弹性波动力学复习纲要

§1.1 指标记号及两个符号单位基向量：今后会遇到的应变张量ij e 、应力张量ij τ 等。

112233i i x x x x =++=x e e e e （2）有某个指标重复出现一次且仅一次 就表示对该指标在其取值范围内取一切值，并对所得到的对应项求和。

该求和指标也称为哑标。

另一指标i 不参与求和约定，称其为自由指标。

自由指标的个数决定了简写方程代表实际方程的个数，哑标的个数决定了该项所代表的实际求和项的项数。

二、两个符号1、Kronecker 符号ij δ1,0,ij i j i j δ=⎧=⎨≠⎩ 为：()100010001ij δ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ Kronecker 符号的特点：（1） ij ji δδ= (2) i j ij δ=e e (3) 1122333ii δδδδ=++= (4) j ij i a a δ=(5) kj ik ij A A δ=6) ik kj ij δδδ= 例4：向量i i a =a e 和i i b =b e ，有：()i i i a b ±=±a b e 注意：±可作为求和约定中“同一项”的分隔符 i i j j i j i j i j ij i i a b a b a b a b δ====a b e e e e 注意：点乘(包括叉乘符号)符号不能作为“同一项”的分隔符，所以此例中将向量b 的下标换成了j 。

2i j ij i i a a a a a δ===a a 2、排列符号（置换符号）：112311230ijk ijk e ijk ijk ⎧⎪=-⎨⎪⎩为的顺时针排列为的逆时针排列取值有重复时§1.2 坐标变换旧系：123ox x x ，单位基向量：i e 新系：123ox x x ，单位基向量：i e 坐标变换系数：()cos ,ij i j i j β==e e e e新旧坐标系下的单位基向量坐标变换规律：,i ij j i ji j ββ==e e e e 新旧坐标系下的空间点坐标变换规律：,i ij j i ji j x x x x ββ==1 23向量f ，在旧系下的分量i f ，新系下的分量为i f ，其坐标变换规律为： ,i ij j i ji j f x f f ββ==向量的解析定义：若有3个量，它们在123ox x x 和123ox x x 的分量分别为i f 和i f ，当两个坐标系之间的变换系数为ij β时，i f 与i f 之间按式,i ij j i ji j f x f f ββ==变换，则这3个量有序整体形成一个向量f ，此3个量为向量f 的分量。

§1.3 张量的定义一、张量的定义1、0阶张量（标量）：03个分量，在旧系下为()123,,x x x ϕ，新系下()123,,x x x ϕ，当进行坐标变换时满足()()123123,,,,x x x x x x ϕϕ=。

2、一阶张量（向量）：13个有序分量，满足,i ij l i ji j a a a a ββ==3、二阶张量：23个有序分量，满足 ,ij im jn mn ij mi nj mn T T T T ββββ==记()ij T =T ，写成阵列形式为：()111213212223313233ij T T T T T T T T T T ⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦T 二、张量的表示方法并向量表示法（实体表示法）：i i a =a e ij i j T =T e e ijk i j k B =B e e e§1.4 张量的代数运算张量乘积的运算性质：（1）服从分配律：()+=+A B C AC BC （2）服从结合律：()()=AB C A BC （3）不满足交换律：≠AB BA在r （2r ≥）阶张量，令其任何两个指标相同，并对重复指标施行求和约定。

5、张量的内积r （0r ）阶张量A 和s （0s ）阶张量B 的乘积中，对分别属于A 和B 的指标进行一次缩并，称如此所得的2r s +-张量为张量A 与B 的内积，记为A B ，约定：对张量A 的最后一个指标和张量B 的第一个指标进行。

§1.5 商法则设一组数的集合(),,,,T i j k l m ，若它满足对于任意一个q 阶张量S (如q =2，任意阶张量分量为lm S )的内积均为一个p 阶张量U （如p =3，三阶张量ijk U ），即在任意坐标系内以下等式均成立：(),,,,lm ijk T i j k l m S U = （对l ，m 应用了求和约定），则这组数的集合(),,,,T i j k l m 必为一个()p q +阶张量。

§1.6 几种特殊张量反对称二阶张量：ij ji C C =- 引入kj ijk i C e c = 12i ijk kj c e C = 球张量及偏张量：1133ij kk ij ij kk ij A A A A δδ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭各向同性张量：张量的每一个分量都是坐标系旋转变换下的不变量。

§1.7 二阶张量的特征值和特征向量λ=T n n 1i i n n =()0ijij j Tn λδ-=§1.8 张量分析简介标量：(),t φx ； 向量：(),t a x ；(),t T x 1、对时间的导数：t∂∂T T =2、张量场的梯度：(),k ij i j ij k k i j k grad T T x ⎛⎫∂=∇== ⎪∂⎝⎭T T e e e e e e3、张量场的散度：(),i jk j k ij i j i div T T x ⎛⎫∂=∇⋅⋅= ⎪∂⎝⎭T T =e e e e4、张量场的旋度：()(),,k lj l j k lj k k l j ikl lj k i jcurl T x T e T ⎛⎫∂=∇⨯=⨯ ⎪∂⎝⎭=⨯=T T e e e e e e e e 5、散度定理：VSdiv dV dS =⋅⎰⎰u n u ,i i i i VSu dV n u dS =⎰⎰VSdivTdV dS =⋅⎰⎰n T ,ij i i ij VST dV nT dS =⎰⎰一、弹性波动力学的任务：应用弹性动力学理论来研究弹性波的激发和传播问题。

二、弹性动力学的基本假设：1、物体是连续的；2、物体是线性弹性的；3、物体是均匀的；4、物体是各向同性的；5、物体的位移和应变都是微小的。

6、物体无初应力。

§3.1 弹性体运动和变形的表述一、基本概念：位形、参考位形、变形、运动 二、运动和变形的数学表述：同一质点、不同时刻的向径：(),t ''=x x x 或 (),i i x x t ''=x位移：(),t =u u x ()(),,t t '=+x x x u x ()(),,i i i x t x u t '=+x x§3.3应变张量公式推导：从两点间的距离改变出发来推导：()()222j i k k i j ij i j ji i j u u u u ds ds dx dx E dx dx x x x x ⎛⎫∂∂∂∂'-=++= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭ 定义12j i k k ij j i i j u u u u E x x x x ⎛⎫∂∂∂∂=++ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭格林应变张量 ij ji E E =§3.4小变形情形的应变张量和转动张量一、小变形情形下的应变张量：(),,12ij i j j i e u u =+ 二、小变形位移的分解：()()1122Q Pj j i i i i j j j i j i u u u u u u dx dx x x x x ⎛⎫⎛⎫∂∂∂∂=+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭令转动张量：12j i ij ji u u x x ϖ⎛⎫∂∂=- ⎪ ⎪∂∂⎝⎭ ()()QPi i ij j ij j u u dx e dx ϖ=++ （刚体平移+刚体转动+变形位移）()()Q Pi i i du u u =-§3.5小变形情形下，过一点线元长度的变化及过一点的两个线元之间的变化一、正应变（线应变、相对伸缩） ij i j e e n n =二、过一点的两个线元之间夹角的变化 cos i i n n φ= 初始两线元夹角余弦()cos 21cos ij i j e n n e e φφ'=+-- 变形后两线元夹角余弦§3.6小变形应变张量的几何解释一、11e 的几何解释：质点P 处原来沿ox 1轴方向上的线元每单位长度的长度变化，即点P 处沿ox 1轴方向的正应变。

（22e 、33e 同理）——正应变分量 二、12e 的几何解释：变形中点P 处原来沿ox 1轴和ox 2轴方向的两线元之间角度（原为2π）改变量的一半。

（23e 、31e 同理）——剪应变分量 三、ii e 的几何解释：变形中点P 处每单位体积的体积改变。

ii e θ==∇u —— 该公式的推导§3.7主应变，应变不变量若过点P 的某个方向的线元，在变形后只沿着它原来的方向产生相对伸缩，则称此线元的方向为该点应变的主方向，称该方向的相对伸缩（正应变）为主应变。

()0ijij j ee n δ-= 0ij ij e e δ-=§3.8相容性条件,,,,0ij kl kl ij ik jl jl ik e e e e +--=§3.9应变球张量及应变偏张量13ij kk ij ij e e δε=+ 13ij ij kk ij e e εδ=-张量13kk ij e δ为应变球张量，表明某一点处体元的形状不改变，只是体积发生变化；ij ε为应变偏张量，描述体元的形状改变。

因其可拆分成5个纯剪切变形的叠加§4.1体力及面力 体（积）力：0lim V Vρ∆→∆==∆Fp f 连续分布作用于弹性体每个体元上的外力（表）面力：0limS S∆→∆=∆Nt 连续分布作用于弹性体表面上的力§4.2应力向量用假想截面将弹性体一分为二，两部分通过截面相互有内力作用，可视为面力分布作用于整个截面上。

截面上取包含P 点的面元，面元的外法向向量为n0limS S∆→∆=∆Nt 应力向量 (),,t =t t n x 2i i t t =t当x 和t 固定，而使n 取一切可能值时，就得出时刻t 过向径为x 的点所有各个面元上的应力向量，它们的总体就是该点在该时刻的应力状态；当x 改变时，就给出弹性体内各个点的应力状态，即为应力场。

一般来讲，应力向量与面元的外法向方向不平行，于是有：n s =+t ττn τ——面元上的正应力，s τ——剪应力分量n τ=t n s τ=n n τ=n τ s n =-t ττ§4.3应力张量一、应力向量的分解： (),,i ij j t τ=t e x e ij τ指标涵义，正负的规定二、Cauchy 应力公式：i ji j t n τ= 给定一点的应力状态ij τ，就完全确定了该点的应力状态。