精度与误差

1．精度指标
1.1 精密度：反映偶然误差的平均大小的度量。
1.2 准确度：反映系统误差的平均大小的度量。
1.3 精确度：反映偶然误差和系统误差平均大小的度量，而传统的精度指
标指的是这里的精密度。

1.1.1精密度：定义为误差的方差：即2EED，其中D、E分别

为量差和数学期望算子。由LLEE代入上式有：

LDLELExD
2

,即误差的方差等于观测值的方差。

1.2.1准确度：定义为误差的数学期望，即LLEELD,称LD为
观测值得偏差，当仅有任意误差时，LLEELD,0,此时观测值为
无偏观测值，当有系统误差存在时，有LLEE,0,为有偏观测。
1.3.1精确度：定义为误差平方的数学期望，即DED称,2为误差
的均方误差，由于0，所以有LDLLEED22,即误差
的均方误差等于观测值的均方误差。

2. 误差指标

2.1 方差
设X是一个随机变量，若E{[X-E(X)]^2}存在，则称E{[X-E(X)]^2}为X
的方差，记为D(X)或DX。
即D(X)=E{[X-E(X)]^2}称为方差，而σ(X)=D(X)^0.5（与X有相同的
量纲）称为标准差（或均方差）。即用来衡量一组数据的离散程度的统计量。
方差刻画了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度。
若X的取值比较集中，则方差D(X)较小；
若X的取值比较分散，则方差D(X)较大。
因此，D（X）是刻画X取值分散程度的一个量，它是衡量X取值分散
程度的一个尺度。
方差的计算
由定义知，方差是随机变量 X 的函数



piXEXXg2
g(X)=∑[X-E(X)]^2 pi
方差其实就是标准差的平方。
方差的几个重要性质
（1）设c是常数，则D(c)=0。
（2）设X是随机变量，c是常数，则有D(cX)=(c^2)D(X)。
（3）设 X 与 Y 是两个随机变量，则
D(X+Y)= D(X)+D(Y)+2E{[X-E(X)][Y-E(Y)]}
特别的，当X，Y是两个相互独立的随机变量，上式中右边第三项为0
（常见协方差），
则D(X+Y)=D(X)+D(Y)。此性质可以推广到有限多个相互独立的随机
变量之和的情况.
（4）D(X)=0的充分必要条件是X以概率为1取常数值c，即P{X=c}=1，
其中E(X)=c。
常见随机变量的期望和方差
设随机变量X。
X服从(0—1)分布，则E(X)=p D(X)=p(1-p)
X服从泊松分布，即X~ π(λ),则 E(X)= λ，D(X)= λ
X服从均匀分布，即X~U(a，b),则E(X)=(a+b)/2, D(X)=(b-a)^2/12
X服从指数分布，即X~e(λ), E(X)= λ^(-1)，D(X)= λ^(-2)
X服从二项分布，即X~B(n,p)，则E(x)=np, D(X)=np(1-p)
X 服从正态分布，即X~N(μ,σ^2), 则E(x)=μ, D(X)=σ^2
X 服从标准正态分布，即X~N(0,1), 则E(x)=0, D(X)=1
2.2 均方根误差

2.3 标准偏差
标准偏差（也称标准离差或均方根差）是反映一组测量数据离散程度的统计指标。
是指统计结果在某一个时段内误差上下波动的幅度。是正态分布的重要参数之
一。是测量变动的统计测算法。它通常不用作独立的指标而与其他指标配合使用。
标准偏差在误差理论、质量管理、计量型抽样检验等领域中均得到了广泛的应用。
因此，标准偏差的计算十分重要。它的准确与否对器具的不确定度、测量的不确
定度以及所接收产品的质量有重要影响。然而在对标准偏差的计算中，不少人不
论测量次数多少，均按贝塞尔公式计算。
2.4 均方误差
均方误差：一列真误差平方的平均值的平方根。

均方误差的定义由下式表示：nxnxxxxn22232221......
这是一组观测中任何一个单一观测值的均方误差。
2.5 残差
算术平均值与任一实际观测值之差称为该观测值的残差。
2.6 标准差

由于真误差......,,321xxx是不知道的，所以我们只能使用可以确定的残差

......,,321vvv
。但首先我们必须进一步明确一些定义，以便与统计学法则相一致。
前面已经提到：
n
x
xvii

式中，iv--任意一个残差
i
x
--相应的真误差

n
x

--平均误差

均方误差（涉及真误差）与所谓标准差（涉及残差）并不完全相等。如果说一组
观测中任何一个单一观测的均方误差是nx2，则其标准差的定义是：

1......12322212nvvvn
v
s


有时也可以把s的值表示为nv2，而无需用12nv，因为当n无限增大时，
二者之差是微不足道的。一旦观测值的数目达到10,15或者更多时，使用两式中
的任何一个实际上都无害于事。这正好表明，为什么可以认为均方误差与标准差
是具有相同意义而且是等量的。
2.7 标准误差
我们经常希望知道算术平均值的不确定度究竟有多大。可以推想，一列观测值的
算术平均值的不确定度总是比任何单一观测值的要小得多。实际上，这里虽未推
导，但我们已知：一组观测值得算术平均值的均方误差等于单一观测值的均方误
差除以观测值个数的平方根。我们称它为（算术平均值的）标准误差，而不叫作
“标准差”。因此算术平均值的标准误差就等于单一观测值的标准差除以观测值
个数的平方根。

)1(2nn
v
n
s
m




2.7中间误差=或然误差
将各误差取绝对值，即：xxi，从小到大排列居中者。若n为奇数，为

居中的一个；若n为偶数，为居中两个的平均。为恒正值，有稳健性，可
避免导常值影响。
2.8平均偏差（平均误差）
平均偏差是指单项测定值与平均值的偏差（取绝对值）之和，除以测定次数。它
是代表一组测量值中任意数值的偏差。所以平均偏差不计正负。
平均偏差的公式：
平均偏差表示多次测量的总体偏离程度，即：
n
xxdnii

1

其中，d表示平均偏差；ix表示单项测定结果；n表示测量次数；x表示n次测
量结果的平均值；xxi表示单项测定结果与平均值的绝对偏差。
例如：分析铁矿石中铁的质量分数，得到如下数据：37.45,37.20,37.50,37.30,37.25
（%），计算测结果的平均值、平均偏差。

解：平均值：%34.37x
各次测量的偏差分别是：0.11，-0.14，-0.04,0.16，-0.19
平均偏差：d=（0.11+0.14+0.04+0.16+0.19）/5=0.13%
2.9 中误差

三 两者之间的联系