+1）＝﹣3x3y m+1+3x n y+3，＝﹣3x3y m+3x n y+4，∵经过化简后的结果等于4，∴﹣3x3y m与3x n y是同类项，∴m＝1，n＝3，则m﹣n＝1﹣3＝﹣2，故答案为：﹣2．20．解：m2+mn＝﹣3①，n2﹣3mn＝18②，①﹣②得：m2+mn﹣n2+3mn＝m2+4mn﹣n2＝﹣3﹣18＝﹣21．故答案为：﹣2121．解：a、b互为相反数∴a＝﹣b∵3a﹣2b＝5∴a＝1，b＝﹣1∴a2+b2＝2．22．解：根据数轴得a＜b＜0＜c且|a|＞|b|＞|c|，则a+c＜0，a﹣b＜0，b﹣c＜0，则|a+c|﹣2|a﹣b|+|b﹣c|＝﹣（a+c）+2（a﹣b）﹣（b﹣c）＝﹣a﹣c+2a﹣2b﹣b+c＝a﹣3b．故答案为：a﹣3b．23．解：设“□”为a，∴（4x2﹣6x+7）﹣（4x2﹣口x+2）＝4x2﹣6x+7﹣4x2+ax﹣2＝（a﹣6）x+5，∵该题标准答案的结果是常数，∴a﹣6＝0，解得a＝6，∴题目中“□”应是6．故答案为：6．24．解：原式＝a2+2ab﹣b2﹣a2﹣mab﹣2b2＝（2﹣m）ab﹣3b2，由结果不含ab项，得到2﹣m＝0，解得：m＝2．故答案为2．25．解：∵m2+2mn＝13，3mn+2n2＝21，∴2m2+13mn+6n2﹣44＝2m2+4mn+9mn+6n2﹣44＝2（m2+2mn）+3（3mn+2n2）﹣44＝2×13+3×21﹣44＝45．故答案为：45．26．解：∵由图可知，a＜c＜0＜b，∴a﹣c＜0，b﹣c＞0，∴原式＝c﹣a﹣（b﹣c）＝c﹣a﹣b+c＝2c﹣a﹣b．故答案为：2c﹣a﹣b．27．解：原式＝4a﹣4b﹣2a+3b＝2a﹣b，故答案为：2a﹣b28．解：∵A﹣B＝9x2﹣2x+7，B＝x2+3x+2，∴A＝x2+3x+2+9x2﹣2x+7，＝10x2+x+9，∴A+B＝10x2+x+9+x2+3x+2，＝11x2+4x+11．故答案为：11x2+4x+11．29．解：∵x+y＝7①，y+z＝8②，z+x＝9③，∴①+②+③得：x+y+y+z+z+x＝7+8+9，即2x+2y+2z＝24，∴x+y+z＝12，故答案为：1230．解：根据题中的新定义得：原式＝3x+2（x﹣y）＝3x+2x﹣2y＝5x﹣2y，故答案为：5x﹣2y31．解：（3a﹣b）﹣3（a+3b）＝3a﹣b﹣3a﹣9b＝﹣10b．故答案为：﹣10b．32．解：设第一步时，每堆牌的数量都是x（x≥2）；第二步时：左边x﹣2，中间x+2，右边x；第三步时：左边x﹣2，中级x+3，右边x﹣1；第四步开始时，左边有（x﹣2）张牌，则从中间拿走（x﹣2）张，则中间所剩牌数为（x+3）﹣（x﹣2）＝x+3﹣x+2＝5．故答案为：5．33．解：设②和③宽为x，长为y，根据题意得，①的周长为：2x+2（5﹣y），④的周长为：2y+2（5﹣x），所以，①与④两个小长方形的周长之和为：2x+2（5﹣y）+2y+2（5﹣x）＝2x+10﹣2y+2y+10﹣2x＝20．故答案为：20．34．解：设举手同学有x名（x为整数），则没有举手的有（50﹣x）名，∴举手的人数和没有举手的人数之差是x﹣（50﹣x）＝2x﹣50＝2（x﹣25），∵x为整数，∴x﹣25是整数，∴2（x﹣25）是偶数，∴老师的真实想法是让全班同学都参加，故答案为：参加．35．解：∵x2+xy＝2①，y2+xy＝5②，∴由①÷②得：x：y＝2：5，设x＝2λ，则y＝5λ，将x、y代入①得：14λ2＝2，解得：，∴2x2+5xy+3y2＝8λ2+50λ2+75λ2＝133λ2＝＝19．36．解：∵a﹣b＝2，b﹣c＝﹣5，∴a﹣c＝（a﹣b）+（b﹣c）＝2﹣5＝﹣3，故答案为：﹣3三．解答题（共7小题）37．解：∵A＝2x2﹣xy+my﹣8，B＝﹣nx2+xy+y+7，∴A﹣2B＝2x2﹣xy+my﹣8+2nx2﹣2xy﹣2y﹣14＝（2+2n）x2﹣3xy+（m﹣2）y﹣22，由结果不含有x2项和y项，得到2+2n＝0，m﹣2＝0，解得：m＝2，n＝﹣1，则原式＝1﹣2＝﹣1．38．解：（1）2A﹣B＝2（x2+xy﹣2y）﹣（2x2﹣2xy+x﹣1）＝2x2+2xy﹣4y﹣2x2+2xy﹣x+1＝4xy﹣x﹣4y+1；（2）∵2A﹣B＝4xy﹣x﹣4y+1＝（4y﹣1）x﹣4y+1，且其值与x无关，∴4y﹣1＝0，解得y＝．39．解：（1）原式＝3（2x2+3xy﹣2x﹣1）+6（﹣x2+xy﹣1）＝6x2+9xy﹣6x﹣3﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9（2）原式＝（15y﹣6）x﹣9由题意可知：15y﹣6＝0y＝40．解：（1）∵2A+B＝C，∴B＝C﹣2A＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣2（3a2b﹣2ab2+abc）＝4a2b﹣3ab2+4abc﹣6a2b+4ab2﹣2abc＝﹣2a2b+ab2+2abc；（2）2A﹣B＝2（3a2b﹣2ab2+abc）﹣（﹣2a2b+ab2+2abc）＝6a2b﹣4ab2+2abc+2a2b﹣ab2﹣2abc＝8a2b﹣5ab2；（3）对，与c无关，将a＝，b＝代入，得：8a2b﹣5ab2＝8×（）2×﹣5××（）2＝0．41．解：（1）原式＝x﹣5y﹣3x+6y＝﹣2x+y；（2）原式＝3a2b2+4a2b2+ab2﹣4ab2﹣5a2b2＝2a2b2﹣ab2．42．解：（1）a﹣（2a﹣3b）+2（3b﹣2a）＝a﹣2a+3b+6b﹣4a＝﹣5a+9b；（2）3a2b﹣[4ab2﹣3（ab2+a2b）﹣ab2]﹣6a2b ＝3a2b﹣4ab2+3（ab2+a2b）+ab2﹣6a2b＝3a2b﹣4ab2+3ab2+a2b+ab2﹣6a2b＝﹣2a2b．43．解：由图可得，a＜0＜b＜c，则|b+c|﹣|a﹣b|﹣|c﹣b|＝b+c+a﹣b﹣c+b＝a+b。
七年级数学下册 培优新帮手 专题08 还原与对消试题 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中七年级下
08 还原与对消——方程的解与解方程阅读与思考解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax ＝b 的形式，其方程的解由a ，b 的取值X 围确定．字母a ，b 的取值X 围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a ，b 的取值X 围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：(1)当a ≠0时，原方程有唯一解x ＝b a； (2)当a ＝0且b ＝0时，原方程有无数个解； (3)当a ＝0，b ≠0时，原方程无解； 例题与求解[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －3a )]＝4x 和312x a +－158x -＝1有相同的解，那么这个解是______．(市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：建立关于a 的方程，解方程． [例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1 (3)方程ax ＝1的解是x ＝1a(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±1 结论正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(某某省竞赛试题)解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a 的任意性． [例3] a 为何值时，方程3x ＋a ＝2x －16(x －12)有无数多个解？无解？ 解题思路：化简原方程，运用方程ax ＝b 各种解的情况所应满足的条件建立a 的关系式． [例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程23kx a +＝2＋6x bk-，无论k 为何值时，它的根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：用代解法可得到p ，q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．(某某省黄冈市中考试题)解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关图①日一二三四五六 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2003 200419971999 2000 2001 2002…… … …363738394041421996 2930 31 32 33 34 35 2223 24 25 26 27 28 1516 17 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 图②于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a ，用a 表示出16个数之和，若算出的a 为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．能力训练A 级1．若关于x 的方程(k －2)x|k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －34[x －14(x －37)]＝316(x －37)的解是______． (某某赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解 7．方程12x ⨯＋23x ⨯＋…＋19951996x ⨯＝1995的解是( )． A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．1998 8．若关于x 的方程21x bx --＝0的解是非负数，则b 的取值X 围是( )． A ．b ＞0 B ．b ≥0 C ．b ≠2 D ．b ≥0且b ≠2(某某省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )．A ．a ＋b ＝0B ．a －b ＝0C ．ab ＝0D ．ab＝0 10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程3x＋a ＝||2a x －16(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无穷多解？(某某市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______． 2．已知关于x 的方程2a x -＝33bx -的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式b a －a b 的值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果12＋16＋112＋…＋1(1)n n +＝20032004，那么n ＝______． (某某省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝1A B +＋(1)(1)x A B ++，如果2※1＝53，那么3※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．(某某省中考试题)第6题图7．有四个关于x 的方程 ①x －2＝－1 ②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1) ③x ＝0④x －2＋11x -＝－1＋11x - 其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子23ma na -+的值都是一个定值，其中m －n ＝6，求m ，n 的值．(市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子35ax bx ++必为同一定值，求a bb+的值． (“华罗庚杯”某某中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(某某市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？ (2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？ 07 整式的加减第11题图…………………………………… 142 144 146 148 150 152 1543032343638404216 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 14例1 －17例2 B例3 1998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986.例4 原多项式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由题意知，该多项式为二次多项式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a＝－1，a＝2代入得：4（2 b＋1）＋2×（b－3）－5＝－17.解得b＝－1，故原多项式为－x2－4 x－5.当x＝－2时，－x2－4 x－5＝－4＋8－5＝－1.∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝80，即100＋a 7＝80＋b 8，前6站上车而在终点下车的人数为b8－a7＝100－80＝20（人）.例6 如图，由题意得a1＋a2＋a3＝29,a2＋a3＋a4＝29,…a6＋a7＋a 1＝29,a7＋a1＋a 2＝29,将上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝29×7.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝67 .这与a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7为整数矛盾.故不存在满足题设要求的7个整数.A级5. 10 提示：3 x－2 y＋z＝2×（2 x＋y＋3 z）－（x＋4 y＋5 z）＝2×23－36＝46－36＝10.6. C7. C 提示：设满足条件的单项式为ambncp的形式，其中m，n，p为自然数，且m＋n＋p＝7.8. C 9. D提示：由题意得b＝m－1＝n，c＝2 n－1＝0，0.625 a＝0.25＋（－0.125）.11. 提示：8 a＋7 b＝8（a＋9 b）－65 b.B级1. －a＋b＋c2. ≥ 1 提示：x的系数之和为零，须使4－7 x≤0且1－3 x≤0.3. 224. －94 提示：由（x＋5）2＋| y 2＋y－6|=0得x＝－5，y 2＋y＝6. y 2－ x y＋x 2＋x 3 ＝y 2＋y＋（－5）2＋（－5）3＝6＋25－125＝－94.5. －6. B 提示：利用绝对值的几何意义解此题. x的取值X围在与之间7. A提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝[2×1－1] 6=1①令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×（－1）－1] 6＝3 6＝729②①＋②，得2（a0＋a2＋a4＋a6）＝730，即a0＋a2＋a4＋a6＝365.8. C 9. A10. A 提示：原式＝a＋b＋c＋6n＋6是偶数.ππa2（2） ab－ b2＋πb2 S阴影＝（a＋a）b－（b2－πb2）＝ a b－ b 2＋πb2（3）3 x＋3 y＋2 z 总长1＝2 x＋4 y＋2 z＋（x－y）＝3 x＋3 y＋2 z.12. 因为＝100 a＋10 b＋c，＝10a100a＋10b＋c＝9（10a＋c）＋4c.化简得5（a＋b）＝6c（0≤a，b，c≤9，且a≠0）又∵5是质数，故，从而则符合条件的＝155，245，335，425，515，605.。
七年级数学下册 培优新帮手 专题03 从算术到代数试题 (新版)新人教版
03 从算术到代数阅读与思考算术与代数是数学中两门不同的分科，它们之间联系紧密，代数是在算术中“数”和“运算”的基础上发展起来的.用字母表示数是代数的一个重要特征，也是代数与算术的最显著的区别.在数学发展史上，从确定的数过渡到用字母表示数经历了一个漫长的过程，是数学发展史上的一个飞跃.用字母表示数有如下特点：1.任意性即字母可以表示任意的数.2.限制性即虽然字母表示任意的数，但字母的取值必须使代数式或实际问题有意义.3.确定性即在用字母表示的数中，如果字母取定某值，那么代数式的值也随之确定.4.抽象性即与具体的数值相比，用字母表示数具有更抽象的意义.例题与求解【例1】研究下列算式，你会发现什么规律：1×3＋1＝4＝222×4＋1＝9＝323×5＋1＝16＝424×6＋1＝25＝52…请将你找到的规律用代数式表示出来：_______________________________(山东菏泽地区中考试题) 解题思路：观察给定的几个简单的、特殊的算式，寻找数字间的联系，发现一般规律，然后用代数式表示.【例2】下列四个数中可以写成100个连续自然数之和的是（）A.1627384950B. 2345678910C. 3579111300D. 4692581470（江苏省竞赛试题）解题思路：设自然数从a＋1开始，这100个连续自然数的和为（a＋1）＋(a＋2)＋…＋(a＋100)＝100a＋5050，从揭示和的特征入手.【例3】设A＝221212++´222323++´223434+´＋…＋221003100410031004+´＋221004100510041005+´，求A的整数部分.（北京市竞赛试题）解题思路：从分析A中第n项22(1)(1)n nn n++?的特征入手.【例4】现有a根长度相同的火柴棒，按如图①摆放时可摆成m个正方形，按如图②摆放时可摆成2n个正方形.(1)用含n的代数式表示m；(2)当这a根火柴棒还能摆成如图③所示的形状时，求a的最小值.（浙江省竞赛试题）解题思路：由图①中有m个正方形、图②中有2n个正方形，可设图③中有3p个正方形，无论怎样摆放，火柴棒的总数相同，可建立含m，n，p的等式.【例5】化简321Λ321Λ321Λ个个个nnn 9199999999+⨯.（江苏省竞赛试题）解题思路：先考察n＝1，2，3时的简单情形，然后作出猜想，这样，化简的目标更明确.【例6】观察按下列规律排成的一列数：1 1，12，21，13，22，31，14，23，32，41，15，24，33，42，51，16，…，（*）（1）在（*）中，从左起第m个数记为F(m)＝22001时，求m的值和这m个数的积.（2）在（*）中，未经约分且分母为2的数记为c，它后面的一个数记为d，是否存在这样的两个数c和d，使cd＝2001000，如果存在，求出c和d；如果不存在，请说明理由.解题思路：解答此题，需先找到数列的规律，该数列可分组为（11），（12，21），（13，22，31），（14，23，32，41），（15，24，33，42，51），….能力训练A级1.已知等式：2＋23＝22×23，3＋38＝32×38，4＋415＝42×415，…，，10 ＋ab＝102×ab（a，b均为正整数），则a＋b＝___________________.(湖北省武汉市竞赛试题)2.下面每个图案都是若干个棋子围成的正方形图案，它的每边（包括顶点）都有n（n≥2）个棋子，每个图案棋子总数为s，按此规律推断s与n之间的关系是______________.n＝2 n＝3 n＝4s＝4 s＝8 s＝12(山东省青岛市中考试题)3.规定任意两个实数对（a，b）和（c，d），当且仅当a＝c且b＝d时，（a，b）＝（c，d）．定义运算“⊗”：（a，b）⊗（c，d）＝（ac－bd，ad＋bc）．若（1，2）⊗（p，q）＝（5，0），则p＋q＝________．(浙江省湖州市数学竞赛试题)4.用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖按下图方式铺地板，则第（3）个图形中有黑色瓷砖______块，第n个图形中需要黑色瓷砖______块（含n代数式表示）．（广东省中考试题）-=5.如果a是一个三位数，现在把1放在它的右边得到一个四位数是（）A.1000a＋1B. 100a＋1C. 10a＋1D. a＋1(重庆市竞赛试题)6.一组按规律排列的多项式：a＋b，a2—b3，a3＋b5，a4—b7，…，其中第十个式子是（）A. a10＋b19B. a10-b19C. a10-b17D. a10-b21(四川省眉山市竞赛试题)7.有三组数x 1，x 2，x 3；y 1，y 2，y 3；z 1，z 2，z 3，它们的平均数分别是a ，b ，c ，那么x 1＋y 1－z 1，x 2＋y 2－z 2，x 3＋y 3－z 3的平均数是（ ）A.3a b c ++ B. 3a b c+- C. a ＋b －c D. 3(a ＋b －c ) (希望杯邀请赛试题)8.为了绿化环境，美化城市，在某居民小区铺设了正方形和圆形两块草坪，如果两块草坪的周长相同，那么它们的面积S 1、S 2的大小关系是（ ）（东方航空杯竞赛试题）A . S 1＞S 2B ．S l ＜S 2C ．S 1＝S 2D ．无法比较9.一个圆形纸板，根据以下操作把它剪成若干个扇形面：第一次将圆纸等分为4个扇形面；第二次将上次得到的一个扇形面再等分成4个小扇形；以后按第二次剪裁法进行下去．（1）请通过操作，猜想将第3、第4次，…，第n 次剪裁后扇形面的总个数填入下表；剪裁次数 1 2 3 4 … n所得的总数47…（2）请你推断，能否按上述操作剪裁出33个扇形面？为什么？（山东省济南市中考试题）10.某玩具工厂有四个车间，某周是质量检查周，现每个都原a（a＞0）个成品，且每个每天都生产b（b＞0）个成品，质检科派出若干名检验员星期一、星期二检验其中两个原的和这两天生产的所成品，然后，星期三至星期五检验另两个原的和本生产的所成品，假定每个检验员每天检验的成品数相同．（1）这若干名检验员1天检验多少个成品（用含a、b的代数式表示）；（2）试求出用b表示a的关系式；4b个成品，则质检科至少要派出多少名检验员？（3）若1名质检员1天能检验5（广东省广州市中考试题）B级1. 你能很快算出19952吗？为了解决这个问题，我们考察个位上的数字为5的自然数的平方，任意一个个位数为5的自然数可写成（10·n＋5）（n为自然数），即求（10·n＋5）2的值（n为自然数），分析n＝1，n＝2，n＝3，…这些简单情况，从中探索其规律，并归纳猜想出结论（在下面的空格内填上你的探索结果）.（1）通过计算，探索规律.152＝225可写成100×1×（1＋1）＋25；252＝625可写成100×2×（2＋1）＋25；352＝1225可写成100×3×（3＋1）＋25； 452＝2025可写成100×4×（4＋1）＋25； ...752＝5625可写成______； 852＝7225可写成______；（2）从第（1）题的结果，归纳猜想得（10n ＋5）2＝______； （3）根据上面的归纳猜想，请算出19952＝______.（福建省三明市中考试题）2.已知12＋22＋32＋…＋n 2＝16n (n ＋1)(2n ＋1)，计算： （1）112＋122＋…＋192＝_____________________； (2)22＋42＋…＋502＝__________________. 3.已知n 是正整数，a n ＝1×2×3×4×…×n ，则13a a ＋24a a ＋…＋20102012a a ＋20112013a a ＝_______________.(“希望杯”邀请赛训练题)4.已知17个连续整数的和是306，那么，紧接着这17个数后面的那17个整数的和为__________.（重庆市竞赛试题）5.A ，B 两地相距S 千米，甲、乙的速度分别为a 千米/时、b 千米/时（a ＞b ），甲、乙都从A 地到B 地去开会，如果甲比乙先出发1小时，那么乙比甲晚到B 地的小时数是（ ）A ．(1)ss a b -+ B ．(1)s s b a -+ C ．(1)s s a b -- D ．(1)s s b a--6.某商店经销一批衬衣，进价为每件m 元，零售价比高a %，后因市场的变化，该店把零售价调整原来零售价的b %出售，那么调价后的零售价是（ ）A ．m （1＋a %）（1－b %）元B ．m a %（1－b %）元C ．m （1＋a %）b %元D ．m （1＋a %b %）元7.如果用a名同学在b小时内共搬运c块砖，那么个以同样速度所需要的数是（）A．22ca bB．2cabC．2abcD．22a bc(“希望杯”邀请赛试题)8.甲、乙两班的人数相等，各有一些同学参加课外天文小组，其中甲班参加天文小组的人数是乙班未参加人数的13，乙班参加天文小组的人数是甲班未参加人数的15．问甲班未参加的人数是乙班未参加人数的几分之几？9.将自然数1，2，3，…，21这21个数，任意地放在一个圆周上，证明：一定有相邻的三个数，它们的和不小于33.（重庆市竞赛试题）10.有四个互不相同的正整数，从中任取两个数组成一组，并在同一组中用较大的数减去较小的数，再将各组所得的数相加，其和恰好等于18.若这四个数的乘积是23100，求这四个数.专题03 从算术到代数例1 2(2)1(1)n n n ++=+例2 A例3 原式=1111111112(1)2()2()2()2()223341003100410041005+-++-++-+++-++-L =121004(1)1005⨯+- 故其整数部分为2008 例4 设图③中含有3p 个正方形.(1) 由3152m n +=+,得513n m +=(2) 由315273,a m n p =+=+=+得325177m n p --==,因,,m n p 均是正整数, 所以当17,10m n ==时,7,p =此时317152a =⨯+=例5解法1:1n = 时,29919811910010⨯+=+==;2n =时, 49999199(1001)991999900991991000010⨯+=-⨯+=-+==,猜想:2999999199910n n n n ⨯+=L L L 123123123个个个 个, 计算过程类似于2n =29999991999(101)9991999999000999199910n n n n n n n n n n n ⨯+=-⨯+=-+=L L L L L L L L L 123123123123123123123123123个个个个个个个个个 解法2: 1n =时,2991999109(999)1091010101010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=2n =时, 49999199999910099(999999)1009910010010010010⨯+=⨯++=⨯++=⨯+=⨯=猜想: 原式210n = 验证如下: 9999991999999999100099999999999910n n n n n n n n n n n ⨯+=⨯++=⨯++L L L L L L L L L L 123123123123123123123123123123个个个个个个个个个个299910101010n n n n n =⨯=⨯=L 123个反思结论必为一个数的平方形式, 不妨设999n a =L 123个,得另一种解法 解法3: 原式22222(1)a 21(1)(10)10n n a a a a a =+++=++=+==例6 (1)(※) 可分组为112123123412345(),(,),(,,),(,,,),(,,,,),,121321432154321L 可知各组数的个数依次为1,2,3,L .按其规律22001应在第2002组1232002(,,,,)2002200120001L 中, 该组前面共有123420012003001+++++=L 个数. 故当2()2001F m =时,200300122003003m =+=. 又因各组的数积为1, 故这2003003个数的积为121200220012003001⨯=(2) 依题意,c 为每组倒数第2个数,d 为每组最后一个数,设它们在第n 组, 别1,,21n nc d -==(1)20010002n n -∴=.即(1)400200020012000n n -==⨯,2001,n ∴= 得20011200022c -==,20011d =A 级1. 100 提示:21010aab b +=⨯ 中, 根据规律可得210,10199,a b ==-=故1099109a b +=+=2. 4(1)(2)s n n =-≥3.1- 提示: 根据题中定义的运算可列代数式25,20p q q p -=+=,可得1,2,p q ==-故1p q +=-4. 10 31n +5. C6. B7. B8. B9.(1) 10 13 31n + (2) 不能, 33不符合31n +10. (1) 2a b +或2(5)3a b +或32b + (2) 由2(2)2(5)23a b a b ++=,得4a b =(3)2(2)47.5825a b b +÷=≈B 级1. (1) 1007(71)25,1008(81)25⨯⨯++⨯⨯++(2) 100(1)25n n ⨯++(3) 39800252. (1) 2085 (2) 22100 提示: 原式2224(1225)=⨯+++L3.20114026 提示: 由1234n a n =⨯⨯⨯⨯⨯L 可得, 原式111112334452011201220122013=+++++⨯⨯⨯⨯⨯L 111111112011233420122013220134026=-+-++-=-=L 4. 595 提示: 设17个连续整数为,1,,16,m m m ++L 且(1)(16)306m m m +++++=L ,它后面紧接的17个连续自然数应为17,18,19,,33m m m m ++++L ,可得它们之和为5955. D6. C7. D 提示: 每一名同学每小时所搬砖头为c ab块,c 名同学按此速度每小时所搬砖头为2c ab 块. 8．用a ，b 分别表示甲、乙两班参加天文小组的人数，m ，n 分别表示甲、乙两班未参加天文小组的人数，由a ＋m ＝b ＋n 得m －b ＝n －a ，又a ＝13n ，b ＝15m ，故m －15m ＝n －13n ，56m n =． 9．证明：设任意分法将圆周上的每相邻三个数分为一组，他们三个数的和分别为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7（均为自然数），且a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝()211212312⨯+=①．假设a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中没一个数都小于33，则有a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＜231．与①矛盾，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7中至少有一个不小于33，即一定有相邻的三个数，它们的和不小于33．10．设四个不同整数为a 1，a 2，a 3，a 4（a 1＞a 2＞a 3＞a 4），则（a 1－a 2）＋（a 1－a 3）＋（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＋（a 2－a 4）＋（a 3－a 4）＝18，即3（a 1－a 4）＋（a 2－a 3）＝18．又因3（a 1－a 4），18均为3的倍数，故a 2－a 3也是3的倍数，a 2－a 3＜a 1－a 4，则a 2－a 3＝3，a 1－a 4＝5，a 1－a 2＝1，a 3－a 4＝1，又a 1a 2a 3a 4＝23100＝2×2×3×5×5×7×11．从而可得a 1＝15，a 2＝14，a 3＝11，a 4＝10．。
2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷2024-2025学含答案)-
2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷2024-2025学年年七年级数学人教版下册专题整合复习卷15.5.3 利用完全平方公式分解因式(含答案)-15.5.3 利用完全平方公式分解因式知能点分类训练知能点1 利用完全平方公式分解因式1．x2+8x+k=（x+4）2，则k=________．2．－m2－116+（______）=（m+14）2．3．a3+4a2+4a=________．4．如果100x2+kxy+49y2能分解为（10x－7y）2，那么k=________．5．（______）a2－6a+1=（_______）．6．x2y2+xy+14=（_________）．7．下列因式分解中正确的是（）．A．a4－8a2+16=（a－4）2B．－a2+a－14=－14（2a－1）2C．x（a－b）－y（b－a）=（a－b）（x－y）D．a4－b4=（a2+b2）a2－b28．下列代数式中是完全平方式的是（）．①y4－4y+4；②9m2+16n2－20mn；③4x2－4x+1；④6a2+3a+1；⑤a2+4ab+2b2．A．①③B．②④C．③④D．①⑤9．下列多项式中能用公式法分解的是（）．A．a3－b4B．a2+ab+b2C．－x2－y2D．－14+9b210．把下列各式因式分解:（1）－a2－1+2a （2）2x2y－x3－xy2 （3）4x2－20x+25 （4）（x2+1）2－4x2知能点2 利用完全平方公式进行简便运算11．如果ab=2，a+b=3，那么a2+b2=_______．12．方程4x2－12x+9=0的解是（）．A．x=0 B．x=1 C．x= D．无法确定13．已知│x－y│=1，则x2－2xy+x2的值为（）．A．1 B．－1 C．±1 D．无法确定14．利用因式分解简便运算:（1）1 0012－202 202+1012（2）992+198+1（3）662+652－130×66 （4）8002－1 600×798+7982 综合应用提高15．若x2+2x+1+y2－8y+16=0，求yx．16．若│m+4│与n2－2n+1互为相反数，把多项式x2+4y2－mxy－n分解因式．17．不解方程组26,31,x yx y+=⎧⎨-=⎩，求代数式7y（x－3y）2－2（3y－x）3的值．开放探索创新18．若一个三角形的三边长为a，b，c，且满足a2+2b2+c2－2ab－2bc=0，试判断该三角形是什么三角形，并加以说明．中考真题实战19．（山西省）已知x+y=1，那么12x2+xy+12y2的值为________．20．（广东省）分解因式x2－9y2+2x－6y=________．21．（北京海淀区）分解因式：a2－2a+1－b2=________．22．（四川资阳）若a为任意实数，则下列等式中恒成立的是（）．A．a+a=a2B．a×a=2a C．3a3－2a2=a D．2a×3a2=6a2 23．（重庆万州）下列式子中正确的是（）．A．a2·a3=a6B．（x3）3=x6C．33=9 D．3b·3c=9bc答案:1．16 2．－12m 3．a（a+2）24．－140 点拨：k=2×（10）×（－7）=－140．5．9 3a－1 6．xy+1 27．B8．A 点拨：②中－20mn若为－24mn才是完全平方式，④中a2及a•的系数都不能构成完全平方式．9．D10．（1）－（a－1）2点拨：先提负号，再分解．（2）－x（x－y）2点拨：先提－x，再观察三项之间的关系．（3）（2x－5）2（4）（x+1）2（x－1）2点拨：先用平方差公式，再用完全平方公式（5）（2x－y－1）2（6）4y2点拨：把（x+y）看做公式中的a，把（x－y）看做公式中的b．11．7 点拨：a2+b2=（a+b）2－2ab=32－2=7．12．C 点拨：因式分解为（2x－3）2=0，即2x－3=0，x=32．13．A 点拨：原式=（x－y）2．∵│x－y│=1，∴（x－y）2=1．14．（1）原式=（1 001－101）2=9002=810 000．（2）原式=（99+1）2=1002=104．（3）原式=（66－65）2=1．（4）原式=（800－798）2=22=4．15．解：原方程可化为（x+1）2+（y－4）2=0，∴10,1,440,4,1x x yy y x+==-⎧⎧∴=⎨⎨-==-⎩⎩解得=－4．16．由题意可得│m+4│+（n－1）2=0，∴40,4,10,1, m mn n+==-⎧⎧⎨⎨-==⎩⎩解得∴原式=x2+4y2+4xy－1=（x+2y）2－1=（x+2y+1）（x+2y－1）．17．解：7y（x－3y）2－2（3y－x）3=（x－3y）2 [7y+2（x－3y）] =（x－3y）2（7y+2x－6y）=（x－3y）2（2x+y）．把31,26,x yx y-=⎧⎨+=⎩代入原式得原式=12×6=6．点拨：将原式分解因式，产生x－3y与2x+y，再整体代入，计算简便．18．解：该三角形是等边三角形．∵a2+2b2+c2－2ab－2bc=0，∴a2－2ab+b2+b2－2bc+c2=0，即（a－b）2+（b－c）2=0，∴a－b=0，且b－c=0，即a=b，且b=c．∴a=b=c，∴该三角形是等边三角形．19．12点拨：原式=12（x2+2xy+y2）=12（x+y）2=12×12=12．20．（x－3y）（x+3y+2）21．（a－1+b）（a－1－b）22．D 23．D§15．6 探究与整理知识要点1．整式的有关概念：整式、单项式、多项式；单项式的次数与系数、•多项式的次数 2．整式的加减：整式的加减的过程就是合并同类项．3．幂的运算性质：(1) a m·a n=a m+n（m，n都是正整数）(2)（a m）n=a mn（m，n）都是正整数）(3)（ab）n=a n b n（n是正整数）（4）a m÷a n=a m-n（a≠0，m，n都是正整数，且m>n）4．零指数幂的意义：a0=1（a≠0）（要注意隐含条件的运用）5．整式的乘法6．乘法公式：①（a+b）（a-b）=a2-b2；②（a±b）2=a2±2ab+b27．因式分解．常用方法有：提公因式法、公式法．典型例题例．如果多项式a2+（b-2）a+25是完全平方式，则b的值是（）A．10 B．12或-8 C．12 D．10或-10分析：完全平方式是三项式，其中两项是两个数的平方和，•第三项是这两个数的积的2倍，因为这个代数式中已有a、5（或-5）的平方和，所以（b-2）a=2·a·5或（b-2）a=2·a·（-5），因此b=12或b=-8．练习题一、选择题1．化简（-2）3+（3.14- ）0的值是（）A．-8 B．-7 C．-9 D．无意义2．下列各式结果为负数的是（）A．-（-11） B．（-10）0 C．（-8）2 D．-72 3．下列各式中，能用平方差公式来计算的是（）A．（m+12n）（-m-12n） B．（-m+12n）（-m-12n）C．（-m+12n）（m-12n） D．（m-12n）（n+12m）二、填空题4．多项式-8x2y2z-13xy2-7yz2-9xy+1的次数是________，项数是_______，•二次项的系数是_______．5．把4a2b2-4ab+1分解因式，结果是____________．6．已知2m+5n-3=0，则4m·32n的值是_________．7．已知a+b=7，ab=12，则a-b的值是__________．8．计算：（-14）11×224=_________．三、解答题:9．计算①-（15x-2y）-[3x-（2x-3y）] ②（2a-b）2-（a+2b）（a-2b）③（2m3n）3÷（-4m3n2）·（-3n）2④（-34a6b3+65a3b4-910a b3）÷（-35a b3）10．化简求值：（x-2）（x-3）+2（x+5）（x-5）-3（x2-5x-13），其中x=-2.11．利用乘法公式计算：①20052-4012×2005+20062②998×100212．已知多项式3x2-kxy-8y2除以x-2y，商式为3x+4y，余式为0，试求k的值．四、探究题:13．请你观察下列多项式分解因式的结果与原多项式的关系，然后回答问题：①a2+5a+4=（a+1）（a+4）②a2-10a+21=（a-3）（a-7）④a2+4a-12=（a+6）（a-2）④a2-7a-18=（a-9）（a+2）（1）请用一个式子表示你观察到的规律：x2+（a+b）x+ab=________．（2）请用你观察并总结出来的结论把下列各式分解因式：①m2-15m+56 ②x2-7x-30 ③（y+2）2+6（y+2）+8 ④x2-xy-12y2答案:1．B 2．D 3．B 4．5；5；-9 5．（2ab-1）2 6．8 7．±1 8．-49．①-16x-y；•②3a2-4ab+5b2；③-18m6n3；④54a5-2a2b+3210．-25 11．①1；②999996 12．k=213．（1）（x+a）（x+b）（2）①（m-7）（m-8）；②（x-10）（x+3）；③（y+4）（y+6）；④（x-4y）（x+3y）第五单元因式分解测试题一、选择题：1．若(2x)n−81 = (4x2+9)(2x+3)(2x−3)，那么n的值是( )A．2 B．4 C．6 D．8 2．若9x2−12xy+m是两数和的平方式，那么m的值是( )A．2y2B．4y 2C．±4y2D．±16y2 3．把多项式a4− 2a2b2+b4因式分解的结果为( )A．a2(a2−2b2)+b4 B．(a2−b2)2C．(a−b)4 D．(a+b)2(a−b)2 4．把(a+b)2−4(a2−b2)+4(a−b)2分解因式为( )A．( 3a−b)2 B．(3b+a)2C．(3b−a)2 D．( 3a+b)25．计算：(−21)2001+(−21)2000的结果为( ) A ．(−21)2003 B ．−(−21)2001 C ．21 D ．−21 6．已知x ，y 为任意有理数，记M = x 2+y 2，N = 2xy ，则M 与N 的大小关系为( )A ．M>NB ．M≥NC ．M≤ND ．不能确定7．对于任何整数m ，多项式( 4m+5)2−9都能( )A ．被8整除B ．被m 整除C ．被(m−1)整除D ．被(2n−1)整除8．将−3x 2n −6x n 分解因式，结果是( )A ．−3x n (x n +2)B ．−3(x 2n +2x n )C ．−3x n (x 2+2)D ．3(−x 2n −2x n )9．下列变形中，是正确的因式分解的是( )A ． 0.09m 2− 4916n 2 = ( 0.03m+ 74)( 0.03m−74) B ．x 2−10 = x 2−9−1 = (x+3)(x−3)−1 C ．x 4−x 2 = (x 2+x)(x 2−x) D ．(x+a)2−(x−a)2 = 4ax10．多项式(x+y−z)(x−y+z)−(y+z−x)(z−x−y)的公因式是( )A ．x+y−zB ．x−y+zC ．y+z−xD ．不存在11．已知x 为任意有理数，则多项式x−1−41x 2的值( ) A ．一定为负数 B ．不可能为正数C ．一定为正数D ．可能为正数或负数或零二、分解因式：(1)(ab+b)2−(a+b)2 (2)(a 2−x 2)2−4ax(x−a)2(3)7x n+1−14x n +7x n−1(n 为不小于1的整数)三、因式分解的应用：1.先因式分解再求值：()()m x m x -+-2425，其中4.0=x ，5.5=m2.已知2(2)2410a b a b +--+=，求2010(2)a b +的值.参考答案一、选择题：1．B 说明：右边进行整式乘法后得16x 4−81 = (2x)4−81，所以n 应为4，答案为B ．2．B 说明：因为9x 2−12xy+m 是两数和的平方式，所以可设9x 2−12xy+m = (ax+by)2，则有9x 2−12xy+m = a 2x 2+2abxy+b 2y 2，即a 2 = 9，2ab = −12，b 2y 2 = m ；得到a = 3，b = −2；或a = −3，b = 2；此时b 2 = 4，因此，m = b 2y 2 = 4y 2，答案为B ．3．D 说明：先运用完全平方公式，a 4− 2a 2b 2+b 4 = (a 2−b 2)2，再运用两数和的平方公式，两数分别是a 2、−b 2，则有(a 2−b 2)2 = (a+b)2(a−b)2，在这里，注意因式分解要分解到不能分解为止；答案为D ．4．C 说明：(a+b)2−4(a 2−b 2)+4(a−b)2 = (a+b)2−2(a+b)[2(a−b)]+[2(a−b)]2 = [a+b−2(a−b)]2 = (3b−a)2；所以答案为C ．5．B 说明：(−21)2001+(−21)2000 = (−21)2000[(−21)+1] = (21)2000 •21= (21)2001 = −(−21)2001，所以答案为B ．6．B 说明：因为M−N = x 2+y 2−2xy = (x−y)2≥0，所以M≥N ．7．A 说明：( 4m+5)2−9 = ( 4m+5+3)( 4m+5−3) = ( 4m+8)( 4m+2) = 8(m+2)( 2m+1)．8．A9．D 说明：选项A ，0.09 = 0.32，则 0.09m 2− 4916n 2 = ( 0.3m+74n)( 0.3m−74n)，所以A 错；选项B 的右边不是乘积的形式；选项C 右边(x 2+x)(x 2−x)可继续分解为x 2(x+1)(x−1)；所以答案为D ．10．A 说明：本题的关键是符号的变化：z−x−y = −(x+y−z)，而x−y+z≠y+z−x ，同时x−y+z≠−(y+z−x)，所以公因式为x+y−z ．11．B 说明：x−1−41x 2 = −(1−x+41x 2) = −(1−21x)2≤0，即多项式x−1−41x 2的值为非正数，正确答案应该是B ．二、解答题：(1) 答案：a(b−1)(ab+2b+a)说明：(ab+b)2−(a+b)2 = (ab+b+a+b)(ab+b−a−b) = (ab+2b+a)(ab−a) = a(b−1)(ab+2b+a)．(2) 答案：(x−a )4说明：(a 2−x 2)2−4ax(x−a)2 = [(a+x)(a−x)]2−4ax(x−a)2= (a+x)2(a−x )2−4ax(x−a)2 = (x−a )2[(a+x)2−4ax]= (x−a )2(a 2+2ax+x 2−4ax) = (x−a)2(x−a)2 = (x−a)4．(3) 答案：7x n−1(x−1)2说明：原式 = 7x n−1 •x 2−7x n−1 •2x+7x n−1 = 7x n−1(x 2−2x+1) = 7x n−1(x−1)2．三、1. ()()5242(2)x m x m x m -+-=-当4.0=x ，5.5=m 时，原式0.4(5.52) 1.4=⨯-=2.∵2(2)2410a b a b +--+=，∴2(2)2(2)10a b a b +-++=∴2(21)0a b +-=，∴210a b +-=，∴21a b +=，∴2010(2)1a b +=.。
2020七年级数学下册 培优新帮手 专题08 还原与对消试题 (新版)新人教版
08 还原与对消——方程的解与解方程阅读与思考解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax ＝b 的形式，其方程的解由a ，b 的取值范围确定．字母a ，b 的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a ，b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：(1)当a ≠0时，原方程有唯一解x ＝b a； (2)当a ＝0且b ＝0时，原方程有无数个解； (3)当a ＝0，b ≠0时，原方程无解； 例题与求解[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －3a )]＝4x 和312x a +－158x -＝1有相同的解，那么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：建立关于a 的方程，解方程． [例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1 (3)方程ax ＝1的解是x ＝1a(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±1 结论正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(江苏省竞赛试题)解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a 的任意性．[例3] a 为何值时，方程3x ＋a ＝2x －16(x －12)有无数多个解？无解？ 解题思路：化简原方程，运用方程ax ＝b 各种解的情况所应满足的条件建立a 的关系式． [例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程23kx a +＝2＋6x bk-，无论k 为何值时，它的根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：用代解法可得到p ，q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．(湖北省黄冈市中考试题)解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a ，用a 表示出16个数之和，若算出的a 为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．能力训练图① 日一二三四五六 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2003 200419971999 2000 2001 2002… … … (36)3738394041421996 29 30 31 32 33 34 35 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 图②A 级1．若关于x 的方程(k －2)x|k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －34[x －14(x －37)]＝316(x －37)的解是______． (广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解 7．方程12x ⨯＋23x ⨯＋…＋19951996x ⨯＝1995的解是( )． A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．1998 8．若关于x 的方程21x bx --＝0的解是非负数，则b 的取值范围是( )． A ．b ＞0 B ．b ≥0 C ．b ≠2 D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )． A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．ab ＝0 D ．ab＝0 10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程3x＋a ＝||2a x －16(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______． 2．已知关于x 的方程2a x -＝33bx -的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式b a －a b 的值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果12＋16＋112＋…＋1(1)n n +＝20032004，那么n ＝______． (江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝1A B +＋(1)(1)x A B ++，如果2※1＝53，那么3※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程 ①x －2＝－1 ②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1) ③x ＝0④x －2＋11x -＝－1＋11x - 其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个50g 砝码(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子23ma na -+的值都是一个定值，其中m －n ＝6，求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子35ax bx ++必为同一定值，求a b b +的值．(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？ (2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？第11题图…………………………………… 142 144 146 148 150 152 1543032343638404216 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 1407 整式的加减例1 －17例2 B例3 1998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986.例4 原多项式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由题意知，该多项式为二次多项式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a＝－1，a＝2代入得：4（2 b＋1）＋2×（b－3）－5＝－17.解得b＝－1，故原多项式为－x2－4 x－5.当x＝－2时，－x2－4 x－5＝－4＋8－5＝－1.例5 设前7站上车的乘客数量依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7人，从第2站到第8站下车的乘客数量依次为b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8人，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8.又∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝80，即100＋a 7＝80＋b 8，前6站上车而在终点下车的人数为b8－a7＝100－80＝20（人）.例6 如图，由题意得a1＋a2＋a3＝29,a2＋a3＋a4＝29,…a6＋a7＋a 1＝29,a7＋a1＋a 2＝29,将上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝29×7.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝67 .这与a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7为整数矛盾.故不存在满足题设要求的7个整数.A级1. 292. －63. －24.20035. 10 提示：3 x－2 y＋z＝2×（2 x＋y＋3 z）－（x＋4 y＋5 z）＝2×23－36＝46－36＝10.6. C7. C 提示：设满足条件的单项式为ambncp的形式，其中m，n，p为自然数，且m＋n＋p＝7.8. C 9. D10. 1.2 提示：由题意得b＝m－1＝n，c＝2 n－1＝0，0.625 a＝0.25＋（－0.125）.11. 提示：8 a＋7 b＝8（a＋9 b）－65 b.B级1. －a＋b＋c2. ≥ 1 提示：x的系数之和为零，须使4－7 x≤0且1－3 x≤0.3. 224. －94 提示：由（x＋5）2＋| y 2＋y－6|=0得x＝－5，y 2＋y＝6. y 2－ x y＋x 2＋x 3＝y 2＋y＋（－5）2＋（－5）3＝6＋25－125＝－94.5. －6. B 提示：利用绝对值的几何意义解此题. x的取值范围在与之间7. A提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝[2×1－1] 6=1①令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×（－1）－1] 6＝3 6＝729②①＋②，得2（a0＋a2＋a4＋a6）＝730，即a0＋a2＋a4＋a6＝365.8. C 9. A10. A 提示：原式＝a＋b＋c＋6n＋6是偶数.11. 提示：（1）4.5πa2 S阴影＝（a＋a＋a）2＝4.5πa2（2） ab－ b2＋πb2 S阴影＝（a＋a）b－（b2－πb2）＝ a b－ b 2＋πb2（3）3 x＋3 y＋2 z 总长1＝2 x＋4 y＋2 z＋（x－y）＝3 x＋3 y＋2 z.12. 因为＝100 a＋10 b＋c，＝10a＋c.由题意得100a＋10b＋c＝9（10a＋c）＋4c.化简得5（a＋b）＝6c（0≤a，b，c≤9，且a≠0）又∵5是质数，故，从而则符合条件的＝155，245，335，425，515，605.。
七年级数学下册培优新帮手专题08还原与对消试题(新版)新人教版
08 还原与对消——方程的解与解方程阅读与思考解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1、得方程的解．我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)地解方程．方程的解是方程理论中的一个重要概念，对于方程解的概念，要学会从两个方面去运用： 1．求解：通过解方程，求出方程的解，进而解决问题． 2．代解：将方程的解代入原方程进行解题．当方程中的未知数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax ＝b 的形式，其方程的解由a ，b 的取值范围确定．字母a ，b 的取值范围确定或对解方程的过程并未产生实质性的影响，其解法同数字系数的一次方程解法一样；当字母a ，b 的取值范围未给出时，则需讨论解的情况，其方法是：(1)当a ≠0时，原方程有唯一解x ＝b ； (2)当a ＝0且b ＝0时，原方程有无数个解； (3)当a ＝0，b ≠0时，原方程无解； 例题与求解[例1] 已知关于x 的方程3[x －2(x －3a )]＝4x 和312x a +－158x -＝1有相同的解，那么这个解是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：建立关于a 的方程，解方程． [例2] 已知a 是任意有理数，在下面各说法中(1)方程ax ＝0的解是x ＝1 (2)方程ax ＝a 的解是x ＝1 (3)方程ax ＝1的解是x ＝1a(4)方程|a |x ＝a 的解是x ＝±1结论正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3(江苏省竞赛试题)解题思路：给出的方程都是含字母系数的方程，注意a 的任意性．[例3] a 为何值时，方程x ＋a ＝x －1(x －12)有无数多个解？无解？ 解题思路：化简原方程，运用方程ax ＝b 各种解的情况所应满足的条件建立a 的关系式． [例4] 如果a ，b 为定值时，关于x 的方程23kx a +＝2＋x bk -，无论k 为何值时，它的根总是1，求a ，b 的值．(2013年全国初中数学竞赛预赛试题)解题思路：利用一元一次方程方程的解与系数之间的关系求解．[例5] 已知p ，q 都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px ＋5q ＝97的解是1，求代数式p 2－q 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)解题思路：用代解法可得到p ，q 的关系式，进而综合运用整数相关知识分析．[例6] (1)在日历中(如图①)，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列)分别是______．(2)现将连续自然数1至2004按图中的方式排成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数(如图②)．①图中框出的这16个数的和是______；②在右图中，要使一个正方形框出的16个数之和等于2000，2004，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该正方形框出的16个数中的最小数和最大数．(湖北省黄冈市中考试题)解题思路：(1)等差数列，相邻两数相差7．(2)①经观察不难发现，在这个方框里的每两个关于中心对称的数之和都等于44．如31与13，11与33，17与27都成中心对称的．于是易算出这16个数之和．②设框出的16个数中最小的一个数为a ，用a 表示出16个数之和，若算出的a 为自然数，则成立；不为自然数，则不可能．能力训练图① 日一二三四五六 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 2003 200419971999 2000 2001 2002… … … (36)3738394041421996 29 30 31 32 33 34 35 22 23 24 25 26 27 28 15 16 17 18 19 20 21 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 图②A 级1．若关于x 的方程(k －2)x|k －1|＋5k ＝0是一元一次方程，则k ＝______；若关于x 的方程(k ＋2)x 2＋4kx －5k ＝0是一元一次方程，则方程的解x ＝______．2．方程x －34[x －14(x －37)]＝316(x －37)的解是______． (广西赛区选拔赛试题)3．若有理数x ，y 满足(x ＋y －2)2＋|x ＋2y |＝0，则x 2＋y 3＝______．(“希望杯”邀请赛试题)4．若关于x 的方程a (2x ＋b )＝12x ＋5有无数个解，则a ＝______，b ＝______．(“希望杯”邀请赛试题)5．已知关于x 的方程9x －3＝kx ＝14有整数解，那么满足条件的所有整数k ＝______．(“五羊杯”竞赛试题)6．下列判断中正确的是( )．A ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 同解B ．方程2x －3＝1与方程x (2x －3)＝x 没有相同的解C ．方程x (2x －3)＝x 的解都是方程2x －3＝1的解D ．方程2x －3＝1的解都是方程x (2x －3)＝x 的解 7．方程12x ⨯＋23x ⨯＋…＋19951996x ⨯＝1995的解是( )． A ．1995 B ．1996 C ．1997 D ．1998 8．若关于x 的方程21x b x --＝0的解是非负数，则b 的取值范围是( )．A ．b ＞0B ．b ≥0C ．b ≠2D ．b ≥0且b ≠2(黑龙江省竞赛试题)9．关于x 的方程a (x －a )＋b (x ＋b )＝0有无穷多个解，则( )． A ．a ＋b ＝0 B ．a －b ＝0 C ．ab ＝0 D ．a b＝0 10．已知关于x 的一次方程(3a ＋8b )x ＋7＝0无解，则ab 是( )． A ．正数 B ．非正数 C ．负数 D ．非负数(“希望杯”邀请赛试题)11．若关于x 的方程kx －12＝3x ＋3k 有整数解，且k 为整数，求符合条件的k 值．(北京市“迎春杯”训练题)12．已知关于x 的方程3x ＋a ＝||2a x －16(x －6)，当a 取何值时，(1)方程无解？(2)方程有无穷多解？(重庆市竞赛试题)B 级1．已知方程2(x ＋1)＝3(x －1)的解为a ＋2，则方程2[2(x ＋3)－3(x －a )]＝3a 的解为______． 2．已知关于x 的方程2a x -＝33bx -的解是x ＝2，其中a ≠0且b ≠0，则代数式b a －a b 的值是______．3．若k 为整数，则使得方程(k －1999)x ＝2001－2000x 的解也是整数的k 值有______个．(“希望杯”邀请赛试题)4．如果12＋16＋112＋…＋1(1)n n +＝20032004，那么n ＝______．(江苏省竞赛试题)5．用※表示一种运算，它的含义是A ※B ＝1A B +＋(1)(1)x A B ++，如果2※1＝53，那么3※4＝______．(“希望杯”竞赛试题)6．如图所示的两架天平保持平衡，且每块巧克力的质量相等，每个果冻的质量也相等，则一块巧克力的质量是______克．(河北省中考试题)7．有四个关于x 的方程 ①x －2＝－1 ②(x －2)＋(x －1)＝－1＋(x －1) ③x ＝0④x －2＋11x -＝－1＋11x -其中同解的两个方程是( )．A ．①与②B ．①与③C ．①与④D ．②与④8．已知a 是不为0的整数，并且关于x 的方程ax ＝2a 3－3a 2－5a ＋4有整数解，则a 的值共有( )．A ．1个B ．3个C ．6个D ．9个第6题图(“希望杯”邀请赛试题)9．(1)当a 取符合na ＋3≠0的任意数时，式子23ma na -+的值都是一个定值，其中m －n ＝6，求m ，n 的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题)(2)已知无论x 取什么值，式子35ax bx ++必为同一定值，求a b b +的值．(“华罗庚杯”香港中学竞赛试题)10．甲队原有96人，现调出16人到乙队，调出后，甲队人数是乙队人数的k (k 是不等于1的正整数)倍还多6人，问乙队原有多少人？(上海市竞赛试题)11．下图的数阵是由77个偶数排成：用一平行四边形框出四个数(如图中示例)．(1)小颖说四个数的和是436，你能求出这四个数吗？ (2)小明说四个数的和是326，你能求出这四个数吗？第11题图…………………………………… 142 144 146 148 150 152 1543032343638404216 18 20 22 24 26 28 2 4 6 8 10 12 1407 整式的加减例1 －17例2 B例3 1998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986.例4 原多项式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由题意知，该多项式为二次多项式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a＝－1，a＝2代入得：4（2 b＋1）＋2×（b－3）－5＝－17.解得b＝－1，故原多项式为－x2－4 x－5.当x＝－2时，－x2－4 x－5＝－4＋8－5＝－1.例5 设前7站上车的乘客数量依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7人，从第2站到第8站下车的乘客数量依次为b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8人，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8.又∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝80，即100＋a 7＝80＋b 8，前6站上车而在终点下车的人数为b8－a7＝100－80＝20（人）.例6 如图，由题意得a1＋a2＋a3＝29,a2＋a3＋a4＝29,…a6＋a7＋a 1＝29,a7＋a1＋a 2＝29,将上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝29×7.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝67 .这与a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7为整数矛盾.故不存在满足题设要求的7个整数.A级1. 292. －63. －24.20035. 10 提示：3 x－2 y＋z＝2×（2 x＋y＋3 z）－（x＋4 y＋5 z）＝2×23－36＝46－36＝10.6. C7. C 提示：设满足条件的单项式为ambncp的形式，其中m，n，p为自然数，且m＋n＋p＝7.8. C 9. D10. 1.2 提示：由题意得b＝m－1＝n，c＝2 n－1＝0，0.625 a＝0.25＋（－0.125）.11. 提示：8 a＋7 b＝8（a＋9 b）－65 b.B级1. －a＋b＋c2. ≥ 1 提示：x的系数之和为零，须使4－7 x≤0且1－3 x≤0.3. 224. －94 提示：由（x＋5）2＋| y 2＋y－6|=0得x＝－5，y 2＋y＝6. y 2－ x y＋x 2＋x 3＝y 2＋y＋（－5）2＋（－5）3＝6＋25－125＝－94.5. －6. B 提示：利用绝对值的几何意义解此题. x的取值范围在与之间7. A提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝[2×1－1] 6=1①令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×（－1）－1] 6＝3 6＝729②①＋②，得2（a0＋a2＋a4＋a6）＝730，即a0＋a2＋a4＋a6＝365.8. C 9. A10. A 提示：原式＝a＋b＋c＋6n＋6是偶数.11. 提示：（1）4.5πa2 S阴影＝（a＋a＋a）2＝4.5πa2（2） ab－ b2＋πb2 S阴影＝（a＋a）b－（b2－πb2）＝ a b－ b 2＋πb2（3）3 x＋3 y＋2 z 总长1＝2 x＋4 y＋2 z＋（x－y）＝3 x＋3 y＋2 z.12. 因为＝100 a＋10 b＋c，＝10a＋c.由题意得100a＋10b＋c＝9（10a＋c）＋4c.化简得5（a＋b）＝6c（0≤a，b，c≤9，且a≠0）又∵5是质数，故，从而则符合条件的＝155，245，335，425，515，605.。
七年级数学下册 培优新帮手 专题05 数与形的第一次联姻试题 (新版)新人教版-(新版)新人教版初中
5 数与形的第一次联姻阅读与思考数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的，我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助与几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想．运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在一下几个方面：1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小； 4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．例题与求解【例1】 已知数轴上有A ，B 两点，A ，B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点O 的距离之和等于_____________．（市“迎春杯”竞赛试题）解题思路：确定A ，B 在数轴上的位置，求出A ，B 两点所表示的有理数．【例2】 在数轴上和有理数c b a ,,对应的点的位置如图所示．有下面四个结论：①0<abc ，②c a c b b a -=-+-，③0))()((>---a c c b b a ，④bc a -<1，其中，正确的结论有（ ）个．A ．4B ．3C ．2D ．1（“希望杯”邀请赛试题）解题思路：从数轴上得到101<<<<-<c b a ，再对代数式进行逐以一判断．【例3】 如图所示，已知数轴上点C B A ,,所对应的数c b a ,,都不为0，且C 是AB 的中点．如果0222=-+--+--+c b a c b c a b a ，试确定原点O 的大致位置．解题思路：从化简等式入手，而2ba c +=是解题的关键．【例4】 （1）阅读下面材料：点B A ,在数轴上分别表示实数,,b a B A ,两点之间的距离表示为AB ．当B A ,两点中有一点在原点时，当A 、B 两点都不在原点时，①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；②如图3，点A 、B 都在原点的左边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝b －a ＝|a －b |；③如图4，点A 、B 在原点的两边，|AB |＝|OB |－|OA |＝|b |－|a |＝－b －（－a ）＝|a －b |；综上，数轴上A 、B 两点之间的距离|AB |＝|a －b |． （2）回答下列问题：①数轴上表示2和5的两点之间的距离是_________，数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是______________，数轴上表示1和－3的两点之间的距离是________________；②数轴上表示x 和－1的两点A 和B 之间的距离是______________，如果|AB |＝2，那么x 为_________； ③当代数式|x ＋1|十|x －2|取最小值时________，相应的x 的取值X 围是___________． ④求1997...321-++-+-+-x x x x 的最小值．（某某省某某市中考试题）解题思路：通过观察图形，阅读理解代数式b a -所表示的意义，来回答所提出的具体问题．【例5】 某城市沿环形路有五所小学，依次为一小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15，7，11，3，14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校，现规定一小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给一小，要使电脑调动台数最小，应该做怎样的安排？（某某省荆州市竞赛试题）解题思路：通过设未知数，把调动的电脑台数用相关代数式表示出来．解题的关键是怎样将实际问题转化为求n a x a x a x y -+•••+-+-=21的最小值．【例6】 如图，A 是数轴上表示－30的点，B 是数轴上表示10的点，C 是数轴上表示18的点，点C B A ,,在数轴上同时向正方向运动．点A 运动的速度是6个单位长度/秒，点B 和点C 运动的速度是3个单位长度/秒．设三个点运动的时间为t （秒）．（1）当t 为何值时，线段AC ＝6（单位长度）？（2）t ≠5时，设线段OA 的中点为P ，线段OB 的中点为M ，线段OC 的中点为N ，求2PM －PN ＝2时t 的值．（某某省荆州市竞赛试题）解题思路：（1）C B A ,,三点在数轴上同时向正方向运动，分别当A 点运动到C 点左侧和右侧两种情况来分析求解．（2）先将N M P ,,三个点在数轴上表示的数分别写出来，因点M 始终在点N 左侧，则分为“点P 在N M ,左边”，“点P 在N M ,之间”，“点P 在N M ,右边”三种情况来求解．能力训练A 级1．已知数轴上表示负数有理数m 的点是点M ，那么在数轴上与点M 相距m 个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是______________．（某某省竞赛试题）2．如果数轴上点A 到原点的距离为3，点B 到原点的距离为5，那么B A ,两点的距离为______________．3．点B A ,分别是数3-，21-在数轴上对应的点，使线段AB 沿数轴向右移动到''B A 的中点对应数3，则点'A 对应的数是________________，点A 移动的距离是____________．（“希望杯”邀请赛试题）4．已知0>a ，0<b 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是_________________________．（用“＜”号连接）（市“迎春杯”竞赛试题）5．在数轴上任取一条长度为911999的线段，则此线段在数轴上最多能盖住的整数点的个数是（ ）．A ．1998B ．1999C ．2000D ．2001（某某市竞赛试题）6．如图，b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4（“祖冲之”邀请赛试题）7．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示，式子c b b a b a -++++化简结果为（ ）．A ．c b a -+32B ．c b -3C ．c b +D ．b c -8．如图所示，在数轴上有六个，且EF DE CD BC AB ====，则与点C 所表示的数最接近的整数是（ ）．A ．－1B ．0C ．1D ．2（“希望杯”邀请赛试题）9．已知d c b a ,,,为有理数，在数轴上的位置如图所示：且64366====d c b a ，求c b a b d a -+---22323的值．10．电子跳蚤落在数轴上的某点o K ，第一步从o K 向左挑一个单位到1K ，第二步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，…，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置o K 点所表示的数是_________________．11．如图，已知B A ,分别为数轴上两点，A 点对应的数为－20，B 点对应的数为100． （1）求过B A ,中点M 对应的数．（2）现有一只电子蚂蚁P 从B 点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C 点相遇，求C 点对应的数．（3）若当电子蚂蚁P 从B 点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q 恰好从A 点出发，以4单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D 点相遇，求D 点对应的数．B 级1．有理数c b a ,,在数轴上的位置如图所示：则化简c c a b b a ------+11的结果为_____________________． 2．电影＜＜哈利·波特＞＞中小哈利·波特穿墙进入“站台439”的镜头（如示意图中M 站台），构思奇妙，给观众留下深刻的印象．若B A ,站台分别位于－2，－1处，NB AN 2=，则N 站台用类似电影里的方法称为“_________________站台”（《时代学习报》数学文化节试题）3．在数轴上，若N 点与原点O 的距离是N 点与三〇若对应的点之间的距离的4倍，则N 点表示的数是_________________．（某某省竞赛试题）4．若0,0<>b a ，则使b a b x a x -=-+-成立的x 的取值X 围是__________________．（某某市选拔赛试题）5．如图，直线上有三个不同的点C B A ,,，且BC AB ≠，那么，到C B A ,,三点距离的和最小的点为（）．A ．B 点外 B ．线段AC 的中点 C ．线段AC 外一点D ． 无穷多个（“希望杯”邀请赛试题）6．点)(,,,,321为正整数n A A A A n ⋅⋅⋅都在数轴上，点在原点O 的左边，且11=O A ，点2A 在点1A 的右边，且212=A A ，点3A 在点2A 的左边，且323=A A ，点4A 在点3A 的右边，且434=A A ，•••，依照上述规律，点20092008,A A 所表示的数分别为（） ．A ．2008，－2009B ．－2008，2009C ．1004，－1005D ．1004，－1004（某某省某某市中考试题）7．设11++-=x x y ，则下列四个结论中正确的是（）．A ．y 没有最小值B ．只有一个x 使y 去最小值C ．有限个x （不止一个）使y 去最小值D ．有无穷多个x 使y 取最小值（全国初中数学联赛试题）8．如图，数轴上标出若干个点，每相邻两个点相距1个单位，点D C B A ,,,对应的数分别是整数d c b a ,,,，且92=-a b ，那么数轴的原点对应点是（ ）．A ．点AB ．点BC ．点CD ．点D（“新世纪杯”某某初中数学竞赛试题）9．已知y y x x +---=-++15912，求y x +的最大值和最小值．（某某省竞赛试题）10．如图，在环形运输线路上有F E D C B A ,,,,,六个仓库，现有某种货物的库存量分别是50吨、84吨、80吨、70吨、55吨和45吨．要对各仓库的存货进行调整，使得每个仓库的存货量相等，但每个仓库只能相相邻的仓库调运，并使调运的总量最小．求各仓库向其他仓库的调运量．11．如图，数轴上标有12+n 个点，它们对应的整数是n n n n n ,1,2,,2,1,0,1,2,),1(,--⋅⋅⋅--⋅⋅⋅---．为了确保从这些点中可以取出2006个，使任何两个点之间的距离都不等于4．求n 的最小值．（“华罗庚金杯”少年邀请赛试题）专题05 数与形的第一次联姻例1 12 提示：点A 表示数为3或－3，满足条件的点B 共有4个． 例2 B 提示：由数轴知a ＜－1＜0＜b ＜c ＜1．∴abc ＜0，故①正确；由绝对值的几何意义知②正确；a －b ＜0，b －c ＜0，c －a ＞0，故（a －b ）（b－c ）(c －a ）＞0，③正确；|a |＞1，1－bc ＜1，|a |＞1－bc ，④不正确． 例3 原点O 在线段AC 上．例4 ①3，3，4 ②|x ＋1| 1或－3 ③－1≤x ≤2 ④997 002例5 如图，用A ，B ，C ，D ，E 点顺时针排列依次表示一至五所小学，且顺次向邻校调给1x ，2x ，3x ，4x ，5x 台电脑．依题意得：7＋1x －2x ＝11＋2x －3x ＝3＋3x －4x ＝14＋4x －5x ＝15＋5x －1x ＝10．得2x ＝1x －3，3x ＝1x －2，4x ＝1x －9，5x ＝1x －5．本题要求y ＝|1x |＋|2x |＋|3x |＋|4x |＋|5x |的最小值，依次代入，可得y ＝|1x |＋|1x －3|＋|1x －2|＋|1x －9|＋|1x －5|．由绝对值几何意义可知，当1x ＝3时，y 有最小值12．此时有2x ＝0，3x ＝1，4x ＝－6，5x ＝－2． 所以，一小向二小调出3台，三小向四小调出1台，五小向四小调出6台，一小向五小调出2台，这样调动的电脑总台数最小为12台．例6 （1）A ，B ，C 三点在数轴上同时向正方向运动． 当点A 运动到点C 左侧时，∵线段AC ＝6，∴6＋6t ＝30＋18＋3t ，解得t ＝14． 当点A 运动到点C 右侧时，∵线段AC －6，∴6t －6＝30＋18＋3t ，解得t ＝18． 综上可知，t 为14或18时，线段AC ＝6．（2）当点A ，B ，C 三个点在数轴上同时向正方向运动t 秒后，点A ，B ，C 在数轴上表示的数分别为：6t －30，10＋3t ，18＋3t ．（3）∵P ，M ，N 分别为OA ，OB ，OC 的中点． ∴P ，M ，N 三个点在数轴上表示的数分别为：2306-t ，2310t +，2318t+．且点M 始终在点N 左侧． ①若点P 在M ，N 左边，则PM ＝2310t +－2306-t ＝20－1．5t ，PN ＝2318t +－2306-t ＝24－1．5t ．∵2PM －PN ＝2，∴2（20－1．5t ）－（24－1．5t ）＝2， ∴t ＝328． ②若点P 在M ，N 之间，则PM ＝2306-t －2310t+＝－20＋1．5t ， PN ＝2318t +－2306-t ＝24－1．5t ．∵2PM －PN ＝2，∴2（－20＋1．5t ）－（24－1．5t ）＝2， ∴t ＝344． ③若点P 在M ，N 右边，则PM ＝2306-t －2310t+＝－20＋1．5t ，PN ＝2306-t －2318t +＝－24＋1．5t ． ∵2PM －PN ＝2，∴2（－20＋1．5t ）－（－24＋1．5t ）＝2， ∴t ＝12．但此时PM ＝－20＋1．5t ＜0，所以此情况不成立． 综上可知，t ＝328或344时符合题意．A 级1．2m 2．2或8 3.47，419提示：AB 的长为()221--⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝25，A '对应的数为3－2521⨯＝47，点A 移动的距离为47－（－3）＝419． 4．b ＜－a ＜a ＜|b | 5．C 6．B 7．C 8．C 9． 510．－30．06 提示：设0K 点表示的有理数为x ，则1K ，2K ，…，100K 点所表示的有理数分别为x －1，x －1＋2，x －1＋2－3，…，x －1＋2－3＋4－…－99＋100．由题意得x －1＋2－3＋4－…－99＋100＝19．94． 11．（1）M 点对应的数为210020+-＝40．（2）相遇时间为46120+＝12秒，C 点对应的数为100－12×6＝28．（3）追击时间为60秒，D 点对应的数为－260．B 级1．－2 2．311-3．24或40．提示：设N 点对应的数为x ．根据绝对值的几何意义可知|x |＝4|x －30|．对x 分情况讨论得出x ＝24或x ＝40．4.b ≤x ≤a 5．A 6．C 7．D 8．C9．原式化为|x ＋2|＋|1－x |＋|y －5|＋|1＋y |＝9．∵|x ＋2|＋|1－x |≥3，当－2≤x ≤1时等号成立；|y －5|＋|1＋y |≥6，当－1≤y ≤5时等号成立．∴x ＋y 的最大值＝1＋5＝6；x ＋y 的最小值＝－2－1＝－3．10．调运后各仓库的存货量都相等，应为61×（50＋84＋80＋70＋55＋45）＝64吨． 设A 库运往B 库B x 吨，B 库运往C 库C x 吨，C 库运往D 库D x 吨，D 库运往E 库E x 吨，E 库运往F库F x 吨，F 库运往A 库A x 吨，故有:50＋A x －B x ＝84＋B x －C x ＝80＋C x －D x ＝70＋D x －E x ＝55＋E x －F x ＝45＋F x －A x ＝64．所以，B x ＝A x －14，C x ＝B x ＋20＝A x ＋6，D x ＝C x ＋16＝A x ＋22，E x ＝D x ＋6＝A x ＋28，Fx ＝E x －9＝A x ＋19．若使调运量最小，则有y ＝|A x |＋|B x |＋|C x |＋|D x |＋|E x |＋|F x |＝|A x |＋|A x －14|＋|A x ＋6|＋|A x ＋22|＋|A x ＋28|＋|A x ＋19|取最小值．而－28＜－22＜－19＜－6＜0＜14，所以，当－19≤≤A x -6时，y 有最小值，此时，-33≤≤B x -20，-13≤≤C x 0，3≤≤D x 16，9≤≤E x 22，0≤≤F x 13.当A x =-19时，B x =-33, c x =-13，D x =3, E x =9, F x =0.即A 库运往B 库-33吨，亦即B 库运往A 库33吨.B 库运往C 库-13吨，亦即C 库运往B 库13吨.C 库运往D 库3吨，D 库运往E 库9吨，E 库运往F 库0吨，F 库运往A 库19吨，总调运量为77吨.11.首先注意8个连续的点，例如0，1，2，3，4，5，6，7.从中可取前4个点0，1，2，3，其中任何两个点的距离为4：（0，4），（1，5），（2，6），（3，7），所以每一组只能选一个点，8个点中只能选出4个点，任何两个点之间的距离都不等于4.因为2006=4×501+2，8×501=4010.故当n=2005时，2n+1=4011.从左到右，每8个连续的点中取前4个点，剩下的3个点中取2个点，共取2006个点，任何两点间的距离都不等于4.另一方面，如果n ≤2004，那么2n+1≤4009.从左到右，第8个连续点一组，至多502组，其中最后一组只有1个点.因此不论怎么取2006个点，前501组中总有一组取的点多于4个，从而有两个点的距离为4.综上所述，n的最小值是2005.。
[小初高学习]七年级数学下册 培优新帮手 专题12 数余的扩充试题 (新版)新人教版
12 数余的扩充———实数的概念与性质阅读与思考人类对数的认识是在生活中不断加深和发展的。
数系的每一次扩张都源于实际生活的需要，在非负有理数知识的基础上引进负数，数系发展到有理数，这是数系的第一次扩张；但随着人类对数的认识不断加深和发展，人们发现现实世界中确实存在不同于有理数的数——无理数。
在引人无理数的概念后，数系发展到实数，这是数系的第二次扩张.理篇无理数是学好实数的关键，为此应注意：1. 把握无理数的定义：无理数是无限不循环小数，不能写成分数pq的形式（这里p ，q 是互质的整数，且p ≠0）；2．掌握无理数的表现形式：无限不循环小数，与π相关的数，开方开不尽得到的数等； 3. 有理数对加、减、乘、除是封闭的，即任何两个有理数的和、差、积、商还是有理数；无理数对四则运算不具有封闭性，即两个无理数的和、差、积、商不一定是无理数；4．明确无理数的真实性.克菜因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作，音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切.”想一想：下列说法是否正确？ ①带根号的数是无理数；②两个无理数的和、差、积、商一定还是无理数； ③一个无理数乘以一个有理数，一定得无理数； ④一个无理数的平方一定是有理数.例题与求解【例1】 已知02)4(22=-++++-c b a b a ．则bac )(的平方根是________.（湖南省长沙市“学用杯”竞赛试题）解题思路：运用式子的非负性，求出a ，b ，c 的值．【例2】若a ，b 是实数，且42212+-+-=b b a ．则b a +的值是( ).A ．3或－3B ．3或－1C ．－3或－1D ．3或1（湖北省黄冈市竞赛试题）解题思路：由算术根的双非负性，可得1-b ≥0，b 22-≥0，求出b ＝1．代入原式中可得a ＝±2．由算术平方根的定义可得到算术平方根的双非负性： ①a 中a ≥0； ②a ≥0.运用算术平方根的双非负性是挖掘隐含条件的常用方法.【例3】 已知实数m ，n ，p 满足等式=--⋅+-n m n m 199199p n m p n m -++--+32253，求p 的值．（北京市竞赛试题）解题思路：观察发现）（n m +-199，）（n m --199互为相反数，由算术平方根定义、性质探寻解题的切入点．【例4】已知a ，b 是有理数，且032091412)12341()2331(=---++b a ，求a ，b 的值． 解题思路：把原等式整理成有理数与无理数两部分，运用实数的性质建立关于a ，b 的方程组. 实数有以下常用性质：①若a ，b 都是有理数，c 为无理数，且0c b a =+，则a ＝b ＝0; ②若a ，b ，c ，d 都是有理数，c ，d 为无理数，且“d b +=+c a ，则a ＝b ，d c =．要证一个数是有理数，常证这个数能表示成几个有理数的和、差、积、商的形式；要证一个数是无理数，常用反证法，即假设这个数为有理数，设法推出矛盾. 想一想怎样证明2是无理数？【例5】一个问题的探究问题：设实数x ，y ，z 满足xyz ≠0．且0=++z y x .求证：zy x z y x 111111222++=++ 在上述问题的基础上，通过特殊化、一般化，我们可编拟出下面两个问题： (1)设a ，b ，c 为两两不相等的有理数，求证：222)(1)(1)(1a c c b b a -+-+-为 有理数．（2）设222222200912008113121121111+++⋅⋅⋅++++++=S ，求S 的整数部分. 解题思路：从公式)(2)(2222ac bc ab c b a c b a +++++=++入手． 【例6】设22121111++=S ，22231211++=S ，22341311++=S ，…，22)1(111+++=n n S n ， 求n S S S +⋅⋅⋅++21的值（用含n 的代数式表示，其中n 为正整数）．（四川省成都市中考试题）解题思路：解答此题的关键是将n S 变形为一个代数式的平台。
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07 整式的加减 阅读与思考 整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点： 1．透彻理解“三式”和“四数”的概念 “三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数． 2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则” “两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则． 物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项． 例题与求解 [例1] 如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______． (江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手． [例2] 已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( )
A．a＋b B．a－b C．a＋b2 D．a2＋b (“希望杯”初赛试题) 解题思路：采用赋值法，令a＝，b＝－，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子． [例3] 已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－时，代数式3ax－24by3＋4986的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值． [例4] 已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式． [例5] 一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？ (“希望杯”初赛试题) 解题思路：前7站上车总人数等于第2站到第8站下车总人数．本例目的是求第8站下车人数比第7站上车人数多出的数量． [例6] 能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排列成一圈后，任3个相邻数的和等于29？如果，请举出一例；如果不能，请简述理由． (“华罗庚金杯”少年邀请赛试题) 解题思路：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，满足题意，由此展开推理，若推出矛盾，则假设不成立． 能力训练 A级 1．若－4xm－2y3与x3y7－2n是同类项，m2＋2n＝______． (“希望杯”初赛试题) 2．当x＝1，y＝－1时，ax＋by－3＝0，那么当x＝－1，y＝1时，ax＋by－3＝______． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 3．若a＋b＜0，则化简|a＋b－1|－|3－a－b|的结果是______． 4．已知x2＋x－1＝0，那么整式x3＋2x2＋2002的值为______． 5．设则3x－2y＋z＝______． (xx年全国初中数学联赛试题) 6．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0，则C＝( )． A．5a2＋3b2＋2c2 B．5a2－3b2＋4c2 A．3a2－3b2－2c2 A．3a2＋b2＋4c2 7．同时都有字母a，b，c，且系数为1的7次单项式共有( )． A．4个 B．12个 C．15个 D．25个 (北京市竞赛题) 8．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示： 则代数式|a|－|a＋b|＋|c－a|＋|b－c|化简后的结果是为( )． A．－a B．2a－2b C．2c－a D．a 9．已知a＋b＝0，a≠b，则化简(a＋1)＋(b＋1)得( )． A．2a B．2b C．＋2 D．－2 10．已知单项式0.25xbyc与单项式－0.125xm－1y2n－1的和为0.625axnym，求abc的值． 11．若a，b均为整数，且a＋9b能被5整除，求证：8a＋7b也能被5整除． (天津市竞赛试题) B级 1．设a＜－b＜c＜0，那么|a＋b|＋|b＋c|－|c－a|＋|a||＋b|＋|c|＝______． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 2．当x的取值范围为______时，式子－4x＋|4－7x|－|1－3x|＋4的值恒为一个常数，这个值是______． (北京市“迎春杯”竞赛试题) 3．当x＝2时，代数式ax3－bx＋1的值等于－17，那么当x＝－1时，代数式12ax－3bx3－5的值等于______． 4．已知(x＋5)2＋|y2＋y－6|＝0，则y2－xy＋x2＋x3＝______． (“希望杯”邀请赛试题) 5．已知a－b＝2，b－c＝－3，c－d＝5，则(a－c)(b－d)÷(a－d)＝______． 6．如果对于某一特定范围内x的任意允许值，P＝|1－2x|＋|1－3x|＋…＋|1－9x|＋|1－10x|的值恒为一个常数，则此值为( )． A．2 B．3 C．4 D．5 (安徽省竞赛试题) 7．如果(2x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，那么a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6等于______；a0＋a2＋a4＋a6等于______． A．1，365 B．0，729 C．1，729 D．1，0 (“希望杯”邀请赛试题) 8．设b，c是整数，当x依次取1，3，6，11时，某学生算得多项式x2＋bx＋c的值分别为3，5，21，93．经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．
0 b a c 第8题图 A．当x＝1时，x2＋bx＋c＝3 B．当x＝3时，x2＋bx＋c＝5
C．当x＝6时，x2＋bx＋c＝21 D．当x＝11时，x2＋bx＋c＝93 (武汉市选拔赛试题) 9．已知y＝ax7＋bx5＋cx3＋dx＋e，其中a，b，c，d，e为常数，当x＝2时，y＝23；当x＝－2时，y＝－35，那么e的值是( )． A．－6 B．6 C．－12 D．12 (吉林省竞赛试题) 10．已知a，b，c三个数中有两个奇数，一个偶数，n是整数，如果s＝(a＋n＋1)·(b＋2n＋2)(c＋3n＋3)，那么( )． A．s是偶数 B．s是奇数 C．s的奇偶性与n的奇偶性相同 D．s的奇偶性不能确定 (江苏省竞赛试题) 11．(1)如图1，用字母a表示阴暗部分的面积； (2)如图2，用字母a，b表示阴暗部分的面积； (3)如图3，把一个长方体礼品盒用丝带打上包装(图中虚线为丝带)，打蝴蝶结的部分需丝带(x－y)cm，打好整个包装需用丝带总长度为多少？
12．将一个三位数中间数码去掉，成为一个两位数，且满足＝9＋，如155＝9×15＋4×5．试求出所有这样的三位数．
图1 a a a x y z 图3
b a b 图2
a 07 整式的加减 例1 －17 例2 B 例3 1998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986. 例4 原多项式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由题意知，该多项式为二次多项式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a＝－1，a＝2代入得：4（2 b＋1）＋2×（b－3）－5＝－17. 解得b＝－1，故原多项式为－x2－4 x－5. 当x＝－2时，－x2－4 x－5＝－4＋8－5＝－1. 例5 设前7站上车的乘客数量依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7人，从第2站到第8站下车的乘客数量依次为b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8人，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝b2＋b3＋b4＋b5＋b6
＋b7＋b8.又∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝80，即100＋a 7＝80＋b
8，前6站上车而在终点下车的人数为b8－a7＝100－80＝20（人）. 例6 如图，由题意得a1＋a2＋a3＝29, a2＋a3＋a4＝29,
… a6＋a7＋a 1＝29,
a7＋a1＋a 2＝29,
将上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝29×7. ∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝67. 这与a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7为整数矛盾. 故不存在满足题设要求的7个整数. A级 1. 29 2. －6 3. －2 4.2003 5. 10 提示：3 x－2 y＋z＝2×（2 x＋y＋3 z）－（x＋4 y＋5 z）＝2×23－36＝46－36＝10. 6. C 7. C 提示：设满足条件的单项式为ambncp的形式，其中m，n，p为自然数，且m＋n＋p＝7. 8. C 9. D 10. 1.2 提示：由题意得b＝m－1＝n，c＝2 n－1＝0，0.625 a＝0.25＋（－0.125）. 11. 提示：8 a＋7 b＝8（a＋9 b）－65 b.