专题29 动态几何之线动形成的面积问题

专题29 动态几何之线动形成的面积问题1．（2014年江西南昌12分）如图1，边长为4的正方形ABCD 中，点E 在AB 边上（不与点A 、B 重合），点F 在BC 边上（不与点B 、C 重合）.第一次操作：将线段EF 绕点F 顺时针旋转，当点E 落在正方形上时，记为点G ； 第二次操作：将线段FG 绕点G 顺时针旋转，当点F 落在正方形上时，记为点H ； 依此操作下去…（1）图2中的△EFD 是经过两次操作后得到的，其形状为 ，求此时线段EF 的长；（2）若经过三次操作可得到四边形EFGH.①请判断四边形EFGH 的形状为 ，此时AE 与BF 的数量关系是 ； ②以①中的结论为前提，设AE 的长为x ，四边形EFGH 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及面积y 的取值范围.（3）若经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是多少？它可能是正多边形吗？如果是，请直接写出其边长；如果不是，请说明理由．2．（2014年山东济南9分）如图1，抛物线23y x 16=-平移后过点A （8，,0）和原点，顶点为B ，对称轴与x 轴相交于点C ，与原抛物线相交于点D ．（1）求平移后抛物线的解析式并直接写出阴影部分的面积S 影阴；（2）如图2，直线AB 与y 轴相交于点P ，点M 为线段OA 上一动点，PMN ∠为直角，边MN 与AP 相交于点N ，设OM t =，试探求：①t 为何值时，△MAN 为等腰三角形？②t 为何值时，线段PN 的长度最小，最小长度是多少？3．（2014年四川凉山12分）如图①，在平面直角坐标中，点A 的坐标为（1，﹣2），点B 的坐标为（3，﹣1），二次函数y=﹣x 2的图象为l 1．（1）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线经过点A ，但不过点B ． ①满足此条件的函数解析式有 个．②写出向下平移且经点A 的解析式 ．（2）平移抛物线l 1，使平移后的抛物线经过A ，B 两点，所得的抛物线l 2，如图②，求抛物线l 2的函数解析式及顶点C 的坐标，并求△ABC 的面积．（3）在y 轴上是否存在点P ，使S △ABC =S △ABP ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．4．（2014年四川攀枝花12分）如图，抛物线2y ax 8ax 12a =-+（a ＞0）与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点C ，点D 的坐标为（﹣6，0），且∠ACD=90°．（1）请直接写出A 、B 两点的坐标；（2）求抛物线的解析式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得△PAC 的周长最小？若存在，求出点P 的坐标及周长的最小值；若不存在，说明理由；（4）平行于y 轴的直线m 从点D 出发沿x 轴向右平行移动，到点A 停止．设直线m 与折线DCA 的交点为G ，与x 轴的交点为H （t ，0）．记△ACD 在直线m 左侧部分的面积为s ，求s 关于t 的函数关系式及自变量t 的取值范围．5．（2014年山西省13分）综合与探究：如图，在平面直角坐标系xOy 中，四边形OABC 是平行四边形，A 、C 两点的坐标分别为（4，0），（﹣2，3），抛物线W 经过O 、A 、C 三点，D 是抛物线W 的顶点．（1）求抛物线W的解析式及顶点D的坐标；（2）将抛物线W和Y OABC一起先向右平移4个单位后，再向下平移m（0＜m＜3）个单位，得到抛物线W′和Y O′A′B′C′，在向下平移的过程中，设Y O′A′B′C′与Y OABC的重叠部分的面积为S，试探究：当m为何值时S有最大值，并求出S的最大值；（3）在（2）的条件下，当S取最大值时，设此时抛物线W′的顶点为F，若点M是x 轴上的动点，点N时抛物线W′上的动点，试判断是否存在这样的点M和点N，使得以D、F、M、N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2014年陕西省10分）已知抛物线C：y=﹣x2+bx+c经过A（﹣3，0）和B（0，3）两点，将这条抛物线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N．（1）求抛物线C的表达式；（2）求点M的坐标；（3）将抛物线C平移到C′，抛物线C′的顶点记为M′，它的对称轴与x轴的交点记为N′．如果以点M、N、M′、N′为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？评卷人得分六、新添加的题型参考答案 1．（1）等边三角形.EF=()2x 24438642=-+=-.（2）①①四边形EFGH 为正方形；AE=BF.②222y 2x 8x 162(x 4x 4)82(x 2)8=-+=-++=-+，y 的取值范围是8＜y ＜16.（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为424-．【解析】（1）根据正方形的性质，证明旋转后得到的两个直角三角形全等，得出AE 和FC 相等，再用勾股定理列出方程即可.（2）①根据旋转的性质可判定四边形EFGH 是正方形，得出AE=BF ；②根据正方形的面积公式，找出AE 长与正方形面积之间的等量关系式.（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为424-．如答图2所示，粗线部分是由线段EF 经过7次操作所形成的正八边形．设边长EF=FG=x ，则BF=CG=2x 2， BC=BF+FG+CG=22x x x 422++=，解得：x=424-．解：（1）等边三角形.∵四边形ABCD 是正方形，∴AD=CD=BC=AB ，∠A=∠B=∠C=90°.∵ED=FD ，∴△ADE ≌△CDF(HL). ∴AE=CF ，BE=BF.∴△BEF 是等腰直角三角形.设BE 的长为x ，则2x ，AE=4x -，∵在Ｒt △AED 中，222AE AD DE +=，DE=EF ，∴())2224 x 42x -+=，解得12x 443,x 443=-+=-- (不合题意，舍去). ∴2x 24438642=-+=-.（2）①四边形EFGH 为正方形；AE=BF.②∵AE=x ，∴BE=4x -.∵在Ｒt △BED 中，222EF BF BE =+，AE=BF ，∴()222222y EF 4x x 168x x x 2x 8x 16==-+=-++=-+.∵点E 不与点A 、B 重合，点F 不与点B 、C 重合，∴0＜x ＜4.∵222y 2x 8x 162(x 4x 4)82(x 2)8=-+=-++=-+，∴当x=2时有最小值8，当x=0或4时，有最大值16.∴y 的取值范围是8＜y ＜16.（3）经过多次操作可得到首尾顺次相接的多边形，其最大边数是8，它可能为正多边形，边长为424-．考点：1.线动旋转问题；2.正方形的判定和性质；3.等边三角形的判定和性质；4.全等三角形的判定和性质；5.勾股定理；6.二次函数的应用．2．（1）233y x x 162=-+ 12 （2）①9t 2=时，△MAN 为等腰三角形. ②故当t ＝3时，PN 取最小值为152． 【解析】（1）根据平移的性质，应用待定系数法即可求出平移后抛物线的解析式；如答图1，过点D 作DE ⊥y 轴于点E ，由()22333y x x x 4316216=-+=--+得顶点B （4，3），则阴影部分的面积等于矩形OCDE 的面积S 影阴=OC ×CB ＝12.（2）①分MN＝AN，AM＝AN，MN＝MA三种情况情况即可.②应用反证法求解即可.解：（1）∵抛物线23y x16=-平移后过原点，∴设平移后抛物线的解析式23y x bx16=-+.将点A（8，,0）代入，得30648b16=-⋅+，解得3b2=.∴平移后抛物线的解析式233y x x162=-+.S影阴＝12.（2）由A（8，,0），B（4，3）可求得直线AB的解析式为3y x64=-+，如答图2，过点N作NQ⊥x轴于点Q，①当MN＝AN时，N点的横坐标为8t2-，纵坐标为243t8-，由△NQM∽△MOP得NQ MQOM OP=,∴243t8t82t6--=，解得9t,82=（舍去）.当AM＝AN时，AN＝8t-,由△ANQ∽△APO得()()348tNQ8t,AQ8t,MQ555-=-=-=，由△NQM∽△MOP得NQ MQOM OP=，∴()38t8t55t6--=，解得：t＝12（舍去）.当MN＝MA时，MNA MAN45∠=∠<︒，∴AMN∠是钝角，显然不成立.综上所述，9t2=时，△MAN为等腰三角形.②如答图2，作PN的中点T，连接TM，则TM＝PT＝21PＮ，当TM垂直于x轴且M为OQ中点时PN最小，此时t＝3，证明如下：假设t＝3时M记为M0，T记为T0，若M不在M0处，即M在M0左侧或右侧，若T在T0左侧或者T在T0处，则TM一定大于00T M而PT却小于PT，这与TM＝PT矛盾，故T在T0右侧，则PT大于PT,相应PN也会增大，故若M不在M0处时 PN大于M0处的PN的值，故当t＝3时，MQ＝3,3NQ=2,根据勾股定理可求出PM＝35与MN352,15PN=2．故当t＝3时，PN取最小值为152．考点：1．二次函数综合题；2．单动点和线动平移问题；3．待定系数法的应用；4．曲线上点的坐标与方程的关系；5．等腰三角形的性质；6．相似三角形的判定和性质；7．直角三角形斜边上中线的性质；8．勾股定理；9．转换思想、分类思想和反证法的应用．3．（1）①无数；②y=﹣x2﹣1.（2）S△ABC=S梯形ABED﹣S梯形BCFE﹣S梯形ACFD=15 16．（3）所求点P的坐标为（0，5516-）或（0，2516-）.【解析】（1）①根据实际情况可以直接写出结果.②设平移以后的二次函数解析式是：y=﹣x2+c，把（1，﹣2）代入即可求得c=﹣1，从而得到函数的解析式：y=﹣x2﹣1.（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式；化为顶点式得到点C 的坐标，过点A、B、C 三点分别作x轴的垂线，垂足分别为D、EE、F，求得△ABC的面积.（3）分当点P位于点G的下方和上方，两种情况进行讨论求解．解：（1）①无数；②y=﹣x2﹣1.（2）设l2的解析式是y=x2+bx+c，∵l2经过点A（1，﹣2）和B（3，﹣1），∴1b c 293b c 1-++=-⎧⎨-++=-⎩，解得：9b 211c 2⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴l 2的解析式是：2911y x x 22=-+-. ∵2291197y x x x 22416⎛⎫=-+-=--- ⎪⎝⎭， ∴顶点C 的坐标是97,416⎛⎫- ⎪⎝⎭ ． 如答图1，过点A 、B 、C 三点分别作x 轴的垂线，垂足分别为D 、E 、F ，则AD=2，CF=716，BE=1，DE=2，DF=54，FE=34． ∴S △ABC =S 梯形ABED ﹣S 梯形BCFE ﹣S 梯形ACFD =1516． （3）存在. 如答图2，3，延长BA 交y 轴于点G ，设直线AB 的解析式为y mx n =+，则m n 23m n 1+=-⎧⎨+=-⎩，解得1m 25n 2⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩. ∴直线AB 的解析式为15y x 22=-. ∴点G 的坐标为（0，52-）. 设点P 的坐标为（0，h ），①当点P 位于点G 的下方时，如答图2，PG=5h 2--，连接AP 、BP ， 则S △ABP =S △BPG ﹣S △APG =()155h 31h 222⎛⎫---=-- ⎪⎝⎭.又∵S△ABC=S△ABP=1516，得h=5516-.∴点P的坐标为（0，5516-）．②当点P位于点G的上方时，如答图3，PG=5h2+，同上可得h=2516-，点P的坐标为（0，2516-）．综上所述，所求点P的坐标为（0，5516-）或（0，2516-）.考点：1.二次函数综合题；2.线动平移问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.三角形和梯形面积；7.分类思想、转换思想和方程思想的应用.4．（1）A（2，0），B（6，0）．（2）2343y23=-+（3）存在满足条件的点P，点P坐标为（423，△PAC周长的最小值为443+（4）s关于t的函数关系式为S))22323t636t0323t630t2⎧++-≤≤⎪=⎪++≤⎪⎩＜．【解析】（1）抛物线的解析式为：2y ax8ax12a=-+（a＞0），令y=0，即2ax8ax12a0-+=，解得x1=2，x2=6，∴A（2，0），B（6，0）．（2）由∠ACD=90°可知△ACD为直角三角形，利用勾股定理，列出方程求出a的值，进而求出抛物线的解析式.（3）△PAC的周长=AC+PA+PC，AC为定值，则当PA+PC取得最小值时，△PAC的周长最小．设点C关于对称轴的对称点为C′，连接AC′与对称轴交于点P，由轴对称的性质可知点P即为所求.（4）直线m运动过程中，有两种情形，需要分类讨论并计算，避免漏解．解：（1）A（2，0），B（6，0）．（2）抛物线的解析式为：2y ax8ax12a=-+（a＞0），令x=0，得y=12a，∴C（0，12a），OC=12a．在Rt△COD中，由勾股定理得：()222222CD OC OD12a6144a36=+=+=+；在Rt△COD中，由勾股定理得：()222222AC OC OA12a2144a4=+=+=+；在Rt△COD中，由勾股定理得：DC2+AC2=AD2，即：()()222144a36144a48+++=，解得：a=36或a=36-（舍去）.∴抛物线的解析式为：2343y x x2363=-+．（3）存在．对称轴为直线：433x4326-=-=⋅．由（2）知C（0，23），则点C关于对称轴x=4的对称点为C′（8，23），如答图1，连接AC′，与对称轴交于点P，则点P为所求．此时△PAC周长最小，最小值为AC+AC′．设直线AC′的解析式为y=kx+b，则有：2k b08k b23+=⎧⎪⎨+=⎪⎩3k23b⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩.∴直线AC′的解析式为323y=．当x=4时，23y=P（423．过点C′作C′E⊥x轴于点E，则C′E=23，AE=6，在Rt△AC′E中，由勾股定理得：()22AC23643'=+=在Rt△AOC中，由勾股定理得：()22AC2234=+=．∴AC+AC′=443+∴存在满足条件的点P ，点P 坐标为（4，233），△PAC 周长的最小值为443+． （4）①当﹣6≤t≤0时，如答图2．∵直线m 平行于y 轴，∴△DGH ∽△DCO. ∴GH DH OC OD =，即GH 6t 623+=. ∴()3GH 6t 3=+ ∴()()DGH 113S S DH GH 6t 6t 223∆==⋅=+⋅+ 23t 23t 636=++. ②当0＜t≤2时，如答图3．∵直线m 平行于y 轴，∴△AGH ∽△ACO.∴GH AH OC OA =2t 223-=， ∴GH 3t 23=-+∴S=S △COD +S 梯形OCGH()11OD OC GH OC OH 22=⋅++⋅ (21136233t 2323t 23t 6322=⨯⨯+-++⋅=++∴s 关于t 的函数关系式为S ()()223t 23t 636t 063t 23t 630t 22⎧++-≤≤⎪⎪=⎪-++≤⎪⎩＜．考点：1.二次函数综合题；2.轴对称的应用（最短线路问题）；3.线动平移问题；4.勾股定理；5.待定系数法的应用；6.曲线上点的坐标与方程的关系；7.相似三角形的判定和性质；8.由实际问题列函数关系式；9.分类思想的应用．5．解：（1）设抛物线W 的解析式为y=ax 2+bx+c ，∵抛物线W 经过O （0，0）、A （4，0）、C （﹣2，3）三点，∴c 016a 4b c 04a 2b c 3=⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩，解得：1a 4b 1c 0⎧=⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎩．∴抛物线W 的解析式为21y x x 4=-． ∵()2211y x x x 2144=-=--，∴顶点D 的坐标为（2，﹣1）． （2）由Y OABC 得，CB ∥OA ，CB=OA=4．又∵C 点坐标为（﹣2，3），∴B 点的坐标为（2，3）．如答图1，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，由平移可知，点C′在BE 上，且BC′=m．∴BE=3，OE=2.∴EA=OA ﹣OE=2．∵C′B′∥x 轴，∴△BC′G∽△BEA. ∴BC C G BE EA ''=，即m C G 32'=.∴C′G=2m 3． 由平移知，Y O′A′B′C′与Y OABC 的重叠部分四边形C′HAG 是平行四边形．∴()22233S C G C E m 3m m 3322⎛⎫='⋅'=⋅-=--+ ⎪⎝⎭. ∴当m=32时，S 有最大值为32．（3）存在．点M 的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．【解析】（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式，化为顶点式求出顶点D 的坐标.（2）由平移性质，可知重叠部分为一平行四边形．如答图1，作辅助线，利用相似比例式求出平行四边形的边长和高，从而求得其面积的表达式；然后利用二次函数的性质求出最值. （3）在（2）的条件下，抛物线W 向右平移4个单位，再向下平移32个单位，得到抛物线W′， ∵D （2，﹣1），∴F （6，52-）.∴抛物线W′的解析式为：()215y x 642=--． 设M （t ，0），以D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形，分点N 在x 轴上方、下方两种情况讨论： ①若点N 在x 轴下方，如答题2所示：过点D 作DP ∥y 轴，过点F 作FP ⊥DP 于点P ，∵D （2，﹣1），F （6，52-），∴DP=32，FP=4. 过点N 作DQ ⊥x 轴于点Q ，由四边形FDMN 为平行四边形，易证△DFP ≌△NMQ ，∴MQ=FP=4，NQ=DP=32.∴N （4+t ，﹣32）. 将点N 坐标代入抛物线W′的解析式()215y x 642=--，得：()2153t 2422--=-， 解得：t=0或t=4，∴点M 的坐标为（0，0）或（4，0）.②若点N 在x 轴上方，（请自行作图）与①同理，得N （4﹣t ，32） 将点N 坐标代入抛物线W′的解析式()215y x 642=--，得：()2153t 10422--=， 解得：t=6或t=14，∴点M 的坐标为（6，0）或（14，0）．综上所述，存在这样的点M 和点N ，点M 的坐标分别为（0，0），（4，0），（6，0），（14，0）．考点：1.二次函数综合题；2.线动平移、面动平移和双动点问题；3.待定系数法的应用；4.曲线上点的坐标与方程的关系；5.二次函数的性质；6.相似三角形的判定和性质；7.平行四边形的判定和性质；8.分类思想的应用．6．（1）2y x 2x 3=--+（2）M （﹣1，4）．（3）上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．【解析】（1）直接把A （﹣3，0）和B （0，3）两点代入抛物线y=﹣x 2+bx+c ，求出b ，c 的值即可．（2）把（1）中抛物线的解析式化为顶点式可得出其顶点坐标．（3）根据平行四边形的定义，可知有四种情形符合条件，如解答图所示．需要分类讨论．解：（1）∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A （﹣3，0）和B （0，3）两点，∴93b c 0c 3--+=⎧⎨=⎩，解得b 2c 3=-⎧⎨=⎩．∴此抛物线的解析式为：2y x 2x 3=--+．（2）∵()22y x 2x 3x 14=--+=-++，∴M （﹣1，4）．（3）由题意，以点M 、N 、M′、N′为顶点的平行四边形的边MN 的对边只能是M′N′， ∴MN ∥M′N′且MN=M′N′．∴MN•NN′=16．∴NN′=4．i ）当M 、N 、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MN N′M′时，将抛物线C 向左或向右平移4个单位可得符合条件的抛物线C′；ii ）当M 、N 、M′、N′为顶点的平行四边形是▱MNM′N′时，将抛物线C 先向左或向右平移4个单位，再向下平移8个单位，可得符合条件的抛物线C′．∴上述的四种平移，均可得到符合条件的抛物线C′．考点：1.二次函数图象与平移变换；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.二次函数的性质；4.平行四边形的性质；5.分类思想的应用．。