空间向量运算的坐标表示教学设计
《空间向量运算的坐标表示》说课稿
《空间向量运算的坐标表示》——说课稿各位评委、老师：大家好！今天我说课的内容是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，我将从教材分析、教学目标、学生情况、教法学法分析、教学过程、教学效果及反思六个方面来介绍:一、教材分析（一)地位和作用本节课内容选自人教数学选修2—1第三章，这节课是在学生学习了空间向量几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识内容，是在学生已经学过的二维的平面直角坐标系的基础上的推广,是《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是以后学习“立体几何中的向量方法"等内容的基础.它将数与形紧密地结合起来.这节课学完后，如把几何体放入空间直角坐标系中来研究，几何体上的点就有了坐标表示，一些题目如两点间距离、异面直线成的角等就可借助于空间向量来解答，所以，这节课对于沟通高中各部分知识，完善学生的认知结构,起到了很重要的作用。
(二)目标的确定及分析根据新课标和我对教材的理解,结合学生实际水平，从知识与技能；过程和方法；情感态度价值观三个层面出发，我将本课的目标定位以下三个：(1）知识与技能：通过与平面向量类比学习并掌握空间向量加法、减法、数乘、数量积运算的坐标表示以及向量的长度、夹角公式的坐标表示,并能初步应用这些知识解决简单的立体几何问题.（2）过程与方法：①通过将空间向量运算与熟悉的平面向量的运算进行类比，使学生掌握空间向量运算的坐标表示，渗透类比的数学方法;②会用空间向量运算的坐标表示解决简单的立体几何问题，体会向量方法在研究空间图形中的作用，培养学生的空间想象能力和几何直观能力.(3)情感态度价值观：通过提问、讨论、合作、探究等主动参与教学的活动,培养学生主人翁意识、集体主义精神。
（三）重难点的确定及分析本节课的重点是：空间向量运算的坐标表示,应用向量法求两条异面直线所成角及线线垂直问题.本课的难点是：建立恰当的空间直角坐标系，正确求出点的坐标及向量的坐标，把空间向量运算的坐标公式运用到立体几何问题中。
空间向量及其运算的坐标表示(单元教学设计)高中数学新教材选择性必修第一册
第三单元空间向量及其运算的坐标表示一、内容和内容解析（一）内容空间直角坐标系，空间向量运算的坐标表示，向量平行和向量垂直时坐标之间的关系，向量长度公式的坐标表示、两向量夹角公式的坐标表示，以及空间两点间的距离公式.（二）内容解析内容本质：本单元的内容本质就是建立向量的坐标与点的坐标之间的一一对应关系，从而把空间向量的运算转化为数的运算.用空间直角坐标系刻画点的位置，建立空间向量及其运算的坐标表示，用这些知识解决简单的立体几何问题..蕴含的思想方法：在解决立体几何问题时，通过建立空间直角坐标系，可以把空间向量及其运算转化为数及其运算，从而可以将几何问题完全“代数化”，得到用空间向量解决立体几何问题的“坐标法”。
类比平面向量运算的坐标表示，到空间向量的坐标表示，蕴含了类比与转化的思想；把立体几何中的平行垂直和距离夹角问题转化为代数运算，体现了数形结合的数学思想方法.知识的上下位关系：在空间向量基本定理的基础上，找到一个特殊的“基底”：单位正交基底.同时为用空间向量解决空间距离、夹角问题等空间向量的应用做准备，让学生进一步体会用空间向量解决立体几何问题的思想和方法.通过类比平面向量及其运算的坐标表示，从而引入空间向量及其运算的坐标表示，为学生学习立体几何提供了新的方法和新的观点，为培养学生思维提供了更广阔的空间，在学生学习了空间向量的几何形式和运算，以及在空间向量基本定理的基础上进一步学习空间向量的坐标运算及其规律，是平面向量的坐标运算在空间的推广和拓展，为运用向量坐标运算解决几何问题奠定了知识和方法基础。
育人价值：在通过空间向量运算的坐标表示的学习中，采用类比方法，引导学生经历由平面推广到空间的过程，发展学生的数学思维和直观想象能力，提升学生的数学运算和直观想象的学科核心素养.基于以上分析，本单元的教学重点：掌握空间向量的坐标运算二、目标及其解析（一）单元目标1.了解空间直角坐标系理解空间向量的坐标表示；2.掌握空间向量运算的坐标表示；3.掌握空间向量垂直与平行的条件及其应用；4.掌握空间向量的模夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题.（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.理解空间直角坐标系建立的必要性，理清空间向量的坐标与空间点的坐标的关系；2.会类比平面向量运算的坐标表示，推导出空间向量运算的表示；3.能够用空间向量运算的坐标表示立体几何中垂直与平行关系，使几何关系“代数化”；4.能熟练地将空间向量的运算与向量的坐标表示结合起来，解决夹角和距离的计算问题.三、教学问题诊断分析学生在平面向量中已经对坐标表示进行过完整的学习，平面向量与空间向量都属于向量，平面向量是二维向量，空间向量是三维向量，两者有密切的联系.空间向量是平面向量的推广，两者除维数不同外，在概念、运算及其几何意义、坐标表示等方面具有一致性;平面向量基本定理与空间向量基本定理在形式上也具有一致性，但是讨论对象由二维图形变为三维图形，需要学生的空间想象能力.破解方法：在教学中，做好平面向量相关知识的复习，利用平面向量基本定理和空间向量基本定理的类比，准确把握立体图形代数化的条件及其思想方法，学生经历必要的解题训练，；通过几何图霸等教学软件，提升学生的空间想象能力，增强常用基本立体图形代数化的熟练程度，几何问题用向量形式表示，通过向量的运算，得出相应几何结论.四、教学支持条件分析1.向量方法有别于综合几何方法，综合几何方法是借助图形直观，从公理、定义和定理等出发，通过逻辑推理解决几何问题;而向量方法则是用向量表示几何元素，通过向量运算得到几何问题的解决，要求学生对第一单元空间向量及其运算和第二单元空间向量基本定理充分理解和熟练掌握.利用向量方法解决立体几何问题的“三步曲”，在解决几何问题时具有程序性、普适性.2.硬件支持是导学案和多媒体，如果是pad智慧课堂更好.五、课时分配设计本单元共2课时，具体分配如下：第1课时，空间直角坐标系第2课时，空间向量运算的坐标表示。
人教版高中数学教案-空间向量运算的坐标表示
3. 1.5空間向量運算的座標表示教學目標1．能用座標表示空間向量，掌握空間向量的座標運算。
2．會根據向量的座標判斷兩個空間向量平行。
重、難點1．空間向量的座標表示及座標運算法則。
2．座標判斷兩個空間向量平行。
教學過程：（一）複習上一節內容（二）新課講解：設a ＝),,(321a a a ，b ＝),,(321b b b(1) a ±b ＝ 。
(2) λa ＝ ．(3) a ·b ＝ ．(4) a ∥b ⇔ ；a ⊥b ⇔ ．（5）模長公式：若123(,,)a a a a =， 則222123||a a a a a a =⋅=++ （6）夾角公式：112233222222123123cos ||||a b a b a b a b a b a b a a a b b b ++⋅⋅==⋅++++． （7）兩點間的距離公式：若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，則2222212121||()()()AB AB x x y y z z ==-+-+-(8) 設),,(),,,(222111z y x B z y x A ==則AB ＝ ，=AB ．AB 的中點M 的座標為 ．例題分析：例1、（1）已知兩個非零向量a =（a 1，a 2，a 3），b =（b 1，b 2，b 3），它們平行的充要條件是（ ）A. a ：|a |=b ：|b |B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0D.存在非零實數k ，使a =k b（2）已知向量a =（2，4，x ），b =（2，y ，2），若|a |=6，a ⊥b ，則x+y 的值是（ ）A. －3或1B.3或－1C. －3D.1（3）下列各組向量共面的是（ ） A. a =(1，2，3)，b =(3，0，2)，c =(4，2，5)B. a =(1，0，0)，b =(0，1，0)，c =(0，0，1)C. a =(1，1，0)，b =(1，0，1)，c =(0，1，1)D. a =(1，1，1)，b =(1，1，0)，c =(1，0，1)解析：（1）D ；點撥：由共線向量定線易知；（2）A 點撥：由題知⎪⎩⎪⎨⎧=++=++024*******x y x ⇒⎩⎨⎧-==3,4y x 或⎩⎨⎧=-=.1,4y x ；（3）A 點撥：由共面向量基本定理可得。
《空间向量运算的坐标表示》示范教案
3．1.5空间向量运算的坐标表示整体设计教材分析空间向量的坐标运算是在学生学习了空间向量的几何形式及其运算、空间向量基本定理的基础上进一步学习的知识，是平面向量坐标运算及其研究方法在空间的推广和拓展，沟通了代数与几何的关系，丰富了学生的认知结构，为学生学习立体几何提供了新的视角、新的观点和新的方法，给学生的思维开发提供了更加广阔的空间．为运用向量坐标运算解决立体几何问题奠定了知识和方法基础．学生已掌握了平面向量坐标运算及其规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算；数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺．所以通过教师的引导，学生的自主探索，不断地完善自我的认知结构．课时分配1课时教学目标知识与技能1．掌握空间向量的坐标运算规律；2．掌握空间向量平行与垂直的坐标表示；3．掌握空间向量的夹角与向量长度的坐标计算公式．过程与方法1．经历向量运算的坐标表示由平面到空间的类比过程，进一步熟悉类比、由一般到特殊的思维方法；2．通过空间向量坐标运算规律的探索，发展学生的空间想象能力、探究能力，进一步熟悉由直觉猜想到推理论证的思维方法，提高学生的科学思维素养．情感、态度和价值观通过教师的引导、学生的探究，激发学生的求知欲望和学习兴趣，使学生经历数学思维全过程，品尝到成功的喜悦．重点难点教学重点：1．空间向量的坐标运算；2．空间向量的夹角公式、距离公式的坐标表示；3．空间向量平行和垂直的条件的坐标表示．教学难点：1．向量坐标的确定；2．空间向量的夹角公式、距离公式和平行、垂直条件的应用．教学过程引入新课提出问题：在正方体的两个面内任取两点，如何求出这两点间的距离？请同学们积极思考并说出求解方案．活动设计：学生自由发言；教师板书记录．学情预测：学生可能回答：(1)可用尺子直接测量出来；(2)建立直角坐标系，求出A 、B 两点的坐标，再利用距离公式求出其模长．活动成果：因为上一节课已经学会了空间向量的坐标表示，所以建立空间直角坐标系后，向量MN →的坐标就可以表示出来，还须知道有了向量的坐标如何来求向量的模．设计意图：从实际问题引入，使学生了解数学来源于实际．同时教具的辅助作用，使新课的引入显得生动自然、易于接受．把实际问题抽象成数学模型是学生形成和掌握概念的前提，也是培养学生观察分析能力的重要一步．探究新知提出问题：我们已经知道了空间向量坐标表示的由来，也已经学会了空间向量的加减、数乘和数量积运算的定义，请根据平面向量的坐标运算规律，猜想空间向量的坐标运算规律，填写下表，并证明你的结论．活动设计：1.学生自己推算并自觉讨论；教师巡视并注意和学生交流；2．部分学生到黑板上板演证明过程；教师点评补充．学情预测：学生基本上都能够猜想出空间向量运算的坐标表示，大部分同学能够给出证明，对数量积运算的坐标表示可能存在困难．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，λ是实数，则 a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)； a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2，z 1－z 2)； λa ＝(λx 1，λy 1，λz 1)； a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.证明一：加法的坐标表示的证明∵ a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ＋b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )＋(x 2i ＋y 2j ＋z 2k ) ＝(x 1＋x 2)i ＋(y 1＋y 2)j ＋(z 1＋z 2)k ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2，z 1＋z 2)．证明二：空间向量的数量积的坐标表示的证明 ∵a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)， ∴a ·b ＝(x 1i ＋y 1j ＋z 1k )·(x 2i ＋y 2j ＋z 2k )＝x 1x 2i 2＋x 1y 2i ·j ＋x 1z 2i ·k ＋x 2y 1i ·j ＋y 1y 2j 2＋y 1z 2j ·k ＋z 1x 2k ·i ＋z 1y 2k ·j ＋z 1z 2k 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2.设计意图：引导学生大胆地“由旧猜新”，即由平面向量的公式猜想出空间向量相应的公式，让学生在猜想的过程中发现二维与三维的内在联系，并根据学生的实际情况进行有针对性的指导，对普遍出现的问题组织全班性的讨论．理解新知 提出问题：空间向量的平行、垂直关系，空间向量的夹角、模的公式应如何用坐标表示？ 活动设计：1.学生自己推演，教师巡视指导；2．部分学生在黑板上板演，教师点评并请学生修改补充．活动成果：设a ＝(x 1，y 1，z 1)，b ＝(x 2，y 2，z 2)，且a ≠0，b ≠0. 1．a ∥b 存在唯一确定的实数λ，使得x 1＝λx 2，y 1＝λy 2，z 1＝λz 2； 2. a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＋z 1z 2＝0；3.||a ＝ x 21＋ y 21＋ z 21；4．cos 〈a ，b 〉 ＝ x 1 x 2 ＋ y 1 y 2 ＋ z 1 z 2x 21＋ y 1 2 ＋ z 21x 22＋ y 22＋ z 22 . 设计意图：通过对公式的推导熟练坐标运算，增强学生应用向量坐标运算的意识． 运用新知 已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，(1)求A ，B 中点M 的坐标和||AB ；(2)求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件．思路分析：(1)要求A ，B 中点M 的坐标，就是求向量OM →的坐标，已知A ，B 两点的坐标，就是已知向量OA →，OB →的坐标，由向量的加减运算即可求出向量OM →的坐标；要求||AB ，就是求||AB →，只需求出向量AB →的坐标即可．(2)要求到A ，B 两点距离相等的点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 满足的条件，只需把到A ，B 两点距离相等这个条件用点P(x ，y ，z)的坐标x ，y ，z 表示出来即可．解：(1)∵M 为A ，B 的中点，∴OM →＝12(OA →＋OB →)＝12((3,3,1)＋(1,0,5))＝12(4,3,6)＝(2，32，3)．∴M 点的坐标为(2，32，3)．∵AB →＝OB →－OA →＝(1,0,5)－(3,3,1)＝(－2，－3,4)， ∴||AB→＝(－2)2＋(－3)2＋42＝29. ∴||AB ＝29.(2)∵点P(x ，y ，z)到A ，B 的距离相等， ∴||PA →＝||PB→. 又∵PA →＝(3－x,3－y,1－z)，PB →＝(1－x ，－y,5－z)，∴(3－x)2＋(3－y)2＋(1－z)2＝(1－x)2＋(－y)2＋(5－z)2， 整理得4x ＋6y －8z ＋7＝0.点评：利用空间向量解决立体几何问题的关键就是立体几何问题向空间向量的转化，转化以后，再利用空间向量的运算或其坐标运算解决即可．巩固练习已知长方体ABCO —A 1B 1C 1O 1，OA ＝OC ＝2，OO 1＝4，D 为BC 1与B 1C 的交点，E 为A 1C 1与O 1B 1的交点，则DE 的长度为________．答案： 5变练演编如图，在正方体ABCD —A ′B ′C ′D ′中，点E ′，F ′分别是A ′B ′，C ′D ′的一个四等分点．(1)求BE ′和DF ′所成角的余弦值.(2)能否利用向量求直线BD ′和平面ABCD 所成的角？你能否给出一个可行的方案？ (3)能否利用向量求二面角F ′ADC 的大小？你能否给出一个可行的方案？ 解：(1)不妨设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则 B(1,1,0)，E ′(1，34，1)，D(0,0,0)，F ′(0，14，1)．所以'BE ＝(1，34，1)－(1,1,0)＝(0，－14，1)，'DF ＝(0，14，1)－(0,0,0)＝(0，14，1)，|'BE |＝174，|'DF |＝174，'BE ·'DF ＝0×0＋(－14×14)＋1×1＝1516. 所以cos 〈'BE ，'DF 〉＝1516174×174＝1517.(2)方案一：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和BD →所成的角； 方案二：将直线BD ′和平面ABCD 所成的角转化为直线BD ′→和DD ′→所成的角的余角． (3)方案：二面角F ′ADC 的大小转化为'DF 和DC →所成的角．达标检测1．与向量a ＝(1,2,3)，b ＝(3,1,2)都垂直的向量为( )A ．(1,7,5)B ．(1，－7,5)C ．(－1，－7,5)D ．(1，－7，－5) 2．已知点A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC →＝25AB →，则点C 的坐标是( )A ．(－65，－45，－85) B. (65，－45，－85)C ．(－65，－45，85) D. (65，45，85)3．已知a ＝(1,5，－1)，b ＝(－2,3,5)．(1)若(k a ＋b )∥(a －3b )，求k 的值，并求出此时的||k a ＋b ； (2)若(k a ＋b )⊥(a －3b )，求k 的值．答案：1.C 2.A 3.(1)k ＝－13，||k a ＋b ＝3213 (2)k ＝1063课堂小结1．知识收获：空间向量运算的坐标表示；空间向量平行与垂直关系的坐标表示；空间向量夹角和空间两点距离公式的坐标表示；2．方法收获：类比方法；转化方法； 3．思维收获：类比思维；转化思维． 布置作业 课本习题3.1A 组8,9,10. 补充练习1．已知点A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则向量AB →与AC →的夹角为( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．90° 2．设||a ＝1，||b ＝2，且a ，b 的夹角为120°；则||2a ＋b 等于________． 3．设向量a ＝(3,5，－4)，b ＝(2,1,8)，计算3a －2b ，a ·b ，并确定λ，μ的关系，使λa ＋μb 与z 轴垂直．答案：1.C 2.23．解：3a －2b ＝3(3,5，－4)－2(2,1,8)＝(9,15，－12)－(4,2,16)＝(5,13，－28)， a ·b ＝(3,5，－4)·(2,1,8)＝6＋5－32＝－21， 由(λa ＋μb )·(0,0,1)＝(3λ＋2μ，5λ＋μ，－4λ＋8μ)·(0,0,1)＝－4λ＋8μ＝0， 即当λ，μ满足－4λ＋8μ＝0，即λ＝2μ，时λa ＋μb 与z 轴垂直．设计说明 本节课重点研究空间向量运算的坐标表示，并得出夹角、距离的坐标表示．本节课主要设计了问题驱动、类比思考、启发引导、自主探索等教学方式，主要特点是引导学生把空间向量运算的坐标表示用平面向量运算的坐标表示类比出来，增强学生的应用意识，加深学生的理解．类比是本节课设计的主要特点．本节课突出教师的主导作用和学生的主体地位，在教师所提问题的引导下，学生自主完成探究新知和理解新知的过程，在运用新知时进行变练演编，加深学生对知识的理解和问题转化的能力．备课资料1已知向量a ＝(－2,2,0)，b ＝(－2,0,2)，求向量n ，使n ⊥a ，n ⊥b . 解：设n ＝(x ，y ，z)，则 n ·a ＝(x ，y ，z)·(－2,2,0)＝－2x ＋2y ＝0， n ·b ＝(x ，y ，z)·(－2,0,2)＝－2x ＋2z ＝0，解方程组⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝0，－x ＋z ＝0.这个方程组有三个未知数，但只有两个方程．不妨把未知数x 当做已知，求y ，z.可得y＝x ，z ＝x ，于是n ＝(x ，x ，x)＝x(1,1,1)．显然，当x 取任意实数时，可以得到无穷多个向量都与a ，b 垂直，但这无穷多个向量都与向量(1,1,1)共线．2如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为BB 1、D 1B 1的中点，求证：EF ⊥平面B 1AC.分析一：用传统的几何法证明，利用三垂线定理，需添加辅助线． 证明：设A 1B 1的中点G ，连EG 、FG 、A 1B ， 则FG ∥A 1D 1，EG ∥A 1B ，∵A 1D 1⊥平面A 1B ， ∴FG ⊥平面A 1B.∵A 1B ⊥AB 1，∴EG ⊥AB 1. ∴EF ⊥AB 1.同理，EF ⊥B 1C.又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析二：选基底，利用向量的计算来证明． 证明：设AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，则EF → ＝ EB 1 → ＋ B 1F → ＝ 12(BB 1→ ＋ B 1D 1→) ＝ 12(AA 1→ ＋ BD →) ＝ 12(AA 1→ ＋ AD →－AB →)＝－a ＋b ＋c 2，AB 1→＝AB →＋AA 1→＝a ＋b ， ∴EF →·AB 1→＝－a ＋b ＋c2·(a ＋b )＝b 2－a 2＋c ·a ＋c ·b 2＝(||b 2－||a 2＋0＋0)2＝0.∴EF →⊥AB 1→，即EF ⊥AB 1.同理EF ⊥B 1C ， 又AB 1∩B 1C ＝B 1，∴EF ⊥平面B 1AC.分析三：建立空间直角坐标系，利用向量，且将向量的运算转化为实数(坐标)的运算，以达到证明的目的．证明：设正方体的棱长为2，建立如图所示的直角坐标系，则 A(2,0,0)，C(0,2,0)，B 1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)，∴EF →＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1,1)， AB 1→＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)， AC →＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)， ∴EF →·AB 1→＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝0，EF →·AC →＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝0，∴EF ⊥AB 1，EF ⊥AC ，又AB 1∩AC ＝A ，∴EF ⊥平面B 1AC.(设计者：徐西文)。
空间向量运算的坐标表示教案
8.3 空间向量运算的坐标表示教案一．教学目标：1、空间向量运算的坐标表示；2、能运用向量坐标表示解决平行、垂直问题及距离、夹角问题。
3、选择合适的空间直角坐标系以解决立体几何问题。
二．课前知识准备提纲：1、空间向量基本定理的内容是什么？2、基底的概念？单位正交基底是怎么界定的？3、平面直角坐标系、空间直角坐标系？4、类比平面向量的坐标运算，你能得出空间向量运算的坐标表示吗？三．新课内容1.导入新课一块巨石从山顶坠落，挡住了前面的路，抢修队员紧急赶到，从三个方向拉巨石，这三个力为321,,F F F ，它们两两垂直，它们的大小分别为3000N ，2000N ，2000N.若以三个力的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，巨石受合力的坐标是什么？怎样求巨石受到的合力的大小？这就需要用到空间向量运算的坐标表示。
请同学们分小组回答课前准备知识提纲里的习题。
并按照下列问题进行新课（1）空间向量运算的坐标表示有哪些运算公式（2）空间向量平行与垂直的条件（3）向量的坐标及两点间的距离公式新知讲授完毕，紧接着用2道小题加以巩固，通过基础自测，让学生建立知识印象，为后续例题的研析奠定基础。
2、典例精析设计三种类型的例题，分别是空间向量的坐标运算，利用向量解决平行与垂直的问题以及利用向量的坐标形式求夹角与距离。
例1 在△ABC 中，),5,2,3(),2,1,4(),3,5,2(-==-A 求顶点B 、C 的坐标，向量及角A 的余弦值。
通过题型一的分析，让学生懂得空间向量坐标的求法有以下三种情况，由点的坐标求向量的坐标，利用运算求坐标以及利用方程组求坐标。
例2 已知空间三点)4,0,3(),2,1,1(),2,0,2(---C B A ,设==,（1c ,,3求平行BC c =（2）若b a k b a k 2-+与互相垂直，求k通过题型二，介绍向量平行与垂直问题的两种类型。
例3 在长方体1AC 中，底面ABCD 是边长为4的正方形。
空间向量的坐标表示教案
空间向量的坐标表示教案一、教学目标1. 理解空间向量的坐标表示及其意义。
2. 掌握空间向量的坐标运算规则。
3. 能够运用空间向量的坐标表示解决实际问题。
二、教学重点和难点1. 教学重点：空间向量的坐标表示及其意义，坐标运算规则。
2. 教学难点：理解空间向量的坐标表示的实际应用，以及坐标运算规则的运用。
三、教学过程1. 导入新课：通过回顾空间向量的定义和性质，引出空间向量的坐标表示。
2. 新课学习：通过案例分析，引导学生理解空间向量的坐标表示及其意义，掌握坐标运算规则。
3. 巩固练习：通过小组讨论、个人展示等方式，让学生进行思考、计算、推导等活动。
4. 归纳总结：对本节课所学内容进行总结，强调重点和难点。
四、教学方法和手段1. 教学方法：讲解、演示、小组讨论、个人展示等。
2. 教学手段：利用多媒体技术，如PPT、视频等，增强学生对所学内容的直观感受和理解。
五、课堂练习、作业与评价方式1. 课堂练习：通过小组活动和个人展示等方式，让学生进行思考、计算等活动。
2. 作业：布置相关练习题，让学生进一步巩固所学内容。
3. 评价方式：采用多元评价方式，包括学生的自我评价、互相评价、教师评价等，以全面了解学生的学习情况和表现。
六、辅助教学资源与工具1. 教学资源：PPT、教材、教案等。
2. 教学工具：多媒体设备、黑板、粉笔等。
七、结论本节课通过对空间向量的坐标表示的学习，帮助学生理解了空间向量的坐标表示及其意义，掌握了坐标运算规则，并能够运用这些知识解决实际问题。
同时，通过小组讨论和个人展示等活动，也锻炼了学生的思维能力和口头表达能力。
希望学生们在今后的学习中能够继续巩固和拓展这些知识，为后续课程的学习打下坚实的基础。
八、教学反思本节课的教学过程中，我注重学生的参与和互动，尽可能地激发学生的学习兴趣和积极性。
同时，通过案例分析、小组讨论等方式，引导学生主动思考和解决问题，发挥了学生的主体作用。
但在教学过程中，也存在一些不足之处，如对某些细节的讲解不够深入，学生的反应不够积极等。
3.1.5空间向量运算的坐标表示教案
3.1.5空间向量运算的坐标表示
一、学习目标：1.掌握空间向量运算的坐标表示；
2.掌握空间向量平行与垂直的条件及其应用；
3.掌握空间向量的模、夹角以及两点间距离公式，能运用公式解决问题. 学习重点：空间向量平行与垂直的条件与应用，向量的模、夹角及两点间的距离公式； 学习难点：空间向量平行与垂直的条件与应用，向量的夹角公式；
二、导学指导与检测
练习第一题.
二、空间向量平行与垂直条件的坐标表示,,)b b 【即时训练2】
已知空间向量(2,,1)a λ=-，b .
减法 a b -
数乘 λa b •
三、空间向量的模、夹角、距离公式的坐标表示,)a a ，,,)b b b ，则a a =•= cos ,||||
a b a b <>== ）若111(,,)A a b c ，2(B a 【即时训练3】
2,-(32,6,0)
三、巩固诊断
1、已知空间向量(1,2,3)a =--，(2,4,)b x =-，(4,,6)c y =.
（1）若//m a ，且||27m =m ；
（2）若a c ⊥，求实数y 的值；
（3）若(2)//(3)a b a b -+，求实数x 的值.
2、在正方体1111ABCD A B C D -中，1O 是1111A B C D 的中心，1E 在11B C 上，且111113
B E B
C =，求1BE 与1CO 所成角的余弦值.
闯关题：棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是1DD ，BD ，1BB 的中点.
（1）求证：EF CF ⊥；
（2）求异面直线EF 与CG 所成角的余弦值；
（3）求CE 的长.。
空间向量运算的坐标表示(公开课教案)
空间向量运算的坐标表示(公开课教案)空间向量运算的坐标表示导语：本节课将介绍空间向量运算的坐标表示方法，帮助学生建立空间向量的运算概念和技巧。
通过本节课的学习，学生将能够准确地进行空间向量的加法、减法和数量乘法运算，并能够将运算结果表示为坐标形式，提高对空间向量运算的理解和应用能力。
一、空间向量的定义及表示方法空间向量是指具有大小和方向的物理量，它可以用有序数对或坐标表示。
在三维空间中，一个向量可以用三个有序实数表示，分别表示向量在x、y、z轴上的投影，即(x,y,z)。
例如，向量AB可以表示为(2,3,4)，其中2表示在x轴上的投影，3表示在y轴上的投影，4表示在z轴上的投影。
二、空间向量的加法运算空间向量的加法运算是将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量。
设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的和向量AD可以通过将对应的分量相加得到，即(2+1,3+2,4+3)=(3,5,7)。
表示向量AD的坐标形式即为(3,5,7)。
三、空间向量的减法运算空间向量的减法运算是将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量。
设有向量AB和向量AC，它们的坐标表示分别为(2,3,4)和(1,2,3)，则它们的差向量AD可以通过将对应的分量相减得到，即(2-1,3-2,4-3)=(1,1,1)。
表示向量AD的坐标形式即为(1,1,1)。
四、空间向量的数量乘法运算空间向量的数量乘法运算是将一个向量的每个分量都乘以一个实数得到一个新的向量。
设有向量AB的坐标表示为(2,3,4)，将它与实数k相乘，即可得到数量乘积向量AD，即(2k,3k,4k)，表示向量AD的坐标形式为(2k,3k,4k)。
五、空间向量运算的坐标表示总结空间向量运算的坐标表示方法可以总结如下：1. 加法运算：将两个向量的对应分量相加得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。
2. 减法运算：将两个向量的对应分量相减得到一个新的向量，表示为(若干表达式)。
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空间向量运算的坐标表示
教学设计
讲课人:宋海阳指导人：韩红松
一、教学内容分析
课程标准指出：“用空间向量解决几何问题，提供了新视角。
空间向量的引
入，为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
学生将在平面向量的基础上，把平面向量及运算推广到空间，运用空间向量解决
有关直线、平面位置关系的问题，体会向量法在研究几何图形中的作用，进一步
发展空间想象能力和几何直观能力。
”
本节课是在学生已经掌握了平面向量运算的坐标表示的基础上进行的，是
《空间向量运算的坐标表示》的第一课时，是用向量法解决立体几何问题的基础，
让学生初步体会向量法在解决立体几何问题中的优越性，帮助空间想象能力较弱
的同学顺利解题。
二、学生学情分析
1、学生学习本节内容的基础
本节的学习对象是高二学生,他们已经掌握了平面向量坐标运算及规律，并学会了空间向量的几何形式及其运算，数学基础较为扎实，学习上具备了一定的观察、分析、解决问题的能力，但在探究问题的内部联系和内在发展上还有所欠缺.所以通过教师的引导,学生的自主探索,不断地完善自我的认知结构。
2、学生学习本节内容的能力
具有一定的画图能力，图形思维与代数思维可以结合起来。
具有一定的推导能力，具备一定的数学的严谨性。
3、学生学习本节内容的心理
本节内容学生容易接受，学生在学习的过程中会有很强的求知欲和成就感，对培养数学思想有推动作用。
三、教学目标分析
1、知识与技能：
（1）会运算空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示；
（2）熟记空间向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；
（3）会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直；
（4）掌握用向量法解决两条异面直线所成角的方法。
2、过程与方法：
（1）在与平面向量的坐标运算的比较的基础上，培养学生观察、分析、类
比转化的能力；
（2）通过对几何图形的研究，使学生恰当地建立空间直角坐标系，从“定
性推理”到“定量计算”，从而提高分析问题和解决问题的能力。
3、情感态度价值观：
（1）通过自主探究与合作交流的教学环节的设置，激发学生的学习热情和求知欲，充分体现学生的主体地位；
（2）通过数形结合的思想和方法的应用，让学生感受和体会数学的魅力。
四、教学重点难点分析 1、 教学重点
（1）掌握空间向量运算的坐标表示；
（2）应用向量法求两条异面直线所成角及线线垂直问题。
2、教学难点
（1）建立恰当的空间直角坐标系，正确求出点的坐标及向量的坐标； （2）正确理解两条异面直线所成角与两个空间向量夹角的区别。
五、教学策略分析
1、教学方法：自主探索、观察发现、类比猜想、合作交流
2、教学手段：多媒体，电子白板
3、教学准备：
（1）由于维度的增加，新知识不能直接被学生在原有的知识结构中同化吸收，为学生配备了相应的训练题，通过训练更好地接受空间向量的坐标运算； （2）在求异面直线所成角时，会出现所求余弦值为负数。
引领学生复习异面直线所成角的概念，强化应用空间向量解决几何问题与几何法的差异。
六、教学过程分析
（一）自主预习，熟悉要领
1. 精读教材95页，用红笔勾画重点、记忆公式，完成以下内容： （1）空间向量的坐标运算
若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =， 则_________+=a b ， _____________-=a b ， _____________()=∈a R λλ，a b _______________⋅=. （2）空间两个向量共线的充要条件:
//________________________________________()a b R λ⇔∈ ________________________________________()R λ⇔∈ （3）空间两个非零向量垂直的充要条件
a b a b 0___________⊥⇔⋅=⇔. （4）向量的模与夹角
a =______________________;
cos a,b _____________________________________________.<>==
（5）空间内两点间的距离公式:
（6）线段中点坐标公式
2. 独立完成自我检测，小组内对答案解惑。
【自我检测】
1．已知a ⃗ =(−3,2,5),b ⃗ =(1,5,−1),求：(1)a ⃗ +b;⃗⃗⃗ (2)3a ⃗ −b ⃗ ;
(3)6a ⃗ ; (4)a ⃗ ∙b ⃗
2.已知a ⃗ =(2,-1,3),b ⃗ =(-4,2,x),且a ⃗ b ⃗ ,求x 的值。
3.已知A(3，5，-7),B(-2，4，3)，求AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA
⃗⃗⃗⃗⃗ ,线段AB 的中点坐标及线段AB 的长。
设计意图：检测学生预习效果，进而熟悉本节知识。
（二）合作探究，解决疑难 探究一：求异面直线所成的角
如图1，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E 1，F 1分别是A 1B 1，C 1D 1的一个四等分点，求BE 1与DF 1所成角的余弦值。
探究二：证明线线垂直
如图2，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是BB 1，D 1B 1的中点，求证EF DA 1.
⊥⊥
探究处理：由小组讨论完成，组内解决疑惑，共性问题老师引导；小组展示结果；解题过程通过“找茬”游戏处理。
设计意图：小组讨论，让学生自己积极思考解决问题的方法，引导学生从不同角度考虑，组内解决可以个别学生的疑惑；为规范解题过程，通过“找茬”的游戏，让学生找出解题过程中不对的地方，帮助学生加深印象。
（三）课堂检测，体现收获
1. 如图3，正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，点M是AB的中点，求DB
1
与CM所成角的余
弦值。
2.如图4，正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
的棱长为a.
(1)求A
1B和B
1
C的夹角；（2）求证：A
1
B AC.
（四）自主反思，总结提升
1.空间向量的加法、减法、数乘及数量积的坐标表示；
2.空间向量长度公式、两向量夹角公式、空间两点间距离公式；
3.利用向量解决空间立体几何问题；
4.我的疑惑：
（五）课后练习，巩固强化
3. 如图5，正方体ABCD-A
1B
1
C
1
D
1
中，点M,N分别为棱AA
1
和BB
1
的中点，求CM和
D
1
N所成角的余弦值。