感悟课改理念洞察教材意图开展解题教学--从空间向量安排在立几中的先后次序说起

本文系全国教育科学规划教育部重点课题（立项批准号GOA１０７０１７）＂小学生数感的发展与特征研究及课程设计＂；福建省＂十二五＂规划２０１３年度课题（立项批准号：FJJKXB１３‐０８３）＂优化学生思维品质的魅力数学课堂模式研究＂及厦门市２０１３年第三批课改课题（立项批准号：Z３０４２）＂数学构造思想方法优化学生思维品质的实践研究＂的阶段性成果．

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感悟课改理念洞察教材意图开展解题教学

———从空间向量安排在立几中的先后次序说起福建省厦门第一中学　王淼生 （邮编：３６１００３）

1　不同版本教科书对立几内容的安排对于立几内容的安排，不同版本教科书有不同的意图，笔者有幸使用过多种版本的教科书，让我们一起欣赏并审视不同版本教科书所折射的理念，以便有效开展解题教学．１．１　北师大版教科书的安排对于立体几何的教学内容，２００３年北京师范大学出版社出版的全日制高级中学课本（必修）数学第二册（下）（以下简称文［１］）是这样安排的．目录如下：第十章　立体几何§１平面的基本性质（１．１平面的基本性质；１．２基本性质的推论）§２空间的平行关系（２．１空间的平行直线与异面直线；２．２直线与平面平行；２．３平面与平面的平行关系；２．４平行射影）§３空间向量（３．１空间向量及其线性运算；３．２共线向量与共面向量；３．３空间向量分解定理；３．４两个向量的内积；３．５空间向量的直角坐标运算）§４垂直、夹角和距离（４．１直线与平面垂直的判定；４．２直线垂直于平面的性质与镜面对称；４．３正射影与三垂线定理；４．４直线与平面所成的角；４．５二面角、平面与平面垂直；４．６距离）§５简单多面体和球（５．１棱柱；５．２棱锥；５．３直棱柱直观图和正棱锥直观图的画法；５．４正多面体；５．５球）１．２　大纲版教科书的安排对于立体几何的教学内容，２００４年人民教育出版社出版的全日制普通高级中学教科书（必修）数学第二册（下B）（以下简称文［２］）是这样安排的，目录如下：第九章　直线、平面、简单几何体一　空间的直线与平面（９．１平面的基本性质；９．２空间的平行直线与异面直线；９．３直线和平面平行与平面和平面平行；９．４直线与平面垂直）二　空间向量（９．５空间向量及其运算；９．６空间向量的坐标运算）三　夹角与距离（９．７直线与平面所成的角与二面角；９．８距离）四　简单多面体与球（９．９棱柱与棱锥；９．１０球）１．３　新课标人教A版的安排对于立体几何的教学内容，２００７年人民教育出版社的普通高中课程标准试验教科书（必修A版）数学２（以下简称文［３］）是这样安排的，目录如下： 第一章　空间几何体１．１空间几何体结构；１．２空间几何体的三视图和直观图；１．３空间几何体表面积与体积第二章　点、直线、平面之间的位置关系２．１空间点、直线、平面之间的位置关系；２．２直线、平面平行的判定及其性质；２．３直线、平面垂直的判定及其性质 第三章　直线与方程３．１直线的倾斜角与斜率；３．２直线的方程；３．３直线的交点坐标与距离公式

１２０１４年第５期中学数学教学 第四章　圆的方程４．１圆的方程；４．２直线、圆的位置关系；４．３空间直角坐标系与此同时，新课标人教A版教科书将空间向量的有关应用特别安排在另一个模块，即２００７年人民教育出版社的普通高中课程标准试验教科书（选修）数学２－１（以下简称文［４］）是这样安排的．目录如下：第三章　空间向量与立体几何３．１空间向量及其运算；３．２立体几何中的向量方法１．４　不同版本教科书折射的理念不难看出文［１］与文［２］对立几教学内容的安排，尽管从表面上看有些差异，其本质是一致的，都是将空间向量穿插在立几中间，其理念就是为了运用空间向量知识来解决立几中平行、垂直、夹角和距离问题，用坐标运算即代数的方法来解决几何问题．说到底文［１］与文［２］就是直接把空间向量作为解决立几问题的工具，从而实现对空间图形性质的研究代数化，用向量代数方法研究空间图形的性质．立几内容是高中数学重要组成部分，新课标教科书对立几作了重大的结构调整和教学要求改变．老实说，刚刚使用文［３］时，中学一线不少教师难以理解文［３］中对立几教学内容的安排．按常理，文［３］中的“４．３空间直角坐标系”应该安排在第二章的后面，即“２．４空间直角坐标系”，可出乎所有教师的意料的是将“空间直角坐标系”安排在解几中的圆的位置关系后面，这的确让人费解！更让人难以理解的是：既然引入空间直角坐标系，按理说，应该紧接着安排空间向量的应用，可是却安排在另一个模块，即选修２－１（文［４］），为何这样安排呢？有何目的呢？折射何种理念呢？我个人认为文［３］、文［４］之所以这样安排，主要有以下两点考虑，其一，作为平面图形中最简单的直线与圆从初中的纯粹“形”上研究，即定性研究，到了高中需要定量研究，怎样定量呢？自然从代数上考查，因此建立平面直角坐标系，即坐标法．坐标法就是以坐标系为桥梁，将几何问题转化为代数问题，通过精确的代数运算研究几何图形性质的方法，这是解几的精髓．正因为平几问题可以借助平面直角坐标系，那么对于空间几何图形当然可以借助空间直角坐标系来加以精确研究成为理所当然；其二，文［３］、文［４］之所以没有象文［１］、文［２］那样将空间向量知识插在立几教学内容中间，是在发出一个强烈的信号：空间向量坐标运算并不是立几教学中必备知识点，更不是非要借助坐标运算来替代立几中的逻辑推理，而是把向量坐标运算作为论证立几问题中的一种有益的方法而已，是作为论证立几问题方法的一种补充．正是因为出于这样的理念，因此文［３］没有象文［１］与文［２］那样立即举例应用向量坐标运算来论证空间中的平行、垂直及其求解角度、距离等．纵观文［３］、文［４］的布局，不难看出它们出发点大相径庭．文［１］与文［２］是从局部———整体、从微观———宏观、从零部件———整体的安装，而文［３］定位于培养和发展学生的几何直观能力、空间想象能力和推理论证能力，在处理方式上则是按照“整体———局部———整体”的理念与原则来展开，突出直观感知、操作确认、思辨论证、度量计算等探究研究几何的过程．因此文［３］则是先从生活经验入手，让学生回顾生活中的空间几何图形，从整体到局部、从直观感知入口，淡化逻辑证明，强调直观感知、倡导操作确认、适当思辨论证、有效度量计算．这样的安排与理念让学生更容易迈进空间几何的“门槛”、更能培养空间想象能力，优化学生的思维品质，提升学生学习数学的积极性，激发学生强烈的求知欲．2　新课标下如何开展立几例题教学

人教版教科书主编章建跃先生在多种场合、多次讲座、多篇文章（如文［５］）中语重心长地谈到有效的解题教学，强调解题教学应该在概念上狠下功夫，当然首先应该顺应课改理念，吃透教材意图，正如波利亚指出：“一个专心认真备课的教师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个侧面，通过这道试题就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域．”２．１　一个例题如图１所示，正方形ABCD与正方形ABEF所在的平面垂直且相交于AB，在对角线AE、BD上各有一点P、Q，且AP＝DQ．求证：PQ

２中学数学教学２０１４年第５期∥平面BCE．图１２．２　构思过程证法1　过P在平面ABEF内作PM∥AB交

BE于M，过Q在平面ABCD内作QN∥AB交BC于N，连接MN，如图２所示．由于正方形ABCD与正方形ABEF有公共边AB并结合已知条件可得AE＝BDAP＝DQ痴PE＝QB．图２由上述作图过程便知PM∥AB∥QN，利用三角形相似性质可得PMAB＝PEAE＝QBBD＝QNDC痴PMAB＝QNDC痴PM＝QN痴PM∥QN，PM＝QN痴PMNQ为平行四边形痴PQ∥MN．依据线面平行的判定定理可得PQ∥MNPQ锄平面BCEMN炒平面BCE痴PQ∥平面BCE．证法2　连接AQ并延长AQ交线段BC（或延长线）于K，连接EK，如图３所示，则由已知条件并结合证法１可得APPE＝DQQB＝AQQK痴APPE＝AQQK痴PQ∥EK．图３依据线面平行的判定定理可得PQ∥EKPQ锄平面BCEEK炒平面BCE痴PQ∥平面BCE．评注　证法１、证法２是在平面BCE内具体寻找到与PQ平行的直线，也就是展示具体的操作过程，那么对于有些立几试题确实很难或者说短时间内很难寻觅到这样的平行线，怎么办呢？此时我们转换思维方式，即将该直线妥善“安顿”在一个平面内，也就是寻找（构造）一个平面，使得面面平行，这种“曲线救国”的方法非常管用，请看：证法3　过P作PM∥EB交AB于M，连接QM，如图４所示．由相似性质可得AMMB＝APPE＝DQQB痴

AMMB＝DQQB痴QM∥AD∥BC．

图４依据线面平行的判定定理可得PM∥BE

PM锄面BCEBE炒面BCE痴

PM∥面BCE，QM∥BCQM锄面BCEBC炒面BCE痴QM∥面BCE．

再依据面面平行的判断定理可得PM∥面BCE

QM∥面BCEPM∩QM＝M痴面PQM∥面BCE痴

面PQM∥面BCEPQ炒面PQM痴PQ∥面BCE．

证法4　连接DE，并在DE上取一点M，使得DQQB＝DMME，连接PM、QM，如图５所示．由

初中的平面几何知识易得DQQB＝DMME＝APPE痴QM∥BE，

PM∥AD∥BC．（下同证法３）

图５评注　证法３、证法４关键在于依据题意和图形构建新的平面而绕过寻找具体的平行线．对于有些问题，既难以找到平行线又不易构建新的平面，那该如何寻找入手的切口呢？我们知道对于立几问题来说最为重要的信息就是图形．只要仔细观察图形就可以从中挖掘有利的信息．由于本题图形中含有两个全等的正

３２０１４年第５期中学数学教学