最新第7章 相关与回归分析
第7章 相关分析与回归分析(含SPSS)
四、偏相关分析
（一） 偏相关分析和偏相关系数 偏相关分析也称净相关分析，它在控制其他变量 的线性影响的条件下分析两变量间的线性相关性， 所采用的工具是偏相关系数（净相关系数）。
偏相关分析的主要用途是根据观测资料应用偏相 关分析计算偏相关系数，可以判断哪些解释变量对 被解释变量的影响较大，而选择作为必须考虑的解 释变量。这样在计算多元回归分析时，只要保留起 主要作用的解释变量，用较少的解释变量描述被解 释变量的平均变动量。
(7.7)
偏相关系数的取值范围及大小含义与相关系数相 同。
2、对样本来自的两总体是否存在显著的偏相关 进行推断。
（1）提出原假设：两总体的偏相关系数与零无显 著差异。
（2）选择检验统计量。偏相关系数的检验统计量 为 t 统计量。 （3）计算检验统计量的观测值和相伴概率 p 。
（4）给定显著性水平 ，并作出决策。如果相 伴概率值小于或等于给定的显著性水平，则拒绝 原假设；如果相伴概率值大于给定的显著性水平， 则不能拒绝原假设。
（二）偏相关系数在SPSS中的实现
1、建立或打开数据文件后，进入Analyze→ Correlate →Partial主对话框，如图7-6所示。
图7-6 偏相关分析主对话框
2、选择分析变量送入Valiables框，选择控制变
量进入Controlling for框。
3、在Test of Significance 栏中选择输出偏相
图7-7 偏相关分析的选项对话框
（1）Statistics 统计量选择项，有两个选项： ①
Means and standard deviations 复选项，要求
SPSSZero-order correlations 复选项，要求显示零阶
第七章相关分析和回归分析
第七章相关分析和回归分析相关分析和回归分析是统计学中常用的数据分析方法。
相关分析主要用于探索两个或多个变量之间的关系，回归分析则可以用来建立一个或多个自变量和因变量之间的数学模型。
在实际应用中，相关分析和回归分析常常被用来研究和预测变量之间的关系，为科学研究和决策提供数据支持。
首先，相关分析旨在评估两个或多个变量之间的线性关系。
它使用统计指标，如相关系数，来衡量变量之间的关联程度。
相关系数的取值范围从-1到1，0表示无关，正值表示正向关系，负值表示负向关系。
相关分析可以帮助我们了解变量之间的关系强度和方向，进而指导我们进行进一步的解释和预测。
举个例子，假设我们想研究体重和身高之间的关系。
我们可以收集一组样本数据，其中包含人们的身高和体重数据。
通过进行相关分析，我们可以计算出身高和体重之间的相关系数。
如果相关系数接近1，我们可以得出结论说身高和体重之间存在较强的正向关系，即身高越高，体重越重。
如果相关系数接近0，则两个变量之间没有明显的关系。
然而，相关分析并不能确定起因关系。
它只能告诉我们变量之间的关联程度，但不能确定其中一个变量是否导致了另一个变量的变化。
为了进一步研究因果关系，我们可以使用回归分析。
回归分析旨在建立一个或多个自变量与因变量之间的关系模型。
它通过拟合数据并计算出最佳拟合线来描述自变量和因变量之间的关系。
回归模型的核心是回归方程，它可以用来预测因变量在不同自变量变化时的取值。
举个例子，我们可以使用回归分析来建立一个体重和身高之间的关系模型。
我们可以选择身高作为自变量，体重作为因变量。
通过回归分析，我们可以得到一个回归方程，例如体重=2*身高+10。
这个回归方程告诉我们，身高每增加1个单位，体重可以预计增加2个单位。
我们可以使用这个回归方程来预测一些身高下的体重。
总结起来，相关分析和回归分析是统计学中常用的数据分析方法。
相关分析可以帮助我们了解变量之间的关联程度，而回归分析可以用于建立自变量和因变量之间的关系模型。
第7章 相关与回归分析。
第七章相关与回归分析学习内容一、变量间的相关关系二、一元线性回归三、线性回归方程拟合优度的测定学习目标1. 掌握相关系数的含义、计算方法和应用2. 掌握一元线性回归的基本原理和参数的最小二3. 掌握回归方程的显著性检验4. 利用回归方程进行预测5. 了解可化为线性回归的曲线回归6. 用Excel 进行回归分析一、变量间的相关关系1. 变量间的关系（函数关系）1)是一一对应的确定关系。
2)设有两个变量x和y，变量y 随变量x一起变化，并完全依赖于x，当变量x 取某个数值时，y依确定的关系取相应的值，则称y 是x的函数，记为y = f (x)，其中x 称为自变量，y 称为因变量。
3)各观测点落在一条线上。
4）函数关系的例子–某种商品的销售额(y)与销售量(x)之间的关系可表示为 y = p x (p 为单价)。
–圆的面积(S)与半径之间的关系可表示为S = π R2。
–企业的原材料消耗额(y)与产量x1、单位产量消耗x2、原材料价格x3间的关系可表示为y =x1 x2 x3。
单选题下面的函数关系是（）A、销售人员测验成绩与销售额大小的关系B、圆周的长度决定于它的半径C、家庭的收入和消费的关系D、数学成绩与统计学成绩的关系2. 变量间的关系（相关关系）1)变量间关系不能用函数关系精确表达。
2)一个变量的取值不能由另一个变量唯一确定。
3)当变量 x 取某个值时，变量 y 的取值可能有几个。
4)各观测点分布在直线周围。
5）相关关系的例子–商品的消费量(y)与居民收入(x)之间的关系。
–商品销售额(y)与广告费支出(x)之间的关系。
–粮食亩产量(y)与施肥量(x1)、降雨量(x2)、温度 (x3)之间的关系。
–收入水平(y)与受教育程度(x)之间的关系。
–父亲身高(y)与子女身高(x)之间的关系。
3. 相关图表1)相关表：将具有相关关系的原始数据，按某一顺序平行排列在一张表上，以观察它们之间的相互关系。
2)相关图：也称为分布图或散点图，它是在平面直角坐标中把相关关系的原始数据用点描绘出来，通常以直角坐标轴的横轴代表自变量x，纵轴代表因变量y。
第七章相关与回归分析
第七章 相关与回归分析一、本章学习要点（一）相关分析就是研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定函数来表达现象相互关系的方法。
现象之间的相互关系可以分为两种，一种是函数关系，一种是相关关系。
函数关系是一种完全确定性的依存关系，相关关系是一种不完全确定的依存关系。
相关关系是相关分析的研究对象，而函数关系则是相关分析的工具。
相关按其程度不同，可分为完全相关、不完全相关和不相关。
其中不完全相关关系是相关分析的主要对象；相关按方向不同，可分为正相关和负相关；相关按其形式不同，可分为线性相关和非线性相关；相关按影响因素多少不同，可分为单相关和复相关。
（二）判断现象之间是否存在相关关系及其程度，可以根据对客观现象的定性认识作出，也可以通过编制相关表、绘制相关图的方式来作出，而最精确的方式是计算相关系数。
相关系数是测定变量之间相关密切程度和相关方向的代表性指标。
相关系数用符号“γ”表示，其特点表现在：参与相关分析的两个变量是对等的，不分自变量和因变量，因此相关系数只有一个；相关系数有正负号反映相关系数的方向，正号反映正相关，负号反映负相关；计算相关系数的两个变量都是随机变量。
相关系数的取值区间是［－1，＋1］，不同取值有不同的含义。
当1||=γ时，x 与y 的变量为完全相关，即函数关系；当1||0<<γ时，表示x 与y 存在一定的线性相关，||γ的数值越大，越接近于1，表示相关程度越高；反之，越接近于0，相关程度越低，通常判别标准是：3.0||<γ称为微弱相关，5.0||3.0<<γ称为低度相关，8.0||5.0<<γ称为显著相关，1||8.0<<γ称为高度相关；当0||=γ时，表示y 的变化与x 无关，即不相关；当0>γ时，表示x 与y 为线性正相关，当0<γ时，表示x 与y 为线性负相关。
皮尔逊积距相关系数计算的基本公式是： ∑∑∑∑∑∑∑---==])(][)([22222y y n x x n y x xy n y x xy σσσγ 斯皮尔曼等级相关系数和肯特尔等级相关系数是测量两个等级变量（定序测度）之间相关密切程度的常用指标。
统计学第七章 相关与回归分析
（四）按变量之间的相关程度分为完全相关、不完全相 关和不相关。
二、相关关系的测定
（一）定性分析，相关表，相关图 判断现象间有无相关关系是一个定性认 识问题，单纯依靠数学方法是无法解决的。 因此，进行相关分析必须以定性分析为前 提，这就要求研究人员首先必须根据有关 经济理论，专业知识，实际经验和分析研 究能力等。对被研究现象在性质上作出定 性判断。 相关表是将相关变量的观察资料，按照 其对应关系和一定顺序排列而成的表格。
Se
y
2
a y b xy n2
(7－ 12)
这个公式可以直接利用前面计算回归系 数和相关系数的现成资料。以表7－1的资 料计算如下：
Se y 2 a y b xy n2 56615-30.3 731-28.36 1213 10 2 65.02 8 2.85 (万件）
2
或
y- y R＝ 1－ 2 y y
ˆ 式中，y 为y的多元线性趋势值或回归估计值。
若变量间呈曲线（非直线）相关，则应
计算相关指数来测定变量间相关的密切程度。
ˆ y y y y
2 2
Ryx
( 7－7）
R
ˆ y y
由表7－4资料计算相关系数如下：
r
n xy x y n x x
2 2
n y y
2 2
2
10 1213－15.1 731
2
10 26.25－15.1 10 56615－731 1091.9 1091.9 38.49 31789 6.2 178.3 1091.9 0.988 1105.5
第7章--相关与回归分析课件PPT
表7-3是每年相同季节波音737飞机在12条500公里 的不同航线不同乘客数时的飞行成本。我们用这些数 据以乘客数作为自变量构造模型来预测成本。
23
24
y 0 1x
y ：因变量（随机变量）
x ：自变量（给定变量）
0、1 ：参数
（7.4）
：误差项（随机变量），含义为说明在 y 中不能
关系数。
r
n xy x y
n x2 x2 n y2 y2
101629 - 30 510
10110 - 302 10 26576 - 5102
990 0.93 1063.9548
13
2.相关系数的应用 a.相关系数的取值范围
r 的取值在-1和1之间，即 r 1
b.正负相关的判断 当 r >0时为正相关；当 r <0时为负相关。
R2 SSR 2.79775 0.899 SST 3.11209
54
这就是说，在一条商业航线上一架波音737飞机 飞行成本的方差中有89.9%可以被乘客数目说明或预 测，换句话说，飞行成本Y的方差中不能由X或回归 方程解释的有10.1%。
55
估计标准误：是对各观测数据在回归直线周围分散
程度的一个度量值，它是对误差项ε的标准差σ的估计。
yˆ ：y 的估计值
b0 ：0 的估计值
b1 ： 1 的估计值
（7.7）
32
33
最小平方法，也称最小二乘法，是将回归模型的 方差之和最小化，以得到一系列方程，从这些方程中 解出模型中需要的参数的一种方法。
34
（一）画散点图，以初步观察成本与乘客数量之间 是否呈回归直线。
35
（二）建立估计回归方程
n
第七章相关分析与回归分析资料
1
-4.7 22.09
-3.6 12.96 16.92
2
-2.3
5.29
-1.4
1.96
3.22
3
4.4 19.36
5.1 26.01 22.44
4
13.2 174.24
14.5 210.25 191.4
5
20.2 408.04
22.3 497.29 450.46
6
24.2 585.64
26.9 723.61 650.98
＝
- 23 848.21 1 549.56 17.03
0.903
5
53
rvy
(vi v )(yi y)
i 1
53
53
(vi v )2
( yi y)2
60 527.59 16 274170.60 290.19
i 1
i 1
60 527.59
＝
0.880 8
4 034.13 17.03
地理要素间的相关类型
根据相关所涉及变量的多少，相关关系分为单相关与复相关。 两个变量之间的相关关系称为单相关；多个变量之间的相关 关系称为复相关。
根据相关的形式不同，相关关系分为线性相关与非线性相关。 如果变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称为线性相 关；如果变量之间的关系近似地表现为一条曲线，则称为非 线性相关或曲线相关。
资料来源：.tw/V4/climate/wta_station/wta20.htm
(1) 根 据 表 3.1.1 中 的 数 据 ， 我 们 可 以 利用公式（3.1.1），计算伦敦市月平均气
温（t）与降水量(p)之间的相关系数
12
rtp
统计学 第 七 章 相关与回归分析
（一）回归分析与相关分析的关系
回归分析与相关分析是研究现象 之间相互关系的两种基本方法。
区别：
1、相关分析研究两个变量之间相关的 方向和相关的密切程度。但是相关分析不 能指出两变量相互关系的具体形式，也无 法从一个变量的变化来推测另一个变量的 变化关系。
2、按研究变量多少分为单相关和 复相关
单相关即一元相关，亦称简单相 关，是指一个因变量与一个自变量 之间的依存关系。复相关又称多元 相关，是指一个因变量与两个或两 个以上自变量之间的复杂依存关系。
3、按相关形式分为线性相关和非 线性相关
从相关图上观察：观察的样本点的 分布近似表现为直线形式，即观察点近 似地分布于一直线的两边，则称此种相 关为直线相关或线性相关。如果这些样 本点近似地表现为一条曲线，则称这种 相关为曲线相关或非线性相关(curved relationship).
不确定性的统计关系 —相关关系
Y= f（X）+ε (ε为随机变量)
在这种关系中，变量之间的关系值 是随机的，当一个（或几个）变量的值 确定以后，另一变量的值虽然与它（们） 有关，但却不能完全确定。然而，它们
之间又遵循一定的统计规律。
相关关系的例子
▪ 商品的消费量(y)与居民收入(x)
之间的关系
▪ 商品销售额(y)与广告费支出(x)
▲相关系数只反映变量间的线性相关程度，不 能说明非线性相关关系。
▲相关系数不能确定变量的因果关系，也不能 说明相关关系具体接近于哪条直线。
例题1: 经验表明：商场利润额与 其销售额之间存在相关关系。下表为 某市12家百货公司的销售额与利润额 统计表，试计算其相关系数。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
23
二、回归模型和回归方程
y 0 1x
y ：因变量（随机变量）
x ：自变量（给定变量）
0、1 ：参数
（7.4）
：误差项（随机变量），含义为说明在 y 中不能
被 x 和 y之间线性关系解释的变异性。
24
在有关 假设中，有一个假设就是的期望值
或均值等于0，即
E 0
（7.5）
如果简单线性回归模型满足了这个条件，那
12 73764 9302
12
2.相关系数的应用 a.相关系数的取值范围
r 的取值在-1和1之间，即 r 1
b.正负相关的判断 当 r >0时为正相关；当 r<0时为负相关。
13
c.相关密切程度的判断 当 r 1 时，相关关系越密切，当 r 1
说明X与Y之间完全相关，即函数关系；当 rxy 0 时，
相关关系越不密切，当 =r0，说明X与Y之间不存在
33
（一）画散点图，以初步观察成本与乘客数量之间 是否呈回归直线。
34
（二）建立估计回归方程
yˆi b0 b1xi i 1，2，，12 （7.8）
最小平方法运用样本数据求出 b0和 b1 的值，使
得因变量的实际观察值 yi与其估计值 yˆi之差的平方
和最小，即
yi yˆi 2 min （7.9）
35
(三)估计回归方程斜率和截距的计算公式
b1
xi yi x y
x2
2
nx
b1
n xi yi xi
n x2 x2
yi
b0 y b1 x
7.10 a 7.10 b
（7.11）
36
37
b1
n
xi yi n x2
xi yi x2
12 4462.220 930 56.690
16
第二节 简单线性回归模型
17
只涉及两个变量（一个自变量和一个因变量）之 间关系的回归分析称为简单回归分析。
两个变量之间的关系大约呈一条直线的简单回归 分析称为简单线性回归分析。
18
一、从一个实际问题入手
用回归分析可以预测运行一条商业航空线的成本 吗？
如果可以，那么哪些变量与这一成本有关呢？
么就意味着 y 的均值或期望值就是一个线性函数。
描述 y 的均值与 x 的关系如何的方程称为
回归方程。
25
Ey 0 1x
在简单线性回归中
（7.6）
1.回归方程的图形是一条直线（如图7.3所示）；
26
27
2. 0 ：y 的截距；
3.
：斜率（回归系数）；
1
1 的含义：当自变量 x给定一个具体变动值时，因 变量 y 平均变化的量。
广告次数
销售额（百元）
1
38
1
41
2
46
2 3 3 4
50 48 54
4
54
5
59
5
63
6
二、双变量相关关系的测度方法
（二）相关图法
销售量（百美元）
70
60
50
40
30
20
10
0
0
2
4
6
广告次数
图7-1 立体声音响设备商店数据散点图
7
二、双变量相关关系的测度方法
（三）相关系数法 相关系数是用以衡量两变量间线性相关关系情
第7章 相关与回归分析
1
一、双变量相关关系的含义和种类
（一）双变量相关关系的含义
函数关系
相关关系
现象之间确定性的 数量依存关系
现象之间非确定性的 数量依存关系
2
一、双变量相关关系的含义和种类
（二）双变量相关关系的种类
相 相关方向 关 关 相关形式 系 的 种 类 相关程度
正相关和负相关
线性相关和 非线性相关
19
飞机型号
飞行距离 乘客数量
行李或货物重量
飞机运行成本
天气状况
……
20
为了减少自变量个数，我们做如下假定： 飞机类别——波音737飞机 飞行距离——500公里 航线——可比，而且在每年的相同季节 在这种条件下，可以用乘客数来预测飞行的成 本吗？
21
表7-3是每年相同季节波音737飞机在12条500公里 的不同航线不同乘客数时的飞行成本。我们用这些数 据以乘客数作为自变量构造模型来预测成本。
总体数据的相关系数
xy xy
(7.3)
11
[7-2] 根据表7-2相关数据，利用样本数据计算相
关系数。
r n x y x y
n x 2 x 2n y 2 y 2
1 016-2 39 0510
1 011-3 00 2 1 0265 -5716 20
990 0.93 106.93548
直线相关关系，但也许存在非线性相关关系。
14
在做具体判断时，有几个数量标准： r 0.3，称为微弱相关。一般情况下，将其视为 没有线性相关关系； 0.3≤ r 0.5，称为低度相关；
0.5≤ r 0.8 ，称为显著相关；
0.8≤ r 1 ，称为高度相关。
15
对上面计算结果的统计分析
计算结果表明，歌乐立体音响设备商店在过去 10周内，周末所做的广告次数与下一周的销售额之 间存在着高度线性正相关关系。
（一）相关表法 1.编制原始数据表如下表 7-1 立体声音响设备商店的原始数据
周次
广告次数
下一周销售额（百元）
1
2
2
5
50
3
1
57
4
3
41
5
4
54
6
1
54
7
5
38
8
3
63
9
4
411
46
5
二、双变量相关关系的测度方法
2.将原始数据表编制成相关表
表7-2 立体声音响设备商店的广告次数与销售额相关表
28
29
30
三、估计回归方程
估计回归方程 就是用样本统计量作为参数的 估计值所建立的回归方程。
yˆ b0 b1x
yˆ ：y 的估计值
b0 ：0 的估计值
b1 ： 1 的估计值
（7.7）
31
32
四、 最小平方法
最小平方法，也称最小二乘法，是将回归模型的 方差之和最小化，以得到一系列方程，从这些方程中 解出模型中需要的参数的一种方法。
完全相关、不完 全相关和不相关
3
二、双变量相关关系的测度方法
【例7-1】歌乐音响设备商店于2014年7~9三个 月份中，连续10周使用了周末电视广告来提高商店的 销售额。商店经理想调查这段时间内播出的广告次数 和店内销售额之间是否存在某种关系。
问题：如果该经理将这项工作交给你，你该怎 样做呢？
4
二、双变量相关关系的测度方法
况下，相关方向和密切程度的相对数。
8
二、双变量相关关系的测度方法
1.相关系数的计算 样本相关系数的定义公式
rxy
s xy sxsy
(7.1)
9
2
sx
xi x n 1
2
sy
yi y n 1
10
样本数据的简捷公式
r
n x y x y
n x2 x2 n y2 y2
(7 .2 )