材料力学-正负号
材料力学中应力与应变的名称与正负定义
力
学
与
实
践
2017 年 第 39 卷
材料力学中应力与应变的名称与正负定义
李依伦
∗
李 敏
†,1) 北京 100191) 北京 100191)
∗ (北京航空航天大学中法工程师学院,
† (北京航空航天大学航空科学与工程学院,
摘要 本文回顾了材料力学教材不同章节中应力与应变的名 称，结合国标 GB 3102.3-1993 说明其与标准名称的关系； 对比弹性力学的符号体系， 给出材料力学符号体系的不同点 以及转换方式. 对于该问题的理解有助于讲授课程时规范名 词定义，避免教材编写或讲授时符号定义的混乱. 关键词 应力，应变，材料力学 中图分类号：O341 文献标识码：A
(b)
图 1 应力定义示意图
图 2 应变定义一维模型示意图
(a) 图 3 应变定义二维模型示意图
从数学定义上几乎所有教材均不完全符合国家 标准的定义方法， 特别是切应变定义方法. 事实上， 国家标准中线应变与切应变的定义方法偏于宏观与 近似计算而非概念表述. 鉴于目前国内外教材的现状，短期之内应变的 名称与定义， 特别是应变定义, 完全统一至国家标准 不现实. 但从教学角度出发，教师了解名称与定义 的出处与相互关系是有益的.
第 5 期
李依伦等：材料力学中应力与应变的名称与正负定义
485
4(b) 为平面应变状态下平行于 xoy 截面的简化分析
模型)， 因为在三维模型下才有面的法向位移与切向 位移， 由法向位移定义的应变称为正应变， 由切向位 移决定的应变称为切应变. 作为固体力学的基础课程，材料力学首次向学 生展示变形体概念，物体的变形用尺寸的变化与形 状的变化表征. 针对三维微元体，其尺寸的变化常 常用互垂三方向线段的变化表征，每个方向均为线 段长度变化， 而线应变是变化集度的表征； 除尺寸的 变化外，三维微元体形状变化使用原始互垂表面的 歪斜衡量，这种变化就是互垂线段的夹角改变量. 在 《中华人民共和国国家标准: 力学的量和单位 (GB 3102.3-1993)》 中规定的应变名称为线应变 (linear strain) 与切应变 (shear strain). 线应变的定义式 为 ε = ∆l/l0 ，式中 l0 是指定参考状态下的长度， ∆l 是长度增量； 切应变的定义式为 γ = ∆x/d， 式中 ∆x 是厚度为 d 的薄层上表面对下表面的平行位移. 在名称上目前国内经典材料力学教材中有使用 线应变的 [1-2] ， 也有使用正应变的 [3] ， 还有混合使用 [4] 正应变与线应变的 ；其他力学教材如经典弹性力 学教材使用线应变 [5] ， 工程力学教材使用正应变 [6] . 国外教材使用正应变 (normal strain) 名称居多，包 括其教科书与手册 [5-8] . 切应变名称上没有差异.
材料力学公式-知识归纳整理
知识归纳整理1、材料力学的任务：强度、刚度和稳定性；应力单位面积上的内力。
全应力（1.2）正应力垂直于截面的应力分量，用符号表示。
切应力相切于截面的应力分量，用符号表示。
应力的量纲：线应变单位长度上的变形量，无量纲，其物理意义是构件上一点沿某一方向变形量的大小。
外力偶矩传动轴所受的外力偶矩通常不是直接给出，而是根据轴的转速n与传递的功率P来计算。
）时，外力偶矩为当功率P单位为千瓦（kW），转速为n（r/min Array）时，外力偶矩为当功率P单位为马力（PS），转速为n（r/min Array拉（压）杆横截面上的正应力拉压杆件横截面上惟独正应力，且为平均分布，其计算公式为 (3-1)式中为该横截面的轴力，A 为横截面面积。
正负号规定 拉应力为正，压应力为负。
公式（3-1）的适用条件：（1）杆端外力的合力作用线与杆轴线重合，即只适于轴向拉（压）杆件；（2）适用于离杆件受力区域稍远处的横截面；（3）杆件上有孔洞或凹槽时，该处将产生局部应力集中现象，横截面上应力分布很不均匀；（4）截面延续变化的直杆，杆件两侧棱边的夹角时拉压杆件任意斜截面（a 图）上的应力为平均分布，其计算公式为全应力 (3-2)正应力 （3-3）切应力 （3-4）式中为横截面上的应力。
正负号规定：由横截面外法线转至斜截面的外法线，逆时针转向为正，反之为负。
拉应力为正，压应力为负。
对脱离体内一点产生顺时针力矩的为正，反之为负。
两点结论：（1）当时，即横截面上，达到最大值，即。
当=时，即纵截面上，==0。
（2）当时，即与杆轴成的斜截面上，达到最大值，即1．2 拉（压）杆的应变和胡克定律（1）变形及应变杆件受到轴向拉力时，轴向伸长，横向缩短；受到轴向压力时，轴向缩短，横向伸长。
如图3-2。
图3-2求知若饥，虚心若愚。
轴向变形轴向线应变 横向变形横向线应变 正负号规定 伸长为正，缩短为负。
（2）胡克定律当应力不超过材料的比例极限时，应力与应变成正比。
材料力学公式大全
材料⼒学公式⼤全材料⼒学常⽤公式1.外⼒偶矩计算公式（P功率，n转速）2.弯矩、剪⼒和荷载集度之间的关系式3.轴向拉压杆横截⾯上正应⼒的计算公式（杆件横截⾯轴⼒F N，横截⾯⾯积A，拉应⼒为正）4.轴向拉压杆斜截⾯上的正应⼒与切应⼒计算公式（夹⾓a 从x 轴正⽅向逆时针转⾄外法线的⽅位⾓为正）5.纵向变形和横向变形（拉伸前试样标距l，拉伸后试样标距l1；拉伸前试样直径d，拉伸后试样直径d1）6.纵向线应变和横向线应变7.泊松⽐8.胡克定律9.受多个⼒作⽤的杆件纵向变形计算公式?10.承受轴向分布⼒或变截⾯的杆件，纵向变形计算公式11.轴向拉压杆的强度计算公式12.许⽤应⼒，脆性材料，塑性材料13.延伸率14.截⾯收缩率15.剪切胡克定律（切变模量G，切应变g ）16.拉压弹性模量E、泊松⽐和切变模量G之间关系式17.圆截⾯对圆⼼的极惯性矩（a）实⼼圆（b）空⼼圆18.圆轴扭转时横截⾯上任⼀点切应⼒计算公式（扭矩T，所求点到圆⼼距离r）19.圆截⾯周边各点处最⼤切应⼒计算公式20.扭转截⾯系数，（a）实⼼圆（b）空⼼圆21.薄壁圆管（壁厚δ≤ R0 /10 ，R0为圆管的平均半径）扭转切应⼒计算公式22.圆轴扭转⾓与扭矩T、杆长l、扭转刚度GH p的关系式23.同⼀材料制成的圆轴各段内的扭矩不同或各段的直径不同（如阶梯轴）时或24.等直圆轴强度条件25.塑性材料；脆性材料26.扭转圆轴的刚度条件? 或27.受内压圆筒形薄壁容器横截⾯和纵截⾯上的应⼒计算公式,28.平⾯应⼒状态下斜截⾯应⼒的⼀般公式,29.平⾯应⼒状态的三个主应⼒,,30.主平⾯⽅位的计算公式31.⾯内最⼤切应⼒32.受扭圆轴表⾯某点的三个主应⼒，，33.三向应⼒状态最⼤与最⼩正应⼒ ,34.三向应⼒状态最⼤切应⼒35.⼴义胡克定律36.四种强度理论的相当应⼒37.⼀种常见的应⼒状态的强度条件，38.组合图形的形⼼坐标计算公式，39.任意截⾯图形对⼀点的极惯性矩与以该点为原点的任意两正交坐标轴的惯性矩之和的关系式40.截⾯图形对轴z和轴y的惯性半径? ,41.平⾏移轴公式（形⼼轴z c与平⾏轴z1的距离为a，图形⾯积为A）42.纯弯曲梁的正应⼒计算公式43.横⼒弯曲最⼤正应⼒计算公式44.矩形、圆形、空⼼圆形的弯曲截⾯系数? ，，45.⼏种常见截⾯的最⼤弯曲切应⼒计算公式（为中性轴⼀侧的横截⾯对中性轴z的静矩，b为横截⾯在中性轴处的宽度）46.矩形截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处47.⼯字形截⾯梁腹板上的弯曲切应⼒近似公式48.轧制⼯字钢梁最⼤弯曲切应⼒计算公式49.圆形截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处50.圆环形薄壁截⾯梁最⼤弯曲切应⼒发⽣在中性轴处51.弯曲正应⼒强度条件52.⼏种常见截⾯梁的弯曲切应⼒强度条件53.弯曲梁危险点上既有正应⼒σ⼜有切应⼒τ作⽤时的强度条件或，54.梁的挠曲线近似微分⽅程55.梁的转⾓⽅程56.梁的挠曲线⽅程?57.轴向荷载与横向均布荷载联合作⽤时杆件截⾯底部边缘和顶部边缘处的正应⼒计算公式58.偏⼼拉伸（压缩）59.弯扭组合变形时圆截⾯杆按第三和第四强度理论建⽴的强度条件表达式，60.圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩和同时作⽤时，合成弯矩为61.圆截⾯杆横截⾯上有两个弯矩和同时作⽤时强度计算公式62.63.弯拉扭或弯压扭组合作⽤时强度计算公式64.剪切实⽤计算的强度条件65.挤压实⽤计算的强度条件66.等截⾯细长压杆在四种杆端约束情况下的临界⼒计算公式67.压杆的约束条件：（a）两端铰⽀µ=l（b）⼀端固定、⼀端⾃由µ=2（c）⼀端固定、⼀端铰⽀µ=（d）两端固定µ=68. 压杆的长细⽐或柔度计算公式，69. 细长压杆临界应⼒的欧拉公式70. 欧拉公式的适⽤范围传动轴所受的外⼒偶矩通常不是直接给出，⽽是根据轴的转速n 与传递的功率P 来计算。
材料力学知识点总结
应力
1
b
1
脆性材料
莫尔强度理 论
脆性材料
* 相当应力： r
塑性断裂
第三强度理论 （最大剪应力理
论） 单元体内的最大
剪应力
max
s
1
3
塑性材料
第四强度理论 （形状 改变比能理论）
单元体内的改变比 能
u f u fs
塑性材料
r1
1， r3
1
3 ， r4
1
[ 2
1
2 2
2
2
3
3
1 2]
A= d 2
4 A D 2 (1 2 )
4
（ 1） '
（ 2） G
E
2(1 )
d4
d3
IP
;Wt
32
16
IP
d4 (1
4)
32
Wt
d3 (1
4)
16
剪切
（1）强度条件：
Q
A —剪切面积
A
（2）挤压条件：
Pbs
bs
bs
AJ
A j—挤压面积
弯曲
y max
y
maxБайду номын сангаас
1 M ( x) ( x) EI y '' M (x)
4
六、材料的力学性质
脆性材料 ＜5% 塑性材料 ≥5% 低碳钢四阶段： （1）弹性阶段
（2）屈服阶段 （3）强化阶段 （4）局部收缩阶段
强度指标
s, b
b e
s
α
塑性指标
,
拉
45
低
碳
钢
滑移线与轴线 45 ，剪断
材料力学各章重点内容总结
材料力学各章重点内容总结第一章 绪论一、材料力学中工程构件应满足的3方面要求是：强度要求、刚度要求和稳定性要求。
二、强度要求是指构件应有足够的抵抗破坏的能力；刚度要求是指构件应有足够的抵抗变形的能力；稳定性要求是指构件应有足够的保持原有平衡形态的能力。
三、材料力学中对可变形固体进行的3个的基本假设是：连续性假设、均匀性假设和各向同性假设。
第二章 轴向拉压一、轴力图：注意要标明轴力的大小、单位和正负号。
二、轴力正负号的规定：拉伸时的轴力为正，压缩时的轴力为负。
注意此规定只适用于轴力，轴力是内力，不适用于外力。
三、轴向拉压时横截面上正应力的计算公式：N F Aσ= 注意正应力有正负号，拉伸时的正应力为正，压缩时的正应力为负。
四、斜截面上的正应力及切应力的计算公式：2cos ασσα=，sin 22αστα=注意角度α是指斜截面与横截面的夹角。
五、轴向拉压时横截面上正应力的强度条件[],maxmax N F A σσ=≤六、利用正应力强度条件可解决的三种问题：1.强度校核[],maxmax N F A σσ=≤一定要有结论 2.设计截面[],maxN F A σ≥ 3.确定许可荷载[],max N F A σ≤七、线应变l l ε∆=没有量纲、泊松比'εμε=没有量纲且只与材料有关、 胡克定律的两种表达形式：E σε=，N F l l EA∆= 注意当杆件伸长时l ∆为正，缩短时l ∆为负。
八、低碳钢的轴向拉伸实验：会画过程的应力－应变曲线，知道四个阶段及相应的四个极限应力：弹性阶段（比例极限p σ，弹性极限e σ）、屈服阶段（屈服极限s σ）、强化阶段（强度极限b σ）和局部变形阶段。
会画低碳钢轴向压缩、铸铁轴向拉伸和压缩时的应力－应变曲线。
九、衡量材料塑性的两个指标：伸长率1100l l lδ-︒=⨯︒及断面收缩率1100A A Aϕ-︒=⨯︒，工程上把5δ︒≥︒的材料称为塑性材料。
十、卸载定律及冷作硬化：课本第23页。
孙老师的资料---材料力学习题
材料力学任务1 杆件轴向拉伸（或压缩）时的内力计算填空题：（请将正确答案填在空白处）1．材料力学主要研究构件在外力作用下的、与的规律，在保证构件能正常、安全工作的前提下最经济地使用材料，为构件选用，确定。
(变形受力破坏合理的材料合理的截面形状和尺寸)2．构件的承载能力，主要从、和等三方面衡量。
（强度刚度稳定性）3．构件的强度是指在外力作用下构件的能力；构件的刚度是指在外力作用下构件的能力；构件的稳定性是指在外力作用下构件的能力。
（抵抗塑性变形或断裂抵抗过大的弹性变形保持其原来直线平衡状态）4．杆件是指尺寸远大于尺寸的构件。
（纵向横向）5．杆件变形的四种基本形式有、、、。
（拉伸与压缩变形剪切变形扭转变形弯曲变形）6．受轴向拉伸或压缩的杆件的受力特点是：作用在直杆两端的力，大小，方向，且作用线同杆件的重合。
其变形特点是：沿杆件的方向伸长或缩短。
（相等相反轴线轴线）7．在材料力学中，构件所受到的外力是指和。
（主动力约束反力）8．构件受到外力作用而变形时，构件内部质点间产生的称为内力。
内力是因而引起的，当外力解除时，内力。
（抵抗变形的“附加内力”外力随之消失）9．材料力学中普遍用截面假想地把物体分成两部分，以显示并确定内力的方法，称为。
应用这种方法求内力可分为、和三个步骤。
（截面法截开代替平衡）10．拉（压）杆横截面上的内力称为，其大小等于该横截面一侧杆段上所有的代数和。
为区别拉、压两种变形，规定了轴力F N正负。
拉伸时轴力为，横截面；压缩时轴力为，横截面。
（轴力外力正背离负指向）选择题：（请在下列选项中选择一个正确答案并填在括号内）1．在图2-1-1中，符合拉杆定义的图是（）。
A BC图2-1-1（A）2．材料力学中求内力的普遍方法是（）A．几何法B．解析法C．投影法D．截面法（D）3．图2-1-2所示各杆件中的AB段，受轴向拉伸或压缩的是（）。
A B C图2-1-2（A）4．图2-1-3所示各杆件中受拉伸的杆件有（）。
杆件的内力分析--材料力学
取3-3截面右侧分析 列方程
M
x
0
M x 3 TD 0
M x 3 TD 2859 N m
由上述计算得到扭矩 值
M x1 4300 N m M x 2 6690 N m M x 3 2859 N m
画扭矩图
课堂练习（时间 3分钟） 试画出下面轴的扭矩图
截面法的归纳
• 1、用假想的截面将构件截开； • 2、任取截下的一部分作为自由体(Free Body); • 3、对截下的自由体作受力分析，并使用理论力学 静力学平衡的原理求出截面上的内力。
例题2-1： 如图所示，求 l1处杆件截面的各个内力分量
q A l1 l B
• [解 ]
• 1、对构件AB进行受力分析 并求出约束反力。
材料力学，是在变形固体的连续性、均匀性、 各向同性、小变形假设的前提下，研究杆件 的强度、刚度和稳定性问题的。 目的：是为设计提供依据，解决工程结构中 的安全性和经济性这一对矛盾。 课程内容：包括内力、应力、应变、变形的 概念，材料的力学性质，许用应力，安全系 数，各种基本变形形式，应力与应变状态， 强度理论，组合变形，压杆稳定，动荷载， 能量法等。
工程实际中，有很多承受扭转的构件，例如 传动轴将产生扭转
传动轴
工程中作用于轴上的外力矩(external moment)往往不 是直接给出的，而是给出轴所传递的功率(kW)和轴的 转速(rpm),通过理论力学的知识可以求出外力矩Me:
dW M e d 2 πn P M e M e dt dt 60
你做对了吗？
• 2-3直杆扭转时的内力及内力图 • 杆的两端承受大小相等、方向相反、作用 平面垂直于杆件轴线的两个力偶，杆的任 意横截面将绕轴线相对转动，这种受力与 变形形式称为扭转（torsion）。 • 以扭转为主要变形的杆件称为轴。
材料力学公式汇总
σ −σ y 2 2 σ max σ x + σ y = ± ( x ) + τ xy ; σ min 2 2
tg2α p =
−2τ xy
σ x −σ y
３、二向应力状态的极值剪应力(面内极值剪应力)及所在截面方位角
τ max = ± (
min
σ x −σ y
2
2 ) 2 + τ xy =±
σ max − σ min
(8) 刚度条件：待考察点的位移不超过允许值
2
三、应力状态与强度理论 １、二向应力状态斜截面应力 σ x +σ y σ x −σ y σ x −σ y σα = + cos 2α − τ xy sin 2α τ α = sin 2α + τ xy cos 2α 2 2 2 注：使截面受拉的正应力为正;使单元体顺时针转的剪应力为正; x 轴逆时针转α角与截面 外法线重合的角度为正(-π≤α≤π). ２、二向应力状态极值正应力及所在截面方位角
λ ≥ λp ;
σ cr =
π 2E ; λ2
Pcr =
π 2 EI min
(μL )2
λp ≥ λ ≥ λs ; σ cr = a − bλ
λ ≤ λs ;
“ σ cr ”= σ s 或
σb
π 2E ; σp
于柔度的几个公式： 3、惯性半径公式： i =
Iz A
λ=
μL
3
Θ=
σ +σ2 +σ3 1 − 2μ E (σ 1 + σ 2 + σ 3 ); K = ;σ = 1 ; σ = KΘ E 3(1 − 2μ ) 3
σ eq 2 = σ 1 − μ (σ 2 + σ 3 ) ≤ [σ ]; [σ ] =
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3.内力正负号的规定。一旦内力实际方向确定了，其正负 号必须按人为规定来确定。
FN P
x PA截面的轴力FN为正，大小等于P 注意3:此处根据内力方向的规定,将产生正负号问题
综上，在内力的求解过程中，如下因素将导致产生正负号 问题：
1.参考系。不同的参考系可导致出现在平衡方程中同一物 理量的符号的不同。但方程中的正负号不会影响方程最终 求解结果。
下面，我们就以例2中轴力的求解过程为例来分析一下正 负号问题是如何产生的?
例3：求A截面内力
P
A
P
解:1)截开：
A
P
P
这一环节不产生正负问题
P
A
P
解:1)截开：
A
P
P
2)代替： x
P
FN
A
注意1:此处FN的方向是假定的,将产生正负号问题
3)平衡： X 0 P FN 0
注意2:此处参考系正向的不同选择,将产生正负号问题
一、问题的提出
首先应明确的是不论理论力学静力学中涉及的主动力
（或力偶），约束力（或力偶），还是材料力学中涉
及的内力或应力，一旦问题给定，其方向是确定的。
其正负的规定也是唯一的。
例1：支座约束力
a
P
A
B
YA
l
YB
例2：截面内力 P
P
A
P
FN A
哪么，为什么在实际学习中，又常常会出现 正负号搞不明白，甚至经常搞错的现象呢？