随机信号分析常建平李海林版课后习题答案

由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解

随机信号分析 第三章习题答案

、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2?）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。

（2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。

（1）

（2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为2

32

()(16)

X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？

②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解

()()()2

1521

()lim

2T T T E X t X t X t X t dt A T

-→∞??=<∞

???==?是平稳过程

3-7如图所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为

()()()Y t X t X t T =--。证明：输出()Y t 的功率谱密度为

()2()(1cos )Y X G G T ωωω=-

3-9 已知平稳过程()X t 和()Y t 相互独立，它们的均值至少有一个为零，功率谱密度分别为 令新的随机过程

①证明()X t 和()Y t 联合平稳； ②求()Z t 的功率谱密度()Z G ω？ ③求()X t 和()Y t 的互谱密度()XY G ω？ ④求()X t 和()Z t 的互相关函数()XZ R τ？ ⑤求()V t 和()Z t 的互相关函数()VZ R τ 解:

()()4124(1)()()()2[()]()0[()]0()2[()]0

()()(,)[()][()]0()()(2)()()()

()[()()]

[()()][()X X X Y XY Z X t Y t R F G e E X t R E X t R e

E Y t X t Y t R t t E X t E Y t X t Y t Z t X t Y t R E Z t Z t E X t Y t X t τ

τ

τωτδττττττ---==∞=?=????=-?=∴+=?+=?=+=+=++Q 、都平稳＝与与联合独平立

稳

[][]{}

2214||

()]()()()()

()0

()()()

16

()()()1

16(3)()0()0

(4)()[()()]()()()()()

()[()]2(5)(X YX XY Y XY Z X Y Z X Y XY XY XZ X XY X X VZ Y t R R R R R R R R G G G R G R E X t Z t E X t X t Y t R R R F G e R ττττττττττωωωωωτωτττττττωτ--++=+++=∴=++∴=+==+=→==+=+++=+===Q {}4||

)[()()]

[()()][()()]()()()4X Y E V t Z t E X t Y t X t Y t R R e ττττττδτ-=+=-+++=-=+-

3-11 已知可微平稳过程()X t 的自相关函数为2()2exp[]X R ττ=-，其导数为()()Y t X t '=。求互谱密度()XY G ω和功率谱密度()Y G ω？

Ⅰ.平稳过程 维纳－辛钦定理 ()1

()F X X F

G R ωτ-垐垎噲垐

Ⅱ.2-17 已知平稳过程()X t 的均方可导，()()Y t X t '=。证明(),()X t Y t 的互相

关函数和()Y t 的自相关函数分别为 Ⅲ.傅立叶变换的微分性质

2

2

2

222

2222

222

27928exp 24

:()[()][2]4

()()()()4

()()()()2)(X X XY X XY X Y X

Y X t e e

e

t P G F R F e R j j R G G e R R G G e τωττσωωτσωωττωωωωττωωσωω-??

??-- ? ???

??

?????

-?-???-

===-

'===?-

''=-=-?

????

?高斯脉冲表第解利用傅立叶变换的＝个微分特性

3-17 已知平稳过程()X t 的物理功率谱密度为()4X F ω=， ①求()X t 的功率谱密度()X G ω和自相关函数()X R τ？画出

(),(),()X X X F G R ωωτ的图形。

②判断过程()X t 是白噪声还是色噪声？给出理由

白噪声的定义 均值为零，功率谱密度在整个频率轴(,)-∞+∞上均匀

若平稳随机过程的

分布，满足

(3-1)

其中0N 为正实常数，则称此过程为白噪声过程，简称白噪声。

随机信号分析 第四章习题答案

4-4设有限时间积分器的单位冲激响应

h(t)=U(t)－U(t － 它的输入是功率谱密度为 210V Hz 的白噪声，试求系统输出的总平均功率、交流平均功率和输入输出互相关函数

1

()2N G N ω

=

4-5 已知系统的单位冲激响应()(1)[()(1)]h t t U t U t =---，其输入平稳信号的自相关函数为()2()9X R τδτ=+，求系统输出的直流功率和输出信号的自相关函数？

分析：直流功率＝直流分量的平方

解: 输入平稳

输出的直流分量 输出的直流功率

()2300

X X m R σ==±==()()()1

0332

Y X m m h t h t ττ=*=*=?=31-d 294

Y m =

4-7 已知如图 所示的线性系统，系统输入信号是物理谱密度为0N 的白噪声，求：①系统的传递函数()H ω？②输出()Z t 的均方值？其中

2

222

[sin()]

[()]2

ax dx a ax dx a

x

Sa π

∞∞

==

??

4-11 已知系统的输入为单位谱密度的白噪声，输出的功率谱密度为 求此稳定系统的单位冲激响应()h t ？ 解： ()()

()

()()()()()()()()

()()()()()()

()()()()

()

24

22

2

32

11242()4

109

224

3311()()1

2231311

112()0231921Y t

Y X X t G s s s s s s G H G H s H s H s s j H s H s s j j h t F H F e e U t j j s s j s H G s ωωωωωωω

ωωωωωωωωωω----?==?=-=++=

?=

++++?? ?+=++-+-+=

===+ ?++ ???

-+-+-+==系统稳定，则零头、极点都＋在左半平面带入

4-12 已知系统输入信号的功率谱密度为

设计一稳定的线性系统()

Hω，使得系统的输出为单位谱密度的白噪声？解：

4-14 功率谱密度为02N 的白噪声作用于(0)2H =的低通网络上，等效噪声带宽为XH MHz 。若在1Ω电阻上的输出平均功率为0.1W 。求0N 的值？ 书P162 Z H 2e

e f ωπ

?=

V 单位为，622XH 10e e f ωππ???V 故本题＝＝ 或者调用公式

2

2

max

m 0ax

(())Y

e N H H ωωω??

图 习题4-18

4-18 如图所示的线性系统，系统输入()W t 是零均值，物理谱密度为1

的白噪声，且()()t

h t e U t -=。

①判断()X t 和()Y t 分别服从什么分布？给出理由。 ②证明()Y t 是严平稳过程。

③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度？ ④写出()Y t 的一维概率密度表达式？

⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由。 解：①()W t 是白噪声 （白噪声带宽无限，由定义）， 线性系统()()t h t e U t -=，系统传递函数1

()1H j ωω

=+，

是个低通线性系统（带宽有限）

由节结论2若系统输入信号的等效噪声带宽远大于系统的带宽，则输出接近于高斯分布可知，()X t 为高斯过程。 由节结论1可知，()Y t 为高斯过程。

?()X t 和()Y t 服从高斯分布

②证明()Y t 是严平稳过程

证：()W t 是白噪声（宽平稳过程），通过线性系统的输出()Y t 也是宽平稳过程（4.2.2结论1）。

对于高斯过程，宽平稳和严平稳等价。

③求()W t 和()X t 的互相关函数，()Y t 的功率谱密度 习题3-7 的结论()()2()1cos Y X G G T ωωω=-g

④求()Y t 一维概率密度表达式

()[]21

(0)1exp()2

Y Y t R T σ?

??

???==--?是高斯过程输入零均值，输出零均值，则易得 思考1：上述随机过程的一维概率密度表达式中没有时间参量t ，根据()Y t 严平稳过程的特性也可以推到。

思考2：试着写出这个过程一维、二维的概率密度和特征函数形式。 ⑤判断同一时刻，()X t 和()Y t 是否独立？给出理由

()X t 和()Y t 独立（高斯过程） 等价 互不相关（零均值） 等价 正交 ()X t 和()Y t 联合平稳，再由两者的相互关系可得

[][]()()()()()()1

(0)()1exp()4()()()(0)0XY X X X XY X E X t Y t E X t X t X t X t T R R T R R T T R R ττττττ=+=+-+-=?=--=

?---??

?-≠即不正

交

()X t ?和()Y t 在同一时刻不独立。