随机信号分析(常建平李林海)课后习题测验答案第二章习题测验讲解

2-1 已知随机过程0()cos X t A t ω=，其中0ω为常数，随机变量A 服从标准高斯分布。求000,3,2t πωπω=三个时刻()X t 的一维概率密度？

解：2

2

1

~(0,1)..........()2A a A N f a e π

-

=

212

11

()~(0,1)(0)2t X x X t A N f x e

π

-==?

=；，

2

223203A 1

2()

~(0,)()24

2X t x X t N f x e πωπ

ωπ

-==?；＝， 00

2323()

0()()

t X t f x x πωπ

ωδ==Q ＝，；

(离散型随机变量分布律)

2-2 如图2.23所示，已知随机过程()X t 仅由四条样本函数组

成，出现的概率为1131

,,,8484。

t

()

X t 1

234561

t 2

t 1()x t 2()x t 3()x t 4()

x t o

图2.23 习题2-2

在1

t 和2

t 两个时刻的分布律如下：

1

ζ

2

ζ

3

ζ

4

ζ

1()X t 1 2 6 3 2()

X t

5

4

2

1

1212(,)

k k p t t 1/8 1/4 3/8 1/4

求

？ 1212[()],[()],[()()]E X t E X t E X t X t ()411

29

[()]8

k k k E X t x p t ===

∑221

[()]8

E X t =

()()(){}

1

2

1212121122[()()],,X k k E X t X t R t t k k p X t k X t k ====∑∑

2－23

[][]12()cos (0,1)(;),()()(,)X X X t A t XH A U f x t E X t D X t R t t =+~随机过程，其中（均匀分布）。求,,？[][][][][][][][]

[][][]()()()22

2

2

1212221121222()cos cos ()()()()cos cos cos cos 12

(,)cos cos cos cos cos cos 1cos c 232o X XY

D a

E X t E A t XH t EA XH

D X t

E X t E X t D X t D A t XH D A t D XH t

t DA R t t E A t XH X a D X b D Y abC EA EA A t XH t t XH t t XH t =+=?+??=-??

=+=+=?=

++????+==+=+++g 公式：＋b =Ｙ方法：

()2212s cos cos 2

XH t t t XH +++

()()

()()22cos 0

22~,322cos 022

~,cos 0()2

1

22,cos 2cos cos cos c 2

1322,(;)cos o 2

s 2X k t k t t

X t U XH XH k t k t t X t U XH XH t k t X t XH

k t k XH x XH t k t k XH x XH f x t t x X t t t t π

π

πππ

π

πππ

πππππππππδ-

+<<

+>+<<+<=

+==-+<<+<<-++<<+<+++<=-对某一固定时刻对某一固定时刻概率密度用冲激函数表示

()

,20

H t k x XH else π

π???

??

??=+=??

??

2-4 已知随机过程()X t A Bt =+，其中,A B 皆为随机变量。①求随机过程的期望[()]E X t 和自相关函数12(,)X R t t ？②若已知随机变量相互独立，它们的概率密度分别为()A f a 和()B f b ，求()X t 的一

维概率密度(;)X f x t

第②问

方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布） 步骤：

t 时刻，()X t A Bt =+为两个随机变量的函数 ①设二维的随机矢量

12X A Bt X A

=+??

=?（题目要求的）（自己设的量,可以是其它量）

②求反函数

③求雅克比行列式J ，得到|J| ④利用公式1

2

X X 12(,)(,)AB x x f b J f a =?

()AB ()AB A B f f a f b ?=g 相互独立

⑤由联合概率密度求边缘概率密度()1

X f x ⑥t 为变量，则得到(;)X f x t

,A B

,(,)()()

()

01()1

()()11()11(,;)(,)(,)()()

1(;)(,;)()(),(;)AB A B XY AB AB A B X XY A B X A B f a b f a f b A Y t X t A Bt J X t Y t Y t t B t t t x y x y

f x y t f a b f y f y f t t t t x y

f x t f x y t dy f A dy y f t t

f x t y J a +∞+∞

-∞

-∞

∴=?=?=+???==--?

?==-???

--=?=?=??-===??∴?

?

Q Q 与独立()1()()A B x a f a f d a t t

+∞-∞

-=???

()()()();1X A B A B a b

x a f x t f a f d t t f x bt f b d ∞

-∞∞

-∞

-??

=? ???

=-???

方法二： 用特征函数定义和性质（独立变量和的

特征函数等于各特征函数的乘积）做 （特征函数和概率密度一一对应）

()()()()()()()()()()()()()()()()()(),;;;;;ju juX t ju A Bt ju a bt

X AB ju a b A B x

X X ju A B j A B ux

X t B X x A f a f b Q u t E e

E e e f a b dadb

e

dadb

x Q u t e d db

e

dx

f bt f Q u b f x t t f x t e dx

f x bt f b d f x b f b x x b

t b d ++∞

+∞

++-∞

-∞

+∞+∞

+-∞

-∞+∞+∞

-∞

-∞

+∞

-∞

-∞

+∞

+-∞∞

∞∞

-??

??

===???

?

====--=-?

??

???

????

取a=-bt

2-5 已知()X t 为平稳过程，随机变量0()Y X t =。判断随机过程()()Z t X t Y =+的平稳性？

()X ()m X X t R τ?平稳、

()()0?E Y t E X t ??==?????? ()2X E Z t m =????

()()()()()()()()()()()()()()()()()

12122

1212002001200,,,Z X X X Z t t t R t t E X t Y X t Y E X t X t X t X X X t X R R t R t E X R t t t ττ??=++??

??=+++????=+?

≠++?

随机过程()()Z t X t Y =+非平稳

2-6 已知随机过程0()()cos()Y t X t t ω=+Φ，其中随机过程()X t 宽平稳，表示幅度；角频率0ω为常数；随机相位Φ服从(,)ππ-的均匀分布，且与过程()X t 相互独立。①求随机过程()Y t 的期望和自相关函数？②判断随机过程()Y t 是否宽平稳？

①Φ与过程()X t 相互独立

()0cos()t X t ω?+Φ与相互独立

[][]

[][]00()()cos()()cos()0E Y t E X t t E X t E t ωω=+Φ=+Φ=g

()[][][][]()101202120102120112020()cos()()cos()()()cos()cos()(,1

cos 2

)()cos()cos()Y X E X t t X t t E X t X t t t E X t R t t R X t E t t τωωτ

ωωωωω+Φ?+Φ?+Φ+Φ=?+==Φ+Φ=g

2-8 已知平稳过程()X t 的自相关函数为 ()4cos cos3X R e

τ

τπτπτ

-=+，

求过程的均方值和方差？

112()4cos ()0()cos30

X X X R e

R R τ

τπτ

τπτ

-=∞==X1X2＝非周期部分m 周期偶函数m

22(0)5X X X R m σ=-=

()X t