华科_工程数学_研究生_复习重点+往年试题(回忆版)
线性代数华中科技大学历年考试试卷及答案
线性代数试卷一、单项选择题（每题3分，共15分）1. 向量组s ααα，，， 21)2(≥s 线性无关，且可由向量组s βββ，，， 21线性表示， 则以下结论中不能成立的是(A) 向量组s βββ，，，21线性无关； (B) 对任一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性相关； (C) 存在一个j α)0(s j ≤≤，向量组s j ββα，，，2线性无关； (D) 向量组s ααα，，，21与向量组s βββ，，， 21等价。
2. 设三阶矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=a b b b a b b b a A ，已知伴随矩阵*A 的秩为1，则必有(A) 02≠+≠b a b a 且； (B) 02=+≠b a b a 且； (C) 02≠+b a b a 或＝； (D) 02=+=b a b a 或。
3. 设α是n 维非零实列向量,矩阵T E A αα+=,3≥n ，则___________(A) A 至少有n －1个特征值为1； (B) A 只有1个特征值为1；(C) A 恰有1-n 个特征值为1； (D) A 没有1个特征值为1。
4. ______________)()(,则，且，阶方阵为设B r A r n B A = (A) 0)(=-B A r ； (B) )(2)(A r B A r =+； (C) )(2)(A r B A r =，； (D) )()()(B r A r B A r +≤，。
5. 设A 为n m ⨯实矩阵，n A r =)(，则(A) A A T 必合同于n 阶单位矩阵； (B) T AA 必等价于m 阶单位矩阵；(C) A A T 必相似于n 阶单位矩阵； (D) T AA 是m 阶单位矩阵。
二、填空题（每题3分，共15分）1．已知B A ，为n 阶方阵，1±=λ不是B 的特征值，且E B A AB =--，则=-1A 。
2. 若三阶方阵A 有特征值 2,1,1，则行列式=+*-A A 21 。
华科离散数学试题与标准答案试卷
离散数学试题与答案试卷一 一、填空 20% （每小题2分）1．设}7|{)},5()(|{<∈=<∈=+x E x x B x N x x A 且且（N ：自然数集，E +正偶数）则=⋃B A .2．A ，B ，C 表示三个集合，文图中阴影部分地集合表达式为 .3．设P ，Q 地真值为0，R ，S 地真值为1，则)()))(((S R P R Q P ⌝∨→⌝∧→∨⌝地真值= .4．公式P R S R P ⌝∨∧∨∧)()(地主合取范式为 .5．若解释I 地论域D 仅包含一个元素，则)()(x xP x xP ∀→∃在I 下真值为 .6．设A={1，2，3，4}，A 上关系图为则 R 2 = .7．设A={a ，b ，c ，d}，其上偏序关系R 地哈斯图为则 R= .8．图地补图为.9．设A={a ，b ，c ，d} ，A 上二元运算如下：那么代数系统<A ，*>10．下图所示地偏序集中，是格地为.二、选择 20%（每小题 2分）1、下列是真命题地有（ ） A ．}}{{}{a a ⊆；B ．}}{,{}}{{ΦΦ∈Φ；C ．}},{{ΦΦ∈Φ；D ．}}{{}{Φ∈Φ. 2、下列集合中相等地有（）A ．{4，3}Φ⋃；B ．{Φ，3，4}；C ．{4，Φ，3，3}；D ． {3，4}. 3、设A={1，2，3}，则A 上地二元关系有（）个. A ． 23 ；B ． 32 ；C ．332⨯； D ．223⨯.4、设R ，S 是集合A 上地关系，则下列说法正确地是（） A ．若R ，S 是自反地，则S R 是自反地； B．若R ，S 是反自反地，则S R 是反自反地； C ．若R ，S 是对称地，则S R 是对称地； D ．若R ，S 是传递地，则S R 是传递地.5、设A={1，2，3，4}，P （A ）（A 地幂集）上规定二元系如下|}||(|)(,|,{t s A p t s t s R =∧∈><=则P （A ）/ R=（）A ．A ；B ．P(A) ；C ．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{Φ}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={Φ，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“⊆”地哈斯图为（）7、下列函数是双射地为（）A．f : I→E , f (x) = 2x ；B．f : N→N⨯N, f (n) = <n , n+1> ；C．f : R→I , f (x) = [x] ；D．f :I→N, f (x) = | x | .（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3 地通路有（）条.A．0；B．1；C．2；D． 3.9、下图中既不是Eular图，也不是Hamilton图地图是（）10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点.A．1；B．2；C．3；D．4 .三、证明26%１、R是集合X上地一个自反关系，求证：R是对称和传递地，当且仅当< a, b> 和<a , c>在R中有<.b , c>在R中.（8分）f和g 都是群<G 1 ,★>到< G 2, *>地同态映射，证明<C ,★>是<G 1,★>地一个子群.其中C=)}()(|{1x g x f G x x =∈且 (8分)G=<V , E>(|V| = v ，|E|=e ) 是每一个面至少由k （k ≥3）条边围成地连通平面图，则2)2(--≤k v k e ，由此证明彼得森图（Peterson ）图是非平面图.（11分）四、逻辑推演 16%用CP 规则证明下题（每小题 8分） 1、F A F E D D C B A →⇒→∨∧→∨, 2、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∀→∀⇒→∀五、计算 18%1、设集合A={a ，b ，c ，d}上地关系R={<a , b > ,< b , a > ,< b, c > , < c , d >}用矩阵运算求出R 地传递闭包t (R).（9分）2、如下图所示地赋权图表示某七个城市721,,,v v v 及预先算出它们之间地一些直接通信线路造价，试给出一个设计方案，使得各城市之间能够通信而且总造价最小. （９分）试卷一答案：一、填空 20% （每小题2分）1、{0，1，2，3，4，6}；2、A C B -⊕)(；3、1；4、)()(R S P R S P ∨⌝∨⌝∧∨∨⌝；5、1；6、{<1,1>, <1,3>, <2,2>, <2,4> }；7、{<a.b>,<a,c>,<a,d>,<b,d>,<c,d>} I A ；8、9、a ；a , b , c ,d ；a , d , c , d ；10、c;二、选择 20% （每小题 2分）三、证明 26%1、 证：“⇒”X c b a ∈∀,,若R>c ,a <,>b ,a <∈由R 对称性知R a ,c <,>a ,b <∈>，由R 传递性得R >c ,b <∈“⇐”若R>b ,a <∈，R >c ,a <∈有R >c ,b <∈任意X b a ∈,，因R >a ,a <∈若R>b ,a <∈R >a ,b < ∈∴所以R 是对称地. 若R>b ,a <∈，R >c b,<∈则R c b, R >a b,<>∈<∧∈R >c ,a < ∈∴即R 是传递地. 2、 证Cb a ∈∀,，有)()(),()(b g b f a g a f ==，又)()(,)()(1111b g b g b f b f ----==)()()()(1111----===∴b g b g b fb fa f (∴★a gb g a g b f a f b ()(*)()(*)()111===---★)1-ba ∴★Cb ∈-1∴< C , ★> 是 < G 1 , ★>地子群.3、 证：①设G 有r 个面，则rkF d e ri i ≥=∑=1)(2，即k er 2≤.而2=+-r e v 故k e e v r e v 22+-≤+-=即得2)2(--≤k v k e .（8分）②彼得森图为10,15,5===v e k ，这样2)2(--≤k v k e 不成立，所以彼得森图非平面图.（3分）二、 逻辑推演 16% 1、 证明：①A P （附加前提） ②B A ∨T ①I ③D C B A ∧→∨ P ④D C ∧ T ②③I ⑤D T ④I ⑥E D ∨ T ⑤I ⑦F E D →∨ P ⑧F T ⑥⑦I ⑨F A → CP2、证明 ①)(x xP ∀ P （附加前提） ②)(c PUS ① ③))()((x Q x P x →∀ P ④)()(c Q c P → US ③ ⑤)(c Q T ②④I ⑥)(x xQ ∀UG ⑤ ⑦)()(x xQ x xP ∀→∀CP三、 计算 18% 1、 解：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R M ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==00000000101001012R R R M M M⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000000101101023R R R M M M ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000001010010134R R R M M M ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++=0000100011111111432)(R R R R R t M M M M M∴ t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , <b , a > , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c , d > }2、 解：用库斯克（Kruskal ）算法求产生地最优树.算法略.结果如图：树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57即为总造价.试卷二试题与答案一、填空 20% （每小题2分）1、 P ：你努力，Q ：你失败.“除非你努力，否则你将失败”地翻译为；“虽然你努力了，但还是失败了”地翻译为 .2、论域D={1，2}，指定谓词P则公式x ∃∀真值为.2、 设S={a 1 ，a 2 ，…，a 8}，B i 是S 地子集，则由B 31所表达地子集是 .3、 设A={2，3，4，5，6}上地二元关系}|,{是质数x y x y x R ∨<><=，则R=（列举法）. R 地关系矩阵M R = .5、设A={1，2，3}，则A 上既不是对称地又不是反对称地关系R=；A 上既是对称地又是反对称地关系R= .6、设代数系统<A ，*>，其中A={a ，b ，c},则幺元是；是否有幂等性；是否有对称性. 7、4阶群必是群或群.8、下面偏序格是分配格地是.9、n 个结点地无向完全图K n 地边数为，欧拉图地充要条件是 .10、公式R Q P Q P P ⌝∧∨⌝∧∧⌝∨)(())((地根树表示为 .二、选择 20% （每小题2分）1、在下述公式中是重言式为（）A ．)()(Q P Q P ∨→∧；B ．))()(()(P Q Q P Q P →∧→↔↔；C ．Q Q P ∧→⌝)(；D ．)(Q P P ∨→.2、命题公式)()(P Q Q P ∨⌝→→⌝中极小项地个数为（），成真赋值地个数为（）.A ．0；B ．1；C ．2；D ．3 .3、设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则S2有（）个元素.A ．3；B ．6；C ．7；D ．8 . 4、 设} 3 ,2 ,1 {=S ，定义S S ⨯上地等价关系},,,, | ,,,{c b d a S S d c S S b a d c b a R +=+⨯>∈<⨯>∈<><><<=则由 R 产生地S S ⨯上一个划分共有（）个分块.A ．4；B ．5；C ．6；D ．9 . 5、设} 3 ,2 ,1 {=S ，S 上关系R 地关系图为则R 具有（）性质.A ．自反性、对称性、传递性；B ．反自反性、反对称性；C ．反自反性、反对称性、传递性；D ．自反性. 6、设 ,+为普通加法和乘法，则（）>+< ,,S 是域. A ．},,3|{Q b a b a x x S ∈+== B ．},,2|{Z b a n x x S ∈==C ．},12|{Z n n x x S ∈+== D ．}0|{≥∧∈=x Z x x S = N .7、下面偏序集（）能构成格.8、在如下地有向图中，从V 1到V 4长度为3 地道路有（）条.A ．1；B ．2；C ．3；D ．4 . 9、在如下各图中（）欧拉图.10、设R 是实数集合，“⨯”为普通乘法，则代数系统<R ，×> 是（）.A ．群；B ．独异点；C ．半群.三、证明 46%1、 设R 是A 上一个二元关系，)},,,(),(|,{R b c R c a A c A b a b a S >∈<>∈<∈∧∈><=且有对于某一个试证明若R 是A 上一个等价关系，则S 也是A 上地一个等价关系.（9分）2、 用逻辑推理证明：所有地舞蹈者都很有风度，王华是个学生且是个舞蹈者.因此有些学生很有风度.（11分）3、 若B A f →:是从A 到B 地函数，定义一个函数AB g 2:→对任意B b ∈有)})(()(|{)(b x f A x x b g =∧∈=，证明：若f 是A 到B 地满射，则g 是从B 到A 2地单射.（10分）4、 若无向图G 中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通.（8分）5、 设G 是具有n 个结点地无向简单图，其边数2)2)(1(21+--=n n m ，则G 是Hamilton 图（8分）四、计算 14%设<Z 6,+6>是一个群，这里+6是模6加法，Z 6={[0 ]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，试求出<Z 6,+6>地所有子群及其相应左陪集.（7分）2、 权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100构造一棵最优二叉树.（7分）试卷二答案： 一、 填空 20%（每小题2分）1、Q P →⌝；Q P ∧2、T3、},,,,{876540001111131a a a a a B B ==4、R={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<2,5>,<2,6>,<3,2>,<3,3>,<3,4>,<3,5>,<3,6>,<4,5>,<4,6>,<5,2>,<5,3>,<5,4>,<5,5>,<5,6>}；⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛0000011111110001111111111 5、R={<1,2>,<1,3>,<2,1>}；R={<1,1>,<2,2>,<3,3>} 6、a ；否；有 7、Klein 四元群；循环群 8、 B 9、)1(21-n n ；图中无奇度结点且连通 10 、二、三、 证明 46%1、（9分）（1） S 自反地A a ∈∀，由R 自反，),(),(R a a R a a >∈<∧>∈<∴，S a a >∈∴<,（2） S 对称地传递对称定义R Sa b R R b c R c a S R b c R c a S b a Ab a >∈⇒<>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<⇒>∈<∈∀,),(),(),(),(,,（3） S 传递地定义传递S Sc a R R c b R b a R c e R e b R bd R d a Sc b S b a Ac b a >∈⇒<>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<∧>∈<∧>∈<⇒>∈<∧>∈<∈∀,),(),(),(),(),(),(,,,,由（1）、（2）、（3）得；S 是等价关系. 2、11分证明：设P(x)：x 是个舞蹈者； Q(x) ：x 很有风度； S(x)：x 是个学生； a ：王华 上述句子符号化为：前提：))()((x Q x P x →∀、)()(a P a S ∧结论：))()((x Q x S x ∧∃……3分①)()(a P a S ∧ P ②))()((x Q x P x →∀ P ③)()(a Q a P → US ② ④)(a P T ①I ⑤).(a Q T ③④I ⑥)(a S T ①I ⑦)()(a Q a S ∧ T ⑤⑥I ⑧)()((x Q x S x ∧∃ EG ⑦……11分３、１0分证明：)(,,2121b b B b b ≠∈∀A a a f ∈∃∴21,满射21212211,),()(,)(,)(a a f a f a f b a f b a f ≠∴≠==是函数由于且使 )()()(),()(),()})(()(|{)()},)(()(|{)(21122122112211b g b g b g a b g a b g a b g a b x f A x x b g b x f A x x b g ≠∴∉∉∈∈∴=∧∈==∧∈=但又为单射任意性知由g b b ,,21.4、8分证明：设G 中两奇数度结点分别为u 和v ，若 u ，v 不连通，则G 至少有两个连通分支G 1、G 2 ，使得u 和v 分别属于G 1和G 2，于是G 1和G 2中各含有1个奇数度结点，这与图论基本定理矛盾，因而u ，v 一定连通.5、8分证明：证G 中任何两结点之和不小于n.反证法：若存在两结点u ，v 不相邻且1)()(-≤+n v d u d ,令},{1v u V =，则G-V 1是具有n-2个结点地简单图，它地边数)1(2)2)(1(21'--+--≥n n n m ,可得1)3)(2(21'+--≥n n m ，这与G 1=G-V 1为n-2个结点为简单图地题设矛盾，因而G中任何两个相邻地结点度数和不少于n.所以G 为Hamilton 图.四、计算 14%1、 7分解：子群有<{[0]},+6>；<{[0],[3]},+6>；<{[0],[2],[4]},+6>；<{Z 6},+6>{[0]}地左陪集：{[0]}，{[1]}；{[2]}，{[3]}；{[4]}，{[5]} {[0]，[3]}地左陪集：{[0]，[3]}；{[1]，[4]}；{[2]，[5]}{[0]，[2]，[4]}地左陪集：{[0]，[2]，[4]}；{[1]，[3]，[5]} Z 6地左陪集：Z 6 .2、 7分试卷三试题与答案一、 填空 20% （每空 2分）1、 设 f ，g 是自然数集N 上地函数x x g x x f N x 2)(,1)(,=+=∈∀，则=)(x g f .设A={a ，b ，c}，A 上二元关系R={< a, a > , < a, b >,< a, c >, < c, c>} , 则s （R ）= .3、 A={1，2，3，4，5，6}，A 上二元关系}|,{是素数y x y x T ÷><=，则用列举法 T= ； T 地关系图为 ；T 具有性质.4、 集合}}2{},2,{{Φ=A 地幂集A2= .5、 P ，Q 真值为0 ；R ，S 真值为1.则))()(())((S R Q P S R P wff ∧∧∨→∨∧地真值为.6、 R R Q P wff →∨∧⌝))((地主合取范式为.设 P （x ）：x 是素数， E(x)：x 是偶数，O(x)：x 是奇数 N (x,y)：x 可以整数y.则谓词))),()(()((x y N y O y x P x wff∧∃→∀地自然语言是.8、 谓词)),,()),(),(((u y x uQ z y P z x P z y x wff ∃→∧∃∀∀地前束范式为 .二、 选择 20% （每小题 2分）1、 下述命题公式中，是重言式地为（）.A 、)()(q p q p ∨→∧；B 、))())(()(p q q p q p →∧→↔↔；C 、q q p ∧→⌝)(；D 、q p p ↔⌝∧)(. 2、 r q p wff→∧⌝)(地主析取范式中含极小项地个数为（）.A 、2；B 、 3；C 、5；D 、0；E 、 8 . 3、 给定推理①))()((x G x F x →∀ P ②)()(y G y F → US ① ③)(x xF ∃ P ④)(y F ES ③ ⑤)(y G T ②④I ⑥)(x xG ∀UG ⑤)())()((x xG x G x F x ∀⇒→∀∴推理过程中错在（）.A 、①->②;B 、②->③;C 、③->④;D 、④->⑤;E 、⑤->⑥设S 1={1，2，…，8，9}，S 2={2，4，6，8}，S 3={1，3，5，7，9}，S 4={3，4，5}，S 5={3，5}，在条件31S X S X ⊄⊆且下X 与（）集合相等. A 、 X=S 2或S 5 ； B 、X=S 4或S 5；C 、X=S 1，S 2或S 4；D 、X 与S 1，…，S 5中任何集合都不等. 5、 设R和S是P上地关系，P是所有人地集合，},|,{的父亲是y x P y x y x R ∧∈><=，},|,{的母亲是y x P y x y x S ∧∈><=则R S1-表示关系（）.A 、},|,{的丈夫是y x P y x y x ∧∈><；B 、},|,{的孙子或孙女是y x P y x y x ∧∈><；C 、Φ；D 、},|,{的祖父或祖母是y x P y x y x ∧∈><. 6、 下面函数（）是单射而非满射.A 、12)(,:2-+-=→x x x f R R f ；B 、x x f R Zf ln )(,:=→+；C 、的最大整数表示不大于x x x x f Z R f ][],[)(,:=→；D 、12)(,:+=→x x f R R f .其中R 为实数集，Z 为整数集，R +，Z +分别表示正实数与正整数集. 7、 设S={1，2，3}，R 为S 上地关系，其关系图为则R 具有（）地性质.A 、 自反、对称、传递；B 、什么性质也没有；C 、反自反、反对称、传递；D 、自反、对称、反对称、传递. 8、 设}}2,1{},1{,{Φ=S ，则有（）S ⊆.A 、{{1,2}} ；B 、{1,2 } ；C 、{1} ；D 、{2} . 9、 设A={1 ,2 ,3 }，则A 上有（）个二元关系.A 、23； B 、32； C 、322； D 、232.10、全体小项合取式为（）.A 、可满足式；B 、矛盾式；C 、永真式；D 、A ，B ，C 都有可能. 三、 用CP 规则证明 16% （每小题 8分） 1、F A FE D D C B A →⇒→∨∧→∨,2、)()())()((x xQ x xP x Q x P x ∃∨∀⇒∨∀ 四、（14%）集合X={<1,2>, <3,4>, <5,6>,… }，R={<<x 1,y 1>,<x 2,y 2>>|x 1+y 2 = x 2+y 1} .1、 证明R 是X 上地等价关系.（10分）2、 求出X 关于R 地商集.（4分） 五、（10%）设集合A={ a ,b , c , d }上关系R={< a, b > , < b , a > , < b , c > , < c , d >} 要求 1、写出R 地关系矩阵和关系图.（4分） 2、用矩阵运算求出R 地传递闭包.（6分） 六、（20%）1、（10分）设f 和g 是函数，证明g f ⋂也是函数.2、（10分）设函数S T f T S g →→::，证明S T f →:有一左逆函数当且仅当f 是入射函数. 答案：五、 填空 20%（每空2分）1、2(x+1)；2、}a , c ,a , b ,c , c ,c , a ,b , a ,a , a {><><><><><><；3、>}<><><><><><3,6,2,6,2,4,5,1,3,1,2,1{；4、反对称性、反自反性；4、}}}2{},2,{{}},2{{}},2,{{,{ΦΦΦ；5、1；6、)()()(R Q P R Q P R Q P ∨∨∧∨∨⌝∧∨⌝∨；7、任意x ，如果x 是素数则存在一个y ，y 是奇数且y 整除x ；8、)),,(),(),((u y x Q z y P z x P u z y x ∨⌝∨⌝∃∀∀∀.六、 选择 20%（每小题 2分）七、 证明 16%(每小题8分) 1、 ①A P （附加前提） ②B A ∨T ①I ③D C B A ∧→∨P④D C ∧ T ②③I ⑤D T ④I ⑥E D ∨ T ⑤I ⑦F E D →∨ P ⑧F T ⑥⑦I ⑨F A → CP2、)()(())()(()()()()()(x xQ x xP x Q x P x x xQ x P x x xQ x xP ∃→∀⌝⇒∨∀∃→∀⌝⇔∃∨∀本题可证①))((x xP ∀⌝ P （附加前提） ②))((x P x ⌝∃ T ①E ③)(a P ⌝ES ② ④))()((x Q x P x ∨∀ P ⑤)()(a Q a P ∨ US ④ ⑥)(a Q T ③⑤I ⑦)(x xQ ∃EG ⑥ ⑧)()((x xQ x xP ∃→∀⌝ CP八、 14% （1） 证明：1、自反性：y x y x X y x +=+>∈<∀由于,,自反R Ry x y x >>∈<><<∴,,,2、对称性：X y x X y x >∈<∀>∈<∀2211,,,时当R y x y x >>∈<><<2211,,,21121221y x y x y x y x +=++=+也即即 有对称性故R R y x y x >>∈<><<1122,,,3、传递性：X y x Xy x X y x >∈<∀>∈<∀>∈<∀332211,,,,时且当R y x y x R y x y x >>∈<><<>>∈<><<33222211,,,,,,⎩⎨⎧+=++=+)2()1(23321221y x y x y x y x 即23123221)2()1(y x y x y x y x +++=++++即1331y x y x +=+有传递性故R R y x y x >>∈<><<3311,,,由（1）（2）（3）知：R 是X 上地先等价关系. 2、X/R=}]2,1{[R >< 九、 10%1、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=0000100001010010R M ；关系图2、⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==00000000101001012R R R M M M⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==000000000101101023R R R M M M2340000000010100101R R R R M M M M =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛== ,,4635R R R R M M M M == ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++=0000100011111111432)(R R R R R t M M M M M∴ t (R)={<a , a> , <a , b> , < a , c> , <a , d > , <b , a > , < b ,b > , < b , c . > , < b , d > , < c ,d > }.六、 20%1、（1）)}()(|,{)}()(|,{x g x f y domg domf x y x x g y x f y domg x domf x y x g f ==∧⋂∈><==∧=∧∈∧∈><=⋂)}()(,|{x g x f domg domf x x domh g domf gf h =⋂∈==⋂∴⋂=令（2）)}()()(|,{x g x f x h y domg domf x y x h ===∧⋂∈><=使得若有对21,y y domh x ∈ )()()(,)()()(21x g x f x h y x g x f x h y ======21,)(y y g f =有是函数或由于)(x h y y domh x =∈∀使得有唯一即也是函数g f ⋂∴.2、证明：t t f g Tt g f =∈∀⇒)(,"" 则对有一左逆若是入射所以是入射故f f g , . 的左逆元是故则且若或只有一个值则对令若此时令使入射由定义如下是入射f g t s g t f g s t f c t s g S s T c s g T f s t s g s t f T t f T f s S T f f ,)()()()(,)()(,)()(,|,),(::,""===∈∀∈=∉==∈∃∈∀→⇐左逆函数为使必能构造函数入射即若f g g f ,,.版权申明本文部分内容，包括文字、图片、以及设计等在网上搜集整理.版权为个人所有This article includes some parts, including text, pictures, and design. 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华中科技大学研究生数学矩阵论练习和习题省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
L L{1，2，···，m }
W
W1＋W2
矩 矩阵AF m×n，两个子空间
不不变子空间
线线性变换旳数量关系：
➢线性变换旳表达 ➢线性变换旳数量关系 ➢主要旳线性变换
第1章习题选讲
P31，习题一 1（3），2，4，9，10，11 ，17，20， 23（4），26，29，30
第2章推荐习题
P58 1，2，3，6，8，9，11， 12， 13，16，19，20
第2章习题选讲
P58 1，3，6，8，9，11， 13，16， 19，20
线性空间旳问题
线性空间旳表达形式：
集合表达形式：Vn（F）=｛ 满足旳性质｝ 向量生成形式：L{1，2，···，m }
子空间类型：
L{1，2，···，m } W1＋W2 矩阵AF m×n，两个子空间 不变子空间
线性空间旳数量关系与矩阵
线性变换旳数量关系
线性变换旳给定方式 线性变换旳变换矩阵 空间分解与矩阵分解
复习与习题
2023 级矩阵论考试信息
考试时间：第16周六（12月22日），
考试地点：西12楼（详见网上告知） 答疑时间：第16周三、四、五：下午 答疑地点：逸夫科技楼（北）913#
矩阵论复习（07）
要点：
线性空间旳问题 线性变换旳数量关系 JA，mA() ，f() =|I-A | 之间旳关系 A与f(A)在Jordan原则形上旳关系 正规矩阵旳性质与应用 向量范数与矩阵范数 矩阵幂级数和矩阵函数
试题旳构造
习题选讲
P31，习题一 2，4，10，11 ，17， 23（4），26，29，30 P57，习题二 3，6，11，13， 20
试题旳构造
填空题 25% 计算题60% 证明题 15% 试题样板
华科线性代数深刻复习重要
重点：1． 排列的逆序数（P .5例4；P .26第2、4题）2． 行列式按行（列）展开法则（P .21例13；P .28第9题） 3． 行列式的性质及行列式的计算（P .27第8题） 【主要内容】1、行列式的定义、性质、展开定理、及其应用——克莱姆法则2、排列与逆序3、方阵的行列式4、几个重要公式：（1）TA A =； （2）AA 11=-； （3）A k kA n =；（4）1*-=n AA ； （5）B A AB =； （6）B A BA BA ==**0；（7）⎩⎨⎧≠==∑=j i j i A A a ni ij ij ，，01 ； （8）⎩⎨⎧≠==∑=j i ji A A a nj ij ij ，，01（其中B A ,为n 阶方阵，k 为常数）5、行列式的常见计算方法：（1）利用性质化行列式为上（下）三角形； （2）利用行列式的展开定理降阶； （3）根据行列式的特点借助特殊行列式的值【要求】1、了解行列式的定义，熟记几个特殊行列式的值。
2、掌握排列与逆序的定义，会求一个排列的逆序数。
3、能熟练应用行列式的性质、展开法则准确计算3-5阶行列式的值。
4、会计算简单的n 阶行列式。
5、知道并会用克莱姆法则。
1． 矩阵的运算性质2． 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P .56第17、18题；P .78第5题）3． 伴随阵的性质（P .41例9；P .56第23、24题；P .109第25题）、正交阵的性质（P .116） 4． 矩阵的秩的性质（P .69至71；P .100例13、14、15） 【主要内容】1、矩阵的概念、运算性质、特殊矩阵及其性质。
2、方阵的行列式3、可逆矩阵的定义、性质、求法（公式法、初等变换法、分块对角阵求逆）。
4、n 阶矩阵A 可逆⇔0≠A ⇔A 为非奇异(非退化)的矩阵。
⇔n A R =)(⇔A 为满秩矩阵。
⇔0=AX 只有零解⇔b AX =有唯一解⇔A 的行（列）向量组线性无关⇔A 的特征值全不为零。
新版华中科技大学数学考研经验考研真题考研参考书
在决定考研的那一刻，我已预料到这一年将是怎样的一年，我做好了全身心地准备和精力来应对这一年枯燥、乏味、重复、单调的机械式生活。
可是虽然如此，我实在是一个有血有肉的人呐，面对诱惑和惰性，甚至几次妥协，妥协之后又陷入对自己深深的自责愧疚当中。
这种情绪反反复复，曾几度崩溃。
所以在此想要跟各位讲，心态方面要调整好，不要像我一样使自己陷入极端的情绪当中，这样无论是对自己正常生活还是考研复习都是非常不利的。
所以我想把这一年的经历写下来，用以告慰我在去年饱受折磨的心脏和躯体。
告诉它们今年我终于拿到了心仪学校的录取通知书，你们的付出和忍耐也终于可以扬眉了。
知道自己成功上岸的那一刻心情是极度开心的，所有心酸泪水，一扫而空，只剩下满心欢喜和对未来的向往。
首先非常想对大家讲的是，大家选择考研的这个决定实在是太正确了。
非常鼓励大家做这个决定，手握通知书，对未来充满着信念的现在的我尤其这样认为。
当然不是说除了考研就没有了别的出路。
只不过个人感觉考研这条路走的比较方便，流程也比较清晰。
没有太大的不稳定性，顶多是考上，考不上的问题。
而考得上考不上这个主观能动性太强了，就是说，自己决定自己的前途。
所以下面便是我这一年来积攒的所有干货，希望可以对大家有一点点小小的帮助。
由于想讲的实在比较多，所以篇幅较长，希望大家可以耐心看完。
文章结尾会附上我自己的学习资料，大家可以自取。
华中科技大学数学的初试科目为：(101)思想政治理论(201)英语一(601)数学分析和(801)高等代数参考书目为：1.《数学分析》，复旦大学数学系(上、下册)，高等教育出版社2.北京大学数学系，《高等代数》，高等教育出版社(801)高等代数首先简单介绍一下我的英语复习经验。
⑴单词：英语的单词基础一定要打好，如果单词过不了关，那你其他可以看懂吗？？单词可以用木糖英语单词闪电版就够了。
也可以用app软件。
但是这样就会导致玩手机（如果你自制力超强），单词的话到考前也不能停止的。
华中科技大学2012年研究生矩阵论试题
2012年华中科技大学矩阵论考试一、填空题1、 设矩阵13i 12A=213101i i i i -⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥+⎣⎦,111X ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦,其中i =1AX =_____，1A =_____ 2、 设矩阵-1210A=P 030P 000⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则dimN(A)=_____;()A m λ=______ 3、 设矩阵0A=00a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则a 满足条件__________时，矩阵幂级数k 0k A ∞=∑收敛 4、 设矩阵1231A=12122332-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则A 的LDV 分解为_________ 5、 设矩阵100A=01/20001/3⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，sin(A)的Jordan 矩阵sin()A J =_______,limsin()n A =_________ 6、 设102a A ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，3021B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则矩阵方程0AX XB +=有非零解的条件是a ≠_______二、设线性空间3R 上的线性变换T 在基{}123e e e 下的线性变换为111213212223313233A=a a a a a a a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1） 求变换T 在基{}1233e e e 下的变换矩阵（2） 求变换T 在基{}1123e e e e +下的变换矩阵三、设矩阵210000A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦（1） 求矩阵A 的奇异值分解（2） 求矩阵A 的M -P 广义逆A +四、设111101W L ⎧⎫⎡⎤⎡⎤⎪⎪⎢⎥⎢⎥=⎨⎬⎢⎥⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎩⎭，是空间3R 的子空间 （1） 求空间3R 上的正交投影变换P ，使得P 的象空间R(P)=W（2） 求空间3R 的向量[]123Tα=在投影变换P 下的象五、设308A=316205⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，计算矩阵函数At e六、证明题（1）设A 是可逆矩阵，n σ是矩阵A 的最小奇异值，证明：121n A σ-=（3） 设矩阵A 和B 都是n 阶方针，证明：()()rank()rank A B rank A B ⊗=。
考研数学(一)历年真题(1990-2021)无水印
1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线34y t =-垂直的平面方程是_____________.1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim(xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x =1011x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e (e )()xx f f x ----(B)e (e )()xx f f x ---+(C)e(e )()x x f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n f x 是(A)1![()]n n f x +(B)1[()]n n f x +(C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x (3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n ∞=∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)收敛性与a 的取值有关(4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导(B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值(D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα(B)1211212()2k k ++-+ββααα(C)1211212()2k k -+++ββαββ(D)1211212()2k k ++-+ββαββ三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求120ln(1).(2)x dx x +-⎰(2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解).四、(本题满分6分)求幂级数(21)nn n x∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分)求曲面积分2SI yzdzdx dxdy =+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'>七、（本题满分6分）设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C 且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C 的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、（本题满分8分）求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分）质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F 作用(见图).F的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞则X 的概率分布函数()F x =____________.(2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -=== 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设21cos x t y t=+=,则22d y dx =_____________.(2)由方程xyz +=所确定的函数(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________.(4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________.(5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)曲线221e 1e x xy --+=-(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线又有铅直渐近线(2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2e ln 2x(C)e ln 2x +(D)2e ln 2x +(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3(B)7(C)8(D)9(4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy⎰⎰(B)12D xydxdy⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy+⎰⎰(D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E (C)=BAC E(D)=BCA E三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求2lim .x π+→(2)设n是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =在点P 处沿方向n 的方向导数.(3)22(),x y z dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体.四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O 从到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n∞=∑的和.六、（本题满分7分）设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分）已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式.八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________.(2)随机地向半圆0y a <<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 的密度函数为(,)f x y =(2)2e 0,00 x y x y -+>>其它求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设函数()y y x =由方程e cos()0x yxy ++=确定,则dydx=_____________.(2)函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x =211x-+00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =_____________.(5)设111212121212,n n n n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 其中0,0,(1,2,,).i ia b i n ≠≠= 则矩阵A 的秩()r A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)当1x →时,函数1211e 1x x x ---的极限(A)等于2(B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos nn a n ∞=--∑常数0)a >(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a 有关(3)在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条(D)不存在(4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f 存在的最高阶数n 为(A)0(B)1(C)2(D)3(5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为(A)[]212-(B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)102011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求0x x →(2)设22(e sin ,),x z f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.z x y∂∂∂(3)设()f x =21ex x -+00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分)计算曲面积分323232()()(),x az dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =的上侧.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分）在变力F yzi zxj xyk =++的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F 所做的功W 最大?并求出W 的最大值.八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分）设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________.(2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e }XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Y μσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e)t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)函数1()(2(0)xF x dt x =->⎰的单调减少区间为_____________.(2)由曲线223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n a a nx b nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________.(4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小(B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小(D)低价无穷小(2)双纽线22222()x y x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰(B)404cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)2401(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π(B)4π(C)3π(D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos x Lf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于(A)e e 2x x --(B)e e 2x x --(C)e e 12x x -+-(D)e e 12x x-+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1(B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1(D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sincos ).x x x x →∞+(2)求.x dx (3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰ 其中∑是由曲面z =与z =所围立体的表面外侧.五、(本题满分7分)求级数20(1)(1)2n nn n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.baa b >七、（本题满分8分）已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x x x x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关.九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y 轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________.(2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞(1)求X 的数学期望EX 和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X 与X 是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-=_____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为_____________.(3)设e sin ,xxu y-=则2u x y ∂∂∂在点1(2,π处的值为_____________.(4)设区域D 为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则n A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M<<(B)M P N <<(C)N M P <<(D)P M N<<(2)二元函数(,)f x y 在点00(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、00(,)y f x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件(B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件(D)既非充分条件又非必要条件(3)设常数0,λ>且级数21nn a ∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与λ有关(4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)x x a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,a c +≠则必有(A)4b d =(B)4b d =-(C)4a c=(D)4a c=-(5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,++++αααααααα线性无关(B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关(D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)设2221cos()cos()t x t y t t udu ==-⎰,求dy dx 、22d y dx在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dxx x +⎰四、(本题满分6分)计算曲面积分2222S xdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解.六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim0,x f x x→=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积.八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为122400x x x x +=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析.(2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=A A 时,证明0.≠A 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为X 01P1212则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xy ρ=-设,32X YZ =+(1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差.(2)求X 与Z 的相关系数.xz ρ(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)202cos x d x t dt dx⎰=_____________.(3)设()2,⨯=a b c 则[()()]()+⨯++a b b c c a =_____________.(4)幂级数2112(3)n n nn n ∞-=+-∑的收敛半径R =_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+A BA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设有直线:L 321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π(B)在π上(C)垂直于π(D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>-(B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->>(D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在0x =处可导的(A)充分必要条件(B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件(D)既非充分条件又非必要条件(4)设(1)ln(1nn u =-+则级数(A)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都收敛(B)1nn u∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u∞=∑发散(5)设11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有(A)12AP P =B (B)21AP P =B (C)12P P A =B(D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设1(),f x dx A =⎰求11()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222x y x +≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程.六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y 七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证:(1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''=''八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A 九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4,则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 的概率密度为()X f x =e 0x -00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Y f y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)设2lim()8,xx x a x a→∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________.(3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________.(4)函数ln(u x =在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1(B)0(C)1(D)2(2)设()f x 具有二阶连续导数,且0()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值(B)(0)f 是()f x 的极小值(C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点(D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),n a n >= 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,2πλ∈则级数21(1)(tan nnn n a n λ∞=-∑(A)绝对收敛(B)条件收敛(C)发散(D)散敛性与λ有关(4)设有()f x 连续的导数220,(0)0,(0)0,()()(),xf f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1(B)2(C)3(D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a ab b b b -(B)12341234a a a ab b b b +(C)12123434()()a ab b a a b b --(D)23231414()()a ab b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分)(1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数.(2)设1110,1,2,),n x x n +=== 试证数列{}n x 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分)(1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z xy x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换2u x y v x ay =-=+可把方程2222260z z z x x y y ∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a 五、(本题满分7分)求级数211(1)2n n n ∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y 轴上的截距等于01(),xf t dt x⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分）设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=A A 的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵.九、（本题满分8分）已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值.(2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A 生产的概率是____________.(2)设,ξη是两个相互独立且均服从正态分布2)N 的随机变量,则随机变量ξη-的数学期望()E ξη-=____________.十一、（本题满分6分）设,ξη是两个相互独立且服从同一分布的两个随机变量,已知ξ的分布率为1(),1,2,3.3P i i ξ===又设max(,),min(,).X Y ξηξη==(1)写出二维随机变量的分布率:XY123123(2)求随机变量X 的数学期望().E X1997年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2013sin coslim(1cos )ln(1)x x x x x x →+++=_____________.(2)设幂级数1nnn a x∞=∑的收敛半径为3,则幂级数11(1)n nn na x ∞+=-∑的收敛区间为_____________.(3)对数螺线e θρ=在点2(,)(e ,)2ππρθ=处切线的直角坐标方程为_____________.(4)设12243,311t -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦A B 为三阶非零矩阵,且,=AB O 则t =_____________.(5)袋中有50个乒乓球,其中20个是黄球,30个是白球,今有两人依次随机地从袋中各取一球,取后不放回,则第二个人取得黄球的概率是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)二元函数(,)f x y =22(,)(0,0)0(,)(0,0)xyx y x y x y ≠+=,在点(0,0)处(A)连续,偏导数存在(B)连续,偏导数不存在(C)不连续,偏导数存在(D)连续,偏导数不存在(2)设在区间[,]a b 上()0,()0,()0.f x f x f x '''><>令1231(),()(),[()()](),2ba S f x dx S fb b a S f a f b b a ==-=+-⎰则(A)123S S S <<(B)213S S S <<(C)312S S S <<(D)231S S S <<(3)设2sin ()e sin ,x t xF x tdt π+=⎰则()F x (A)为正常数(B)为负常数(C)恒为零(D)不为常数(4)设111122232333,,,a b c a b c a b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ααα则三条直线1112223330,0,0a x b y c a x b y c a x b y c ++=++=++=(其中220,1,2,3i i a b i +≠=)交于一点的充要条件是:(A)123,,ααα线性相关(B)123,,ααα线性无关(C)秩123(,,)r =ααα秩12(,)r αα(D)123,,ααα线性相关12,,αα线性无关(5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 的方差分别为4和2,则随机变量32X Y -的方差是(A)8(B)16(C)28(D)44三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)计算22(),I xy dv Ω=+⎰⎰⎰其中Ω为平面曲线220y zx ==绕z 轴旋转一周所成的曲面与平面8z =所围成的区域.(2)计算曲线积分()()(),cz y dx x z dy x y dz -+-+-⎰ 其中c 是曲线2212x y x y z +=-+=从z轴正向往z 轴负向看c 的方向是顺时针的.(3)在某一人群中推广新技术是通过其中掌握新技术的人进行的,设该人群的总人数为,N 在0t =时刻已掌握新技术的人数为0,x 在任意时刻t 已掌握新技术的人数为()(x t 将()x t 视为连续可微变量),其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比,比例常数0,k >求().x t 四、(本题共2小题,第(1)小题6分,第(2)小题7分,满分13分)(1)设直线:l 030x y b x ay z ++=+--=在平面π上,而平面π与曲面22z x y =+相切于点(1,2,5),-求,a b 之值.(2)设函数()f u 具有二阶连续导数,而(e sin )xz f y =满足方程22222e ,xz z z x y∂∂+=∂∂求().f u五、(本题满分6分)设()f x 连续1,()(),x f xt dt ϕ=⎰且0()lim(x f x A A x→=为常数),求()x ϕ'并讨论()x ϕ'在0x =处的连续性.六、(本题满分8分)设11110,(1,2,),2n n na a a n a +==+= 证明(1)lim n x a →∞存在.(2)级数11(1)nn n a a ∞=+-∑收敛.七、(本题共2小题,第(1)小题5分,第(2)小题6分,满分11分)(1)设B 是秩为2的54⨯矩阵123,[1,1,2,3],[1,1,4,1],[5,1,8,9]TTT==--=--ααα是齐次线性方程组x =B 0的解向量,求x =B 0的解空间的一个标准正交基.(2)已知111⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦ξ是矩阵2125312a b -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦A 的一个特征向量.1)试确定,a b 参数及特征向量ξ所对应的特征值.2)问A 能否相似于对角阵?说明理由.八、（本题满分5分）设A 是n 阶可逆方阵,将A 的第i 行和第j 行对换后得到的矩阵记为.B (1)证明B 可逆.(2)求1.-AB 九、（本题满分7分）从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗,假设再各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是2.5设X 为途中遇到红灯的次数,求随机变量X 的分布律、分布函数和数学期望.十、（本题满分5分）设总体X 的概率密度为()f x =(1)0x θθ+01x <<其它其中1θ>-是未知参数12,,,,n X X X 是来自总体X 的一个容量为n 的简单随机样本,分别用矩估计法和极大似然估计法求θ的估计量.1998年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2112limx x→-=_____________.(2)设1()(),,z f xy y x y f x ϕϕ=++具有二阶连续导数,则2z x y ∂∂∂=_____________.(3)设l 为椭圆221,43x y +=其周长记为,a 则22(234)Lxy x y ds ++⎰ =_____________.(4)设A 为n 阶矩阵*,0,≠A A 为A 的伴随矩阵,E 为n 阶单位矩阵.若A 有特征值,λ则*2()+A E 必有特征值_____________.(5)设平面区域D 由曲线1y x=及直线20,1,e y x x ===所围成,二维随机变量(,)X Y 在区域D 上服从均匀分布,则(,)X Y 关于X 的边缘概率密度在2x =处的值为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 连续,则220()x d tf x t dt dx-⎰=(A)2()xf x (B)2()xf x -(C)22()xf x (D)22()xf x -(2)函数23()(2)f x x x x x =---不可导点的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0(3)已知函数()y y x =在任意点x 处的增量2,1y xy x α∆∆=++且当0x ∆→时,α是x ∆的高阶无穷小,(0)y π=,则(1)y 等于(A)2π(B)π(C)4eπ(D)4eππ(4)设矩阵111222333a b c a b c a b c ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦是满秩的,则直线333121212x a y b z c a a b b c c ---==---与直线111232323x a y b z c a a b b c c ---==---(A)相交于一点(B)重合(C)平行但不重合(D)异面(5)设,A B 是两个随机事件,且0()1,()0,(|)(|),P A P B P B A P B A <<>=则必有(A)(|)(|)P A B P A B =(B)(|)(|)P A B P A B ≠(C)()()()P AB P A P B =(D)()()()P AB P A P B ≠三、(本题满分5分)求直线11:111x y z l --==-在平面:210x y z π-+-=上的投影直线0l 的方程,并求0l 绕y 轴旋转一周所成曲面的方程.四、(本题满分6分)确定常数,λ使在右半平面0x >上的向量42242(,)2()()x y xy x y x x y λλ=+-+A i j 为某二元函数(,)u x y 的梯度,并求(,).u x y 五、(本题满分6分)从船上向海中沉放某种探测仪器,按探测要求,需确定仪器的下沉深度(y 从海平面算起)与下沉速度v 之间的函数关系.设仪器在重力作用下,从海平面由静止开始铅直下沉,在下沉过程中还受到阻力和浮力的作用.设仪器的质量为,m 体积为,B 海水密度为,ρ仪器所受的阻力与下沉速度成正比,比例系数为(0).k k >试建立y 与v 所满足的微分方程,并求出函数关系式().y y v =六、(本题满分7分)计算222212(),()axdydz z a dxdy x y z ∑++++⎰⎰其中∑为下半平面z =,a 为大于零的常数.七、(本题满分6分)求2sin sin sin lim .1112x n n n n n n πππ→∞⎡⎤⎢⎥+++⎢⎥+⎢⎥++⎣⎦ 八、（本题满分5分）设正向数列{}n a 单调减少,且1(1)nn n a ∞=-∑发散,试问级数11(1nn n a ∞=+∑是否收敛?并说明理由.九、（本题满分6分）设()y f x =是区间[0,1]上的任一非负连续函数.(1)试证存在0(0,1),x ∈使得在区间0[0,]x 上以0()f x 为高的矩形面积,等于在区间0[,1]x 上以()y f x =为曲边的曲边梯形面积.(2)又设()f x 在区间(0,1)内可导,且2()(),f x f x x'>-证明(1)中的0x 是唯一的.十、（本题满分6分）已知二次曲面方程2222224x ay z bxy xz yz +++++=可以经过正交变换x y z ξηζ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦P 化为椭圆柱面方程2244,ηξ+=求,a b 的值和正交矩阵.P 十一、（本题满分4分）设A 是n 阶矩阵,若存在正整数,k 使线性方程组kx =A 0有解向量,α且1.k -≠A α0证明:向量组1,,,k -αAαAα 是线性无关的.十二、（本题满分5分）已知方程组(Ⅰ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n n a x a x a x a x a x a x a x a x a x +++=+++=+++=的一个基础解析为11121,221222,212,2(,,,),(,,,),,(,,,).TTTn n n n n n b b b b b b b b b 试写出线性方程组(Ⅱ)1111221,222112222,221122,22000n n n n n n n n nb y b y b y b y b y b y b y b y b y +++=+++=+++=的通解,并说明理由.十三、（本题满分6分）设两个随机变量,X Y 相互独立,且都服从均值为0、方差为12的正态分布,求随机变量X Y -的方差.十四、（本题满分4分）从正态总体2(3.4,6)N 中抽取容量为n 的样本,如果要求其样本均值位于区间(1.4,5.4)内的概率不小于0.95,问样本容量n 至少应取多大?附:标准正态分布表22()t zx dt -Φ=⎰z1.28 1.645 1.962.33()x Φ0.9000.9500.9750.990十五、（本题满分4分）设某次考试的学生成绩服从正态分布,从中随机地抽取36位考生地成绩,算得平均成绩为66.5分,标准差为15分.问在显著性水平0.05下,是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分?并给出检验过程.附:t 分布表{()()}p P t n t n p≤=0.950.97535 1.6896 2.0301361.68832.02811999年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)(1)2011lim(tan x x x x→-=_____________.(2)20sin()x d x t dt dx-⎰=_____________.(3)24e xy y ''-=的通解为y =_____________.(4)设n 阶矩阵A 的元素全为1,则A 的n 个特征值是_____________.(5)设两两相互独立的三事件,A B和C满足条件:1,()()(),2ABC P A P B P C =∅==<且已知9(),16P A B C =则()P A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)(1)设()f x 是连续函数,()F x 是()f x 的原函数,则(A)当()f x 是奇函数时,()F x 必是偶函数(B)当()f x 是偶函数时,()F x 必是奇函数(C)当()f x 是周期函数时,()F x 必是周期函数(D)当()f x 是单调增函数时,()F x 必是单调增函数(2)设20()() 0x f x x g x x >=≤⎩,其中()g x 是有界函数,则()f x 在0x =处(A)极限不存在(B)极限存在,但不连续(C)连续,但不可导(D)可导(3)设 01()122 12x x f x x x ≤≤⎧⎪=⎨-<<⎪⎩,01()cos ,,2n n a S x a n x x π∞==+-∞<<+∞∑其中102()cos n a f x n xdx π=⎰(0,1,2,)n = ,则5()2S -等于(A)12(B)12-(C)34(D)34-(4)设A 是m n ⨯矩阵,B 是n m ⨯矩阵,则(A)当m n >时,必有行列式||0≠AB (B)当m n >时,必有行列式||0=AB (C)当n m >时,必有行列式||0≠AB (D)当n m >时,必有行列式||0=AB (5)设两个相互独立的随机变量X 和Y 分别服从正态分布(0,1)N 和(1,1)N ,则(A)1{0}2P X Y +≤=(B)1{1}2P X Y +≤=(C)1{0}2P X Y -≤=(D)1{1}2P X Y -≤=三、(本题满分6分)设(),()y y x z z x ==是由方程()z xf x y =+和(,,)0F x y z =所确定的函数,其中f 和F 分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求.dz dx四、(本题满分5分)求(e sin ())(e cos ),x x LI y b x y dx y ax dy =-++-⎰其中,a b 为正的常数,L 为从点(2,0)A a 沿曲线y =到点(0,0)O 的弧.五、(本题满分6分)设函数()(0)y x x ≥二阶可导且()0,(0) 1.y x y '>=过曲线()y y x =上任意一点。
华中科技大学博士研究生入学考试《高等工程数学》考试大纲
华中科技大学博士研究生入学考试《高等工程数学》考试大纲1. 考试对象：工科类博士研究生入学考试者2. 考试科目：矩阵论，数值分析，数理统计3. 评价目标：·考查学生对上述科目基础知识的掌握状况·考查学生对学科数学基础理论和方法的逻辑分析与应用能力4. 答卷方式：闭卷、笔试5. 题型比例：概念题：30%；计算、证明题：70%6. 答题时间：180分钟7. 考试科目的内容分布:满分100分，每科目各占1/38. 考试内容与考试要求：(1)了解线性空间的基本概念，掌握线性变换及其变换矩阵的性质与计算,掌握线性空间R3上的基本正交变换。
(2)了解Jordan标准形的基本理论与方法,掌握方阵和线性变换的Jordan矩阵计算方法,能应用Jordan化方法分析、解决相关问题。
(3)了解矩阵分解的基本思想,了解方阵的三角分解、Schur分解, 掌握满秩分解和奇异值分解及其分解计算方法,掌握正规矩阵的分解性质。
(4)了解向量范数与矩阵范数，掌握向量与矩阵P范数的计算, 了解矩阵函数的定义和矩阵分析的基本内容,掌握常用的矩阵函数的计算方法及其应用。
(5)了解矩阵广义逆的概念, 掌握矩阵的M-P广义逆的定义、性质及其基本应用。
(6)掌握插值多项式的各种构造方法及其截断误差的表示，了解三次样条插值。
(7)掌握函数的最佳平方逼近与曲线拟合的最小二乘法，了解正交多项式。
(8)理解代数精度的概念；掌握牛顿—柯特斯求积公式、Gauss型求积公式的构造；了解复化求积公式及Romberg算法。
(9)理解常微分方程初值问题的数值解法，会求局部截断误差与阶；能讨论单步法的绝对稳定性区域。
(10)掌握非线性方程求根的迭代公式的构造法并能判断其收敛性及收敛阶。
(11)掌握求解线性方程组的高斯主元消去法及Jocabi、Gauss-Seidel迭代法并会判别迭代的收敛性。
(12)了解抽样分布及有关内容。
(13)掌握参数估计的点估计、区间估计方法及其估计量的评价标准。
高等工程数学讲义 华科 (矩阵论)
矩阵论为何要学矩阵论？自然界和社会发展的本质——“变”（change ）。
种子幼苗 树林 房梁、桌椅…… 婴儿小学生中学生硕士、博士……数学描述：f ：x y=f(x)：RxRy function推于T ： )(αβαT =→： βαB B T −→− transformationB α，B β具有线性结构：ααααααB B 2121∈⇒∈，，， 变换具有线性性质：)()()(2121ααααT T T +=+，)()(ααkT k T =那么α可表为向量α=（x1，… xn ）T ，T 可表为矩阵n m ij a A ⨯=)( ，αβA y T =⋯=)y (m 1因此要研究矩阵的性质。
（等于研究线性变换的性质） 如解线性方程组：Ax=b b A x 1-=⇒，1-A 存在？唯一？ 正如二次型Ax x x x a x x f T ji j i ij n ==⋯∑，，),(1若有P 使∧=⋯=)(n 1λλ，，diag AP P T 则2n 211y )()(x n T T y Px Px Ax λλ+⋯+=∧= ~标准化其中T n y y Px y )(1，，⋯== 引出相似对角化问题。
2.方阵的相似化简2.1 Jordan 标准型2．1.1 矩阵的相似及对角化A 与B 有相同的特征多项式，因而有相同的特征值。
A 课相似对角化~)(~1n diag A λλ，，⋯ 定理1.5.6 A 可相似对角化⇔A 有n 个线性无关的特征向量。
事实上i i i x Ax λ= n i ，，⋯=1 取)x (1n x P ⋯= （可选）有P -1AP =)(1n diag λλ，，⋯ 为求特征值∑==-⋯⋯-⋯⋯-=-n n I A i ns nin m ，（）（0))(||1s 1i 11λλλλλλλi λ的代数重数~i n为求特征向量解0)(=-x I A i λ有)(I A R n i λ--个线性无关的解i λ的几何重数~)(I A R n k i i λ--=定理2.1.1 对任何方阵A 的特征值i λ有i i n k ≤证明：t i t A αλα= t=1，…，i k 。
华中科技大学机械电子工程复试题目回顾
华中科技大学机械电子工程复试题目回顾考研结束了，关于华科机械电子工程复试专业笔试问题感慨颇深。
回忆原题如下： 我选取的是机械设计、机械原理、机械制造技术基础这类，和机电传动控制这类（今年是4选2）。
机械设计：今年这类没考机械制造。
共20分。
1、关于机械原理中轮系传动比的计算，这个考的比较复杂。
希望大家把考研指导上的弄清楚，重点把握如何区分定轴轮系、差动轮系、行星轮系，然后对应列出式子求解。
2、缝纫机的传动系统采用什么结构：曲柄滑块（主要），偏心轮，带轮。
画好图，说明运动原理。
3、设计一个能自动关闭、打开盖子的垃圾桶。
画出其结构。
4、问答题：标准齿轮和变位齿轮能正确啮合吗？（这个真不能，从标准齿轮正确啮合的条件这个角度分析就很简单了）机电传动控制：全部考大题。
共20分。
1、给了两个交流异步电机，给了输出功率，转速，传动比，效率，来比较它们的输出转矩谁大谁小。
这个简单，关键公式如下：n p T 9550=，i 12T T =ƞ。
2、有关步进电机步距角的计算，mzk360ο=δ；还有关于输入脉冲频率的计算，这个要知道：步进电机输入一个脉冲就会转动一个补距角。
3、有关电机启动系数，是否满足启动要求启动，这题与书上的3.5，3.7习题大同小异。
4、关于plc 的波形图的绘制（这个题是跪的最多的一个），好多童鞋没复习到。
希望大家复习时，重点看看，如编程，绘波形图等。
考试题目就上上面的，题目不多，2个小时，如果复习不到位很可能无从下手。
希望大家把握基础，复试题目相对初试简单很多，大家不要担心，只需认真复习到位就OK 。
2013届的考研童鞋们，好好加油！坚持了就是胜利！加油！！！。