2020届陕西省百校联盟高三上学期九月联考数学（理）试题（解析版）
2020届陕西省(全国II卷)百校联盟高三TOP20(9月)联考语文试卷及答案
2020届陕西省（全国II卷）百校联盟高三TOP20（9月）联考语文试卷(含答案)注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置。
2.全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.本试卷满分150分，测试时间150分钟。
4.考试范围：高考全部内容。
一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）阅读下面的文字，完成1～3题。
《周易》是中华文化在轴心期的一部光辉杰作，其中蕴含着深刻的生态伦理智慧，在当今依然有着十分重要的现实意义。
《周易》认为，天地万物是以太极为本原的、秩序谨严的有机整体。
此即《周易》“易有太极，是生两仪，两仪生四象，四象生八卦”所蕴含的太极整体观。
《易传·序卦》则在此基础上为我们展示了一幅更加详尽、气势恢宏的宇宙图景。
《易经》六十四卦便是对这个宇宙图景模拟所得的一套严整的象数符号系统。
这些是对中华文化之天人合一主流思想的独特表达。
由于宇宙万物是一个井然有序的有机整体，人作为宇宙万物中的一个成员，当然是宇宙整体不可分割的一部分。
因此，人在与自然相处时，应摈弃那种让人类走了很长弯路，只顾局部、短期利益的鼠目寸光式的行为方式，进而建立起一种从整体出发、顾全大局、高瞻远瞩的现代行为方式。
而这也是现代生态伦理学的核心理念。
在太极整体观的基础上，《周易》进一步指出，天地万物不是一成不变的，而是生生不息、变化日新的。
此之谓《周易》的生生不息观，即《易传》的“富有之谓大业，日新之谓盛德，生生之谓易”和“物不可穷也，故受之以未济终焉”所显示的发展观。
这告诉我们，由于宇宙是一个富有日新、无限发展的动态开放系统，因此，当今人类面临的一系列全球问题也是宇宙发展过程中的、前进中的问题，我们不必惊慌失措，悲观绝望。
当然，我们反对对人类前途的一切悲观论调，绝不意味着人类可以盲目乐观、麻痹大意；恰恰相反，人类应该迅速警醒，从容应战，精诚合作，以顺利渡过难关。
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题(解析版)
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题1．复数312112ii i +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案.【详解】 根据题意，31211211212i i i ii i +++++=+-+(12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ）A ．{|0}x x ≤B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或C ．{|23}x x ≤≤D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r 能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r，所以5a ==r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r ，所以1λ=是||5a λ=r 的充分条件.因为||5a λ=r，所以||||5a λ= ||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案.【详解】根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<.即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A ．43B ．23C ．32D ．34-【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上，所以DE ⊥平面ACD ， 所以1313E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 13(31)3=31=， 所以几何体的体积为32. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】 由题意，22()(1)f x x '=--， 221(3)(31)2f '∴=-=--， 所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =.故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12548= 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+， 所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+11111212231n n⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围.【详解】 根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点，所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m --=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m --=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=, (2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解. 11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GH k DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EH k DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =，所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GH k DA AC==(01)k <<，BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =，所以BD HE P ，同理∥FG BD 所以1AH EH k DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-，在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围.【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==， 所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-，令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=， 2(4)240m ∆=++>， 由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根.又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立， 又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF =所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z . 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比2q =，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大，由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =--代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩ 可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b bb b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩ 解得1b <， 而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2 【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C = 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠，2sin 3ABπ=，所以AB =所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =，所以11sin 2522ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，1AA ，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ，所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ， 所以11224OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭， 所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭，设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln 1mx f x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2 【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m=， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a=. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。
新课标高考理科数学专题复习 专题十二 算法初步
专题十二算法初步探考情悟真题【真题探秘】【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点程序框图与算法语句(1)了解算法的含义和思想.(2)理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序结构、条件结构、循环结构.(3)理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义2019课标Ⅰ,8,5分补全程序框图★★★2018课标Ⅱ,7,5分补全程序框图数列2017课标Ⅰ,8,5分补全程序框图2016课标Ⅰ,9,5分2015课标Ⅰ,9,5分求循环结构的输出值2017课标Ⅲ,7,5分求循环结构的输入值2015课标Ⅱ,8,5分条件结构的程序框图分析解读从近五年的考查情况来看,本专题内容一般以选择题、填空题的形式出现,分值为5分,难度中等偏下.主要的命题角度有条件结构与分段函数相结合,求循环结构的输入值、输出值,补全程序框图等.考查学生的数学运算能力和逻辑推理能力.破考点练考向【考点集训】考点程序框图与算法语句1.(2020届陕西百校联盟九月联考,8)《九章算术》卷七——盈不足中有如下问题:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三.问人数、羊价各几何?”翻译为:现有几个人一起买羊,若每人出五钱,还差四十五钱,若每人出七钱,还差三钱,问人数、羊价分别是多少?为了研究该问题,设置了如图所示的程序框图,若要输出人数和羊价,则判断框中应该填()第1题图A.k>20B.k>21C.k>22D.k>23答案A2.(2020届河南南阳中学第二次考试,6)执行如图所示的程序框图,如果输入的n=6,那么输出的S=()A.167B.168C.104D.105答案B3.(2019福建泉州1月单科质检,6)执行如图所示的程序框图,若输入的x∈[-2,1],则输出的y的取值范围是()A.[-8,0]B.[-8,2]C.[-7,2]D.[-1,2]答案B炼技法提能力【方法集训】方法程序框图功能的识读1.(2020届安徽高三开学考试,6)阅读如图所示的程序框图,若输入的k=10,则该算法的功能是()A.计算数列{2n-1}的前9项和B.计算数列{2n-1}的前10项和C.计算数列{2n-1}的前10项和D.计算数列{2n-1}的前9项和答案B2.(2019河南郑州第二次质量检测,3)南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶算法至今仍是多项式求值比较先进的算法,已知f(x)=2019x2018+2018x2017+…+2x+1,程序框图设计的是求f(x0)的值,在M处应填的执行语句是()A.n=2018-iB.n=2019-iC.n=i+1D.n=i+2答案B3.(2019福建厦门第一中学3月模拟,5)我国古代典籍《九章算术》第七章“盈不足”中有一问题:“今有蒲生一日,长三尺.莞生一日,长一尺.蒲生日自半.莞生日自倍.问几何日而长等?”(蒲常指一种多年生草本植物,莞指水葱一类的植物)现欲知几日后,莞高超过蒲高一倍.为了解决这个新问题,设计如图所示的程序框图,输入A=3,a=1.那么在①处应填()A.T>2S?B.S>2T?C.S<2T?D.T<2S?答案B【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组1.(2019课标Ⅲ,9,5分)执行如图所示的程序框图,如果输入的ε为0.01,则输出s 的值等于( )A.2-124B.2-125C.2-126D.2-127答案 C2.(2018课标Ⅱ,7,5分)为计算S=1-12+13-14+…+199-1100,设计了如图所示的程序框图,则在空白框中应填入 ( )A.i=i+1B.i=i+2C.i=i+3D.i=i+4答案 B3.(2017课标Ⅰ,8,5分)如图所示的程序框图是为了求出满足3n -2n >1 000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入( )A.A>1 000和n=n+1B.A>1 000和n=n+2C.A≤1000和n=n+1D.A≤1000和n=n+2答案DB组自主命题·省(区、市)卷题组1.(2019北京,2,5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.1B.2C.3D.4答案B2.(2018天津,3,5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为20,则输出T的值为()A.1B.2C.3D.4答案B3.(2017山东,6,5分)执行两次如图所示的程序框图,若第一次输入的x的值为7,第二次输入的x的值为9,则第一次、第二次输出的a的值分别为()A.0,0B.1,1C.0,1D.1,0答案D4.(2019江苏,3,5分)如图是一个算法流程图,则输出的S的值是.答案5C组教师专用题组1.(2018北京,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.12B.56C.76D.712答案B2.(2017课标Ⅱ,8,5分)执行下面的程序框图,如果输入的a=-1,则输出的S=()A.2B.3C.4D.5答案B3.(2017课标Ⅲ,7,5分)执行下面的程序框图,为使输出S的值小于91,则输入的正整数N的最小值为()A.5B.4C.3D.2答案D4.(2017天津,3,5分)阅读下面的程序框图,运行相应的程序,若输入N的值为24,则输出N的值为()A.0B.1C.2D.3答案C5.(2017北京,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的s值为()A.2B.32C.53D.85答案C6.(2016课标Ⅰ,9,5分)执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足()A.y=2xB.y=3xC.y=4xD.y=5x答案C7.(2016课标Ⅲ,7,5分)执行下面的程序框图,如果输入的a=4,b=6,那么输出的n=()A.3B.4C.5D.6答案B8.(2016四川,6,5分)秦九韶是我国南宋时期的数学家,普州(现四川省安岳县)人,他在所著的《数书九章》中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例,若输入n,x的值分别为3,2,则输出v的值为()A.9B.18C.20D.35答案B9.(2016北京,3,5分)执行如图所示的程序框图,若输入的a值为1,则输出的k值为()A.1B.2C.3D.4答案B10.(2016天津,4,5分)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A.2B.4C.6D.8答案B11.(2015课标Ⅰ,9,5分)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A.5B.6C.7D.8答案C12.(2015课标Ⅱ,8,5分)下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的a,b分别为14,18,则输出的a=()A.0B.2C.4D.14答案B13.(2015湖南,3,5分)执行如图所示的程序框图.如果输入n=3,则输出的S=()A.67B.37C.89D.49答案B14.(2015福建,6,5分)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出的结果为()A.2B.1C.0D.-1答案C15.(2015重庆,7,5分)执行如图所示的程序框图,若输出k的值为8,则判断框内可填入的条件是()A.s≤34B.s≤56C.s≤1112D.s≤2524答案C16.(2015北京,3,5分)执行如图所示的程序框图,输出的结果为()A.(-2,2)B.(-4,0)C.(-4,-4)D.(0,-8)答案B17.(2015天津,3,5分)阅读下边的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为()A.-10B.6C.14D.18答案B18.(2014课标Ⅰ,7,5分)执行下面的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=()A.203B.72C.165D.158答案D19.(2014课标Ⅱ,7,5分)执行下面的程序框图,如果输入的x,t均为2,则输出的S=()A.4B.5C.6D.7答案D20.(2017江苏,4,5分)下图是一个算法流程图.若输入x的值为1,则输出y的值是.16答案-221.(2016山东,11,5分)执行如图所示的程序框图,若输入的a,b的值分别为0和9,则输出的i的值为.答案322.(2015山东,13,5分)执行下边的程序框图,输出的T的值为.答案11623.(2015江苏,4,5分)根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为.答案7【三年模拟】一、选择题(每小题5分,共35分)1.(2020届山西学情调研,7)如图是解方程12+22+…+n2=(n+1)(n+2)的程序框图,输出的i为()A.3B.4C.5D.6答案B2.(2020届河南百校联盟9月联合检测,8)《周髀算经》向来被认为是中国最古老的天文学及数学著作,《周髀算经》的内容是以商高与周公的问答形式陈述而成,主要阐明当时的盖天说、四分历法.由《周髀算经》中关于影长的问题,可以得到从冬至起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气日影长依次构成等差数列,若冬至的日影长为13.5尺,现在我们用如图所示的程序框图来求解这十二个节气日影长的和,执行该程序框图,则输出的结果是()A.94尺B.95尺C.96尺D.97尺答案C3.(2020届宁夏银川一中第二次月考,9)记不超过实数x的最大整数为[x],则函数f(x)=[x]称作取整函数,取整函数在科学和工程上有广泛应用.如图所示的程序框图是与取整函数有关的求和问题,若输出的S的值为5,则判断框内填入的条件可以是()A.k≤6?B.k≤4?C.k≤5?D.k≤3?答案C4.(2020届云南师大附中第一次月考,8)如图,执行程序框图后,输出的结果是()A.140B.204C.245D.300答案B5.(2018河南郑州高中毕业班第二次质量预测,5)《九章算术》是中国古代第一部数学专著,是《算经十书》中最重要的一种,成于公元1世纪左右.“更相减损术”便是《九章算术》中记录的一种求最大公约数的算法,按其算理流程有如图所示的程序框图,若输入的a、b分别为96、36,则输出的i为()A.4B.5C.6D.7答案A6.(2019安徽安庆二模,9)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是()A.171B.342C.683D.341答案C7.(2018陕西宝鸡金台期中,8)执行如图所示的程序框图,如果输入的a=0.6,b=0.5,c=1.5,那么输出m的值是()A.0.5B.0.6C.1.5D.都有可能答案A二、填空题(共5分)8.(2020届江西新余四中高三月考(文))执行如图所示的程序框图,则输出S的值为.答案2。
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题(解析版)
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题1．复数312112ii i +++-的模为（ ）A ．1BCD ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案【详解】 根据题意，31211211212i i i ii i +++++=+-+(12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以|2|i +==故选：C.【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（） A ．{|0}x x ≤ B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或 C ．{|23}x x ≤≤ D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案.【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð.故选：B.【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r 能否得到1λ=，从而得到答案.【详解】因为向量(3,4)a =r，所以5a ==r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r ，所以1λ=是||5a λ=r 的充分条件.因为||5a λ=r，所以||||5a λ= ||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题. 4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案.【详解】根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<.即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-.故选：C.【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A ．43B ．23C ．32D ．34-【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积.【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上，所以DE ⊥平面ACD ， 所以1313E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 13(31)3=31=， 所以几何体的体积为32. 故选：C.【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题.6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案.【详解】 由题意，22()(1)f x x '=--， 221(3)(31)2f '∴=-=--， 所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =.故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭12548= 故选：D.【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题.7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1n a +的通项和前n 项和n S ，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+， 所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列，所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 12111n n T S S S =++⋅⋅⋅+11111212231nn ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭ 1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2.故选：C.【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞UC ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围.【详解】 根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点，所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-.故选：D.【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题.9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m --=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】 因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m --=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭1(52≥+92=， 当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A.【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题.10．已知sin()1223πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解.【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=, (2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C. 【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解. 11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GH k DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EH k DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =，所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GH k DA AC==(01)k <<，BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =，所以BD HE P ，同理∥FG BD 所以1AH EH k DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-，在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B.【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题.12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围.【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==， 所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭， 求导得2()3(4)2g x x m x '=++-，令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=， 2(4)240m ∆=++>， 由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根.又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立， 又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C.【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小， 由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩ 所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF =所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角），因为AE =OA =OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知222cos 22EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题.16．已知函数()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 3f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭14cos sin 2x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 2cos 1x x x ωωω=+-sin 22x x ωω=+2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z . 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和nT.【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比2q =，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题. 18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+，因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大，由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =--代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩ 可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b bb b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩ 解得1b <， 而1215>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =.（1）求角C 的大小； （2）若3PB =，sin 38BAP ∠=，求ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（2 【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C = 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠，2sin 3ABπ=，所以AB =所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =，所以11sin 2522ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，1AA ，且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ，所以平面EFQ ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ， 所以11224OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,,222A ⎛-- ⎝⎭， 所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭，设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧--=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题.21．已知函数1()1ln 1mx f x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由；（3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值. 【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭， 当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94≥= 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2 【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m=， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数， 又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a=. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。
精品解析：2020届全国100所名校最新高考模拟示范卷高三理科数学模拟测试试题(二)(解析版)
故答案为：
【点睛】本题考查简单的线性规划问题；考查运算求解能力和数形结合思想；根据图形，向下平移直线 找到使目标函数取得最大值的点是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.
15.已知函数 ，点 和 是函数 图象上相邻的两个对称中心，则 _________.
【答案】
【解析】
【分析】
1.若集合 ， ，则 （）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
求解分式不等式解得集合 ，再由集合并运算，即可求得结果.
【详解】因为 ，所以 .
故选：D.
【点睛】本题考查集合的并运算，涉及分式不等式的求解，属综合基础题.
2. 是虚数单位， ，则 （）
A. 3B. 4C. 5D. 6
【答案】C
方差 43.2，
所以选项C的说法是错误的.
故选：C.
【点睛】本题考查由茎叶图求中位数、平均数、方差以及众数，属综合基础题.
4.若双曲线 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 ，则 ( )
A. 6B. 8C. 9D. 10
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意写出 与 坐标，表示出 ，结合离心率公式计算即可.
【分析】
根据题意，利用函数奇偶性的定义判断函数 的奇偶性排除选项 ；利用 排除选项A即可.
【详解】由题意知，函数 的定义域为 ，其定义域关于原点对称，
因为
又因为 ，
所以 ，即函数 为偶函数，故排除 ；
又因为 ，故排除A.
故选：B
【点睛】本题考查函数解析式较复杂的图象的判断;利用函数奇偶性、特殊值符号的正负等有关性质进行逐一排除是解题的关键;属于中档题.
2020届四省八校双教研联盟高三上学期10月联考数学(理)试题(解析版)
2020届四省八校双教研联盟高三上学期10月联考数学（理）试题一、单选题 1．集合2|1A x x ⎧⎫=>⎨⎬⎩⎭，{}2|20B x x x =+->，则R A C B =I （） A.()02，B.(]01，C.()01，D.[]02，【答案】B【解析】化简A ,求出R C B ,再求出R A C B ⋂. 【详解】因为{|2B x x =<-或1}x >,所以{|21}R C B x x =-≤≤, 因为{|02}A x x =<<,所以()(0,1]R A C B ⋂=. 故选B . 【点睛】本题考查了集合交集和补集运算,属基础题. 2．已知(2)i y x yi +=+，,x y R ∈，则xi y+=（）C.2【答案】D【解析】先由复数相等的定义得到,x y ,再求值. 【详解】因为,x R y R ∈∈ 且(2)i y x yi +=+,所以2y xy y=⎧⎨=⎩,所以|||2|x i i y +=+=, 故选D . 【点睛】本题考查了复数的基本运算,复数的模,复数相等的概念,属基础题. 3．在公差不为0的等差数列{}n a 中满足31154310a a a +-=，则415a =（）A.-1B.0C.1D.2【答案】C【解析】利用等差数列的性质:当*,,,m n p q N ∈且m n p q +=+ 时,m n p q a a a a +=+ 以及化归思想可得. 【详解】由31154310a a a +-=,得37532310a a a +-=, 得3554310a a a +-=, 得4210a =,得4115a =. 故选C . 【点睛】本题考查了等差数列的性质及化归思想的应用,属基础题.4．如图（1）为某省2016年快递业务量统计表，图（2）某省2016年快递业务收入统计表，对统计图下列理解错误的是（）A.2016年1～4月业务量最高3月最低2月，差值接近2000万件B.2016年1～4月业务量同比增长率均超过50％，在3月最高，和春节蛰伏后网购迎来喷涨有关C.从两图中看，增量与增长速度并不完全一致，但业务量与业务的收入变化高度一致D.从1～4月来看，业务量与业务收入量有波动，但整体保持高速增长 【答案】D【解析】根据图表2 中 的2月对1月,4月对3月的收入量比较可得. 【详解】选项A ，B 显然正确；对于选项C ，2月份业务量同比增长率为53%，而收入的同比增长率为30%，所以C 是正确的；对于选项D ，1，2，3，4月收入的同比增长率分别为55%，30%，60%，42%，并不是逐月增长，D 错误 故选D . 【点睛】本题考查了对图表数据的认识, 考查合情推理的应用，结合统计数据进行判断是解决本题的关键．属基础题.5．若l m ，为两条不同的直线，α为平面，且l α⊥，则“//m α”是“m l ⊥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】分析：根据线面平行的性质以及线面垂直的性质可得充分性成立，由可能m α⊂可得必要性不成立.详解：由l α⊥且//m α能推出m l ⊥，充分性成立； 若l α⊥且m l ⊥，则//m α或者m α⊂，必要性不成立， 因此“//m α”是“m l ⊥”的充分不必要条件，故选A.点睛：判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围问题也可以转化为包含关系来处理.6．现有3名男医生3名女医生组成两个组，去支援两个山区，每组至少两人，女医生不能全在同一组，则不同的派遣方法有（ ） A ．24 B ．54 C ．36 D ．60【答案】C【解析】分类根据加法原理进行计算. 【详解】设两个山区为A ，B ，①若A 山区派遣2名医生，则共有11339C C =种不同的派遣方法， ②若A 山区派遣3名医生，则共有1221333318C C C C +=种不同的派遣方法，③若A 山区派遣4名医生，等同B 山区派遣2名医生，则共有11339C C =种不同的派遣方法，综合①②③得：则不同的派遣方法有918936++=，故选：C ． 【点睛】本题考查排列组合应用题以及分类计数原理，考查基本分析求解能力，属中档题. 7．某几何体三视图如下则该几何体体积为（）A.13B.23C.1D.43【答案】B【解析】将几何体三视图还原成直观图,可知是一个三棱锥,再根据三棱锥的体积公式可求得. 【详解】将几何体三视图还原成直观图(放在长方体中)如下:该几何体是一个三棱锥.由正视图可知: 三棱锥的高为2, 由俯视图可知:底面是一个直角边长分别为1和2的直角三角形. 所以该三棱锥的体积为:112212323V =⨯⨯⨯⨯=. 故选B . 【点睛】本题考查了简单几何体和三视图,属中档题. 8．如图为程序框图，则输出结果为（）A.105B.315C.35D.5【答案】B【解析】根据程序框图进行运算,当8n = 时,中断循环,输出结果. 【详解】当2n = 时,4115S =⨯+= ; 当6n =时,56535S =⨯+=, 当8n = 时,35835315S =⨯+=. 故选B . 【点睛】本题考查了程序框图中的当型结构，当满足条件时执行循环体，属基础题.9．设x ，y 满足24020330x y x y x y +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪--≤⎩，则21yz x =+的范围（）A.19,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.118,27⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.161,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.81,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】C【解析】先作出可行域,再把目标函数转化为可行域内的动点(,)x y 与平面内的定点(1,0)P - 连线的斜率的2倍,由可行域找到最优解,联立方程组求出最优解的坐标,然后将最优解的坐标代入目标函数可得. 【详解】作出不等式组所表示的可行域如下:因为02(1)y z x -=⋅-- 表示可行域内的动点(,)x y 与平面内的定点(1,0)P - 连线的斜率的2倍,观察图象可知最优解为,M N ,联立方程组20240x y x y -+=⎧⎨+-=⎩ ,解得28(,)33M , 联立方程组330240x y x y --=⎧⎨+-=⎩ ,解得76(,)55N , 所以max 165z =,min 1z =. 故选C . 【点睛】本题考查了简单的线性规划,关键是将问题转化为直线的斜率的最值来解决,属中档题. 10．已知在Rt ABC △中，2A π=，3AB =，4AC =，P 为BC 上任意一点（含B ，C ），以P 为圆心，1为半径作圆，Q 为圆上任意一点，设AQ xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r，则x y+的最大值为（） A.1312B.1512C.1712D.1912【答案】C【解析】如图:设AQ 或AQ 的延长线交BC 于D,过Q 作1QC //BC 交AC 或AC 的延长线于1C ,过圆上离BC 最远点作切线与AB 的延长线交于0B ,与AC 的延长线交于0C ,过A 作000AQ B C ⊥,垂足为0Q ,然后根据向量知识将x y +的最大值转化为114AC 的最大值来求, 【详解】 如图:设AQ 或AQ 的延长线交BC 于D,过Q 作1QC //BC 交AC 或AC 的延长线于1C , 过圆上离BC 最远点作切线与AB 的延长线交于0B ,与AC 的延长线交于0C , 过A 作000AQ B C ⊥,垂足为0Q ,交BC 于K ，此时圆P 的圆心为0P ,BC =5,125AK =,AQ AQ AD AD =()AQAB AC ADαβ=+,其中1αβ+=,又AQ xAB yAC =+u u u r u u u r u u u r , 所以()AQ AQx y AD ADαβ+=+=, 当Q 在BC 的下方时,1x y +< ; 当Q 在BC 上时,1x y +=, 当Q 在BC 的上方时,1x y +>,根据平面几何知识,可知当Q 为0Q 、 D 为K 时，AQAD最大，所以x+y 取最大， 所以：x +y 的最大值为：012117512125AQ AK +==．故选：C ． 【点睛】本题考查了平面向量基本定理,三点共线的向量表示,分类讨论思想,,属难题.11．已知椭圆与双曲线有公共焦点，1F ，2F ，1F 为左焦点，2F 为右焦点，P 点为它们在第一象限的一个交点，且124F PF π∠=，设1e ，2e 分别为椭圆双曲线离心率，则1211e e +的最大值为（）B.C.D.【答案】B【解析】设椭圆的长半轴长为1a 半焦距为c ,双曲线的实半轴长为2a ,半焦距为c ,根据椭圆和双曲线的定义可得112||PF a a =+,212||PF a a =-,然后在焦点三角形中,由余弦定理以及离心率公式可得2212224e e ++=,最后利用柯西不等式即可得到. 【详解】设椭圆的长半轴长为1a ,半焦距为c , 双曲线的实半轴长为2a ,半焦距为c ,根据椭圆的定义可得:121|||2PF PF a +=,根据双曲线的定义可得:122||||2PF PF a -=, 两式联立解得:112||PF a a =+,212||PF a a =-, 在焦点三角形中,由余弦定理得:22212121212(2)()()2()()c a a a a a a a a =++--+-, 化简得:22212(2(24a a c +=,两边同时除以2c ,得:2212224e e +=, 由柯西不等式得:222212]++212≥,即21211()e e ≥+,所以21211()8e e +≤,所以1211e e +≤故选B . 【点睛】本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率以及柯西不等式,属难题.12．2222236()cos 33x x x xe ef x m e e x ππ⎛⎫-=++ ⎪⎛⎫⎝⎭- ⎪⎝⎭有唯一零点，则m =（） A.3 B.2C.32D.12【答案】C【解析】利用函数的平移变换可知,()(1)g x f x =+也有唯一零点,再根据()g x 为偶函数知,(0)0g =,解方程可得. 【详解】因为2222236()()cos()33x x x xe ef x m e e x ππ-=++- 有唯一零点,所以222222233()(1)()cos 3x x x e e g x f x m e e xπ++-=+=++ 也有唯一零点, 因为()()g x g x -=,所以()g x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,又()g x 有唯一零点,所以(0)0g =,即22223()01e e m e e-++=,解得:32m = . 故选C . 【点睛】本题考查了函数的奇偶性和函数的零点,属难题.二、填空题13．设随机变量1~6,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则(24)P X <≤=________.【答案】220729【解析】根据二项分布的概率公式可得:(24)P X <≤(3)P X ==(4)P X +=220729= 【详解】因为随机变量1~(6,)3X B , 所以(24)P X <≤(3)P X ==(4)P X +=33634464661111()(1)()(1)3333C C --=-+-220729=. 故答案为:220729. 【点睛】本题考查了二项分布的概率公式,属基础题.14．()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为________. 【答案】132【解析】先根据通项公式求出62()x x-的展开式中2x 和4x 的系数,再用2x 的系数乘以2后减去4x 的系数可得. 【详解】因为62()x x-的展开式的通项公式为:6216(2)r r r r T C x-+=-, 令624r -=,得1r =,令622r -=,得2r =,所以()62221x x x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭展开式中4x 的系数为:2211662(2)(1)(2)132C C -+--=.故答案为:132. 【点睛】本题考查了二项式定理,属中档题.15．2sin 2()(1)12sin 24xf x x x π=⎛⎫-- ⎪⎝⎭的最小正周期为________. 【答案】2π【解析】根据三角变换公式将函数()f x 的解析式化成辅助角的形式,再用周期公式可得. 【详解】由函数()f x 有意义,得212sin ()024()2x x k k Z πππ⎧--≠⎪⎪⎨⎪≠+∈⎪⎩,得sin 0()2x x k k Z ππ≠⎧⎪⎨≠+∈⎪⎩ , 得()2n x n Z π≠∈.因为2sin 2()(1)12sin ()24xf x x x π=--2sin cos sin (1)cos 1cos()2122x x x x x π⋅=---⋅sin cos 2sin x x x =2cos x =2(cos )x x = (,)2n x n Z π≠∈ 4sin()6x π=+(,)2n x n Z π≠∈所以()f x 的最小正周期2T π=. 【点睛】本题考查了三角恒等变换,正余弦函数的定义域以及正弦型函数的周期公式,属中档题. 16．已知球内接三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，ABC △为等边三角形，且边32π3，则直线PC 与平面PAB 所成角的余弦值为________.【答案】10【解析】先根据正弦定理求出小圆1O 的半径,根据球的体积求出球的半径,再根据垂径定理求得PA ,根据勾股定理求得PC ,PE ,取AB 的中点E ,连,PE CE ,可得CPE ∠就是直线PC 与平面P AB 所成的角,在直角三角形CPE 中可求得. 【详解】 如图:由正弦定理得小圆1O 的半径为:r =1=,则2AD =,又由343233R ππ=,得球的半径R 2=,所以AP ===取AB 的中点E ,连接PE ,CE ,则CPE ∠就是直线PC 与平面P AB 所成的角,又PC ==2PE ===,所以cosCPE ∠==.直线PC 与平面P AB . 【点睛】本题考查了直线与平面所成的角,垂径定理,属中档题.17．已知()|21||2|f x x x =--+，()|||1|g x x a x a =--++. （1）解不等式()4f x >（2）若对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()21f x g x =.求实数a 的范围. 【答案】(1) 5(,)3-∞- (7,)⋃+∞;(2) 7344a -≤≤ 【解析】(1)根据函数的零点分三种情况去绝对值得三个不等式组,解三个不等式组,结果相并即可;(2)先将” 对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()21f x g x =,”转化为()g x 的值域是()f x 的值域的子集.再求出两个函数的值域后,根据子集关系列式可解得. 【详解】(1) 解不等式()4f x >,即|21||2|4x x --+> ,等价于:21224x x x <-⎧⎨-++>⎩ 或12212(2)4x x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪--+>⎩ 或1221(2)4x x x ⎧>⎪⎨⎪--+>⎩ , 解得:53x <- 或7x > ,所以不等式()4f x > 的解集为:5(,)3-∞- (7,)⋃+∞ . (2)因为对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()21f x g x =, 则()g x 的值域是()f x 的值域得子集.又由()|21||2|f x x x =--+= 3,2131,2213,2x x x x x x ⎧⎪-+≤-⎪⎪---<<⎨⎪⎪-≥⎪⎩,得值域5[,)2-+∞,因为||||1|||()91)|x a x a x a x a --++≤--++=|21|a +, 所以|21|()|21|a g x a -+≤≤+,所以()|||1|g x x a x a =--++ 的值域为[|21|,|21|]a a -++ , 所以5|21|2a -+≥- ,所以5|21|2a +≤ , 解得:7344a -≤≤ 所以实数a 的范围是7344a -≤≤. 【点睛】(1)本意考查了绝对值不等式的解法,利用绝对值不等式求最值,属中档题.(2) “对1x R ∀∈，2x R ∃∈，使得()()21f x g x =成立,”的转化口诀是:任意是存在的子集..三、解答题18．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，14121n n S a n +-=-，11a =且*n N ∈（1）求{}n a 的通项公式 （2）设n n a b =，数列{}n b 的前n 项和为n T ，求证：()32n n T <∈N* 【答案】(1)21n a n =-;(2)见解析 【解析】(1) 由14121n n S a n +-=-,得1(21)41n n n a S +-=-,当2n ≥时,可得1(23)41n n n a S --=-,然后两式相减得12121n n a a n n +=-+,可得{}21n an -为各项为1的常数数列,从而可求得.(2)先得1(21)n b n n =-,再放缩111(21)2()2n b n n n n ==-- 12(1)n n <-,然后利用裂项求和可证. 【详解】 (1)由14121n n S a n +-=-,得1(21)41n n n a S +-=- ,当2n ≥时,可得1(23)41n n n a S --=-,两式相减得:1(21)(21)n n n a n a ++=- ,即12121n n a an n +=-+, 又23,a = 可得23133a ==,所以12211211a a =⨯-⨯+, 所以{}21n an -为常数数列,所以121na n =-,所以21n a n =-. (2)由21n a n =- ,得2n S n =,所以1(21)n b n n =-,当1n =时,1312T =<成立; 当2n ≥时,111(21)2()2n b n n n n ==--12(1)n n <- 111()21n n =--, 所以n T 11111111[()()()]212231n n <+-+-++--1131(1)22n =+-<. 所以*n N ∈时, ()32n n T <∈N*.【点睛】本题考查了用放缩法和列项求和法证明不等式,属中档题.19．在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，//AB CD ，AB AD ⊥，O 为AD 中点，PA PD ==22AD AB CD ===.（1）求证：平面POB ⊥平面PAC ； （2）求二面角A PC D --的余弦值.【答案】（1）见解析；（2. 【解析】试题分析：（1）由R t A D C R t B A O ∆∆≌并结合平面几何知识可得AC BO ⊥．又由PO AD ⊥及平面PAD ⊥平面ABCD 可得PO ⊥平面ABCD ，于是得AC PO ⊥，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面POB ，进而可得平面POB ⊥平面PAC ．（2）根据PO AD ⊥，建立以O 为坐标原点的空间直角坐标系，通过求出平面PAC 和平面PDC 法向量的夹角并结合图形可得所求二面角的余弦值． 试题解析：（1）由条件可知，Rt ADC Rt BAO ∆∆≌，DAC ABO ∴∠=∠，90DAC AOB ABO AOB ∴∠+∠=∠+∠=︒， AC BO ∴⊥.PA PD =，且O 为AD 中点，PO AD ∴⊥.∵PAD ABCD ⊥平面平面，PAD ABCD AD ⋂=平面平面，PO AD ⊥，PO ∴⊥平面ABCD .又AC ⊂平面ABCD ，AC PO ∴⊥. BO PO O ⋂=，AC ∴⊥平面POB . AC ⊂平面PAC ，∴平面POB ⊥平面PAC .（2）由（1）知P O A D⊥，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则()0,0,2P ，()1,0,0A ，()1,0,0D -，()1,1,0C -，∴()1,0,2PA =-，()2,1,0AC =-，()1,0,2PD =-，()0,1,0CD =-， 设()1,,n x y z =为平面PAC 的一个法向量，由11•20•20n PA x z n AC x y ⎧=-=⎪⎨=-+=⎪⎩，得122z x y x⎧=⎪⎨⎪=⎩. 令2x =，得()12,4,1n =.同理可得平面PDC 的一个法向量()22,0,1n =-．∴121212•cos ,105n n n n n n <≥==由图形知二面角A PC D --为锐角， ∴二面角A PC D --点睛：用空间向量求解立体几何问题的注意点（1）建立坐标系时要确保条件具备，即要证明得到两两垂直的三条直线，建系后要准确求得所需点的坐标．（2）用平面的法向量求二面角的大小时，要注意向量的夹角与二面角大小间的关系，这点需要通过观察图形来判断二面角是锐角还是钝角，然后作出正确的结论． 20．越接近高考学生焦虑程度越强，四个高三学生中大约有一个有焦虑症，经有关机构调查，得出距离高考周数与焦虑程度对应的正常值变化情况如下表周数其中1221ˆni ii nii x y nxybxnx ==-=-∑∑，11452ni ii x y==∑，2191ni i x ==∑，ˆˆa y bx=- （1）作出散点图；（2）根据上表数据用最小二乘法求出y 关于x 的线性回方程ˆˆy bxa =+（精确到0.01） （3）根据经验观测值为正常值的0.85～1.06为正常，若1.06～1.12为轻度焦虑，1.12～1.20为中度焦虑，1.20及以上为重度焦虑。
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学(理)试题(解析版)
2020届百校联盟TOP20高三上学期11月联考数学（理）试题一、单选题 1．复数312112i ii +++-的模为（ ） A ．1 B 3C 5D ．5【答案】C【解析】对复数进行计算化简，然后根据复数的模长公式，得到答案. 【详解】 根据题意，31211211212i i i ii i +++++=+-+ (12)(1)122i i i+-+=+3122i i++=+2i =+，所以22|2|215i +=+=故选：C. 【点睛】本题考查复数的四则运算，求复数的模长，属于简单题.2．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（ ） A ．{|0}x x ≤ B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或 C ．{|23}x x ≤≤ D ．{|03}x x ≤≤【答案】B【解析】对集合B 进行化简，然后根据集合的补集运算，得到答案. 【详解】因为(){}22|log 2,B x y x x x ==-+∈R{}2|20,x x x x =-+>∈R{}|02,x x x =<<∈R ，因为集合{|3}A x x =≤所以{|2 3 0}A B x x x =≤≤≤或ð. 故选：B. 【点睛】本题考查解对数不等式，一元二次不等式，集合的补集运算，属于简单题.3．已知向量(3,4)a =r ，则实数1λ=是||5a λ=r 的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】先求出a r ，然后分别判断由1λ=能否得到||5a λ=r ，和由||5a λ=r能否得到1λ=，从而得到答案. 【详解】因为向量(3,4)a =r ，所以22345a =+=r因为1λ=，所以可得5a a λλ==r r，所以1λ=是||5a λ=r的充分条件. 因为||5a λ=r，所以||||5a λ=||1λ=即1λ=±.所以1λ=是||5a λ=r的不必要条件.综上所述，实数1λ=是||5a λ=的充分而不必要条件. 故选：A. 【点睛】本题考查根据向量的坐标求向量的模长，判断充分而不必要条件，属于简单题.4．已知函数32,0()log ,0x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2)B ．(,2)-∞C ．(1,2)-D ．(1,2)【答案】C【解析】按0x ≤和0x >，分别解不等式()1g x <，从而得到答案. 【详解】根据题意，32,0,()log ,0,x x g x x x ⎧-≤=⎨>⎩，由不等式()1g x <得310x x ⎧-<⎨≤⎩或2log 10x x <⎧⎨>⎩，， 所以10x -<≤或02x <<. 即12x -<<所以不等式()1g x <的解集为(1,2)-. 故选：C. 【点睛】本题考查解分段函数不等式，解对数不等式，属于简单题. 5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图 A ．43 B ．23C ．32-D ．34-【答案】C【解析】根据三视图还原出几何体的直观图，将几何体分为三棱锥E ABC -和三棱锥E ACD -两部分，根据三视图中的数据及线段的位置关系分别得到底面积和高，求出几何体的体积. 【详解】该几何体的直观图如下图，平面ACD ⊥平面ABC ，DE P 平面ABC ，ACD V 与ACB △均是边长为2的等边三角形，2BE =，点E 在平面ABC 上的射影落在ABC ∠的平分线上， 所以DE ⊥平面ACD ， 所以1313E ABC ABC V S -∆=⨯=， 13E ACD ACD V S DE -=⨯⨯V 13(31)3=31=，所以几何体的体积为32. 故选：C. 【点睛】本题考查三视图还原结合体，根据三视图求几何体的体积，属于中档题. 6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ） A ．1112B ．3316C ．3516D ．12548【答案】D【解析】对()f x 求导，利用导数的几何意义，求出切线方程，然后求出切线与()g x 的交点坐标，利用定积分求出围成的封闭图形的面积，得到答案. 【详解】由题意，22()(1)f x x '=--，221(3)(31)2f '∴=-=--，所以切线方程为270x y +-=，与2()2g x x =+的交点横坐标为132x =-，21x =. 故封闭图形的面积13227222x S x dx -⎛⎫=--- ⎪⎝⎭⎰ 3122231323311d 22243x x x x x x --⎛⎫⎛⎫=⎰--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 12548=故选：D. 【点睛】本题考查利用导数求函数图像上在一点的切线方程，定积分求封闭图形的面积，属于中档题. 7．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5 B ．4C ．2D ．1【答案】C【解析】根据递推关系式121n n a a +=+，得到1121n n a a ++=+，得到{}1n a +的通项，从而得到(){}2log 1na +的通项和前n 项和nS，从而求出n T ，再得到9T ，从而得到答案.【详解】由题意，()112221n n n a a a ++=+=+，所以1121n n a a ++=+， 所以{}n a 为以112a +=为首项，2为公比的等比数列， 所以()11112n n a a -+=+2n =，因此()2log 1n a n +=，数列(){}2log 1n a +的前n 项和为(1)2n n n S +=， 12112(1)1n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭，12111n nT S SS =++⋅⋅⋅+ 11111212231n n ⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+- ⎪+⎝⎭1211n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭所以995T =. 所以与9T 最接近的整数是2. 故选：C. 【点睛】本题考查构造法求数列的通项，等差数列前n 项和公式，裂项相消法求数列的和，属于中档题.8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m 的取值范围为（ ） A ．[2,)+∞ B ．(1,0)(2,)-+∞U C ．(1,2]-D ．(1,0)-【答案】D【解析】画出()y f x =的图像，然后得到()y f x =的图像和y m =的图像有两个交点，从而得到m 的取值范围. 【详解】根据函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，画出()f x 的图象如图所示，函数()()g x f x m =-有两个零点则函数()y f x =的图象与y m =的图象有2个交点， 所以10m -<<，所以实数m 的取值范围为(1,0)-. 故选：D. 【点睛】本题考查画分段函数的图像，函数与方程，属于简单题. 9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n +的最小值为（ ） A ．92B ．2C ．1D ．34【答案】A【解析】由()f x 单调递增区间为[1,)+∞，得到对称轴方程21n m--=，即2m n +=，再根据基本不等式求出14m n+的最小值，得到答案. 【详解】因为函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞ 所以对称轴为：21n m--=，即2m n +=， 所以14114()2m n m n m n ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭1452m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭14(522m n n m≥+⋅92=，当且仅当2,3m =43n =时，等号成立. 故选：A. 【点睛】本题考查根据二次函数的单调区间求参数之间的关系，基本不等式求和的最小值，属于简单题. 10．已知3sin()1223πα-=则sin(2)6πα+= （ ）A ．710-B ．710C ．79-D ．79【答案】C【解析】利用倍角公式，结合函数名的转换求解. 【详解】21cos()12sin ()61223ππαα-=--=,(2)cos[(2)]cos(2)6263sin ππππααα+=-+=-272()169cos πα=--=-,故选C.【点睛】本题主要考查三角函数的给值求值问题，首先从角入手，寻求已知角和所求角的关系，再利用三角恒等变换公式求解.11．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC P 平面EFGH ，BD P 平面EFGH 则当四边形EFGH 对角线的平方和取最小值时，DHDA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．3241【答案】B【解析】易得HG AC P ，EF AC P ，设DH GHk DA AC==，易得∥EH BD ，∥FG BD ，得1AH EHk DA BD==-，从而得到5GH k =，4(1)EH k =-，平行四边形EFGH 中，()2222413216EG HF k k +=-+，从而得到22EG HF +最小时的k 值，得到答案.【详解】AC P 平面EFGH ，AC ⊂平面ACD ，平面ACD I 平面EFGH HG =， 所以AC HG P ，同理AC EF P设DH GHk DA AC==(01)k <<， BD P 平面EFGH ，BD ⊂平面ABD ，平面ABD ⋂平面EFGH HE =， 所以BD HE P ，同理∥FG BD所以1AH EHk DA BD==-， 因为4BD =，5AC =所以5GH k =，4(1)EH k =-， 在平行四边形EFGH 中，222222516(1)EG HF k k ⎡⎤∴+=+-⎣⎦(22413216)k k =-+， 又01k <<Q ，∴当1641k =时，22EG HF +取得最小值. 故选：B. 【点睛】本题考查线面平行证明线线平行，平行四边形对角线的性质，二次函数求最值，属于中档题. 12．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(9,5)--C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．37,3⎛⎫-∞-⎪⎝⎭【答案】C【解析】根据(2)()0f x f x ++=得到()f x 周期为4，再求得()()220182f f ==，得到()g x ，求导得到()g x '，判断出()0g x '=的两根一正一负，则()g x 在区间(,3)t 上存在极值点，且[]1,2t ∈，得到()g x '在(),3t 上有且只有一个根，从而得到关于t 的不等式组，再根据二次函数保号性，得到关于m 不等式组，解得m 的范围. 【详解】由题意知，(2)()f x f x +=-，(4)()f x f x ∴+=，所以()f x 是以4为周期的函数，(2018)(2)2f f ∴==，所以322()22m g x x x x ⎛⎫=+-++ ⎪⎝⎭32222m x x x ⎛⎫=++- ⎪⎝⎭，求导得2()3(4)2g x x m x '=++-， 令()0g x '=，23(4)20x m x ∴++-=，2(4)240m ∆=++>，由12203x x =-<， 知()0g x '=有一正一负的两个实根. 又[1,2],t ∈(,3)x t ∈，根据()g x 在(,3)t 上存在极值点，得到()0g x '=在(,3)t 上有且只有一个正实根.从而有()0(3)0g t g ''<⎧⎨>⎩，即23(4)2027(4)320t m t m ⎧++-<⎨++⨯->⎩恒成立，又对任意[1,2]t ∈，上述不等式组恒成立，进一步得到2311(4)20,322(4)20,273(4)20,m m m ⨯+⨯+-<⎧⎪⨯+⨯+-<⎨⎪+⨯+->⎩所以59373m m m ⎧⎪<-⎪<-⎨⎪⎪>-⎩故满足要求的m 的取值范围为：3793m -<<-. 故选：C. 【点睛】本题考查函数的周期性的应用，根据函数的极值点求参数的范围，二次函数根的分布和保号性，属于中档题.二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =u u u r u u u r，则OA OD ⋅=u u u r u u u r________.【答案】32-【解析】将3BD DC =u u u r u u u r 转化为3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，从而得到OD uuu r的坐标，然后根据向量数量积的坐标运算，得到答案. 【详解】因为3BD DC =u u u r u u u r，所以3()OD OB OC OD -=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以()134OD OC OB =+u u u r u u u r u u u r 93,44⎛⎫= ⎪⎝⎭， ()1,1OA =-u u u r所以9344OA OD ⋅=-+u u u r u u u r 32=-.故答案为：32-.【点睛】本题考查向量线性运算的坐标表示，数量积的坐标表示，属于简单题.14．已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，则11y z x +=+的最小值为________.【答案】13【解析】根据约束条件，画出可行域，将目标函数看成点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，从而得到斜率的最小值，得到答案. 【详解】因为已知x ，y 满足不等式组0,010240x y x y x y ≥≥⎧⎪-+≥⎨⎪+-≤⎩，画出可行域，如图所示，11y x ++表示点(,)x y 与点(1,1)--两点连线的斜率，所以可得当直线过点A 时，z 最小，由0240y x y =⎧⎨+-=⎩得2,0,x y =⎧⎨=⎩所以z 的最小值为011213+=+. 故答案为：13. 【点睛】本题考查根据线性规划求分式型目标函数的最值，属于简单题.15．如图，底面ABCD 为正方形，四边形DBEF 为直角梯形，DB EF ∥，BE ⊥平面ABCD ，2AB BE ==，2BD EF =，则异面直线DF 与AE 所成的角为________.【答案】6π 【解析】设正方形ABCD 的中心为O ，可得OE DF ∥，得到直线DF 与AE 所成角为AEO ∠（或其补角），根据余弦定理，可得cos AEO ∠的值，从而得到答案. 【详解】 如图，设正方形ABCD 的中心为O ，连接AO ，EO ， 则12OD BD =因为DB EF ∥，2BD EF = 所以EF OD P ，EF OD = 所以DFEO 为平行四边形， 所以OE DF ∥，所以直线DF 与AE 所成角等于OE 与AE 所成的角，即AEO ∠（或其补角）， 因为2,AE =2,OA =6OE =在三角形AEO 中，根据余弦定理，可知2223cos 2EO EA AO AEO EO EA +-∠==⋅， 所以6AEO π∠=.故答案为：6π. 【点睛】本题考查求异面直线所成的角的大小，属于简单题. 16．已知函数()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+- ⎪⎝⎭(0)>ω在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，无最大值，则ω=________. 【答案】73【解析】先对()f x 进行整理，得到()2sin 23f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，根据最小值4f π⎛⎫⎪⎝⎭，得到743k ω=+，然后根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭无最大值，得到周期的范围，从而得到ω的范围，确定出ω的值. 【详解】()4cos sin 33f x x x πωω⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭134cos sin cos 322x x x ωωω⎛⎫=⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭)22sin cos 32cos 1x x x ωωω=+-sin 232x x ωω=2sin 23x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，依题意，则322,432k ππωππ⨯+=+k Z ∈， 所以743k ω=+()k ∈Z . 因为()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值， 所以342πππω-≤，即6ω≤， 令0k =，得73ω=. 故答案为：73ω=. 【点睛】本题考查二倍角公式，辅助角公式化简，根据正弦型函数的最值和周期求参数的值，属于中档题.三、解答题17．已知递增的等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，149a a +=，238a a =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）求数列{}n n S ⋅的前n 项和n T .【答案】（1）12n n a -=；（2）1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-【解析】（1）根据等比数列23148a a a a ==，解出1a 和4a 的值，从而得到公比q ，得到{}n a 的通项公式；（2）根据（1）得到n S ，再利用错位相减法和分组求和的方法求出{}n n S ⋅的前n 项和n T . 【详解】（1）由题意，1423149,8,a a a a a a +=⎧⎨==⎩ 解得11,a =48a =或18,a =41a =； 而等比数列{}n a 递增，所以11,a =48a =，故公比4312a q a ==，所以12n n a -=. （2）由（1）得到12n S =++…1221n n -=-， 所以()*21n n S n ⋅=-2n n n =⋅-，23122232n T =⨯+⨯+⨯+…2(12n n +⋅-++…)n +，设23122232t =⨯+⨯+⨯+…2n n +⋅，2342122232t =⨯+⨯+⨯+…12n n ++⋅，两式相减可得，23222t -=+++ (1)22n n n ++-⋅()1212212n n n +-=-⋅-故1(1)22n t n +=-⋅+，所以1(1)(1)222n n n nT n ++=-⋅+-. 【点睛】本题考查等比数列通项基本量的计算，分组求和的方法，错位相减法求数列的前n 项的和，属于简单题.18．已知函数321()3f x x ax bx =-+(),a b ∈R 在区间(1,2)-上为单调递减函数. （1）求+a b 的最大值；（2）当2a b +=-时，方程2135()32b f x x +=+有三个实根，求b 的取值范围. 【答案】（1）32-；（2）123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦【解析】（1）先求得()f x '，根据()f x 在区间(1,2)-上为减函数，得到(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立，从而得到关于a ，b 的约束条件，画出可行域，利用线性规划，得到+a b 的最大值；（2）根据2a b +=-，得到b 的范围，设2135()()32b h x f x x +=--，求导得到()h x '，令()0h x '=得到x b =或1x =，从而得到()h x 的极值点，根据()h x 有3个零点，得到b 的不等式组，解得b 的范围. 【详解】（1）2()2f x x ax b '=-+， 因为()f x 在区间(1,2)-上为减函数，所以(1)0(2)0f f ''-≤⎧⎨≤⎩在区间(1,2)-上恒成立即120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩，画出可行域如图所示：设z a b =+，所以b a z =-+，z 表示直线l ，b a z =-+在纵轴上的截距.当直线:l b a z =-+经过A 点时，z 最大， 由120,440,a b a b ++=⎧⎨-+=⎩所以12a =，2b =- 故z a b =+的最大值为13222-=-. （2）由2a b +=-得2a b =--代入120,440,a b a b ++≤⎧⎨-+≤⎩可得1235b -≤≤-， 令2135()()32b h x f x x +=--32111323b x x bx +=-+-， 故由2()(1)h x x b x b '=-++(1)()0x x b =--=，得x b =或1x =，所以得到()h x 和()h x '随x 的变化情况如下表：x (,)b -∞ b(,1)b 1(1,)+∞ ()h x ' +-+()h xZ极大值32111623b b -+- ]极小值12b -要使()h x 有三个零点，故需321110,62310,2b b b ⎧-+->⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩ 即()2(1)220,1,b b b b ⎧---<⎪⎨<⎪⎩ 解得13b <， 而12135>-所以b 的取值范围是123,5⎡⎤--⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性、极值和零点，根据函数的单调性求参数的取值范围，根据函数零点个数求参数的取值范围，属于中档题.19．已知ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 满足cos cos 2cos ca Bb A C+=，且BC 边上一点P 使得PA PC =. （1）求角C 的大小； （2）若3PB =，357sin BAP ∠=ABC V 的面积. 【答案】（1）3C π=；（253【解析】根据正弦定理，将边化成角，然后整理化简，得到cos C 的值，从而得到C 的值；（2）根据条件得到APC △为等边三角形，从而得到23APB ∠=π，根据正弦定理，得到AB 的值，根据余弦定理，得到AP 的长，根据三角形面积公式，得到答案.【详解】（1）因为cos cos 2cos ca Bb A C+=在ABC V ，由正弦定理sin sin sin a b cA B C== 所以得2cos (sin cos sin cos )C A B B A +sin C =. 所以2cos sin()sin C A B C +=. 即2cos 1C = 所以1cos 2C =， 因为()0,C π∈，所以3C π=（2）由（1）知3C π=，而PA PC =APC △为等边三角形.由于APB ∠是APC △的外角， 所以23APB ∠=π. 在APB △中，由正弦定理得2sin sin3PB ABBAPπ=∠， 2357sin 3ABπ=，所以19AB =所以由余弦定理得，2222co 23s AB PA PB PA PB π=+-⋅， 即21993PA PA =++， 所以2PA =，故235BC =+=，2AC =， 所以11353sin 2522ABC S CA CB C =⋅⋅=⨯⨯=V . 【点睛】本题考查正弦定理的边角互化，正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面积公式，属于简单题.20．如图，在四棱锥1A ABCD ﹣中，底面ABCD 为直角梯形，90BAD ︒∠=，AB DC P ，2DC AB =24AD ==，12AA =且O 为BD 的中点，延长AO 交CD 于点E ，且1A 在底ABCD内的射影恰为OA 的中点H ，F 为BC 的中点，Q 为1A B 上任意一点.（1）证明：平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）求平面1A OE 与平面1A DC 所成锐角二面角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（25【解析】（1）根据1A H ⊥平面ABCD ，得到1A H EF ⊥，由平面几何知识得到EF AE ⊥，从而得到EF ⊥平面1A OE ，所以所以平面EFQ ⊥平面1A OE ；（2）以O 为原点建立空间直角坐标系，得到平面1A DC 和平面1A OE 的法向量，利用向量的夹角公式，得到这两个面所成的锐角二面角的余弦值. 【详解】（1）由题意，E 为CD 的中点，因为1A H ⊥平面ABCD ，EE ⊂平面ABCD ， 所以1A H EF ⊥，又因为DB EF ∥，AB AD =，OB OD =，所以AE 垂直平分BD ， 所以DE BE =又因AB DE ∥，90BAD ︒∠= 所以ADEB 为正方形， 所以DE EC AB == 因为F 为BC 的中点， 所以EF BD P而DB AE ⊥，所以EF AE ⊥，又1A H AE H =I ，所以EF ⊥平面1A OE ， 又EF ⊂平面EFQ ，所以平面EFQ⊥平面1A OE .（2）因为1A 在底面ABCD 内的射影恰为OA 的中点H ， 所以112242OH OA BD ===. 因为AB AD ⊥，所以过点O 分别作AD ，AB 的平行线（如图）， 并以它们分别为x ，y 轴，以过O 点且垂直于xOy 平面的直线为z 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，所以(1,1,0)A --，(1,1,0)B -，(1,3,0)C ，(1,1,0)D -，1116,22A ⎛-- ⎝⎭， 所以1316,,222A D ⎛=-- ⎝⎭u u u u r ，1376,,222A C ⎛=- ⎝⎭，设平面1A DC 的一个法向量为(,,)n x y z =r，则1100n A D n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩r v u u v v ，所以316022376022x y z x y z ⎧-=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩令6z =6)n =r，由（1）知，BD ⊥平面1A OE ，所以OD ⊥平面1A OE ，所以(1,1,0)OD =-u u u r为平面1A OE 的一个法向量，则||5|cos ,|||||102n OD n OD n OD ⋅〈〉===⋅r u u u rr u u u r r u u ur . 故平面1A OE 与平面1A DC 5. 【点睛】本题考查线面垂直的判定和性质，面面垂直的判定，利用空间向量求二面角的余弦值，属于中档题. 21．已知函数1()1ln1mx f x x x-=-++(0)m >与满足()2()g x g x -=-()x R ∈的函数()g x 具有相同的对称中心.（1）求()f x 的解析式；（2）当(,]x a a ∈-，期中(0,1)a ∈，a 是常数时，函数()f x 是否存在最小值若存在，求出()f x 的最小值；若不存在，请说明理由； （3）若(21)(1)2f a f b -+-=，求22211a b a b+++的最小值. 【答案】（1）1()1ln 1x f x x x -=-++；（2）11ln 1a a a--++（3）94 【解析】（1）根据()g x 关于()0,1对称，从而得到()()2f x f x +-=，整理化简，得到m 的值；（2）判断出()f x 的单调性，得到当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，从而得到()f x 最小值；（3）由(21)(1)2f a f b -+-=得到a ，b 关系，然后将22b a =-代入到22211a b a b+++，利用基本不等式，得到其最小值.【详解】（1）因为()2()g x g x -=-，所以()()2g x g x -+=，所以()y g x =图象关于(0,1)对称， 所以11()()1ln 1ln 11mx mx f x f x x x x x-++-=-+++++- 22212ln 21m x x ⎛⎫-=+= ⎪-⎝⎭所以22211,1m x x-=-0m > 解得1m =， 所以1()1ln 1x f x x x-=-++. （2）()f x 的定义域为(1,1)-，1()1ln 1x f x x x -=-++21ln 11x x ⎛⎫=-+-+ ⎪+⎝⎭，当12x x <且12,(1,1)x x ∈-时，()f x 为减函数，所以当(0,1),a ∈(,]x a a ∈-时，()f x 单调递减，所以当x a =时，min 1()1ln1a f x a a-=-++. （3）由(21)(1)2f a f b -+-=， 得2110,1211,111,a b a b -+-=⎧⎪-<-<⎨⎪-<-<⎩解得01,a <<02,b <<22a b +=， 所以2222221211(1)a b a b ab b a a b a b++++++=++ 21(1)b a a b++=+()25321a a -=- 令53t a =-，则5,3t a -=(2,5)t ∈， ()()225392121016a t a t t -=--+- 916210t t =⎛⎫--+ ⎪⎝⎭94162(210)t t≥=-⋅- 当且仅当4t =时，等号成立， 即当13a =，43b =时，22211a b a b+++的最小值为94. 【点睛】本题考查根据函数的对称性求参数的值，根据函数的单调性求最值，基本不等式求和的最小值，属于中档题.22．已知函数1()ln 2f x mx x =--()m R ∈，函数()F x 的图象经过10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，其导函数()F x '的图象是斜率为a -，过定点(1,1)-的一条直线.（1）讨论1()ln 2f x mx x =--()m R ∈的单调性； （2）当0m =时，不等式()()F x f x ≤恒成立，求整数a 的最小值.【答案】（1）当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）2【解析】对()f x 求导，得到()f x '，按0m ≤和0m >进行分类讨论，利用导函数的正负，得到()f x 的单调性；（2）根据题意先得到()F x '，然后得到()F x 的解析式，设()()()g x F x f x =-，按0a ≤和0a >分别讨论，利用()g x '得到()g x 的单调性和最大值，然后研究其最大值恒小于等于0时，整数a 的最小值.【详解】（1）函数()f x 的定义域是(0,)+∞，1()mx f x x-'=， 当0m ≤时，()0f x '≤，所以()f x 在(0,)+∞上为减函数，当0m >时，令()0f x '=，则1x m =， 当10,x m ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<，()f x 为减函数， 当1,x m ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>，()f x 为增函数， 综上，当0m ≤时，()f x 在(0,)+∞上为减函数；当0m >时，()f x 在10,m ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，在1,m ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数. （2）根据题意，()(1)1F x a x '=-++， 设21()(1)2F x ax a x c =-+-+，代入10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，可得12c =， 令()()()g x F x f x =-21ln (1)12x ax a x =-+-+， 所以1()(1)g x ax a x '=-+-2(1)1ax a x x-+-+=. 当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>.所以()g x 在(0,)+∞上是单调递增函数，又因为21(1)ln11(1)112g a a =-⨯+-⨯+3202a =-+>， 所以关于x 的不等式()()F x f x ≤不能恒成立.当0a >时，2(1)1()ax a x g x x -+-+'=1(1)a x x a x⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=-， 令()0g x '=，得1x a =. 所以当10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '>； 当1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0g x '<， 因此函数()g x 在10,x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭上是增函数，在1,x a ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭上是减函数. 故函数()g x 的最大值为211111ln (1)12g ax a a a a a ⎛⎫⎛⎫=-+-⨯+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1ln 2a a =-. 令1()ln 2h a a a =-，因为1(1)0,2h =>1(2)ln 204h =-<， 又因为()h a 在(0,)a ∈+∞上是减函数.所以当2a ≥时，()0h a <.所以整数a 的最小值为2.【点睛】本题考查函数与方程的应用，利用导数研究函数的单调区间、极值和最值，根据导函数的解析式求原函数的解析式，利用导数研究不等式恒成立问题，涉及分类讨论的思想，题目比较综合，属于难题.。
陕西省2020版高三上学期期中数学试卷(理科)B卷
陕西省2020版高三上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）集合的所有子集共有（）A . 9个B . 8个C . 4个D . 3个2. （2分） (2016高二上·郑州开学考) 已知角α的终边落在直线y=﹣2x上，则tanα的值为（）A . 2B . ﹣2C . ±2D .3. （2分）已知f（x）为sinx与cosx中较小者，其中x∈R，若f（x）的值域为[a，b]，则a+b的值（）A . 0B . 1+C . -1D . 1-4. （2分） (2016高一下·吉林期中) 给出以下四个命题：①若＜＜0，则 + ＞2；②若a＞b，则am2＞bm2；③在△ABC中，若sinA=sinB，则A=B；④任意x∈R，都有ax2﹣ax+1≥0，则0＜a≤4．其中是真命题的有（）A . ①②B . ②③C . ①③D . ③④5. （2分） (2019高二上·大冶月考) 已知数列满足，，则（）.A . 9B . 15C . 18D . 306. （2分）若向量=（1，2），=（﹣2，3）分别表示向量与，则|+|=（）A .B . 25C . 2D . 267. （2分）已知函数定义域是，则的定义域是（）A .B .C .D .8. （2分）(2019·全国Ⅲ卷文) 函数在[0，2π]的零点个数为（）A . 2B . 3C . 4D . 59. （2分）(2019·长春模拟) 已知函数，将的图象上的所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变；再把所得图象向上平移个单位长度，得到函数的图象，若，则的值可能为（）A .B .C .D .10. （2分）函数f（x）的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：①f（x）在[a，b]内是单调递增函数；②f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的k 级“调和区间”．下列结论错误的是（）A . 函数f（x）=x3（x∈[﹣2016，2016]存在1级“调和区间”B . 函数f（x）=ex（x∈R）不存在2级“调和区间”C . 函数f（x）=5elnx存在3级“调和区间”D . "函数f（x）=tanx（x）不存在4级“调和区间二、填空题 (共5题；共5分)11. （1分） (2020高三上·静安期末) 如图，在平行四边形中，， ,则的值为________.12. （1分）已知，则 =________．13. （1分） (2016高一上·桐乡期中) （文）已知y=f（x）是偶函数，y=g（x）是奇函数，它们的定义域均为[﹣3，3]，且它们在x∈[0，3]上的图象如图所示，则不等式的解集是________14. （1分） (2017高一下·徐州期末) 设Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a1 ， a2 ， a4成等比数列，则的值为________．15. （1分） (2015高三上·河西期中) 函数f（x）= x3﹣ax2﹣4在（3，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围为________三、解答题 (共6题；共40分)16. （10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 =（cosC，sin ），向量 =（sin，cosC），且．（1）求角C的大小；（2）若a2=2b2+c2 ，求tanA的值．17. （10分）已知，其中ω＞0，若f（x）的最小正周期为4π．（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）将函数y=f（x）图象上各点向左平移个单位长度，得到函数y=g（x）的图象，当x∈（﹣π，π）时，求函数g（x）的值域．18. （5分） (2020高一下·南昌期末) 已知数列为等差数列，且，，数列的前n项和为．（Ⅰ）求数列，的通项公式；（Ⅱ）现剔除数列中与数列相同项，按照原顺序组成一个新的数列，其前n项和为，求．19. （5分）(2017·兰州模拟) 已知函数f（x）= +lnx在（1，+∞）上是增函数，且a＞0．（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）若b＞0，试说明＜ln ＜．20. （5分） (2019高二下·宁波期中) 已知三角形ABC中，，（I）求的值；（II）若，求三角形的面积．21. （5分） (2017高三上·沈阳开学考) 设函数f（x）=lnx，g（x）=（2﹣a）（x﹣1）﹣2f（x）．（Ⅰ）当a=1时，求函数g（x）的单调区间；（Ⅱ）设F（x）=|f（x）|+ （b＞0）．对任意x1 ，x2∈（0，2]，x1≠x2 ，都有＜﹣1，求实数b的取值范围．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共5题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、15-1、三、解答题 (共6题；共40分) 16-1、16-2、17-1、17-2、18-1、19-1、20-1、21-1、。
百校联盟TOP20 2019-2020学年高三上学期11月联考数学(理)试题及答案解析
百校联盟TOP20 2019-2020学年高三上学期11月联考数学（理）试题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I 卷（选择题）一、单选题1．复数312i +-的模为（ ）A ．1BCD ．52．集合{|3}A x x =≤，(){}22|log 2,B x y x x x R ==-+∈，则A B ＝ð（） A ．{|0}x x ≤ B ．{|2 3 0}x x x ≤≤≤或C ．{|23}x x ≤≤D ．{|03}x x ≤≤3．已知向量(3,4)a =，则实数1λ=是||5a λ=的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．已知函数32,0()log ,0x x g x xx ⎧-≤=⎨>⎩，则不等式()1g x <的解集为（ ）A ．(0,2) B．(,2)-∞ C ．(1,2)- D ．(1,2)5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）正视图 侧视图俯视图A．4B．2 C．2- D．43- 6．函数1()1x f x x +=-的图象在点(3,2)处的切线与函数2()2g x x =+的图象围成的封闭图形的面积为（ ）A ．1112B ．3316C ．3516D ．125487．已知数列满足11a =，121n n a a +=+，设数列(){}2log 1n a +的前n 项和为n S ，若12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+，则与9T 最接近的整数是（ ） A ．5B ．4C ．2D ．1 8．已知函数2211,1()1,1x x f x x x x⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-有两个零点，则实数m的取值范围为（ ）A ．[2,)+∞B ．(1,0)(2,)-+∞C ．(1,2]-D ．(1,0)- 9．如果函数21()(2)12f x mx n x =+-+(0,0)m n >>的单调递增区间为[1,)+∞，则14m n+的最小值为（ ） A ．92 B ．2 C ．1 D ．3410．已知sin()122πα-= 则sin(2)6πα+= （ ） A ．710- B ．710 C ．79- D ．7911．如图，在三角形ABC 中，AC 上有一点D 满足4BD =，将ABD △沿BD 折起使得5AC =，若平面EFGH 分别交边AB ，BC ，CD ，DA 于点E ，F ，G ，H ，且AC 平面EFGH ，BD 平面EFGH 则当四边形EFGH对角线的平方和取最小值时，DH DA=（ ）A ．14B ．1641C ．2041D ．324112．定义在R 上的函数()f x 满足(2)()0f x f x ++=，(2018)2f =，任意的[1,2]t ∈，函数32(2)()(2)2f m g x x x f x ⎡⎤=+-++⎢⎥⎣⎦在区间(,3)t 上存在极值点，则实数m 的取值范围为（ ）A ．37,53⎛⎫-- ⎪⎝⎭ B ．(9,5)-- C ．37,93⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．37,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第II 卷（非选择题）二、填空题13．在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，(1,1)A -，(0,3)B ，(3,0)C ，3BD DC =，则OA OD ⋅=____________。
陕西省2020版数学高三上学期理数第一次月考试卷(I)卷
陕西省 2020 版数学高三上学期理数第一次月考试卷（I）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1. （2 分） (2017·汉中模拟) 已知集合 A={x|（x﹣2）（x+3）＜0}，B={x|y= A . [﹣3，﹣1] B . （﹣3，﹣1] C . （﹣3，﹣1） D . [﹣1，2] 2. （2 分） 设 x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2+x﹣2＞0”的（ ） A . 充分而不必要条件 B . 必要而不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件}，则 A∩（∁RB）=（ ）3. （2 分） (2017·铜仁模拟) 已知，则的值等于（ ）A.B.C.D. 4. （2 分） (2016 高一下·宜昌期中) 计箅 cos42°cos18°﹣cos48°sin18°的结果等于（ ）A.第 1 页 共 12 页B. C. D. 5. （2 分） (2019 高三上·衡水月考) 函数A.B.的图象大致为（ ）C.D. 6. （2 分） 已知 f(x)=log3x，则 A. B. C. D.的大小是（ ）第 2 页 共 12 页7. （2 分） (2015 高三上·秦安期末) 设函数 f（x）=ex（x3﹣3x+3）﹣aex﹣x（x≥﹣2），若不等式 f（x） ≤0 有解，则实数 α 的最小值为（ ）A. B . 2﹣ C . 1﹣ D . 1+2e28. （2 分） (2020 高二下·天津期中) 设函数，若，则实数 m 的值为（ ）A.0B.1 C . -3 D.39. （2 分） 定义在 R 上的奇函数满足则函数 =的零点的个数为（ ）， 且不等式A.4B.3C.2在上恒成立，D.110. （2 分） (2017 高一下·新余期末) 已知函数 f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π），且函数的图 象如图所示，则点（ω，φ）的坐标是（ ）第 3 页 共 12 页A.B.C.D.11. （2 分） (2020 高二上·无锡期末) 正四面体则的值为（ ）A . -2B.4C.2D.112. （2 分） (2020·山西模拟) 已知函数对恒成立，则 的取值范围为（ ）A.B.的棱长为 2， 、 分别为 、 的中点， ，不等式C. D.二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)第 4 页 共 12 页13. （1 分） (2019 高三上·通州月考) 已知函数切线方程为，则的值为________.，若曲线在点处的14. （1 分） (2016 高一上·马山期中) 若幂函数 y=f（x）的图象经过点（9， ），则 f（25）的值是________．15. （1 分） (2016 高一下·合肥期中) 在锐角△ABC 中，a=3，b=4，S△ABC=3 ，则角 C=________．16. （1 分） (2014·上海理) 设 f（x）=三、 解答题 (共 7 题；共 65 分)，若 f（2）=4，则 a 的取值范围为________．17. （10 分） (2018 高一下·威远期中) 化简求值：sin 50°(1＋ tan 10°)18. （ 10 分 ） (2018 高 二 上 · 南 京 月 考 ) .（1） 若命题 为真命题，求实数 的取值范围；（2） 若命题为假命题，求实数 的取值范围.，命题，命题19. （10 分） (2016 高一下·成都期中) 已知函数 f（x）= sincos0＜φ＜ ）．其图象的两个相邻对称中心的距离为 ，且过点（ ，1）．（1） 函数 f（x）的解析式；+sin2（ω＞0，（2） 在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c．已知 求角 C 的大小．20. （10 分） (2018·鄂伦春模拟) 已知曲线 （ ） 与曲线 有 （ ）由抛物线 个公共点.（1） 若，求 的最小值；=．且 f（A）=，及抛物线组成，直线 ：（2） 若，记这 个交点为 ， ， ，其中 在第一象限，，证明：21. （10 分） (2019 高三上·江西月考) 已知函数，.第 5 页 共 12 页（1） a≥－2 时,求 F(x)=f(x)-g(x)的单调区间;（2） 设 h(x)=f(x)+g(x),且 h(x)有两个极值点为,其中,求的最小值.22. （ 10 分 ） (2018 高 二 下 · 衡 阳 期 末 ) 在 直 角 坐 标 系中，直线的参数方程为（ .为参数，）.在以为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标中，曲线：（1） 当时，求与 的交点的极坐标；（2） 直线 与曲线交于，两点，且两点对应的参数，互为相反数，求的值.23. （5 分） (2019 高二上·辽阳期末) 设函数.（1） 求不等式的解集；（2） 若对恒成立，求 的取值范围.第 6 页 共 12 页一、 单选题 (共 12 题；共 24 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、二、 填空题 (共 4 题；共 4 分)13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 12 页16-1、三、 解答题 (共 7 题；共 65 分)17-1、 18-1、18-2、19-1、第 8 页 共 12 页19-2、 20-1、第 9 页 共 12 页20-2、21-1、第 10 页 共 12 页21-2、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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2020届陕西省百校联盟高三上学期九月联考数学（理）试题（解析版）2020届陕西省百校联盟高三上学期九月联考数学（理）试题一、单选题1．已知集合{}2|4120,{|2}A x x x B y y =--<==，则A B =( )A.[0,6)B.)[26，C.(2,0]-D.?【答案】B【解析】解一元二次不等式化简集合A,求函数2y = 的值域化简B .然后求A B .【详解】依题意，{}2|4120{|26},{|2}{|2}A x x x x x B y y y y =--<=-<<===…，故[2,6)A B =.故选B . 【点睛】本题考查了集合的交集运算,属基础题.2．3229ii -=+( ) A.1231i 8585- B.12318585i -+ C.12318585+i D.1231i 8585-- 【答案】D【解析】通过分子分母同时乘以分母的共轭复数化简可得. 【详解】32(32)(29)627418123129(29)(29)858585i i i i i i i i i ------===--++- . 故选D . 【点睛】本题考查了复数的代数运算,属基础题.3．已知346log 15,log 20,log 30a b c ===，则( ) A.a b c >>B.a c b >>C.b a c >>D.b c a >>【答案】A【解析】先将,,a b c 变形化为:31log 5a =+,41log 5b =+,61log 5c =+,然后利用3log y x =,4log y x =,6log y x =的图象比较大小可得.【详解】依题意，33334444log 15log 3log 51log 5,log 20log 4log 51log 5a b ==+=+==+=+,6666log 30log 6log 51log 5c ==+=+；由3log y x =,4log y x =,6log y x =的图象如图:可得346log 5log 5log 5>>，故a b c >> . 故选A . 【点睛】本题考查了对数函数的图象和性质,属中档题.4．“沉鱼、落雁、闭月、羞花”是由精彩故事组成的历史典故.“沉鱼”，讲的是西施浣纱的故事；“落雁”，指的就是昭君出塞的故事；“闭月”，是述说貂蝉拜月的故事；“羞花”，谈的是杨贵妃醉酒观花时的故事.她们分别是中国古代的四大美女.某艺术团要以四大美女为主题排演一部舞蹈剧，甲、乙、丙、丁抽签决定扮演的对象，则甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的概率为( )A.13B.712C.512D.12【答案】B【解析】分两类计数甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况,(1)甲扮演杨贵妃;(2)甲扮演王昭君或扮演西施.然后用古典概型概率公式计算. 【详解】依题意，所有的扮演情况为44A 24=种，其中甲不扮演貂蝉且乙不扮演杨贵妃的情况为322322A 2A A 14+=种，故所求概率1472412P ==. 故选B . 【点睛】本题考查了分类计数原理以及古典概型,属中档题.5．函数||3()sin x e f x x x=+的图象大致为( )A. B.C. D.【答案】A【解析】根据函数的奇偶性排除C,根据x →+∞时，()f x →+∞，排除D,根据(0,)x π∈时,||3()sin 0x e f x x x=+>，排除B .【详解】依题意，(,0)(0,)x ∈-∞?+∞，定义域关于原点对称，且||||33e e ()sin()sin ()()x x f x x x f x x x -??-=+-=-+=- ?-??，故函数()f x 为奇函数，图象关于原点对称，排除C ；而当x →+∞时，()f x →+∞，排除D ；当(0,)x π∈时,||3()sin 0x e f x x x=+>，排除B .故选A . 【点睛】本题考查了函数的图象,属中档题.6．72x ??- ?的展开式中，4x 项的系数为（） A.-280 B.280C.-560D.560【答案】C【解析】化简二项式展开式的通项公式，令x 的指数等于4，由此求得4x 项的系数. 【详解】722x ??展开式的通项公式为()()4101472733177221rr rr r r rr T C xx C x ----+??=??-=??-? ???，令101443r -=，解得3r =，故所求系数为()3347213516560C ??-=-?=-.故选C. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式，考查指数运算，考查组合数的计算，属于基础题.7．已知24419578A B C D （，），（，），（，），（，），现有如下四个结论：①AB AC ⊥；②四边形ABCD 为平行四边形；③AC 与BD 夹角的余弦值为145，④||85AB AC +=( ) A.①③ B.②④C.①④D.②③【答案】B【解析】根据四个点的坐标求出,,AC AB BD 的坐标,再利用向量的坐标进行运算可知①③错误,②④正确. 【详解】(2,3),(7,1)AB AC =-=，则0AB AC ?≠，故①错；则||85AB AC +=④正确；(2,3),(2,3)AB DC =-=-，故AB DC =，且A B C D ，，，四点不共线，则四边形ABCD 为平行四边形，故②正确；(7,1),(3,7)AC BD ==，则cos ,AC BD ??145||||AC BD AC BD ?==?，故③错.故选B. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,属中档题.8．《九章算术》卷七—一盈不足中有如下问题：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三.问人数、羊价各几何？”翻译为：”现有几个人一起买羊，若每人出五钱，还差四十五钱，若每人出七钱，还差三钱，问人数、羊价分别是多少”为了研究该问题，设置了如图所示的程序框图，若要输出人数和羊价，则判断框中应该填( )A.20k >B.21k >C.22k >D.23k >【答案】A【解析】根据题意可得x 为人数，y 为羊价，得：5x +45＝7x +3，解得x ＝21，模拟程序的运行可得当x ＝21，k ＝21时，退出循环，输出x ，y 的值，即可得解判断框中应填入的内容．【详解】模拟执行程序，可得x 为人数，y 为羊价，由题意可得：5x +45＝7x +3，解得x ＝21，即当x ＝20，k ＝20时，继续循环，当x ＝21，k ＝21时，退出循环，输出x ，y 的值，则判断框中应填入的内容为：k ＞20？故选：A ．【点睛】本题考查了程序框图, 解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得出正确的结论，是基础题．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的体积为，点P 在正方形1111D C B A 上，且1,A C到P 的距离分别为2,，则直线CP 与平面11BDD B 所成角的正切值为( )A.2C.12D.13【答案】A【解析】先通过计算可知点P 为11A C 的中点, 连接AC 与BD 交于点O ,易证AC ⊥平面11BDD B ,根据直线与平面所成角的定义可知CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角,然后在直角CPO ?中可得. 【详解】易知AB =1C P ，在直角1CC P ?中，可计算12C P ==；又1112,4A P AC ==，所以点P 是11A C 的中点；连接AC 与BD 交于点O ，易证AC ⊥平面11BDD B ，直线CP 在平面11BDD B 内的射影是OP ，所以CPO ∠就是直线CP 与平面11BDD B 所成的角，在直角CPO ?中，tan 2CO CPO PO ∠==.【点睛】本题考查了直线与平面所成的角,属中档题.10．已知椭圆22:182x y C +=的左、右焦点分别为12,F F ，直线l 过点2F 且与椭圆C 交于M N ，两点，且MA AN =，若2||OA AF =，则直线l 的斜率为( ) A.±1 B.12±C.13±D.14±【答案】B【解析】设()()1122,,,M x y N x y ,利用点差法可得: 14OA MN k k ?=-,再根据△2OAF 为等腰三角形,可得OA MN k k =-,联立两个方程可解得12MN k =±,即得直线l 的斜率. 【详解】如图:设()()1122,,,M x y N x y ，则22112222182182x y x y ?+=+=??，两式相减可得()()()()12121212082x x x x y y y y -+-++=，则14OA MNkk ?=-；因为2||OA AF =，所以△2OAF 为等腰三角形,故OA MN k k =- ，解得12MN k =±，故直线l 的斜率为12± 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程以及直线的斜率,属中档题. 11．关于函数()sincos 22x xf x =+ 有下述三个结论：①函数()f x 的图象既不关于原点对称，也不关于y 轴对称；②函数()f x 的最小正周期为π；③0x ?∈R ，( )01f x =.其中正确结论的个数为( ) A.0 B.1C.2D.3【答案】B【解析】根据偶函数的定义可得()f x 为偶函数,故①错误;根据()()f x f x +π=对任意的x 都成立,知②正确;在一个周期[0,)π内任取一个x ,都有()[1,f x ∈,可知③错误. 【详解】依题意，()()()sincos sin cos ()2222x x x x f x f x ---=+=+=，故函数f x （）的图象关于y 轴对称，故①错误；因为()sin cos cos sin ()222222x x x x f x f x πππ+=+++==+=故x π=是函数f x （）的一个周期，且当[0,)x π∈时()sincos 2224x x x f x π??=+=+∈，故②正确，③错误. 故选B . 【点睛】本题考查了三角函数的图象和性质,属中档题.12．在三棱锥S ABC -中，24AC AB ==，BC AS SC =⊥，平面ABC ⊥平面SAC ，则当CBS ?的面积最大时，三棱锥S ABC -内切球的半径为( )0.25≈A.0.125B.0.25C.0.5D.0.75【答案】C【解析】先由已知推出SC SB ⊥,再设AS x =,根据勾股定理求出2BS 和2SC ,再用面积公式计算出三角形SBC 的面积,然后用基本不等式求得最大值以及取得最大值的条件,在此条件下求出四个三角形的面积,,再利用体积关系列等式可求得内球球的半径即可. 【详解】如图所示，4,2,AC AB BC ===AB AC ⊥，平面ABC ⊥平面SAC ，故AB ⊥平面SAC ，故AB SC ⊥，而AS SC ⊥，故SC ⊥平面ABS ，则SC SB ⊥；设AS x =，则22224BS AB AS x =+=+，而222216SC AC AS x =-=-，则1122CBSSSB SC =?==221644x x -++≤5= ，当且仅当26x =，即26x =时，CBS ? 的面积最大为5，此时4,6,15,5ABCABSsACSBCSSSS====，设三棱锥S ABC -内切球的半径为r ，故()13S ABC ABCSACABSSBCV S SSSr-=+++，即114(45323r ??=++?，即0.5r =≈ 故选C .【点睛】本题考查了线面垂直的判定和性质,用基本不等式求最值,三棱锥的内切球问题,属中档题.二、填空题 13．已知函数3ln(2)()x f x x x =-，则曲线y f x =（）在11,22f ??处的切线方程为_______. 【答案】13744y x =- 【解析】由导数的几何意义可得切线的斜率为1()2f ',再根据点斜式可得切线方程. 【详解】依题意，221ln(2)()3x f x x x '-=-，故13134244f '??=-= ，而1128f ??=-,故所求切线方程为1131842y x ??+=- ，即13744y x =- 【点睛】本题考查了导数的几何意义,属基础题.14．设实数x y ，满足2105x y x y y +??-………，则4z x y =+的最小值为______.【答案】53【解析】作出可行域,观察可得,当4z x y =+过点C 时，z 有最小值,再联立方程组解得最优解C 的坐标后,代入目标函数即得. 【详解】作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示；观察可知，当4z x y =+过点C 时，z 有最小值；联立210x y x y +=??-=?解得13x y == 即11,33C ?? ???，故4z x y =+的最小值为53。