3.1.3、导数的几何意义(一课时)
高中数学 3.1.3导数的几何意义课件 新人教A版选修1-1
f x 趋近于点 P x0, f x0
时 , 割线 PP n 的 变 化 趋势 是
什么 ?
y
yfx
P1
T
y
yfx
P2 T
P
O
x
O
x
1
2
y
yfx
y
yfx
P3
P O
3
T
T
P4 P
xO
x
4
图1.12
新 1、曲线上一点的切线的定义
授
y=f(x)
割
yHale Waihona Puke 线 QT 切线P
结论:当Q点o 无限逼近P点时,此时
设切线的倾斜角为α,那么当Δx→0时,割线PQ的斜率, 称为曲线在点P处的切线的斜率.
即: k 切 t 线 a ln x i0 m x y lx i0fm (x 0 x x ) f(x 0 )
这个概念:①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数平均变化率的极限.
o
时,割线PPn趋近于确定的位x置，这个确
定位置的直线PT称为点P处的切线.
y
圆的切线定义并不适
l1 用于一般的曲线。
A
通过逼近的方法，将
B C
割线趋于的确定位置的
l2
直线定义为切线（交点
可能不惟一）适用于各
x
种曲线。所以，这种定
义才真正反映了切线的
直观本质。
割线与切线的斜率有何关系呢？
k PQ x y ＝ f(x x x )f(x )
要注意,曲线在某点处的切线: 1)与该点的位置有关; 2)要根据割线是否有极限来判断与求解.如有极限,则在此 点有切线,且切线是唯一的;如不存在,则在此点处无切线; 3)曲线的切线,并不一定与曲线只有一个交点,可以有多个, 甚至可以无穷多个.
课件12：3.1.3 导数的几何意义
3．函数的导数 对于函数 y＝f(x)，当 x＝x0 时，f ′(x0)是一个确定的数．当 x 变化时，f ′(x)便是一个关于 x 的函数，我们称它为函数 y＝
fx＋Δx－fx
f(x)的导函数(简称为导数)，即 f ′(x)＝y′＝_Δlix_m →_0_______Δ_x_____.
4．深刻理解“函数在一点处的导数”、“导函数”、“导 数”的区别与联系 (1)函数在一点处的导数f ′(x0)是一个_常__数____，不是变量． (2)函数的导数，是针对某一区间内任意点x而言的．函数f(x) 在区间(a，b)内每一点都可导，是指对于区间(a，b)内的每 一个确定的值x0，都对应着一个确定的导数f ′(x0)．根据函数 的定义，在开区间(a，b)内就构成了一个新的函数，就是函 数f(x)的导函数___f_′_(x_)的导数f ′(x0)就是导函数f ′(x)在 点x＝x0处的__函__数__值____，即f ′(x0)＝__f_′_(x_)_|x_＝__x_0__.
5.导数的物理意义：物体的运动方程s＝s(t)在点t0处 的导数s′(t0)，就是物体在t0时刻的_瞬__时__速__度___．
3.1.3 导数的几何意义
学习目标解读
1.了解导函数的概念，通过函数图象直观地理解导数的几何意 义． 2．会求导函数，能根据导数的几何意义求曲线上某点处的切 线方程．
重点难点展示
重点：理解导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程． 难点：对导数几何意义的理解．
教材新知导学
知识点1：导数的几何意义新知导学 1．曲线的切线：过曲线y＝f(x)上一点P作曲线的割线PQ， 当Q点沿着曲线无限趋近于P时，若割线PQ趋近于某一确定 的直线PT，则这一确定的直线PT称为曲线y＝f(x)在点P的 ___切__线____．
课件14：3.1.3 导数的几何意义
2．设 f′(x0)＝0，则曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线( )
A．不存在
B．与 x 轴平行或重合
C．与 x 轴垂直
D．与 x 轴斜交
解析：f′(x0)＝0，说明曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线斜率 为 0，所以与 x 轴平行或重合．
答案：B
3．在曲线 y＝x2 上切线倾斜角为π4的点是(
切线方程． 解：由 y＝13x3，得 y′＝
ΔΔyx＝
13（x＋Δx）3－13x3 Δx
＝13
3x2Δx＋3x（Δx）2＋（Δx）3 Δx
1 =3
[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，y′|x＝3＝32＝9，
即曲线在 P(3，9)处的切线的斜率等于 9.
由直线的点斜式方程可得，
所求切线方程为 y－9＝9(x－3)，
)
A．(0，0)
B．(2，4)
C．41，116
D．21，14
解析：因为 y＝x2，所以 k＝y′＝
ΔΔyx＝
（x＋Δx）2－x2 Δx
＝
(2x＋Δx)＝2x，所以 2x＝tanπ4＝1，
所以 x＝12，则 y＝14.
答案：D
4. 若函数 f(x)在点 A(1，2)处的导数是－1，那么曲线 y＝f(x) 在点 A 处的切线方程是________． 解析：切点为(1，2)，k＝－1， 所以切线方程为 y－2＝－1×(x－1) 即：x＋y－3＝0.
解析：(1)直线与曲线公共点的个数不是切线的本质特征，直 线是曲线切线时，直线可能与曲线有两个以上的交点，正确．(2) 与曲线有且只有一个交点的直线不一定是曲线的切线，如直线 x＝1 与抛物线 y＝x2 有且只有一个公共点，但 x＝1 不是抛物 线 y＝x2 的切线，不正确．(3)f′(x0)是一个数值，不是变数，而 f′(x)是关于 x 的一个函数，正确．(4)求 f′(x0)时，可先求 f′(x)， 再求 f′(x0)，故(4)错误． 答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)×
(教师用书)高中数学 3.1.3 导数的几何意义课件 新人教A版选修1-1
导数几何意义的理解
若函数 y＝f(x)的导函数在区间[a，b]上是增函数， 则函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象可能是( )
【思路探究】 (1)导数的几何意义是什么？(2)y＝f(x)的导 函数在区间[a，b]上是增函数，说明 y＝f(x)图象的切线有什么 特点？ 【自主解答】 因为函数 y＝f(x)的导函数 y＝f′(x)在[a， b]上是增函数，由导数的几何意义可知，在区间[ a，b]上各点处 的切线斜率是逐渐增大的，只有 A 选项符合．
3.1.3
导数的几何意义
教师用书独具演示
●三维目标 1.知识与技能 理解导数的几何意义， 初步体会“以直代曲”的辩证思想； 掌握求曲线上一点出的切线的斜率的方法．
2．过程与方法 培养学生的观察、动手动脑、归纳总结的能力；培养学生 合作学习、创新能力． 3．情感、态度与价值观 经过 FLASH 动画演示割线“逼近”成切线过程， 让学生感 受函数图象的切线“形成”过程， 获得函数图象的切线的意义； 增强学生问题应用意识教育，让学生获得学习数学的兴趣与信 心．
【问题导思】 导函数 f(x)与函数在 x＝x0 处的导数 f′(x0)相同吗？它们有 什么区别与联系？
【提示】 不相同． (1)两者的区别： 由导数的定义知， f′(x0) 是一个具体的值，f′(x)是由于 f(x)在某区间 I 上每一点都存在 导数而定义在 I 上的一个新函数，所以两者的区别是：前者是 数值，后者是函数． (2)两者的联系：在 x＝x0 处的导数 f′(x0)是导函数 f′(x) 在 x＝x0 处的函数值，因此求函数在某一点处的导数.
●教学流程
Байду номын сангаас 演示结束
课标 解读
1.理解导数的几何意义会求曲线 上某点处的切线方程．(重点) 2．理解在某点处与过某点的切 线方程的区别．(难点、易混点)
3.1.3导数的几何意义
3.1.3导数的几何意义【知识点总结】1.由前两节的学习可以知道，函数=()y f x 在00[,]x x x +∆上的平均变化率为00()()f x x f x y x x+∆-∆=∆∆（其几何意义为：连接两点的线段所在直线的斜率）， 当 0x ∆→，00()()=f x x f x y x x +∆-∆∆∆→函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率（其几何意义为：函数=()y f x 在0=x x 处的切线的斜率（导数））。
注意：（1）强调：0()f x '表示函数()y f x =在点0=x x 的瞬时变化率；0()f x '也表示函数()y f x =在点0=x x 的导数； 0()f x '也表示函数()y f x =在点0=x x 的切线的斜率；（2）求函数()y f x =在点0=x x 的切线的斜率，即求函数()y f x =在点0=x x 的导数. (3）由课本例题2可知，函数的单调性与函数图象上各点切线的斜率正负有关。
2.复习利用定义，求函数()y f x =在0=x x 处的导数，即求函数=()y f x 在00[,]x x x +∆上的瞬时变化率的步骤：第一步：计算函数的增量：00=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）：00()()=f x x f x y x x+∆-∆∆∆； 第三步：确定导数：00000()()()=lim =lim x x f x x f x y f x x x ∆→∆→+∆-∆'∆∆. 新知利用定义，求函数()y f x =的导函数的一般步骤：第一步：计算函数的增量：=()()y f x x f x ∆+∆-；第二步：计算平均变化率（增量比）：()()=y f x x f x x x∆+∆-∆∆； 第三步：确定导函数：00)()()=lim =lim x x y fx x f x f x x x ∆→∆→∆+∆-'∆∆. 注意：（1）由上面的对比知道，把“求函数()y f x =在0=x x 处的导数”中的0x 换成x 后，就是“求函数()y f x =的导函数”的步骤了；（2）区别()f x '与0()f x '：首先，()f x '仍是关于x 的函数，而0()f x '是一个函数值，是常数；其次，如果我们要求0()f x '的话，通常先求()f x '，再把x 换成0x ，这种方法在后面学习了求导公式之后才能显出其优势。
《3.1.3 导数的几何意义》PPT课件(山西省市级优课)
已知斜率，求切点
已知曲线 y=f(x)=x2+1上一点P，在点P处 的切线斜率为 2 ，求点P的坐标。
-1
已知点，求斜率
1.若点是切点，直接求该点处的导数，即斜率
2.若点不是切点，先设切点 (x0, f (x0 )) ，求切点处导
数 f (x0)，写出切线方程
将已知点带入，解出 x0
y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ).
3.1.3导数的几何意义
一、复习
1、导数的定义
函数y＝f x 在x＝x0处的导数，记作：f x0 或y x＝x0
lim y lim f (x0 x) f (x0 )
x0 x x0
x
其几何意义是 表示曲线上两点连线（就是曲线 的割线）的斜率。
k ppn
y x y
f ( x0 x) f ( x0 )
1. 已知函数y=f（x）的图像在点（1，f（1）） 处的切线方程为x-2y+1=0，则 f (1) 2 f '(1) 的 值是
已知点，求斜率
已知曲线f(x)=x2+1。
（1）求曲线在点P（1,2）处的切线斜率及
切线方程
（2,5）
（2）过点A（1，-2）作该曲线的切线， 求该切线方程。
(1 ,-1) 2
。代入切线方程中即可
斜率f (x0) ，
令 k f (x0 ) ，解出 x0 即可
已知曲线 y=f(x)= x3 ，过点A（1,2）作
曲线的切线，求该切线方程。
x0
导数的几何意义
函数 y=f(x)在点x=x0处的导数的几何意义 就是曲线 y=f(x)在点P(x0 ,f(x0))处的切线的斜率， 即曲线y=f(x)在点P(x0 ,f(x0)) 处的切线的斜
3.1.3导数的概念和几何意义_课件-湘教版数学选修1-1
即切线过抛物线y＝x2上的点(2,4)，(3,9)． 所以切线方程分别为y－4＝4(x－2)，y－9＝6(x－3)． 化简得y＝4x－4，y＝6x－9， 此即是所求的切线方程． 点评 在求曲线过某点的切线方程时，第一要判断该点是否在曲线上，再根 据不同情况求解．
课堂总结 1．函数在某一点处的瞬时变化率即为函数在该点处的导 数． 2．导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切 线的斜率，即当d→0时，k＝fx0＋dd－fx0＝f′(x0)． 3．求曲线的切线方程应充分利用导数的几何意义，抓住两 点： (1)切点在曲线上，则在切点处的导数值即为切线的斜率； (2)若已知点不在曲线上时，要设出切点再利用导数几何意义和已 知条件去求.
C．f′(x0)＝2x0
D．f′(x0)＝d＋2x0
答案 C
3．已知函数y＝f(x)图象如图，则f′(xA)与f′(xB)的大小关系 是( )．
A．f′(xA)>f′(xB) B．f′(xA)<f′(xB) C．f′(xA)＝f′(xB) D．不能确定
答案 A
4．在曲线f(x)＝x2＋x上取一点P(1,2)，则在区间[1,1＋d]上的 平均变化率为________，在点P(1,2)处的导数f′(1)＝________.
当 d→0 时 1－xx＋1 d→1－x12， ∴f′(x)＝1－x12， ∴f′(1)＝1－112＝0.
题型四 利用导数求切线方程 【例4】 已知曲线C：y＝x2. (1)求曲线C在点(1,1)处的切线方程； (2)求过点(1,0)且与曲线C相切的直线的方程；
解 (1)fx＋dd－fx＝x＋dd2－x2＝2x＋d. 当d→0时，2x＋d→2x， ∴f′(x)＝2x，f′(1)＝2 ∴曲线y＝x2在(1,1)处的切线方程为 y－1＝2(x－1)，即y＝2x－1.
人教版高中数学选修1-1课件：3.1.3 导数的几何意义
备课素材
1．导数的几何意义 (1)导数 f′(x0)的几何意义是曲线 y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率，即 k ＝lim f（x0＋ΔxΔ）x－f（x0）＝f′(x0)，物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时 速度． (2)导数与切线的关系：f′(x0)>0 时，切线的倾斜角为锐角；f′(x0)<0 时，切线 的倾斜角为钝角；f′(x0)＝0 时，切线与 x 轴平行．f(x)在 x0 处的导数不存在， 则切线垂直于 x 轴或不存在．
∆������
(2)会利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“以直代曲”的数学思想方法．
三维目标
2．过程与方法 通过让学生在动手实践中探索、观察、反思、总结，发现问题，解决问题，从而达 到培养学生的学习能力、思维能力、应用能力和创新能力的目的． 3．情感、态度与价值观 通过在探究过程中渗透逼近和“以直代曲”思想，使学生了解近似与精确间的辩证 关系；通过有限来认识无限，体验数学中转化思想的意义和价值．
备课素材
(3)求曲线的切线方程，要注意已知点是否在曲线上．如果已知点在曲线上，则以 该点为由点的由线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)；若已知点不在曲线上，则设出切 点(x0，f(x0))，表示出切线方程，然后求出切点． 2．“函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (1)“函数在一点处的导数”，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量的比的 极限，它是一个数值，不是变数．
备课素材
(2)“导函数”：如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点都可导，就说 f(x)在开区间(a，b)内
可导，这时对于区间(a，b)内每一个确定的值 x0，都对应着一个导数 f′(x0)，这样就在开
高中数学第三章导数及其应用3.1.3导数的几何意义课件新人教A版选修1_1
• (2)导数的几何意义：函数f(x)在x＝x0处的导数
f（x0＋Δ x）－f（x0）
就 是 切 线 PT 的 斜 率 Δkx ， 即 k ＝
____________________＝ f′(x0)．
• 2．导函数的概念 f′(x)
• (1)定义：当x变化时，_____便是x的一个函数，
f（x＋Δ x）－f（x）
所以 2x30－3x20＋1＝(x0－1)2(2x0＋1)＝0， 解得 x0＝1 或 x0＝－12.(6 分) 第二步，求切点横坐标 故所求直线斜率为 k＝3x20－3＝0 或 k＝3x20－3＝－94， 于是 y－(－2)＝0·(x－1)或 y－(－2)＝－94(x－1)， 即 y＝－2 或 y＝－94x＋14.(10 分) 故过点 P(1，－2)的切线方程为 y第＝三－步2 ，或求y＝过－P的94x切＋线14.(方12程分)
• (1)与导数的几何意义相关的题目往往涉及解 析几何的相关知识，如直线的方程、直线间的 位置关系等，因此要综合应用所学知识解题．
• (2)与导数的几何意义相关的综合问题解题的 关键是函数在某点处的导数，已知切点可以求 斜率，已知斜率也可以求切线，切点的坐标是 常设的未知量．
◎变式训练 • 3．设函数f(x)＝x3＋ax2－9x－1(a<0)，若曲线 y＝f(x)的斜率最小的切线与直线12x＋y＝6平行， 求a的值．
即 f′(x0)＝3x20＋2ax0－9＝3x0＋a32－9－a32. 当 x0＝－a3时，f′(x0)取最小值－9－a32. ∵斜率最小的切线与 12x＋y＝6 平行， ∴该切线斜率为－12.∴－9－a32＝－12. 解得 a＝±3.又 a<0，∴a＝－3.
短板补救案·核心素养培优
高中数学人教A版选修1-1课件：3.1.3《导数的几何意义》
x1
x2
2.导数的概念
3.求函数
在
（1）求平均变化率 （2）取极限
处的导数的步骤
导数的几何意义
提出问题
动画演示02:50-03:40
/edu/ppt/ ppt_playVideo.action?mediaVo .resId=54800cd9956ed1ed6016 a1c2
第3章 导数及应用
3.1.3 导数的几何意义
导数的几 何意义
内容：切线的新定义、导数的几何意义及 利用导数的几何意义求曲线上某点处的切 线方程
应用
根据导数的定义求导数值 求曲线在某点处的切线方程
本课主要学习理解导数的几何意义以及对曲线切线 方程的求解.通过多媒体课件的直观演示，引导学生通 过观察，思考，发现并归纳导数的几何意义．通过对 例题和练习题的探究完成知识的迁移．并通过设置思 考题为学生进一步探讨导数的应用指出方向．重点是 理解和掌握切线的新定义、导数的几何意义及利用导 数的几何意义求曲线上某点处的切线方程，体会数形 结合、以直代曲的思想．难点是发现、理解及应用导 数的几何意义；对导数几何意义的理解与掌握，在每 处“附近”变化率与瞬时变化率的近似关系的理解； 运用导数的几何意义解释函数变化的情况．
相交 相切
P
曲线在点P处切线的定义
y
y=f(x)
Pn
割 线
T 切线
P
o
x
当点Pn沿着曲线无限接近点P即Δx→0时 ,割线PPn趋近于
确定的位置，这个确定位置的直线PT称为点P处 的切线.
思 割线的斜率与切线的斜率有什么关系呢？ 考
y=f(x) y
Q(x1,y1)
△y
即：当△x→0时，割线PQ的斜 率的极限，就是曲线在点P处的
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3.1.3、导数的几何意义
【教学目的】
1、理解导数的几何意义；
2、掌握平均变化率与割线的斜率之间的关系；
3、体会从形的角度探究导数的几何意义。
【教学重点】导数的几何意义与简单应用。
【教学难点】理解导数的几何意义。
【教学过程】
一、复习引入：
1、课前训练
（1）求函数f (x )=x 3在区间[2，3]的平均变化率，并说明它的几何意义。
（2）求函数f (x )=x 3在x =2处的导数。
2、问题提出：函数f (x )=x 3在x =2处的导数的几何意义是什么？
3、知识探究：
（1）如图，设曲线c 是函数()y f x =的图象，点00(,)P x y 是曲线 c 上一点作割线PQ 当点Q 沿着曲线c 无限地趋近于点P ，割线PQ 无限地趋近于某一极限位置PT 我们就把极限位置上的直线PT ，叫做曲线c 在点P 处的切线 y=f(x)
β
∆x ∆y
Q
M P
x O y
（2）确定曲线c 在点00(,)P x y 处的切线斜率的方法：
因为曲线c 是给定的，根据解析几何中直线的点斜是方程的知识，只要求出切线的斜率就够了设割线PQ 的倾斜角为β，切线PT 的倾斜角为α，既然割线PQ 的极限位置上的直线PT 是切线，所以割线PQ 斜率的极限就是切线PQ 的斜率tan α,即
tan α=0lim →∆x =∆∆x y 0lim →∆x 0x
∆二、讲解新课：
导数的几何意义是曲线)(x f y =上点（)(,00x f x ）处的切线的斜率。
因此，如果)(x f y =在点0x 可导，则曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）处的切线方程为 )(()(00/0x x x f x f y -=-
三、讲解范例：
例1、求曲线y =x 2+1在点P (1，2)处的切线方程。
点评：求曲线的切线的方程的步骤：
（1）求函数的改变量)()(x f x x f y -∆+=∆
（2）求平均变化率
x
x y ∆=∆∆ （3）取极限，得导数/y ＝()f x '=x x ∆→∆lim （4）利用点斜式，得到切线方程。
例2、如图，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数h (t )=-4.9t 2+6.5t +10的图象。
根据图象，请描述、比较曲线h (t )在t 0，t 1，t 2附近的变化情况。
四、课堂练习：
1、求曲线y =x 3在点P (1，1)处的切线方程。
2、某物体的运动方程为h (t )=5t 2 (位移单位：m ，时间单位：s )，求它在 t ＝2s 时的速度.
3、求曲线x
y 9=在点M(3，3)处的切线的斜率及倾斜角． 平行，求切点的坐标。
的某一条切线与直线、如果曲线不确定
条多于条条，则切线方程有的切线的斜率为、已知345.2.2.1.)
(1)(423+===x y x y D C B A x x f 五、课堂小结 ：
函数y=f (x )在点x 0处的导数的几何意义
六、课后作业：
1、曲线y =x 3在点P （2，8）处的切线方程是___________.
2、曲线f (x )=x 2+3x 在点A （2，10）处的切线斜率k =___________.
3、函数221y x =-在3x =处的导数为0(3)(3)'(3)lim
x f x f f x ∆→+∆-=∆= ； 4、曲线22y x x =-+在点(1,1)-处的切线方程为 ；
5、求函数321y x x =-+在2x =处的导数。
【课后反思】
要求学生掌握导数的几何意义，并能熟练的求切线方程。