2017-2018学年湖南省高二上学期12月月考试题 数学(文) word版
湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
湖南省名校大联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．复数4i iz +=在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．已知椭圆(22213x y a a +=>的离心率为12，左､右焦点分别为12,,F F A 为椭圆上除左､右顶点外的一动点，则12AF F △的面积最大为（ ）A．1 B C ．2 D ．3．设R a ∈，直线()()12:110,:220l a x y l x ay a ++-=+-+=，则“1a =”是“1l //2l ”的（ ） A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．若函数()()2391x x x ax f x +=+为偶函数，则a =（ ） A ．1- B ．0C ．1D ．35．已知点()00,x y 为直线260x y ++= ）AB ．2CD 6．如图，在异面直线,m n 上分别取点,A B 和,C D ，使2,4,6AB CD BD ===，且,AC m AC n ⊥⊥，若π,3AB CD <>=u u u r u u u r ，则线段AC 的长为（ ）A ．2B ．C ．D ．67．已知点P 为椭圆221169x y +=上任意一点，则点P 到直线:90l x y -+=的距离的最小值为（ ）A．B ．4C ．D ．8．如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为2的菱形，π3,3PA ABC BAP ∠∠===，且1cos 6PAD ∠=，则cos PBC ∠=（）A ．BC ．D二、多选题9．党的二十大作出“发展海洋经济，保护海洋生态环境，加快建设海洋强国”的战略部署．如图是2018—2023年中国海洋生产总值的条形统计图，根据图中数据可知下列结论正确的是（ ）A ．从2018年开始，中国海洋生产总值逐年增大B ．从2019年开始，中国海洋生产总值的年增长率最大的是2021年C ．这6年中国海洋生产总值的极差为15122D ．这6年中国海洋生产总值的80%分位数是9462810．已知圆22:(1)1M x y -+=与圆22:(2)4N x y +-=相交于,A B 两点（点A 在第一象限），则（ ）A ．直线AB 的方程是20x y -=B ．,,,A M B N 四点不共圆C ．圆M 的过点A 的切线方程为3480x y +-=D ．4cos 5AMB ∠=- 11．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AB AD AA λ=++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中[)1,λ∞∈+，则下列说法正确的是（）A ．若1,,,,AB D A P 在同一球面上，则3λ=B ．若AB ∥平面1A DP ，则2λ=C ．若点P 到1,,,A BD A 四点的距离相等，则2λ=D ．若1A P ⊥平面PBD ，则32λ=三、填空题12．已知直线:2l y kx =+在x 轴上的截距为1，则k =.13．已知tan 2α=，则2sin cos sin 1ααα-+=.14．古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中有这样一个结论：平面内与两点距离的比为常数()1λλ≠的点的轨迹是圆，后人称这个圆为阿波罗尼斯圆.已知点()7,0A -，B 为直线:43110l x y ++=上的动点，P 为圆22:(2)9C x y -+=上的动点，则3PA PB +的最小值为.四、解答题15．已知直线1l 的方程为()420a x ay +-+=，直线2l 经过点1,02A ⎛⎫ ⎪⎝⎭和10,B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭. (1)若12l l ⊥，求a 的值；(2)若当a 变化时，1l 总过定点C ，求AC .16．已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c sin cos C c A c =+.(1)求A ；(2)若π,4C ABC =△的面积为6，求c .17．已知圆221:202E x mx y m -+-=，点()1,0A 关于直线:l y ax b =+的对称点为()2,3B -. (1)求l 的方程；(2)若l 与圆E 相交于,M N 两点，圆心E 到l 圆C 的圆心在线段MN 上，且圆C 与圆E 相切，切点在劣弧MN 上，求圆C 的半径的最大值.18．如图，在三棱锥P ABC -中，2,,,PA AB BC PB AC PA BC M N =====⊥分别是棱PB ，CA 上的动点（不含端点），且BM CN =.(1)证明：平面ABC ⊥平面PAB .(2)设BM t =，则当t 为何值时，MN 的长度最小？(3)当MN 的长度最小时，求平面AMN 与平面PAB 的夹角的余弦值.19．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>经过点()3,1O 为坐标原点. (1)求E 的方程.(2)过点()0,3P 且不与y 轴重合的动直线l 与E 相交于,A B 两点，AB 的中点为Q . （i ）证明：直线l 与OQ 的斜率之积为定值；（ii ）当OAB △的面积最大时，求直线l 的方程.。
2019年冠县第三中学高考数学选择题专项训练(一模)
2019年冠县第三中学高考数学选择题专项训练（一模）抽选各地名校试卷，经典试题，有针对性的应对高考数学考点中的难点、重点和常规考点进行强化训练。
第 1 题：来源：湖南省怀化三中2017_2018学年高一数学下学期期中试题下列区间中，使函数为增函数的是( )A B C D【答案】C第 2 题：来源：内蒙古杭锦后旗2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案函数f(x)＝的零点所在的区间为( )A．（1，2） B．（2，3） C．（3，4） D．（4，5）【答案】B第 3 题：来源：湖南省双峰县2017_2018学年高二数学上学期第一次月考试题在已知中，内角所对边的长分别是，若，则的值为（）A、B、C、D、【答案】B第 4 题：来源：河南省信阳高级中学2018_2019学年高二数学10月月考试题理.已知椭圆：，过点的直线与椭圆相交于两点，且弦被点平分，则直线的方程为（）A． B． C．D．【答案】B第 5 题：来源：广东省惠州市2018届高三数学上学期12月月考试题理试卷及答案一个棱锥的三视图如上图所示，则它的体积为( )A．B． C．1 D．【答案】A第 6 题：来源：甘肃省武威市2016_2017学年高二数学下学期期末考试试题理试卷及答案设函数是奇函数的导函数，，当时，，则使得成立的x的取值范围是( )A． B．C． D．【答案】A第 7 题：来源：山东省潍坊市2019年高考数学模拟训练试题理若等差数列的前17项和，则等于A.3B.6C.17D.51【答案】A第 8 题：来源：吉林省实验中学2018_2019学年高二数学上学期期中试题文双曲线的一个焦点为，椭圆的焦距为4，则A．8 B．6 C．4 D．2【答案】C第 9 题：来源：福建省福州市八县（市）一中2018_2019学年高一数学下学期期末联考试题三棱锥则二面角的大小为( )A． B．C．D．【答案】B第 10 题：来源：湖南省邵东县2018届高三数学第一次月考试卷及答案理满足{2}⊆M⊆{1,2,3}的集合M 有 ( )A． 2个 B． 3个 C． 4个 D． 5个【答案】 C第 11 题：来源：宁夏石嘴山市第三中学2017届高三数学上学期第五次适应性考试（期末）试已知复数，其中为虚数单位，则A. B. C.D.2【答案】C.【解析】试题分析：由题意得，，∴，故选C.考点：复数的运算.第 12 题：来源：福建省四地六校2016_2017学年高二数学下学期第二次联考（5月）试题理 (1) 若复数的共轭复数为，且满足：，其中为虚数单位，则（）A．1 B．2 C． D．4【答案】B第 13 题：来源：吉林省汪清县2017_2018学年高一数学上学期期中试题试卷及答案三个数20.3,0.32，log0.32的大小顺序是A．log0.32＜20.3＜0.32 B．20.3＜0.32＜log0.32C．log0.32＞20.3＞0.32 D．20.3＞0.32＞log0.32【答案】D第 14 题：来源： 2017届河北省武邑高考一模考试数学试题（理）含答案在平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线交于点,若的垂心为的焦点，则的离心率为（）A． B． C. D．【答案】C第 15 题：来源：广东省深圳市南山区2018届高三数学上学期期末教学质量监测试题理．设函数的定义域为，若满足条件：存在，使在上的值域为，则称为“倍缩函数”．若函数为“倍缩函数”，则实数的取值范围是A．（﹣∞，ln2﹣1） B．（﹣∞，ln2﹣1]C．（1﹣ln2，+∞） D．[1﹣ln2，+∞）【答案】C解：∵函数f（x）=lnx+t为“倍缩函数”，且满足存在[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域是[，]，∴f（x）在[a，b]上是增函数；∴，即在（0，+∞）上有两根，即y=t和g（x）=﹣lnx在（0，+∞）有2个交点， g′（x）=﹣=，令g′（x）＞0，解得：x＞2，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜2，故g（x）在（0，2）递减，在（2，+∞）递增，故g（x）≥g（2）=1﹣ln2，故t＞1﹣ln2，故选C：．第 16 题：来源：山东省泰安第一中学2019届高三数学12月学情诊断试题理已知命题p：存在0≤x≤π，cos2x+cosx-m=0为真命题,则实数m的取值范围是（）A[-,-1] B[-,2] C[-1，2] D[-,+∞]【答案】 C第 17 题：来源：山东省济南第一中学2017届高三数学10月阶段测试试题文（含解析）.设函数，其中.若且的最小正周期大于，则A. B. C. D.【答案】A【解析】由f(x)的最小正周期大于2π,得，又,得，∴T=3π,则 .∴，由 ,得 .∴ .取k=0,得 .∴ .第 18 题：来源：湖南省长沙市2017_2018学年高二数学上学期第一次模块检测试题理试卷及答案设为全集，是集合，则“∅”是“存在集合使得”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C第 19 题：来源：河北省曲周县一中2018_2019学年高二数学12月月考试题理“”是“”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A第 20 题：来源：江西省南城县2016_2017学年高一数学上学期第二次月考试题理试卷及答案函数y＝|cotx|·sinx（0＜x≤且x≠π）的图象是（）【答案】C第 21 题：来源：浙江省宁波市余姚中学、镇海中学、慈溪中学、效实中学等九所重点学校高一（上）期末数学试卷（含答案解析）若，，均为单位向量，且•=0，（﹣）•（﹣）≤0，则|+﹣2|的最大值为（）A．1 B． C．﹣1 D．2﹣【答案】B【解答】解：∵•=0，（﹣）•（﹣）≤0，∴﹣﹣•+≤0，∴（+）≥1，∴|+﹣2|2=（﹣）2+（﹣）2+2（﹣）•（﹣）=4﹣2（+）+2[﹣（（+）+1]=6﹣4（+）≤6﹣4=2，∴|+﹣2|的最大值第 22 题：来源：新疆生产建设兵团2016_2017学年高二数学下学期第四次月考试题理试卷及答案.已知，则的最小值为( )A．6 B．10 C．12 D．16【答案】 D第 23 题：来源：山东省泰安市三校2017_2018学年高二数学上学期期中联考试题试卷及答案等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于( )A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C第 24 题：来源：湖北省宜昌市第一中学2016_2017学年高二数学下学期3月阶段检测试题试卷及答案理．如图，在半径为R的圆内随机撒一粒黄豆，它落在阴影部分内接正三角形上的概率是（）A． B． C． D．【答案】D第 25 题：来源：吉林省名校2019届高三数学第一次联合模拟考试试题理已知四棱锥S—ABCD，SA⊥平面ABCD，AB⊥BC，∠BCD＋∠DAB＝π，SA＝2，，二面角S—BC—A的大小为．若四面体SACD的四个顶点都在同一球面上，则该球的表面积为A． B．4π C．8π D．16π【答案】C第 26 题：来源：河北省保定市2016_2017学年高二数学3月月考试题理试卷及答案已知函数，则的值为（）A．10 B．-10 C．-20 D．20【答案】C ∵，∴.第 27 题：来源：湖南省浏阳市2016_2017学年高二数学下学期第一次阶段性测试试题试卷及答案理点F是双曲线的焦点，过F的直线l与双曲线同一支交于两点，则l倾斜角的取值范围是( )(A) (B) (C)【答案】D第 28 题：来源：聊城市2017年高考数学理科模拟试卷（一）含答案解析已知向量，，，若，则（）A．8 B．10 C．15 D．18【答案】B第 29 题：来源：吉林省白城十四中2018届高三数学下学期期末考试试题理i是虚数单位，计算( )A．-1 B．1 C． D．【答案】：B第 30 题：来源：重庆市2017届高三数学下学期第一次段考试卷及答案理（含解析）若复数z满足2z+=3﹣2i，其中i为虚数单位，则z=（）A．1+2i B．1﹣2i C．﹣1+2i D．﹣1﹣2i【答案】 B【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．【分析】设出复数z，通过复数方程求解即可．【解答】解：复数z满足2z+=3﹣2i，设z=a+bi，可得：2a+2bi+a﹣bi=3﹣2i．解得a=1，b=﹣2．z=1﹣2i．故选：B．第 31 题：来源：广西南宁市2017_2018学年高二数学上学期期中试题试卷及答案下列不等式正确的是（）A． B．C． D．【答案】B 【解析】当x＞0时，，当x＜0时，，所以，故A不正确，B正确；由于x＞0，所以，当且仅当，即时取等号，故C不正确；当时，，时，，故D不正确.第 32 题：来源：安徽省淮北市2016届高三第二次模拟考试理科数学试卷含答案设中变量x，y满足条件，则z的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C本题主要考查了线性规划的基本运算,由直线交点计算出结果即可. 【解答】解：的最小值，即求2x+y的最小值，当取K点时为最小值，平移直线y=-2x到K（1,1）时取得最小值为2x+y=2+1=3,即Z最小值=8.第 33 题：来源：广东省江门市第二中学2017_2018学年高二数学11月月考试题（含解析）命题“，”的否定为（）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】D【解析】该题命题的否定是：，。
湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题
湖南省多校联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4,5U =，{}2,4A =，{}1,4,5B =，则()U B A ⋂=ð（ ） A ．{}3 B ．{}4 C ．{}1,4D ．{}1,52．已知复数1i z a =+（0a >），且3z =，则a =（ ）A ．1B ．2C D ．3．已知1sin 3α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则πcos 22α⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ）A ．9B ．19-C ．79-D ．9-4．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，且当0x ≤时，()22x af x =+，则()1f =（ ） A ．2B ．4C ．2-D ．4-5．在正方体1111ABCD A B C D -中，二面角1B AC B --的正切值为（ ）A B C D 6．已知线段AB 的端点B 的坐标是()3,4，端点A 在圆()()22124x y -+-=上运动，则线段AB 的中点P 的轨迹方程为（ ） A ．()()22232x y -+-= B ．()()22231x y -+-= C ．()()22341x y -+-=D ．()()22552x y -+-=7．我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的棱柱称为堑堵.已知在堑堵111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，1AB BC AA ==，,,D E F 分别是所在棱的中点，则下列3个直观图中满足BF DE ⊥的有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个8．已知过点()1,1P 的直线l 与x 轴正半轴交于点A ，与y 轴正半轴交于点B ，O 为坐标原点，则22OA OB +的最小值为（ ） A ．12B ．8C ．6D ．4二、多选题9．已知函数()πsin 24f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则（ ）A ．()f x 的最小正周期为πB ．()f x 的图象关于直线π85x =对称 C ．()f x 的图象关于点π,18⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D ．()f x 的值域为[]1,1-10．若数据1x ，2x ，3x 和数据4x ，5x ，6x 的平均数、方差、极差均相等，则（ ）A ．数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的平均数相等B ．数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的方差相等C ．数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的极差相等D ．数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 与数据1x ，2x ，3x 的中位数相等11．已知四棱柱1111ABCD A B C D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD ，13AA =，π3DAB ∠=，点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++u u u r u u u r u u u r u u u r ，其中λ，μ，[]0,1t ∈，则（ ）A ．当P 为底面1111D CB A 的中心时，53t λμ++=B ．当1t λμ++=时，APC ．当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D ．当221t λμλμ++==时，1A P u u u r为定值三、填空题12．已知向量()1,2a =-r ，(),4b m =-r．若()a ab ⊥+r r r ，则m =．13．已知在正四棱台1111ABCD A B C D -中，()0,4,0AB =u u u r ，()13,1,1CB =-u u u r，()112,0,0A D =-u u u u r ，则异面直线1DB 与11A D 所成角的余弦值为.14．已知函数()21xg x =-，若函数()()()()()2121f x g x a g x a =+--+⎡⎤⎣⎦有三个零点，则a的取值范围为.四、解答题15．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2cos c b a B +=． (1)若π2A =，求B ；(2)若a =1b =，求ABC V 的面积.16．甲、乙、丙三人打台球，约定：第一局由甲、乙对打，丙轮空；每局比赛的胜者与轮空者进行下一局对打，负者下一局轮空，如此循环.设甲、乙、丙三人水平相当，每场比赛双方获胜的概率都为12.(1)求甲连续打四局比赛的概率； (2)求在前四局中甲轮空两局的概率； (3)求第四局甲轮空的概率.17．如图，在几何体PABCD 中，PA ⊥平面ABC ，//PA DC ，AB AC ⊥，2PA AC AB DC ===，E ，F 分别为棱PB ，BC 的中点.(1)证明：//EF 平面PAC ．(2)证明：AB EF ⊥.(3)求直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值.18．设A 是由若干个正整数组成的集合，且存在3个不同的元素a ，b ，c A Î，使得a b b c -=-，则称A 为“等差集”．(1)若集合{}1,3,5,9A =，B A ⊆，且B 是“等差集”，用列举法表示所有满足条件的B ；(2)若集合{}21,,1A m m =-是“等差集”，求m 的值；(3)已知正整数3n ≥，证明：{}23,,,,nx x x x ⋅⋅⋅不是“等差集”．19．过点()00,A x y 作斜率分别为1k ，2k 的直线1l ，2l ，若()120k k μμ=≠，则称直线1l ，2l 是()A K μ定积直线或()()00,x y K μ定积直线．(1)已知直线a ：()0y kx k =≠，直线b ：13y x k=-，试问是否存在点A ，使得直线a ，b 是()A K μ定积直线？请说明理由．(2)在OPM V 中，O 为坐标原点，点P 与点M 均在第一象限，且点()00,M x y 在二次函数23y x =-的图象上．若直线OP 与直线OM 是()()0,01K 定积直线，直线OP 与直线PM 是()2P K -定积直线，直线OM 与直线PM 是()00,202x y K x ⎛⎫- ⎪⎝⎭定积直线，求点P 的坐标．(3)已知直线m 与n 是()()2,44K --定积直线，设点()0,0O 到直线m ，n 的距离分别为1d ，2d ，求12d d 的取值范围．。
湖南省永州一中2014-2015学年高二上学期第一次月考数学(文)试题 Word版含答案
2014-2015学年上学期永州市一中高二年级第一次月考数学试卷(文)考试时量：120分钟 满分：150分命题人：伍学军一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.每小题只有一个选项是正确的. 1、已知{}n a 是等比数列，41,241==a a ，则公比q=（ ） A.21-B. 2-C.2D.21 2、下列命题中正确的是( )A ．若a b >，则ac bc > B.若a b >，c d >，则a c b d ->- C.若0ab >，a b >，则11a b < D.若a b >，c d >，则a b c d> 3、一个数列{a n }，其中a 1＝3，a 2＝6，a n ＋2＝a n ＋1－a n ，则a 5＝( )A ．6B ．－3C ．－12D ．－64、已知△ABC 中，AB ＝6，∠A ＝30°，∠B ＝120°，则△ABC 的面积为( ) A ．9 B ．18 C ．93 D ．1835、不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥≥+≤+,0,43,43x y x y x 所表示的平面区域的面积等于( )A ．23 B ．32 C ．34 D ．43 6、在△ABC 中，若,12,10,9===c b a 则△ABC 的形状是( )A ．锐角三角形B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．不确定7、三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程06752=--x x 的根，则三角形的另一边长为( ) A. 52B. 213C. 16D. 48、若数列}{n a 中，n a n 343-=，则n S 取最大值时n =( )A ．13B ．14C ．15D ．14或15 9、已知数列121,,,4a a --成等差数列，1231,,,,4b b b --成等比数列，则212a ab -的值是( ) A ．14B ．12-C ．12D ．12-或1210、若不等式210kx kx -+>对任意x R ∈都成立，则k 的取值范围是( ) A.(0,4) B.[)0,4 C.(0,)+∞ D.[)0,+∞二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.请把答案填在答题卡相应位置. 11、不等式013>--x x 的解集为 . 12、若不等式x 2－ax －b ＜0的解集为{x |2＜x ＜3}，则a ＋b ＝________.13、 在等差数列{}n a 中，若34567450a a a a a ++++=，则28a a += ． 14、一个等比数列的前n 项和为,48=n S 前n 2项之和602=n S ，则n S 3= . 15、一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60，行驶４h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15，这时船与灯塔的距离为 km ． 三、解答题：本大题共6小题，共75分.每题均应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分12分)△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B Csin sin ＝53． (1) 求AC 的长； (2) 求∠A 的大小．17、(本小题满分12分)已知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，x ∈R.(1) 求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2) 函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？18、(本小题满分12分) 某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)，游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案. (1) 设闯过n (n ∈N ，且n ≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为n A ，n B ，n C ，试求出n A ，n B ，n C 的表达式；(2) 如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？19、(本小题满分13分)解关于x 的不等式0222<--a ax x .20、(本小题满分13分)已知函数()a x x x f ++=22(1) 当21=a 时，求不等式()1>x f 的解集； (2) 若对于任意),1[+∞∈x ，()0>x f 恒成立，求实数a 的取值范围；21、(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足1()n n S a n N +=-∈. (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T .2014-2015学年上学期永州市一中高二年级第一次月考数学试卷（文）答案一、选择题(50分)1~5 DCDCC 6~10 ABBCB 二、填空题(25分) 11、}13|{<>x x x 或 12、-1 13、180 14、63 15、230三、解答题：本大题共6小题，共75分.每题均应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16、(本小题满分12分)△ABC 中，BC ＝7，AB ＝3，且B Csin sin ＝53． (1) 求AC 的长； (2) 求∠A 的大小． 解：(1)由正弦定理得B AC sin ＝C AB sin ⇒AC AB ＝BC sin sin ＝53⇒AC ＝335⨯＝5． (2)由余弦定理得cos A ＝AC AB BC AC AB ⋅-+2222＝53249259⨯⨯-+＝－21，所以∠A ＝120°．17、(本小题满分12分)已知f (x )＝sin(2x ＋π6)＋32，x ∈R.(1) 求函数f (x )的最小正周期和单调增区间．(2) 函数f (x )的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R)的图象经过怎样的变换得到？解：(1)T ＝2π2＝π，由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z)，知k π－π3≤x ≤k π＋π6(k ∈Z)．所以所求函数的最小正周期为π，所求的函数的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π6](k ∈Z)．18、(本小题满分12分) 某软件公司新开发一款学习软件，该软件把学科知识设计为由易到难共12关的闯关游戏.为了激发闯关热情，每闯过一关都奖励若干慧币(一种网络虚拟币).该软件提供了三种奖励方案：第一种，每闯过一关奖励40慧币；第二种，闯过第一关奖励4慧币，以后每一关比前一关多奖励4慧币；第三种，闯过第一关奖励0.5慧币，以后每一关比前一关奖励翻一番(即增加1倍)，游戏规定：闯关者须于闯关前任选一种奖励方案. (1)设闯过n (n ∈N ，且n ≤12)关后三种奖励方案获得的慧币依次为n A ，n B ，n C ，试求出n A ，n B ，n C 的表达式；(2)如果你是一名闯关者，为了得到更多的慧币，你应如何选择奖励方案？ 解：(1)第一种奖励方案闯过各关所得慧币构成常数列，∴An=40n ， 第二种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是4，公差也为4的等差数列，()2n n n 1B 4n 42n 2n 2-∴=+⨯=+，第三种奖励方案闯过各关所得慧币构成首项是0.5，公比为2的等比数列，()()n n n 11212C 21.122-∴==--(2)令An ＞Bn ，即40n ＞22n +2n ，解得n ＜19， ∵n ∈N 且n ≤12，∴An ＞Bn 恒成立. 令An ＞Cn ，即()n140n 212-＞，可得n ＜10， ∴当n ＜10时，An 最大；当10≤n ≤12时，Cn ＞An ，综上，若你是一名闯关者，当你能冲过的关数小于10时，应选用第一种奖励方案；当你能冲过的关数大于等于10时，应选用第三种奖励方案.19、(本小题满分13分)解关于x 的不等式0222<--a ax x . 解:0222<--a ax x 得0)2)((<-+a x a x(1)若a ＞0，则－a ＜x ＜2a ， 此时不等式的解集为{x|－a ＜x ＜2a}； (2)若a ＜0，则2a ＜x ＜－a ， 此时不等式的解集为{x|2a ＜x ＜－a}； (3)若a ＝0，则原不等式即为02<x ， 此时解集为φ.综上所述，原不等式的解集为 当a ＞0时，{x|－a ＜x ＜2a}； 当a ＜0时，{x|2a ＜x ＜－a}； 当a ＝0时，φ∈x .20、(本小题满分13分)已知函数()a x x x f ++=22(1) 当21=a 时，求不等式()1>x f 的解集； (2) 若对于任意),1[+∞∈x ，()0>x f 恒成立，求实数a 的取值范围； 解：(1)12122>++x x 解集为}261261|{--<+->x x x 或 (2) 022>++a x x ),1[+∞∈∀x 恒成立，等价于x x a 22-->),1[+∞∈∀x 恒成立令()()11222++-=--=x x x x g ，),1[+∞∈x当x=1时，有()3max -=x g∴3->a21、(本小题满分13分)已知数列{}n a 的前n 项和n S 与n a 满足1()n n S a n N +=-∈. (1) 求数列{}n a 的通项公式； (2) 求数列{}n n a ⋅的前n 项和n T .解：(1)由111S a =-得：111a a =-，解得：112a =. 当2n ≥时，111(1)n n n n n a S S a a --=-=---， 化简得：12n n a a -=，故112n n a a -=.所以，1111()222n n n a -=⨯=.(2)由题意得：211112222n nT n =⨯+⨯++⨯……………① 2311111112(1)22222n n n T n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯…………② ①-②得：211111122222n n n T n +=+++-⋅1111(1)111221122212n n n n n n ++⨯-=-⋅=--⋅- 1222222n n n nn n T ++--∴=-=.。
2017-2018学年陕西省高三(上)12月月考数学联考试卷(理科)Word版(解析版)
2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考联考试卷（理科数学）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）已知复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），则“a=2”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件2．（5分）已知向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，则||=（）A．5 B． C．D．3．（5分）用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角4．（5分）若a＞b，则下列正确的是（）①a2＞b2②ac＞bc③ac2＞bc2④a﹣c＞b﹣c．A．④B．②③C．①④D．①②③④5．（5分）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z6．（5分）若等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，则等于（）A．B．C．D．17．（5分）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜18．（5分）一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/时B．20（﹣）海里/时C．20（+）海里/时D．20（﹣）海里/时9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（）A．πB．πC．πD．π10．（5分）已知a＞1，b＞1，且，则a+4b的最小值为（）A．13 B．14 C．15 D．1611．（5分）一线性规划问题的可行域为坐标平面上的正八边形ABCDEFGH及其内部（如图），已知目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，如果目标函数变成z=3﹣bx﹣ay 时，最大值只在顶点（）A．A B．B C．C D．D12．（5分）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln（x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）曲线与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为．14．（5分）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是．15．（5分）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖块16．（5分）如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE 于点M，设=x+y，则x+y= ．三、解答题（本大题共5小题，60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，﹣3），⊥，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边中点，若a=4，AD=2，求△ABC的面积．18．设数列{an }满足前n项和Sn=1﹣an（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log an，求证：+…+＜．19．（12分）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I ）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x 个，高中班y 个）（II ）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？ 20．（12分）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）求f （x ）+f （1﹣x ），x ∈R 的值；（Ⅱ）若数列{a n }满足a n =f （0）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）（n ∈N *），求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足b n =2n+1•a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ．21．（12分）已知函数f （x ）=x 2+（1﹣x ）e x（e 为自然对数的底数），g （x ）=x ﹣（1+a ）lnx ﹣，a ＜1．（1）求曲线f （x ）在x=1处的切线方程； （2）讨论函数g （x ）的极小值；（3）若对任意的x 1∈[﹣1，0]，总存在x 2∈[e ，3]，使得f （x 1）＞g （x 2）成立，求实数a 的取值范围．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x=﹣2，圆C 2：（x ﹣1）2+（y ﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （Ⅰ）求C 1，C 2的极坐标方程； （Ⅱ）若直线C 3的极坐标方程为θ=（ρ∈R ），设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．（1）已知a，b，c∈R*且a+b+c=1，证明：a2+b2+c2≥（2）当x≥4时，证明：+＜+．2017-2018学年陕西省高三（上）12月月考联考试卷（理科数学）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）已知复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），则“a=2”是“z为纯虚数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．既不充分也不必要条件D．充要条件【分析】复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），z为纯虚数，可得a﹣4=0，a+2≠0，解得a=4．即可判断出结论．【解答】解：复数z=（a﹣4）+（a+2）i（a∈R），z为纯虚数，∴a﹣4=0，a+2≠0，解得a=4．则“a=2”是“z为纯虚数”的既不充分也不必要条件．故选：C．【点评】本题考查了复数的有关知识、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）已知向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，则||=（）A．5 B． C．D．【分析】首先根据向量垂直得到数量积为0，求出m的值，然后计算模长．【解答】解：向量=（1，﹣2），=（2，m），若⊥，所以•=2﹣2m=0，解得m=1，所以||=；故选C．【点评】本题考查了平面向量垂直的性质以及模长的计算；属于基础题．3．（5分）（2016秋•陕西期末）用反证法证明“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是（）A．有两个内角是钝角B．有三个内角是钝角C．至少有两个内角是钝角D．没有一个内角是钝角【分析】写出命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定即可【解答】解：命题“三角形中最多只有一个内角是钝角”的结论的否定是“至少有两个内角是钝角”故选C．【点评】本题考查命题的否定，命题中含有量词最多，书写否定是用的量词是至少，注意积累这一类量词的对应．4．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）若a＞b，则下列正确的是（）①a2＞b2②ac＞bc③ac2＞bc2④a﹣c＞b﹣c．A．④B．②③C．①④D．①②③④【分析】举出反例a=1，b=﹣1，可判断①；举出反例c≤0，可判断②；举出反例c=0，可判断③；根据不等式的基本性质，可判断④．【解答】解：若a=1，b=﹣1，则a＞b，a2＞b2不成立，故①错误；若c≤0，则ac≤bc，故②错误；若c=0，则ac2=bc2，故③错误；a﹣c＞b﹣c一定成立，故④正确；故选：A【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了不等式的基本性质，难度中档．5．（5分）（2014•成都模拟）已知函数f（x）=sinωx+cosωx（ω＞0）的图象与直线y=﹣2的两个相邻公共点之间的距离等于π，则f（x）的单调递减区间是（）A．[kπ+，kπ+]，k∈z B．[kπ﹣，kπ+]，k∈zC．[2kπ+，2kπ+]，k∈z D．[2kπ﹣，2kπ+]，k∈z【分析】先利用两角和公式对函数解析式化简，根据题意求得周期，进而求得ω，函数的解析式可得，最后利用正弦函数的单调性求得函数的单调减区间．【解答】解：f（x）=2（sinωx+cosωx）=2sin（ωx+），依题意知函数的周期为T==π，∴ω=2，∴f（x）=2sin（2x+），由2kπ+≤2x+≤2kπ+，得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，∴f（x）的单调递减区间是[kπ+，kπ+]（k∈Z），故选A．【点评】本题主要考查了两角和与差的正弦函数，三角函数图象与性质．求得函数的解析式是解决问题的基础．6．（5分）（2016秋•连城县校级期中）若等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，则等于（）A．B．C．D．1【分析】由等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，知（a1+2d）2=a1（a1+6d），解得a1=2d，由此能求出的值．【解答】解：∵等差数列{an }的公差d≠0，且a1，a3，a7成等比数列，∴（a1+2d）2=a1（a1+6d），解得a1=2d，∴===．故选A．【点评】本题考查等差数列和等比数列的性质和应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．7．（5分）（2015•上海模拟）若函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则实数a的取值范围是（）A．a＞1 B．a＜1 C．a＜﹣1或a＞1 D．﹣1＜a＜1【分析】由函数的零点的判定定理可得f（﹣1）f（1）＜0，解不等式求得实数a的取值范围．【解答】解：函数f（x）=ax+1在区间（﹣1，1）上存在一个零点，则f（﹣1）f（1）＜0，即（1﹣a）（1+a）＜0，解得a＜﹣1或a＞1．故选：C．【点评】本题主要考查函数的零点的判定定理的应用，属于基础题．8．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）一货轮航行到M处，测得灯塔S在货轮的北偏东15°，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30°的方向航行30分钟到达N处后，又测得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（）A．20（+）海里/时B．20（﹣）海里/时C．20（+）海里/时D．20（﹣）海里/时【分析】根据题意画出相应的图形，在三角形PMN中，根据sin∠MPN与sin∠PNM的值，以及PM的长，利用正弦定理求出MN的长，除以时间即可确定出速度．【解答】解：由题意知PM=20海里，∠PMB=15°，∠BMN=30°，∠PNC=45°，∴∠NMP=45°，∠MNA=90°﹣∠BMN=60°，∴∠PNM=105°，∴∠MPN=30°，∵sin105°=sin（60°+45°）=sin60°cos45°+cos60°sin45°=，∴在△MNP中利用正弦定理可得：MN==10（﹣）海里，∴货轮航行的速度v=20（﹣）海里/小时．故选B．【点评】此题考查了正弦定理在解三角形中的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，然后利用数学知识进行求解．9．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为（）A．πB．πC．πD．π【分析】该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球，求出相应的体积，可得结论．【解答】解：该几何体是一个四棱锥，底面是正方形，高等于正方形的边长．其四棱锥补成一个正方体，即可得出外接球，四棱锥的外接球的半径为r=a．∴该几何体外接球的体积==，∴这个几何体外接球体积与该几何体的体积比为=故选：A．【点评】本题考查了三视图的有关计算、四棱锥与正方体的性质、球的体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．10．（5分）（2015秋•宁德校级期中）已知a＞1，b＞1，且，则a+4b的最小值为（）A．13 B．14 C．15 D．16【分析】换元可化问题为s＞0，t＞0且+=1，代入可得a+4b=10++，由基本不等式可得．【解答】解：∵a＞1，b＞1，且，令a﹣1=s，b﹣1=t，则a=s+1，b=t+1，则s＞0，t＞0且+=1，a+4b=（s+1）+4（t+1）=s+4t+5=（s+4t）（+）+5=10++≥10+2=14，当且仅当=即s=3且t=时取等号，解得a=s+1=4，b=t+1=，故选：B．【点评】本题考查基本不等式求最值，换元并变形为可以基本不等式的形式是解决问题的关键，属基础题．11．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）一线性规划问题的可行域为坐标平面上的正八边形ABCDEFGH及其内部（如图），已知目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，如果目标函数变成z=3﹣bx﹣ay时，最大值只在顶点（）A．A B．B C．C D．D【分析】目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）可化为：y=由目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，得，且b＜0，a＞0．从而得到目标函数变成z=3﹣bx﹣ay的最大值只在顶点A处，【解答】解：目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）可化为：y=∵目标函数z=3+ax+by（a，b∈R）的最大值只在顶点B处，∴，且b＜0，a＞0．目标函数变成z=3﹣bx﹣ay可化为y=，∵，∴目标函数变成z=3﹣bx﹣ay时，最大值只在顶点A处，故选：A【点评】本题考查了线性规划问题，依据直线斜率、纵截距、最优解的范围，确定参数a、b 的取值是解题关键，属于中档题12．（5分）（2016秋•荔湾区校级期末）已知函数f（x）=x2+e x﹣（x＜0）与g（x）=x2+ln （x+a）图象上存在关于y轴对称的点，则a的取值范围是（）A．（﹣，）B．（﹣，）C．（﹣∞，）D．（﹣∞，）【分析】由题意可得，存在x＜0使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，从而化为函数m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在（﹣∞，0）上有零点，从而求解．【解答】解：由题意，存在x＜0，使f（x）﹣g（﹣x）=0，即e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，令m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a），则m（x）=e x﹣﹣ln（﹣x+a）在其定义域上是增函数，且x→﹣∞时，m（x）＜0，若a≤0时，x→a时，m（x）＞0，故e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解，若a＞0时，则e x﹣﹣ln（﹣x+a）=0在（﹣∞，0）上有解可化为e0﹣﹣ln（a）＞0，即lna＜，故0＜a＜．综上所述，a∈（﹣∞，）．故选：C【点评】本题考查了函数的图象与方程的根及函数的零点之间的关系，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）（2016•银川校级一模）曲线与直线y=x﹣1及x=4所围成的封闭图形的面积为4﹣2ln2 ．【分析】先联立两个曲线的方程，求出交点，以确定积分公式中x的取值范围，最后根据定积分的几何意义表示出区域的面积，根据定积分公式解之即可．【解答】解：由曲线与直线y=x﹣1联立，解得，x=﹣1，x=2，故所求图形的面积为S===4﹣2ln2．故答案为：4﹣2ln2．【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的计算，属于基础题．14．（5分）（2016春•厦门校级期中）如图正方形OABC的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是8cm ．【分析】如图，由题意求出直观图中OB的长度，根据斜二测画法，求出原图形边长，进而可得原图形的周长．【解答】解：由题意正方形OABC的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以OB=cm，对应原图形平行四边形的高为：2cm，所以原图形中，OA=BC=1cm，AB=OC==3cm，故原图形的周长为：2×（1+3）=8cm，故答案为：8cm【点评】本题考查斜二测直观图，熟练掌握斜二测画不中原图与直观图对应边长之间的关系，是解答的关键．15．（5分）（2015春•蠡县校级期末）黑白两种颜色的正六边形地面砖按如图的规律拼成若干个图案：则第n个图案中有白色地面砖4n+2 块【分析】通过已知的几个图案找出规律，可转化为求一个等差数列的通项公式问题即可．【解答】解：第1个图案中有白色地面砖6块；第2个图案中有白色地面砖10块；第3个图案中有白色地面砖14块；…设第n个图案中有白色地面砖n块，用数列{an }表示，则a1=6，a2=10，a3=14，可知a2﹣a1=a3﹣a2=4，…可知数列{an }是以6为首项，4为公差的等差数列，∴an=6+4（n﹣1）=4n+2．故答案为4n+2．【点评】由已知的几个图案找出规律转化为求一个等差数列的通项公式是解题的关键．16．（5分）（2016秋•平罗县校级月考）如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设=x+y，则x+y= ．【分析】分别在△AEM、△AFM中，由向量的加法法则利用算两次的方法，代入已知条件计算，即可得出结论．【解答】解：由图及向量的加法和减法可知：=+，由与共线，可设=m，∴=（1﹣m）+3m；同理可得=（1﹣n）+2n；又=x+y，则，解得x=，y=．∴x﹣y=．故答案为．【点评】本题考查平面向量基本定理的运用，充分理解向量的运算法则及共线的意义是解题的关键．三、解答题（本大题共5小题，60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17．（12分）（2016秋•湖北月考）已知向量=（2sinA，1），=（sinA+cosA，﹣3），⊥，其中A是△ABC的内角．（1）求角A的大小；（2）设△ABC的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，D为BC边中点，若a=4，AD=2，求△ABC的面积．【分析】（1）由题意可得=0，求得sin（2A﹣）=1，可得A的值．（2）由题意可得 2=+，化简可得：b2+c2+bc=48 …①．又=﹣，化简可得b2+c2﹣bc=16 …②，由①、②求得bc=16，由此可得△ABC的面积S=bc•sinA 的值．【解答】解：（1）△ABC中，∵⊥，∴=（2sinA，1）•（sinA+cosA，﹣3）=2sinA•（sinA+cosA）﹣3=2sin2A+2sinAcosA﹣3=sin2A﹣cos2A﹣2=0，即：sin（2A﹣）=1，∴A=．（2）因为D为BC边中点，∴2=+，平方得：42=+2+2，即：b2+c2+bc=48 …①．又=﹣，∴=+2﹣2，即：：b2+c2﹣bc=16 …②，由①﹣②可得：2bc=32，故△ABC的面积S=bc•sinA==4．【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，两个向量的加减法及其几何意义，属于中档题．18．（2016秋•平罗县校级月考）设数列{an }满足前n项和Sn=1﹣an（n∈N*）（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn =log an，求证：+…+＜．【分析】（1）利用递推关系与等比数列的通项公式即可得出．（2）bn =log an=n．可得=＜=，n≥3时．利用“裂项求和”方法即可得出．【解答】（1）解：∵Sn =1﹣an（n∈N*），∴n=1时，a1=1﹣a1，解得a1=．n≥2时，an =Sn﹣Sn﹣1=1﹣an﹣（1﹣an﹣1），解得．∴数列{an}是等比数列，首项与公比都为．∴an=．（2）证明：bn =log an=n．∴=＜=，n≥3时．∴+…+≤1++++…+=﹣（n=1，2时也成立）．∴+…+＜．【点评】本题考查了递推关系与等比数列的通项公式、“裂项求和”方法、“放缩法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．（12分）（2015秋•湛江校级期中）某企业准备投资1200万元兴办一所中学，对当地教育市场进行调查后，得到了如下的数据表格（以班级为单位）：因生源和环境等因素，办学规模以20到30个班为宜．（I）请用数学关系式表示上述的限制条件；（设开设初中班x个，高中班y个）（II）若每开设一个初、高中班，可分别获得年利润2万元、3万元，请你合理规划办学规模使年利润最大，最大为多少？【分析】设初中x个班，高中y个班，年利润为z，根据题意找出约束条件与目标函数，准确地描画可行域，再利用图形直线求得满足题设的最优解．【解答】解：（I）设开设初中班x个，高中班y个，根据题意，线性约束条件为…（1分）…（5分）（II）设年利润为z万元，则目标函数为z=2x+3y…（6分）由（I）作出可行域如图．…（9分）由方程组得交点M（20，10）…（11分）作直线l：2x+3y=0，平移l，当l过点M（20，10），z取最大值70．…（13分）∴开设20个初中班，10个高中班时，年利润最大，最大利润为70万元．…（14分）【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键．20．（12分）（2016秋•平罗县校级月考）已知函数f （x ）=．（Ⅰ）求f （x ）+f （1﹣x ），x ∈R 的值；（Ⅱ）若数列{a n }满足a n =f （0）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）（n ∈N *），求数列{a n }的通项公式；（Ⅲ）若数列{b n }满足b n =2n+1•a n ，求数列{b n }的前n 项和S n ． 【分析】（Ⅰ）由已知条件得f （x ）+f （1﹣x ）==+=+=1．（Ⅱ）由（Ⅰ）推导出a n =f （0）+f （）+f （）+…+f （）+f （1）=．（Ⅲ）由b n =2n+1•a n =（n+1）•2n ，利用错位相减法能求出数列{b n }的前n 项和S n ． 【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=，∴f （x ）+f （1﹣x ）==+=+=+=1．（Ⅱ）∵f（x）+f（1﹣x）=1，f（）==，∴an=f（0）+f（）+f（）+…+f（）+f（1）=[f（0）+f（1）]+[f（）+f（）]+…=，∴．（Ⅲ）∵bn =2n+1•an=（n+1）•2n，∴Sn=2•2+3•22+4•23+…+（n+1）•2n，①2Sn=2•22+3•23+4•24+…+（n+1）•2n+1，②①﹣②，得：﹣Sn=4+22+23+24+…+2n﹣（n+1）•2n+1=4+﹣（n+1）•2n+1=﹣n•2n+1，∴Sn=n•2n+1．【点评】本题考查函数值的求法，考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．21．（12分）（2016•运城校级一模）已知函数f（x）=x2+（1﹣x）e x（e为自然对数的底数），g（x）=x﹣（1+a）lnx﹣，a＜1．（1）求曲线f（x）在x=1处的切线方程；（2）讨论函数g（x）的极小值；（3）若对任意的x1∈[﹣1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；（2）求出g（x）的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间，从而求出函数的极小值即可；（3）问题等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，分别求出f（x），g（x）的极小值，得到关于a的不等式，解出即可．【解答】解：（1）∵f′（x）=x（1﹣e x），∴f′（1）=1﹣e，即切线的斜率是1﹣e，又f（1）=，则切点坐标是（1，），故f（x）在x=1处的切线方程是y﹣=（1﹣e）（x﹣1），即2（e﹣1）x+2y﹣2e+1=0；（2）∵g′（x）==，a＜1，函数g（x）的定义域是{x|x＞0}，∴0＜a＜1时，令g′（x）＞0，解得：0＜x＜a或x＞1，令g′（x）＜0，解得：a＜x＜1，∴g（x）在（0，a）递增，在（a，1）递减，在（1，+∞）递增，∴g（x）的极小值为g（1）=1﹣a，a≤0时，令g′（x）＞0，解得：x＞1，令g′（x）＜0，解得：0＜x＜1，∴g（x）的极小值是g（1）=1﹣a，综上，函数g（x）的极小值是1﹣a；（3）若对任意的x1∈[﹣1，0]，总存在x2∈[e，3]，使得f（x1）＞g（x2）成立，等价于f（x）在[﹣1，0]上的最小值大于函数g（x）在[e，3]上的最小值，x∈[﹣1，0]时，f′（x）=x（1﹣e x）≤0，当且仅当x=0时不等式取“=”，∴f（x）在[﹣1，0]上单调递减，∴f（x）在[﹣1，0]上的最小值是f（0）=1，由（2）得，g（x）在[e，3]递减，∴g（x）在[e，3]的最小值是g（e）=e﹣（a+1）﹣，故1＞e﹣（a+1）﹣，解得：a＞，又a＜1，故a∈（，1）．【点评】本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值、极值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想、分类讨论思想，是一道综合题．[选修4-4：坐标系与参数方程选讲]22．（10分）（2015•新课标Ⅰ）在直角坐标系xOy中，直线C1：x=﹣2，圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）若直线C3的极坐标方程为θ=（ρ∈R），设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．【分析】（Ⅰ）由条件根据x=ρcosθ，y=ρsinθ求得C1，C2的极坐标方程．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程代入ρ2﹣3ρ+4=0，求得ρ1和ρ2的值，结合圆的半径可得C 2M⊥C2N，从而求得△C2MN的面积•C2M•C2N的值．【解答】解：（Ⅰ）由于x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴C1：x=﹣2 的极坐标方程为ρcosθ=﹣2，故C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1的极坐标方程为：（ρcosθ﹣1）2+（ρsinθ﹣2）2=1，化简可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0．（Ⅱ）把直线C3的极坐标方程θ=（ρ∈R）代入圆C2：（x﹣1）2+（y﹣2）2=1，可得ρ2﹣（2ρcosθ+4ρsinθ）+4=0，求得ρ1=2，ρ2=，∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|=，由于圆C2的半径为1，∴C2M⊥C2N，△C2MN的面积为•C2M•C2N=•1•1=．【点评】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，点的极坐标的定义，属于基础题．[选修4-5：不等式选讲]23．（2016秋•平罗县校级月考）（1）已知a，b，c∈R*且a+b+c=1，证明：a2+b2+c2≥（2）当x≥4时，证明：+＜+．【分析】（1）利用条件，两边平方，利用基本不等式，即可证得结论；（2）分析使不等式+＜+成立的充分条件，一直分析到使不等式成立的充分条件显然具备，从而不等式得证．【解答】证明：∵a+b+c=1，∴1=（a+b+c）2=a2+b2+c2+2（ab+bc+ac）≤3（a2+b2+c2），∴a2+b2+c2≥．（2）当x≥4时，要证+＜+，两边平方只需证，只需证x2﹣5x+6＞x2﹣5x+4，即证6＞4，显然上式成立，所以原不等式成立，即+＜+．【点评】本题考查不等式的证明，考查基本不等式的运用，考查利用分析法证明不等式，利用用分析法证明不等式的关键是寻找使不等式成立的充分条件，直到使不等式成立的充分条件已经显然具备为止，属于中档题．。
湖南省长沙市长郡中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题及答案
2024—2025第一次阶段性检测数学时量：120分钟满分：150分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知复数3i1iz +=+，则z =（）AB C ．3D ．52．无论λ为何值，直线()()()234210x y λλλ++++-=过定点（）A ．()2,2-B ．()2,2--C ．()1,1--D ．()1,1-3．在平行四边形ABCD 中，()1,2,3A -，()4,5,6B -，()0,1,2C ，则点D 的坐标为（）A ．()5,6,1--B ．()5,8,5-C ．()5,6,1-D ．()5,8,5--4．已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A ．79-B ．79C ．29-D ．295．直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为（）A ．4210x y --=B ．4210x y -+=C ．4210x y ++=D ．4210x y +-=6．已知椭圆C ：()22104x y m m +=>，则m =（）A ．B ．C ．8或2D ．87．已知实数,x y 满足()22203y x x x =-+≤≤，则41y x ++的范围是（）A ．[]2,6B ．(][),26,-∞+∞ C ．92,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]9,2,4⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭8．已知平面上一点(5,0)M 若直线l 上存在点P 使||4PM =则称该直线为点(5,0)M 的“相关直线”，下列直线中不是点(5,0)M 的“相关直线”的是（）A ．3y x =-B ．2y =C ．430x y -=D ．210x y -+=二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9．已知直线l ：20x y λλ+--=，圆C ：221x y +=，O 为坐标原点，下列说法正确的是（）A ．若圆C 关于直线l 对称，则2λ=-B ．点O 到直线lC ．存在两个不同的实数λ，使得直线l 与圆C 相切D ．存在两个不同的实数λ，使得圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为1210．已知圆1F ：()()222328x y m m ++=≤≤与圆2F ：()()222310x y m -+=-的一个交点为M ，动点M 的轨迹是曲线C ，则下列说法正确的是（）A ．曲线C 的方程为22110064x y +=B ．曲线C 的方程为2212516x y +=C ．过点1F 且垂直于x 轴的直线与曲线C 相交所得弦长为325D ．曲线C 上的点到直线4510x ++=11．在边长为2的正方体ABCD A B C D -''''中，M 为BC 边的中点，下列结论正确的有（）A ．AM 与DB ''所成角的余弦值为10B ．过A ，M ，D ¢三点的正方体ABCD A BCD -''''的截面面积为3C ．当P 在线段A C '上运动时，PB PM '+的最小值为3D ．若Q 为正方体表面BCC B ''上的一个动点，E ，F 分别为AC '的三等分点，则QE QF +的最小值为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12．通过科学研究发现：地震时释放的能量E （单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系为lg 4.8 1.5E M =+.已知2011年甲地发生里氏9级地震，2019年乙地发生里氏7级地震，若甲、乙两地地震释放能量分别为1E ，2E ，则12E E =13．直线()243410a x ay +-+=的倾斜角的取值范围是.14．如图，设1F ，2F 分别是椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，点P 是以12F F 为直径的圆与椭圆在第一象限内的一个交点，延长2PF 与椭圆交于点Q ，若222PF F Q = ，则直线1PF 的斜率为.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知两圆222610x y x y +---=和2210120x y x y m +--+=．求：(1)m 取何值时两圆外切？(2)当45m =时，两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．16．在ΔA 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=（1）求sin sin CA的值（2）若1cos ,24B b ==，求ΔA 的面积.17．如图，在四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，2PA AB AD ===，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，BC AD ∥，4BC =，点M 为PC 的中点，点E 为棱BC 上的动点.(1)求证：//DM 平面PAB ；(2)是否存在点E ，使得平面PDE 与平面ADE 所成角的余弦值为23若存在，求出线段BE 的长度；若不存在，说明理由.18．某校高一年级设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标（正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑）考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示.(1)由频率分布直方图，求出图中t 的值，并估计考核得分的第60百分位数；(2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法（样本量按比例分配），从得分在[)70,90内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自[)70,80和[)80,90的概率；(3)若一个总体划分为两层，通过按样本量比例分配分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：m ，x ，21s ；n ，y ，22s .记总的样本平均数为w ，样本方差为2s ，证明：()(){}22222121s m s x w n s y w m n ⎡⎤⎡⎤=+-++-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦+.19．已知动直线l 与椭圆C:22132x y +=交于()11,P x y ，()22,Q x y 两个不同点，且OPQ ∆的面积OPQ S ∆,其中O 为坐标原点.(1)证明2212x x +和2212y y +均为定值;(2)设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ ⋅的最大值；(3)椭圆C 上是否存在点D ，E ，G ，使得2ODE ODG OEG S S S === 若存在，判断DEG △的形状；若不存在，请说明理由.1．B【分析】按照复数的除法运算求出复数z 的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.【详解】()()()()23i 1i 3i 33i i i 42i2i 1i 1i 1i 22z +-+-+--=====-++-.z ∴故选：B.2．A【分析】先化简直线分是否有λ两部分，再求交点得出定点.【详解】由()()()234210x y λλλ++++-=得：()()223420x y x y λ++++-=，由220,3420x y x y ++=⎧⎨+-=⎩得2,2,x y =-⎧⎨=⎩∴直线()()()234210x y λλλ++++-=恒过定点()2,2-.故选：A.3．A【分析】由AB DC =即可求解.【详解】设(),,D x y z ，则()5,7,3AB =- ，(),1,2DC x y z =---，又AB DC =，解得：5,6,1x y z ==-=-.即()5,6,1D --.故选：A.4．A【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以由11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪⎝⎭⎝⎭，217cos(2)2cos ()1213699ππαα-=--=⨯-=-，故选：A 5．A【分析】利用点关于直线对称点的求法可求得直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=的对称点，代入直线2410x y --=中即可得到对称直线方程.【详解】设直线2410x y --=上一点()00,P x y 关于直线0x y +=对称点的坐标为(),P x y '，则0001022y y x x x x y y -⎧=⎪-⎪⎨++⎪+=⎪⎩，整理可得：00x y y x =-⎧⎨=-⎩，2410y x ∴-+-=，即直线2410x y --=关于0x y +=对称的直线方程为：4210x y --=.故选：A.【点睛】方法点睛：本题考查直线关于对称轴的对称直线的求解，解决思路是将直线上一点坐标，利用其关于对称轴的对称点坐标表示出来，代入原直线即可，核心依然是求解点关于直线的对称点的求解.求解点(),M a b 关于直线y kx m =+的对称点(),M x y '的基本方法如下：①M 与M '连线与直线y kx m =+垂直，即1y bk x a-⋅=--；②MM '中点在直线y kx m =+上，即22y b x ak m ++=⋅+；③M 与M '到直线y kx m =+=上述三个等量关系中任选两个构成方程组，即可求得对称点M '坐标.6．C【分析】分焦点在x 轴和y 轴上两种情况，由离心率得到方程，求出8m =或2m =.【详解】椭圆C ：()22104x y m m +=>的离心率为2，当椭圆焦点在x8m =，当椭圆焦点在y=2m =.故选：C.7．A 【分析】由41y x ++的几何意义表示斜率即可求解.【详解】41y x ++表示函数()22203y x x x =-+≤≤图象上的点与()1,4--的连线的斜率，结合图象可知，斜率分别过0,2与相切时取最大值和最小值，由0,2和()1,4--可求斜率6k =，设过()1,4--斜率为1k 的直线与()22203y x x x =-+≤≤图象相切，()141y k x +=+与()22203y x x x =-+≤≤联立可得：()211260x k x k -+-+=，由()()211Δ2460k k =+--=，可得12k =或10-（舍去）结合图象可知：所以41y x ++的范围是[]26,.故选：A.8．D【解析】分别计算点M 到四条直线的距离，结合点M 相关直线的定义得：当距离小于或等于4时，则称该直线为点M 的“相关直线”，利用点到直线距离公式即可得到答案．【详解】由题意，当M 到直线的距离小于或等于4时，则称该直线为点M 的“相关直线”A ，(5,0)M ，直线为3y x =-，所以点到直线的距离为：4d =，即点M 到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点P 使||4PM =成立，是点(5,0)M 的“相关直线”；B ，(5,0)M ，直线为2y =，所以点M 到直线的距离为24<，所以点M 到直线的最小值距离小于4，所以直线上存在点P 使||4PM =成立，是点(5,0)M 的“相关直线”；C ，(5,0)M ，直线为430x y -=，所以点到直线的距离为：4d =，所以点M 到直线的最小值距离等于4，所以直线上存在点P 使||4PM =成立，是点(5,0)M 的“相关直线”；D ，(5,0)M ，直线为210x y -+=，所以点到直线的距离为：4d =，即点M 到直线的最小值距离大于4，所以直线上不存在点P 使||4PM =成立，不是点(5,0)M 的“相关直线”．故选：D ．【点睛】本题解决成立问题的关键是正确理解新定义，结合点到直线的距离公式解决问题，新定义问题这是近几年高考命题的方向．属于中档题.9．ABD【分析】先确定直线过定点()2,1，圆心()0,0C ，半径1r =，再逐项判断即可.【详解】直线l ：20x y λλ+--=过定点()2,1P ，圆C ：221x y +=，圆心()0,0C ，半径1r =，对选项A ：直线过圆心，则20λ--=，解得2λ=-，故选项A 正确；对选项B ：点O 到直线l 的距离的最大值为PC B 正确；对选项C ：直线l 与圆C 相切，则圆心到直线的距离1d ==，解得34λ=-，故选项C 错误；对选项D ：当圆C 上恰有三个点到直线l 的距离为12时，圆心C 到直线l 的距离12d ==，解得83λ-=，故选项D 正确.故选:ABD.10．BCD【分析】对于A ，B 由椭圆的定义即可判断，对于C ，由通径的概念即可判断，对于D ，将问题转换成求与4510x ++=平行，且与椭圆相切的直线即可判断.【详解】对A 选项与B 选项，由题意知圆1F 与圆2F 交于点M ，则1MF m =，210MF m =-，所以1212106MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹是焦点在x 轴上的椭圆，且210a =，26c =，即5a =，3c =，所以4b =，所以曲线C 的方程为2212516x y +=，故A 选项错误，B 选项正确；对C 选项，通径的长度为1632255⨯=，故C 选项正确；对D 选项，设与直线4510x ++=平行的直线l 为40x t ++=，51t ≠，将40x t ++=与2212516x y +=联立得221004000y t ++-=，令()22Δ3004004000t t =--=，解得40t =±，此时直线l 与椭圆相切，当40t =-时，切点到直线4510x ++=的距离最大，直线l 的方程为4400x +-==故曲线C 上的点到直线4510x ++=D 选项正确.故选：BCD.11．AC【分析】建系，由异面直线夹角向量法即可判断A,取CC '的中点N ，连接MN ，D N '，AD '，确定MND A '即为截面即可判断B ，由对称性得到PB PM PD PM +=+''进而可判断C,设点F 关于平面BCC B ''的对称点为F '，连接EF '，可判断当EF '与平面BCC B ''的交点为Q 时，QE QF QE QF +=+'最小，即可判断D.【详解】以A '为坐标原点，A D ''，A B ''，A A '所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,0,2A ，()1,2,2M ，()2,0,0D '，()0,2,0B '，()2,2,0C '，∴()1,2,0AM =，()2,2,0D B ''=- ，∴cos ,10AM D B AM D B AM D B ⋅='⋅''='''，∴AM 与D B ''所成角的余弦值为10，故A 正确；取CC '的中点N ，连接MN ，D N '，AD '，则MN BC AD ''∥∥，故梯形MND A '为过点A ，M ，D ¢的该正方体的截面，∵MN =AD '=AM D N ='=∴梯形MND A '∴梯形MND A '的面积为19222⨯⨯=，故B 错误；由对称性可知，PB PD '='，故PB PM PD PM +=+''，又由于A '，B ，C ，D ¢四点共面，故3PB PM PD PM D M +=+≥''='，当P 为A C '与D M '的交点时等号成立，故C 正确，设点F 关于平面BCC B ''的对称点为F '，连接EF '，当EF '与平面BCC B ''的交点为Q 时，QE QF QE QF +=+'最小，过点E 作AD '的平行线，过点F 作AB 的平行线，两者交于点G，此时133EG AD =='，2G F '=，3EF ='，故D 错误.故选:AC.12．1000【分析】首先根据题意得到12lg 4.8 1.59lg 4.8 1.57E E =+⨯⎧⎨=+⨯⎩，再作差即可得到答案.【详解】由题知：11112222lg 4.8 1.59lg lg 3lg 31000lg 4.8 1.57E E EE E E E E =+⨯⎧⇒-=⇒=⇒=⎨=+⨯⎩.故答案为：100013．π2π,33⎡⎤⎢⎣⎦【分析】分0α=，0α>，0α<讨论即可.【详解】设直线()243410a x ay +-+=的倾斜角为α，当0α=时，直线为310x +=，π2α=；当0α>时，2433tan 44a k a a a α+===+≥，当且仅当34a a =时取等号，∴ππ,32α⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭；当0α<时，24333tan 2444a k a a a a a α+⎛⎫===+=--+≤-- ⎪-⎝⎭当且仅当34a a -=-时取等号，∴π2π,23α⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上可得π2π,33α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故答案为：π2π,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦14．12##0.5【分析】连接1PF ，1QF ，利用圆的性质、椭圆的定义，结合勾股定理列式求解即得.【详解】连接1PF ，1QF ，由点P 在以12F F 为直径的圆上，故12PF PF ⊥.又P ，Q 在椭圆上，故有122PF PF a +=，122QF QF a +=.设2QF m =，则22PF m =，122PF a m =-，12QF a m =-，3PQ m =.在1Rt PQF 中，由勾股定理得()()()2223222m a m a m +-=-，解得3a m =，于是B 2=23，143a PF =，故1121tan 2PF k PF F ∠==.故答案为：1215．(1)25+(2)43230x y +-=；【分析】（1）利用配方法，结合两圆外切的性质进行求解即可；（2）根据两圆公共弦的性质，结合点到直线距离公式、圆的垂径定理进行求解即可.【详解】（1）由已知化简两圆的方程为标准方程分别为：()()2222(1)(3)11,(5)66161x y x y m m -+-=-+-=-<，则圆心分别为()()1,3,5,6M N ，25m ==+（2）当45m =4=，则44<<则两圆的公共弦所在直线的方程为：()22222611012450x y x y x y x y +----+--+=，即43230x y +-=，圆心()1,3M 到直线43230x y +-=的距离2d =，所以公共弦长l =16．（1）sin 2sin C A =（2）4【分析】（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．（2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a =，sin B =，从而计算出面积．【详解】（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===，所以cos cos 22sin sin cos sin A C c a C AB b B---==即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=-即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A =所以sin 2sin C A=（2）由（1）知sin 2sin c C a A==，即2c a =，又因为2b =，所以由余弦定理得：2222cos b c a ac B =+-，即222124224a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,所以2c =，又因为1cos 4B =，所以sin B =，故ΔA 的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯【点睛】正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．17．(1)证明见解析(2)存在，1BE =或3BE =【分析】（1）根据所给条件可建立空间直角坐标系，由平面向量基本定理可证明向量DM与平面PAB 共面，从而证明结果；（2）假设存在点E ，空间向量法计算平面PDE 与平面ADE 所成角的余弦值为23，求解E 点坐标即可.【详解】（1）因为PA ⊥平面ABCD ，AD ，AB ⊂平面ABCD ，所以PA AD ⊥，PA AB ⊥，又AB AD ⊥，所以PA ，AB ，AD 两两垂直.以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，AP 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如下图所示，则()0,0,2P ，()2,0,0B ，()0,2,0D ，()2,4,0C ，因为点M 为PC 中点，所以()1,2,1M ，()1,0,1DM =，又()0,0,2AP = ，()2,0,0AB =，所以1122DM AP AB =+ ，所以DM ，,AP ，AB为共面向量，则在平面PAB 内存在直线l 与平面PAB 外的直线DM 平行，所以//DM 平面PAB .（2）设()2,,0E a ，04a ≤≤，()0,2,2DP =- ，()2,2,0DE a =-，依题意可知，平面ADE 的法向量为()0,0,2AP =，设平面PDE 的法向量为(),,n x y z =，则()220220DP n y z DE n x a y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ ，令1z =，则2,1,12a n -⎛⎫= ⎪⎝⎭ .因为平面PDE 与平面ADE 所成角的余弦值为23，所以2cos ,3AP n AP n AP n ⋅==⋅23=，解得1a =或3a =，所以存在点E 使得平面PDE 与平面ADE 所成角的余弦值为23，此时1BE =或3BE =.18．(1)0.03t =，85(2)35(3)证明见解析【分析】（1）首先根据频率和为1求出t ，再根据百分数公式即可得到答案；（2）求出各自区间人数，列出样本空间和满足题意的情况，根据古典概型公式即可；（3）根据方差定义，证明出分层抽样的方差公式，代入计算即可.【详解】（1）由题意得：()100.010.0150.020.0251t ⨯++++=，解得0.03t =，设第60百分位数为x ，则()0.01100.015100.02100.03800.6x ⨯+⨯+⨯+⨯-=，解得85x =，即第60百分位数为85.（2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在[)70,80的有85220⨯=人，设为A ，B ，在80,90的有125320⨯=人，设为a ，b ，C.则样本空间为()()()()()()()()()(){}Ω,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c =，()Ω10n =.设事件M =“两人分别来自[)70,80和80,90”，则()()()()()(){},,,,,,,,,,,M A a A b A c B a B b B c =，()6n M =，因此()()()63Ω105n M P M n ===，所以两人得分分别来自[)70,80和80,90的概率为35.（3）由题得①mx ny m nw x y m n m n m n+==++++；②22222111111(()()(m n m n i j i ji j i j s x w y w x x x w y y y w m n m n ====⎡⎤⎡⎤=-+-=-+-+-+-⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦∑∑∑∑11221()2()()()i i i i m mx x x x x w m x w m n ==⎡=-+--+-+⎢+⎣∑∑1122()2()()()j j jj nn yy y y y w n y w ==⎤-+--+-⎥⎦∑∑又11()()=()()=()()0m mi i i i x x x w x x w mx x w mx x w mx x w ==--------=∑∑同理1(y )()=0nj j y y w =--∑，∴22222111()()()()m n i ji j s x x m x w y y n y w m n ==⎡⎤=-+-+-+-⎢⎥+⎣⎦∑∑2222121=(++(ms m x w ns n y w m n ⎡⎤+--⎣⎦+(){}2222121(m s x w n s y w m n⎡⎤⎡⎤=+-++-⎣⎦⎣⎦+.得证.19．(1)2222121232x x y y +=+=，；(2)52(3)椭圆C 上不存在三点D E G 、、，使得ODE ODG OEG S S S ===【分析】（1）根据已知设出直线l 的方程，利用弦长公式求出|PQ |的长，利用点到直线的距离公式求点O 到直线l 的距离，根据三角形面积公式，即可求得2212x x +和2212y y +均为定值；（2）由（I ）可求线段PQ 的中点为M ，代入|OM |•|PQ |并利用基本不等式求最值；（3）假设存在1122()(),()D u v E x y G x y ，，，，，满足2ODE ODG OEG S S S ===，由（1）得2213u x +=，2223u x +=，22123x x +=，2212v y +=，2222v y +=，22122y y +=，从而得到D E G 、、的坐标，可以求出DE DG EG 、、方程，从而得出结论.【详解】（1）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，P ，Q 两点关于x 轴对称，所以1212x x y y ==-，∵11()P x y ，在椭圆上∴2211132x y +=①又∵OPQ S = ，∴112x y =②由①②得12x =，11y =．此时2222121232x x y y +=+=，；（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，是直线l 的方程为()0y kx m m =+≠，，将其代入22132x y +=得()()222326320kx kmx m +++-=故()()222236123220k m k m ∆=-+-＞即2232k m +>又 122632km x x k +=-+，()21223232m x x k -=+∴PQ ==∵点O 到直线l 的距离为d =∴OPQ S又 2OPQ S =整理得22322k m +=此时()2221212122x x x x x x +=+-()2222326=()233232m km k k ---⨯=++()()()222222121212222y 3342333x x x x y +=-+-=-+=综上所述2222121232x x y y +=+=，．结论成立．（2）（ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，由（1）知12OM x ==，122PQ y ==因此OM PQ ⋅=（ⅱ）当直线l 的斜率存在时，由（1）知221212123321,m 22222x x y y x x k k m k m m m +++-+=-=+==2222212122222916211||322442x x y y k m OM m m m m ++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+==- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()()()22222222224322211||12223k m m PQ km m k +--⎛⎫=+==+ ⎪⎝⎭+所以22222211111||||322322OM PQ m m m m ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯⨯+=-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭222211322524m m ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭≤=5||||2OM PQ ⋅≤．当且仅当221132m m-=+，即m =综合（1）（2）得||||OM PQ ⋅的最大值为52.（3）椭圆C 上不存在三点D E G 、、，使得ODE ODG OEG S S S ===证明：假设存在1122()(),()D u v E x y G x y ，，，，，满足ODE ODG OEG S S S ===由（1）得2213u x +=，2223u x +=，22123x x +=，2212v y +=，2222v y +=，22122y y +=解得：2221232u x x ===，222121v y y ===.因此12u x x ，，从集合22⎨⎬⎪⎪⎩⎭中选取，12v y y ，，从集合{}1,1-中选取；因此D E G 、、只能从点集(,1)((1)(1)2222⎧⎫⎪⎪----⎨⎬⎪⎪⎩⎭，，，这四个点选取三个不同的点，而这三个点的两两连线必然有一条经过原点，这与2ODE ODG OEG S S S === 矛盾.所以椭圆C 上不存在三点D E G 、、，使得2ODE ODG OEG S S S ===【点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，弦长公式和点到直线的距离公式，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力．（3）考查学生观察、推理以及创造性地分析问题解决问题的能力.。
江西省抚州市临川十中2017-2018学年高一上学期12月月考数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年江西省抚州市临川十中高一（上）12月月考数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）BA1．图中阴影部分表示的集合是（）A．（∁U A）∩B B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）2．若α是第四象限的角，则π﹣α是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角3．角﹣2015°是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角4．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.75．手表时针走过2小时，时针转过的角度为（）A．60°B．﹣60°C．30°D．﹣30°6．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（|x|）的图象为（）A．B． C．D．7．已知是R上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，则f（x）=x，则f（7.5）=（）A．0.5 B．1.5 C．﹣0.5 D．﹣1.58．用二分法求方程x﹣2lg=3的近似解，可以取的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）9．函数f（x）=x2﹣2x+8在[a，a+1]具有单调性，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1 B．﹣1≤a≤0 C．a≤0或a≥1 D．a≤﹣1或a≥010．出租车按如下方法收费：起步价7元，可行3km（不含3km）；3km到7km（不含7km）按1.6元/km计价（不足1km按1km计算）；7km以后按2.2元/km计价，到目的地结算时还需付1元的燃油附加费．若从甲地坐出租车到乙地（路程12.2km），需付车费（精确到1元）（）A．28元B．27元C．26元D．25元11．已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．（0，）12．定义域为R的函数f（x）满足条件：①；②f（x）+f（﹣x）=0（x∈R）；③f（﹣3）=0．则不等式x•f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0≤x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．一扇形的圆心角为120°，面积为π，则此扇形的弧长为．14．函数f（x）=lg（﹣x2+4x）的单调递增区间是．15．定义在R上的函数f（x）=，若f2（x）+af（x）+b=2015有五个不等的实数根x1，x2，x3，x4，x5，则这五个实数根的和是．16．已知函数，若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则abc 的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6≤0}，B={x|x﹣3a＜0}，（Ⅰ）当时，求A∩B；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．18．（Ⅰ）（Ⅱ）．19．已知点P（﹣4，3）在角α终边上．（Ⅰ）求sinα、cosα和tanα的值；（Ⅱ）求的值．20．根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格f（t）与时间t满足关系，销售量g（t）与时间t满足关系g（t）=﹣t+50（0≤t≤40，t∈N），设商品的日销售额的F（t）（销售量与价格之积），（Ⅰ）求商品的日销售额F（t）的解析式；（Ⅱ）求商品的日销售额F（t）的最大值．21．已知函数f（x）=﹣x+log2．（1）求f（）+f（﹣）的值；（2）当x∈（﹣a，a]．其中a∈（0，1），a是常数时，函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．22．已知f（x）=ln（e x+1）﹣ax是偶函数，g（x）=e x+be﹣x是奇函数．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断g（x）的单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若不等式g（f（x））＞g（m﹣x）在[1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．2015-2016学年江西省抚州市临川十中高一（上）12月月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）BA1．图中阴影部分表示的集合是（）A．（∁U A）∩B B．A∩（∁U B）C．∁U（A∩B）D．∁U（A∪B）【考点】Venn图表达集合的关系及运算．【分析】由韦恩图可以看出，阴影部分是A中去掉B那部分所得，由韦恩图与集合之间的关系易得答案．【解答】解：由韦恩图可以看出，阴影部分是A中去掉B那部分所得，即阴影部分的元素属于A且不属于B，即A∩（C u B）故选：B．2．若α是第四象限的角，则π﹣α是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角【考点】象限角、轴线角．【分析】先求出α的表达式，再求﹣α的范围，然后求出π﹣α的范围．【解答】解：若α是第四象限的角，即：2kπ﹣π＜α＜2kπk∈Z所以2kπ＜﹣α＜2kπ+π，k∈Z2kπ+π＜π﹣α＜2kπ+k∈Z故选C．3．角﹣2015°是（）A．第一象限的角 B．第二象限的角 C．第三象限的角 D．第四象限的角【考点】象限角、轴线角．【分析】利用终边相同的角的集合定理即可得出．【解答】解：∵﹣2015°=﹣360°×6+145°，而90°＜145°＜180°，∴角﹣2015°所在的象限为第二象限．故选：B．4．三个数0.76，60.7，log0.76的大小关系为（）A．0.76＜log0.76＜60.7B．0.76＜60.7＜log0.76C．log0.76＜60.7＜0.76D．log0.76＜0.76＜60.7【考点】指数函数单调性的应用．【分析】由对数函数的图象和性质，可得到log0.76＜0，再指数函数的图象和性质，可得0.76＜1，60.7＞1从而得到结论．【解答】解：由对数函数y=log0.7x的图象和性质可知：log0.76＜0由指数函数y=0.7x，y=6x的图象和性质可知0.76＜1，60.7＞1∴log0.76＜0.76＜60.7故选D5．手表时针走过2小时，时针转过的角度为（）A．60°B．﹣60°C．30°D．﹣30°【考点】任意角的概念．【分析】时针转过的角度为负数，12个小时转一周，由求得结果．【解答】解：由于时针顺时针旋转，故时针转过的角度为负数．=﹣60°，故选B．6．已知函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（|x|）的图象为（）A．B． C．D．【考点】函数的图象与图象变化．【分析】根据函数图象的对称变换，可以将函数y=f（x）的图象在y轴右侧的部分保持不变，并将其关于y轴对称，即可得到函数y=f（|x|）的图象．【解答】解：函数y=f（|x|）=，是偶函数，因此将函数y=f（x）的图象在y轴右侧的部分保持不变，利用函数y=f（|x|）是偶函数，其图象关于y轴对称，即可得到函数y=f（|x|）的图象故选B．7．已知是R上的奇函数，且f（x+2）=﹣f（x），当0≤x≤1时，则f（x）=x，则f（7.5）=（）A．0.5 B．1.5 C．﹣0.5 D．﹣1.5【考点】函数奇偶性的性质．【分析】利用奇函数定义与条件f（x+2）=﹣f（x），把f（7.5）的自变量转化到[0，1]的范围内即可．【解答】解：因为f（x+2）=﹣f（x），所以f（7.5）=﹣f（5.5），f（5.5）=﹣f（3.5），f（3.5）=﹣f（1.5），f（1.5）=﹣f（﹣0.5），所以f（7.5）=f（﹣0.5）．又f（x）是R上的奇函数，所以f（﹣0.5）=﹣f（0.5），因为0≤x≤1时，f（x）=x，故f（7.5）=﹣f（0.5）=﹣0.5故选：C．8．用二分法求方程x﹣2lg=3的近似解，可以取的一个区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【考点】二分法求方程的近似解．【分析】构造函数f（x）=x﹣2lg﹣3，由f（2）＜0且f（3）＞0求得答案．【解答】解：令f（x）=x﹣2lg﹣3，∵f（2）=2﹣2lg﹣3=2﹣2×lg2﹣3=lg2﹣1＜0，f（3）=3﹣3lg=＞0，∴用二分法求方程x﹣2lg=3的近似解，可以取的一个区间是（2，3）．故选：C．9．函数f（x）=x2﹣2x+8在[a，a+1]具有单调性，则实数a的取值范围是（）A．0≤a≤1 B．﹣1≤a≤0 C．a≤0或a≥1 D．a≤﹣1或a≥0【考点】二次函数的性质．【分析】若函数f（x）=x2﹣2x+8在[a，a+1]具有单调性，则a≥1，或a+1≤1，解得实数a 的取值范围．【解答】解：函数f（x）=x2﹣2x+8的图象是开口朝上，且以直线x=1为对称轴的抛物线，若函数f（x）=x2﹣2x+8在[a，a+1]具有单调性，则a≥1，或a+1≤1，解得：a≤0或a≥1，故选：C．10．出租车按如下方法收费：起步价7元，可行3km（不含3km）；3km到7km（不含7km）按1.6元/km计价（不足1km按1km计算）；7km以后按2.2元/km计价，到目的地结算时还需付1元的燃油附加费．若从甲地坐出租车到乙地（路程12.2km），需付车费（精确到1元）（）A．28元B．27元C．26元D．25元【考点】函数的值．【分析】设路程为x，需付车费为y元，则有y=，由此能求出从甲地坐出租车到乙地需付车费．【解答】解：设路程为x，需付车费为y元，则有y=，由题意知从甲地坐出租车到乙地，需付车费：y=14.4+2.2（12.2﹣7）=25.84≈26（元）故选：C．11．已知函数f（x）=是R上的减函数，则实数a的取值范围是（）A．[，）B．[，）C．[，1）D．（0，）【考点】分段函数的应用．【分析】由分段函数的性质结合一次函数和对数函数的单调性，列出不等式组，由此能求出实数a的取值范围．【解答】解：∵函数f（x）=是R上的减函数，∴，解得．∴实数a的取值范围是[，）．故选：B．12．定义域为R的函数f（x）满足条件：①；②f（x）+f（﹣x）=0（x∈R）；③f（﹣3）=0．则不等式x•f（x）＜0的解集是（）A．{x|﹣3＜x＜0或x＞3} B．{x|x＜﹣3或0≤x＜3}C．{x|x＜﹣3或x＞3}D．{x|﹣3＜x＜0或0＜x＜3}【考点】其他不等式的解法．【分析】由条件①可得函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，由②可得函数为奇函数，再由③可得函数的图象过点（﹣3，0）、（3，0），数形结合可得不等式的解集【解答】解：由条件①可得函数f（x）为（0，+∞）上的增函数，由②可得函数为奇函数，再由③可得函数的图象过点（﹣3，0）、（3，0），故由不等式x•f（x）＜0可得，当x＞0时，f（x）＜0；当x＜0时，f（x）＞0．结合函数f（x）的简图可得不等式的解集为{x|0＜x＜3，或﹣3＜x＜0}，故选D．二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13．一扇形的圆心角为120°，面积为π，则此扇形的弧长为．【考点】弧长公式．【分析】设扇形的半径为R，先根据扇形的面积公式得到π=，解得R，然后根据扇形的弧长公式求解．【解答】解：设扇形的半径为R，根据题意得π=，解得R=，所以扇形的弧长==．故答案为：．14．函数f（x）=lg（﹣x2+4x）的单调递增区间是（0，2）．【考点】复合函数的单调性．【分析】首先求出函数f（x）的定义域，写出内外层函数并判断各自的单调性；再根据复合函数单调性“同增异减”原则判断f（x）的单调区间即可．【解答】解：由题意求出f（x）的定义域：﹣x2+4x＞0⇒0＜x＜4；根据f（x）写出外层函数：y=lgx，且在定义域上为单调增函数；内层函数为：h（x）=﹣x2+4x，内层函数在（0，2）上为增函数，在（2，4）上为减函数；根据复合函数单调性“同增异减”原则知：f（x）在（0，2）上为递增函数；故答案为：（0，2）15．定义在R上的函数f（x）=，若f2（x）+af（x）+b=2015有五个不等的实数根x1，x2，x3，x4，x5，则这五个实数根的和是15．【考点】分段函数的应用．【分析】先根据一元二次方程根的情况可判断f（3）一定是一个解，再假设f（x）的一解为A可得到x1+x2=6，同理可得到x3+x4=6，进而可得到x1+x2+x3+x4+x5=15，即可得到最后答案．【解答】解：对于f2（x）+bf（x）+c=2015来说，f（x）最多只有2解，又f（x）=（x≠3），函数关于x=3对称，当x不等于3时，x最多四解．而题目要求5解，即可推断f（3）为一解，假设f（x）的另一个解为A，得f（x）==A；根据函数y═的对称性得出：x1=3+A，x2=3﹣A，x1+x2=6；同理：x3+x4=6；所以：x1+x2+x3+x4+x5=6+6+3=15；故答案为：15．16．已知函数，若a＜b＜c，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（10，12）．【考点】分段函数的应用．【分析】画出函数的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，求出abc的范围即可，【解答】解：作出函数f（x）的图象如图，不妨设a＜b＜c，则﹣lga=lgb=﹣c+6∈（0，1）ab=1，0＜﹣c+6＜1则abc=c∈（10，12）．故答案为：（10，12）三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤）17．已知集合A={x|x2﹣5x﹣6≤0}，B={x|x﹣3a＜0}，（Ⅰ）当时，求A∩B；（Ⅱ）若A∪B=B，求实数a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用；交集及其运算．【分析】（Ⅰ）当时，求出集合A，B，结合集合交集的定义，可得答案；（Ⅱ）若A∪B=B，则A⊂B，则3a＞6，解得答案．【解答】解：（Ⅰ）当时，A={x|﹣1≤x≤6}，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣B={x|x＜1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣A∩B={x|﹣1≤x＜1}﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（Ⅱ）A∪B=B，则A⊂B﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣则3a＞6，∴a＞2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣18．（Ⅰ）（Ⅱ）．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用对数的性质、运算法则求解．（Ⅱ）利用诱导公式、指数性质及运算法则求解．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）=4lg2+5lg5﹣lg5=4（lg2+lg5）=4．（Ⅱ）=2cos870°﹣+3﹣2=2cos150°﹣+=﹣2cos30°﹣+=﹣﹣+=﹣．19．已知点P（﹣4，3）在角α终边上．（Ⅰ）求sinα、cosα和tanα的值；（Ⅱ）求的值．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】（1）由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα、cosα和tanα的值．（Ⅱ）利用诱导公式求得的值．【解答】解：（Ⅰ）∵点P（﹣4，3）在角α终边上，∴x=﹣4，y=3，r=|OP|=5，∴sinα==，cosα==﹣，tanα==﹣．（Ⅱ）===sinα=．20．根据市场调查，某商品在最近的40天内的价格f（t）与时间t满足关系，销售量g（t）与时间t满足关系g（t）=﹣t+50（0≤t≤40，t∈N），设商品的日销售额的F（t）（销售量与价格之积），（Ⅰ）求商品的日销售额F（t）的解析式；（Ⅱ）求商品的日销售额F（t）的最大值．【考点】函数模型的选择与应用．【分析】（Ⅰ）根据题设条件，由商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），能够求出F（t）的解析式．（Ⅱ）当0≤t＜20，t∈N时，F（t）=﹣t2+30t+100=﹣（t﹣15）2+1225．当t=15时，F（t）2﹣92t+2100=（t﹣46）2﹣16，当t=20时，F（t）max=1225；当20≤t≤40，t∈N时，F（t）=tmax=660．由此能求出商品的日销售额F（t）的最大值．【解答】解：（Ⅰ）据题意，商品的日销售额F（t）=f（t）g（t），得，即F（t）=．（Ⅱ）当0≤t＜20，t∈N时，F（t）=﹣t2+30t+1000=﹣（t﹣15）2+1225，∴当t=15时，F（t）max=1225；当20≤t≤40，t∈N时，F（t）=t2﹣92t+2100=（t﹣46）2﹣16，∴当t=20时，F（t）max=660综上所述，当t=15时，日销售额F（t）最大，且最大值为1225．21．已知函数f（x）=﹣x+log2．（1）求f（）+f（﹣）的值；（2）当x∈（﹣a，a]．其中a∈（0，1），a是常数时，函数f（x）是否存在最小值？若存在，求出f（x）的最小值；若不存在，请说明理由．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数的值；对数的运算性质．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义，可证出f（x）是定义在（﹣1，1）的奇函数，由此可得f（）+f（﹣）的值等于0；（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，利用作差、因式分解、判断符号的方法，证出f（x）为（﹣1，1）上的减函数．因此，当a∈（0，1），且a为常数时，f（x）在区间（﹣a，a]的最小值为f （a）=﹣a+log2．【解答】解：（1）由＞0，得﹣1＜x＜1，可得函数的定义域为（﹣1，1）∵f（﹣x）=﹣（﹣x）+log2=x﹣log2=﹣f（x）∴f（x）是定义在（﹣1，1）的奇函数因此，f（﹣）=﹣f（），可得f（）+f（﹣）的值等于0；（2）设﹣1＜x 1＜x 2＜1，∵f （x 1）﹣f （x 2）=﹣x 1+log 2﹣（﹣x 2+log 2）=（x 2﹣x 1）+log 2且x 2﹣x 1＞0， =＞1∴log 2＞0，可得f （x 1）﹣f （x 2）＞0，得f （x 1）＞f （x 2） 由此可得f （x ）为（﹣1，1）上的减函数，∴当x ∈（﹣a ，a ]（其中a ∈（0，1），且a 为常数）时，函数有最小值为f （a ）=﹣a +log 222．已知f （x ）=ln （e x +1）﹣ax 是偶函数，g （x ）=e x +be ﹣x 是奇函数．（Ⅰ）求a ，b 的值；（Ⅱ）判断g （x ）的单调性（不要求证明）；（Ⅲ）若不等式g （f （x ））＞g （m ﹣x ）在[1，+∞）上恒成立，求实数m 的取值范围．【考点】函数恒成立问题．【分析】（Ⅰ）根据函数奇偶性的性质即可求a ，b 的值；（Ⅱ）根据指数函数的单调性即可判断g （x ）的单调性；（Ⅲ）根据函数的单调性将不等式g （f （x ））＞g （m ﹣x ）在[1，+∞）上恒成立，进行转化，即可求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）∵f （x ）=ln （e x +1）﹣ax 是偶函数，∴f （﹣x ）=f （x ），即f （﹣x ）﹣f （x ）=0，则ln （e ﹣x +1）+ax ﹣ln （e x +1）+ax=0，ln （e x +1）﹣x +2ax ﹣ln （e x +1）=0，则（2a ﹣1）x=0，即2a ﹣1=0，解得a=．若g （x ）=e x +be ﹣x 是奇函数．则g （0）=0，即1+b=0，解得b=﹣1；（Ⅱ）∵b=﹣1，∴g （x ）=e x ﹣e ﹣x ，则g （x ）单调递增；（Ⅲ）由（II ）知g （x ）单调递增；则不等式g （f （x ））＞g （m ﹣x ）在[1，+∞）上恒成立，等价为f （x ）＞m ﹣x 在[1，+∞）上恒成立，即ln （e x +1）﹣x ＞m ﹣x 在[1，+∞）上恒成立，则m ＜ln （e x +1）+x ，设m （x ）=ln （e x +1）+x ，则m （x ）在[1，+∞）上单调递增，∴m（x）≥m（1）=ln（1+e）+，则m＜ln（1+e）+，则实数m的取值范围是（﹣∞，ln（1+e）+）．2016年11月19日。
商南县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案
商南县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题1． 半径R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积为（ ） A．πR 3B．πR 3C．πR 3D．πR 32． 从1，2，3，4，5中任取3个不同的数，则取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率是（ ） A．B．C．D．3． 设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（ ） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥βD ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α4． 已知全集为R ，集合{}|23A x x x =<->或，{}2,0,2,4B =-，则()R A B =ð（ ）A ．{}2,0,2-B ．{}2,2,4-C ．{}2,0,3-D ．{}0,2,4 5．函数是（ ）A ．最小正周期为2π的奇函数B ．最小正周期为π的奇函数C ．最小正周期为2π的偶函数D ．最小正周期为π的偶函数6． 若关于的不等式2043x ax x +>++的解集为31x -<<-或2x >，则的取值为（ ）A ．B ．12C ．12- D ．2-7． 如果对定义在R 上的函数)(x f ，对任意n m ≠，均有0)()()()(>--+m nf n mf n nf m mf 成立，则称函数)(x f 为“H 函数”.给出下列函数： ①()ln25x f x =-；②34)(3++-=x x x f ；③)cos (sin 222)(x x x x f --=；④⎩⎨⎧=≠=0,00|,|ln )(x x x x f ．其中函数是“H 函数”的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ． 4【命题意图】本题考查学生的知识迁移能力，对函数的单调性定义能从不同角度来刻画，对于较复杂函数也要有利用导数研究函数单调性的能力，由于是给定信息题，因此本题灵活性强，难度大．8． 设函数()()21,141x x f x x ⎧+<⎪=⎨≥⎪⎩，则使得()1f x ≥的自变量的取值范围为（ ）A ．(][],20,10-∞-B ．(][],20,1-∞-C ．(][],21,10-∞-D ．[][]2,01,10-9． 若偶函数y=f （x ），x ∈R ，满足f （x+2）=﹣f （x ），且x ∈[0，2]时，f （x ）=1﹣x ，则方程f （x ）=log 8|x|在[﹣10，10]内的根的个数为（ ） A ．12B ．10C ．9D ．810．点A 是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．11．一个四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，那么原四边形的面积是（ ）A ．2+B ．1+C ．D ．12．已知函数⎩⎨⎧≤>=)0(||)0(log )(2x x x x x f ，函数)(x g 满足以下三点条件：①定义域为R ；②对任意R x ∈，有1()(2)2g x g x =+；③当]1,1[-∈x 时，()g x 则函数)()(x g x f y -=在区间]4,4[-上零点的个数为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【命题意图】本题考查利用函数图象来解决零点问题，突出了对分段函数的转化及数形结合思想的考查，本题综合性强，难度大.二、填空题13．等比数列{a n }的公比q=﹣，a 6=1，则S 6= ．14．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的一个面A 1B 1C 1D 1在半径为的半球底面上，A 、B 、C 、D 四个顶点都在此半球面上，则正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的体积为 ．15．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】函数f （x ）=x ﹣lnx 的单调减区间为 ．16．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．17．S n =++…+= ．18．设函数 则______；若，，则的大小关系是______．三、解答题19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和n S ．20．设圆C 满足三个条件①过原点；②圆心在y=x 上；③截y 轴所得的弦长为4，求圆C 的方程．21．如图，菱形ABCD 的边长为2，现将△ACD 沿对角线AC 折起至△ACP 位置，并使平面PAC ⊥平面ABC ．（Ⅰ）求证：AC ⊥PB ；（Ⅱ）在菱形ABCD 中，若∠ABC=60°，求直线AB 与平面PBC 所成角的正弦值； （Ⅲ）求四面体PABC 体积的最大值．22．（本小题满分12分）中央电视台电视公开课《开讲了》需要现场观众，先邀请甲、乙、丙、丁四所大学的40名学生参加，各（1）求各大学抽取的人数；（2）从（1）中抽取的乙大学和丁大学的学生中随机选出2名学生发言，求这2名学生来自同一所大学的 概率.23．（本小题满分12分）两个人在进行一项掷骰子放球游戏中，规定：若掷出1点，甲盒中放一球；若掷出2点或3点，乙盒中 放一球；若掷出4点或5点或6点，丙盒中放一球，前后共掷3次，设,,x y z 分别表示甲，乙，丙3个 盒中的球数.（1）求0x =，1y =，2z =的概率；（2）记x y ξ=+，求随机变量ξ的概率分布列和数学期望.【命题意图】本题考查频离散型随机变量及其分布列等基础知识，意在考查学生的统计思想和基本的运算能力．24．【南师附中2017届高三模拟二】已知函数()()323131,02f x x a x ax a =+--+>． （1）试讨论()()0f x x ≥的单调性；（2）证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当[]0,x p ∈时，有()11f x -≤≤； （3）设（1）中的p 的最大值为()g a ，求()g a 得最大值．商南县第一高级中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】A【解析】解：2πr=πR，所以r=，则h=，所以V=故选A2．【答案】A【解析】解：从1，2，3，4，5中任取3个不同的数的基本事件有（1，2，3），（1，2，4），（1，2，5），（1，3，4），（1，3，5），（1，4，5），（2，3，4），（2，3，5），（2，4，5），（3，4，5）共10个，取出的3个数可作为三角形的三边边长，根据两边之和大于第三边求得满足条件的基本事件有（2，3，4），（2，4，5），（3，4，5）共3个，故取出的3个数可作为三角形的三边边长的概率P=．故选：A．【点评】本题主要考查了古典概型的概率的求法，关键是不重不漏的列举出所有的基本事件．3．【答案】D【解析】解：A不对，由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，也可能是异面直线；B不对，由面面平行的判定定理知少相交条件；C不对，由面面垂直的性质定理知，m必须垂直交线；故选：D．4．【答案】A【解析】考点：1、集合的表示方法；2、集合的补集及交集.5．【答案】B【解析】解：因为==cos （2x+）=﹣sin2x ．所以函数的周期为： =π．因为f （﹣x ）=﹣sin （﹣2x ）=sin2x=﹣f （x ），所以函数是奇函数．故选B ．【点评】本题考查二倍角公式的应用，诱导公式的应用，三角函数的基本性质，考查计算能力．6． 【答案】D 【解析】试题分析：由题意得，根据不等式与方程的关系可知，不等式解集的端点就是对应的方程的根，可得方程2043x ax x +=++，解得3,1,x x x a =-=-=-，其对应的根分别为3,1,2x x x =-=-=，所以2a =-，故选D.考点：不等式与方程的关系. 7． 【答案】B第8． 【答案】A 【解析】考点：分段函数的应用.【方法点晴】本题主要考查了分段函数的应用，其中解答中涉及到不等式的求解，集合的交集和集合的并集运算，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据分段函数的分段条件，列出相应的不等式，通过求解每个不等式的解集，利用集合的运算是解答的关键. 9．【答案】D【解析】解：∵函数y=f（x）为偶函数，且满足f（x+2）=﹣f（x），∴f（x+4）=f（x+2+2）=﹣f（x+2）=f（x），∴偶函数y=f（x）为周期为4的函数，由x∈[0，2]时，f（x）=1﹣x，可作出函数f（x）在[﹣10，10]的图象，同时作出函数f（x）=log8|x|在[﹣10，10]的图象，交点个数即为所求．数形结合可得交点个为8，故选：D．10．【答案】B【解析】解：设△AF1F2的内切圆半径为r，则S△IAF1=|AF1|r，S△IAF2=|AF2|r，S△IF1F2=|F1F2|r，∵，∴|AF1|r=2×|F1F2|r﹣|AF2|r，整理，得|AF|+|AF2|=2|F1F2|．∴a=2，1∴椭圆的离心率e===．故选：B．11．【答案】A【解析】解：∵四边形的斜二侧直观图是一个底角为45°，腰和上底的长均为1的等腰梯形，∴原四边形为直角梯形，且CD=C'D'=1，AB=O'B=，高AD=20'D'=2，∴直角梯形ABCD的面积为，故选：A．12．【答案】D第Ⅱ卷（共100分）[．Com]二、填空题13．【答案】﹣21．【解析】解：∵等比数列{a n}的公比q=﹣，a6=1，∴a1（﹣）5=1，解得a1=﹣32，∴S6==﹣21故答案为：﹣2114．【答案】2．【解析】解：如图所示，连接A1C1，B1D1，相交于点O．则点O为球心，OA=．设正方体的边长为x，则A1O=x．在Rt△OAA1中，由勾股定理可得：+x2=，解得x=．∴正方体ABCD﹣AB1C1D1的体积V==2．1故答案为：2．15．【答案】（0,1）【解析】考点：本题考查函数的单调性与导数的关系16．【答案】3x﹣y﹣11=0．【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点为A（x1，y1），B（x2，y2），即有y12=6x1，y22=6x2，相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），即有k AB====3，则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），即为3x﹣y﹣11=0．将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，故所求直线为3x﹣y﹣11=0．故答案为：3x﹣y﹣11=0．17．【答案】【解析】解：∵==（﹣），∴S n=++…+=[（1﹣）+（﹣）+（﹣）+…+（﹣）=（1﹣）=，故答案为：．【点评】本题主要考查利用裂项法进行数列求和，属于中档题．18．【答案】，【解析】【知识点】函数图象分段函数，抽象函数与复合函数【试题解析】，因为，所以 又若，结合图像知：所以：。
尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考(文)数学试题 Word版含答案
内蒙古呼伦贝尔市尼尔基第一中学2017-2018学年高三12月月考（文）数学试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知i 为虚数单位，若复数z 满足(20152016)z i i =+ ，则z 为（ ） A ．20152016i + B ．20152016i - C ．20162015i -+ D ．20162015i --2.已知集合{}{}{}2|50,|6,|2M x x x N x p x M N x x q =-<=<<=<< ，则p q +等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．93.函数()f x =的定义域为（ ）A ．[](]2,00,2-B ．(](1,0)0,2-C ．[]2,2-D ．(]1,2-4.在等比数列{}n a 中，公比15241,17,16q a a a a <+==，则数列{}n a 的前10项和10S 等于（ ） A ．511 B ．2012 C ．2013 D ．20145．若向量a 、b 满足(1,2),(1,3)a b ==- 则向量a 与b的夹角等于（ ） A ．4π B ．3π C ．23π D ．34π7．执行如下图所示的程序框图，输出S 的值 为（ ） A ．0 B ．-1 C ．12-D ．32-8．如上图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为（ ）A ．20+．20+ C ．20+．20+9．已知点A 为抛物线2:4C x y =上的动点（不含原点），过点A 的切线交于x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF ∠一定是（ ）A ．钝角B ．锐角C ．直角D ．上述三种情况都可能10．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，()2xf x =，则4(log 9)f 的值为（ ） A ．-3 B ．13-C ．13D ．311．已知曲线y =与x 轴的交点为,A B ，分别由,A B 两点向直线y x =作垂线，垂足为,C D ，沿直线y x =将平面ACD 折起，使平面ACD ⊥平面BCD ，是四面体ABCD 的外接球的表面积为（ ） A ．16π B ．12π C ．8π D ．6π12．已知函数231()1()32mx m n x f x x +++=+的两个极值点分别为12x x ，且12(0,1),(1,)x x ∈∈+∞，点(,)P m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4),(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]1,3 B ．(3,)+∞ C ．(1,3) D ．[)3,+∞第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每题5分．13.在边长为2的正方形ABCD 内部任取一点M ，则满足090AMB ∠<的概率为________． 14.把函数()y f x =的图象向右平移6π个单位，得到2sin(3)4y x π=-的图象，则函数()y f x =的解析式是________．15.已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且123F PF π∠=，椭圆的离心率为1e ，双曲线的离心率2e ，则221213e e +=________． 16.已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n n =-，令cos2n n n b a π=，记数列{}n b 的前n 项为n T ，则2015T =________．三、解答题 ：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.如图，ABC ∆，4B π=，角A 的平分线AD 交BC 于点D ，设,s i n BAD αα∠==；（1）求sin BAC ∠和sin C ；（2）若28BA BC =，求AC 的长．18.央视记者柴静的《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x 与雾霾天数y 进行统计分析，得出下表数据．（1）请画出上表数据的散点图；（画在答题卷上的坐标纸上）（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归直线方程ˆˆˆybx a =+； （3）试根据（2）求出线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．（相关公式1221ˆˆˆ,ni ii nii x y nx ybay bx xnx =-=-==--∑∑） 19.（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为矩形，SA ⊥平面ABCD ，E F 、分别是SC SD 、的中点，2,SA AD AB ===（1）求证：SD ⊥平面AEF ；（2）求三棱锥F AED -的体积．20.（本题满分12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，左、右焦点为12,F F ，点P 是椭圆C 上任意一点，且12PF F ∆（1）求椭圆C 的方程；（2）过2F 作垂直于x 轴的直线l 交椭圆于,A B 两点（点A 在第一象限），,M N 是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若MAB NAB ∠=∠，求证：直线MN 的斜率为定值． 21.（本小题满分12分）已知函数()()ln f x x x a x =+-，其中a 为常数，（1）当1a =-时，求()f x 的极值；（2）若()f x 是区间1(,1)2内的单调递增函数，求实数a 的取值范围；（3）过坐标原点可以作几条直线与曲线()y f x =相切？请说明理由．22.（本小题满分10分）如图，AB 是圆O 的一条切线，切点为B ，直线ADE CFD CGE 、、都是圆O 的割线，已知AC AB =，求证：//FG AC ．23.在平面直角坐标系xoy 中，圆C的参数方程为cos 2sin 2x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（θ为参数，0r >），以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin()14πρθ+=，若圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，求r 的值．24.（本小题满分10分）已知函数()210f x x x =-+-，且满足()8()f x a a R <∈的解集不是空集，（1）求实数a 的取值范围；（2）求24a a +的最小值．参考答案一、填空题1—5 DBBCD 6---10 AACCB 11---12 BC 二、填空题： 13．18π-14．2sin(3)4y x π=+ 15．4 16． -2014 三、解答题：17．解：（1）4sin sin 22sin cos 2555BAC ααα∠==== ，34sin sin()sin cos cos sin 252510C B A B A B A =+=+=+=， （2）由28cos 284BA BC AB BC AB BC π=⇒=⇒=sin 104sin 85AB C BC A ===，所以解得7,AB BC ==，由余弦定理得：2222cos 49325625AC AB BC AB BC B =+-=+-= ，所以5AC =18．解：（1）散点图如图所示：（2）4142537586106i i i x y ==⨯+⨯+⨯+⨯=∑，457864x +++==，235644y +++==，42222214578154ii x ==+++=∑，则12221ˆˆ4106464ˆ1154464ni ii nii x y xybxx =-=--⨯⨯===-⨯-∑∑,ˆ462a y bx=-=-=-，故线性回归方程为ˆˆˆ2y bx a x =+=-， （3）由线性回归方程可以预测，燃烧烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7天． 19．解：（1）∵SA AD =，F 为SD 的中点，∴SD AF ⊥， ∵SA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴AB SA ⊥ ∵AB AD ⊥，SA AD 、是平面SAD 内的两条相交直线， ∴AB SAD ⊥平面，∵SD SAD ⊂平面，∴SD AB ⊥， ∵//EF AB ，∴SD EF ⊥∵AF EF 、是平面AEF 内的两条相交直线 ∴SD ⊥平面AEF （2）11112233222F AED E AFD AFD DC V V S EF --∆====20．解：（1）由题12c a =①，12PF F ∆122c b =由方程组222122,1c a bc a b c a b c ⎧=⎪⎪⎪=⇒===⎨⎪=+⎪⎪⎩，所以椭圆方程为：22143x y += （2）3(1,)2A ，设1122(,)(,)M x y N x y 直线MN 方程为：y kx m =+，代入椭圆22143x y +=得：222(43)84120k x kmx m +++-=， 所以121222840,,4343km mx x x x k k -∆>+==++，又由题M N 、是椭圆上位于直线l 两侧的动点，若MAB NAB ∠=∠，等价于：化简得：(21)(223)0k m k -+-=，所以当12k =时上式恒成立． 所以直线MN 的斜率为定值，且等于12． 另解：可以设直线AM 的斜率求,M N 的坐标，再求斜率．21．解：（1）当1a =时，2121(21)(1)()21(0)x x x x f x x x x x x----'=--==> 所以()f x 在区间(0,1)内单调，在区间(1,)+∞内单调递增，于是()f x 有极小值(1)0f =，无极大值．（2）易知1()2f x x a x '=--在区间1(,1)2内单调递增， 所以由题意可得1()20f x x a x '=--≥在1(,1)2内恒成立，即12a x x ≤-在1(,1)2内恒成立，所以min 1(2)a x x ≤-，因为函数1()2h x x x =-在1(,1)2x ∈时单减，所以()(1,1)h x ∈-所以1a ≤-，的数a 取值范围是(],1-∞．（3）设切点为2(,ln )t t at t +-，则切线方程为：21(2)()ln y t a x t t at t t=------，因为过原点，所在210(2)()ln t a t t at t t=------，化简得21ln 0t t -+=设2()1ln h t t t =-+则1()20h t t t'=+>，所以()h t 在(0,)+∞内单调递增，又(1)0h =，故方程21ln 0t t -+=有唯一实根1t =，所以满足条件的切线只有一条． 22．证明：∵AB 为切线，AE 为割线，∴2AB AD AE = ， 又∵AC AB =，∴2AD AE AC = ， ∴AD ACAC AE=，又∵EAC CAD ∠=∠， ∴ADC ACE ∆∆ ， ∴ADC ACE ∠=∠， 又∵ADC EGF ∠=∠， ∴EGF ACE ∠=∠， ∴//GF AC ．23．解：圆C的参数方程为cos 2sin x r y r θθ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（θ为参数，0r >），消去参数θ得：222(()(0)22x y r r +++=>，所以圆心(22C -，半径r ， 直线l 的极坐标方程为sin()14πρθ+=，化为普通方程为0x y +=，圆心()22C --到直线0x y +=的距离为2d ==，∵圆C 上的点到直线l 的最大距离为3，即3d r +=，∴3321r d =-=-= ． 24．（1）要2108x x a -+-<的解集不是空集，则()min2108x x a -+-<，2102108x x x x -+-≥--+=，∴881a a <⇒>（2）1a >时，224422a a a a a +=++，24322a a a ++≥=当且仅当242a a =，即2a =时等号成立，所以24a a +的最小值为3．。
云南省曲靖市麒麟高级中学2017-2018学年高二上学期月考(期中)试卷二数学(文)试题
麒麟高中2016级高二上学期月考（期中考）试卷二（高二总第2次考试）数学试卷(文科)班级———姓名————一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.底面半径为1，高为2的圆柱的表面积为（）A.4πB.5πC.6πD.7π2.在空间中，下列命题正确的是（）A. 若平面α内有无数条直线与直线l平行，则l∥αB. 若平面α内有无数条直线与平面β平行，则α∥βC. 若平面α内有无数条直线与直线l垂直，则l⊥αD. 若平面α内有无数条直线与平面β垂直，则α⊥β3.如图是一个算法流程图，则输出的x值为（）A. 95B. 47C. 23D. 114.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A. πB. 2πC. 4πD.8π5.已知α，β是相异两平面，m，n是相异两直线，则下列命题中不正确的是（）A. 若m∥n，m⊥α，则n⊥αB. 若m⊥α，m⊥β，则α∥βC. 若m∥α，α∩β=n，则m∥nD. 若m⊥α，m⊂β，则α⊥β6.若α、β是两个相交平面，点P不在α内，也不在β内，则过P点且与α、β都平行的直线有（）A. 1条B.2条C.3条D.无数条7. 已知正三角形的边长为2a ，那么正三角形ABC 的直观图'''A B C ∆的高为（ ）8.已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A. 3cm 3B. 4cm 3C. 5cm 3D. 6cm 39.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中与AD 1垂直的平面是 （ ） A. 平面DD 1C 1CB. 平面A 1DBC. 平面A 1B 1C 1D 1D. 平面A 1DB 110.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中与AD 1垂直的棱为 ( ) A. A 1D B. BB 1 C. A 1B 1 D. BC11. 棱长为1的正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的各顶点都在球O 的球面上,平面A 1BD 截球O 得圆的面积为 ( )A.3πB. 23πC. 34πD. π12.如图所示，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，AB =BC =AA 1，AB ⊥BC ，点E 、F 分别是棱AB 、BB 1的中点，则直线EF 和BC 1所成的角是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.如图，直三棱柱的主视图是边长为2的正方形，且俯视图为一个等边三角形，则该三棱柱的左视图面积为 ______ ．14.已知长方体有一个公共顶点的三个面的面积分别是，，．则长方体的体积是_________ .15.按如图所示的流程图运算，则输出的S= ______ ．16.表面积为12 的球的内接正四面体的表面积为 .三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.如图，在三棱锥P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，∠BAC=60°，E，F 分别是AP，AC的中点，点D在棱AB上，且AD=AC．求证：（1）EF∥平面PBC；（2）DF⊥平面PAC．18.如图，在底面是菱形的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，∠ABC=60°，AA1=AC=2，A1B=A1D=2，点E在A1D上，且E为A1D的中点（1）求证：AA1⊥平面ABCD；（2）求三棱锥D-ACE的体积V D-ACE．19.在正三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，E 、F 分别为AA 1、BC 的中点，AB=AA 1= a . （1）求证：EF ∥平面A 1C 1B ； （2）求B 1到平面A 1C 1B 的距离.20.如图所示，AB 是 O 的直径，PA 垂直于 O 所在平面，C 是圆周上不同于A 、B 的一点，E 为PC 的中点，且AC=1，AB=2，（1）求证：平面PAC ⊥平面PBC ； （2）求圆心O 到平面PAC 的距离； （3）求OE 与平面PAC 所成角的大小.A 1B 1C 1E A BPA21.如图所示，正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1、BC的中点，E为A1C1上的任意一点，BC1 B1C=0.（1）求证：CE⊥BD；（2）求AO与A1C1所成角的度数；（3）求证：MN∥平面ACC1A1.22.如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面四边形ABCD是直角梯形，其中23.AB⊥AD，AB=BC=1，AD=2，AA1=．24.（Ⅰ）求证：直线C1D⊥平面ACD1；25.（Ⅱ）试求三棱锥A1-ACD1的体积．26.B1 AC。
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1 2015-2016学年湖南省高二上学期12月月考试题 数学（文） （本卷共150分，考试用时120分钟） 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分)
1.已知命题，则命题的否定是（ ） A． B． C． D． 2.问题：①某地区10000名中小学生，其中高中生2000名，初中生4500名，小学生3500名，现从中抽取容量为200的样本；②从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查.方法：Ⅰ、随机抽样法 Ⅱ、分层抽样法III、系统抽样法.其中问题与方法配对较适宜的是( ) A. ①Ⅰ，②Ⅱ B.①III，②Ⅰ C.①Ⅱ，②III D.①III，②Ⅱ 3.某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，事件“至少1名女生”与事件“全是男生”（ ） A．是互斥事件，不是对立事件 B．是对立事件，不是互斥事件 C．既是互斥事件，也是对立事件 D．既不是互斥事件也不是对立事件
4．双曲线121022yx的焦距为（ ）
A．22 B．24 C．32 D．34 5．若函数323()12fxxx，则（ ） A．最大值为，最小值为12 B．极大值为，极小值为12 C．最小值为12，无最大值 D．极大值为，无极小值 6．若2)(0xf，则kxfkxfk2)()(lim000等于（ ） A．－1 B．－2 C．1 D．21 7．有5个不同的社团，甲、乙两名同学各自参加其中1个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则这两位同学参加的社团不同的概率为（ ）
A、 15 B、23 C、 34 D、45
8.已知x与y之间的一组数据：已求得关于yx与 的线性回归方程y2.10.85x，则m的值为（ ） A．0．85 B．0．75 C．0．6 D．0．5
x 0 1 2 3 y m 3 5．5 7 2
9．如图是某电视台综艺节目举办的挑战主持人大赛上，七位评委为某 选手打出的分数的茎叶图，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均数和方差分别为（ ）
A．84；4．84 B．84；1．6 C．85；4 D．85；1．6 10.为大力提倡“厉行节约，反对浪费”，衡阳市通过随机询问100名性别不同的居民是否做到 “光盘”行动，得到如右联表及附表：
经计算：22()3.03()()()()nadbcKabcdacbd 参照附表，得到的正确结论是（ ） A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别有关” B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别无关” C．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别有关” D．有90%以上的把握认为“该市居民能否做到‘光盘’行动与性别无关”
11.函数2()(0,0)fxaxbxab在点(1,(1))f处的切线斜率为2，则8abab
的最小值是（ ） A．10 B．9 C．8 D．32
12.设双曲线12222byax)0,0(ba的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线交两渐近线于A、B两点，与双曲线的其中一个交点为P，设坐标原点为O，若OAmOP+
),(RnmOBn，且92mn，则该双曲线的离心率为（ ）
A．223 B．553 C．423 D．89 3
二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是21，乙获胜的概率是31，则甲获胜的概率是 ． 14．在区间[2,2]上任取一个实数，则该数是不等式21x的解的概率为 ． 15．抛物线24yx的准线方程为 .
25．已知函数()yfx的定义域为[－1，5]，部分对应值如表，()fx的导函数'()yfx的图象如图所示，下列关于f（x）的命题：
①函数()yfx是周期函数； ②函数()yfx在[0，2]上是减函数； ③如果当x∈[－1，t]时，()fx的最大值是2，那么t的最大值是4； ④当1＜a＜2时，函数()yfx－a有4个零点；
⑤函数()yfx－a的零点个数可能为0，1，2，3，4． 其中正确命题的序号是___________________（写出所有正确命题的序号）．
三．解答题(本大题共6小题，共75分，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.（本题满分10分）已知函数3431)(3xxf，求函数)(xf在点)4,2(P处的切线方程.
x －1 0 4 5
()fx 1 2 2 1 4
18.（本题满分10分）已知p:260xx,q:25x，命题“pq”为真“pq”为假，求实数x的取值范围。
19.（本题满分12分）年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速（km/t）分成
六段：60,65,65,70,70,75,75,80,80,85,85,90后得到如图的频率分布直方图．
（1）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值． （2）若从车速在60,70的车辆中任抽取2辆，求车速在65,70的车辆恰有一辆的概率． 5
20．（本题满分12分）已知关于x的一元二次方程2220xaxb-+=，其中,abR。若a随机选自区间[]0,4，b随机选自区间[]0,3，求方程有实根的概率。
21.（本小题满分13分）已知椭圆)0(12222babyax上任意一点到两焦点21,FF
距离之和为24，离心率为23． （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线的斜率为12，直线与椭圆C交于BA,两点．点)1,2(P为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值． 6
22（本小题满分13分）已知函数2()(1)ln,.fxaxxaR （Ⅰ）当14a时，求函数()yfx的单调区间； （Ⅱ）12a时，令1()()3ln2hxfxxx．求()hx在[1,]e上的最大值和最小值； （Ⅲ）若函数()1fxx对),1[x恒成立，求实数a的取值范围． 7 解答 1【答案】B 2【答案】C 3【答案】C 4【答案】D 5【答案】B
6【答案】A:kxfkxfk2)()(lim000=000()()1lim2kfxkfxk=01()2fx=-1 7【答案】D 8【答案】D平均数=8484868487855，
方差为：22222848584858685848587851.65 9【答案】C 10【答案】B：22ab，881116116(10)(102)9.22ababababbababa
11【答案】C：因为BPA,,三点共线，所以,1nm又92mn，所以解得3231mn，或
3132nm
，两组解得到的离心率相等，所以用第一组求:OBOAOP3132,整理为
BPPA2,结合图像，可知BPPA2,代入方程：abababc222，整理为bc3，
即222299acbc，化简为243ac．
12【答案】C：因为BPA,,三点共线，所以,1nm又92mn，所以解得3231mn，或
3132nm
，两组解得到的离心率相等，所以用第一组求:OBOAOP3132,整理为
BPPA2,结合图像，可知BPPA2,代入方程：abababc222，整理为bc3， 8
即222299acbc，化简为243ac． 13【答案】61 14【答案】21:由21x解得11x，根据几何概型概率公式可知21)1(2xP 15【答案】x=1 16【答案】②⑤.
17【答案】∵2')(xxf∴在点)4,2(P处的切线的斜率4)2('fk
∴函数)(xf在点)4,2(P处的切线方程为),2(44xy即044yx
18【答案】（1）:26px，:37qx，由题意可知,pq一真一假，p真q假时，由2637xxxx或p假q真时，由26326737xxxxx或或 所以实数x的取值范围是3,26,7 19【答案】（1）众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77．5 设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：
0.0150.0250.0450.06750.5x，解得77.5x
即中位数的估计值为77．5 （2）从图中可知，车速在60,65的车辆数为：10.015402m（辆），
车速在65,70的车辆数为：20.025404m（辆） 设车速在60,65的车辆设为,ab，车速在65,70的车辆设为,,,cdef，则所有基本事件有：（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b，f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f），共15种其中车速在65,70的车辆恰有
一辆的事件有：,,,,,,,,acadaeafbcbdbebf共8种所以，车速在
65,70的车辆恰有一辆的概率为815P
20【答案】因为0,4,0,3ab，则试验的全部结果构成区域,|04,03abab，的面积为3412，事件A所构成的区域