第1章重要极限与极限存在准则习题集及答案

第一章 习题二 重要极限与极限存在准则

无穷小的比较

一. 选择题 1．=--∞

→n

n n

n n ne

e 2

2

11)

sin(lim

（ A ）

（A ）0； （B ）1； （C ）1-； （D ）∞． 2．3)2

1(lim -∞

→=+e n

kn n ，则=k （ C ）

（A ）23； （B ）32； （C ）23-； （D ）3

2-．

3．设函数()f x 在(,)-∞+∞上单调有界，{}n x 为数列，则以下选项正确的是（ B ）

（A ）若{}n x 收敛，则{()}n f x 收敛 （B ）若{}n x 单调，则{()}n f x 收敛 （C ）若{()}n f x 收敛，则{}n x 收敛 （D ）若{()}n f x 单调，则{}n x 收敛 4．当0→x 时，)11(22-++x x 是x 的（ D ）

（A ）高阶无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）低阶无穷小；（D ）等价无穷小．

5．当∞→n 时，4321321n n n +++是5

321321n n n -+-的（ C ）

（A ）高阶无穷小；（B ）同阶但不等价无穷小；（C ）低阶无穷小；（D ）等价无穷小．

6．当0→x 时，下列结论正确的是（ D ）

（A ）22~)1ln(x x -； （B ）x x ~121--； （C ）x e x 2~12-； （D ）x x ~)sin 1ln(+． 7．当0x +→

B ） （A

）1- （B

） （C

1 （D

）1-二．填空题

1．设0≠x ，则___________lim 2tan 2

n

n n x

x →∞=． 2．221___________sin(21)lim 032x x x x x →-+=-+． 3．4)2(

lim =++∞

→x x c x c x ，则___________ln 4c =-． 4．0___________11

lim(sin sin )1x x x x x

→-=-． 5． 220___________1sin

lim 0

sin 2x x x x →=． 6．220_____

ln cos lim ln cos x ax a bx b

→=. 7

．0

___________

13

x →=

． 8

．0lim

x +

→= 9．若0x →时，124

(1)1ax --与sin x x 是等价无穷小，则________4a =-。 10．当0→x 时，x x sin 22sin -是x 的k 阶无穷小量, k= 3 ．

11．设当0x →时，2(1cos )ln(1)x x -+是比sin()n x x 更高阶的无穷小，而sin()n x x 是比2

1x e -更高阶的无穷小。则正整数_________2n =。

三．计算题

1．求n n n n )2

3()32(lim

+∞

→． 解：Θ

≤+⋅=+≤n n n n n 1)32(23)23()32(232n 22

3

⋅，且∞→n lim n 21=，

2

3

)23()32(lim =+∴∞→n n n n ． 另解：n n n n )23()32(lim

+∞→n n n 1)3

2(23lim 2+⋅=∞→n n n n 1

lim

21)3

2(lim 23∞→⎭

⎬⎫

⎩

⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→2

3=

． 2

．求n →∞+L

n n <

++

<

L

且1n n ==

，所以n →∞

L ＝1

3．求)2211(lim 222n

n n n

n n n n n n n n -+

++-++-+

∞→Λ．

解：n

n n n n n n n

n n n n n n n n n n n n n n n n n n n -+=-+

⋅≤-+++-++-+≤-+

⋅=-+22222222222111111ΛΘ， 且11lim 22-+∞→n n n 1lim 22

=-+=∞→n n n n n ，1)2211(lim 222=-+++-++-+∴∞→n

n n n n n n n n n n n Λ． 4．已知21

sin tan lim 0=-→p x x

x x ，求常数p ． 解：2

2~)cos 1(tan sin tan 3

2x x x x x x x =⋅-⋅=-Θ，

21∴

p x x

x x sin tan lim 0-=→p

x x -→=30lim 21，从而3=p ． 5．求x x x 2tan

)1(lim 1

π

-→．

解：原式π

ππ

π

π

πππ2

2cos 2

sin

2

lim 2

2cot lim )2

2tan(lim 0

1===-=→→→-=u u

u

u u u u u u u x

u ． 6．求2

1

sin 0

lim(cos

)x x x → 解：原式

2

2

2221

1

222sin

2sin

1sin 1121sin 2sin 2

lim(cos )lim(1sin )lim(1sin )

x

x

x x x x x

x x x x e

→→---→==-=-=

7．求x x x

x )1cos 1

(sin lim ++∞→． 解：原式u

u x

u u u /100/1)

cos (sin lim +=+→=u

u u u u u u u 1

cos sin 1cos sin 10

0)}

1cos (sin 1{lim -+⋅

-++→-++=

u

u u u e

1

cos sin lim

0-++→=u

u

u u u u e

cos 1lim

sin lim

000

0--+→+→=01-=e e =．

8．求1012cos lim ()13x

x x x →⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦

解：12cos ln()1

3

2200

02cos ln()

12cos 1

cos 113lim ()1lim lim

lim 336

x x x

x x x x x

x e

x x x

x x +→→→→+⎡⎤+---====-⎢⎥⎣⎦