五年级奥数数学牛吃草问题课件
五年级奥数牛吃草问题
五年级奥数牛吃草问题★牛吃草问题①牛吃草问题的数量关系牛吃草问题又被称为消长问题。
典型的牛吃草问题通常假设草的生长速度是固定不变的,已知不同头数的牛吃光同一片草场的时间,求若干头牛吃光这片草场的时间或若干天吃光这片草场的牛数。
牛吃草问题通常会涉及以下两个数量关系:吃草总量=原有草量+新长草量牛的总数=原草牛数+长草牛数草场里的草可分为两类:原有草和新长草。
吃草的牛也可分为两类:吃原草的牛(简称原草牛)和吃新长草的牛(简称长草牛)。
可以利用上述两个数量关系来解决基础的牛吃草问题。
②牛吃草问题的解题步骤牛吃草问题得以解决的前提条件是每头牛单位时间内吃的草量是相同的。
需要特别正意的是,若干头牛一定时间内的吃草总量与草场同样时间的草总量是相等的。
解题时要先求出长草速度,然后解得原草量数,最后回答问题。
完成上述三步,主要用到以下四个公式：(1)长草速度=总草量差÷总时间差(2)原草量数=总草量数一长草速度×吃草时间（3）吃草时间=原草量数÷(牛的总数一长草牛数)(4)牛的总数=原草量数÷吃草时间+长草牛数第一个公式里的总草量差和总时间差,可以根据题目中的两组条件求出。
应用第二个公式时,可根据两组条件中的一个即可求解,要选取较小的、好计算的那组条件。
这四个公式可以概括为一个核心公式: 原草量数=(牛的总数一长草牛数)╳吃草时间。
掌提了这个公式就可以解决典型的牛吃草问题了。
③牛吃草问题的核心思想由于牛在吃草的过程中草是不断生长的,所以解决牛吃草问题的重点是从变化中找到不变量。
草场上原有的草是不变的,新长的草虽然在变化,但由于是匀速生长,所以每天新长出的草量应该是不变的。
正是基于这个不变量,才能够导出上面的四个基本公式，并应用解题步骤解决变型的牛吃草问题。
例题1一片草地，草匀速生长。
该草地可供14头牛吃30天，或供20头牛吃20天。
那么该片草地原来有多少草？【点拨】假设1头牛1天吃1份草,那么两种情况下牛的吃草总量分别是多少份?对比下,能求出什么量?练习1牛小顿自制了一个大自然生态模拟圈,该生态模拟圈内的资源可以自动匀速增长,它可供20只小昆虫生活10天,或供30只小昆虫生活6天。
小升初奥数牛吃草问题精品课件
牛吃草教学目标：1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识精讲：英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及四个量：原来草的数量、草场每天生长的量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②每头牛每天的食草量不变；③草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值④新生的草量每天生长量天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；（设随题目会变）⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题“牛吃草问题就是追及问题，牛吃草问题就是工程问题。
类型一、一块地的“牛吃草问题”例1、牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200份；15头牛吃10天共吃了1510150份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050份草，这50份草是牧场的草201010天生长出来的，所以每天生长的草量为50105，那么原有草量为：200520100．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．例2、由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以均匀的速度减少．经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天．那么，可供11头牛吃几天？【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，651天自然减少的草量为2051664，原有草量为：2045120。
小学奥数牛吃草PPT课件
5×20=100份……原水量+20分钟的进水 每分量钟的进水量：
原水量：
2021/3/7
（108-100）÷（36-20）=0.5份
108-36×0.5=90份 或100-20×0.5=90份
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90份 + 0.5份
8-0.5=7.5份
90份水需要8台抽水机几分钟舀完？
90÷（8-0.5）=12小时
3×100=自动扶梯级数+100秒新增的级数
2×300=自动扶梯级数+300秒新增的级数 每秒新增的级数：
（2×300-3×100）÷（300-100）=1.5（级）
自动扶梯级数= 3×100-100×1.5=150（级）
2021/3/7
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例5 某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的 旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同 时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。 如果同时打开7个检票口，那么需要多少分钟？
原草量： 240+8×15=360份 或220+9×15=360份
2021/3/7
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400份 - 15份
15头牛在吃
360份草可供21头牛吃几天？
360÷（21+15）=10天
2021/3/7
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例3 一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发 现漏洞时已经进入了一些水，如果用12人舀水，3小时舀 完，如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在想在 6小时舀完，需要多少人？
剩下25-5=20头
5头
20头牛吃100份草能吃几天？
100÷（25-5）=5天
小学五六年级奥数学竞赛牛吃草问题精讲
【例5】（★★★★★） 一片匀速生长的牧草，如果让马和牛去吃，15天将草吃尽；如果让马和 羊去吃，20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃，30天将草吃尽．已知牛和 羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量 现在让马 牛 羊 起去吃 羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃 草，几天可以将这片牧草吃尽？
【例6】（★★★★） 如图 一块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分 如图， 块正方形的草地被分成完全相等的四块和中间的阴影部分，已知 已知 草在各处都是同样速度均匀生长．牧民带着一群牛先在①号草地上吃草， 两天之后把①号草地的草吃光(在这2天内其他草地的草正常生长)．之后他 让一半牛在②号草地吃草，一半牛在③号草地吃草，6天后又将两个草地 的草吃光．然后牧民把 的牛放在阴影部分的草地中吃草，另外 的牛放 1 在④号草地吃草 在④号草地吃草，结果发现它们同时把草场上的草吃完．那么如果一开始 结果发现它们同时把草场上的草吃完 那么如果 开始 2 3 就让这群牛在整块草地上吃草，吃完这些草需要多少时间？ 3
【例2】（★★） 进入冬季后，有一片牧场上的草开始枯萎，因此草会均匀地减少，现在 开始在这片牧场上放羊，如果有38只羊，把草吃完需要25天；如果有30 只羊，把草吃完需要 羊 把草吃完 30天，如果有 如 有20只羊，这片牧场可以吃多少天？ 羊 片 吃多少
【例3】（★★★） 一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场．三块牧场上的草 长得一样密，而且长得一样快．农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天 吃完 草 如 农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛 吃完了草；如果农夫将 的牧场 牛15天可吃完草．问： 吃完草 若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？
Hale Waihona Puke 2【例8】（★★★） 某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派 250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖 用完 现在派120名工人砌了10天后，又增加 用完，现在派 天后 又增加5名工人一起砌，还需要再 名工人 起砌 还需要再 砌几天可以把砖用完？
小学奥数专题牛吃草问题
小学奥数专题一牛吃草问题牛吃草概念及公式：设定一头牛一天吃草量为“1”1草的生长速度＝对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数÷吃的较多天数－吃的较少天数；2原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；3吃的天数＝原有草量÷牛头数－草的生长速度；4牛头数＝原有草量÷吃的天数+草的生长速度一、奥数导引例1．一块牧场长满草,每天牧草都均匀生长;这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天,那么1可供25头牛吃多少天 2可供多少头牛吃4天例1.解析：假设一头牛一天吃1份草,10天长出草10×20-15×10=50份,每天长出草50÷20-10=5份,原有草10×20-20×5=100份,25头牛吃的草,减去每天长的草,一天消耗草25-5=20份,够吃100÷25-5=5天;可供25头牛吃5天; 解法二：110-x×20=15-x×10=25-x×210-x×20=15-x×10= -x×4例2．如果22头牛吃33公亩牧场的草,54天后可以吃完,17头牛吃28公亩牧场的草,84天后可以吃完,那么要在24天内吃完40公亩牧场的草,需要多少头牛A.50B.46C.38D.35例2解法1：牧场的面积发生变化,所以每天长出的草量不再是常量;设每头牛每天的吃草量为1份,则每亩54天的总草量为：22×54÷33=36份；每亩84天的总草量为：17×84÷28=51份,那么每亩每天的新生长草量为51-36÷84-54=0.5份,每亩原有草量为36-0.5×54=9份,那么40亩原有草量为9×40=360份,40亩24天新生长草量为24×0.5×40=480份,40亩24天共有草量360+480=840,可供牛数为840÷24=35头;解法2：利用列方程解问题;二、历年真题三、奥数拔高训练100分1.一个牧场可供58头牛吃7天,或者可供50头牛吃9天;假设草的生长量每天相等,每头牛的吃草量也相等,那么可供多少头牛吃6天10分2.现要将一池塘水全部抽干,但同时又有水流进池塘;若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天可以抽干;若要5天抽干水,需要多少台同样的抽水机抽水 15分3.一个蓄水池装有9根水管,1根进水管,8根相同的出水管;先放进一些水再排水;排水时进水管不关;如果把8根出水管全部打开,需3小时把池内的水全部排光；如果仅打开5根出水管,需6小时把池内的水全部排光;要想在4.5小时内把池内的水全部排光,需同时打开几个出水管 15分4．旅客在车站候车室等车,并且排队的乘客按一定速度增加,检查速度也一定,当车站开放一个检票口,需用半小时把所有乘客解决完毕,当开放2个检票口时,只要10分钟就把所有乘客解决完毕;1求增加人数的速度；2原来的人数;30分5.有三块草地,面积分别是5、15、24亩;草地上的草一样厚,而且长得一样快;第一块草地可供10头牛吃30天,第二块草地可供28头牛吃45天,问第三块地可供多少头牛吃80天 30分1.解析：50×9-58×7÷9-7=22份,58×7-22×7=252份,252+6×22÷6=64头可供64头牛吃6天;2.解析：假设一台抽水机一天抽水1份;6×20-8×10÷20-10=4份,8×10-4×10=40份, 40+4×5÷5=12台,需要12台同样的抽水机抽水;3.解析：假设打开一根出水管每小时可排水“一份”,那么8根出水管开3小时共排出水8×3＝24份；5根出水管开6小时共排出水5×6＝30份;两种情况比较,可知3小时内进水管放进的水是30-24=6份；进水管每小时放进的水是6÷3=2份;3小时排水24份,3小时进水6份,可见打开排水管前,水池中有水24-6=18份;4.5小时再进水4.5×2=9份,4.5小时排完需打开18+9÷4.5=6根排水管;4.解析：设一个检票口一分钟通过一个人1个检票口30分钟30个人1个检票口10分钟20个人30-20÷30-10=0.5个人原有1×30-30×0.5=15人或者2×10-10×0.5=15人5.解析：设每头牛每天的吃草量为1份,则每亩30天的总草量为：10×30÷5=60份；每亩45天的总草量为：28×45÷15=84份,那么每亩每天的新生长草量为84-60÷45-30=1.6份,每亩原有草量为60-1.6×30=12份,那么24亩原有草量为12×24=288份,24亩80天新生长草量为24×1.6×80=3072,24亩80天共有草量3072+288=3360,可供牛数为3360÷80=42头;例 1 一片茂盛的草地,每天的生长速度相同,现在这片青草16头牛可吃15天,或者可供100只羊吃6天,而4只羊的吃草量相当于l头牛的吃草量,那么8头牛与48只羊一起吃,可以吃多少天例 22008年“陈省身杯”国际青少年五年级数学邀请赛有一个水池,池底存了一些水,并且还有泉水不断涌出;为了将水池里的水抽干,原计划调来8台抽水机同时工作;但出于节省时间的考虑,实际调来了9台抽水机,这样比原计划节省了8小时;工程师们测算出,如果最初调来10台抽水机,将会比原计划节省12小时;这样,将水池的水抽干后,为了保持池中始终没有水,还应该至少留下台抽水机;例3 甲、乙、丙三车同时从A地出发到B地去．甲、乙两车的速度分别是每小时60千米和每小时48千米．有一辆卡车同时从B地迎面开来,分别在它们出发后6小时、7小时、8小时先后与甲、乙、丙车相遇,求丙车的速度．巩固小新、正南、妮妮三人同时从学校出发到公园去．小新、正南两人的速度分别是每分钟20米和每分钟16米．在他们出发的同时,风间从公园迎面走来,分别在他们出发后6分钟、7分钟、8分钟先后与小新、正南、妮妮相遇,求妮妮的速度．例 4 一片匀速生长的牧草,如果让马和牛去吃,15天将草吃尽；如果让马和羊去吃,20天将草吃尽；如果让牛和羊去吃,30天将草吃尽．已知牛和羊每天的吃草量的和等于马每天的吃草量．现在让马、牛、羊一起去吃草,几天可以将这片牧草吃尽巩固现在有牛、羊、马吃一块草地的草,牛、马吃需要45天吃完,于是马、羊吃需要60天吃完,于是牛、羊吃需要90天吃完,牛、羊一起吃草的速度为马吃草的速度,求马、牛、羊一起吃,需多少时间。
五年级奥数“牛吃草“(2)第二讲
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第1讲 “牛吃草”（2）
例 例1：有三块草地，面积分别为5，6，和8公顷。草地上的草一样厚，
题 精
而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可
讲
供12头牛吃14天。问第三块草地可供19头牛吃多少天？
解：设每头牛每天吃一份
第一块的面积是第二块的5/6 那么第一块草的原有量是第二块的5/6
习 题
经进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀
水，要10小时才能舀完。现在要想2小时舀完，需要多少人？
解：设每个人每小时舀1份水， 12×3=36 份
5×10=50 份
每小时进水：（50－36）÷（10－3）=2 份
开始舀水时船里有水：36－2×3=30 份
需人：（30＋2×2）÷2=17（人）
题
，第二片草地上的草可供36头牛吃12周．问：第三片草地上的草
可供50头牛吃几天？
解：设每头牛每周吃一份
第一块的面积是第二块的1/2 那么第一块草的原有量是第二块的1/2
第一块每周长的是第二块的1/2 牛在第一块草地6周可消耗：24×6=144份
在第二块草地12周可消耗： 36×12=432份 把在第二块转化到第一块去吃，12周就只能消耗 432×1/2=216 份 那么4公顷的：每天长：（216－144）÷（12－6）=12份
第一块每天长的是第二块的5/6 牛在第一块草地10天可消耗：11×10=110份
在第二块草地14天可消耗： 12×14=168份 把在第二块转化到第一块去吃，14天就只能消耗 168×5/6=140 份
那么5公顷的： 每天长：（140－110）÷（14－10）=7.5份 原有：110－10×7.5 =35 份 那么8公顷的：
2021年优质教学课件小学奥数牛吃草ppt课件
相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少
天数）；
• 2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃 的天数
3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速 度）；
4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
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例1 牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草 可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草 可供25头牛吃多少天？
[自主训练] 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长， 这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天， 如果要供18头牛吃，可吃几天？
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
9×20=180份……原草量+20天的生长量
15×10=150份……原草量+10天的生长量
草每天的生长量： （180-150）÷（20-10）=3份
原草量： 180-20×3=120份 或150-10×3=120份
120份 + 3份
剩下18-3=15头
3头
吃
15头牛吃120份草能吃几天？ 120÷（18-3）=8天
150份 - 10份
剩下150-100=50份
10天减少 10×10=10பைடு நூலகம்份
50份草可供多少头牛吃10天？
（150-10×10）÷10=5头
解：假设1头牛1天吃的草的数量是1份
10×20=200份……原草量+20天的生长量
15×10=150份……原草量+10天的生长量
草每天的生长量： （200-150）÷（20-10）=5份
原草量： 200-20×5=100份 或150-10×5=100份
100份 + 5份
五年级奥数-第十二讲.工程问题之牛吃草.教师版
第十二讲工程问题之牛吃草问题（教学目标：1.理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.2.初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系知识点拨：英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．解“牛吃草”问题的主要依据：①草的每天生长量不变；②，③每头牛每天的食草量不变；④草的总量=草场原有的草量+新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值⑤新生的草量=每天生长量⨯天数．同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；⑵草的生长速度=(对应牛的头数⨯较多天数-对应牛的头数⨯较少天数)÷(较多天数-较少天数)；⑶原来的草量=对应牛的头数⨯吃的天数-草的生长速度⨯吃的天数；⑷吃的天数=原来的草量÷(牛的头数-草的生长速度)；*⑸牛的头数=原来的草量÷吃的天数+草的生长速度．“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．例题精讲：板块一、一块地的“牛吃草问题”【例 1】青青一牧场，牧草喂牛羊；放牛二十七，六周全吃光。
改养廿三只，九周走他方；'若养二十一，可作几周粮（注：“廿”的读音与“念”相同。
“廿”即二十之意。
）【解说】题目翻译过来是：一牧场长满青草，27头牛6个星期可以吃完，或者23头牛9个星期可以吃完。
若是21头牛，要几个星期才可以吃完（注：牧场的草每天都在生长）【解析】设1头牛1天的吃草量为“1”，27头牛吃6周共吃了276162⨯=份；23头牛吃9周共吃了-=份草，这45份草是牧场的草⨯=份．第二种吃法比第一种吃法多吃了20716245239207-⨯=．÷=，那么原有草量为：16261572 -=周生长出来的，所以每周生长的草量为45315963供21头牛吃，若有15头牛去吃每周生长的草，剩下6头牛需要72612÷=(周)可将原有牧草吃完，即它可供21头牛吃12周．【巩固】 牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长．这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天．供25头牛可吃几天【解析】 …【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，10头牛吃20天共吃了1020200⨯=份；15头牛吃10天共吃了1510150⨯=份．第一种吃法比第二种吃法多吃了20015050-=份草，这50份草是牧场的草201010-=天生长出来的，所以每天生长的草量为50105÷=，那么原有草量为：200520100-⨯=．供25头牛吃，若有5头牛去吃每天生长的草，剩下20头牛需要100205÷=(天)可将原有牧草吃完，即它可供25头牛吃5天．【例 2】 牧场上有一片匀速生长的草地，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供多少头牛吃18周【解析】 设1头牛1周的吃草量为“1”，草的生长速度为(239276)(96)15⨯-⨯÷-=，原有草量为(2715)672-⨯=，可供72181519÷+=（头）牛吃18周【巩固】 ！【巩固】 有一块匀速生长的草场，可供12头牛吃25天，或可供24头牛吃10天．那么它可供几头牛吃20天【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么251015-=天生长的草量为1225241060⨯-⨯=，所以每天生长的草量为60154÷=；原有草量为：()24410200-⨯=．20天里，草场共提供草200420280+⨯=，可以让2802014÷=头牛吃20天．【巩固】 (2007年湖北省“创新杯”)牧场有一片青草，每天长势一样，已知70头牛24天把草吃完，30头牛60天把草吃完，则 头牛96天可以把草吃完．【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天新生长的草量为()()103060702460243⨯-⨯÷-=，牧场原有草量为10306016003⎛⎫-⨯= ⎪⎝⎭，要吃96天，需要10160096203÷+=(头)牛． '【巩固】 一牧场放牛58头，7天把草吃完；若放牛50头，则9天吃完．假定草的生长量每日相等，每头牛每日的吃草量也相同，那么放多少头牛6天可以把草吃完【解析】 设1头牛1天的吃草量为1个单位，则每天生长的草量为：(509587)(97)22⨯-⨯÷-=，原有草量为：509229252⨯-⨯=，(252226)664+⨯÷=(头)【巩固】 林子里有猴子喜欢吃的野果，23只猴子可在9周内吃光，21只猴子可在12周内吃光，问如果要4周吃光野果，则需有多少只猴子一起吃（假定野果生长的速度不变）【解析】 设一只猴子一周吃的野果为“1”，则野果的生长速度是(2112239)(129)15⨯-⨯÷-=，原有的野果为(2315)972-⨯=，如果要4周吃光野果，则需有7241533÷+=只猴子一起吃【例 3】 `【例 4】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不生长，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可以供多少头牛吃10天【解析】 设1头牛1天的吃草量为“1”，那么每天自然减少的草量为：()()2051566510⨯-⨯÷-=，原有草量为：()20105150+⨯=；10天吃完需要牛的头数是：15010105÷-=(头)．【巩固】 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少。
五年级奥数学习之牛吃草问题(彩色版,含解答)
学奥数这里总有一本适合你49什么是“牛吃草问题”呢？同学们先来看一个简单的例子：仓库里有一堆草，给4头牛吃，6天可以吃完，如果给3头牛吃，几天能吃完？这道题该怎么处理呢？我们可以借助下面这个关系式来进行求解：由于每头牛每天的吃草量是不变的，因此可以把它设为单位“1”．这样4头牛6天吃掉的草量就等于4624×=（个）单位，而3头牛每天吃掉“3”个单位的草，因此3头牛需要2438÷=（天）才能吃完．大家看，牛吃草问题是不是很简单？但是，这道题还不是真正的“牛吃草问题”呢．真正的“牛吃草问题”不是让一群牛去仓库里吃草，而是去一片草地上吃草．大家能看出这其中的区别吗？地方更宽敞？草更新鲜？当然不是这些，最大的区别在于，仓库里草的总量是固定不变的，而草地上的草还在不停地生长，这样一来问题一下子就变复杂了．不过大家不用害怕，有了上面设单位“1”的方法后，这类题目的解法是很容易的，大家可以从下面的例子中学到这种方法．分析 这是最常见的牛吃草问题，这类问题的难点在于牛吃草的同时，草还在生长.假设一头牛一天吃1个单位的草，会发现两种放养方法吃的总草量不同．为什么会这样呢？因为两次草生长的天数不同，于是就可以算出草生长的速度了．我们可以把例1的方法总结一下，得出牛吃草问题的基本解题步骤：养18吃完了．1.将练习1.有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果放养24头牛，那么6天就把草吃完了；如果放养21头牛，那么8天就把草吃完了．（1）要使得草永远吃不完，那么最多可以放养多少头牛？（2）放养多少头牛，12天才能把草吃完？前面的两道题都是草在生长，草的总量在增加．而实际生活中，草量有时也会随着时间不断减少，那么碰到这样的问题我们该怎么办呢？下面就来看一道这样的问题．分析 本题在羊吃草的同时，草也在不断的减少，这也是牛吃草问题的一种.同前面的问题一样，我们还是要对比一下两个已知条件，算出草的减少速度和原有草总量．练习2.进入冬季，有一片牧场上的草开始枯萎，因此均匀地减少．若在这儿放牛，草地上的草可以供32头牛吃24天，或者供27头牛吃28天．如果在这片牧场上养21头牛，那么可以吃多少天？地减少．现在开始在这片牧场上放羊，如果放少天？将草吃完，一天的吃草量）例题352分析 这道题既有牛又有羊，只需将牛羊统一，然后按照基本的牛吃草问题求解即可．练习3.一片草场，草每天都在均匀生长．如果在这片草场上放20头牛和24头羊，那么18天可以吃完；如果在这片草场上放15头牛和54头羊，那么15天就把草吃完．已知一头牛每天吃的草量相当于3只羊每天吃的草量，请问，如果在这片草地上放12头牛和18头羊可以吃几天？ 牛顿的故事 牛顿Newton （1642～1727，英国人）是大科学家，是近代科学的象征．他在世时作为科学界的主宰几乎被当作偶像崇拜．他作为英国皇家学会连任24年的终身会长，法国科学院至尊的外国院士，还兼任英国造币局局长和国会议员，并前所未有地被封为贵族，获得爵士称号．他死后作为自然科学家又第一个获得国葬，长眠于威斯敏斯特教堂，这是历代帝王和一流名人的墓地．牛顿去世之后，他的声望有增无减．他不仅有不朽的著作《自然哲学的数学原理》、《光学》等流传于世，而且由于后继大师们的发展，他的思想观念长期统率着科学战线上的士卒．他在物理、数学研究上的主要成果，至今仍是各国大、中学生必修的功课．在前面的例题中，牛总是听话地呆在某一块草地上吃草，因此在吃的过程中，牛的数量不会发生改变．而实际上，牛有时不会老老实实呆在一块草地上，它们会四处走动，而牛一走动就会改变草地上牛的数量．那么在吃草的过程中，如果牛的数量发生变化又该如何处理呢？请大家来看下面的问题．53分析 这道题牛的数量在变化，但同其它牛吃草问题一样，还是需要通过比较草量的变化求出每天生长的草量和原有的草量．练习4.有一片草地，草每天都在均匀生长．如果有9头牛来吃，那么12天可以把草吃完；如果有8头牛来吃，那么16天可以把草吃完．现在有3头牛，先吃了10天，然后又来了几头牛，结果又用了4天之就把草吃完了，那么后来又来了多少头牛？有很多的问题看上去和“牛吃草”毫无联系，但仔细观察就会发现，它们都只是换了个形式的“牛吃草”而已．这样的问题通常都可以看成牛吃草问题来求解，下面我们来看一个这样的例子．分析 这是一个标准的水管问题，进水管不停的把水注入水池，同学们想想看，这和牛吃草问题中的什么量很类似？不停生长的草地！没错，只要看出这一点，这道题就变成了一个牛吃草问题．我们可以把每根排水管看成是一头牛，这样天可以把草全部吃完．如果起初这总共则总共需要多少天可以把草吃完？假定草生长的速度不变，每头牛每天吃的草量相同．根为相同的出水管．进水管以均匀的速度不停地向这个蓄水池注水．后来有人想打开出水管，使池内的水全部排光（这时池内已注入了一些水）果把水管，需需同时打开多少根出水管？54就可以使用常用的牛吃草问题的解题方法了．练习5. 2006年夏天．我国某地区遭遇了严重干旱，政府为了解决村民饮水问题，在山下的一眼泉水旁修了一个蓄水池，每小时有相同量的泉水注入池中．第一周开动5台抽水机2.5小时就把一池水抽完，接着第二周开动8台抽水机1.5小时就把一池水抽完．后来由于旱情严重，需要开动13台抽水机同时供水，那么多长时间可以把这池水抽完？本讲知识点汇总一、基本牛吃草问题的解决办法：（1）将每头牛每天的吃草量设为单位“1”； （2）比较已知条件中牛的吃草总量，算出草每天的生长量； （3）计算草地原有草的总量； （4）根据所问问题求解．二、一些实际问题可转化为牛吃草问题求解．顷．那么第三块草地可以供多少头牛吃题55作业1.有一片牧场，草每天都在均匀地生长．如果放养20头牛，那么16天就把草吃完了；如果放养24头牛，那么12天就把草吃完了．那么放养多少头牛，8天就能把草吃完？2.有一个酒桶坏了，每天匀速往外面流失酒，酒桶里面的酒可供7人喝6天，或者供5人喝8天．若1人独饮，那么可以喝多少天？3.假设地球上新生成的资源的增长速度是一定的，照此测算，地球上的资源可供110亿人生活90年，或可供90亿人生活210年．为使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？4.有一均匀生长的草地，可以供18头牛吃40天，或者供12头牛与36只羊吃25天，如果一头牛每天吃草量相当于3只羊每天吃的草，那么让17头牛与48只羊一起吃可以吃多少天？5.有一个蓄水池装了21根相同的水管，其中一根是进水管，其余20根是出水管．开始时，进水管以均匀的速度不停地向蓄水池注水．后来又打开了出水管，希望将池内的水全部排光．如果同时打开10根出水管，则4小时可排尽池内的水；如果仅打开7根出水管，则需6小时才能排尽池内的水．若要3小时排尽池内的水，那么应当同时打开多少根出水管？五年级上册第8讲 牛吃草问题例题1. 答案：（1）5天；（2）14头牛．解答：设一头牛一天吃的草量为1份． 18头牛10天一共吃草：1810180×=（份）；24头牛7天一共吃草：247168×=（份）．如图，对比两次吃草的总量，吃的总量不同是因为18头牛比24头牛多吃了3天（草多生长了3天），而草每天生长：()18016834−÷=（份），于是草地原有草的总量为：180410140−×=（份）．（1）放养的32头牛中有4头牛每天把新长的草吃完，剩下的牛吃原有的草，因此要把草地吃完需要()1403245÷−=（天）．（2）要恰好14天吃完，那么最后吃的总草量为140414196+×=（份），因此要在14天内吃完需要1961414÷=（头）牛．例题2. 答案：40天．解答：设一只羊一天吃的草量为1份．供38只羊吃25天，则吃草总量：3825950×=（份）．供30只羊吃30天，则吃草总量：3030900×=（份）．如图，对比两次吃草的总量，发现5天草减少的量为95090050−=（份），因此草每天减少的量为：50510÷=（份），原有草的总量为：95010251200+×=（份）．现在有20只羊，那么每天草地除了被羊吃掉20份草以外，还会自己减少10份草，因此这片牧场可以吃()1200201040÷+=（天）．4例题详解70只羊16天也可将草吃完，请问，1742088×+=（只）羊多少天能将草吃完？下面利用例题1的方法计算即可．例题4. 答案：6天．解答：设一头牛一天吃的草量为1份．15头牛8天一共吃草：158120×=（份）．如果放养15头牛，吃2天，又来2头牛，再吃5天把草吃完了，一共吃草：()157272115×+×−=（份）．对比两次吃草的总量，吃的总量不同是因为一个8天，一个7天，因此草每天生长：()()120115875−÷−=（份），于是草地原有草的总量为：1205880−×=（份）．15头牛吃了2天后，剩下的草量为：()80155260−−×=（份），还可以吃：()6015554÷+−=（天），所以总共用6天．例题5. 答案：6根．解答：设每根排水管每小时的排水量为1份．8根进水管3小时的总排水量为：8324×=份．5根进水管6小时的总进水量为：5630×=（份）．第二次比第一次排除的水量多，是因为第二次比第一次多排了3小时（进水管多进水3小时），因此进水管每小时的进水量为()()3024632−÷−=（份）．于是原有水量为30()3024−02618+×=（份）．现在要想4.5小时把水排空，需要打开18 4.526÷+=（根）排水管．2.答案：24天．简答：设1人1天喝1份酒，则每天流失()()7658861×−×÷−=（份）的酒，原有酒()71648+×=（份），1人独饮可以喝()481124÷+=（天）．3.答案：75亿．简答：设1亿人1天消耗1份资源，地球上每年增长的资源是()(210901109021×−×÷)()2109075÷−=（份），则地球上最多能养活75亿人．4.答案：16天．简答：只需按照一头牛相当与三只羊将牛羊统一即可．5.答案：13根．简答：设1根出水管1小时排出1份水，则进水管1小时流进()()6741064×−×÷−)641−=（份）水．打开出水管之前，水池中有()101436−×=（份）水，要在3小时排完，需要打开363113÷+=（根）出水管．。