等比数列的有关概念公式与性质

等比数列的有关概念公式与性质

一、知识要点：1．等比数列的概念（1）一个数列{}n a ：若满足

1

(n n

a q q a +=为常数），则数列{}n a 叫做等比数列 （2）等比数列的证明方法：定义法1

(n n

a q q a +=为常数），其中 0,0n

q a ≠≠ 或 11n n n n a a a a +-= (2)n ≥。 （3）等比中项：若,,a A b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项。提醒：不是任何两数都有等比中项，只

有同号两数才存在等比中项，且有两个 由此得非零实数,,a A b 成等比数列⇔

ab A =2

2.等比数列主要公式

（1）等比数列的通项公式：1

*11()n n n a a a q q n N q

-==

⋅∈；（2）两项之间的关系式：m

n m n q a a -= （3）前n 项的和公式为：11

(1)

,11,1

n n a q q S q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a q q q S na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩

3.等比数列的性质： （1）当m n p q +=

+时，则有q p n m a a a a ..=，特别地当2m n p +=时，则有2.p n m a a a =

(2)若{}n a 是等比数列，且公比1q ≠-，则数列232,,n n n n n S S S S S -- ，…也是等比数列，公比n q Q

=；当

1q =-，且n 为偶数时，数列232,,n n n n n S S S S S --,…是常数数列各项均为0，它不是等比数列.

(3)若10,1a q >>，则{}n a 为递增数列；若10,1a q <>, 则{}n a 为递减数列；若10,01a q ><< ，则{}n a 为递减数列；若10,01a q <<<, 则{}n a 为递增数列；若0q <，则{}n a 为摆动数列；若1q =，则{}n a 为常数列.

(4)当1q

≠时，b aq q

a q q

a S n n n +=-+

--=111

1，这里0a b +=，但0,0a b ≠≠，这是等比数列前n 项和公式特征. (5) 在等比数列{}n a 中，当项数为偶数2n 时，S qS =偶奇；项数为奇数21n -时，1S a qS =+奇偶.

1

212321--=⋅⋅⋅n n n a a a a a

(6)数列{}n a 既成等差数列又成等比数列，那么数列{}n a 是非零常数数列，故常数数列{}n a 仅是此数列既成

等差数列又成等比数列的必要非充分条件。

(7)若{}n a 是等比数列，则下标成等差数列的子列构成等比数列； (8)两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （9）若{}n a 是正项等比数列，则数列{}n c a log （1,0≠>c c ）为等差数列。

二、典型例题：

例1．（1）在等比数列10

20

144117,5,6,}{a a a a a a a n 则

中=+=⋅= （ ） A ．2332或 B ．2332--或 C ．515--或 D ．2

131-或

（2）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则52

S

S =（ ）

（A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11- （3）已知{}n a 是等比数列，4

1

252=

=a a ，，则13221++++n n a a a a a a =（ ） （A ）16（n --41） （B ）16（n --21） （C ）32（n --41） （D ）32（n

--21）

（4）三个数,,1,,1,1,12

2成等比数列又成等差数列n m n

m 的值为则

n m n m ++22 （ ）

A ．－1或3

B ．－3或1

C ．1或3

D ．－3或－1

（5）定义在(,0)

(0,)-∞+∞上的函数()f x ,如果对于任意给定的等比数列{}n a , {()}n f a 仍是等比数列,则称

()f x 为“保等比数列函数”. 现有定义在(,0)

(0,)-∞+∞上的如下函数:①2()f x x =; ②()2x f x =;

③()f x =; ④()ln ||f x x =. 则其中是“保等比数列函数”的()f x 的序号为（ ） A ．① ②

B ．③ ④

C ．① ③

D ．② ④

（6）已知等比数列{}n a 为递增数列,且2

51021,2()5n n n a a a a a ++=+=,则数列的通项公式n a =______________.

（7）在等比数列{}n a 中，已知1231a a a ++=，4562a a a ++=-，则该数列前15项的和15S = （8）已知ABC ∆

的等比数列,则其最大角的余弦值为_________. 例2．已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，且1234123411112,32.a a a a a a a a ⎛⎫⎛⎫

+=++=+ ⎪

⎪⎝⎭⎝⎭

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设2

2log n n n b a a =+，求数列{}n b 的前n 项和.n T

例3．（1）已知等比数列

{}n a 的公比为1=

2q .(1)若31

=4

a ,求数列{}n a 的前n 项和;(Ⅱ)证明:对任意k N +∈,+2,,k k k a a a 成等差数列.

（2）设

{}n a 的公比不为1的等比数列,其前n 项和为n S ,且534,,a a a 成等差数列.

(1)求数列{}n a 的公比; (2)证明:对任意k N +∈,21,,k k k S S S ++成等差数列.