《高等数学》第7章空间向量与空间解析几何精编版
第七章空间解析几何与向量代数(已改)
第七章 空间解析几何与向量代数一、向量代数（A:§7.1,§7.2；B:§7.1,§7.2,§7.3,§7.4） Ⅰ、内容要求：（ⅰ）理解空间直角坐标系，掌握两点间距离公式，中点公式，自学定比分点公式。
（ⅱ）理解向量的概念（向量，单位向量，模，方向角，方向余弦，分向量与投影）及其坐标表达，了解向径的坐标表示与点坐标表示之间的关系。
（ⅲ）掌握向量的线性运算，数量积与向量积及其坐标表示，自学混合积。
（ⅳ）学会用向量代数方法解决有关向量间位置关系的问题。
Ⅱ、基本题型：（ⅰ）有关空间直角坐标系下点坐标的问题。
1．（4'）在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(A) ），，（432- (B) ），，（432- (C) ），，（432-- (D) ），，（432-- 解：（A ）Ⅳ （B ）Ⅴ （C ）Ⅷ （D ）Ⅲ 2．（6'）若)0,3,1(),3,1,1(B A -，则AB 中点坐标为3(1,1,)2，=||AB 5 .3.（7'）求),,(c b a 点关于（1）各坐标面（2）各坐标轴（3）坐标原点的对称点坐标。
解：（1）(,,),(,,),(,,)xoy a b c yoz a b c xoz a b c ------（2）(,,),(,,),(,,)x a b c y a b c z a b c --------- （3）(0,0,0)(,,)o a b c ----4．（4'）若点M 的坐标为),,(z y x ，则向径OM 用坐标可表示为(,,)x y z 或{},,x y z . 5．（8'）一边长为a 的立方体放置在xoy 面上，其下底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标。
解：),22,0(),,0,22(),0,22,0(),0,0,22(a a a a a a ±±±±6．（7'）已知)4,2,1(--A ，),2,6(t B -，且9||=AB ，求（1）t ；（2）线段AB 的中点坐标。
高数第七章 向量与空间解析几何
第七章向量与空间解析几何空间解析几何是多元函数微积分学必备的基础知识.本章首先建立空间直角坐标系；然后引进有广泛应用的向量及其运算，以它为工具，讨论空间的平面和直线；最后介绍空间曲面和空间曲线的部分内容.第一节空间直角坐标系平面解析几何是我们已经熟悉的，所谓解析几何就是用解析的，或者说是代数的方法来研究几何问题.引起这场数学史上伟大革命的正是坐标系的建立.代数运算的基本对象是数，几何图形的基本元素是点.正如我们在平面解析几何中所见到的那样，通过建立平面直角坐标系使几何中的点与代数的有序数之间建立一一对应关系.在此基础上，引入运动的观点，使平面曲线和方程对应，从而使我们能够运用代数方法去研究几何问题.同样，要运用代数的方法去研究空间的图形——曲面和空间曲线，就必须建立空间内点与数组之间的对应关系.一、空间直角坐标系空间直角坐标系是平面直角坐标系的推广.过空间一定点O，作三条两两互相垂直的数轴，它们都以O为原点.这三条数轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)，统称坐标轴.它们的正方向按右手法则确定，即角度转向以右手握住z轴，右手的四个手指指向x轴的正向以π2y轴的正向时，大拇指的指向就是z轴的正向(见图7-1)，这样的三条坐标轴就组成了一空间直角坐标系O x y z，点O叫做坐标原点.图7-1三条坐标轴两两分别确定一个平面，这样定出的三个相互垂直的平面:x O y，y O z，z O x，统称为坐标面.三个坐标面把空间分成八个部分，称为八个卦限，上半空间(0)z>中，从含有x轴、y轴、z轴正半轴的那个卦限数起，按逆时针方向分别叫做Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ卦限；下半空间(0)z<中，与Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个卦限依次对应的叫做Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ卦限(见图7-2).图7-2确定了空间直角坐标系后，就可以建立起空间点与数组之间的对应关系.设M 为空间的一点，过点M 作三个平面分别垂直于三条坐标轴，它们与x 轴、y 轴、z 轴的交点依次为,,P Q R (见图7-3).这三点在x 轴、y 轴、z 轴上的坐标依次为x ，y ，z .这样，空间的一点M 就唯一地确定了一个有序数组(,,)x y z ，它称为点M 的直角坐标，并依次把x ， y 和z 叫做点M 的横坐标、纵坐标和竖坐标.坐标为(,,)x y z 的点M ，通常记为(,,)M x y z .图7-3反过来，给定了一有序数组(,,)x y z ，我们可以在x 轴上取坐标为x 的点P ，在y 轴上取坐标为y 的点Q ，在z 轴上取坐标为z 的点R ，然后通过P ，Q 与R 分别作x 轴、y 轴与z 轴的垂直平面，这三个平面的交点M 就是具有坐标(,,)x y z 的点(见图7-3).从而对应于一有序数组(,,)x y z ，必有空间的一个确定的点M .这样，就建立了空间的点M 和有序数组(,,)x y z 之间的一一对应关系.如图7-3所示. x 轴、y 轴和z 轴上的点的坐标，分别为(,0,0)P x ，(0,,0)Q y ，(0,0,)R z ；x O y 面、y O z 面和z O x 面上的点的坐标，分别为(,,0)A x y ，(0,,)B y z ，(,0,)C x z ；坐标原点O 的坐标为(0,0,0)O .它们各具有一定的特征，应注意区分.二、 空间两点间的距离设11112222(,,),(,,)M x y z M x y z 为空间两点，为了用两点的坐标来表达它们间的距离d ，我们过12M M 各作三个分别垂直于三条坐标轴的平面.这六个平面围成一个以12,M M 为对角线的长方体(见图7-4).根据勾股定理，有图7-42221212M MM NN M=+222111.M P M Q M R +=+因为11221M P P P xx ==-， 11221M Q Q Q y y ==－， 11221M R R R z z ==－，所以12d M M =.特别地，点(,,)M x y z 与坐标原点(0,0,0)O 的距离为d O M =第二节 向量及其运算一、 向量及其线性运算1. 向量概念我们曾经遇到的物理量有两种：一种是只有大小的量，叫做数量，如时间、温度、距离、质量等；另一种是不仅有大小，而且还有方向的量，叫做向量或矢量，如速度、加速度、力等.在数学上，往往用一条有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.如图7-5所示，以1M 为始点、2M 为终点的有向线段所表示的向量，用记号12M M表示.有时也用一个黑体字母或上面加箭头的字母来表示向量，如向量，，，a b i u 或 ,,,a b i u等.图7-5向量的大小叫做向量的模，向量12M M或a 的模分别记为12M M或a . 在研究向量的运算时，将会用到以下几个特殊向量与向量相等的概念： 单位向量 模等于1的向量称为单位向量.逆向量(或负向量) 与向量a 的模相等而方向相反的向量称为a 的逆向量，记为-a . 零向量 模等于0的向量称为零向量，记作0，零向量没有确定的方向，也可以说它的方向是任意的.向量相等 两个向量a 与b ，如果它们方向相同，且模相等，就说这两个向量相等，记作=a b .自由向量 与始点位置无关的向量称为自由向量(即向量可以在空间平行移动，所得向量与原向量相等).我们研究的向量均为自由向量，今后，必要时可以把一个向量平行移动到空间任一位置2. 向量的线性运算 （1） 向量的加(减)法.仿照物理学中力的合成，我们可如下规定向量的加(减)法. 定义1 设a ，b 为两个(非零)向量，把a ，b 平行移动使它们的始点重合于M ，并以a ，b 为邻边作平行四边形，把以点M 为一端的对角线向量1M N定义为a ，b 的和，记为+a b(见图7-6).这样用平行四边形的对角线来定义两个向量的和的方法，叫做平行四边形法则.由于平行四边形的对边平行且相等，所以从图7-6可以看出，+a b 也可以按下列方法得出：把b 平行移动，使它的始点与a 的终点重合，这时，从a 的始点到b 的终点的有向线段1M N就表示向量a 与b 的和+a b (见图7-7).这个方法叫做三角形法则.图7-6 图7-7定义2 设a ，b 为两个（非零）向量，b 的逆向量为－b .称向量a 与向量－b 的和向量为向量a 与向量b 的差向量，简称为向量a 与向量b 的差.即-=+a b a b.按定义容易用作图法得到向量a 与b 的差.把向量a 与b 的始点放在一起，则由b 的终点到a 的终点的向量就是a 与b 的差-a b (见图7-8).图7-8在定义1与定义2中，我们都假设a ，b 为非零向量.其实这只是为了几何直观的需要，事实上a ，b 都可以是零向量.根据零向量的定义，我们可以将零向量看成一个没有方向的点.这样我们就可以约定：任何向量与零向量的和与差都等于该向量自己. 向量的加法满足下列性质：+=+a b b a； (交换律)()()++=++a b c a b c ； (结合律)+=a 0a ； ()0+-=a a (2) 向量与数量的乘法.定义3 设λ是一实数，向量a 与λ的乘积λa 是一个这样的向量：当>0λ时，λa 的方向与a 的方向相同，它的模等于a 的λ倍，即λλ=a a ； 当<0λ时，λa 的方向与a 的方向相反，它的模等于a 的λ倍，即λλ=a a ； 当0λ=时，λa 是零向量，即0λ=a .向量与数量的乘法满足下列性质(λ，μ为实数)： ()()λμλμ=a a ； (结合律) ()λμλμ+=+a a a ； (分配律) ()λλλ+=+a b a b . (分配律)设a e 是方向与a 相同的单位向量，则根据向量与数量乘法的定义，可以将a 写成a =a a e这样就把一个向量的大小和方向都明显地表示出来.由此若a 为非零向量，也有a =a e a就是说把一个非零向量除以它的模就得到与它同方向的单位向量.二、 向量的坐标表示1. 向量在轴上的投影为了用分析方法来研究向量，需要引进向量在轴上的投影的概念. （1) 两向量的夹角.设a ，b 为两个非零向量，任取空间一点O ，作O A =a ， O B =b，则称这两向量正向间的夹角θ为两向量a 与b 的夹角(见图7-9)，记作(,)θ=ab 或 π(,),0θθ=≤≤b a . 当a 与b 同向时，0θ=；当a 与b 反向时，πθ=.图7-9(2) 点A 在x 轴上的投影.过点A 作与x 轴垂直的平面，交x 轴于点A '，则点A '称为点A 在x 轴上的投影(见图7-10).图7-10 图7-11(3) 向量AB 在x 轴上的投影.首先我们引进轴上的有向线段的值的概念设 AB 是x 轴上的有向线段.如果数λ满足λA B = ，且当AB 与x 轴同向时λ是正的，当 AB 与x 轴反向时λ是负的，那么数λ叫做x 轴上有向线段AB 的值，记作A B ，即λA B =.设,A B 两点在x 轴上的投影分别为A '，B '(见图7-11)，则有向线段''A B 的值A B ''称为向量AB 在x 轴上的投影，记作j P r x A B A B ''= ，它是一个数量. x 轴叫做投影轴.这里应特别指出的是：投影不是向量，也不是长度，而是数量，它可正，可负，也可以是零.关于向量的投影，有下面两个定理.定理1 向量 AB 在x 轴上的投影等于向量 AB 的模乘以x 轴与向量AB 的夹角α的余弦，即j P r cos x A B A B a =.证 过A 作与x 轴平行，且有相同正向的x '轴，则x 轴与向量AB 间的夹角α等于x '轴与向量AB 间的夹角(见图7-12).从而有j j P r P r cos x x A B A B A B A B a '''==.图7-12显然，当α是锐角时，投影为正值；当α是钝角时，投影为负值；当α是直角时，投影为0定理2 两个向量的和在某轴上的投影等于这两个向量在该轴上投影的和，即j j j 1212P r ()P r P r x x x a a a a +=+图7-13证 设有两个向量12,a a 及某x 轴，由图7-13可以看到j j j 12P r ()P r ()P r x x x A B B C A C A C ''+=+==a a，而j j j j 12P r P r P r P r x x x x A B B C A B B C A C ''''''+=+=+=a a，所以j j j 1212P r ()P r P r x x x +=+a a a a显然，定理2可推广到有限个向量的情形，即j j j j 1212P r ()P r P r P r x n x x x n +++=+++a a a a a a2. 向量的坐标表示 (1) 向量的分解.设空间直角坐标系O x y z ，以,,i j k 表示沿x 轴、y 轴、z 轴正向的单位向量，并称它们为这一坐标系的基本单位向量.始点固定在原点O 、终点为M 的向量O M =r，称为点M的向径.图7-14设向径O M终点M 的坐标为(,,)x y z .过点M 分别作与三条坐标轴垂直的平面，依次交坐标轴于,,P Q R (见图7-14)，根据向量的加法，有O M O P P M M M ''==++r，但 ,P M O P M M O Q ''==， 所以 O P O Q O R=++r. 向量,,O P O Q O R ，分别称为向量O M =r在,,x y z 轴上的分向量.根据数与向量的乘法，得,O P x =i ,O Q y =j O R z =k .因此，有O M x y z ==++r i j k.这就是向量r 在坐标系中的分解式，其中,,x y z 三个数是向量O M =r在三条坐标轴上的投影.一般地，设向量12,=aM M 12,M M 的坐标分别为1111(,,)M x y z 及2222(,,)M x y z ，如图7-15所示.由于图7-15122121M M O M O M =-=-r r，而 2222x y z =++r i j k ，1111x y z =++r i j k ，所以()()=++-++a i j k i j k x y z x y z 222111 ()()()-+-+-i j k =x x y y z z 212121.这个式子称为向量12M M按基本单位向量的分解式，其中三个数量212121,,x y z a x x a y y a z z =-=-=-是向量12M M =a在三个坐标轴上的投影.我们也可以将向量a 的分解式写成.x y z a a a =++a i j k(2) 向量的坐标表示.向量a 在三个坐标轴上的投影,,x y z a a a 叫做向量a 的坐标，并将a 表示为(),,x y za a a =a ，上式叫做向量a 的坐标表示式.从而基本单位向量的坐标表示式是()()()1,0,0,0,1,0,0,0,1===i j k .零向量的坐标表示式为0,0,00=（）.起点为(),,M x y z 1111、终点为(),,M x y z 2222的向量的坐标表示式为()21212112,,M M x x y y z z ---=，特别地，向径的坐标就是终点的坐标，即(),,=O M x y z(3) 向量的模与方向余弦的坐标表示式.向量可以用它的模和方向来表示，也可以用它的坐标来表示.为了找出向量的坐标与向量的模、方向之间的联系，我们先介绍一种表达空间方向的方法.与平面解析几何里用倾角表示直线对坐标轴的倾斜程度相类似，我们可以用向量12M M =a 与三条坐标轴(正向)的夹角,,αβγ来表示此向量的方向，并规定π0α≤≤、π0β≤≤、π0γ≤≤ (见图7-16)，,,αβγ叫做向量a 的方向角.过点12,M M 各作垂直于三条坐标轴的平面，如图7-16所示.可以看出，由于12,P M Mα∠=又21M P M P ⊥，所以1cos cos 12x a M P M M ααa＝＝＝，1c o s c o s 12y a M Q M M ββ===a， （7-2-1）1cos=cos 12.z a M R M M γ==aa z ＝M 1R ＝｜｜cos γ＝｜a ｜cos γ.图7-16公式(7-2-1)中出现的不是方向角αβγ，，本身而是它们的余弦，因而，通常也用数组cos cos cos αβγ、、来表示向量a 的方向，叫做向量a 的方向余弦.把公式(7-2-1)代入向量的坐标表示式，就可以用向量的模及方向余弦来表示向量()cos cos cos αβγ=++a a i j k ， （7-2-2）而向量a 的模为12M M ==a由此得向量a 的模的坐标表示式=a （7-2-3）再把(7-2-3)式代入(7-2-1)式，可得向量a 的方向余弦的坐标表示式cos cos ,cos a αa βa γ⎧⎪=⎪⎪⎪=⎨⎪⎪⎪=⎪⎩（7-2-4）把公式(7-2-4)的三个等式两边分别平方后相加，便得到222cos cos cos 1αβγ++=，即任一向量的方向余弦的平方和等于1.由此可见，由任一向量a 的方向余弦所组成的向量()cos cos cos ,,αβγ是单位向量，即cos cos cos =αβγ++a e i j k .例1 已知两点()1225,,P －及()2167,P -，，试求：(1) 12P P 在三条坐标轴上的投影及分解表达式； (2) 12P P 的模；(3) 12P P的方向余弦；(4)12P P 上的单位向量12e PP .解 (1)设12(,,)x y z P P a a a =，则12P P在三条坐标轴上的投影分别为：3,8,2x y z a a a =-==于是12P P的分解表达式为38212P P i j k++=-.(2)12P P ==(3)12cos x a α==P P12cos ya β==p p ，12cos za γ==p p .(4))e 38212i j k =++-PP .(4) 用坐标进行向量的线性运算.利用向量的分解式，向量的线性运算可以化为代数运算. 设λ是一数量，,x y z x y z a a a b b b b =++=++a i j k i j k ，则()()x y z x y z a a a b b b ±=±a b i j k i j k ＋＋＋＋()()()x x y y z z a b a b a b =±+±+±i j k ；()x y z x y z λλa a a λa λa λa =++=++a i j k i j k或()()(),,,,,,xy z x y z x x y y z zaa ab b b a b a b a b ±±±±=，()(),,,,x y z x y z λa a a λa λa λa =.这就是说，两向量之和(差)的坐标等于两向量同名坐标之和(差)；数与向量之积，等于此数乘上向量的每一个坐标.例2 从点()217,A -，沿向量8912=+-a i j k 的方向取线段A B ，使AB 34=，求点B 的坐标.解 设点B 的坐标为(,,)x y z ，则()()()217A B x y z -+++-i j k=.按题意可知AB上的单位向量与a 上的单位向量相等，即＝A B a e e .而34A B =，17a ==，所以127343434A By x z +--==++e i j kAB AB， 8912171717a ==++a e i j k a比较以上两式，得283417x -=， 193417y +=， 7123417z -=-. 解得 181717,,x y z ===-.所以，点B 的坐标为1817,17()-，.例3 22345 ,,=-+=+-a i j k b i j k 求3-a b 方向的单位向量.解 因为()()3322345=-=-+-+-c a b i j k i j k3711=-+i j k.于是c ==，所以371133c c a b i j k c a b-===-+-e ）.三、 向量的数量积与向量积1. 两向量的数量积在物理学中，我们知道当物体在力F 的作用下(见图7-17)，产生位移s 时，力F 所做的功图7-17()cos ,W =F s Fs .这样，由两个向量F 和s 决定了一个数量 ()cos ,F s Fs .根据这一实际背景，我们把由两个向量F 和s 所确定的数量 ()cos ,F s Fs 定义为两向量F 与s 的数量积. 定义4 a 与b 的模与它们的夹角余弦的乘积，叫做a 与b 的数量积，记为a·b ，即()cos ,⋅=a b a b ab .因其中的 ()cos ,b ab 是向量b 在向量a 的方向上的投影，故数量积又可表示为 Prj ⋅=a a b a b，同样 Prj⋅=b a b b a . 数量积满足下列运算性质：（1）⋅=⋅a b b a ； （交换律）（2）()++⋅⋅⋅a b c =a b a c ； （分配律） （3）()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b .（结合律）由数量积的定义，容易得出下面的结论： （1）2⋅=a a a ；（2）两个非零向量a 与b 互相垂直的充要条件是0⋅=a b . 数量积的坐标表示式设,x y z x y z a a a a b b b b =++=++i j k i j k ，由于基本单位向量，，i j k 两两互相垂直，从而，⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=i j j k k i j i k j i k .又因为，，i j k 的模都是1，所以1⋅=⋅=⋅=i i j j k k ，因此，根据数量积的运算性质可得x x y y z z a b a b a b ⋅=++a b ，即两向量的数量积等于它们同名坐标的乘积之和.由于 ()co s ,⋅=a b a b ab ，当a ,b 都是非零向量时，有 ()cos ,a b a b a b ++⋅==a b ab a b.这就是两向量夹角余弦的坐标表示式.从这个公式可以看出，两非零向量互相垂直的充要条件为0x x y y z z a b a b a b ++=. (7-2-5)例4 求向量()322,,=-a 和()3,0,0=b 的夹角.解 因为 ()3320209⋅=⋅+-⋅+⋅=a b ，5==a ，=3b ，所以()93cos ,535⋅===⨯a b a b a b.故其夹角()arccos 5383,5=≈︒'a b .例5 求向量()412,,=-a 在()31,,0=b 上的投影. 解 因为 ()43112011⋅=⋅+-⋅+⋅=a b ，==b ，所以Prj ⋅===b a b a b.例6 在x O y 平面上，求一单位向量与437(,,)=-p 垂直. 解 设所求向量为(),,a b c ，因为它在x O y 平面上，所以0c =.又(),,0a b 与()437,,=-p 垂直，且是单位向量，故有22-43=10a b a b +=+，.由此求得34,55a b =±=±， 因此所求向量为34,,055⎛⎫±± ⎪⎝⎭.2. 两向量的向量积在研究物体转动问题时，不但要考虑此物体所受的力，还要分析这些力所产生的力矩.下面举例说明表示力矩的方法.图7-18设O 为杠杆L 的支点，有一个力F 作用于这杠杆上P 点处，F 与OP 的夹角为θ(见图7-18).由物理学知道，力F 对支点O 的力矩是一向量M ，它的模sin M O Q O P θ=F F=.而M 的方向垂直于 OP 与F 所确定的平面（即M 既垂直于OP ，又垂直于F ），M 的指向按右手规则，即当右手的四个手指从OP 以不超过π的角转向F 握拳时，大拇指的指向就是M 的指向.由两个已知向量按上述规则来确定另一向量，在其他物理问题中也会遇到，抽象出来，就是两个向量的向量积的概念.定义5 设a ，b 为两个向量，若向量c 满足(1) sin (,)=c a b ab ，即等于以,a b 为邻边的平行四边行的面积； (2)c 的方向垂直于,a b 所确定的平面，并且按顺序,,a b c 符合右手法则.则称向量c 为向量a 与向量b 的向量积，记为⨯a b （如图7-19），即=⨯c a b.图7-19向量积满足下列规律：（1）⨯=-⨯a b b a （向量积不满足交换律）； （2）()+⨯=⨯+⨯a b c a c b c ；（3）()()()λλλ⨯=⨯=⨯a b a b a b .由向量积的定义，容易得出下面的结论： （1）⨯=a a 0；（2） 两个非零向量a 与b 互相平行的充要条件是⨯=a b 0. 3. 向量积的坐标表示式设,x y z x y z a a a b b b =++=++a i j k b i j k .则()()x y z x y z a a a b b b ⨯=⨯a b i j k i j k ＋＋＋＋()()()x x x y x z a b a b a b =⨯⨯⨯+i i i j i k ++ y x y y y za b a b a b ⨯⨯⨯+j i j j j k （）+（）+（）z x z y z za b a b a b ⨯⨯⨯k i k j k k （）＋（）＋（）. 由于⨯=⨯=⨯=i i j j k k 0， ⨯=i j k ， ,⨯=j k i⨯=k i j ，⨯=j i k -， ⨯=k ji -， ⨯=i k j -.因此()()().y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b ⨯=-+-+a b i j k －这就是向量积的坐标表示式.这个公式可以用行列式(行列式的定义及简单运算见本书后附录)写成下列便于记忆的形式，即⨯=ij k a b xy z xyza a ab b b从这个公式可以看出，两非零向量a 和b 互相平行的条件为0,0,0y z z y z x x z x y y x a b a b a b a b a b a b -=-=-=，或y x z xyza a ab b b ==. (7-2-6)例7 设2=+-ai j k，2=-+bi j k.计算⨯a b .解 211112i j k a b ⨯=--()()()212111222111⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⋅--+-⋅-⋅+⋅--⋅⎣⎦⎣⎦⎣⎦i j k53=--i j k.例8 求以()123A ，，，()345B ，，，()247,,C 为顶点的三角形的面积S . 解 根据向量积的定义，可知所求三角形的面积S 等于12A B A C ⨯ . 因为=222A B ++i j k ， 24A C +i j k＝＋，222124A B A C ⨯=ij k=462-+i j k ，所以12S A B A C =⨯==.例9 已知()211,,=a ，()111,,=-b ，求与a 和b 都垂直的单位向量. 解 设=⨯c a b ，则c 同时垂直于a 和b .于是，c 上的单位向量是所求的单位向量.因为23=⨯=--c a b i j k ，==c ，所以==c e c c⎛⎫-=-⎝c e 都是所求的单位向量.第三节 空间直线与平面本节将以向量为工具，在空间直角坐标系中建立最简单的空间图形——平面和直线的代数方程.一、 曲面方程的概念平面解析几何把曲线看作动点的轨迹，类似地，空间解析几何可把曲面当作是一个动点或一条动曲线按一定规律而运动产生的轨迹.一般地，如果曲面S 与三元方程(),,0F x y z =之间存在如下关系： （1） 曲面S 上任一点的坐标都满足方程(),,0F x y z =；（2） 不在曲面S 上的点的坐标都不满足这个方程，满足方程的点都在曲面上. 那末称(),,0F x y z =为曲面S 的方程，而曲面S 称为方程的图形.二、 空间直线的方程在平面解析几何中，我们知道，x O y 平面上的一定点和一非零向量就确定了一条直线.在三维空间的情形也是一样.设空间直线L 过定点0000(,,)M x y z ，且平行于非零向量m n p =++s i j k这时直线的位置就完全确定了（如图7-20），下面我们来求这条直线的直线方程.图7-20设(,,)M x y z 是直线L 上任意一点，因为L 平行于向量s ，所以0000()()()M M x x y y z z =-+-+-i j k0M M平行于向量s ，由两向量平行的充要条件式（7-2-6）有x x y y z z mnp---== （7-3-1）（7-3-1）称为直线L 的对称式方程，也叫做直线L 的标准式方程. 在建立直线L 的标准式方程（7-3-1）时，我们用到了向量0M M平行于向量s 的充要条件，即这两个向量的对应坐标成比例.如果我们设这个比列系数为t ，则有x x y y z z tmnp---===，那么000,,x x m t y y n t z z p t =+=+=+ （7-3-2）当t 从-∞变到+∞时，方程（7-3-2）就是过点0000(,,)M x y z 的直线L 的参数方程，其中t 是参数，向量s 称为直线L 的方向向量.向量s 的坐标,,m n p 叫做直线的方向数.例1 求过两点()1111,,M x y z ，()2222,,M x y z 的直线的方程 解 可以取方向向量()21212112,,M M x x y y z z =---s=.由直线的标准式方程可知，过两点12,M M 的直线方程为111212121x x y y z z x x y y z z ---==---.上式称为直线的两点式方程.例2 用标准式方程及参数式方程表示直线10,2340.x y z x y z +++=⎧⎨+++=⎩解 为寻找直线的方向向量s ，在直线上找出两个点即可，令=10x ，代入题中方程组，得 000,2y z ==- 同理，令1=0x ，代入题中方程组，得1113,22y z ==-即点(0)-，，A 12与点13(0)2，，B 2在直线上. 取()111,,22AB ==-s .因此，所给直线标准式方程为12211y x z -+==- 参数方程为12,,2.x t y t z t =-⎧⎪=⎨⎪=-+⎩， 注意 本例提供了化直线的一般方程为标准方程和参数方程的方法.三、 平面及其方程垂直于平面的非零向量叫做该平面的法向量.容易看出，平面上的任一向量都与该平面的法向量垂直.我们知道，过空间一点可以作，而且只能作一平面垂直于一已知直线，所以当平面Π上的一点0000(,,)M x y z 和它的法向量(,,)A B C =n 为已知时，平面Π的位置就完全确定了.图7-21设0000(,,)M x y z 是平面Π上一已知点，(,,)A B C =n 是它的法向量(见图7-21)，(,,)M x y z 是平面Π上的任一点，那么向量0M M必与平面Π的法向量n 垂直，即它们的数量积等于零：00M M ⋅=n . 由于(,,)A B C =n ，0000(,,)M M x x y y z z =---，所以有000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= (7-3-3)因为所给的条件是已知一定点0000(,,)M x y z 和一个法向量(,,)A B C =n ，方程(7-3-3)叫做平面的点法式方程.例3 求过点23(0)-,,及法向量(1,2,3)=-n 的平面方程.解 根据平面的点法式方程(7-3-3)，得所求平面的方程为(2)2(3)30x y z --++= 或2380x y z =+-=.将方程(7-3-3)化简，得A xB yC zD +++=， (7-3-4)其中000D A x B y C z =---.由于方程(7-3-3)是,,x y z 的一次方程，因此任何平面都可以用三元一次方程来表示.反过来，对于任给的一个形如(7-3-4)的三元一次方程，我们取满足该方程的一组解000,,x y z ，则0000A x B y C z D +++= (7-3-5)由方程(7-3-4)减去方程(7-3-5)，得000()()()0A x x B y y C z z -+-+-= (7-3-6)把它与方程(7-3-3)相比较，便知方程 (7-3-6)是通过点0000(,,)M x y z ，且以(,,)A B C =n 为法向量的平面方程.因为方程(7-3-4)与(7-3-6)同解，所以任意一个三元一次方程(7-3-4)的图形是一个平面.方程(7-3-4)称为平面的一般式方程，其中,,x y z 的系数就是该平面的法向量n 的坐标，即(,,)A B C =n .例4 如图7-22所示，平面Π在三个坐标轴上的截距分别为,,a b c ，求此平面的方程(设0,0,0a b c ≠≠≠).图7-22解 因为,,a b c 分别表示平面Π在x 轴、y 轴、z 轴上的截距，所以平面Π通过三点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，且这三点不在一直线上.先找出平面Π的法向量n ，由于法向量n 与向量A B ，A C都垂直，可取A B A C =⨯n ，而(,,0),(,0,)A B a b A C a c =-=-，所以得00A B A C ab ac=⨯=--ij k nb c a c a b =++i j k.再根据平面的点法式方程(7-3-3)，得此平面的方程为()(0)(0)0bc x a ac y ab z -+-+-=. 由于0,0,0ab c ≠≠≠，上式可改写成1y xz a b c++=. (7-3-7) 式(7-3-7)叫做平面的截距式方程.下面我们讨论一下特殊位置的平面方程.(1) 过原点的平面方程. 因为平面通过原点，所以将0x y z ===代入方程(7-3-4)，得0D =.故过原点的平面方程为0A x B y C z ++=， (7-3-8)其特点是常数项0D =.(2) 平行于坐标轴的平面方程.如果平面平行于x 轴，则平面的法向量(,,)A B C =n 与x 轴的单位向量(1,0,0)=i 垂直，故0⋅=n i ，即1000A B C ⋅+⋅+⋅=由此，有A =从而得到平行于x 轴的平面方程为B yC zD ++=，其方程中不含x .类似地，平行于y 轴的平面方程为0A x C z D ++=；平行于z 轴的平面方程为A xB y D ++=.(3) 过坐标轴的平面方程.因为过坐标轴的平面必过原点，且与该坐标轴平行.根据上面讨论的结果，可得过x 轴的平面方程为B yC z +=；过y 轴的平面方程为0A x C z +=；过z 轴的平面方程为0Ax B y +=.(4) 垂直于坐标轴的平面方程. 如果平面垂直于z 轴，则该平面的法向量n 可取与z 轴平行的任一非零向量(0,0,)C ，故平面方程为0C z D +=.类似地，垂直于x 轴的平面方程为0A x D +=，垂直于y 轴的平面方程为0B y D +=；而z =表示x O y 坐标面，0x =表示y O z 坐标面，0y =表示z O x 坐标面. 例5 指出下列平面位置的特点，并作出其图形： (1) 4x y +=； (2) 2z =.解 (1) 4x y +=，由于方程中不含z 的项，因此平面平行于z 轴(见图7-23). (2) 2z =，表示过点2(00)，，且垂直于z 轴的平面(见图7-24).图7-23 图7-24四、 有关平面与直线的位置关系1. 两平面的夹角及平行、垂直的条件设平面1Π与2Π的法向量分别为1111(,,)A B C =n 和2222(,,)A B C =n .如果这两个平面相交，它们之间有两个互补的二面角(见图7-25)，其中一个二面角与向量1n 与2n 的夹角相等.所以我们把这两平面的法向量的夹角中的锐角称为两平面的夹角.根据两向量夹角余弦的公式，有12cos cos(,)θ==n n (7-3-9)图7-25从两非零向量垂直、平行的条件，立即推得两平面垂直、平行的条件. 两平面12,ΠΠ互相垂直的充要条件是1212120A A B B C C ++=； (7-3-10)两平面12,ΠΠ互相平行的充要条件是111222A B C A B C ==. (7-3-11)例6 设平面1Π与2Π的方程分别为260x y z -+-=及250xy z ++-=，求它们的夹角.解 根据公式(7-3-9)得1cos 2θ==，所以平面1Π与2Π的夹角为π3θ=. 例7 一平面通过点1(1,1,1)P 和2(0,1,1)P -，且垂直于平面0x y z ++=，求这平面的方程.解平面0x y z ++=的法向量为1(1,1,1)=n ，又向量12(1,0,2)P P =--在所求平面上，设所求平面的法向量为n ，则n 同时垂直于向量12P P及1n ，所以可取112(1,1,1)(1,0,2)(2,1,1)P P =⨯=⨯--=-n n，故所求平面方程为2(1)(1)(1)0x y z --+-+-=，或20x y z --=.2. 两直线的夹角及平行、垂直的条件 设两直线1L 和2L 的标准式方程分别为111111x x y y z z m n p ---==和222222x x y y z z m n p ---==，两直线的方向向量()111,,m n p 1s =与()222,,m n p 2s =的夹角（这里指锐角或直角）称为两直线的夹角，记为θ，则cos θ=. (7-3-12)由此推出，两直线互相垂直的充要条件是121212 0m m n n p p ++=； (7-3-13)两直线互相平行的充要条件是111222m n p m n p == . (7-3-14)例8 求直线113:141y x z L -+==-和直线22:221y x zL +==--的夹角. 解 直线1L 的方向向量()1,41-1s =，，直线2L 的方向向量为()221--2s =，，，故直线1L 与2L 的夹角θ的余弦为cos θ===. 所以 π4θ=. 例9 求经过点()2,0,1-且与直线2360,42390x y z x y z -+-=⎧⎨-++=⎩平行的直线方程.解 所求直线与已知直线平行，其方向向量可取为()()()231423728,,,,,,=⨯-⨯-=--12s n n =.根据直线的标准式方程，得所求直线的方程为21728y x z -+==--. 例10 求过点213()，，，且与直线11321y x z-+==-垂直相交的直线方程. 解 先作一平面过点213()，，，且垂直于已知直线，那么这平面的方程应为()()()32+2130.x y z ----=再求已知直线与这平面的交点.把已知直线的参数方程13,12,x t y t z t =-+⎧⎪=+⎨⎪=-⎩代入平面方程，解之得37t =.再将求得的t 值代入直线参数方程中，即得 2133,,777x y z ===-. 所以，交点的坐标是2133,,777⎛⎫- ⎪⎝⎭. 于是，向量2132133,,777⎛⎫---- ⎪⎝⎭是所求直线的一个方向向量，故所求直线的方程为1232133213777y x z --==-----， 即123214y x z ---==-. 3. 直线与平面的夹角及平行、垂直的条件直线L 与它在平面Π上的投影所成的角称为直线L 与平面Π的夹角，一般取锐角(见图7-26).图7-26设直线L 的方程为ox x y y z z mnp---==，其方向向量(),,m n p =s ；平面Π的方程为0Ax B y C z D +++=，其法向量(),,A B C =n ，则πcos 2θ⎛⎫-=⎪⎝⎭n s n s ， 即sin θ=. (7-3-15)从而，直线L 与平面Π平行的充要条件是m B n C p ++=； (7-3-16)直线L 与平面Π垂直的充要条件是A B Cm n p==. (7-3-17) 例11 设平面Π的方程为0Ax B y C z D +++=，()1111,,M x y z 是平面外的一点，试求1M 到平面Π的距离.图7-27解 在平面Π上取一点()0000,,M x y z (见图7-27)，则点M 1到平面Π的距离Prj 0101n M M d M M ⋅==n n，而()()()11101000·M M A x x B y y C z z -+-+-n ＝由于点()000,,x y z 在平面Π上，有0000A x B y C z D +++=，即 000A x B y C z D ++=-，由此可得11101M M A x B y C z D ⋅=+++n，所以d =(7-3-18)公式（7-3-18）称为点到平面的距离公式.第四节 空间曲面与曲线一、 曲面及其方程在上一节中，我们考察了最简单的曲面——平面，以及最简单的空间曲线——直线，建立了它们的一些常见形式的方程.在这一节里，我们将介绍几种类型的常见曲面.1. 球面方程到空间一定点0M 之间的距离恒定的动点的轨迹为球面. 例1 建立球心在点()0000,,M x y z ，半径为R 的球面的方程.解 将球面看作空间中与定点等距离的点的轨迹.设(),,M x y z 是球面上的任一点，则0.M M R =由于0M M =所以R =.两边平方，得2222000x x y y z z R ---=（）+（）+（）(7-4-1) 显然，球面上的点的坐标满足这个方程，而不在球面上的点的坐标不满足这个方程.所以，方程(7-4-1)就是以()0000,,M x y z 为球心，以R 为半径的球面方程.如果0M 为原点，即0000x y z ===，这时球面方程为2222x y z R ++= (7-4-2)若记20A x =-，20B y =-，20C z =-， D 222200x y z R =++-，则式(7-4-1)可化为2220x y z A x B y C z D ++++++=（7-4-3） （7-4-3）式称为球面的一般方程由(7-4-3)式可以看出，球面的方程是关于,,x y z 的二次方程，它的222x y z ，，三项系数相等，并且方程中没有,,x y y z z x 的项.对于形如式（7-4-3）的一般方程，我们有下面几个结论：(1) 当22240A B C D ++->时，上式为一球面方程； (2) 当22240A B C D ++-=时，上式只表示一个点；(3) 当22240A B C D ++-<时，上式表示一个虚球，或者说它不代表任何图形. 例2 方程222240x y z x y ++-+=表示怎样的曲面? 解 通过配方，原方程可以改写为()()22212=5x y z -+++.与式(7-4-1)比较，可知原方程表示球心在点120,,0M -（）、半径R =的球面. 2. 柱面设给定一条曲线C 及直线l ，则平行于直线l ，且沿曲线C 移动的直线L 所形成的曲面叫做柱面.定曲线C 叫做柱面的准线，动直线L 叫做柱面的母线(见图7-28).图7-28如果柱面的准线是x O y 面上的曲线C ，其方程为() ,0f x y =， (7-4-4)柱面的母线平行于z 轴，则方程(),0f x y =就是这柱面的方程(见图7-29).因为在此柱面上任取一点(),,M x y z ，过点M 作直线平行于z 轴，此直线与x O y 面相交于点()0,,0M x y ，点0M 就是点M 在x O y 面上的投影.于是点0M 必落在准线上，它在x O y 面上的坐标(),x y 必满足方程(),0f x y =，这个方程不含z 的项，所以点M 的坐标(),,x y z 也满足方程(),0fx y =.。
同济第六《高等数学》教案word-第07章 空间解析几何与向量代数
第七章空间解析几何与向量代数教学目的：1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示。
2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积、混合积），掌握两个向量垂直和平行的条件。
3、理解单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，熟练掌握用坐标表达式进行向量运算的方法。
4、掌握平面方程和直线方程及其求法。
5、会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题。
6、会求点到直线以及点到平面的距离。
7、理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
8、了解空间曲线的参数方程和一般方程。
9、了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。
教学重点：1、向量的线性运算、数量积、向量积的概念、向量运算及坐标运算；2、两个向量垂直和平行的条件；3、平面方程和直线方程；4、平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的相互位置关系的判定条件；5、点到直线以及点到平面的距离；6、常用二次曲面的方程及其图形；7、旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；8、空间曲线的参数方程和一般方程。
教学难点：1、向量积的向量运算及坐标运算；2、平面方程和直线方程及其求法；3、点到直线的距离；4、二次曲面图形；5、旋转曲面的方程；§7 1 向量及其线性运算一、向量概念向量在研究力学、物理学以及其他应用科学时常会遇到这样一类量它们既有大小又有方向例如力、力矩、位移、速度、加速度等这一类量叫做向量在数学上 用一条有方向的线段(称为有向线段)来表示向量 有向线段的长度表示向量的大小 有向线段的方向表示向量的方向. 向量的符号以A 为起点、B 为终点的有向线段所表示的向量记作→AB 向量可用粗体字母表示 也可用上加箭头书写体字母表示例如 a 、r 、v 、F 或→a 、→r 、→v 、→F自由向量 由于一切向量的共性是它们都有大小和方向 所以在数学上我们只研究与起点无关的向量 并称这种向量为自由向量 简称向量 因此 如果向量a 和b 的大小相等 且方向相同 则说向量a 和b 是相等的 记为 a b 相等的向量经过平移后可以完全重合 向量的模 向量的大小叫做向量的模 向量a 、→a 、→AB 的模分别记为|a |、||→a 、||→AB单位向量 模等于1的向量叫做单位向量 零向量 模等于0的向量叫做零向量 记作0或→零向量的起点与终点重合 它的方向可以看作是任意的向量的平行 两个非零向量如果它们的方向相同或相反 就称这两个向量平行 向量a 与b 平行 记作a 三角形法则上述作出两向量之和的方法叫做向量加法的三角形法则 平行四边形法则当向量a 与b 不平行时 平移向量使a 与b 的起点重合 以a 、b 为邻边作一平行四边形 从公共起点到对角的向量等于向量a 与b 的和a b向量的加法的运算规律 (1)交换律a b b a(2)结合律(a b )c a (b c )由于向量的加法符合交换律与结合律 故n 个向量a 1 a 2 a n (n 3)相加可写成a 1a 2 a n 并按向量相加的三角形法则 可得n 个向量相加的法则如下 使前一向量的终点作为次一向量的起点 相继作向量a 1 a 2 a n 再以第一向量的起点为起点 最后一向量的终点为终点作一向量 这个向量即为所求的和 负向量设a 为一向量 与a 的模相同而方向相反的向量叫做a 的负向量 记为a 向量的减法b ϖa ϖc ϖABCBCb ϖa ϖDc ϖ我们规定两个向量b与a的差为b a b (a )即把向量a加到向量b 上便得b与a的差b a 特别地当b a 时有a a a (a )0显然任给向量→AB及点O有→→→→→AOOBOBOAAB-=+=因此若把向量a与b移到同一起点O则从a的终点A向b的终点B所引向量→AB便是向量b与a的差b a三角不等式由三角形两边之和大于第三边的原理有|a b ||a ||b|及|a b ||a ||b |其中等号在b与a 同向或反向时成立2．向量与数的乘法向量与数的乘法的定义向量a 与实数的乘积记作a 规定a 是一个向量它的模|a ||||a |它的方向当>0时与a 相同当<0时与a 相反当0时 |a |0即a 为零向量这时它的方向可以是任意的特别地当1时有1a a (1)a a运算规律(1)结合律(a )(a )()a；(2)分配律 ()a a a；(a b )a b例1在平行四边形ABCD 中设−→−AB a−→−AD b试用a和b表示向量−→−MA、−→−MB、−→−MC、−→−MD其中M 是平行四边形对角线的交点解由于平行四边形的对角线互相平分所以a b−→−−→−==AMAC 2即(a b)−→−=MA2CDbϖaϖbϖbϖaϖbϖ于是 21-=−→−MA (ab )因为−→−−→−-=MAMC 所以21=−→−MC (a b )又因a b −→−−→−==MD BD 2 所以21=−→−MD (b a )由于−→−−→−-=MDMB 所以21=−→−MB (a b )例1 在平行四边形ABCD 中 设→a =AB →b=AD 试用a 和b 表示向量→MA 、→MB 、→MC 、→MD其中M 是平行四边形对角线的交点解 由于平行四边形的对角线互相平分 所以→→→MAAM AC 22-===+b a于是→)(21b a +-=MA →→)(21b a +=-=MA MC因为→→MD BD 2==+-b a 所以→)(21a b -=MD →→)(21b a -=-=MD MB向量的单位化 设a0 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量 记为e a于是a |a |e a 向量的单位化 设a0 则向量||a a 是与a 同方向的单位向量 记为e a于是a | a | e a定理1 设向量a 0 那么 向量b 平行于a 的充分必要条件是 存在唯一的实数 使 b a证明 条件的充分性是显然的 下面证明条件的必要性 设b||a b ||||=λ|b ||a a b ==|||||→OP →OP →OP →OP →OP →OP →OP →r =OM →→→→→→→OROQ OP NM PN OP OM ++=++==r →ix OP =→jy OQ =→kz OR =→kj i r z y x OM ++==→ix OP =→jy OQ =→kz OR =→) , ,(z y x z y x OM M ↔++==↔k j i r →OM =r →OM 坐标面上和坐标轴上的点 其坐标各有一定A BCDMϖbϖ的特征 例如 点M 在yOz 面上 则x 0 同相 在zOx 面上的点 y 0 在xOy 面上的点 z 0 如果点M 在x 轴上 则y z 0 同样在y 轴上,有z x 0 在z 轴上 的点 有x y 0 如果点M 为原点 则x y z 0.四、利用坐标作向量的线性运算设a (a x a y a z ) b (b x b y b z ) 即 a a x i a y j a z k b b x i b y j b z k 则 a b (a x i a y j a z k )(b x i b y j b z k ) (a x b x )i (a y b y )j (a z b z )k (a x b x a y b y a z b z )a b (a x i a y j a z k )(b x i b y j b z k ) (a x b x )i (a y b y )j (a z b z )k (a x b x a y b y a z b z ) a (a x i a y j a z k )(a x )i (a y )j (a z )k (a x a y a z ) 利用向量的坐标判断两个向量的平行 设a (a x a y a z )0 b(b xb y b z ) 向量bz z y y x x a b a b a b ==⎩⎨⎧=-=-by x ay x 2335 解 如同解二元一次线性方程组 可得 x 2a 3b y 3a 5b以a 、b 的坐标表示式代入 即得 x 2(2 1 2)3(1 1 2)(7 1 10) y 3(2 1 2)5(1 12)(112 16)例3 已知两点A (x 1 y 1 z 1)和B (x 2 y 2 z 2)以及实数1在直线AB 上求一点M使→→MBAM λ=解 由于→→→OA OM AM -= →→→OM OB MB -=因此 →→→→)(OM OB OA OM -=-λ从而 →→→)(11OB OA OM λλ++=) 1 ,1 ,1 (212121λλλλλλ++++++=x x x x x x这就是点M 的坐标另解 设所求点为M (x y z ) 则→), ,(111z z y y x x AM ---= →), ,(222z z y y x x MB ---=依题意有→→MBAM λ= 即(x x 1 y y 1 z z 1)(x 2x y 2y z 2z )(x yz )(x 1 y 1 z 1)(x 2y 2 z 2)(x y z )), ,(11) , ,(212121z z y y x x z y x λλλλ++++= λλ++=121x x x λλ++=121y y y λλ++=121z z z点M 叫做有向线段→AB 的定比分点 当1 点M 的有向线段→AB 的中点 其坐标为 221x x x +=221y y y +=221z z z +=五、向量的模、方向角、投影 1．向量的模与两点间的距离公式 设向量r(x yz )作→r =OM 则→→→→OR OQ OP OM ++==r按勾股定理可得222||||||||||OR OQ OP OM ++==r 设 →ix OP = →jy OQ = →kz OR =有 |OP ||x | |OQ ||y | |OR ||z | 于是得向量模的坐标表示式 222||z y x ++=r设有点A (x 1 y 1z 1)、B (x 2 y 2 z 2) 则→→→OA OB AB -=(x 2 y 2 z 2)(x 1 y 1 z 1)(x 2x 1 y 2y 1 z 2z 1)于是点A 与点B 间的距离为→212212212)()()(||||z z y y x x AB AB -+-+-==例4 求证以M 1(4 3 1)、M 2 (7 1 2)、M 3 (5 2 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形解 因为 | M 1M 2|2 (74)2(13)2(21)214| M 2M 3|2 (57)2(21)2(32)26| M 1M 3|2 (54)2(23)2(31)26所以|M 2 M 3||M 1M 3| 即 M 1 M 2 M 3为等腰三角形例5 在z 轴上求与两点A (4 1 7)和B (3 5 2)等距离的点解 设所求的点为M (0 0 z ) 依题意有|MA |2|MB |2即 (04)2(01)2(z 7)2(30)2(50)2(2z)2解之得914=z 所以 所求的点为)914,0 ,0(M例6 已知两点A (4 05)和B (7 1 3) 求与→AB 方向相同的单位向量e解 因为→)2 ,1 ,3()5 ,0 ,4()3 ,1 ,7(-=-=AB→14)2(13||222=-++=AB 所以 →→)2 ,1 ,3(141||-==AB AB e2．方向角与方向余弦当把两个非零向量a 与b 的起点放到同一点时 两个向量之间的不超过的夹角称为向量a 与b 的夹角 记作^) ,(b a 或^),(a b 如果向量a 与b 中有一个是零向量 规定它们的夹角可以在0与之间任意取值类似地 可以规定向量与一轴的夹角或空间两轴的夹角 非零向量r 与三条坐标轴的夹角、、称为向量r 的方向角 向量的方向余弦 设r(x yz ) 则x |r |cos y |r |cosz |r |coscos 、cos 、cos 称为向量r 的方向余弦||cos r x=α ||cos r y =β ||cos r z=γ从而 re r r ==||1)cos ,cos ,(cos γβα上式表明 以向量r 的方向余弦为坐标的向量就是与r 同方向的单位向量e r因此cos 2cos 2cos 21例3 设已知两点)2 ,2 ,2( A )和B (1, 3, 0) 计算向量→AB 的模、方向余弦和方向角 解 →)2 ,1 ,1()20 ,23 ,21(--=---=AB→2)2(1)1(||222=-++-=AB21cos -=α 21cos =β 22cos -=γ32πα=3πβ=43 πγ=3．向量在轴上的投影设点O 及单位向量e 确定u 轴 任给向量r 作→r =OM 再过点M 作与u 轴垂直的平面交u 轴于点M (点M 叫作点M在u 轴上的投影)则向量→M O '称为向量r 在u 轴上的分向量 设→e λ='M O 则数称为向量r 在u 轴上的投影 记作Prj u r 或(r )u按此定义 向量a 在直角坐标系Oxyz 中的坐标a x a y a z 就是a 在三条坐标轴上的投影 即a x Prj x a a y Prj y a a z Prj z a 投影的性质性质1 (a )u |a |cos (即Prj u a |a |cos ) 其中为向量与u 轴的夹角 性质2 (a b )u (a )u (b )u (即Prj u (a b ) Prj u a Prj u b ) 性质3 (a )u (a )u (即Prj u (a )Prj u a )§72 数量积 向量积一、两向量的数量积数量积的物理背景:设一物体在常力F 作用下沿直线从点M 1移动到点M 2以s 表示位移→21M M 由物理学知道力F 所作的功为W |F | |s | cos其中 为F 与s 的夹角 数量积对于两个向量a 和b 它们的模|a |、|b |及它们的夹角 的 余弦的乘积称为向量a 和b 的数量积记作a b 即a ·b |a | |b | cos数量积与投影由于|b | cos |b |cos(a ^ b )当a 0时|b | cos(a ^b )是向量 b 在向量a 的方向上的投影于是a ·b |a | Prj a b 同理当b 0时a·b |b | Prj b a 数量积的性质(1) a·a |a | 2(2) 对于两个非零向量 a 、b 如果 a·b 0则 a b反之如果a b则a·b0如果认为零向量与任何向量都垂直则a b a·b0数量积的运算律(1)交换律a·b b·a(2)分配律(a b)c a c b c(3)(a)·b a·(b)(a·b)(a)·(b)(a·b)、为数(2)的证明分配律(a b)c a c b c的证明因为当c0时上式显然成立当c0时有(a b)c|c|Prj c(a b)|c|(Prj c a Prj c b)|c|Prj c a|c|Prj c ba cb c例1 试用向量证明三角形的余弦定理证设在ΔABC中∠BCA(图724)BC|a CA|b |AB|c要证c 2a 2b 2 2 a b cos记→CB a→CA b→AB c则有c a b从而|c|2c c(a b)(a b)a a b b2a b|a|2|b|22|a||b|cos(a^b)即c 2a 2b 2 2 a b cos数量积的坐标表示设a(a x a y a z )b(b x b y b z )则a·b a x b x a y b y a z b z提示按数量积的运算规律可得a·b( a x i a y j a z k)·(b x i b y j b z k)a xb x i·i a x b y i·j a x b z i·ka yb x j ·i a y b y j ·j a y b z j·ka zb x k·i a z b y k·j a z b z k·ka xb x a y b y a z b z两向量夹角的余弦的坐标表示设(a ^ b)则当a0、b0时有222222||||cos zy x z y x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=⋅=b a b a θ提示 a·b |a ||b |cos例2 已知三点M (111)、A (221)和B (212)求AMB解 从M 到A 的向量记为a 从M 到B 的向量记为b 则AMB 就是向量a 与b 的夹角a {110}b {101} 因为a b 1110011 2011||222=++=a 2101||222=++=b所以 21221||||cos =⋅=⋅=∠b a b a AMB从而 3π=∠AMB例3．设液体流过平面S 上面积为A 的一个区域液体在这区域上各点处的流速均为（常 向量v 设n 为垂直于S 的单位向量（图7-25(a )） 计算单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量P (液体的密度为ρ)解单位时间内流过这区域的液体组成一个底面积为A 、斜高为| v |的斜柱体(图7-25(b ))这柱体的斜高与底面的垂线的夹角就是v 与n 的夹角所以这柱体的高为| v | cos 体积为A | v | cos A v ·n从而单位时间内经过这区域流向n 所指一方的液体的质量为 P A v ·n 二、两向量的向量积 在研究物体转动问题时不但要考虑这物体所受的力还要分析这些力所产生的力矩设O 为一根杠杆L 的支点有一个力F 作用于这杠杆上P 点处F 与→OP 的夹角为由力学规定力F 对支点O 的力矩是一向量M它的模 →θsin |||||| F M OP =而M 的方向垂直于→OP 与F 所决定的平面M 的指向是的按右手规则从→OP 以不超过的角转向F 来确定的 向量积设向量c 是由两个向量a 与b 按下列方式定出c 的模|c ||a ||b |sin 其中 为a 与b 间的夹角 c 的方向垂直于a 与b 所决定的平面c 的指向按右手规则从a 转向b 来确定那么向量c 叫做向量a 与b 的向量积记作a b 即c a b 根据向量积的定义 力矩M 等于→OP 与F 的向量积即→FM ⨯=OP向量积的性质(1) a a 0(2) 对于两个非零向量a 、b 如果a b则azy x zy x b b b a a a k j i b a =⨯211112--=⨯k j i b a →→→→||21sin ||||21AC AB A AC AB S ABC ⨯=∠=∆→AB→AC→→421222k j i =⨯AC AB 142)6(421|264|21222=+-+=+-=∆k j i ABC S →OM Rz z y y x x =-+-+-202020)()()(222222)4()1()2()3()2()1(-+++-=-+-+-z y x z y x 5=R 0) ,(11=z y f 1z z =221||y x y +=0) ,(22=+±z y x f 22y x +±0) ,(22=+±z y x f 0) ,(22=+±z x y f 20πα<<22y x +±αcot 22y x z +±=12222=-c z a x 122222=+-c z y a x 122222=-+c z a y x S z y x ∈) , ,1(λ0) , ,1(=z y x F λ2222z a y x =+ab2222)(z a y ba x =+22222zb y a x =+22222z b y a x =+2222z a y x =+ab 22222z b y a x =+1)()(2222=+bt y at x 1222222=++c z b y a x a c 122222=++c z a y x a b 1222222=++c z b y a x 1222222=-+c z b y a x 12222=-c z a x 122222=-+c z a y x a b1222222=-+c z b y a x 1222222=--c z b y a x 12222=-c z a x 122222=+-c y z a x c b1222222=--c z b y a x z b y a x =+2222za x =22za y x =+222ab z b y a x =+2222z b y a x =-22222222a t z b y -=-) ,0 ,(22a t t 22a x z =12222=+b y a x 12222=-b y a x ay x =2⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F ⎩⎨⎧=+=+632122z x y x ⎪⎩⎪⎨⎧=+---=222222)2()2(a y a x y x a z )0 ,2(a 2a⎩⎨⎧=+---=222222)(4a y a x y x a z ⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z z t y y t x x 因此螺旋线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧===vtz ta y ta x ωωsin cos也可以用其他变量作参数 例如令 t 则螺旋线的参数方程可写为⎪⎩⎪⎨⎧===θθθb z a y a x sin cos其中ωvb = 而参数为*曲面的参数方程曲面的参数方程通常是含两个参数的方程 形如⎪⎩⎪⎨⎧===) ,(),() ,(t s z z t s y y t s x x例如空间曲线⎪⎩⎪⎨⎧===)()()(t z t y t x ωψϕ (t )绕z 轴旋转 所得旋转曲面的方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=)(sin )]([)]([cos )]([)]([2222t z t t y t t x ωθψϕθψϕ (t 02) (4)这是因为 固定一个t 得上一点M 1((t ) (t ) (t )) 点M 1绕z 轴旋转 得空间的一个圆 该圆在平面z(t )上 其半径为点M 1到z 轴的距离22)]([)]([t t ψϕ+ 因此固定t 的方程(4)就是该圆的参数方程 再令t 在[ ]内变动 方程(4)便是旋转曲面的方程例如直线⎪⎩⎪⎨⎧===tz t y x 21绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程为 ⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=t z t y t x 2sin 1cos 122θθ(上式消t 和 得曲面的直角坐标方程为41222zy x +=+)又如球面x2y 2z 2a 2可看成zOx 面上的半圆周⎪⎩⎪⎨⎧===ϕϕcos 0sin a z y a x (0)绕z 轴旋转所得 故球面方程为⎪⎩⎪⎨⎧===ϕθϕθϕcos sin sin cos sin a z a y a x (002)三、空间曲线在坐标面上的投影以曲线C 为准线、母线平行于z 轴的柱面叫做曲线C 关于xOy 面的投影柱面 投影柱面与xOy 面的交线叫做空间曲线C 在xOy 面上的投影曲线 或简称投影(类似地可以定义曲线C 在其它坐标面上的投影)设空间曲线C 的一般方程为⎩⎨⎧==0),,(0),,(z y x G z y x F设方程组消去变量z 后所得的方程H (x y )0 这就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面 这是因为一方面方程H (x y )0表示一个母线平行于z 轴的柱面 另一方面方程H (x y )0是由方程组消去变量z 后所得的方程 因此当x 、y 、z 满足方程组时 前两个数x 、y 必定满足方程H (x y )0 这就说明曲线C 上的所有点都在方程H (x y )0所表示的曲面上 即曲线C 在方程H (x y )0表示的柱面上 所以方程H (x y )0表示的柱面就是曲线C 关于xOy 面的投影柱面曲线C 在xOy 面上的投影曲线的方程为 ⎩⎨⎧==0),(z y x H 讨论曲线C 关于yO z 面和zOx 面的投影柱面的方程是什么 曲线C 在yO z 面和zOx 面上的投影曲线的方程是什么例4已知两球面的方程为x 2y 2z 21 (5)和x 2(y 1)2(z 1)21 (6)求它们的交线C 在xOy 面上的投影方程解先将方程x 2(y 1)2(z 1)21化为x 2y 2z 22y 2z 1然后与方程x 2y 2z 21相减得 y z 1将 z 1y 代入x 2y 2z 21 得 x 22y 22y 0这就是交线C 关于xOy 面的投影柱面方程 两球面的交线C 在xOy 面上的投影方程为 ⎩⎨⎧==-+02222z y y x例5求由上半球面224y x z --=和锥面)(322y x z +=所围成立体在xOy 面上的投影解由方程224y x z --=和)(322y x z +=消去z 得到x2y 21 这是一个母线平行于z 轴的圆柱面 容易看出 这恰好是半球面与锥面的交线C 关于xOy 面的投影柱面 因此交线C 在xOy 面上的投影曲线为⎩⎨⎧==+0122z y x这是xOy 面上的一个圆 于是所求立体在xOy 面上的投影 就是该圆在xOy 面上所围的部分:x 2y 21§75 平面及其方程一、平面的点法式方程法线向量 如果一非零向量垂直于一平面 这向量就叫做该平面的法线向量 容易知道 平面上的任一向量均与该平面的法线向量垂直 唯一确定平面的条件当平面上一点M 0(x 0 y 0 z 0)和它的一个法线向量n (A B C )为已知时 平面的位置就完全确定了 平面方程的建立设M(xy z )是平面上的任一点 那么向量→M M 0必与平面的法线向量n 垂直 即它们的数量积等于零→0=⋅M M n由于n (A B C ) →), ,(0000z z y y x x M M ---=所以A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0这就是平面上任一点M 的坐标x y z 所满足的方程反过来 如果M (x y z )不在平面上那么向量→M M 0与法线向量n 不垂直 从而→0=⋅M M n 即不在平面上的点M 的坐标x y z 不满足此方程由此可知 方程A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0就是平面的方程 而平面就是平面方程的图形 由于方程A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0是由平面上的一点M 0(x 0 y 0 z 0)及它的一个法线向量n (A B C )确定的 所以此方程叫做平面的点法式方程 例1 求过点(2 3 0)且以n (1 2 3)为法线向量的平面的方程 解 根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为(x 2)2(y 3)3z 0 即 x 2y 3z 80例2 求过三点M 1(2 1 4)、M 2(1 3 2)和M 3(0 2 3)的平面的方程解 我们可以用→→3121M M M M ⨯作为平面的法线向量n 因为→)6 ,4 ,3(21--=M M →)1 ,3 ,2(31--=M M所以→→kj i kj i n -+=----=⨯=9141326433121M M M M根据平面的点法式方程 得所求平面的方程为 14(x 2)9(y 1)(z 4)0 即 14x 9y z 150 二、平面的一般方程由于平面的点法式方程是x y z 的一次方程 而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定 所以任一平面都可以用三元一次方程来表示 反过来 设有三元一次方程 Ax By Cz D 0我们任取满足该方程的一组数x 0 y 0 z 0 即 Ax 0By 0Cz 0D 0 把上述两等式相减 得A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0这正是通过点M 0(x 0 y 0 z 0)且以n (A B C )为法线向量的平面方程 由于方程 Ax By Cz D 0 与方程A (x x 0)B (y y 0)C (z z 0)0同解 所以任一三元一次方程Ax By Cz D 0的图形总是一个平面 方程Ax By Cz D 0称为平面的一般方程 其中x y z 的系数就是该平面的一个法线向量n 的坐标 即n (A B C )例如 方程3x 4y z 90表示一个平面 n (3 4 1)是这平面的一个法线向量讨论考察下列特殊的平面方程 指出法线向量与坐标面、坐标轴的关系 平面通过的特殊点或线Ax By Cz 0By Cz D 0 Ax Cz D 0 Ax By D 0 Cz D 0 Ax D 0 By D 0 提示D 0 平面过原点n (0 B C ) 法线向量垂直于x 轴 平面平行于x 轴 n (A 0 C ) 法线向量垂直于y 轴 平面平行于y 轴 n (A B 0) 法线向量垂直于z 轴 平面平行于z 轴n (0 0 C ) 法线向量垂直于x 轴和y 轴 平面平行于xOy 平面 n (A 0 0) 法线向量垂直于y 轴和z 轴 平面平行于yOz 平面 n(0 B 0) 法线向量垂直于x 轴和z 轴 平面平行于zOx 平面 例3 求通过x 轴和点(4 3 1)的平面的方程解 平面通过x 轴 一方面表明它的法线向量垂直于x 轴 即A 0 另一方面表明它必通过原点 即D 0 因此可设这平面的方程为 By Cz 0又因为这平面通过点(4 3 1) 所以有3B C 0或 C 3B将其代入所设方程并除以B (B 0) 便得所求的平面方程为 y 3z 0例4 设一平面与x 、y 、z 轴的交点依次为P (a 0 0)、Q (0 b 0)、R (0 0 c )三点 求这平面的方程(其中a 0 b 0 c 0) 解 设所求平面的方程为 Ax By Cz D 0因为点P (a 0 0)、Q (0 b 0)、R (0 0 c )都在这平面上 所以点P 、Q 、R 的坐标都满足所设方程 即有⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,0,0,0D cC D bB D aA由此得 aDA -= bD B -= cD C -=将其代入所设方程 得 0=+---D z cD y b D x a D即 1=++cz b ya x上述方程叫做平面的截距式方程 而a 、b 、c 依次叫做平面在x 、y 、z 轴上的截距 三、两平面的夹角两平面的夹角两平面的法线向量的夹角(通常指锐角)称为两平面的夹角设平面1和2的法线向量分别为n 1(A 1 B 1 C 1)和n 2(A 2 B 2 C 2) 那么平面1和2的夹角 应是) ,(2^1n n 和) ,() ,(2^12^1n n n n -=-π两者中的锐角 因此 |) ,cos(|cos 2^1n n =θ按两向量夹角余弦的坐标表示式 平面1和2的夹角 可由2222222121212121212^1|||) ,cos(|cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++==n n θ来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论平面1和2垂直相当于A 1 A 2 B 1B 2 C 1C 20 平面1和2平行或重合相当于212121C C B B A A ==例5 求两平面 x y 2z 60和2x y z 50的夹角解 n 1(A 1 B 1 C 1)(1 1 2) n 2(A 2 B 2 C 2)(2 1 1) 222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ211122)1(1|121)1(21|222222=++⋅+-+⨯+⨯-+⨯=所以 所求夹角为3πθ=例6 一平面通过两点M 1(1 1 1)和M 2(0 1 1)且垂直于平面x y z 0 求它的方程解 方法一已知从点M 1到点M 2的向量为n 1(1 0 2) 平面x y z 0的法线向量为n 2(1 1 1)设所求平面的法线向量为n (A B C )因为点M 1(1 1 1)和M 2(0 1 1)在所求平面上 所以n n 1 即A 2C 0 A 2C又因为所求平面垂直于平面x y z 0 所以n n 1 即A B C 0 B C 于是由点法式方程 所求平面为2C (x 1)C (y 1)C (z 1)0 即2x y z 0方法二 从点M 1到点M 2的向量为n 1(1 0 2) 平面x y z 0的法线向量为n 2(1 1 1)设所求平面的法线向量n 可取为n 1 n 2 因为kj i k j i n n n --=--=⨯=2111 20121所以所求平面方程为2(x 1)(y 1)(z 1)0 即 2x y z 0例7 设P 0(x 0 y 0 z 0)是平面Ax By Cz D 0外一点 求P 0到这平面的距离 解 设e n 是平面上的单位法线向量 在平面上任取一点P 1(x 1 y 1 z 1) 则P 0到这平面的距离为→||01n P P d e ⋅=222101010|)()()(|CB A z zC y y B x x A ++-+-+-=222111000|)(|C B A Cz By Ax Cz By Ax ++++-++=222000||C B A D Cz By Ax +++++=提示 ) , ,(1222C B A C B A n ++=e→), ,(10101001z z y y x x P P ---=例8 求点(2 1 1)到平面 x y z10的距离解 222000||C B A D Cz By Ax d +++++=222)1(11|11)1(1121|-+++⨯--⨯+⨯=333==§7 6 空间直线及其方程 一、空间直线的一般方程空间直线L 可以看作是两个平面1和2的交线如果两个相交平面1和2的方程分别为A 1x B 1y C 1z D 10和A 2x B 2y C 2z D 20 那么直线L 上的任一点的坐标应同时满足这两个平面的方程 即应满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A (1)反过来 如果点M 不在直线L 上 那么它不可能同时在平面1和2上 所以它的坐标不满足方程组(1) 因此 直线L 可以用方程组(1)来表示 方程组(1)叫做空间直线的一般方程设直线L 是平面1与平面2的交线 平面的方程分别为A 1x B 1y C 1z D 10和A 2x B 2y C 2z D 20 那么点M 在直线L 上当且仅当它同时在这两个平面上 当且仅当它的坐标同时满足这两个平面方程 即满足方程组⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A因此 直线L 可以用上述方程组来表示 上述方程组叫做空间直线的一般方程通过空间一直线L 的平面有无限多个 只要在这无限多个平面中任意选取两个 把它们的方程联立起来 所得的方程组就表示空间直线L 二、空间直线的对称式方程与参数方程方向向量如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 容易知道 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 确定直线的条件当直线L 上一点M 0(x 0 y 0 x 0)和它的一方向向量s (m n p )为已知时 直线L 的位置就完全确定了 直线方程的确定已知直线L 通过点M 0(x 0 y 0 x 0) 且直线的方向向量为s (m n p ) 求直线L 的方程设M (x y z )在直线L 上的任一点 那么 (x x 0 y y 0 z z 0)//s 从而有pz z n y y m x x 000-=-=- 这就是直线L 的方程 叫做直线的对称式方程或点向式方程注 当m n p 中有一个为零 例如m 0 而n p 0时 这方程组应理解为⎪⎩⎪⎨⎧-=-=p z z ny y x x 000当m n p 中有两个为零 例如m n 0 而p 0时 这方程组应理解为 ⎩⎨⎧=-=-000y y x x直线的任一方向向量s 的坐标m 、n 、p 叫做这直线的一组方向数 而向量s 的方向余弦叫做该直线的方向余弦由直线的对称式方程容易导出直线的参数方程设t pz z n y y m x x =-=-=-000 得方程组⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nty y mt x x 000此方程组就是直线的参数方程例1用对称式方程及参数方程表示直线⎩⎨⎧=+-=++4321z y x z y x解先求直线上的一点 取x 1 有⎩⎨⎧=+--=+232z y z y解此方程组 得y 2 z 0 即(1 2 0)就是直线上的一点 再求这直线的方向向量s 以平面x y z 1和2x y 3z 4的法线向量的向量积作为直线的方向向量s :s (i j k )(2i j3k )=-=312 111k j i 4ij 3k因此 所给直线的对称式方程为 31241-=-+=-z y x令t z y x =-=-+=-31241 得所给直线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧-=--=+=tz ty t x 3241提示 当x 1时 有⎩⎨⎧=+--=+232z y z y 此方程组的解为y 2 z 0kj i k j i k j i k j i s 34 312 111)32()(--=-=+-⨯++=令t zy x =-=-+=-31241 有x 14t y 2t z 3t三、两直线的夹角两直线的方向向量的夹角( 通常指锐角)叫做两直线的夹角设直线L 1和L 2的方向向量分别为s 1(m 1 n 1 p 1)和s 2(m 2 n 2 p 2) 那么L 1和L 2的夹角就是) ,(2^1s s 和) ,() ,(2^12^1s s s s -=-π两者中的锐角因此|) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ 根据两向量的夹角的余弦公式 直线L 1和L 2的夹角可由|) ,cos(|cos 2^1s s =ϕ222222212121212121||p n m p n m p p n n m m ++⋅++++=来确定从两向量垂直、平行的充分必要条件立即推得下列结论设有两直线L 1111111p z z n y y m x x -=-=- L 2222222p z z n y y m x x -=-=- 则L 1L 2m 1m 2n 1n 2p 1p 20 L 1 L 2212121p p n n m m == 例2 求直线L 1:13411+=-=-z y x 和L 2:1222-=-+=zy x 的夹角解 两直线的方向向量分别为s 1(1 4 1)和s 2(22 1) 设两直线的夹角为 则2221)1()2(21)4(1|)1(1)2()4(21|cos 222222==-+-+⋅+-+-⨯+-⨯-+⨯=ϕ所以4πϕ=四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时直线和它在平面上的投影直线的夹角称为直线与平面的夹角当直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为2π设直线的方向向量s (m n p ) 平面的法线向量为n(A B C )直线与平面的夹角为那么|) , (2|^n s -=πϕ 因此|) , cos(|sin ^n s =ϕ 按两向量夹角余弦的坐标表示式有222222||sin p n m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ因为直线与平面垂直相当于直线的方向向量与平面的法线向量平行 所以 直线与平面垂直相当于 pCn B m A ==因为直线与平面平行或直线在平面上相当于直线的方向向量与平面的法线向量垂直 所以直线与平面平行或直线在平面上相当于 Am Bn Cp 0设直线L 的方向向量为(m n p ) 平面的法线向量为(A B C ) 则LpCn B m A ==L / / Am Bn Cp 0例3 求过点(1 2 4)且与平面2x 3y z 40垂直的直线的方程解平面的法线向量(2 3 1)可以作为所求直线的方向向量 由此可得所求直线的方程为143221-=-+=-z y x五、杂例例4求与两平面 x 4z 3和2x y 5z 1的交线平行且过点(3 2 5)的直线的方程解平面x 4z 3和2x y 5z 1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量s 因为 )34(512 401)52()4(k j i k j i k j i k i s ++-=---=--⨯-=所以所求直线的方程为153243-=-=+z y x例5求直线241312-=-=-z y x 与平面2xy z 60的交点解 所给直线的参数方程为x 2t y 3t z 42t 代入平面方程中 得2(2t )(3t )(42t )60 解上列方程 得t 1 将t 1代入直线的参数方程 得所求交点的坐标为 x 1 y 2 z 2例6 求过点(2 1 3)且与直线12131-=-=+zy x 垂直相交的直线的方程 解 过点(2 1 3)与直线12131-=-=+z y x 垂直的平面为 3(x 2)2(y 1)(z 3)0 即3x 2y z 5直线12131-=-=+zy x 与平面3x 2y z 5的交点坐标为)73 ,713 ,72(-以点(2 1 3)为起点以点)73 ,713 ,72(-为终点的向量为)4 ,1 ,2(76)373 ,1713 ,272(--=----所求直线的方程为431122-=--=-z y x例6 求过点(2 1 2)且与直线241312-=-=-z y x 垂直相交的直线的方程解 过已知点与已知直线相垂直的平面的方程为(x 2)(y 1)2(z 2)0 即x y 2z 7 此平面与已知直线的交点为(1 2 2) 所求直线的方向向量为s (1 2 2)(2 1 2)(1 1 0) 所求直线的方程为21112-=-=--z y x 即⎪⎩⎪⎨⎧=--=--021112z y x提示 求平面xy 2z 7与直线241312-=-=-z y x 的交点直线的参数方程为x 2t y 3t z 42t 代入平面方程得(2t )(3t )2(42t )7 解得t 1 代入直线的参数方程得x 1 y 2 z 2 平面束设直线L 的一般方程为⎩⎨⎧=+++=+++022221111D z C y B x A D z C y B x A其中系数A 1、B 1、C 1与A 2、B 2、C 2不成比例 考虑三元一次方程 A 1x B 1y C 1z D 1(A 2x B 2 y C 2z D 2)0 即 (A 1A 2)x (B 1B 2)y (C 1C 1)z D 1D 20其中为任意常数 因为系数A 1、B 1、C 1与A 2、B 2、C 2不成比例 所以对于任何一个值 上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 对于不同的值 所对应的平面也不同 而且这些平面都通过直线L 也就是说 这个方程表示通过直线L 的一族平面 另一方面 任何通过直线L 的平面也一定包含在上述通过L 的平面族中通过定直线的所有平面的全体称为平面束 方程A 1x B 1y C 1z D 1(A 2x B 2y C 2z D 2)0就是通过直线L 的平面束方程 例7 求直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 在平面x yz 0上的投影直线的方程解 设过直线⎩⎨⎧=++-=--+0101z y x z y x 的平面束的方程为(x y z 1)(x y z 1)0 即 (1)x (1)y (1)z (1)0 其中为待定的常数 这平面与平面 x y z 0垂直的条件是 (1)1(1)1(1)10 即 1 将1代入平面束方程得投影平面的方程为2y 2z 20 即 y z 10 所以投影直线的方程为 ⎩⎨⎧=++=--01z y x z y。
第七章空间解析几何与向量代数-
a a
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减法：a b a ( b )
ab
b
a
ab
特例：a ( a )0 .
b
b c
a
b
c
a
(b)
a
b
卦限：坐标面将空间分为八个卦限，用字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、
Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ表示.
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Ⅲ
yoz面
Ⅳ
xoy面
Ⅶ
x
Ⅷ
z
zox面
Ⅱ
o
yⅠ
Ⅵ Ⅴ
空间直角坐标系共有八个卦限
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向量 r的坐标分解式：r O M xiy jzk 向径： 以原点为起点，M为终点的向量，例如r.
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例 3 已知 A( x1,,y1,z1 ) 和 B(x2,,y2,z2) 以及实数 -1，在
AB 直线上求点 M ,使 AM MB
解 设 M(x,y,z)为直线上的点，
zA
A O M O M ( x x A 1 ,y y 1 ,z z 1 )M
.
O
e
M'
u
设ax a P (ax jr,xa a ,ya,ya z)P则,jrya,
第七章 空间解析几何与向量代数
第一节 向量及其线性运算 第二节 数量积 向量积 *混合积 第三节 曲面及其方程 第四节 空间曲线及其方程 第五节 平面及其方程 第六节 空间直线及其方程
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高等数学第七章：空间解析几何与向量代数-5平面及其方程
i jk n= M1M2 M1M3 = 3 4 6
2 3 1
=14i + 9j – k,
根据平面的点法式方程(1)，得所求的平面的方程为
14(x - 2) + 9(y + 1) – (z – 4 ) = 0,
14x + 9y – z – 15 = 0.
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o
y
M0M ( x x0, y y0, z z0 ) ,所以有：x
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
(1)
这就是平面II上任一点 M的坐标x, y, z 所满足的方程 .
反与过法来线，向如量果n 不M垂( x直, ,y从, z而)不n在*平M面0MII上 ,0那,即么不向在量平M面0MII上
向量n，由图7-54，并考虑到P1P0 与n的夹角也可
能是钝角，得所求的距离
P0
d=|PrjnP1P0 |.
P1
N
设en为与向量n方向一致的单位向量，那么有
PrjnP1 P0 = P1P0 en
而 en (
A ,
A2 B2 C 2
B ,
A2 B2 C 2
C )
A2 B2 C 2
P1P0 =(x0-x1, y0-y1, z0-z1),
例 3 求通过x轴和点(4, -3, -1)的平面的方程.
解 由于平面通过x轴，从而它的法线向量垂直于x轴，于是 法线向量在x轴上的投影为零， 即A=0；又由平面通过x轴， 它必通过原点，于是D=0. 因此可设这平面的方程为
By + Cz = 0.
又因这平面通过点(4, -3, -1)，所以有 -3B – C = 0,
高等数学空间解析几何与向量代数汇编
第七章 空间解析几何与向量代数第一节 空间直角坐标系教学目的：将学生的思维由平面引导到空间，使学生明确学习空间解析几何的意义和目的。
教学重点：1.空间直角坐标系的概念2.空间两点间的距离公式教学难点：空间思想的建立教学内容：一、空间直角坐标系1．将数轴（一维）、平面直角坐标系（二维）进一步推广建立空间直角坐标系（三维）如图7－1，其符合右手规则。
即以右手握住z 轴，当右手的四个手指从正向x 轴以2角度转向正向y 轴时，大拇指的指向就是z 轴的正向。
2． 间直角坐标系共有八个卦限，各轴名称分别为：x 轴、y 轴、z 轴，坐标面分别为xoy 面、yoz 面、zox 面。
坐标面以及卦限的划分如图7－2所示。
图7－1右手规则演示 图7－2空间直角坐标系图 图7－3空间两点21M M 的距离图3．空间点),,(z y x M 的坐标表示方法。
通过坐标把空间的点与一个有序数组一一对应起来。
注意：特殊点的表示a)在原点、坐标轴、坐标面上的点；b)关于坐标轴、坐标面、原点对称点的表示法。
4．空间两点间的距离。
若),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间任意两点， 则21M M 的距离（见图7－3），利用直角三角形勾股定理为：2222122212212NM pN p M NM N M M M d ++=+== 而 121x x P M -=12y y PN -= 122z z NM -=所以21221221221)()()(z z y y x x M M d -+-+-==特殊地：若两点分别为),,(z y x M ，)0,0,0(o222z y x oM d ++==例1：求证以)1,3,4(1M 、)2,1,7(2M 、)3,2,5(3M 三点为顶点的三角形是一个等腰三角形。
证明: 14)21()13()74(222221=-+-+-=M M 6)23()12()75(222232=-+-+-=M M 6)13()32()45(222213=-+-+-=M M由于 1332M M M M =，原结论成立。
高等数学 第七章
因为 OM OM1 OM2 ，M M OM3 ，所以
OM OM1 OM2 OM3
图7-4
再由数乘向量的定义，知
பைடு நூலகம்于是有
OM1 a1i, OM2 a2 j, OM3 a3k
OM a1i a2 j a3k
可以看出上式中三个系数(a1，a2，a3)正好是点M的坐标， 点M的坐标叫做向量a的坐标，记作a={a1，a2， a3}.
向量a的坐标表示式有两种写法： a=a1i+a2j+a3k={a1，a2，a3}
三、 向量的模与方向余弦 向量已由它的坐标表示出来了，怎样用向量的坐标来表 示它的长度和方向呢？任给一个向量a={a1，a2，a3}，从图 7-4可以看出它的长度是
于是
a OM OM1 2 OM2 2 OM3 2 a OM a12 a22 a32
(7-1)
即向量的模等于其坐标平方和的算术平方根. 例1 设a=2i－2j+k， 求|a|. 解 a 22 (2)2 12 9 3
下面讨论如何用坐标表示向量的方向. 设向量a与x轴、y 轴、z轴正向的夹角称为向量a的方向角，分别记为为α，β，γ， 显然0≤α，β， γ≤π. 当三个方向角确定后，向量的方向也就确 定了(图7-5).
图 7-1
图7-2
可见，在空间直角坐标系中，空间中的点与三个有序实 数是一一对应的. 显然，坐标原点的坐标为(0，0，0)，x轴上 点的坐标为(x，0，0)，yOz平面上的点为(0，y，z)等. 对于一 般的点，如(2，3，－1)，可如图7-3确定其位置.
图7-3
二、 向量的坐标 我们在中学学习了平面向量的坐标表示与运算. 如果将平 面向量推广到空间中，即得空间向量的坐标表示与运算. 在空间直角坐标系中，以原点为始点，而终点分别为点 (1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)的三个单位向量，相应地记 作i，j，k，称为该坐标系的基本单位向量. 对于任一向量a，把a的始点置于原点，设此时a的终点为 M(a1，a2，a3)，即a=O→M， 如图7-4所示，根据向量加法
高等数学-第七章空间解析几何与向量代数习题课
A12
B12
C
2 1
A22
B
2 2
C
2 2
（3）直线与平面相交（夹角）
设直线 L 的方向向量为 s (m, n, p) , 平面 的法向量为
n ( A, B,C), 则它们的交角： Am Bn Cp
sin
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
（4）线、面之间的平行与垂直
3 3
则
a 15 , b 5 a 25
17
3
17
于是
p ( 15 17 , 25 17, 0 )
【例8】已知向量 a (4, 3, 2)，u 轴与三坐标轴正向构成 相等锐角，求 a 在 u 轴上的投影。
分析：先求出 u 轴上的单位向量，再利用向量投影公式。
解：设 u 轴的方向余弦分别为 cos,cos ,cos ，
解：M1M2 (1, 2,1)
| M1M2 | 2
方向余弦为
cos 1
2
, cos
2 2
, cos
1 2
方向角为 2 , 3 , 1
3
4
3
【例2】确定 , , 的值，使向量i 3 j ( 1)k 与向量
( 3)i ( ) j 3k 相等。并求此时向量的模与方向余弦。
分析： 向量相等的定义是向量坐标对应相等。
解： 由已知条件得
3
3
1 3
易得
1
4
1
即当 1, 4, 1 时两向量相等。 此时向量为
天津大学-高数-第七章-空间解析几何-课件(ppt文档)
平面 : Ax B y C z D 0, n (A, B ,C )
直线 L : x x y y z z , s (m, n, p) mn p
例：已知 (a b) c 2，求 [(a b) (b c)] (c a)
解：
[(a b ) (b c)] (c a)
(a b a c b b b c) (c a) (a b a c b c) (c a) (a b) c (b c) a
数乘: a (ax ,ay ,az )
点积: a b axbx ayby azbz
叉积:
i jk
ab ax ay az
bx by bz
混合积:
ax ay az
( a b ) c bx by bz
cx cy cz
2. 向量关系:
a 与 b 垂直 a b=0 axbx ayby azbz 0
解：
| a || b || c | | b || c || a |
| a || b || c | 1
| c || b || a |
| a | | b | | c | 3
二. 平面的方程
1. 平面方程的求法
•点法式方程: 已知平面上的一点和法矢量
A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0.
y y1 n1
z z1 , p1
直线
L2：x
x2 m2
y y2 n2
z z2 , p2
L1 L2
s1 s2 0
L1 // L2
(完整版)§7空间解析几何与向量代数习题与答案
第七章空间分析几何与向量代数A一、1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________.2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模，方向余弦和方向角.3、设m3i 5j 8k , n 2i 4j 7k ,p 5i j 4k ，求向量 a 4m 3n p 在x轴上的投影，及在y 轴上的分向量.二、1、设a3i j 2k ,b i 2j k ，求(1) a b及 a b；(2)( 2a) 3b及 a 2b (3) a、b的夹角的余弦 .2、知M1(1, 1,2), M2(3,3,1), M3(3,1,3)，求与M1M2,M2M3同时垂直的单位向量.3、设a(3,5, 2), b (2,1,4) ，问与知足_________时，a b z轴.三、1、以点 (1,3,-2)为球心，且经过坐标原点的球面方程为__________________.2、方程x2y 2z 22x 4 y 2z0 表示______________曲面.3、 1) 将 xOy 坐标面上的y22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程为_______________ ，曲面名称为 ___________________.2) 将 xOy 坐标面上的x2y 22x 绕x轴旋转一周，生成的曲面方程_____________，曲面名称为 ___________________.3) 将 xOy 坐标面上的4x29 y 236 绕x轴及y轴旋转一周，生成的曲面方程为 _____________，曲面名称为 _____________________.4）在平面分析几何中y x2表示____________图形。
在空间分析几何中y x 2表示______________图形.5）画出以下方程所表示的曲面(1)z24( x 2y2 )(2) z4( x2y 2 )四、x 2 y 2 1在平面分析几何中表示 ____________图形，在空间解1、指出方程组 4 9y 3析几何中表示 ______________图形 .2、求球面x2 y2 z2 9 与平面x z 1的交线在xOy面上的投影方程.3、求上半球0 za2 x 2 y2与圆柱体x2 y 2 ax (a 0) 的公共部分在xOy 面及 xOz 面上的投影 .五、1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程.2、求过点 (1,1,-1)，且平行于向量a=(2,1,1)和b=(1,-1,0)的平面方程.3、求平行于xOz 面且过点 (2,-5,3)的平面方程.4、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程.六、1、求过点 (1,2,3) 且平行于直线xy 3z 1的直线方程 .2 1 52、求过点 (0,2,4)且与两平面x 2z 1 ,y3z 2 平行的直线方程.3、求过点 (2,0,-3)x 2 y 4z 7 0且与直线5 y 2z 1垂直的平面方程 .3x 04、求过点 (3,1,-2) 且经过直线x 4y 3z的平面方程 .5 2 1x y 3z 0 y z 1 0 的夹角 .5、求直线y z与平面 xx 06、求以下直线与直线、直线与平面的地点关系1) 直线x 2y z 7 与直线 x 1y 3 z ;2x y z 7 21 12) 直线 x 2 y 2 z 3和平面 x+y+z=3.3 1 47、求点 (3,-1,2)x y z 1 0到直线y z 4 的距离 .2x 0B1、已知 a b c 0 （ a, b, c 为非零矢量），试证 : a b b c c a .2、 a b 3, a b { 1,1,1}, 求 (a, b) .3、已知 a 和 b 为两非零向量， 问 t 取何值时， 向量模 | a t b |最小？并证明此时 b (atb ) .4、求单位向量 n ，使 n a 且 n x 轴，此中 a (3,6,8) .5、求过 z 轴，且与平面 2x y 5z 0 的夹角为的平面方程 .36、求过点 M 1 (4,1,2) ， M 2 ( 3,5, 1) ，且垂直于 6x 2y 3z 7 0 的平面 .x 2y z 1 0 l 2 x y z 7、求过直线y z2 0 ，且与直线 ：1 平行的平面 .2x128、求在平面: x y z 1 上，且与直线y 1L ：垂直订交的直线方程 .z 19、设质量为 100kg 的物体从空间点M 1 (3,1,8) ，挪动到点 M 2 (1,4,2) ，计算重力所做的功（长度单位为 m ） .10、求曲线y 2 z 22x 0在 xoy 坐标面上的投影曲线的方程，并指出原曲线是什么曲z 3线？11、已知 OA i 3k , OB j 3k ，求 OAB 的面积2x 4 y z 0 y z 1上的投影直线方程 .12、 . 求直线y 2z9在平面 4x3xC1、设向量 a, b, c 有同样起点 , 且a b c 0 ，此中 0 ， , , 不全为零 ,证明 : a,b,c 终点共线 .2、求过点 M 0 (1,2, 1) ，且与直线 L ：x2y 12订交成 角的直线方程 .21 1 33、过 ( 1,0,4) 且平行于平面 3x4 y z100 又与直线x1 y 3z订交的直线方1 12程 .4、求两直线 L 1 ：x 1yz与直线L 2：xy z2的最短距离 .1163 05、柱面的准线是 xoy 面上的圆周（中心在原点，半径为1），母线平行于向量 g {1,1,1} ，求此柱面方程 .6、设向量 a,b 非零， b 2, (a,b)a xba.，求 limx3xx 2 y7、求直线 L :z1( y 1) 绕 y 轴旋转一周所围成曲面方程 .2第七章 空间分析几何与向量代数习题答案A一、 1、6,7,611 11 112、M 1 M 2 =2, cos1 21 23, cos ,cos , ,,32 22343、 a 在 x 轴上的投影为 13，在 y 轴上的重量为 7j二、 1、 1） a b 3 1 ( 1) 2 ( 2) ( 1) 3i j k a b312 5ij 7k1 21（2） ( 2a) 3b6(a b) 18 ， a 2b 2( a b) 10i 2 j14k^ a b3（ 3） cos(a, b)a b2 212、 M 1M 2 { 2,4, 1},M 2M 3 {0, 2,2}i j ka M 1M 2 M 2M3 2 4 1 6i 4 j 4k0 2 2a { 6 ,2 4 , 4 }a 2 17 17 2 17即为所求单位向量。
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M OQ F OP F sin
O Q
P
F L
向量积
定义 给定两个向量 a和b,a和b的向量积(或外积)仍是一个
向量,记作a
b,其大小为
ab
a
b
sin
(a，b),其
方向规定为与
a和b都垂直,且a,b,
a
b 构成右手系.
向量积模的几何意义 以 a，b为邻边的平等四边形的面积.
右手系规则图示
x1 x2
x
O M1 P
( x2 x1 )2 ( y2 y1 )2 (z2 z1 )2
M2
Q y1
y2 y
M2 (Q )
两点间距离公式：
d M1M2 x2 x1 2 y2 y1 2 z2 z1 2
特别地，点 M ( x , y , z) 与原点O ( 0 , 0 , 0 ) 的距离：
Oxyz ,点O 叫做坐标原点(或原点).
八封限
每两个坐标轴确定的平面称为坐标
平面,简称为坐标面.x 轴与y 轴所 确定的坐标面称为xOy面,类似地, 有yOz面,zOx面.
z
Ⅲ
Ⅱ
Ⅳ
Ⅰ
O
Ⅶx
Ⅴ
Ⅷ
Ⅵy
这些坐标面把空间分成八个部分,每一个部分称
为一个卦限.x、y、z 轴的正半轴的卦限称为第
I卦限.在xOy面的上方,从第I卦限开始，按逆时
，则：
a
b
ay by
az bz
， ax bx
az bz
， ax bx
ay
by
例题
已知ABC的顶点分别是A(1，2，3)，B(3，4，5)，
C(2，4，7)，求ABC的面积.
解：
根 据 向 量 积 的 定 义 ， 可知A B C的 面 积 为
SA B C
1 2
AB
AC sin A
1 2
又有M2在平面上，代入平面方程得：A B.则所求 平面方程为：x y 1 0
例题
求过点M(1， -1，2),且与平面2x-y+3z+7=0平行的 平面的一般方程。
解：
由平面的一般方程可知,已知平面2x y 3z 7 0的一个法
向量n 2,1,3.又知两平面平行，故n也是未知平面的一个 法向量.由点法式可得未知平面为：2x 1 y 1 3z 2 0
向量夹角余弦公式
两个非零向量a，b夹角的余弦公式为：
cos(a，b)
a a
b b
axbx ayby azbz
ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
7.2.2 向量的向量积
引例
设O为一根杠杆L的支点，力F作用于这
杠杆上点P, F与OP的夹角为 ,力F对支
点O的力矩是一向量M ,它的模为
d OM x2 y2 z2
练习
1.利用两点间距离公式求下列两点间距离. （1） A（3，4，0） B （0，4，3） （2）C（3，0，0） D（0，-1，0）
2.在y轴上找一点，使它与点A（3，1，0）和点 B （-2，4，1）的距离相等.
7.1.2 向量的概念
定义7.1 既有大小又有方向的量称为向量(或 矢量);向量的大小称为向量的模.
1反交换律
a
b
b
a
2结合律
a
b
a
b
3分配律
(a
b)
c
a
c
b
c
向量的混合积
设a
ax，ay，az ，b
bx，by，bz ，c
cx，cy，cz
,
则它们的混合积为：
ax ay az
a b c bx by bz cx cy cz
想一想
如果四边形ABCD中
，AB
模长为1的向量.
e
(方向未做规定)
向量的三种关系
相等向量 模长相等,方向相同的两个向量.
记作
a
b
注 与始点、终点位置无关；
图示
向量可以在a空间中任意平移.
b
相反向量 记作 注
图示
模长相等,方向相反的向量.
a
a
a
a a
平行向量 方向相同或相反的非零向量.
记作
a // b
注 零向量与任何向量都平行.
为 W F S cos ,其中 为F 与S 的夹角.
F
M2
S
M1
F cos
定义 两量个a非与零b向的量夹角a与,记b作,它(a们，的b夹) 角. 称为向
b a
注： (a，b) 0，
特(别a，地b，) (0a或，b时) ,称2a时与,称ba平与行b或垂共直线；；记记作作：：aa//bb
定义 任数意量两,记个作向a量 ba,,即ba的b数 量a积(b或c内os积)(a是，一b个) .
2.已知 OA 4,1,5 与OB 1,8,0 ,求向量AB
与 OA OB 的坐标.
7.2 向量的数量积与向量积
掌握向量的数量积和向量积的定 义，能够灵活运用运算规律，并 熟训练使用判断向量平行或垂直 的条件.
7.2.1 向量的数量积
引例 设一物体在常力F 作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以S 表示位移M1M2,则力F 所做的功
2x y 3z 9 0.
7.3.2 直线方程
三种表达形式
直
直
直
线
线
线
的
方
方
点
程
程
向
的
的
式
一
两
和
般
点
参
式
式
数
方
程
定义 在空间中通过一定点且 与非零向量 s平行的直线 L是唯一确定的，则称 s为直线L的方 向 向 量.
数量积的运算方法
定义法
a
b
a
b
cos(a，b)
坐标法
设a
ax，ay，az
，b
bx，by，bz
，则：
a
b
ax
bx
ay
by
az
bz
数量积的性质
（1）a a a2
（2）两个非零向量
a，b，则a
b
a
b
0
数量积的运算律
对于任意向量 a，b，c及实数，则满足：
1交换律
a
b
b
a
2结合律
第7章 向量代数与空间解析几何
知识目标
了解二次曲面的标准方程；
理解空间直角坐标系、向量的概念；
会判断平面与平面、直线与直线以及 直线与平面间的关系；
掌握向量的线性运算、向量平行和垂 直的条件、几种常见的曲面方程；
熟练掌握两点间的距离公式、平面与 直线的各种方程.
能力目标
通过几何问题代数化，培养学生的抽 象思维能力、逻辑推理能力和空间想 象能力.
C
AB AD DB
B
数乘运算
一个向量 a与一个实数 的乘积. 记作 a
注 数乘运算后的结果仍是一个向量.
若有
a
a a0
成立,则称向量
a0
为原向量
a
同方向的
单位向量.
定理
向量
a 与向量
b
平行(或共线)的充要条件是：
存在不全为零的实数
和
,使得a
b
0.
例题
已求知：2aa
e31b2ce2.
具有相同的长度单位,这三条轴分
别叫做x 轴(横轴)、 y 轴(纵轴)、 z 轴(竖轴),统称坐标轴.
通常把x 轴和y 轴配置在水平面上,而z 轴则是铅
垂线.它们的正向通常符合右手法则,即以右手握
住z 轴,当右手的四个手指从正向x 轴以90度转向 正向y 轴时,大拇指的指向就是z 轴的正方向.
这样的三条坐标轴就构成了一个空间直角坐标系
德育目标
借助数形结合的思想，将研究问题的 不同方法进行联结，提高学生的综合 素质与人文素养.
7.1 空间向量及其线性运算
了解空间向量的概念,掌握空间向 量的基本定理及其意义,建立空间 直角坐标系，以向量为工具,利用 空间向量的坐标和相关运算解决 空间中的几何问题.
7.1.1 空间直角坐标系
过空间一个定点O,作三条相互垂直 的数轴,它们都以O 为原点且一般
表 达 方 式 图示 向量的模
代数法
用带有箭头的小写字母
a,
b,
c,
表示
或用黑体字母, , , 表示.
几何法
用始点为A 终点为B 的有向线段 AB 表示
A
B 记作向量AB(或 a， )
AB (或 a， ) (注：模长是标量)
两个基本向量
零向量 模长为零的向量. (方向是任意的)
记作 0
单位向量 记作
Ax x0 By y0 Cz z0 0
平面的一般式方程
由点法式方程可得：Ax By Cz D 0，其中
D Ax0 By0 Cz0 ，A2 B2 C2 0
例题
求过两点M1 (2， -1，1) 和M2 (3， -2，1),且平行于 z轴的平面方程。 解：
设过点M1的平面方程为Ax 2 By 1 Cz 1 0， 其法向量n z轴，故有A, B,C0，0，1 0，得C 0.
7.3.1 平面的方程
平面的法向量 定义 在空间中通过一定点M0且与非零向量n垂直 的平面是唯一确定的，此时称向量n为平 面的法 向 量.
M0(x0，y0，z0) n A，B，C
平面方程的表达式
平面的点法式方程
在平面上任取一点 M(x，y，z),则有M 0M n,即M 0M n 0.
故平 面 的 点 法 式 方 程为：
平行向量又可称作共线向量. a