小学四年级奥数之牛吃草问题

小学奥数牛吃草问题教案(一)

1 奥数十二讲

牛吃草问题(一）

牛吃草问题也叫牛顿问题或是消长问题，因由牛顿提出而得名，也有人称这一类问题叫做牛吃草问题。英国著名的物理学家学家牛顿曾编过这样一道数学题：牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃,可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？

解题关键

牛顿问题，俗称“牛吃草问题”，牛每天吃草,草每天在不断均匀生长.解题环节主要有四步：

1、求出每天长草量;

2、求出牧场原有草量；

3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；

4、最后求出可吃天数

想：这片草地天天以匀速生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22—16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22—10）天里,便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把所有头牛分成两部分来研究,用其中头吃掉新长出的草，用其余头数吃掉原有的草，即可求出全部头牛吃的天数.

设一头牛1天吃的草为一份。

那么10头牛22天吃草为1×10×22=220份，16头牛10天吃草为1×16×10=160份

（220-160)÷（22-10）=5份,说明牧场上一天长出新草5份。

220-5×22=110份，说明原有老草110份。

综合式:110÷（25-5）=5.5天，算出一共多少天。

牛顿曾提出的问题

牛顿在其著作《普遍的算术》（1707年出版)中提出如下问题：”12条公牛在四个星期内吃掉了三又三分之一由格尔的牧草;21条公牛在9星期吃掉10由格尔的牧草,问多少条公牛在18个星期内吃掉24由格尔的牧草？"

（由格尔是古罗马的面积单位,1由格尔约等于2,500平方米）.这个著名的公牛问题叫做“牛顿问题".牛顿曾说过：“如果我看得比别人更远些,那是因为我站在巨人的肩膀上”。 2 牛顿的解法是这样的:在牧草不生产的条件下，如果12条公牛在四星期内吃掉三又三分之一由格尔的牧草、则按比例36头公牛四星期内,或16头公牛九个星期内，或八头公牛18星期内吃掉10由格尔的牧草，由于牧草在生长，所以21头公牛9星期只吃掉10由格尔牧草,即在随后的五周内,在10由格尔的草地上新长的牧草足够21—16=5头公牛吃9星期，或足够5/2头公牛吃18个星期,由此推得，14个星期（即18个星期减去初的四个星期）内新长的牧草可供7头公牛吃18个星期，因为5：14=5/2：7。前已算出，如牧草不长，则10由格尔草地牧草可供八头公牛吃18个星期，现考虑牧草生长，故应加上7头，即10由格尔草地的牧草实际可供15头公牛吃18个星期，由此按比例可算出。24由格尔草地的牧草实际可供36头公牛吃18星期.

奥数牛吃草知识点总结

一、牛吃草问题的基本概念。

1. 定义。

- 牛吃草问题又称为消长问题或牛顿问题。它描述的是在一片草地上，牛不断吃草，草又不断生长（或者草不断枯萎，是类似的情况但生长率为负）的动态过程，要根据给定的牛的数量、吃草天数等条件求出草地原有的草量、草的生长速度或者可供一定数量的牛吃的天数等问题。

2. 核心要素。

- 原有草量：草地一开始所拥有的草的总量。

- 草的生长速度：单位时间内草生长（或枯萎）的量。

- 牛的吃草速度：每头牛单位时间内吃草的量（通常假设每头牛每天吃草量为1份，方便计算）。

二、基本公式。

1. 草生长时的公式。

- 设原有草量为y，草的生长速度为x，牛的头数为n，吃的天数为t。

- 则y=(n - x)t。这里n - x表示实际上每天净消耗原有草量的速度，因为牛在吃草的同时草也在生长，n头牛每天吃草n份，草每天生长x份，所以净消耗原有草量的速度就是n - x份/天。

2. 草枯萎时的公式。

- 如果草是不断枯萎的，设草的枯萎速度为x（此时x为正数，表示草量减少的速度）。 - 则y=(n + x)t。这里n+x表示每天消耗原有草量的速度，因为牛吃草和草枯萎都在减少草量，n头牛每天吃草n份，草每天枯萎x份，所以总共消耗原有草量的速度就是n + x份/天。

三、解题步骤。

1. 求草的生长速度（或枯萎速度）和原有草量。

- 一般给出两种不同牛的数量和它们吃草的天数的情况。

- 例如：有一片草地，可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。设每头牛每天吃草量为1份。

- 根据公式y=(n - x)t列出方程组：

- 对于10头牛吃20天的情况，y=(10 - x)×20。

- 对于15头牛吃10天的情况，y=(15 - x)×10。

- 然后将两个方程联立求解：

- 由(10 - x)×20=(15 - x)×10，展开得到200 - 20x = 150 - 10x。

数学运算--牛吃草问题

牛吃草问题又称为消长问题，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是︰

(1)草的生长速度=(相应的牛头数×吃草速度)×吃的较多天数-(相应的牛头数×吃草速度)×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);

(2)原有草量=(相应的牛头数×吃草速度)×吃的天数草的生长速度×吃的天数;`

(3)吃的天数=原有草量÷(相应的牛头数×吃草速度-草的生长速度);

(4)牛头数=(原有草量÷吃的天数+草的生长速度)÷吃草速度。

这四个公式是解决消长问题的基础。

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。

牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

这类问题的数量关系(基本变形)是：

1.(相应的牛头数×吃草速度×吃草较多的天数-相应的牛头数×吃草速度×吃草较少的天数)÷(吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。

2.相应的牛头数×吃草速度×吃草天数-每天新长量×吃草天数=草地原有的草。

例2.

有一片牧场，24头牛6天可以将草吃完；21头牛8天可以吃完，要使牧草永远吃不完，至多可以放牧几头牛？( )

小学奥数牛吃草问题

专题一：牛吃草问题

※.核心公式：草场草量=（牛数－每天长出的草量）×天数

这里我们把草场草量称为“原有量”把每天长出的草量称为“日产量”

那么牛吃草问题的核心公式为：

原有量 =（牛数－日产量）×天数

※.解题思路：

A.对于简单的牛吃草问题，一般可以根据已知条件，分步骤解答。

首先：求出日产量（每天长出的草量）

然后：求出原有量（草场草量）

最后：求出题目。

B.对于较为复杂的牛吃草问题，我们将在下面例题中，具体分析。

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例1.牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供25头牛吃几天

分析：这是一道基本的牛吃草问题，我们可以按照思路A解答。

解：设1头牛1天吃的草为1份。

每天长出的草量为：（10×20-15×10）÷（20-10）= 5（份）

草场原有的草量为：10×20－5×20 = 100（份）

25头牛可以吃的天数：100÷（25－5）= 5（天）

答：这片草地可供25头牛吃5天。

课堂练兵：牧场上一片青草，每天牧草都匀速生长。这片牧草可供10头牛吃20天，或者可供15头牛吃10天。问：可供几头牛吃5天

例2.由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天

分析：与例1不同的是，不仅没有新长出的草，而且原有的草还在减少。但我们可以利用例1的方法，求出每天减少的草量和原有的草量。

解：设1头牛1天吃的草为1份。

每天减少的草量为：（20×5－15×6）÷（6－5）= 10（份）

草场原有的草量为：20×5＋10×5 = 150（份）

设：可供x头牛吃10天

小学奥数,牛吃草问题问题

牛吃草问题问题

这种题的关键是牧场上牧草的总数量在不断地变化，因此要解答好这类题首先要分析清草的变化情况，即常说的新生量。然后再找出牧场上原有草的数量，只要你请注意了这两点，就能很好地把问题解答出来。

例1 牧场上有一片匀速生长的牧草，可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，那么这片牧草可供多少头牛吃12天？

例2 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少．已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天．照此计算，可供多少头牛吃10天？

例3有一片牧场,草每天生长的速度相同。草地上的草可供10头牛吃10周，或可供24只羊吃20周。已知每周1头牛和3只羊的吃草量相同，那么10头牛和12只羊一起吃草，可以吃多少周？

例4 有三块草地，面积分别为5，15和24公顷．草地上的草一样厚，而且长得一样快．第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天．问：第三块草地可供多少头牛吃80天？

例5 一牧场上的青草每天匀速生长，这片青草可供34头牛吃60天，或供38头牛吃48天。现有一群牛吃了6天后，卖掉了其中的10头，余下的又吃了4天将草吃完，这群牛原来有多少头？

“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

设定1头牛1天吃草量为1份；

1）草的生长速度＝总草量差÷时间差；

2）原有草量＝总草－新增的

3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）

4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度

牛吃草问题问题试题专项练习

1.一片牧场长满牧草，每天牧草都匀速生长，这片牧场可供10头牛吃20天，或可供15头牛吃10天，问：可供多少头牛吃5天？

2. 一片均匀生长的牧草，如果9头牛吃,12天吃光所有的草,如果8头牛吃16天吃完所有的草。如果13头牛吃，多少天可以把草吃完？

3. 假设地球上新生成的资源增长速度是一定的，照这样计算，地球上的资源可供110亿人生活90年；或可供90亿人生活210年。为了使人类能够不断繁衍，那么地球最多能养活多少亿人？

奥数-20牛吃草问题+答案

1 牛吃草问题牛吃草问题是经典的奥数题型之一，牛吃草问题又称为消长问题。牛吃草问题是科学家牛顿提出来的，所以也称牛顿牧场。典型的牛吃草问题的条件是假设不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。想办法从变化中找到不变的量，草的生长速度固定不变，牧场上原有的草量也是不变的。为了便于计算，先设定一头牛一天吃草量为“1”。解决牛吃草问题常用的四个基本公式︰ 1. 草每天的生长量＝草量差÷时间差； 2. 原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数； 3. 吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）； 4. 牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。这四个公式是解决牛吃草问题的基础。解决牛吃草问题关键是正确计算草地上原有的草量及每天新长出的草量。我们假设让一部分牛吃新长草，其余的牛（牛头数－草的生长速度）吃原有的草，从而求出原有的草够这部分牛吃几天。【例 1】牧场上长满了牧草，牧草每天匀速生长，这片牧草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天。问：这片牧草可供25头牛吃多少天？解析：假设1头牛1天吃的草的数量是1份。草每天的生长量：（10×20－15×10）÷（20－10）＝5（份）原有草量：（10－5）×20＝100（份）或原有草量：（15－5）×10＝100（份） 100÷（25－5）＝5（天）练习一 1. 一块牧场长满了草，草每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供45头牛吃几天？ 2. 牧场上长满了青草，而且每天还在匀速生长，这片牧场上的草可供9头牛吃20天，可供15头牛吃10天，如果要供18头牛吃，可吃几天？ 2 3. 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长。已知27头牛6天把草吃尽，同样一片牧场，23头牛9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？【例 2】有一片牧草，草每天匀速地生长，这片牧草可供100头牛吃3周，可供50头牛吃8周，那么可供多少头牛吃两周？解析：设每头牛每周吃草一份。草的生长速度：（50×8－100×3）÷（8－3）＝20（份）原有牧草的份数：100×3－20×3＝240（份）（240＋20×2）÷2＝140（头）练习二 1. 有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天。那么可供多少头牛吃10天？ 2. 秦林水库存水量一定，每天的河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要6天抽干，需要多少台同样的抽水机？【例 3】由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以均匀的速度减少。牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供16头牛吃6天,那么,可供11头牛吃几天? 解析：每天草减少的量：（20×5－16×6）÷（6－5）＝4（份）牧场上原有的草：（20＋4）×5＝120（份）可供11头牛吃：120÷（11＋4）＝8（天）练习三 1、由于天气逐渐变冷,牧场上的草每天以固定的速度减少。牧场上的草可供20头牛吃5天,或可供12头牛吃7天,那么可供6头牛吃几天? 2、由于天气逐渐寒冷，牧场上的牧草每天以均匀的速度减少，经测算，牧场上的草可供30头牛吃8天，可供25头牛吃9天，那么可供21头牛吃几天？ 3 3、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？【例 4】有一片牧场，草每天都在匀速生长，如果放牧24头牛，则6天吃完草，如果放牧21头牛，则8天吃完草，设每头牛每天的吃草量相等，问：要使草永远吃不完，最多只能放牧几头牛？解析：设1头牛1天所吃的草为1份。那么每天新长出的草为：（21×8－24×6）÷（8－6）＝12（份）只有当新生的草不少于吃掉的草时，才能使草永远吃不完。所以最多只能养活：12÷1＝12（头）练习四 1. 经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类的生存，地球最多只能养活几亿人？ 2. 一水库存水量一定，河水均匀入库。5台抽水机连续20天可抽干；6台同样的抽水机连续15天可抽干。若要使水库存水量下降，至少需要多少台同样的抽水机？【例 5】为了防洪，需开闸泄洪。假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，30小时水位降到安全线，若打开两个泄洪闸，10小时水位降到安全线。现在抗洪指挥部要求在5.5小时内使水位降到安全线，问：至少要同时打开几个闸门？解析：设1个泄洪闸1小时的泄水量为1份。 ① 每小时增加的水量：（1×30－2×10）÷（30－10）＝0.5（份） ② 原有的超过安全线的水量为：1×30－0.5×30＝15（份） ③ 在5.5小时内共要泄出的水量是：15＋0.5×5.5＝17.75（份） ④ 至少要开的闸门个数为：17.75÷5.5≈4（个）（采用“进1”法取值） 4 练习五 1. 水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？ 2. 一个水池，池底有水流均匀涌出，若将满池水抽干，用10台水泵需2小时，用5台同样的水泵需7小时，现要在半小时内把满池水抽干，至少要这样的水泵多少台？【例 6】甲车以现在的速度去追乙车，需要9小时才能追上，如果甲车以现在速度的2倍去追乙车，1.5小时就能追上。如果甲车现在每小时行驶50千米，甲、乙两车原来相距多少千米？解析：先求乙车的速度。（速度＝路程差÷时间差）（50×9－50×2×1.5）÷（9－1.5）＝40（千米）甲、乙两车原来相距（50－40）×9＝90（千米）练习六 1. 快、中、慢三车同时从A地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用多少小时？ 2. 甲、乙、丙三辆车同时从A地出发，出发后6分钟甲车超过了一名长跑运动员，过了2分钟后乙车也超过去了，又过了2分钟丙车也超了过去．已知甲车每分钟走1000米，乙车每分钟走800米，求丙车的速度。 5 【例 1】一片牧草,可供9头牛吃12天，也可供8头牛吃16天，开始只有4头牛吃，从第7天起增加了若干头牛来吃草，再吃6天吃完了所有的草，问从第7天起增加了多少头牛? 解析：每天草增量：（8×16－9×12）÷（16－12）＝5（份）原有草量：108－12×5＝48（份）从开始4头牛到6天后增加牛后再吃6天可知前后共计12天，这片草地共有草量： 48＋5×12＝108（份）增加的牛数：（108－4×12）÷6＝10（头）练习一 1. 一个牧场,草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完。现有一群牛，吃了6天后,卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完。问没有卖掉4头牛之前，这一群牛一共有多少头? 2. 有一片草地，可供8只羊吃20天，或供14只羊吃10天。假设草每天的生长速度不变，现有羊若干只，吃了4天后又增加了6只，这样又吃了2天，便将草吃完。问：原有羊多少只? 【例 2】旅客在检票口排队检票,并且排队的乘客每分钟增加5人,每个检票口检查速度也一定,当开放一个检票口,需用3分钟把所有乘客检票完毕,当开放2个检票口时,只要1分钟就把所有滞留的乘客检票完毕，求原来已经在等候的人数。解析：参照路程差÷时间差＝速度检票速度：(5×3－5×1)÷(3－1×2)＝10（人/分）原有人数：10×3－5×3＝15（个）练习二 1. 一游乐场在开门前有100人排队等候，假设开门后每分钟来的游客是相同的，一个入口处每分钟可以放入10名游客，如果开放2个入口处20分钟就没人排队了，现开放4个入口处，那么开门后多少分钟后没人排队？ 6 2. 物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能完成80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排队了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了？【例 3】自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从向上运行的扶梯上楼。已知男孩每分钟走20级梯级，女孩每分钟走15级梯级，结果男孩用了5分钟到达楼上，女孩用了6分钟到达楼上。问：该扶梯共有多少级？解析：男孩：20×5＝100（级）自动扶梯的级数－5分钟减少的级数女孩：15×6＝90（级）自动扶梯的级数－6分钟减少的级数电梯每分钟向上的级数＝(20×5－15×6)÷(6－5)＝10(级) 自动扶梯的级数＝20×5＋5×10＝150（级）练习三 1. 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走18级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？ 2. 两个顽皮孩子逆着自动扶梯行驶的方向行走，男孩每秒可走3级阶梯，女孩每秒可走2级阶梯，结果从扶梯的一端到达另一端男孩走了100秒，女孩走了300秒。问该扶梯共有多少级？【例 4】有三块草地，面积分别是5亩，15亩和24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？解析：设每头牛每天的吃草量为1份，则每亩30天的总草量为： 10×30÷5＝60（份）每亩45天的总草量为： 28×45÷15＝84（份）那么每亩每天的新生长草量为(84－60)÷(45－30)＝1.6（份）每亩原有草量为60－1.6×30＝12（份）那么24亩原有草量为12×24＝288（份） 24亩80天新长草量为1.6×24×80＝3072（份）， 24亩80天共有草量3072＋288＝3360（份），所以3360÷80＝42(头) 7 另一解法：根据10头牛30天吃5亩可推出30头牛30天吃15亩， 15亩每天新长草量：(28×45－30×30)÷(45－30)＝24（份） 15亩原有草量：28×45－24×45＝180（份） 15亩80天所需牛180÷80＋24＝26.25(头) 24亩需牛：26.25÷15×24＝42（头）练习四 1. 有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可供牛22头吃54天；第二牧场28公亩，可供17头牛吃84天，第三牧场40公亩，可供多少头牛吃24天？（每块地每公亩草量相同且都是匀速生长） 2. 有一牧场长满草，每天牧草匀速生长。12头牛4周吃完6公顷的牧草，20头牛6周吃完12公顷的牧草。假设每公顷原有草量相等，草的生长速度不变，问多少头牛8周吃完16公顷的牧草？ 3. 两只蜗牛由于耐不住阳光照射，从井顶走向井底，白天往下走，一只蜗牛一个白天能走20分米，另一只只能走15分米；黑夜里往下滑，两只蜗牛下滑速度相同，结果一只蜗牛5昼夜到达井底，另一只蜗牛用了6昼夜。问井深是多少？ 4. 一块1000平方米的牧场能让12头牛吃16个星期，或让18头牛吃8个星期，那么一块4000平方米的牧场6个星期能养活多少头牛？ 8 参考答案基础题练习一 1、每天新生的草量：(10×40－15×20)÷（40－20）＝5（份）。原草量为：（10－5）×40＝200（份）25头牛吃：200÷（45－5）＝5（天） 2、草每天的生长量：（9×20－15×10）÷（20－10）＝3份原草量：（9－3）×20＝120份 18头牛吃120÷（18-3）＝8天 3、每天新生的草量：(23×9－27×6)÷（9－6）＝15（份）。原草量为：（23－15）×9＝72(份)可供21头牛吃：72÷(21－15)＝12(天) 练习二 1、草的生长速度：（17×30－19×24）÷（30－24）＝9（份）原有牧草的份数：17×30－9×30＝240(份) (240＋10×9)÷10＝33(头) 2、每天水的入库量：（5×20－6×15）÷（20－15）＝2（份）原有水的份数：5×20－2×20＝60(份）需要：（60＋2×6）÷6＝12(台）练习三 1、每天草减少的量：（20×5－12×7）÷（7－5）＝8（份）牧场上原有的草：（20＋8）×5＝140（份）可供6头牛吃：140÷（6＋8）＝10（天） 2、草每天的减少量：（30×80－25×9）÷（9－8）＝15份原草量：30×80＋8＝360份 360÷（21+15）=10天 3、草每天的减少量：（20×5－15×6）÷（6－5）＝10（份）原草量：20×5＋10×5＝150（份）或 90＋6×10＝150（份）（150－10×10）÷10＝5（头）练习四 1、那么地球上每年新生成的资源量为：（80×300－100×100）÷（300－100）＝70（份）所以地球最多只能养活：70÷1＝70（亿人） 2、（5×20－6×15）÷（20－15）＝2（份）至少需要 2÷1＝2（台）练习五 1、每天入库量(5×20－6×15)÷(20－15)＝2（份）原有水量（5－2）×20＝60（份）需要抽水机：（60＋2×6）÷6＝12（台） 2、水流每小时的流入量：（5×7－10×2）÷（7－2）＝3（份）水池原有水量：5×7－3×7＝14（份）或 10×2－3×2＝14（份）半小时内把水抽干，至少需要水泵：（14＋3×0.5）÷0.5＝31（台）练习六 1、自行车的速度是：（20×10－24×6）÷（10－6）＝14（千米/小时）三车出发时自行车距A地：（24－14）×6＝60（千米）慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19－14）＝12（小时） 2、长跑运动员的速度是：（8×800－6×1000）÷2＝200（米/分）三车出发时运动员距A地：（1000－200）×6＝4800（米）（4800＋200×10）÷10＝680（米/分）

小学奥数牛吃草问题教案(二)

奥数十三讲

牛吃草问题二

典型的牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用的四个基本公式，分别是：

设定一头牛一天吃草量为“1”

1草的生长速度=（对应的牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）

2原有草量=牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数

3吃的天数=原有草量÷（牛头数－草的生长速度）

4牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度

由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正由于这个不变量，才能导出上面的四个基本公式。

牛吃草的问题经常给出不同头数的牛吃同一片草地，这地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。

解题的关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有的草量，进而解答问题。

这类题的基本数量关系是： 1（牛头数×吃的较多的天数－相应的牛头数×吃的较少的天数）÷（吃的较多的天数－吃得较少的天数）=草地每天新长出的草

2牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数=原有草量

解决多块草地的方法

多块草地的“牛吃草”问题，一般情况下找多块草地的最小公倍数，这样可以减少运算难度，但如果数据较大时，我们一般把面积统一为“1”相对简单些。

思维拓展

例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？

【分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。

小学奥数：牛吃草问题(二).专项练习

6-1-10.牛吃草问题.题库学生版

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1. 理解牛吃草这类题目的解题步骤，掌握牛吃草问题的解题思路.

2. 初步了解牛吃草的变式题，会将一些变式题与牛吃草问题进行区别与联系

英国科学家牛顿在他的《普通算术》一书中，有一道关于牛在牧场上吃草的问题，即牛在牧场上吃草，牧场上的草在不断的、均匀的生长．后人把这类问题称为牛吃草问题或叫做“牛顿问题”．

“牛吃草”问题主要涉及三个量：草的数量、牛的头数、时间．难点在于随着时间的增长，草也在按不变的速度均匀生长，所以草的总量不定．“牛吃草”问题是小学应用题中的难点．

解“牛吃草”问题的主要依据：

① 草的每天生长量不变；

② 每头牛每天的食草量不变；

③ 草的总量草场原有的草量新生的草量，其中草场原有的草量是一个固定值

④ 新生的草量每天生长量天数．

同一片牧场中的“牛吃草”问题，一般的解法可总结为：

⑴设定1头牛1天吃草量为“1”；

⑵草的生长速度(对应牛的头数较多天数对应牛的头数较少天数)(较多天数较少天数)；

⑶原来的草量对应牛的头数吃的天数草的生长速度吃的天数；

⑷吃的天数原来的草量(牛的头数草的生长速度)；

⑸牛的头数原来的草量吃的天数草的生长速度．

“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题．

模块一、 “牛”吃草问题的变例

【例 1】在地铁车站中，从站台到地面有一架向上的自动扶梯．小强乘坐扶梯时，如果每秒向上迈一级台阶，那么他走过20级台阶后到达地面；如果每秒向上迈两级台阶，那么走过30级台阶到达地面．从站台到地面有级台阶．

例题精讲知识精讲教学目标

第六讲牛吃草问题

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1 四年级奥数

第六讲牛吃草问题

经典例题

例一一片草地，每天都匀速地长出青草，这片草地可供24头牛吃6周或18头牛吃10周。问可供19头牛吃多少周？

例二有一口水井，井底不断涌出泉水，每分钟涌出的水量相等。如果使用3架抽水机来抽水，36分钟可以抽完；如果使用5架抽水机来抽水，20分钟可以抽完。现在要12分钟内抽完井水，需要抽水机多少架？

例三内蒙古奶牛场由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长多，反而以固定的速度在减少，找这样计算：某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。那么可供多少头牛吃10天？

例四仙桃商场大厦自动扶梯以均匀的速度由下往上行驶着，两位性急的孩子要从扶梯上楼。已知男孩子每分钟走20级，用了5分钟到达楼上；女孩每分钟走15级，用了6分钟到达楼上。问该自动扶梯有多少级可见扶梯？

提优训练：

1. 一块草地每天生长的速度相同。现在这片牧草可供16头牛吃20天，或者供80只羊吃12天。如果一头牛一天的吃草量等于4只羊一天的吃草量。那么10头牛与60只羊一起吃，可以吃多少天？

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2. 一片草地，每天都匀速地长出新草。如果9头牛吃，12天吃完所有的草；如果8头牛吃，16天吃完所有的草。现在开始只有4头牛，从第7天起又增加若干条牛，再用6天吃完所有的草。问增加了多少头牛？

3. 内蒙古奶牛场由于天气渐冷，牧场上的草以固定的速度减少。一直牧场上的草可供12头牛吃9天，或可供10头牛吃10天。找这样计算，这个牧场可供多少头牛吃12天？

4. 武汉中百商场的自动扶梯以均匀速度由下往上行驶着，三个孩子甲乙丙要从扶梯上楼。已知甲每分钟走5级台阶，用了10分钟到达楼上；乙每分钟走7级台阶，用了9分钟到达楼上；丙用了12分钟到达楼上，那么丙每分钟走多少台阶？

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