微分方程(习题及解答)

第十二章微分方程

§12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ．

(A)2xy y '=； (B)222x y C +=；

2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )．

(A)1； (B)2； (C )3

； (D )4；答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )．

(A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =；

(C)cos sin y x C x =+； (D )12cos sin y C x C x =+ 答(D).

4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )．

(A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=；

5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )．

(A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=；

二、填空题

1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ．答：是 .

2．微分方程3d d 0,4x x y y y x

=+==的解是．答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是．答：32

x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是．答： Cx y e =.

5．微分方程'=的通解是．答：arcsin arcsin y x C =+．

6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是

．答：Cx y e x =．三、解答题

1．求下列微分方程的通解．

(1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+；

解：解：

(3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x

++= 解：解：

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e

y -='==； (2) 2

sin ln ,x y x y y y e π='==；解：解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4)

d 10d x y y x

+=．解：解：

3*．设连续函数20()d ln 22x

t f x f t ??=+ ???

?，求()f x 的非积分表达式．答：()ln 2x f x e =?． §12.2 一阶线性微分方程、全微分方程

一、单项选择题

1. 下列所给方程中，是一阶微分方程的是( ).

2d (A)3(ln )d y y x y x x

+=； 52d 2(B)(1)d 1y y x x x -=++ 2d (C)()d y x y x

=+； (D )()d ()d x y x x y y -++=．答(B). 2. 微分方程2()d 2d 0x y x xy y ++=的方程类型是( )．

(A) 齐次微分方程； (B)一阶线性微分方程；

3. 方程y y x y x ++='22是( )．

(A)齐次方程； (B)一阶线性方程；

(C)伯努利方程； (D)可分离变量方程. 答(A).

二、填空题

1．微分方程

d d x y y

e x

-+=的通解为．答：x x y Ce xe --=+． 2．微分方程2()d d 0x y x x y --=的通解为．答：3

x xy C -=． 3．方程()(d d )d d x y x y x y +-=+的通解为．答：ln()x y x y C --+=．三、简答题

1．求下列微分方程的通解：

(1) sin cos x y y x e -'+=； (2) d ln d y y x y x x

=；解：解：

(3) 232xy y x x '+=++； (4) tan sin 2y y x x '+=；

解：解： (5) 2d (6)20d y y x y x

-+=； (6) (2)d 0y y e xe y y +-=；解：解：

(7) 222(2)d ()d 0a xy y x x y y ---+=．

解：

2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解． (1) 0d 38,2d x y y y x

=+==； (2) d sin ,1d x y y x y x x x π=+==．解：解： 3*．求伯努利方程

2d 3d y xy xy x -=的通解．解：

§12.3 可降阶的高阶微分方程、二阶线性微分方程

一、单项选择题

1. 方程x y sin ='''的通解是( ).

(A)

32212

1cos C x C x C x y +++=； (B)1cos C x y +=； (C)322121sin C x C x C x y +++=； (D)x y 2sin 2=. 答(A) 2. 微分方程y y xy '''''+=满足条件21x y ='=，21x y ==的解是( ).

(A)2(1)y x =-； (B )2

12124y x ??=+- ???； (C)211(1)22y x =-+； (D )2

1524y x ??=-- ??

?．答(C). 3. 对方程2y y y '''=+，以下做法正确的是( )．

(A)令()y p x '=，y p '''=代入求解； (B)令()y p y '=，y p p '''=代入求解；

(C)按可分离变量的方程求解； (D )

按伯努利方程求解．答(B). 4. 下列函数组线性相关的().是

(A)22,3x x e e ; (B)23,x x e e ； (C)sin ,cos x x ; (D )22,x x e xe ．答(A).

5. 下列方程中，二阶线性微分方程是( )．

(A)32()0y y y '''-=； (B)2x y yy xy e '''++=；

(A)112y C y y =+； (B)1122y C y C y =+；

(D)1122y C y C y =+，其中1y 与2y 线性无关．答(D).

7. 下列函数组线性相关的().是

22(A),3x x e e ； 23(B),x x e e ；

(C)sin ,cos x x ； 22(D),x x e xe ．答(A).

二、填空题

1．微分方程sin y x x ''=+的通解为

．答： 312sin .6x y x C x C =-++ 2．微分方程y y x '''=+的通解为

．答： 212.2x x y C e x C =--+ 三、简答题

1．求下列微分方程的通解．

(1) 21()y y '''=+； (2) 21()2

y y '''=．解：解：

2．求方程2()0y x y '''+=满足条件12x y ='=，11x y ==-的特解．

解：

§12.4 二阶常系数线性齐次微分方程

一、单项选择题

1. 下列函数中，不是微分方程0y y ''+=的解的是( )．

(A)sin y x =； (B)cos y x =；

(C)x y e =； (D)sin cos y x x =+．答(C).

2. 下列微分方程中，通解是312x x y C e C e -=+的方程是( )．

(A)230y y y '''--=； (B)250y y y '''-+=；

3. 下列微分方程中，通解是12x x y C e C xe =+的方程是( )．

(A)20y y y '''--=； (B)20y y y '''-+=；

4. 下列微分方程中，通解是12(cos2sin 2)x y e C x C x =+的方程是( )．

(A)240y y y '''--=； (B)240y y y '''-+=

5. 若方程0y py qy '''++=的系数满足10p q ++=，则方程的一个解是( )．

(A)x ； (B)x e ； (C )x e -； (D)sin x ．答(B). 6*. 设()y f x =是方程220y y y '''-+=的一个解，若00()0,()0f x f x '>=，则()f x 在0x x =处

( )．

(A)0x 的某邻域内单调减少； (B )0x 的某邻域内单调增加；

二、填空题

1．微分方程的通解为40y y '''-=的通解为．答：412x y C C e =+．

2．微分方程20y y y '''+-=的通解为．答：212x x y C e C e -=+．

3．微分方程440y y y '''-+=的通解为．答：2212x x y C e C xe =+．

4．微分方程40y y ''+=的通解为．答：12cos2sin 2y C x C x =+．

5．方程6130y y y '''++=的通解为．答：312(cos2sin 2)x y e

C x C x -=+．

三、简答题

1．求下列微分方程的通解： (1) 20y y y '''--=； (2) 22d d 420250d d x x x t t

-+=．解：解：

2．求下列方程满足初始条件的特解． (1) 00430,10,6x x y y y y y ==''''-+===； (2) 00250,5,2x x y y y y =='''+===．解：解：

§12.5 二阶常系数线性非齐次微分方程

一、单项选择题

1. 微分方程2y y x ''+=的一个特解应具有形式( )．

2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；

2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C).

2. 微分方程2y y x '''+=的一个特解应具有形式( )．

2(A)Ax ； 2(B)Ax Bx +；

2(C)Ax Bx C ++； 2(D)()x Ax Bx C ++．答(C).

3. 微分方程256x y y y xe -'''-+=的一个特解应具有形式( )．

2(A)x Axe -； 2(B)()x Ax B e -+； 22(C)()x Ax Bx C e -++； 2(D )()x x A x

B e -+．答(B). 4. 微分方程22x y y y x e '''+-=的一个特解应具有形式( )．

2(A)x Ax e ； 2(B)()x Ax Bx e +；

2(C)()x x Ax Bx C e ++； 2(D )()x A x B x C e

++．答(C). 5. 微分方程23sin x y y y e x '''+-=的一个特解应具有形式( )．

(A)(cos sin )x e A x B x +； (B )s i n x A e x ；

(C)(sin cos )x xe A x B x +； (D)sin x Axe x 答(A).

二、填空题

1．微分方程34y y x x ''+=+的一个特解形式为答：3*48

x x y =-． 2．微分方程2y y x '''+=的一个特解形式为 . 答：*()y x Ax B =+．

3．微分方程56x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：*()x y Ax B e =+．

4．微分方程356x y y y xe '''-+=的一个特解形式为 . 答：3*()x y x Ax B e =+．

5．微分方程sin y y x ''-=的一个特解形式为 . 答：*sin y A x =．

6．微分方程sin y y x ''+=的一个特解形式为 . 答：*(cos sin )y x A x B x =+.

三、简答题

1．求下列微分方程的通解．：

(1) 22x y y y e '''+-=； (2) 5432y y y x '''++=-；

解：解：

(3) 269(1)x y y y x e '''-+=+．

解：

常微分方程练习题及答案复习题)

常微分方程练习试卷一、填空题。 1. 方程23 2 10d x x dt +=是阶（线性、非线性）微分方程. 2. 方程 ()x dy f xy y dx =经变换_______，可以化为变量分离方程 . 3. 微分方程 3230d y y x dx --=满足条件(0)1,(0)2y y '==的解有个. 4. 设常系数方程 x y y y e αβγ'''++=的一个特解*2()x x x y x e e xe =++，则此方程的系数α= ，β= ，γ= . 5. 朗斯基行列式 ()0W t ≡是函数组12(),(),,()n x t x t x t 在a x b ≤≤上线性相关的条件. 6. 方程 22(2320)0xydx x y dy ++-=的只与y 有关的积分因子为 . 7. 已知 ()X A t X '=的基解矩阵为()t Φ的，则()A t = . 8. 方程组 20'05??=???? x x 的基解矩阵为． 9.可用变换将伯努利方程化为线性方程. 10 .是满足方程 251y y y y ''''''+++= 和初始条件的唯一解. 11.方程的待定特解可取的形式: 12. 三阶常系数齐线性方程 20y y y '''''-+=的特征根是二、计算题 1.求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 2．求解方程13 dy x y dx x y +-=-+. 3. 求解方程 222()0d x dx x dt dt += 。 4．用比较系数法解方程. . 5．求方程 sin y y x '=+的通解. 6．验证微分方程 22(cos sin )(1)0x x xy dx y x dy -+-=是恰当方程，并求出它的通解.

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1) (22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程

1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ；（3）23xy xy dx dy =-；（4）0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）21 ,12==+'=x y y y y x 3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解（1）1 ,022=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-='y x y

3.1 常微分方程课后答案

习题3.1 1 求方程dx dy =x+y 2通过点(0,0)的第三次近似解；解：取0)(0=x ? 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==++=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x +=+=++=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003+++=?? = 118524400 1160120121x x x x +++ 2 求方程dx dy =x-y 2通过点(1,0)的第三次近似解；解：令0)(0=x ? 则 20020012 1)()(x xdx dx y x y x x x ==-+=??? 522200210220 121])21([])([)(x x dx x x dx x x y x x x -=-=-+=???? dx x x x y x x ])20 121([)(252003--+=?? =118524400 1160120121x x x x -+- 3 题求初值问题： ?????=-=0 )1(2y x dx dy R ：1+x ≤1，y ≤1 的解的存在区间，并求解第二次近似解，给出在解的存在空间的误差估计；解：因为 M=max{22y x -}=4 则h=min(a,M b )=4 1 则解的存在区间为0x x -=)1(--x =1+x ≤4 1 令 )(0X ψ=0 ; )(1x ψ=y 0+?-x x x 0)0(2dx=31x 3+31;

)(2x ψ =y 0+])3131([2132?-+-x x x dx=31x 3-9x -184x -637x +4211 又 y y x f ??),(2≤=L 则：误差估计为：)()(2x x ψ-ψ≤32 2 )12(*h L M +=2411 4 题讨论方程：31 23y dx dy =在怎样的区域中满足解的存在唯一性定理的条件，并求通过点（0，0）的一切解；解：因为y y x f ??),(=3221-y 在y 0≠上存在且连续；而312 3y 在y 0 σ≥上连续由 3123y dx dy =有：y =（x+c ）23 又因为y(0)=0 所以：y =x 2 3 另外 y=0也是方程的解；故方程的解为：y =?????≥00023 x x x 或 y=0; 6题证明格朗瓦耳不等式：设K 为非负整数，f(t)和g(t)为区间βα≤≤t 上的连续非负函数，

2.5常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.5 2．ydy x xdy ydx 2=- 。解： 2x ，得： ydy x xdy ydx =-2 c y x y d +-=221 即c y x y =+2 2 1 4． xy x y dx dy -= 解：两边同除以x ，得 x y x y dx dy - =1 令u x y = 则dx du x u dx dy += 即 dx du x u dx dy +=u u -=1 得到 ()2ln 2 1 1y c u -=，即2 ln 21?? ? ??-=y c y x 另外0=y 也是方程的解。 6．()01=-+xdy ydx xy 解：0=+-xydx xdy ydx x d x y x d y y d x -=-2 得到c x y x d +-=??? ? ??2 21

即 c x y x =+2 2 1 另外0=y 也是方程的解。 8. 32 x y x y dx dy += 解：令 u x y = 则： 21u x u dx du x u dx dy +=+= 即2 1u x dx du x = 得到22x dx u du = 故c x u +-=-11 即 21 1x x c y += 另外0=y 也是方程的解。 10． 2 1?? ? ??+=dx dy dx dy x 解：令 p dx dy = 即p p x 2 1+= 而 p dx dy =故两边积分得到 c p p y +-=ln 2 12 因此原方程的解为p p x 21+=，c p p y +-=ln 212 。 12.x y xe dx dy e =?? ? ??+-1 解： y x xe dx dy +=+1

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念常微分方程：含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*）说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导）分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2，代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程第三版答案2.1

常微分方程习题2.1 1. xy dx dy 2=,并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得。故它的特解为代入得把即两边同时积分得：e e x x y c y x x c y c y xdx dy y 2 2 ,11,0,ln ,21 2 =====+== ,0)1(.22 =++dy x dx y 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解. 解：对原式进行变量分离得：。故特解是时，代入式子得。当时显然也是原方程的解当即时，两边同时积分得；当x y c y x y x c y c y x y dy dx x y ++=====++=+=+≠=+- 1ln 11 ,11,001ln 1 ,11ln 0,1112 3 y xy dx dy x y 32 1++ = 解：原式可化为： x x y x x y x y x y y x y c c c c x dx x dy y y x y dx dy 2 22 2 22 2 2 3 22 3 2 )1(1)1)(1(),0(ln 1ln 2 1ln 1ln 2 1 1 1,0111=++ =++ ≠++-=+ +=+≠+ ? + =+）故原方程的解为（即两边积分得故分离变量得显然

.0;0;ln ,ln ,ln ln 0 110000 )1()1(4===-==-+=-++=-=+≠===-++x y c y x xy c y x xy c y y x x dy y y dx x x xy x y xdy y ydx x 故原方程的解为即两边积分时，变量分离是方程的解，当或解：由：

常微分习题解答

《常微分方程》习题解答东北师范大学微分方程教研室(第二版) 高等教育出版社

习题 1 求下列可分离变量微分方程的通解： (1) xdx ydy = 解：积分，得 12 22 121c x y += 即 c y x =-22 (2) y y dx dy ln = 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时， dx y y dy =ln ，积分，得0ln ,ln ln 11≠=±=+=c ce e e y c x y x x c ，即x ce e y = (3) y x e dx dy -= 解：变形得 dx e dy e x y =积分，得c e e x y =- (4) 0cot tan =-xdy ydx 解：变形得 x y dx dy cot tan = ，0=y 为特解，当0≠y 时，dx x x dy y y cos sin sin cos =. 积分，得11cos sin ln ,cos ln sin ln c x y c x y =+-=, 即0,cos sin 1 ≠=±=c c e x y c 2．求下列方程满足给定初值条件的解： (1) 1)0(),1(=-=y y y dx dy 解： 1, 0==y y 为特解，当1, 0≠≠y y 时，dx dy y y =--)1 11( ，积分，得 0,1 ,1 ln 11≠=±=-+=-c ce e e y y c x y y x x c 将1)0(=y 代入，得 0=c ，即1=y 为所求的解。 (2) 1)0(,02)1(2 2 ==+'-y xy y x 解： 0,1 222 =--=y x xy dx dy 为特解，当0≠y 时， dx x x y dy 1 222--=，积分，得 c x y +--=- 1ln 1 2

常微分方程第三版课后习题答案

习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时 c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1 =-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解 x=0,y=1时 c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+3 1 x x + y y 21+dy=3 1 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外 x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0

解：原方程为： dx dy =-y x y x +- 令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即 ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为： tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32 +=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c. 9.x(lnx-lny)dy-ydx=0 解：原方程为： dx dy =x y ln x y

《常微分方程》第三版答案

《常微分方程》第三版答案习题1.2 1． dx dy =2xy,并满足初始条件：x=0,y=1的特解。解： y dy =2xdx 两边积分有：ln|y|=x 2+c y=e 2 x +e c =cex 2 另外y=0也是原方程的解，c=0时，y=0 原方程的通解为y= cex 2,x=0 y=1时c=1 特解为y= e 2 x . 2. y 2 dx+(x+1)dy=0 并求满足初始条件：x=0,y=1的特解。解：y 2dx=-(x+1)dy 2 y dy dy=-1 1+x dx 两边积分: - y 1=-ln|x+1|+ln|c| y=|)1(|ln 1+x c 另外y=0,x=-1也是原方程的解x=0,y=1时c=e 特解：y= | )1(|ln 1 +x c 3．dx dy =y x xy y 321++ 解：原方程为：dx dy =y y 21+31 x x + y y 21+dy=31 x x +dx 两边积分：x(1+x 2 )(1+y 2 )=cx 2 4. (1+x)ydx+(1-y)xdy=0 解：原方程为： y y -1dy=-x x 1 +dx 两边积分：ln|xy|+x-y=c 另外x=0,y=0也是原方程的解。 5．（y+x ）dy+(x-y)dx=0 解：原方程为： dx dy =-y x y x +-

令 x y =u 则dx dy =u+x dx du 代入有： -1 12++u u du=x 1dx ln(u 2+1)x 2=c-2arctgu 即ln(y 2+x 2)=c-2arctg 2 x y . 6. x dx dy -y+22y x -=0 解：原方程为： dx dy =x y +x x | |-2)(1x y - 则令 x y =u dx dy =u+ x dx du 2 11u - du=sgnx x 1 dx arcsin x y =sgnx ln|x|+c 7. tgydx-ctgxdy=0 解:原方程为：tgy dy =ctgx dx 两边积分：ln|siny|=-ln|cosx|-ln|c| siny= x c cos 1=x c cos 另外y=0也是原方程的解，而c=0时，y=0. 所以原方程的通解为sinycosx=c. 8 dx dy +y e x y 32+=0 解：原方程为：dx dy =y e y 2 e x 3 2 e x 3-3e 2 y -=c.

常微分方程习题及答案.[1]

第十二章常微分方程 (A) 一、是非题 1．任意微分方程都有通解。( ) 2．微分方程的通解中包含了它所有的解。( ) 3．函数x x y cos 4sin 3-=是微分方程0=+''y y 的解。( ) 4．函数x e x y ?=2是微分方程02=+'-''y y y 的解。( ) 5．微分方程0ln =-'x y x 的通解是()C x y += 2 ln 2 1 (C 为任意常数)。( ) 6．y y sin ='是一阶线性微分方程。( ) 7．xy y x y +='33不是一阶线性微分方程。( ) 8．052=+'-''y y y 的特征方程为0522=+-r r 。( ) 9． 2 2 1xy y x dx dy +++=是可分离变量的微分方程。( ) 二、填空题 1．在横线上填上方程的名称 ①()0ln 3=-?-xdy xdx y 是。 ②()()022=-++dy y x y dx x xy 是。 ③x y y dx dy x ln ?=是。 ④x x y y x sin 2+='是。 ⑤02=-'+''y y y 是。 2．x x y x y cos sin =-'+'''的通解中应含个独立常数。 3．x e y 2-=''的通解是。 4．x x y cos 2sin -=''的通解是。 5．124322+=+'+'''x y x y x y x 是阶微分方程。 6．微分方程()06 ='-''?y y y 是阶微分方程。

7．x y 1 =所满足的微分方程是。 8．x y y 2='的通解为。 9． 0=+ x dy y dx 的通解为。 10． ()25 11 2+=+- x x y dx dy ，其对应的齐次方程的通解为。 11．方程()012=+-'y x y x 的通解为。 12．3阶微分方程3x y ='''的通解为。三、选择题 1．微分方程()043='-'+''y y y x y xy 的阶数是( )。 A ．3 B ．4 C ．5 D ． 2 2．微分方程152=-''-'''x y x y 的通解中应含的独立常数的个数为( )。 A ．3 B ．5 C ．4 D ． 2 3．下列函数中，哪个是微分方程02=-xdx dy 的解( )。 A ．x y 2= B ．2x y = C ．x y 2-= D ． x y -= 4．微分方程32 3y y ='的一个特解是( )。 A ．13+=x y B ．()3 2+=x y C ．()2 C x y += D ． ()3 1x C y += 5．函数x y cos =是下列哪个微分方程的解( )。 A ．0=+'y y B ．02=+'y y C ．0=+y y n D ． x y y cos =+'' 6．x x e C e C y -+=21是方程0=-''y y 的( )，其中1C ，2C 为任意常数。 A ．通解 B ．特解 C ．是方程所有的解 D ．上述都不对 7．y y ='满足2|0==x y 的特解是( )。 A ．1+=x e y B ．x e y 2= C ．22x e y ?= D ． x e y ?=3 8．微分方程x y y sin =+''的一个特解具有形式( )。 A ．x a y sin *= B ．x a y cos *?=

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念 1. 验证下列各题所给出的隐函数是微分方程的解. （1）y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 （2）?'=''=+y 0 222t -)(,1e y y y x dt 2..已知曲线族，求它相应的微分方程（其中21C , ,C C 均为常数）（一般方法：对曲线簇方程求导，然后消去常数，方程中常数个数决定求导次数.）（1）1)(22=++y C x ；（2）x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3．写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。（1）曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。（2）曲线在点P ()y x ,处的法线x 轴的交点为Q,，PQ 为y 轴平分。（3）曲线上的点P ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2，且曲线过点（2，0）。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解（1）2211y y x -='-；（2）0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ；（3） 23xy xy dx dy =-；（4）0)22()22 (=++-++dy dx y y x x y x . 2．求下列微分方程的特解（1）0 ,02=='=-x y x y e y ；（2）2 1 ,12= =+'=x y y y y x

3. 求下列微分方程的通解（1）)1(ln +='x y y y x ；（2）03)(233=-+dy xy dx y x . 4. 求下列微分方程的特解（1） 1 ,0 22=-==x y y x xy dx dy ；（2）1 ,02)3(0 22==+-=x y xydx dy x y . 5. 用适当的变换替换化简方程，并求解下列方程（1）2)(y x y +='；（2）)ln (ln y x y y y x +=+' （3）11 +-= 'y x y （4）0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线，使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线和x 轴所围城三角形面积等于常数2a . 7. 设质量为m 的物体自由下落，所受空气阻力与速度成正比，并设开始下落时)0(=t 速度为0，求物体速度v 与时间t 的函数关系. 8. 有一种医疗手段，是把示踪染色注射到胰脏里去，以检查其功能.正常胰脏每分钟吸收掉%40染色，现内科医生给某人注射了0.3g 染色，30分钟后剩下0.1g ，试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律，此人胰脏是否正常？ 9.有一容器内有100L 的盐水，其中含盐10kg ，现以每分钟3L 的速度注入清水，同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出，问一小时后，容器内尚有多少盐？

微分方程习题及解答

第十二章微分方程 §12.1 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=．答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4；答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解? ．答：是 . 2．微分方程3d d 0,4x x y y y x =+==的解是．答：2225x y +=． 3．微分方程23550x x y '+-=的通解是．答：3252 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是．答： Cx y e =. 5．微分方程'=的通解是．答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是．答：Cx y e x =．三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+；解：解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++= 解：解： 2．求下列微分方程满足所给初始条件的特解： (1) 20,0x y x y e y -='==； (2) 2 sin ln ,x y x y y y e π='==；解：解： (3) 2d 2d 0,1x x y y x y =+==； (4) d 10d x y y x +=．解：解： 3*．设连续函数20()d ln 22x t f x f t ??=+ ????，求()f x 的非积分表达式．答：()ln 2x f x e =?．

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湖北师范学院优质课程《常微分方程》试题库及试题解答课程负责人：李必文数学系

2005年 3月 18日选择题（每小题 4 分） 1、下列方程中为常微分方程的是（） (A) x2 - 2x 1 0 (B) y' xy2 (C) u 2u 2u (D) y x2 c (c为常数） t x2 y2 2、下列微分方程是线性的是（） (A)y ' x2 y2 (B) y" y2 e x (C) y" x2 0 (D) y'- y xy 2 3、方程y " 3y ' 2 y x2e-2 x特解的形状为( ) (A) y1 ax2ey-2 x (B) y1 (ax2 bx c)e-2 x (C) y1 x2 ( ax2 bx c)e-2 x (D) y1 x2 (ax2 bx c)e-2x 4、下列函数组在定义域内线性无关的是（） (A)4, x (B)x,2 x, x2 (C)5,cos 2 x,sin 2 x (D) 1,2, x, x 2 5、微分方程xdy - ydx y2 e y dy 的通解是( ) (A) x y(c - e y ) (B) x y(e y c) (C) y x(e x c) (D) y x(c - e y ) 6、下列方程中为常微分方程的是（） (A) t2 dt xdx 0 (B) sin x 1 (C) y x 1 c (c 为常数） 2u 2u (D) 2 y2 x

7、下列微分方程是线性的是（） (A)y' 1 y2(B)dy1 (C)y '2by cx(D) dx 1 xy y ' xy40 8、方程y "- 2 y ' 2y e x (x cos x 2sin x) 特解的形状为( ) (A) y1 e x[( Ax B)cos x C sin x] (B) y1 e x [ Ax cos x C sin x] (C) y1 e x[( Ax B) cosx ( Cx D ) sin x] (D) y1 xe x[( Ax B) cos x (Cx D ) sin x] 9、下列函数组在定义域内线性无关的是（） (A) 1, x, x3(B)2x2 , x, x2 (C) 1,sin2x,cos2 x(D)5,sin 2 (x 1),cos2 (x1) 10、微分方程ydx - xdy y2exdx 的通解是( ) (A) y x(e x c) (B) x y( e x c) (C) x y(c - e x) (D) y ( x - ) x e c 11、下列方程中为常微分方程的是（） (A) x2 y2 -1 0 (B) y ' x2 y (C) 2 u 2 u 2u (D) x y2 c (c为常数） 2 x2 y2 12、下列微分方程是线性的是（） 2 (C)y =y3 +sin x (D)y +y=y2cos x (A)(B) y +6 y =1 13、方程y+y=2sin x特解的形状为( )

常微分方程课后答案(第三版)王高雄

习题2.2 求下列方程的解。 1．dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 2 1e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -21 (x x cos sin +)是原方程的解。 2．dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ?-dt 3 (?e t 2 e -? -dt 3c dt +) =e t 3- (5 1e t 5+c) =c e t 3-+5 1e t 2 是原方程的解。 3．dt ds =-s t cos +21t 2sin 解：s=e ?-tdt cos (t 2sin 2 1?e dt dt ?3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为：dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy +1212--y x x =0 解：原方程可化为：dx dy =-1212+-y x x ?=-dx x x e y 1 2(c dx e dx x x +?-221) )21(ln 2+=x e )(1 ln 2?+--c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 234xy x x += 解：dx dy 234xy x x += =23y x +x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u +=2u x 21u dx du = dx du u =2 c x u +=33 1 c x x u +=-33 （*）将x y u =带入（*）中得：3433cx x y =-是原方程的解.

常微分方程王高雄第三版答案

习题2.2 求下列方程的解 1． dx dy =x y sin + 解： y=e ?dx (?x sin e ?-dx c dx +) =e x [- 21 e x -(x x cos sin +)+c] =c e x -2 1 (x x cos sin +)是原方程的解。 2． dt dx +3x=e t 2 解：原方程可化为： dt dx =-3x+e t 2 所以：x=e ? -dt 3 (?e t 2 e -?-dt 3c dt +) =e t 3- (5 1 e t 5+c) =c e t 3-+5 1 e t 2 是原方程的解。 3． dt ds =-s t cos + 21t 2sin 解：s=e ? -tdt cos (t 2sin 2 1 ?e dt dt ? 3c + ) =e t sin -(?+c dt te t t sin cos sin ) = e t sin -(c e te t t +-sin sin sin ) =1sin sin -+-t ce t 是原方程的解。 4． dx dy n x x e y n x =- ， n 为常数. 解：原方程可化为： dx dy n x x e y n x += )(c dx e x e e y dx x n n x dx x n +??=?- )(c e x x n += 是原方程的解.

5． dx dy + 1212 --y x x =0 解：原方程可化为： dx dy =-1212 +-y x x ? =-dx x x e y 2 1 2(c dx e dx x x +? -2 21) ) 2 1(ln 2 + =x e )(1ln 2 ?+- -c dx e x x =)1(1 2 x ce x + 是原方程的解. 6． dx dy 2 3 4xy x x += 解： dx dy 2 3 4 xy x x += =2 3y x + x y 令 x y u = 则 ux y = dx dy =u dx du x + 因此：dx du x u += 2 u x 2 1u dx du = dx du u =2 c x u +=3 31 c x x u +=-33 （*）将 x y u =带入（*）中得：3 4 3 3cx x y =-是原方程的解.

微分方程(习题及解答)

第十二章微分方程 § 微分方程基本概念、可分离变量的微分方程、齐次微分方程一、单项选择题 1. 下列所给方程中，不是微分方程的是( ) ． (A)2xy y '=； (B)222x y C +=； (C)0y y ''+=； (D)(76)d ()d 0x y x x y y -++=．答(B). 2. 微分方程4(3)520y y xy y '''+-=的阶数是( )． (A)1； (B)2； (C)3； (D)4；答(C). 3. 下列所给的函数，是微分方程0y y ''+=的通解的是( )． (A)1cos y C x =； (B)2sin y C x =； (C)cos sin y x C x =+； (D)12cos sin y C x C x =+ 答(D). 4. 下列微分方程中，可分离变量的方程是( )． (A)x y y e +'=； (B)xy y x '+=； (C)10y xy '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(A). 5. 下列微分方程中，是齐次方程是微分方程的是( )． (A)x y y e +'=； 2(B)xy y x '+=； (C)0y xy x '--=； (D)()d ()d 0x y x x y y -++=．答(D). 二、填空题 1．函数25y x =是否是微分方程2xy y '=的解．答：是 . 2．微分方程 3d d 0,4x x y y y x =+==的解是．答：2225x y +=． 3．微分方程2 3550x x y '+-=的通解是．答：32 52 x x y C =++． 4．微分方程ln 0xy y y '-=的通解是．答： Cx y e =. 5'=的通解是．答：arcsin arcsin y x C =+． 6．微分方程 (ln ln )xy y y y x '-=-的通解是．答： Cx y e x =．三、解答题 1．求下列微分方程的通解． (1) 22sec tan d sec tan d 0x y x y x y +=； (2) 2()y xy a y y '''-=+；解：解： (3) d 10d x y y x +=； (4) 23d (1)0.d y y x x ++=

(完整版)常微分方程习题及解答

常微分方程习题及解答一、问答题： 1．常微分方程和偏微分方程有什么区别？微分方程的通解是什么含义? 答：微分方程就是联系着自变量，未知函数及其导数的关系式。常微分方程，自变量的个数只有一个。偏微分方程，自变量的个数为两个或两个以上。常微分方程解的表达式中，可能包含一个或几个任意常数，若其所包含的独立的任意常数的个数恰好与该方程的阶数相同，这样的解为该微分方程的通解。 2．举例阐述常数变易法的基本思想。答：常数变易法用来求线性非齐次方程的通解，是将线性齐次方程通解中的任意常数变易为待定函数来求线性非齐次方程的通解。例：求 ()()dy P x y Q x dx =+的通解。首先利用变量分离法可求得其对应的线性齐次方程的通解为()P x dx y c ?=l ，然后将常数c 变易为x 的待定函数()c x ，令()()P x dx y c x ? =l ，微分之，得到 ()()()()()P x dx P x dx dy dc x c x P x dx dx ?? =+l l ，将上述两式代入方程中，得到 ()()()()()()()()() P x dx P x dx P x dx dc x c x P x dx c x P x Q x ??+?=+l l l 即 ()() ()P x dx dc x Q x dx -? =l 积分后得到()()()P x dx c x Q x dx c -?=+? %l 进而得到方程的通解 ()()(()) P x dx P x dx y Q x dx c -? ?=+?%l l 3．高阶线性微分方程和线性方程组之间的联系如何？答：n 阶线性微分方程的初值问题 ()(1) 11(1) 01020()...()()()(),(),....()n n n n n n x a t x a t x a t x f t x t x t x t ηηη---'?++++=??'===?? 其中12()(),...(),()n a t a t a t f t ，是区间a t b ≤≤上的已知连续函数，[]0,t a b ∈， 12,,...,n ηηη是已知常数。它可以化为线性微分方程组的初值问题

微分方程习题及答案

微分方程习题 §1 基本概念１、验证下列各题所给出的隐函数就是微分方程的解. (1)y x y y x C y xy x -='-=+-2)2(,22 (２)?'=''=+y 0 222 t -)(,1e y y y x dt 2、.已知曲线族,求它相应的微分方程(其中21C , ,C C 均为常数) (一般方法:对曲线簇方程求导,然后消去常数,方程中常数个数决定求导次数、) (1)1)(22=++y C x ; (2)x C x C y 2cos 2sin 21+=. 3、写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程。 (1)曲线在()y x , 处切线的斜率等于该点横坐标的平方。 (２)曲线在点P ()y x ,处的法线ｘ轴的交点为Ｑ,,PQ 为y 轴平分。 (3)曲线上的点Ｐ()y x ,处的切线与y 轴交点为Q , PQ 长度为2,且曲线过点(2,０)。 §2可分离变量与齐次方程 1.求下列微分方程的通解 (１)2211y y x -='-; (２)0tan sec tan sec 22=?+?xdy y ydx x ; (３)23xy xy dx dy =-; (4)0)22()22(=++-++dy dx y y x x y x 、２.求下列微分方程的特解 (1)0 ,02=='=-x y x y e y ; (２)2 1 ,12==+'=x y y y y x

3、求下列微分方程的通解 (1))1(ln +='x y y y x ; (2)03)(233=-+dy xy dx y x 、 4. 求下列微分方程的特解 (1)1 ,022=-==x y y x xy dx dy ; (2)1 ,02)3(022==+-=x y xydx dy x y 、５、用适当的变换替换化简方程,并求解下列方程 (1)2)(y x y +='; (2))ln (ln y x y y y x +=+' (3)11+-='y x y (4)0)1()1(22=++++dy y x xy x dx xy y 6. 求一曲线,使其任意一点的切线与过切点平行于y 轴的直线与x 轴所围城三角形面积等于常数2a 、 7、设质量为m 的物体自由下落,所受空气阻力与速度成正比,并设开始下落时)0(=t 速度为０,求物体速度v 与时间t 的函数关系. ８、有一种医疗手段,就是把示踪染色注射到胰脏里去,以检查其功能、正常胰脏每分钟吸收掉%40染色,现内科医生给某人注射了０、３g 染色,30分钟后剩下0、1g,试求注射染色后t 分钟时正常胰脏中染色量)(t P 随时间t 变化的规律,此人胰脏就是否正常? 9、有一容器内有１00Ｌ的盐水,其中含盐1０kg,现以每分钟3L 的速度注入清水,同时又以每分钟2L 的速度将冲淡的盐水排出,问一小时后,容器内尚有多少盐？

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