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直线回归与相关
应用直线回归的注意事项
进行回归分析时，应先绘制散点图。若提示有直 线趋势存在时，可作直线回归分析；若提示无明 显线性趋势，则应根据散点分布类型，选择合适 的曲线模型，或经数据变换后，化为线性回归来 解决。 绘制散点图后，若出现一些特大特小的离群值 （异常点），则应及时复核检查，对由于测定、 记录或计算机录入的错误数据，应予以修正和剔 除。否则，异常点的存在会对回归方程中的系数 a、b的估计产生较大影响。
a>0表示回归直线与y轴的交点在X轴的上方； a<0表示回归直线与y轴的交点在x轴的下方； a=0表示回归直线通过原点。
b ：回归系数 (coefficient of regression)
回归系数即直线的斜率。
b>0，表示随x增加，y亦增加； b<0，表示随x增加，y值减少； b=0，表示回归直线与x轴平行，意为y与x无关。
直线回归分析的一般步骤
1、将 n 个观察单位的变量对(x，y)在直角坐标系中 绘制散点图，若呈直线趋势，则可拟合直线回归 方程。 2 2、求回归方程的回归系数和截矩 3、写出回归方程 Yˆ = a + bX ，画出回归直线 4、对回归方程进行假设检验
a ：截距(intercept)
截距是指x=0时，回归直线与y轴交点到原点的 距离。
lxx = ∑ ( x − x) = ∑ x −
2 2
(∑ x ) 2 n
(∑ x )(∑ y ) n
lyy = ∑ ( y − y ) = ∑ y −
2 2
(∑ y ) 2 n
lxy = ∑ ( x − x)( y − y ) = ∑ xy −
求回归系数b和截距a
∑ ( x − x )( y − y ) = l b= l ∑ ( x − x)
相关
2. 应用的情况不同 相关分析用于说明两 变量间的相互关系，描述两变量 X，Y 相互 之间呈线性关系的密切程度和方向；回归分 析用于说明两变量间的依存关系，可以用一 个变量的数值推算另一个变量的数值。
（二）联系 1. 正负符号相同： 在同一资料中，计算 r与 正负符号相同： b值的符号应该相同。 2. 假设检验等价： 在同一资料中，r与 b值 假设检验等价： 的假设检验的统计量 t值相等，即 t r=t b。 3. 对于不同组资料来说，相关系数 r 与 回归 系数 b 二者的数值大小之间无直接联系，且 二者含义不同。 4. r与 b换算关系： 换算关系： 与 换算关系
（三）个体Y值的容许区间 个体 值的容许区间 给定X=X0时，个体Y值的（1－α）容许区间为：
ˆ Y ± tα / 2,v SY −Yˆ
SY −Yˆ = SY ⋅ X 1 (X0 − X ) 1+ + 2 n ∑( X − X )
2
例7-6：X0=1.5时，个体Y值的95%容许区间为： （3.69，5.29）
第七章
回归与相关
回归与相关是用来研究两个变量(或多个变量) 之间数量变化关系的的一种统计分析方法。 本章主要介绍直线回归与直线相关。
第一节
直线回归
一、直线回归的概念
我们以例7-1母婴TSH之间的关系予以说明：
由散点图可以看出，Y 随着 X 的增大而增 大且呈直线变化趋势，但各点并非完全在一条 直线上，这与严格的直线函数关系不同，将X和 Y之间的这类数量变化关系称直线回归。
3. 在回归分析时应正确选定自变量和应 变量。 变量。 若两变量间有明显的依存关系，该问
题很易解决；若两变量间无明显的依存关系， 一般以较易测定者或变异较小者作为自变量 X， 否则可能加大误差。而在相关分析时，不存在 自变量与应变量的关系，它所分析的两个变量 之地位是完全等价的，一般称为第一变量和第 二变量。
23第七章直线回归与相关分析
研究“一因一果”，即一个自变量与一 个依变量的回归分析称为一元回归分析； 研究“多因一果”，即多个自变量与一 个依变量的回归分析称为多元回归分析。 一元回归分析又分为直线回归分析与曲 线回归分析两种； 多元回归分析又分为多元线性回归分析 与多元非线性回归分析两种。
回归分析：揭示出呈因果关系的相关变 量间的联系形式，建立它们之间的回归方程， 利用所建立的回归方程，由自变量(原因)来预 测、控制依变量(结果)。
SS x ( 159.0444) 2
144.6356
249.5556 74.6670
所以
S yx
2 ˆ ( y y )
n2
74.6670 = 3.2660 (天) 92
【题一】下表为每1000 g土壤中所含NaCl 的不同克数(x)，对植物单位叶面积干物质 (Y)的影响，试建立其回归方程。 土壤NaCl含量 x/g· kg-1 干重 y/mg· y bx
（7-3）式中的分子是自变量 x 的离均差与
依变量 y 的离均差的乘积和 ( x x )( y y ) ，
简称乘积和，记作 SP ，分母是自变量 x 的离 xy
均差平方和 ( x x )2，记作 SS x。
a 叫做样本回归截距，是总体回归截距α的 最小二乘估计值也是无偏估计值，是回归直线
资料如下表，建立 y 与 x 的直线回归方程。
表7-1 平均温度累积值(x)与一代三化螟盛发期（y）资料
年份 1956 1957 1958 1959 1960 1961 1962 1963 1964 累积温 x 35.5 34.1 31.7 40.3 36.8 40.2 31.7 39.2 44.2 盛发期 y 12 16 9 2 7 3 13 9 –1
第十三章 直线回归与相关分析
第十三章直线回归与相关分析A1型题1 . 已知r=1,则一定有( )A . b=1B . S y = 0C . S Y,X=0D . a=0E . S Y,X= S Y2 ．用最小二乘法确定直线回归方程的原则是（）A ．各观测点距直线的纵向距离相等B ．各观测点距直线的纵向距离平方和最小C ．各观测点距直线的垂直距离相等D ．各观测点距直线的垂直距离平方和最小E ．各观测点距直线的纵向距离最小3 . r > r0.05,12 时，可认为两变量X , Y 间（）A ．有一定关系B ．有正相关关系C ．有递增关系D ．肯定有直线关系E ．有线性相关关系存在4 ．如果直线相关系数r =1 ，则一定有（）A . SS总=SS残B . SS残=SS回C . SS总＝SS回D . SS总＞SS回E . MS回=MS 残5 ．双正态总体随机变量的回归与相关分析中，若直线相关系数r=1 ，则一定有( )A ．直线回归的截距等于1B ．直线回归的截距等于OC ．直线回归的SS残等于0D ．直线回归的SS总等于0E ．直线回归的SS残等于SS回6 ．如果两样本相关系数r1=r2，且n1> n2，那么（）A . b l =b2B . t rl=t r2C . b l > b2D . t bl = t r1E . t b1 = t b27 ．直线相关系数的假设检验，r > r0.001,34，可认为（）A ．回归系数β=0。
B ．相关系数ρ=0C ．决定系数等于零D . X 、Y 间线性关系存在E . X 、Y 差别有统计学意义8 ．直线回归分析中，以直线方程Y=0.004+0.0588X代入两点描出回归线。
下面选项中哪项正确（）A ．所有实测点都应在回归线上B ．所绘回归直线必过点（X ,Y ）C ．原点是回归直线与Y 轴的交点D ．回归直线X 的取值范围为〔一1 , 1 〕E ．实测值与估计值差的平方和必小于零9 ．直线回归与相关分析中，下列哪项正确（）A . ρ=0时，r=0B . r > O , b > OC . r > O 时，b < 0D . r < O 时，b < OE . r =1 时，b =110 ．直线回归方程（）A ．一定是过原点的一条直线B ．描述了一条斜率为零的直线C ．不会受到单位变化的影响D ．描述两变量间线性依存的变化规律E ．不受自变量大小的影响11 ．积差相关系数r ( )A ．值一定在-1 到＋l 之间B ．两变量无关时其值为0.5C ．是有单位的值D ．可反映某个变量随另一个变量变化的程度E ．是自变量改变一个单位时，应变量的平均变化量12 ．调查了10 名8 岁男童的身高（cm ）与体重（kg ），计算得0＜r < l ，则回归系数( )A . b < OB . b > OC . R = OD . b ≤1E ．β＝O13 ．经女大学生肺活量与体重间直线相关系数的假设检验，P＜0.01，可认为（）A ．体重与肺活量间线性关系不存在B ．体重随肺活量增加而增加C ．两变量间相关程度较高D ．肺活量与体重间线性关系存在F ．尚不能认为两变量间相关关系存在14 ．直线回归方程y=b0 + b x中，b 表示（）A ．应变量对自变量的比值B ．两变量呈同向或反向变化C . X 、Y 两变量间关系的密切程度D . X 增加一个单位时，Y 的平均变化量E ．一个变量随另一个变量变化的原因15 ．直线回归系数b < O ，则一定有（）A . O < r < 1B ．一1 < r < OC . r 一OD . a < OE . a > O16 ．直线相关是讨论一组观察单位两变量间（）A ．均数的差别B ．线性依存关系数量变化的规律C ．某事物现象变化的根本原因D ．确定线性关系的重要性E ．线性相关关系的方向和程度17 .在总体相关系数ρ=O 的总体中，抽样得到的样本相关系数r( )A ．必大于零B ．必小于零C ．必等于零D ．绝对值小于1E ．绝对值大于118 ．来自双正态总体随机变量的资料，进行相关系数假设检验，P＜0.001 ，则回归系数检验必然有（）A . t r＜t bB . t r＞t bC . t r =t bD ．无法判断E ．以上都不是19 ．有关决定系数，下列说法哪项是正确的（）A ．当r < o0时，决定系数小于零B ．当-1 < r < 1 ，决定系数大于1C ．当0< r < 1 ，决定系数等于1D ．当 r =1 时，回归平方和等于总平方和E ．相关系数r 的大小对决定系数大小没有影响A2型题20 ．由10 名一年级女大学生体重X（kg）与肺活量Y(L)直线相关分析知，r =0.7459 ，若r> r0.05，8，可认为（）A ．体重与肺活量间有一定关系B ．体重与肺活量相差非常明显C ．体重与肺活量间相关关系存在D ．体重与肺活量间相关关系不存在E ．体重与肺活量间差别有统计学意义21 ．某食品科调查克山病区6 份主食大米中硒含量与居民血硒含量，计算得r=0.8053，0.10 ＞P＞0.05，下结论时应慎重。
直线回归与相关分析
系数的可信区间。但由于相关系数的抽样分布在 0 呈 偏态分布（即使在大样本情况下），所以需要先对 进行
f (X)
1
( X )2
e 2 2
2
从正态分布的情况，严格
地说，要求它们服从双变
量正态分布(bi-variable
normal distribution)
8
直线相关（linear correlation）
一、直线相关的概念
如果两个随机变量中，当其中一个变量由小到大的变化时，另一个变 量也相应地由小到大（或由大到小）的变化，并且其相应变化的散点 图在直角坐标系中呈现直线趋势，则称这两个随机变量存在直线相关 （linear correlation）。 应用条件： 适用于两个变量X和Y都服 从正态分布的情况，严格 地说，要求它们服从双变 量正态分布(bi-variable normal distribution)
14
II
I
II
I
III
IV
III
IV
(x x)(y y) 0 (x x)(y y) 0
正相关
负相关
15
II
I
零相关
III
IV
(x x)(y y) 0
16
(x x)(y y)
思路： A：正态标准化 B：归一化处理（除以N）
18
总体
1
N
[
x x x
y
y
y
]
7.8
7.8
6.8
6.8
5.8
5.8
4.8
4.8
3.8
3.8
2.8
2.8
1.8
1.8
r 1 1 2 3 4 5 6 7
f (X)
1
( X )2
e 2 2
2
从正态分布的情况，严格
地说，要求它们服从双变
量正态分布(bi-variable
normal distribution)
8
直线相关（linear correlation）
一、直线相关的概念
如果两个随机变量中，当其中一个变量由小到大的变化时，另一个变 量也相应地由小到大（或由大到小）的变化，并且其相应变化的散点 图在直角坐标系中呈现直线趋势，则称这两个随机变量存在直线相关 （linear correlation）。 应用条件： 适用于两个变量X和Y都服 从正态分布的情况，严格 地说，要求它们服从双变 量正态分布(bi-variable normal distribution)
14
II
I
II
I
III
IV
III
IV
(x x)(y y) 0 (x x)(y y) 0
正相关
负相关
15
II
I
零相关
III
IV
(x x)(y y) 0
16
(x x)(y y)
思路： A：正态标准化 B：归一化处理（除以N）
18
总体
1
N
[
x x x
y
y
y
]
7.8
7.8
6.8
6.8
5.8
5.8
4.8
4.8
3.8
3.8
2.8
2.8
1.8
1.8
r 1 1 2 3 4 5 6 7
直线回归与相关
• 回归分析时的假定：
• (1) Y 变数是随机变数，而X 变数则是没有误差的固定变数，至 少和Y 变数比较起来X 的误差小到可以忽略。
• (2) 在任一X 上都存在着一个Y 总体(可称为条件总体)，它是作
正态分布的，其平均数 Y / X 是X 的线性函数：
Y / X X
• Y / X的样本估计值，与X 的关系就是线性回归
相关分析研究X与Y两个随机变量之间的 共同变化规律，例如当X增大时Y如何变化， 以及这种共变关系的强弱。
原则上Y含有试验误差，而X不含试验 误差时着重回归分析；Y和x均含有试验 误差时着重相关分析。
但讨论X为非随机变量的情况，所得到 的参数估计式也可用于X为随机144.6356
SSy=∑y2-(∑y)2/n=794-(70)2/9=249.5556 SPxy=∑xy-∑x∑y/n=2436.4-(333.7×70)/9=-159.0444 X =∑x/n=333.7/9=37.0778
Y =∑y/n=70/9=7.7778 因而有：b=SPxy/SSx=-159.0444/144.6356
对x、y进行考察的简便方法是将n对观察值 （x1，y1）、(x2，，y2)、…、(xn，yn) 于同一直 角坐标平面上制作散点图：
① X和Y的相关的性质（正或负）和密切程度； ② X和Y的关系是直线型的还是非直线型的； ③ 是否有一些特殊的点表示其他因素的干扰等。
图9.1B 每平方米土地上 的总颖花数（X） 和结实率（Y）
a
bxi
)
0
n
n
n
( xi ) ( yi ) n
b
xi yi
i 1 n
i 1 n
i 1
n
第8章 直线回归与相关
散点图可直观地,定性地表示了两个变量之间 散点图可直观地, 的关系.为了探讨它们之间的规律性, 的关系.为了探讨它们之间的规律性,还必须 根据观测值将其内在关系定量地表达出来. 根据观测值将其内在关系定量地表达出来.
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若呈因果关系的两个相关变量y 依变量) 若呈因果关系的两个相关变量y(依变量)与 x(自变量)间的关系是直线关系,,那么,根 自变量)间的关系是直线关系,,那么, ,,那么 据n对观测值所描出的散点图,如图6-1(b)和 对观测值所描出的散点图,如图6 所示. 图6-1(e)所示. 由于依变量y 由于依变量y的实际观测值总是带有随机误 差,因而依变量y的实际观测值yi可用自变量x的 因而依变量y的实际观测值y 可用自变量x 实际观测值x 表示为: 实际观测值xi表示为:
统计学上采用相关分析 统计学上采用相关分析 ( correlation analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 analysis)来研究呈平行关系相关变量之间 的关系. 的关系. 对两个变量间的直线关系进行相关分析 称为简单相关分析 也叫直线相关分析 简单相关分析( 直线相关分析); 称为简单相关分析(也叫直线相关分析); 对多个变量进行相关分析时,研究一个 对多个变量进行相关分析时, 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 变量与多个变量间的线性相关称为复相关 分析; 分析;研究其余变量保持不变的情况下两 个变量间的线性相关称为偏相关分析 偏相关分析. 个变量间的线性相关称为偏相关分析.
二, 直线回归
1 直线回归方程的建立 2.1.1数学模型 2.1.1数学模型
对于两个相关变量,一个变量用x表示,另 对于两个相关变量,一个变量用x表示, 一个变量用y表示, 一个变量用y表示,如果通过试验或调查获得两 个变量的n对观测值:( 个变量的n对观测值:(x1,y1),(x2, :(x ),(x y2),……,(xn,yn) ),……,( ,(x 为了直观地看出x 为了直观地看出x和y间的变化趋势,可将 间的变化趋势, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点, 每一对观测值在平面直角坐标系中描点,作出散 见图6 点图 (见图6-1).
生物统计学课件 7、回归与相关分析
第一节 直线回归
㈡数据整理
由原始数据算出一级数据6个： ΣX＝1182 ΣY＝32650 ΣXY＝3252610 320
ΣX 2＝118112 ΣY 2＝896696700 n＝12
Байду номын сангаас
再由一级数据算出二级数据5个：
SSX＝ ΣX 2 － (ΣX) 2 /n＝1685.00 SSY＝ ΣY 2 － (ΣY ) 2 /n ＝831491.67 SP＝ ΣXY － ΣX ΣY /n ＝36585.00
280
80
X＝ΣX/n ＝98.5 Ӯ ＝ΣY/n ＝2720.8333
㈢计算三级数据
b ＝ SP/ SSX ＝21.7122 ＝36585÷1685
a＝ Ӯ －bX＝582.1816 ＝2720.8333－ 21.7122×98.5 得所求直线回归方程为：
y ＝ 582.1816 + 21.7122 x
第一节 直线回归
二、建立直线回归方程
340
例7.1 在四川白鹅的生产性能研究中， 得到如下一组n = 12（只）关于雏鹅重（g） 与70日龄重（10g）的关系的数据，其结 300 果如下表，试予分析。
解 ㈠描散点图
本例已知雏鹅70日龄重随雏鹅重的变 260 化而变化，且不可逆；又据散点图反映的 趋势来看，在80—120g的重量范围， 70日 龄重随雏鹅重呈上升的线性变化关系。
程 y ＝ 582.1816 + 21.7122 x可用于预测。
而是多元回归。
第二节 直线相关
一、相关的含义
二、相关系数
如果两个变量X和Y，总是X和Y 相互 前已述及，具有线性回归关系的
制约、平行变化，则称X和Y为相关关系。 双变量中，Y变量的总变异量分解为：
生物统计附试验设计第八章直线回归与相关分析ppt课件
全部偏差平方和为：
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
Q ei2 (y yˆ)2 y (a bx)2
利用最小二乘法，即使偏差平方和最小 的方法求a与b的值。
Q a
2 ( y
a
bx)
0
Q b
2 ( y
a
bx)x
0
na ( x)b y
根据微积分 学中求极值 的原理，将Q 对a与b求偏 导数并令其 等于0：
( x)a ( x)2 b xy
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共
同受到另外因素的影响，无自变量与依变
量之分）
X身高
Y体重
X体重
Y身高
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，在同样 身高下，体重并不完全一样。在同样体重下，身高 并不完全一样。但在每一身高/体重下，有一确定 的体重/身高。
身高与体重之间存在相关关系。
平行关系/相关关系（两个以上变量之间共 同受到另外因素的影响，无自变量与依变 量之分）
Sr
检验的计算公式为：
Sr (1 r2 ) /(n 2)
Sr—相关系数标准误
F
(1
r2 r2) (n
2)
df1 1, df2 n 2
此外，还可以直接采用查表法对相关系 数r进行显著性检验。先根据自由度n-2查临
界r值(附表8)，得r0.05、 r0.01。
若|r|＜r0.05 ，P＞0.05，则相关系数r不 显著；
椰子树的产果树与树高之间无直线相关关系。
当样本太小时，即使r值达到0.7996，样本也可
能来自总体相关系数ρ=0的总体。
不能直观地由r值判断两变数间的相关密切程度。 试验或抽样时，所取的样本容量n大一些，由此计
算出来的r值才能参考价值。
四、相关与回归的关系
生物统计学第7章 回归与相关
假设H0： β1=β2 ，HA： β1≠β2
检验统计量为
t
b1 b2 sb1 b2
~ t(n1 n2
4)
s b1b2
s2 y/x
s2 y/x
SSx1 SSx2
s2 y/x
(n1
Q1 Q2 2) (n2
2)
t t 当
α(n1n2 4 ) 时，接受HA，即两样本所属总体的回归系数不相等
样本相关系数：从随机样本的数据计算得来的相关系数，用符号r代表
对某一定的总体来说， ρ是一个常量。
从同一总体中随机抽取的各样本的r值是随机变动的，不是一个常量，且可 以通过实验或测量的样本数据来计算它。
将SP除以n-1，消除了样本容量 的影响，得样本的协方差
(xi x)( yi y)
MP i n 1
i
U
SS y
Q
SP2 SSx
bSP b2SSx
F
MSU MSQ
~
F(dfU，dfQ )
例7.5 用F测验对例7.2所求回归方程作回归显著性测验。
F
MSU MSQ
b2SSx Q (n 2)
b2
s2 y/x
SSx
( b )2 sb
t2
7.2.3.2 两个回归系数相比较的显著性检验
由两个样本的回归系数b1，b2，测验其所属总体的回归系数β1、β2是否相等
7.1.2 回归的概念
两个相关变量之间，有时表现为一个变量依赖于另一个变量的从属关系。 对于这种情况的两个变量可以区分为自变量（记为X）和依变量（记为Y）。
回归关系：一般自变量X是固定的（试验时预先确定的），并且没有试验 误差或试验误差很小，依变量Y则是随自变量X的变化而变化，且受试验误 差的影响较大。这种关系称为回归关系，
检验统计量为
t
b1 b2 sb1 b2
~ t(n1 n2
4)
s b1b2
s2 y/x
s2 y/x
SSx1 SSx2
s2 y/x
(n1
Q1 Q2 2) (n2
2)
t t 当
α(n1n2 4 ) 时，接受HA，即两样本所属总体的回归系数不相等
样本相关系数：从随机样本的数据计算得来的相关系数，用符号r代表
对某一定的总体来说， ρ是一个常量。
从同一总体中随机抽取的各样本的r值是随机变动的，不是一个常量，且可 以通过实验或测量的样本数据来计算它。
将SP除以n-1，消除了样本容量 的影响，得样本的协方差
(xi x)( yi y)
MP i n 1
i
U
SS y
Q
SP2 SSx
bSP b2SSx
F
MSU MSQ
~
F(dfU，dfQ )
例7.5 用F测验对例7.2所求回归方程作回归显著性测验。
F
MSU MSQ
b2SSx Q (n 2)
b2
s2 y/x
SSx
( b )2 sb
t2
7.2.3.2 两个回归系数相比较的显著性检验
由两个样本的回归系数b1，b2，测验其所属总体的回归系数β1、β2是否相等
7.1.2 回归的概念
两个相关变量之间，有时表现为一个变量依赖于另一个变量的从属关系。 对于这种情况的两个变量可以区分为自变量（记为X）和依变量（记为Y）。
回归关系：一般自变量X是固定的（试验时预先确定的），并且没有试验 误差或试验误差很小，依变量Y则是随自变量X的变化而变化，且受试验误 差的影响较大。这种关系称为回归关系，
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X体重
Y身高
在大量测量各种体重人群的身高时会发现，虽然在同 样体重下，身高并不完全一样。但在每一体重下，都 有一个确定的身高分布与之相对应;
身高与体重之间存在相关关系。
第二节：直线回归 Linear Regression
一、直线回归方程的建立
例：土壤内NaCl含量对植物的生长有很大影响，NaCl含 量过高，将增加组织内无机盐的累积，抑制植物生长。下 表中的数据是每1000g土壤中所含NaCl的不同克数(X), 对植物单位叶面积干物重的影响。
不同NaCl含量对单位叶面积干物重的影响
NaCl含量X(g/kg) 0 0.8 1.6 2.4 3.2 4.0 4.8
干重Y(mg/dm2) 80 90 95 115 130 115 135
散点图如下
140
130
120
110
100
80
70
0
0.8
1.6
2.4
3.2
4
4.8
我们描绘散点的目的:（1）两变量之间的关系是否密切，能否用X来 估计Y；（2）两变量之间的关系是呈线性或某种曲线；（3）是否 存在某个点偏离过大；（4）是否存在其他规律。
d f S S M S
F S i g n i f i c a n c eF
而回归直线是指所有直线中最接近散点图中全部散点
的直线。设样本直线回归方程为： yˆ abx
回归直线在平面坐标系中的位置取决于a,b的取值。
yˆ abx y
最小二乘法
n
(method of least square)
( y yˆ )2
1
最小
天数（天）
40 yˆ5.7 03 92.3 53x17
如果对于变量X的每一个可能的值xi,都有随机变量Y的一个yi 与之对应，则称随机变量Y对变量X存在回归关系。
为了确定相关变量之间的关系，首先应该收集一些数据，这 些数据应该是成对的，然后在直角坐标系上描述这些点，这 一组点集称为散点图。
为了研究父亲与成年儿子身高 之间的关系，卡尔.皮尔逊测量 了1078对父子的身高。把 1078对数字表示在坐标上， 如图。用水平轴X上的数代表 父亲身高，垂直轴Y上的数代 表儿子的身高，1078个点所 形成的图形是一个散点图。它 的形状象一块橄榄状的云，中 间的点密集，边沿的点稀少， 其主要部分是一个椭圆。
温度与幼虫孵化 人类的年龄与血压 身高与胸围、体重 溶液的浓度与OD值
相关关系：当一个或几个相互联系的变量取一定的数值时 ，与之相对应的另一变量的值虽然不确定，但它仍按某种规 律在一定的范围内变化。变量间的这种相互关系，称为具有 不确定性的相关关系
生物学中，研究两变量间的关系，主要是为了探求两变量的 内在联系，或者是从一个变量X去推测另一个随机变量Y.例 如，我们希望通过施肥量X去推测Y
第一节：回归与相关的概念
因果关系
相
一个变量的变化受另一个 变量或几个变量的制约
关
回归分析（regression analysis）
变 量 互依关系
两个以上变量之间共同受 到另外因素的影响
相关分析（correlation analysis）
因果关系 一个变量的变化受另一个变量或几个变
量的制约
x
y
施肥量 (可以严格地人为控制)
温度 （℃）
黏虫孵化历期平均温度与历期天数关系图
若我们增加每一NaCl浓度下的观测次数，其散点图如下：
（可见其平均值更趋近于一条直线）
平均数有一个特性，即在各种离差平方和中，以距平均数 的离差平方和最小。我们把观测值与回归估计值之间的离 差平方和最小时的回归线作为最好的回归线。其方法为最 小二乘法
散点图(scatter diagram)
两个变量间关系的性质（正向协同变化或 负向协同变化）和程度（关系是否密切） 两个变量间关系的类型（直线型或曲线型） 是否有异常观测值的干扰
4 3 2 1
123456 4 3 2 1
123456 4 3 2 1
123456
正向直线关系 负向直线关系
曲线关系
定性研究
30
20
11.8-----20.4
10
0 10 12 14 16 18 20 22
温度 （℃）
用x估计y，存在随机误差，必须根据回归的数学模型 对随机误差进行估计，并对回归方程进行检验。
直线回归方程(linear regression equation)
自变量
Y^ =a+bx
斜率(slope) 回归系数(regerssion coefficient)
截距(intercept) 回归截距
与x值相对应的依变量y的点估计值
yˆ abx
y
b=0
a>0,b>0 a=0
a>0,b<0
a<0,b>0
0
x
直线回归的假设检验
是否真正存在线性关系 回归关系是否显著 因此，求出回归方程后须作统计检验，称回归显著性检验。
不同NaCl含量对单位叶面积干物重的影响 方差分析表
产量
自变量(independent variable) 因变量(dependent variable)
如果对x的每一个可能的值，都有随机变量y 的一个分布相对应，则称随机变量y对变量x 存在回归(regression)关系。
相关关系
X身高
Y体重
在大量测量各种身高人群的体重时会发现，虽然在同 样身高下，体重并不完全一样。但在每一身高下，都 有一个确定的体重分布与之相对应;
例：黏虫孵化历期平均温度与历期天数
变温量度 1
变天量数 2
X
Y
平均温度（℃） 历期天数（d）
11.8
30.1
14.7
17.3
15.6
16.7
16.8
13.6
17.1
11.9
18.8
10.7
19.5
8.3
20.4
6.7
收集数据
散点图
天数（天）
40
yˆ abx
30
20
10
0 10 12 14 16 18 20 22
直线相关与 回归分析
两变量或多变量之间的关系，总起来可分为两类，一类是函数关系，确 定关系的例子，在生物界中是极少见的。 生物中,大量存在的情况是:一种变量受另一种变量的影响,两者之间既有 关系，但又不存在完全确定的函数关系。知道其中一种变量，并不能精 确求出另一变量。下面请同学们举几个例子。 单位面积的施肥量、播种量和产量三者之间的关系。 树木胸径与树木高度的关系。 人类血压与年龄的关系。 玉米的穗长与穗重的关系。 人的身高与体重的关系。