函数解题思路方法总结
函数解题思路方法总结：
⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；
⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数ax 2+bx+c=0中a,b,c 的符号，或由二次函数中a,b,c 的符号判断图象的位置，要数形结合；
⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.
⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式ax 2+bx+c ﹙a ≠0﹚本身就是所含字母x 的二次函数；下面以a ＞0时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：
动点问题题型方法归纳总结
动态几何特点----问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。）
动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。
下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。 二、 抛物线上动点
5、（湖北十堰市）如图①， 已知抛物线32++=bx ax y （a ≠0）与x 轴交于点A (1，0)和点B (－3，0)，与y 轴交于点C ． (1) 求抛物线的解析式；
(2) 设抛物线的对称轴与x 轴交于点M ，问在对称轴上是否存在点P ，使△CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
(3) 如图②，若点E 为第二象限抛物线上一动点，连接BE 、CE ，求四边形BOCE 面积的最大值，并求此时E 点的坐标．
注意：第（2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标----①C为顶点时，以C为圆心CM为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，②M为顶点时，以M为圆心MC为半径画弧，与对称轴交点即为所求点P，③P为顶点时，线段MC的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。
第（3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）；方法二，先求与BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组），再求面积。
07 08 09
动点个数两个一个两个
问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边
上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动
考查难点探究相似三角形探究三角形面积函
数关系式
探究等腰三角形
考点①菱形性质
②特殊角三角函数
③求直线、抛物线解析式
④相似三角形
⑤不等式
①求直线解析式
②四边形面积的表
示
③动三角形面积函
数④矩形性质
①求抛物线顶点坐标
②探究平行四边形
③探究动三角形面积是定
值
④探究等腰三角形存在性
特点①菱形是含60°的特殊菱形；
△AOB是底角为30°的等腰三
角形。
②一个动点速度是参数字母。
③探究相似三角形时，按对应角
不同分类讨论；先画图，再探究。
④通过相似三角形过度，转化相
似比得出方程。
⑤利用a、t范围，运用不等式
求出a、t的值。
①观察图形构造特
征适当割补表示面
积
②动点按到拐点时
间分段分类
③画出矩形必备条
件的图形探究其存
在性
①直角梯形是特殊的（一底
角是45°）
②点动带动线动
③线动中的特殊性（两个交
点D、E是定点；动线段PF
长度是定值，PF=OA）
④通过相似三角形过度，转
化相似比得出方程。
⑤探究等腰三角形时，先画
图，再探究（按边相等分类
讨论）
共同点：
⑤探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。
二次函数的动态问题（动点）
1.如图，已知抛物线1C 与坐标轴的交点依次是(40)A -，，(20)B -，，(08)E ，． （1）求抛物线1C 关于原点对称的抛物线2C 的解析式； （2）设抛物线1C 的顶点为M ，抛物线2C 与x 轴分别交于C D ，两点（点C 在点D 的左侧），顶点为N ，四边形MDNA 的面积为S ．若点A ，点D 同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；与此同时，点M ，点N 同时以每秒2个单位的速度沿坚直方向分别向下、向上运动，直到点A 与点D 重合为止．求出四边形MDNA 的面积S 与运动时间t 之间的关系式，并写出自变量t 的取值范围；
（3）当t 为何值时，四边形MDNA 的面积S 有最大值，并求出此最大值； （4）在运动过程中，四边形MDNA 能否形成矩形？若能，求出此时t 的值；若不能，请说明理由．
[解] （1）点(40)A -，，点(20)B -，，点(08)E ，关于原点的对称点分别为(40)D ，，(20)C ，，
(08)F -，．
设抛物线2C 的解析式是
2(0)y ax bx c a =++≠，
则16404208a b c a b c c ++=??
++=??=-?
，，． ①特殊四边形为背景；
②点动带线动得出动三角形；
③探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式）； ④求直线、抛物线解析式；
解得168a b c =-??
=??=-?
，，．
所以所求抛物线的解析式是268y x x =-+-． （2）由（1）可计算得点(31)(31)M N --，，，．
过点N 作NH AD ⊥，垂足为H ．
当运动到时刻t 时，282AD OD t ==-，12NH t =+．
根据中心对称的性质OA OD OM ON ==，，所以四边形MDNA 是平行四边形． 所以2ADN S S =△．
所以，四边形MDNA 的面积2(82)(12)4148S t t t t =-+=-++． 因为运动至点A 与点D 重合为止，据题意可知04t <≤．
所以，所求关系式是24148S t t =-++，t 的取值范围是04t <≤． （3）781
444
S t ??=--+ ???，（04t <≤）． 所以74t =
时，S 有最大值814
． 提示：也可用顶点坐标公式来求．
（4）在运动过程中四边形MDNA 能形成矩形．
由（2）知四边形MDNA 是平行四边形，对角线是AD MN ，，所以当AD MN =时四边形
MDNA 是矩形．
所以OD ON =．所以2222
OD ON OH NH ==+．
所以22
420t t +-=．解之得126262t t =-=--，（舍）．
所以在运动过程中四边形MDNA 可以形成矩形，此时62t =-．
[点评]本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。
2. （06福建龙岩卷）如图，已知抛物线2
34y x bx c =-++与坐标轴交于A B C ，，三点，点A 的横坐标为1-，过点(03)C ，的直线3
34y x t
=-+与x 轴交于点Q ，
点P 是线段BC 上的一个动点，PH OB ⊥于点H ．若5PB t =，且01t <<．
（1）确定b c ，的值：__________b c ==，；
（2）写出点B Q P ，，的坐标（其中Q P ，用含t 的式子表示）：
(______)(______)(______)B Q P ，，，，，；
（3）依点P 的变化，是否存在t 的值，使PQB △为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由．
[解] （1）9
4
b =
3c = （2）(40)B ， (40)Q t ， (443)P t t -，
（3）存在t 的值，有以下三种情况 ①当PQ PB =时
PH OB ⊥ ，则GH HB = 4444t t t ∴--= 1
3
t ∴=
②当PB QB =时 得445t t -= 4
9
t ∴=
③当PQ QB =时，如图
解法一：过Q 作QD BP ⊥，又PQ QB =
则5
22
BP BD t == 又BDQ BOC △∽△
BD BQ BO BC ∴
= 544245t
t -∴= 32
57
t ∴=
解法二：作Rt OBC △斜边中线OE
y
C
A O Q H
B P
x
C
O
P
Q
D
B
则5
22
BC OE BE BE ==
=，， 此时OEB PQB △∽△
BE OB
BQ PB
∴=
5
4
2445t t ∴=-
32
57
t ∴=
解法三：在Rt PHQ △中有222QH PH PQ += 222(84)(3)(44)t t t ∴-+=- 257320t t ∴-= 32
057
t t ∴=
=，（舍去） 又01t <<
∴当13t =或49或32
57
时，PQB △为等腰三角形．
解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有
时需要综合运用。
代数讨论：计算出△PQB 三边长度，均用t 表示，再讨论分析
Rt △PHQ 中用勾股定理计算PQ 长度，而PB 、BQ 长度都可以直接
直接用t 表示，进行分组讨论即可计算。
[点评]此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、2小题不难，第3小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的t 值与题目中的01t <<矛盾，应舍去 3.如图1，已知直线12y x =-
与抛物线21
64
y x =-+交于A B ，两点． （1）求A B ，两点的坐标；
（2）求线段AB 的垂直平分线的解析式；
（3）如图2，取与线段AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A B ，两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线AB 上方的抛物线上移动，动点P 将与A B ，构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时P 点的坐标；如果不存在，请简要说明理由． C
O
P
Q
E
B
C
O
P
Q
H
B
y x
O
y x
O P B B
[解] （1）解：依题意得2164
12
y x y x
?=-+????=-??解之得12
126432x x y y ==-????=-=?? (63)(42)A B ∴--，，，
（2）作AB 的垂直平分线交x 轴，y 轴于C D ，两点，交AB 于M （如图1） 由（1）可知：3525OA OB ==
55AB ∴=
15
22
OM AB OB ∴=
-=
过B 作BE x ⊥轴，E 为垂足 由BEO OCM △∽△，得：
5
4
OC OM OC OB OE =∴=，， 同理：55500242OD C D ???
?=∴- ? ????
?，，，，
设CD 的解析式为(0)y kx b k =+≠
5204
5522
k k b b b ?
==+????∴∴??=-??-=???
AB ∴的垂直平分线的解析式为：5
22
y x =-
． （3）若存在点P 使APB △的面积最大，则点P 在与直线AB 平行且和抛物线只有一个交
点的直线1
2
y x m =-+上，并设该直线与x 轴，y 轴交于G H ，两点（如图2）．
212164
y x m y x ?=-+??∴??=-+??
y
x
O
图1
D
M
A
C B 第26题
Ｅ
211
6042
x x m ∴
-+-= 抛物线与直线只有一个交点，
2
114(6)024m ??
∴--?-= ???
，
2523144m P ??∴=
∴ ???
， 在直线125
24
GH y x =-
+：中， 25250024G H ????
∴ ? ?????，，，
2554
GH ∴=
设O 到GH 的距离为d ，
11221255125252422455
2
GH d OG OH d d AB GH ∴=∴?=??∴= ，
∥
P ∴到AB 的距离等于O 到GH 的距离d ．
另解：过P 做PC ∥y 轴，PC 交AB 于C ，当PC 最大时△PBA 在AB 边上的高h 最大（h 与PC 夹
角固定），则S △PBA 最大 → 问题转化为求PC 最大值，设P （x, ）,C （x, ）,
从而可以表示PC 长度，进行极值求取。
最后，以PC 为底边，分别计算S △PBC 和S △PAC 即可。
[点评]这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。
4.如图①，正方形ABCD 的顶点A B ，的坐标分别为()()01084，，，，顶点C D ，在第一象限．点P 从点A 出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q 从点()40E ，出发，沿
x 轴正方向以相同速度运动．当点P 到达点C 时，P Q ，两点同时停止运动，设运动的时
间为t 秒．
（1）求正方形ABCD 的边长．
y
x O
P
A
图2
H G B
（2）当点P 在AB 边上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P Q ，两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S （平方单位）与时间t （秒）的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标．
（4）若点P Q ，保持（2）中的速度不变，则点P 沿着AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小．当点P 沿着这两边运动时，使90OPQ = ∠的点P 有 个．
（抛物线()2
0y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ??
-- ???
，．
[解] （1）作BF y ⊥轴于F ．
()()01084A B ，，，，
86FB FA ∴==，． 10AB ∴=．
（2）由图②可知，点P 从点A 运动到点B 用了10秒．
又1010101AB =÷= ，
． P Q ∴，两点的运动速度均为每秒1个单位．
（3）方法一：作PG y ⊥轴于G ，则PG BF ∥．
GA AP FA AB ∴
=，即610
GA t =． 3
5
GA t ∴=．
3
105
OG t ∴=-．
图
y
D A C
P
B
O E
Q
x
图
O
10 t
20
28
s
4OQ t =+ ，
()113410225S OQ OG t t ?
?∴=??=+- ??
?．
即2319
20105
S t t =-
++． 19
195323
210b a -=-=???- ???
，且190103≤≤， ∴当19
3t =
时，S 有最大值． 此时476331
1051555
GP t OG t ==
=-=，， ∴点P 的坐标为7631155??
???
，．
（8分）
方法二：当5t =时，1637922
OG OQ S OG OQ ==== ，，． 设所求函数关系式为220S at bt =++．
抛物线过点()63102852??
???
，，，，
1001020286325520.2
a b a b ++=??∴?++=??，
31019.5a b ?=-??∴??=??，
2319
20105
S t t ∴=-
++． 19
195323
210b a -=-=???- ???
，且190103≤≤， ∴当19
3
t =
时，S 有最大值．
此时7631155
GP OG =
=，， ∴点P 的坐标为7631155??
???
，．
（4）2．
[点评]本题主要考查函数性质的简单运用和几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求动中取静，相信解决这种问题不会非常难。
． 5. 如图①，Rt ABC △中，90B ∠= ，30CAB ∠= ．它的顶点A 的坐标为(100)，，顶点
B 的坐标为(553)，，10AB =，点P 从点A 出发，沿A B
C →→的方向匀速运动，同
时点Q 从点(02)D ，出发，沿y 轴正方向以相同速度运动，当点P 到达点C 时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒． （1）求BAO ∠的度数．
（2）当点P 在AB 上运动时，OPQ △的面积S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，（如图②），求点P 的运动速度．
（3）求（2）中面积S 与时间t 之间的函数关系式及面积S 取最大值时点P 的坐标． （4）如果点P Q ，保持（2）中的速度不变，那么点P 沿AB 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而增大；沿着BC 边运动时，OPQ ∠的大小随着时间t 的增大而减小，当点
P 沿这两边运动时，使90OPQ ∠= 的点P 有几个？请说明理由．
解: （1）60BAO =
∠．
（2）点P 的运动速度为2个单位/秒． （3）(103)P t t -，（05t ≤≤）
1
(22)(10)2
S t t =
+- （第29题图
A C
B
Q D O
P x
y
31
O
5 t S
（第29题图
2
9121
24t ??=--+ ???
． ∴当92t =
时，S 有最大值为1214
， 此时119322P ??
? ???
，．
（4）当点P 沿这两边运动时，90OPQ = ∠的点P 有2个． ①当点P 与点A 重合时，90OPQ < ∠，
当点P 运动到与点B 重合时，OQ 的长是12单位长度，
作90OPM =
∠交y 轴于点M ，作PH y ⊥轴于点H ，
由OPH OPM △∽△得：203
11.53
OM =
=， 所以OQ OM >，从而90OPQ > ∠．
所以当点P 在AB 边上运动时，90OPQ = ∠的点P 有1个．
②同理当点P 在BC 边上运动时，可算得103
1217.83OQ =+
=． 而构成直角时交y 轴于35303?? ?
???，，353
20.217.83
=>， 所以90OCQ <
∠，从而90OPQ =
∠的点P 也有1个． 所以当点P 沿这两边运动时，90OPQ =
∠的点P 有2个．
6. （本题满分14分）如图12，直线43
4
+-
=x y 与x 轴交于点A ，与y 轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A 、C 和点()0,1-B .
（1）求该二次函数的关系式；
（2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形AOCM 的面积； （3）有两动点D 、E 同时从点O 出发，其中点D 以每秒
2
3
个单位长度的速度沿折线OAC 按O →A →C 的路线运动，点E 以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA 按O →C →
A 的路线运动，
当D 、E 两点相遇时，它们都停止运动.设D 、E 同时从点O 出发t 秒第29题图
y
Q M
H D
O
A x
C
B
()
P
E
C
y
M
时，ODE ?的面积为S .
①请问D 、E 两点在运动过程中，是否存在DE
∥OC ，若存在，请求出此时t 的值；若不存在，请说明理由；
②请求出S 关于t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围； ③设0S 是②中函数S 的最大值，那么0S = .
解：（1）令0=x ，则4=y ；
令0=y 则3=x ．∴()30A ，．()04C ， ∵二次函数的图象过点()04C ，， ∴可设二次函数的关系式为
42++=bx ax y
又∵该函数图象过点()30A ，．()10B -，
∴093404a b a b =++??
=-+?，
．
解之，得34-
=a ，3
8=b ． ∴所求二次函数的关系式为43
8
342++-
=x x y （2）∵43
8
342++-
=x x y =()3
161342+--x
∴顶点M 的坐标为1613??
???
， 过点M 作MF x ⊥轴于F
E C
A
y
O
B
x
M
D
∴AFM AOCM FOCM S S S =+△四边形梯形 =
()1013164213161321=???
?
??+?+?-? ∴四边形AOCM 的面积为10 （3）①不存在DE ∥OC
∵若DE ∥OC ，则点D ，E 应分别在线段OA ，CA 上，此时12t <<，在Rt AOC △中，5AC =． 设点E 的坐标为()11x y ，∴5
4
43
1-=
t x ，∴512121-=t x ∵DE OC ∥，
∴
t t 2
3
51212=- ∴38=t
∵3
8
=t >2，不满足12t <<．
∴不存在DE OC ∥．
②根据题意得D ，E 两点相遇的时间为
1124
42
3543=
+++（秒） 现分情况讨论如下： ⅰ）当01t <≤时，213
4322
S t t t =
?= ； ⅱ）当12t <≤时，设点E 的坐标为()22x y ，
∴
()5
4454
2--=
t y ，∴516362t y -=
∴t t t t S 5
27
5125163623212+-=-??=
ⅲ）当2 16363t y -= 设点D 的坐标为()44,y x ∴5 32344 -=t y ， ∴5 12 64-=t y ∴AOE AOD S S S =-△△ 5 12632151636321-??--??= t t =5 72533+-t ③80 243 0=S 7.关于x 的二次函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图； （2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作 x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； （3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由． 参考资料：抛物线2 (0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标是2424b ac b a a ?? -- ???，，对称轴是直线 2b x a =- ． 解：（1）据题意得：240k -=， 2k ∴=±． 当2k =时，2220k -=>． 当2k =-时，2260k -=-<． 又抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，2k ∴=． ∴抛物线的解析式为：22y x =-+． 函数的草图如图所示．（只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可） （2）解：令2 20x -+=，得2x =±． 不02x << 时，112A D x =，2112A B x =-+， 211112()244l A B A D x x ∴=+=-++． 当2x > 时，222A D x =， 2222(2)2A B x x =--+=-． 222222()244l A D A B x x ∴=+=+-． 4 3 2 1 1- 2 -3 -4 -5 -1- 2-3-4- 1 2 3 4 1D 1A 1B 1C 2C 2 B 2A 2 D x y l ∴关于x 的函数关系是： 当02x <<时，2244l x x =-++； 当2x > 时，2244l x x =+-． （3）解法一：当02x <<时，令1111A B A D =， 得2220x x +-=． 解得13x =--（舍），或13x =-+． 将13x =-+代入2244l x x =-++， 得838l =-． 当2x > 时，令2222A B A D =，得2220x x --=． 解得13x =-（舍），或13x =+． 将13x =+代入2 244l x x =+-，得838l =+． 综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31x =+时，正方形的周长为838+． 解法二：当02x << 时，同“解法一”可得13x =-+． ∴正方形的周长1148838l A D x ===-． 当2x > 时，同“解法一”可得13x =+． ∴正方形的周长2248838l A D x ===+． 综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31x =+时，正方形的周长为838+． 解法三： 点A 在y 轴右侧的抛物线上， 0x ∴>，且点A 的坐标为2(2)x x -+，． 令AB AD =，则222x x -+=． ∴222x x -+=， ①或222x x -+=- ② 由①解得13x =--（舍），或13x =-+； 由②解得13x =-（舍），或13x =+． 又8l x =， ∴当13x =-+时838l =-； 当13x =+时838l =+． 综上，矩形ABCD 能成为正方形，且当31x =-时正方形的周长为838-；当31x =+时，正方形的周长为838+． 8.已知抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，其中点B 在x 轴的正 半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，线段OB 、OC 的长（OB －10x ＋16＝0的两个根，且抛物线的对称轴是直线x ＝－2． （1）求A 、B 、C 三点的坐标； （2）求此抛物线的表达式； （3）连接AC 、BC ，若点E 是线段AB 上的一个动点（与点A 、点B 不重合），过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ，连接CE ，设AE 的长为m ，△CEF 的面积为S ，求S 与m 之间的函数关系式，并写出自变量m 的取值范围； （4）在（3）的基础上试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出S 的最大值，并求出此时点E 的坐标，判断此时△BCE 的形状；若不存在，请说明理由． 解：（1）解方程x 2 －10x ＋16＝0得x 1＝2，x 2＝8 ∵点B 在x 轴的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，且OB ＜OC ∴点B 的坐标为（2，0），点C 的坐标为（0，8） 又∵抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的对称轴是直线x ＝－2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为（－6，0） 第26题图 （2）∵点C （0，8）在抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 的图象上 ∴c ＝8，将A （－6，0）、B （2，0）代入表达式，得 ? ?? ?? 0＝36a －6b ＋80＝4a ＋2b ＋8 解得????? a ＝－2 3 b ＝－8 3 ∴所求抛物线的表达式为y ＝－23x 2－8 3x ＋8 （3）依题意，AE ＝m ，则BE ＝8－m ， ∵OA ＝6，OC ＝8，∴AC ＝10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC ＝BE AB 即EF 10＝8－m 8 ∴EF ＝40－5m 4 过点F 作FG ⊥AB ，垂足为G ，则sin ∠FEG ＝sin ∠CAB ＝4 5 ∴FG EF ＝45 ∴FG ＝45·40－5m 4 ＝8－m ∴S ＝S △BCE －S △BFE ＝12（8－m ）×8－1 2（8－m ）（8－m ） ＝12（8－m ）（8－8＋m ）＝12（8－m ）m ＝－12m 2 ＋4m 自变量m 的取值范围是0＜m ＜8 （4）存在． 理由：∵S ＝－12m 2＋4m ＝－12（m －4）2 ＋8 且－12 ＜0， 第26题图(批卷教师用图) ∴当m ＝4时，S 有最大值，S 最大值＝8 ∵m ＝4，∴点E 的坐标为（－2，0） ∴△BCE 为等腰三角形． 9.（14分）如图：抛物线经过A （-3，0）、B （0，4）、C （4，0）三点. （1） 求抛物线的解析式. （2）已知AD = AB （D 在线段AC 上），有一动点P 从点A 沿线段AC 以每秒1个单位长度的速度移动；同时另一个动点Q 以某一速度从点B 沿线段BC 移动，经过t 秒的移动，线段PQ 被BD 垂直平分，求t 的值； （3）在（2）的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。 （注：抛物线2y ax bx c =++的对称轴为2b x a =- ） （1）解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4) 因为B （0，4）在抛物线上，所以4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 )解得a= -1/3 所以抛物线解析式为2111 (3)(4)4333 y x x x x =-+-=- ++ 解法二：设抛物线的解析式为2 (0)y ax bx c a =++≠， 依题意得：c=4且934016440a b a b -+=??++=? 解得13 1 3a b ?=-????=?? 所以 所求的抛物线的解析式为211 433 y x x =-++ （2）连接DQ ，在Rt △AOB 中，2222345AB AO BO = +=+= 所以AD=AB= 5，AC=AD+CD=3 + 4 = 7，CD = AC - AD = 7 – 5 = 2 因为BD 垂直平分PQ ，所以PD=QD ，PQ ⊥BD ，所以∠PDB=∠QDB 因为AD=AB ，所以∠ABD=∠ADB ，∠ABD=∠QDB ，所以DQ ∥AB 所以∠CQD=∠CBA 。∠CDQ=∠CAB ，所以△CDQ ∽ △CAB DQ CD AB CA = 即210 ,577 DQ DQ == 所以AP=AD – DP = AD – DQ=5 –107=257 ，2525 177 t =÷= 所以t 的值是25 7 （3）答对称轴上存在一点M ，使MQ+MC 的值最小 理由：因为抛物线的对称轴为122 b x a =- = 所以A （- 3，0），C （4，0）两点关于直线1 2 x =对称 连接AQ 交直线1 2 x = 于点M ，则MQ+MC 的值最小 过点Q 作QE ⊥x 轴，于E ，所以∠QED=∠BOA=900 DQ ∥AB ，∠ BAO=∠QDE ， △DQE ∽△ABO QE DQ DE BO AB AO == 即 10 7453 QE DE == 所以QE=87，DE=67，所以OE = OD + DE=2+67=207，所以Q （207，8 7 ） 设直线AQ 的解析式为(0)y kx m k =+≠ 则2087730k m k m ?+=???-+=? 由此得 841 2441 k m ? =??? ?=?? 所以直线AQ 的解析式为8244141y x =+ 联立12 8244141x y x ? =????=+?? 由此得128244141 x y x ? =????=+?? 所以M 128(, )241 则：在对称轴上存在点M 128 (,)241 ，使MQ+MC 的值最小。 10. 如图9，在平面直角坐标系中，二次函数)0(2 >++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点， 圆的解题技巧总结 一、垂径定理的应用 1、求半径 例1.高速公路的隧道和桥梁最多．图1是一个隧道的横截面，若它的形状 是以O 为圆心的圆的一部分，路面AB =10米，净高CD =7米，则此圆的半径OA = （ ） （A ）5 （B ）7 （C ）37 5 （D ）377 2、求弦长 例2.工程上常用钢珠来测量零件上小孔的直径，假设钢珠的直径是10mm ，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm ，如图2所示，则这个小孔的直径AB ＿＿＿＿mm ． 3、求弦心距 例3.如图4，圆O 的半径为5，弦8AB =，OC AB ⊥于C ，则OC 的长等于 ． 4、求拱高（弓形高） 例4.兴隆蔬菜基地建圆弧形蔬菜大棚的剖面如图5所示，已知AB =16m ，半径 OA =10m ，高度CD 为_____m ． 5、求角度 例5.如图6，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，∠AOC =60o，则∠B = ． 6、探究线段的最小值 图3 B A 8mm 图2 图1 B 图 6 A 图5 例6.如图，⊙O 的半径OA =10cm ，弦AB =16cm ，P 为AB 上一动点，则点P 到圆心O 的最短距离为 cm ． 二、与圆有关的多解题 在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解． 1、点与圆的位置关系不唯一 例1.若⊙O 所在平面内一点P 到⊙O 上的点的最大距离为a ，最小距离为b （a ＞b ），则此圆的半径为（ ）。 2、弦与弦的位置关系不唯一 例2.⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，AB=6cm ，CD=8cm ，则AB 与CD 之间的距离是（ ）。 （A ）7cm （B ）8cm （C ）7cm 或1cm （D1cm 例3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的弦，AB=2，AC= ，在图中画出弦AD ，使AD 等于1，并 求出∠CAD 的度数。 3、点在直径上的位置不唯一 例4．已知⊙O 的直径AB=10cm ，弦CD ⊥AB 于点M 。若OM ：OA=3：5，则弦AC 的长为多少？ 4、弦所对圆周角的不唯一 例5．圆的一条弦长等于它的半径，那么这条弦所对的圆周角为（ ）。 （A ）30°或60°（B ）60°（C ）150°（D ）30°或150° 5、圆与圆的位置关系不唯一 例6．如果两圆相切，两圆的圆心距为8cm ，圆A 的半径为3cm ，则圆B 的半径是（ ）。 （A ）5cm （B ）11cm （C ）3cm （D ）11cm 或5cm 6、相交圆圆心与公共弦的位置关系不唯一 图7 数学解题方法总结 画图法解决奥数难题 一个山清水秀的村子里有三个好朋友：小明、小刚和小强，他们常在一起合伙打鱼。一次，他们忙碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡 着了。小明醒了想起家里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份， 自己拿一份走了。不一会儿小刚也醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太 阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚上哪去了？这么晚了，我得回家劈柴去。于是，他又把鱼分成三份，自己拿走一份。最后还剩下8条鱼。 第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩下的8条鱼给小刚3条，小强5条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？ 这个问题直接从文字上分析有一定难度，为了帮助我们理解题意，启发解题思路，可以根据题意，画出下面的线段图。 由于最后剩的8条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是8÷２条。那么小刚拿走自己分的一份鱼后剩下的鱼是8÷2×３条，这占小刚分的三份中的两份，所以小刚拿走的鱼是（8÷2×3）÷2；同样可得知小明拿走的鱼是［（8÷2×3）÷2×3］÷２条。所以打的鱼一共是［（8÷2×3）÷2×3］÷2×3＝27（条）。 当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是8一条和第二天又拿了5条知道，每人平均拿了8÷2＋5条，所以打的鱼一共是（8÷2＋5）×3＝27（条）。 小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋 友。 一次，小明从山里来了一筐山梨，他把小刚和小强找来，对他们说：“我把这筐梨先分 给你们一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半给了小刚，然后又给小刚加了1个。接着，他又把剩下的给了小强一半，也同样给小强加了1个，最后剩下5个山梨，他自己留下了。 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 【二次函数的定义】 （考点：二次函数的二次项系数不为0，且二次函数的表达式必须为整式） 1、下列函数中，是二次函数的是 . ①y=x2－4x+1；②y=2x2；③y=2x2+4x；④y=－3x； ⑤y=－2x－1；⑥y=mx2+nx+p；⑦y =(4,x) ；⑧y=－5x。 2、在一定条件下，若物体运动的路程s（米）与时间t（秒）的关系式为s=5t2+2t，则t＝4 秒时，该物体所经过的路程为。 3、若函数y=(m2+2m－7)x2+4x+5是关于x的二次函数，则m的取值范围为。 4、若函数y=(m－2)x m －2+5x+1是关于x的二次函数，则m的值为。 6、已知函数y=(m－1)x m2 +1+5x－3是二次函数，求m的值。 【二次函数的对称轴、顶点、最值】 （技法：如果解析式为顶点式y=a(x－h)2+k，则最值为k； 如果解析式为一般式y=ax2+bx+c，则最值为4ac-b2 4a 1．抛物线y=2x2+4x+m2－m经过坐标原点，则m的值为。 2．抛物y=x2+bx+c线的顶点坐标为（1，3），则b＝，c＝ . 3．抛物线y＝x2＋3x的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4．若抛物线y＝ax2－6x经过点(2，0)，则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) B. 5．若直线y＝ax＋b不经过二、四象限，则抛物线y＝ax2＋bx＋c( ) A.开口向上，对称轴是y轴 B.开口向下，对称轴是y轴 C.开口向下，对称轴平行于y轴 D.开口向上，对称轴平行于y轴 6．已知抛物线y＝x2＋(m－1)x－1 4 的顶点的横坐标是2，则m的值是_ . 7．抛物线y=x2+2x－3的对称轴是。 8．若二次函数y=3x2+mx－3的对称轴是直线x＝1，则m＝。 9．当n＝______，m＝______时，函数y＝(m＋n)x n＋(m－n)x的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口________. 10．已知二次函数y=x2－2ax+2a+3，当a= 时，该函数y的最小值为0. 圆锥曲线―概念、方法、题型、及应试技巧总结 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 如 （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．4 21=+PF PF B ．621=+PF PF C ．10 21=+PF PF D ．122 2 2 1 =+PF PF （答：C ） ； （2）方程8=表示的曲线是_____（答：双曲线的左 支） （2）第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率e 。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 如已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）? { cos sin x a y b ??==（参数方程， 其中?为参数），焦点在y 轴上时2222b x a y +＝1（0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示椭 圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 如（1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____（答： 11 (3,)(,2)22 ---） ； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，2 2y x +的最小值是 ___2） （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1 （0,0a b >>）。方程22 Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ， B 异号 函数值域求法小结 一、观察法（根据函数图象、性质能较容易得出值域(最值)的简单函数） 1、求242-+-=x y 的值域。 由绝对值函数知识及二次函数值域的求法易得： )[)[∞+-∈∞+∈-+-=,2,,024)(2y x x g 所以 2、求函数1 11 y x = ++的值域。 分析：首先由1x +≥0，得1x ++1≥1，然后在求其倒数即得答案。 解： 1x +≥0∴1x ++1≥1，∴０＜ 1 11 x ++≤１，∴函数的值域为（０，１]． 二、配方法（当所给函数是二次函数或可化为二次函数的复合函数时，可利用配方法求值域） 1、求函数][)4,0(422∈+--=x x x y 的值域。 设：)0)((4)(2 ≥+-=x f x x x f 配方得：][)4,0(4)2()(2 ∈+--=x x x f 利用二次函数的 相关知识得][4,0)(∈x f ，从而得出：][2,2-∈y 。 说明：在求解值域(最值)时，遇到分式、根式、对数式等类型时要注意函数本身定义域的限制，本题为：0)(≥x f 。 2、求函数3 42-+-=x x e y 的值域。 解答：此题可以看作是u e y =和342-+-=x x u 两个函数复合而成的函数，对u 配方可得： 1)2(2+--=x u ，得到函数u 的最大值1=u ，再根据u e y =得到y 为增函数且0>y 故 函数3 42-+-=x x e y 的值域为：],0(e y ∈。 3、若,42=+y x 0,0>>y x ，试求y x lg lg +的最大值。 本题可看成一象限动点),(y x p 在直线42=+y x 上滑动时函数xy y x lg lg lg =+的最大值。利用两点(4，0)，(0，2)确定一条直线，作出图象易得： 2 )1(2lg[)]24(lg[lg lg lg ),2,0(),4,0(2+--=-==+∈∈y y y xy y x y x 而，y=1时，y x lg lg +取最大值2lg 。 三、反函数法（分子、分母只含有一次项的函数，也可用于其它易 数学怎么总结解题方法 数学解题要有一定的方法可言，不可以盲目，以下是小编整理的数学怎么总结解题方法，欢迎参考阅读！ 1、直接法：根据选择题的题设条件，通过计算、推理或判断，，最后得到题目的所求。 2、特殊值法：有些选择题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关，在解这类选择题时，可以考虑从取值范围内选取某几个特殊值，代入原命题进行验证，然后淘汰错误的，保留正确的。 3、淘汰法：把题目所给的四个结论逐一代回原题的题干中进行验证，把错误的淘汰掉，直至找到正确的答案。 4、逐步淘汰法：如果我们在计算或推导的过程中不是一步到位，而是逐步进行，既采用“走一走、瞧一瞧”的策略，每走一步都与四个结论比较一次，淘汰掉不可能的，这样也许走不到最后一步，三个错误的结论就被全部淘汰掉了。 5、数形结合法：根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合，寻求解题思路，使问题得到解决。 1、数形结合思想：就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和图形巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种结合， 寻求解体思路，使问题得到解决。 2、联系与转化的思想：事物之间是相互联系、相互制约的，是可以相互转化的。数学学科的各部分之间也是相互联系，可以相互转化的。在解题时，如果能恰当处理它们之间的相互转化，往往可以化难为易，化繁为简。如：代换转化、已知与未知的转化、特殊与一般的转化、具体与抽象的转化、部分与整体的转化、动与静的转化等等。 3、分类讨论的思想：在数学中，我们常常需要根据研究对象性质的差异，分各种不同情况予以考查，这种分类思考的方法，是一种重要的数学思想方法，同时也是一种重要的解题策略。 4、待定系数法：当我们所研究的数学式子具有某种特定形式时，要确定它，只要求出式子中待确定的字母得值就可以了。为此，把已知条件代入这个待定形式的式子中，往往会得到含待定字母的方程或方程组，然后解这个方程或方程组就使问题得到解决。 5、配方法：就是把一个代数式设法构造成平方式，然后再进行所需要的变化。配方法是初中代数中重要的变形技巧，配方法在分解因式、解方程、讨论二次函数等问题，都有重要的作用。 6、换元法：在解题过程中，把某个或某些字母的式子作为一个整体，用一个新的字母表示，以便进一步解决问题 高中数学求函数值域的 方法十三种 TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】 高中数学：求函数值域的十三种方法 一、观察法（☆ ） 二、配方法（☆） 三、分离常数法（☆） 四、反函数法（☆） 五、判别式法（☆） 六、换元法（☆☆☆） 七、函数有界性 八、函数单调性法（☆） 九、图像法（数型结合法）（☆） 十、基本不等式法 十一、利用向量不等式 十二、 十三、一一映射法 十四、 多 种 方 法 综 合 运 用 一、观察法：从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围。 【例1】 求函数1y =的值域。 11≥， ∴函数1y =的值域为[1,)+∞。 【例2】求函数 x 1 y = 的值域。 【解析】∵0x ≠ ∴0 x 1≠ 显然函数的值域是： ),0()0,(+∞-∞ 【例3】已知函数()112--=x y ，{}2,1,0,1-∈x ，求函数的值域。 【解析】因为{}2,1,0,1- =f f，()1 1- f所以： = 2 0= f，()()0 ∈ 3 x，而()()3 -f = 1= {}3,0,1- ∈ y 注意：求函数的值域时，不能忽视定义域，如果该题的定义域为R x∈，则函数的值域为{}1 y。 y ≥ |- 二．配方法：配方法式求“二次函数类”值域的基本方法。形如2 =++的 F x af x bf x c ()()() 函数的值域问题，均可使用配方法。 【例1】求函数225,[1,2] y x x x =-+∈-的值域。 【解析】将函数配方得：∵由二次函数的性质可知：当x=1 ∈[-1,2]时，，当时，故函数的值域是：[4，8] 【变式】已知，求函数的最值。 【解析】由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。 图2 专题 三角函数题型分类总结 三角函数公式一览表 ............................................................................................................... 错误！未定义书签。 一 求值问题 ........................................................................................................................................................... - 1 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 1 - 二 最值问题 ........................................................................................................................................................... - 2 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 三 单调性问题 ....................................................................................................................................................... - 3 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 3 - 四.周期性问题 ........................................................................................................................................................ - 4 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 4 - 五 对称性问题 ....................................................................................................................................................... - 5 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 5 - 六.图象变换问题 .................................................................................................................................................... - 6 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 7 - 七．识图问题 ......................................................................................................................................................... - 7 - 练习 ................................................................................................................................................................. - 9 - 一 求值问题 类型1 知一求二 即已知正余弦、正切中的一个，求另外两个 方法：根据三角函数的定义，注意角所在的范围（象限），确定符号； 例 4 s i n 5 θ=，θ是第二象限角，求cos ,tan θθ 类型2 给值求值 例1 已知2tan =θ，求（1） θ θθθsin cos sin cos -+；（2）θθθθ2 2cos 2cos .sin sin +-的值. 练习 1、sin 330?= tan 690° = o 585sin = 2、（1）α是第四象限角，12 cos 13 α=，则sin α= （2）若4 sin ,tan 05 θθ=- >，则cos θ= . （3）已知△ABC 中，12 cot 5 A =-，则cos A = . (4) α是第三象限角，2 1)sin(=-πα，则αcos = )25cos(απ += 3、(1) 已知5 sin ,5 α= 则44sin cos αα-= . 小学数学解题的19种方法总结 一、形象思维方法 形象思维方法是指人们用形象思维来认识、解决问题的方法。它的思维基础是具体形象，并从具体形象展开来的思维过程。形象思维的主要手段是实物、图形、表格和典型等形象材料。它的认识特点是以个别表现一般，始终保留着对事物的直观性。它的思维过程表现为表象、类比、联想、想象。它的思维品质表现为对直观材料进行积极想象，对表象进行加工、提炼进而提示出本质、规律，或求出对象。它的思维目标是解决实际问题，并且在解决问题当中提高自身的思维能力。 1、实物演示法 利用身边的实物来演示数学题目的条件和问题，及条件与条件，条件与问题之间的关系，在此基础上进行分析思考、寻求解决问题的方法。这种方法可以使数学内容形象化，数量关系具体化。比如：数学中的相遇问题。通过实物演示不仅能够解决“同时、相向而行、相遇”等术语，而且为学生指明了思维方向。再如，在一个圆形（方形）水塘周围栽树问题，如果能进行一个实际操作，效果要好得多。 二年级数学教材中，“三个小朋友见面握手，每两人握一次，共要握几次手”与“用三张不同的数字卡片摆成两位数，共可以摆成多少个两位数”。像这样的有关排列、组合的知识，在小学教学中，如果实物演示的方法，是很难达到预期的教学目标的。 特别是一些数学概念，如果没有实物演示，小学生就不能真正掌握。长方形的面积、长方体的认识、圆柱的体积等的学习，都依赖于实物演示作思维的基础。 所以，小学数学教师应尽可能多地制作一些数学教（学）具，而且这些教（学）具用过后要好好保存，可以重复使用。这样可以有效地提高课堂教学效率，提升学生的学习成绩。 2、图示法 借助直观图形来确定思考方向，寻找思路，求得解决问题的方法。图示法直观可靠，便于分析数形关系，不受逻辑推导限制，思路灵活开阔，但图示依赖于人们对表象加工整理的可靠性上，一旦图示与实际情况不相符，易使在此基础上的联想、想象出现谬误或走入误区，最后导致错误的结果。比如有的数学教师爱徒手画数学图形，难免造成不准确，使学生产生误解。 在课堂教学当中，要多用图示的方法来解决问题。有的题目，图画出来了，结果也就出来的；有的题，图画好了，题意学生也就明白了；有的题，画图则可以帮助分析题意、启迪思路，作为其他解法的辅助手段。 例1把一根木头锯成3段需要24分钟，锯成6段需要多少分钟？（图略） 思维方法是：图示法。 思维方向是：锯几次，每次用几分钟。 思路是：锯3段锯了几次，每次用几分钟，锯6段锯了几次，需要多少分钟。 例2判断等腰三角形中，点D是底边BC的中点，图甲的面积比图乙的面积大，图甲的周长比图乙的周长长。（图略） 思维方法：图示法。 思维方向：先比较面积，再比较周长。 思路：作条辅助线。图甲占的面积大，图乙所占面积小，所以“图甲的面积比图乙的面积大”是正确的。线段AD比曲线AD短，所以“图甲的周长比图乙的周长长”是错误的。 3、列表法 运用列出表格来分析思考、寻找思路、求解问题的方法叫做列表法。列表法清晰明了，便于分析比较、提示规律，也有利于记忆。它的局限性在于求解范围小，适用题型狭窄，大 圆的解题技巧总结 、垂径定理的应用 给出的圆形纸片如图所示，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径 CD 的弦AB,垂足 为P,再将纸片沿着直径 CD 对折，我们很容易发现 A B 两点重合，即有结论AP=BP 弧AC= 弧BC.其实这个结论就是“垂径定理”，准确地叙述为：垂直于弦的直径平分这条弦，并 且平分弦所对的弧. 垂径定理是“圆”这一章最早出现的重要定理， 它说明的是圆的直径与弦及弦所对的弧 之间的垂直或平分的对应关系， 是解决圆内线段、弧、角的相等关系及直线间垂直关系的重 要依据，同时，也为我们进行圆的有关计算与作图提供了方法与依据. 例1某居民小区一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需确定管道圆形 截面的半径，下图是水平放置的破裂管道有水部分的截面. (1) 请你补全这个输水管道的圆形截面； (2) 若这个输水管道有水部分的水面宽 AB=16cm 水面最深地方的高度为 4cm,求这个圆 形截面的半径. 例3 如图，已知OO 中，直径 MN=10正方形 ABCD 的四个顶点分别在半径 OM 0P 以 及OO 上，并且/ POM=4°，贝U AB 的长为多少？ 例4图为小自行车内胎的一部分，如何将它平均分给两个小朋发做玩具 ? 例2如图，PQ=3以PQ 为直径的圆与一个以 5为半径的圆相切于点 P,正方形ABCD 的顶点A 、B 在大圆上，小圆在正方形的外部且与 CD 切于点Q,贝U AB= ? 二、与圆有关的多解题 几何题目一般比较灵活，若画图片面，考虑不周，很容易漏解，造成解题错误，在解有关圆的问题时，常常会因忽视图形的几种可能性而漏解. 1.忽视点的可能位置. 例5 △ ABC是半径为2的圆的内接三角形，若BC=2庐cm,贝卩/A的度数为__________________ 2.忽视点与圆的位置关系. 例6 点P到O0的最短距离为2 cm，最长距离为6 cm,则O 0的半径是__________________ 3?忽视平行弦与圆心的不同位置关系. 例7 已知四边形ABCD是O0的内接梯形，AB// CD AB=8 cm, CD=6 cm O0的半径是 5 cm ,则梯形的面积是_________ . 4.忽略两圆相切的不同位置关系 例8 点P在O0外，0P=13 cm PA切O 0于点A, PA=12 cm ,以P为圆心作O P与O0 相切，贝UOP 的半径是______________________ . 例9 若O O与O0 2相交，公共弦长为24 cm, O 0与O0 2的半径分别为13 cm和15 cm, 则圆心距0102的长为_________________ . 三、巧证切线 切线是圆中重要的知识点，而判断直线为圆的切线是中考的重要考点. 判断直线是否是圆的切线，主要有两条途径： 1?圆心到直线的距离等于半径 求函数值域 、 周期的方法总结（适合高一） 求值域 一、直接法：（从自变量x 的范围出发，推出()y f x =的取值范围）例1．求函数2+=x y 的值域。 二、配方法（是求二次函数值域的基本方法，如2()()()F x af x bf x c =++的函数的值域问题，均可使用配方法）例2．求函数242y x x =-++（[1,1]x ∈-）的值域。 三、分离常数法（分子、分母是一次函数得有理函数，可用分离常数法，此类问题一般也可以利用反函数法）例3．求函数125 x y x -=+的值域。 四、换元法（运用代数代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函 数的值域，如y ax b =+a 、b 、c 、d 均为常数，且0a ≠）的函数常用此法 求解。例4．求函数2y x = 五、函数的单调性法（确定函数在定义域（或某个定义域的子集）上的单调性，求出函数的值域，形如求函数()0>+=k x k x y 的值域（k x <<0时为减函数；k x >时为 增函数））例5．求函数y x = 六、利用有界性(利用某些函数有界性求得原函数的值域)例6求函数2211 x y x -=+的值域。 七、数型结合法（函数图像是掌握函数的重要手段，利用数形结合的方法，根据函数图像求得函数值域，是一种求值域的重要方法）例7．求函数11-++=x x y 的值域。 除此之外，还有反函数法（即利用函数和它的反函数的定义域与值域的关系，通过求反函数的定义域而得到原函数的值域）和判别式法（即把函数转化成关于x 的二次方程()0,=y x F ，通过方程有实根，0≥?，从而求得原函数的值域，需熟练掌握一元二次不等式的解法），在今后的学习中，会具体讲述。 周期 一．定义：若T 为非零常数，对于定义域内的任一x ，使)()(x f T x f =+恒成立 则f (x )叫做周期函数，T 叫做这个函数的一个周期。 二．重要结论 1、()()f x f x a =+，则()y f x =是以T a =为周期的周期函数； 2、 若函数y=f(x)满足f(x+a)=-f(x)(a>0),则f(x)为周期函数且2a 是它的一个周期。 3、 若函数()()f x a f x a +=-，则()x f 是以2T a =为周期的周期函数 三角函数高考题型分类总结 一．求值 1.若4sin ,tan 05 θθ=->，则cos θ=. 2.α是第三象限角，2 1)sin(= -πα，则αcos =)25cos(απ+= 3.若角α的终边经过点(12)P -，，则αcos = tan 2α= 4.下列各式中，值为 2 3 的是 ( ) （A ）2sin15cos15?? （B ）?-?15sin 15cos 22（C ）115sin 22-?（D ）?+?15cos 15sin 22 5.若02,sin απαα≤≤> ，则α的取值范围是： ( ) （Ａ）,32ππ?? ???（Ｂ）,3ππ?? ???（Ｃ）4,33ππ?? ???（Ｄ）3,32 ππ ?? ??? 二.最值 1.函数()sin cos f x x x =最小值是。 2.若函数()(1)cos f x x x =+，02 x π ≤< ，则()f x 的最大值为 3.函数()cos 22sin f x x x =+的最小值为最大值为。 4．已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? - ???? 上的最小值是2-，则ω的最小值等于 5.设02x π?? ∈ ??? ，，则函数22sin 1sin 2x y x +=的最小值为． 6．将函数x x y cos 3sin -=的图像向右平移了n 个单位，所得图像关于y 轴对称，则n 的最小正值是 A ． 6π7 B ．3π C ．6π D ．2 π 7.若动直线x a =与函数()sin f x x =和()cos g x x =的图像分别交于M N ，两点，则MN 的最大值为（ ） A ．1 B C D ．2 8.函数2 ()sin cos f x x x x =+在区间,42ππ?? ? ??? 上的最大值是 ( ) A.1 32 中考数学圆的解题方法归纳总结及例题分析 1．遇到弦时（解决有关弦的问题时） 常常添加弦心距，或者作垂直于弦的半径（或直径）或再连结过弦的端点的半径。 作用：①利用垂径定理； ②利用圆心角及其所对的弧、弦和弦心距之间的关系； ③利用弦的一半、弦心距和半径组成直角三角形，根据勾股定理求有关量。 例1： 例2： 2．遇到有直径时 常常添加（画）直径所对的圆周角。 作用：利用圆周角的性质，得到直角或直角三角形。 3．遇到90°的圆周角时 常常连结两条弦没有公共点的另一端点。 作用：利用圆周角的性质，可得到直径。 例题：如图，已知在等腰△ABC中，∠A=∠B=30°，过点C作CD⊥AC交AB于点D；求证：BC是过A，D，C三点的圆的切线 解：（1）作出圆心O， 以点O为圆心，OA长为半径作圆 （2）证明：∵CD⊥AC，∴∠ACD=90°∴AD是⊙O的直径 连结OC，∵∠A=∠B=30°，∴∠ACB=120°，又∵OA=OC，∴∠ACO=∠A =30° ∴∠BCO=∠ACB-∠ACO =120°-30°=90°∴BC⊥OC，∴BC是⊙O的切线. 4．遇到弦时 常常连结圆心和弦的两个端点，构成等腰三角形，还可连结圆周上一点和弦的两个端点。 作用：①可得等腰三角形； ②据圆周角的性质可得相等的圆周角。 如图，△ABC是⊙O的接三角形，AD是⊙O 的直径，若∠ABC=50°，求∠CAD的度数。 解：连接CD，∠ADC=∠ABC=50°,∵AD是⊙O 的直径，∴∠ACD=90°∴∠CAD+∠ADC=90°∴∠CAD=90°-∠ADC=90°-50°= 40° 5．遇到有切线时 （1）常常添加过切点的半径（连结圆心和切点） 作用：利用切线的性质定理可得到直角或直角三角形。 （2）常常添加连结圆上一点和切点 作用：可构成弦切角，从而利用弦切角定理。 <一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形 函数综合题分类复习 题型一：关于函数的单调区间（若单调区间有多个用“和”字连接或用“逗号”隔开），极值，最值；不等式恒成立；此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令 0)('=x f 得到两个根；第二步：列表如下；第三步：由表可知； 不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题，常见处理方法有四种： 第一种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----题型特征（已知谁的范围就把谁作为主元）；第二种：分离变量求最值（请同学们参考例5）；第三种：关于二次函数的不等式恒成立；第四种：构造函数求最值----题型特征 )()(x g x f >恒成立 0)()()(>-=?x g x f x h 恒成立；参考例4； 例1.已知函数32 1()23 f x x bx x a =-++，2x =是)(x f 的一个极值点． （Ⅰ）求()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）若当[1, 3]x ∈时，2 2()3 f x a ->恒成立，求a 的取值范围． 例2.已知函数b ax ax x x f +++=2 3)(的图象过点)2,0(P . （1）若函数)(x f 在1-=x 处的切线斜率为6，求函数)(x f y =的解析式；（2）若3>a ，求函数)(x f y =的单调区间。 例3.设2 2(),1 x f x x = +()52(0)g x ax a a =+->。 （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域； （2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈,使得01()()g x f x =成立,求a 的取值范围。 例4.已知函数 32()f x x ax =+图象上一点(1,)P b 的切线斜率为3-， 32 6()(1)3(0)2 t g x x x t x t -=+-++> （Ⅰ）求,a b 的值； （Ⅱ）当[1,4]x ∈-时，求()f x 的值域； （Ⅲ）当[1,4]x ∈时，不等式()()f x g x ≤恒成立，求实数t 的取值范围。 例5.已知定义在R 上的函数 32()2f x ax ax b =-+） （0>a 在区间[]2,1-上的最大值是5，最小值是－11. （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）若]1,1[-∈t 时，0(≤+'tx x f ）恒成立，求实数x 的取值范围. 例6.已知函数 2233)(m nx mx x x f +++=，在1-=x 时有极值0，则=+n m 例7.已知函数23)(a x x f =图象上斜率为3的两条切线间的距离为 510 2，函数33)()(2 2 +-=a bx x f x g ． （1） 若函数)(x g 在1=x 处有极值，求)(x g 的解析式； （2） 若函数)(x g 在区间]1,1[-上为增函数，且)(42 x g mb b ≥+-在区间]1,1[-上都成立，求实数m 的取值范围． 答案： 1、解：（Ⅰ） '2()22f x x bx =-+. ∵2x =是)(x f 的一个极值点， ∴2x =是方程2 220x bx -+=的一个根，解得32 b =. 令'()0f x >，则2 320x x -+>，解得1x <或2x >. ∴函数()y f x =的单调递增区间为(, 1)-∞，(2, +)∞. （Ⅱ）∵当(1,2)x ∈时 '()0f x <，(2,3)x ∈时'()0f x >， ∴ ()f x 在（1，2）上单调递减，()f x 在（2，3）上单调递增. ∴(2)f 是()f x 在区间[1，3]上的最小值，且 2 (2)3 f a = +. 若当[1, 3]x ∈时，要使 22()3f x a -> 恒成立，只需22(2)3f a >+， 即2 2233 a a +>+，解得 01a <<. 2、解：（Ⅰ）a ax x x f ++='23)(2 ． 由题意知? ??=+-=-'==623)1(2)0(a a f b f ，得 ???=-=23b a ． ∴ 233)(23+--=x x x x f ． （Ⅱ）023)(2=++='a ax x x f ． ∵ 3>a ，∴ 01242>-=?a a ．圆的解题技巧与方法总结及练习
小学数学解题方法总结
高中数学-函数定义域、值域求法总结
中考复习：二次函数题型分类总结
圆锥曲线解题技巧经典实用最新
高中函数值域求法小结
数学怎么总结解题方法
高中数学求函数值域的方法十三种审批稿
三角函数题型分类总结
小学数学解题的19种方法总结
圆的解题技巧总结0608
求函数值域 、 周期的方法总结(适合高一)
三角函数知识点及题型归纳
中考数学圆的解题方法归纳总结与例题分析报告
求函数定义域和值域方法和典型题归纳
2020高考数学函数与导数综合题型分类总结