一元二次方程竞赛题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
一元二次方程竞赛题解题
一. 升次
例1.(2006年海南初赛)已知a,b 是一元二次方程 的两个根,则代数式 的值等于_________. 二.降次
例2.（江苏第8届数学竞赛）已知α，β是方程 的两根，求 的值。
三.配偶
例 3.(2001年黄冈中考)已知α,β是方程 的两个实数根,求 的值.
四.减元
例4.（2005年湖州市“期望杯”数学竞赛题）设
是一元二次方程 的两根，则 等于（ ）A.-4 B.8 C.6 D.0
五.正难则反
例5.若下列三个关于的方程： 至少有一个方程有实数根，求实数m 的取值范围.
六.巧用ab+a+b+1和ab-a-b+1的因式分解
例6.（第17届江苏初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有k 值：使关于x 的方程
的根都是整数。
七.巧用结论“当a+b+c=0时，一元二次方程 必有一根是1” 例7.(第18届江苏初中数学竞赛题) 若关于x 的方程
的根是正整数，则整数r 的值可以是____________. 八.反客为主
例8.(1998年香港数学竞赛题)求所有正整数a,使得方程 仅有整数根.
x 2-x-1=03a 2+2b 2-3a-2b x 1,x 2x 2+x-3=0x 13-4x 22+19(1) x 2-2(m-1)x+m 2=0(2) x 2-2(m+1)x+m(m+3)=0(3) x 2+2mx+m 2-2m+4=0kx 2+(k+1)x+(k-1)=0ax 2+bx+c=0rx 2-(2r+7)x+(r+7)=0x 2-ax+4a=0α2+3β2+4β x
2+2x-7=0 x 2-x-1=0 α4+3β
其他：
例题1：已知β
α,是方程0
1
2
2=
-
+x
x的两根，则10
5
3+
+β
α的值为______（12年河南）例题3：设b
a
b
b
a
a≠
=
+
=
+且
3
1
,
3
12
2则代数式
2
2
1
1
b
a
+的值为（）（08年全国联赛）A.5 B.7 C.9 Ｄ．１１
变式：已知实数y
x,满足4
4
2
4
2
4
4
,3
,3
2
4
y
x
y
y
x
x
+
=
+
=
-则的值为（）（０８联赛）
例题４：如果关于x的方程0
2
9
3
4
3
2
2=
+
-
+
+k
k
kx
x的两实根为
2
1
,x
x则
2015
2
2014
1
x
x
的值为________。（12年全国联赛改编题）
例题5：（2010年数学联赛）已知实数y
x,满足方程组=
+
⎩
⎨
⎧
=
+
=
+
2
2
3
3
1
19
y
x
y
x
y
x
则__________。
1、（上海市竞赛）已知整数p、q满足2010
=
+q
p，且关于x的一元二次方程0
672=
+
+q
px
x的根均为正整数，则p=__________。
3.设方程0
2=
+
+q
px
x的两根为b
a,且有,
,...
,2
2
2
1
n
n
n
b
a
l
b
a
l
b
a
l+
=
+
=
+
=则当3
≥
n
时，
2
1-
-
+
+
n
n
n
ql
pl
l的值为（）。
4.方程)0
(0
2
2≠
=
-
+a
a
x
a
x有（）个实数根。
5、若实数y
x,满足1
6
5
4
5
,1
6
3
4
33
3
3
3
3
3
3
3
=
+
+
+
=
+
+
+
y
x
y
x
则x+y=___________。
6、已知关于x的一元二次方程0
4
)4
6
2(
)8
6
(2
2
2
2=
-
+
-
-
+
+
-k
x
k
k
x
k
k的两个根都是整数.求实数k的值.