整式乘法计算专题训练(含答案)资料讲解
8年级数学人教版上册同步练习-整式的乘法(含答案解析)
第十四章 整式的乘法与因式分解14.1整式的乘法专题一 幂的性质1．下列运算中，正确的是（ ）A ．3a 2－a 2＝2B ．(a 2)3＝a 9C ．a 3•a 6＝a 9D ．(2a 2)2＝2a 4 2．下列计算正确的是（ ）A ．3x ·622x x = B ．4x ·82x x = C ．632)(x x -=- D ．523)(x x =3．下列计算正确的是（ ）A ．2a 2＋a 2＝3a 4B ．a 6÷a 2＝a 3C ．a 6·a 2＝a 12D ．( －a 6)2＝a 12 专题二 幂的性质的逆用4．若2a =3，2b =4，则23a+2b 等于（ ） A ．7 B ．12 C ．432 D ．1085．若2ｍ=5，2ｎ=3，求23ｍ+2ｎ的值．专题三 整式的乘法7．下列运算中正确的是（ ）A ．2325a a a +=B ．22(2)()2a b a b a ab b +-=--C ．23622a a a ⋅=D ．222(2)4a b a b +=+8．若（3x 2－2x +1）（x +b ）中不含x 2项，求b 的值，并求（3x 2－2x +1）（x +b ）的值．9．先阅读，再填空解题： （x +5）（x +6）=x 2+11x +30； （x －5）（x －6）=x 2－11x +30； （x －5）（x +6）=x 2+x －30； （x +5）（x －6）=x 2－x －30．（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项有何关系？答：________． （2）根据以上的规律，用公式表示出来：________． （3）根据规律，直接写出下列各式的结果：（a +99）（a －100）=________；（y －80）（y －81）=________．专题四 整式的除法 10．计算：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=________． 11．计算：236274319132）（）（ab b a b a -÷-．12．计算：（a －b ）3÷（b －a ）2+（－a －b ）5÷（a +b ）4．状元笔记【知识要点】 1．幂的性质(1)同底数幂的乘法：nm n m a a a +=⋅ (m ，n 都是正整数)，即同底数幂相乘，底数不变，指数相加．(2)幂的乘方：()m nmna a=(m ，n 都是正整数)，即幂的乘方，底数不变，指数相乘．(3)积的乘方：()n n nab a b =(n 都是正整数)，即积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 2．整式的乘法(1)单项式与单项式相乘：把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．(2)单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘单项式的每一项，再把所得的积相加． (3)多项式与多项式相乘：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．3．整式的除法(1)同底数幂相除：m n m na a a -÷=(m ，n 都是正整数，并且m ＞n )，即同底数幂相除，底数不变，指数相减．(2)0a =1(a ≠0)，即任何不等于0的数的0次幂都等于1．(3)单项式除以单项式：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．(4)多项式除以单项式：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【温馨提示】1．同底数幂乘法法则与合并同类项法则相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；而合并同类项法则是“系数相加，字母及字母的指数不变”．2．同底数幂相乘与幂的乘方相混淆．同底数幂相乘，应是“底数不变，指数相加”；幂的乘方，应是“底数不变，指数相乘”．3．运用同底数幂的乘法(除法)法则时，必须化成同底数的幂后才能运用上述法则进行计算． 4．在单项式(多项式)除以单项式中，系数都包括前面的符号，多项式各项之间的“加、减”符号也可以看成系数的符号来参与运算． 【方法技巧】1．在幂的性质中，公式中的字母可以表示任意有理数，也可以表示单项式或多项式． 2．单项式与多项式相乘，多项式与多项式相乘时，要按照一定的顺序进行，否则容易造成漏项或增项的错误．3．单项式与多项式相乘，多项式除以单项式中，结果的项数与多项式的项数相同，不要漏项．参考答案:1．C 解析：A 中，3a 2与－a 2是同类项，可以合并，3a 2―a 2＝2a 2，故A 错误；B 中，(a 2)3＝a 2×3=a 6，故B 错误；C 中，a 3•a 6＝a 3+6＝a 9，故C 正确；D 中，(2a 2)2＝22（a 2）2＝4a 4，故D 错误．故选C ． 2．C 解析：3x ·2235x xx +==，选项A 错误；4x ·2246x x x +==，选项B 错误；23236()x x x ⨯-=-=-，选项C 正确；32236()x x x ⨯==，选项D 错误. 故选C ．3．D 解析：A 中，22223a a a +=，故A 错误；B 中，624a a a ÷=，故B 错误；C 中，628a a a ⋅=，故C 错误. 故选D ．4．C 解析：23a+2b =23a ×22b =（2a ）3×（2b ）2=33×42=432．故选C ．5．解：23ｍ+2ｎ=23ｍ·22ｎ=（2ｍ）3·（2ｎ）2 =53·32=1125.7．B 解析：A 中，由合并同类项的法则可得3a+2a=5a ，故A 错误；B 中，由多项式与多项式相乘的法则可得22(2)()22a b a b a ab ab b +-=-+-=222a ab b --，故B 正确；C 中，由单项式与单项式相乘的法则可得232322a a a +⋅==52a ，故C 错误；D 中，由多项式与多项式相乘的法则可得222(2)44a b a ab b +=++，故D 错误. 综上所述，选B ． 8．解：原式=3x 3+（3b －2）x 2+（－2b+1）x+b ，∵不含x 2项，∴3b －2=0，得． ∴（3x 2－2x+1）（x+23）=3x 3－2x 2+x+2x 2－43x+23=3x 3－13x+23．9．解：（1）观察积中的一次项系数、常数项与两因式中的常数项的关系是： 一次项系数是两因式中的常数项的和，常数项是两因式中的常数项的积； （2）根据以上的规律，用公式表示出来：（a+b ）（a+c ）=a 2+（b+c ）a+bc ；（3）根据（2）中得出的公式得：（a+99）（a －100）=a 2－a －9900；（y －80）（y －81）=y 2－161y+6480． 10．－12x+3y －16解析：（3x 3y －18x 2y 2+x 2y ）÷（－6x 2y ）=（3x 3y ）÷（－6x 2y ）－18x 2y 2÷（－6x 2y ）+x 2y÷（－6x 2y ）=－12x+3y －16．11．解：原式。
整式的乘法的习题及答案
整式的乘法的习题及答案整式的乘法是数学中的一个重要概念，它在代数学习中起着至关重要的作用。
在这篇文章中，我们将探讨一些整式乘法的习题及其答案，帮助读者更好地理解和掌握这个概念。
一、单项式的乘法单项式是指只包含一个字母和一个常数的代数式，例如3x、4y²等。
单项式的乘法是指将两个单项式相乘的操作。
1. 习题：计算下列单项式的乘法：a) 5x × 2yb) -3a² × 4b³c) 7m²n × (-2mn³)2. 答案：a) 5x × 2y = 10xyb) -3a² × 4b³ = -12a²b³c) 7m²n × (-2mn³) = -14m³n⁴通过以上习题，我们可以看到单项式的乘法实际上就是将两个单项式的系数相乘，字母部分则按照字母指数相加的规则进行运算。
二、多项式的乘法多项式是指由多个单项式相加或相减而成的代数式，例如3x² + 4xy - 2y²。
多项式的乘法是指将两个多项式相乘的操作。
1. 习题：计算下列多项式的乘法：a) (3x + 2y)(4x - 5y)b) (2a - 3b)(a + b)c) (5m + 7n)(m - n)2. 答案：a) (3x + 2y)(4x - 5y) = 12x² - 15xy + 8xy - 10y² = 12x² - 7xy - 10y²b) (2a - 3b)(a + b) = 2a² + 2ab - 3ab - 3b² = 2a² - ab - 3b²c) (5m + 7n)(m - n) = 5m² - 5mn + 7mn - 7n² = 5m² + 2mn - 7n²通过以上习题，我们可以看到多项式的乘法实际上就是将两个多项式中的每一项进行乘法运算，然后将结果相加。
七年级数学-第02讲 整式的乘法(解析版)
2021-2022学年七年级数学【赢在寒假】同步精讲精练系列第1章整式的乘除第02讲整式的乘法【考点梳理】考点1：单项式、多项式及整式的概念1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。
单独的一个数或一个字母也是单项式。
单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。
如：bc a 22-的系数为2-，次数为4，单独的一个非零数的次数是0。
2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。
多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。
如：122++-x ab a ，项有2a 、ab 2-、x 、1，二次项为2a 、ab 2-，一次项为x ，常数项为1，各项次数分别为2，2，1，0，系数分别为1，-2，1，1，叫二次四项式。
3、整式：单项式和多项式统称整式。
注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。
也不是单项式和多项式。
4、多项式按字母的升（降）幂排列：如：1223223--+-y xy y x x 按x 的升幂排列：3223221x y x xy y +-+--按x 的降幂排列：1223223--+-y xy y x x 按y 的升幂排列：3223221yy x xy x --++-按y 的降幂排列：1223223-++--x xy y x y 考点2：单项式及多项式的乘法法则1、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：=∙-xy z y x 32322.单项式乘以多项式就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式)注意：①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
专题03 《整式乘法与因式分解》压轴题专练(1)(解析版)
专题03 《整式乘法与因式分解》压轴题专练（1）（满分120分 时间：60分钟） 班级 姓名 得分一、单项选择题：1．如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：2＝13﹣（﹣1）3，26＝33﹣13，2和26均为和谐数．那么，不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为（ ）A ．6858B ．6860C ．9260D ．9262 【答案】B【分析】由()()33221212422019n n n +--=+≤可得2n ≤201724，再根据和谐数为正整数，得到1≤n≤9，可得不超过2019的正整数中，“和谐数”共有10个，依次列式计算即可求解．【详解】解：由332(21)(21)242n n n +--=+≤2019，可得2n ≤201724， ∵和谐数为正整数，∵1≤n≤9，且为正整数，则在不超过2019的正整数中，所有的“和谐数”之和为3333331(1)3153--+-+-+…+3319-17=3319-(-1)6860=．故选：B ．【点睛】本题考查了有理数的乘方、整式的乘法与乘法公式，弄清题中“和谐数”的定义是解本题的关键．2．已知在216()()x mx x a x b +-=++中，a 、b 为整数，能使这个因式分解过程成立的m 的值共有（ ）个A ．4B ．5C ．8D ．10【答案】B【分析】先根据整式的乘法可得,16m a b ab =+=-，再根据“,a b 为整数”进行分析即可得．【详解】 2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，2216()x mx x a b x ab ∴+-=+++，,16m a b ab ∴=+=-，根据,a b 为整数，有以下10种情况：（1）当1,16a b ==-时，()11615m =+-=-；（2）当2,8a b ==-时，()286m =+-=-；（3）当4,4a b ==-时，()440m =+-=；（4）当8,2a b ==-时，()826m =+-=；（5）当16,1a b ==-时，()16115m =+-=；（6）当1,16a b =-=时，11615m =-+=；（7）当2,8a b =-=时，286m =-+=；（8）当4,4a b =-=时，440m =-+=；（9）当8,2a b =-=时，826m =-+=-；（10）当16,1a b =-=时，16115m =-+=-；综上，符合条件的m 的值为15,6,0,6,15--，共有5个，故选：B ．【点睛】本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．3．观察下列等式：()()2111x x x -+=-，()()23111x x x x -++=-，()()324111x x x x x -+++=-，……，利用你发现的规律回答：若()()65432112x x x x x x x -++++++=-，则2016x 的值是（ ）A ．－1B ．0C ．1D ．22016 【答案】C【分析】先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据()()65432112x x x x x x x -++++++=-求出x 的值，然后代入求值即可得．【详解】观察等式：()()2111x x x -+=-， ()()23111x x x x -++=-，()()324111x x x x x -+++=-，归纳类推得：()()12111n n n x x x x x --+-+++=-，其中n 为大于1的整数， 则()()6547321121x x x x x x x x -++++=-++=-， 即71x =-，解得1x =-，则()2016201611x =-=， 故选：C ．【点睛】本题考查了多项式乘法中的规律性问题、有理数的乘方，依据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．4．现有一张边长为a 的大正方形卡片和三张边长为b 的小正方形卡片（12a b a <<）如图1，取出两张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图2，再重新用三张小正方形卡片放入“大正方形卡片”内拼成的图案如图3．已知图3中的阴影部分的面积比图2中的阴影部分的面积大26ab -，则小正方形卡片的面积是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【分析】 根据题意、结合图形分别表示出图2、3中的阴影部分的面积，根据题意列出算式，再利用整式的混合运算法则计算即可．【详解】图3中的阴影部分的面积为：（a−b ）2，图2中的阴影部分的面积为：（2b−a ）2，由题意得，（a−b ）2−（2b−a ）2＝2ab−6，整理得，b 2＝2，则小正方形卡片的面积是2，故选：A ．【点睛】本题考查的是整式的混合运算，正确表示出两个阴影部分的面积是解题的关键．5．我国南宋数学家杨辉用三角形解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”这个三角形给出了()n a b +(1,2,3,4,)n =的展开式的系规律（按a 的次数由大到小的顺序）：请根据上述规律，写出2020(1)x +的展开式中含2019x 项的系数是（ ） A ．2018B ．2019C ．2020D ．2021 【答案】C【分析】 首先确定2019x 是展开式中第几项，再根据杨辉三角中的规律即可解决问题．【详解】解：由图中规律可知：含2019x 的项是2020(1)x +的展开式中的第二项，∵1()a b +展开式中的第二项系数为1，2()a b +展开式中的第二项系数为2，3()a b +展开式中的第二项系数为3，4()a b +展开式中的第二项系数为4，∵()n a b +展开式中的第二项系数为n ，∵2020(1)x +的展开式中的第二项系数为2020，故选：C ．【点睛】本题考查了数字的变化类、数学常识、多项式、完全平方式，解决本题的关键是理解“杨辉三角”． 6．248162(31)(31)(31)(31)(31)⨯+++++的计算结果的个位数字是（ ）A ．8B ．6C ．2D ．0【答案】D【分析】先将2变形为()31-，再根据平方差公式求出结果，根据规律得出答案即可．【详解】解：2416(31)(31)(31)(31)(31)-+++⋯+ 22416(31)(31)(31)(31)=-++⋯+4416(31)(31)(31)=-+⋯+3231=-133=，239=，3327=，4381=，53243=，63729=，732187=，836561=，⋯∴3n 的个位是以指数1到4为一个周期，幂的个位数字重复出现，3248÷=，故323与43的个位数字相同即为1，∵3231-的个位数字为0，∵248162(31)(31)(31)(31)(31)⨯+++++的个位数字是0．故选：D ．【点睛】本题考查了平方差公式的应用，能根据规律得出答案是解此题的关键．7．观察下列各式及其展开式()2222a b a ab b +=++()3322333a b a a b ab b +=+++()4432234464a b a a b a b ab b +=++++()554322345 510105a b a a b a b a b ab b +=+++++ ······ 请你猜想()10+a b 的展开式第三项的系数是（ ）A ．35B ．45C ．55D ．66【答案】B【分析】利用所给展开式探求各项系数的关系，特别是上面的展开式与下面的展开式中的各项系数的关系，可推出（a+b ）10的展开式第三项的系数．【详解】解：（a+b ）2=a 2+2ab+b 2；（a+b ）3=a 3+3a 2b+3ab 2+b 3；（a+b ）4=a 4+4a 3b+6a 2b 2+4ab 3+b 4；（a+b ）5=a 5+5a 4b+10a 3b 2+10a 2b 3+5ab 4+b 5；（a+b ）6=a 6+6a 5b+15a 4b 2+20a 3b 3+15a 2b 4+6ab 5+b 6；（a+b ）7=a 7+7a 6b+21a 5b 2+35a 4b 3+35a 3b 4+21a 2b 5+7ab 6+b 7；第7个式子系数分别为：1，8，28，56，70，56，28，8，1；第8个式子系数分别为：1，9，36，84，126，126，84，36，9，1；第9个式子系数分别为：1，10，45，120，210，252，210，120，45，10，1，则（a+b ）10的展开式第三项的系数为45．故选：B ．【点睛】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键．二、填空题8．若2()()6x a x b x mx ++=++，其中,,a b m 均为整数，则m 的值为_______．【答案】5±或7±【分析】先根据整式的乘法运算可得,6a b m ab +==，再根据“,,a b m 均为整数”分情况求解即可得．【详解】2()()()x a x b x a b x ab ++=+++，2()()6x a x b x mx ++=++，22()6x a b x ab x mx ∴+++=++，,6a b m ab ∴+==，,,a b m 均为整数，∴分以下8种情况：∵当6,1a b =-=-时，6(1)7m =-+-=-，∵当3,2a b =-=-时，3(2)5m =-+-=-，∵当2,3a b =-=-时，2(3)5m =-+-=-，∵当1,6a b =-=-时，1(6)7m =-+-=-，∵当1,6a b ==时，167m =+=，∵当2,3a b ==时，235m =+=，∵当3,2a b ==时，325=+=m ，∵当6,1a b ==时，617m =+=，综上，m 的值为5±或7±，故答案为：5±或7±．【点睛】本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则，并正确分情况讨论是解题关键．9．()()()24321(31)3131312+++⋯++的值为_______．【答案】6432【分析】设()()()()24321313131312A +++⋯++=，利用平方差公式求出()31A -的值，由此即可得． 【详解】 设()()()()24321313131312A +++⋯++=， 则()()()()()()243213131313131312A ⎡⎤-=-+++⋯++⎢⎥⎣⎦， ()()()()()()243213131313131312=-+++⋯++-⨯， ()()()()22432313131311=-++⋯++，()()323231311=-++，64311=-+，643=， 所以646433312A ==-， 故答案为：6432． 【点睛】本题考查了利用平方差公式进行运算求值，熟练掌握平方差公式是解题关键．10．我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，他在《详解九章算术》中记载的“杨辉三角”揭示了()n a b +（n 为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律，如：()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；此规律还可以解决实际问题：假如今天是星期二，再过7天还是星期二，则再过148天是星期______．【答案】三【分析】根据814＝（7＋1）14＝714＋14×713＋91×712＋…＋14×7＋1可知814除以7的余数为1，从而可得答案．【详解】∵814＝（7＋1）14＝714＋14×713＋91×712＋…＋14×7＋1，∵814除以7的余数为1，∵假如今天是星期二，那么再过814天是星期三，故答案为：三．【点睛】本题考查了完全平方公式，能发现（a＋b）n展开后，各项是按a的降幂排列的，系数依次是从左到右（a ＋b）n−1系数之和．它的两端都是由数字1组成的，而其余的数则是等于它肩上的两个数之和．11．现有如图①的小长方形纸片若干块，已知小长方形的长为a(cm)，宽为b(cm)，用3个如图①的完全相同的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图①的大长方形，则图①中阴影部分面积与整个图形的面积之比为________．【答案】1：6【分析】先求出图∵中阴影部分的面积，由此可求出图∵中阴影部分的面积，再根据图∵可得到a=3b，由此可求出图∵中整个图形的面积，然后求出图∵中阴影部分面积与整个图形的面积之比．【详解】解：如图∵种阴影部分的面积为（a+b）2-4ab=（a-b）2．如图∵可知3a+3b=4a∵a=3b∵S阴影部分=（3b-b）2=4b2;∵图∵中S 阴影部分=3×4b 2=12b 2;图∵中整个图形的面积为：4a×（a+3b ）=12b （3b+3b ）=72b 2；∵图∵中阴影部分面积与整个图形的面积之比为12b 2：72b 2=1：6．故答案为：1：6．【点晴】此题考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是：结合图形找出长与宽的数量关系．12．若多项式241x Q ++是完全平方式，请你写出所有满足条件的单项式Q 是_______．【答案】±4x , 4x 4【分析】根据题意可知本题是考查完全平方式，设这个单项式为Q ，∵如果这里首末两项是2x 和1这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去2x 和1积的2倍，故Q = ±4x ; ∵如果如果这里首末两项是Q 和1，则乘积项是4x 2=2×2x 2，所以Q = 4x 4.【详解】解：∵4x 2 +1±4x = (2x ±1)24x 2+1+4x 4 = (2x 2+1)2;∵加上的单项式可以是±4x , 4x 4,中任意一个,故答案为：±4x , 4x 4.【点睛】本题主要考查完全公式的有关知识，根据已知两个项分类讨论求出第三项是解题的关键.13．已知20052004,20052005,20052006,a x b x c x =+=+=+则多项式222a b c ab bc ac ++---的值为_________________．【答案】3【分析】观察知可先把多项式转化为完全平方形式，再代入值求解．【详解】∵a ＝2005x ＋2004，b ＝2005x ＋2005，c ＝2005x ＋2006，∵a−b ＝−1，b−c ＝−1，a−c ＝−2，∵222a b c ab bc ac ++---＝12（2a 2＋2b 2＋2c 2−2ab−2bc−2ca ）＝12 [（a 2−2ab ＋b 2）＋（b 2−2bc ＋c 2）＋（a 2−2ac ＋c 2）]＝12 [（a−b ）2＋（b−c ）2＋（a−c ）2] ＝12[（−1）2＋（−1）2＋（−2）2]＝3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了完全平方公式，关键在于灵活思维，对多项式扩大2倍是利用完全平方公式的关键． 14．观察下列各式：111113132a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 2111135235a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 3111157257a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 4111179279a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； ①①①，则123200a a a a +++⋅⋅⋅+=______【答案】200401【分析】根据题意，总结式子的变化规律，然后得到1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--⨯+-+，然后把代数式化简，通过拆项合并的方法进行计算，即可求出答案． 【详解】 解：∵111113132a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭；2111135235a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 3111157257a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； 4111179279a ⎛⎫==- ⎪⨯⎝⎭； ……∵1111()(21)(21)22121n a n n n n ==--⨯+-+；∵123200a a a a +++⋅⋅⋅+11111111111(1)()()()232352572399401=-+-+-+⋅⋅⋅+⨯- 11111111(1)233557399401=⨯-+-+-+⋅⋅⋅+- 11(1)2401=⨯- 14002401=⨯200401=； 故答案为：200401． 【点睛】本题考查了整式的混合运算，以及数字的变化规律，解题的关键是熟练掌握正确掌握题意，找到题目的规律，从而运用拆项法进行解题．三、解答题15．已知a+b=1，ab=-1，设S 1=a+b ，S 2=a 2+b 2，S 3=a 3+b 3，…，S n =a n +b n （1）计算S 2和S 4（2）已知a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2),求S 3并猜想S n -2，S n -1，S n 三者之间的数量关系（不需要证明）；（3）若M=(S 1+S 2+S 3+----S 99)（S 2+S 3+----S 100），N=（S 1+S 2+S 3+----S 100）（S 2+S 3+----S 99）判断M ，N 的大小，并说明理由．【答案】（1）S 2＝3，S 4＝7，（2）S 3=4， S n -2+S n -1=S n ，理由见详解；（3）M ＞N ，理由见详解 【分析】（1）根据完全平方公式以及变形公式，即可求解；（2）根据a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)，即可求出S 3=4，由a n -2+b n -2 +a n -1+ b n -1结合a+b=1，ab=-1，可得S n -2+S n -1=S n ； （3）设A= S 1+S 2+S 3+----+S 99，B= S 2+S 3+----+S 100，利用作差法，即可判断M ，N 的大小． 【详解】解：（1）S 2＝a 2＋b 2＝（a ＋b ）2−2ab ＝12−2×（−1）＝3，S 4＝a 4＋b 4＝（a 2＋b 2）2−2a 2b 2＝（a 2＋b 2）2−2（ab ）2=32−2×（−1）2＝7， （2）S 3=a 3+b 3=(a+b)(a 2-ab+b 2)=1×（3+1）=4， 猜想：S n -2+S n -1=S n ， 理由如下：∵a+b=1，ab=-1，∵a n -2+b n -2 +a n -1+ b n -1= a n -2(1+a)+ b n -2(1+b)= a n -2(-ab+a)+ b n -2(-ab+b)= a n -1(1-b)+ b n -1(1-a)= a n +b n ， ∵S n -2+S n -1=S n ；（3）∵S 1=a+b ，S 100= a 100+b 100＞0， 设A= S 1+S 2+S 3+----+S 99，B= S 2+S 3+----+S 100 ∵M -N=AB -(A+ S 100)(B - S 100) =AB -AB+(A -B) S 100+ S 100×S 100 =(S 1-S 100) S 100+ S 100×S 100 = S 1 S 100 = S 100＞0， ∵M ＞N ． 【点睛】本题考查了整式的混合运算和求值，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键，规律是S n−2＋S n−1＝S n ． 16．阅读理解并填空：（1）为了求代数式223x x ++的值，我们必须知道x 的值． 若1x =，则这个代数式的值为_________， 若2x =，则这个代数式的值为_________，．．．．可见，这个代数式的值因x 的取值不同而变化，尽管如此，我们还是有办法来考虑这个代数式的值的范围． （2）把一个多项式进行部分因式分解可以解决求代数式的最大（或最小）值问题．例如：22223212(1)2x x x x x ++=+++=++，因为2(1)x +是非负数，所以这个代数式的最小值是_________，此时相应的x 的值是_________．（3）求代数式21235x x -+的最小值，并写出相应的x 的值． （4）求代数式2612x x --+的最大值，并写出相应的x 的值．【答案】（1）6；11；（2）2；-1；（3）最小值是-1，相应的x 的值是6；（4）最大值是21，相应的x 的值是-3． 【分析】（1）把x=1和x=2分别代入代数式x 2+2x+3中，再进行计算即可得出答案； （2）根据非负数的性质即可得出答案；（3）先把给出的式子化成完全平方的形式，再根据非负数的性质即可得出答案； （4）根据完全平方公式把给出的式子进行整理，即可得出答案． 【详解】解：（1）把x=1代入x 2+2x+3中，得：12+2+3=6； 若x=2，则这个代数式的值为22+2×2+3=11； 故答案为6；11； （2）根据题意可得：x 2+2x+3=（x 2+2x+1）+2=（x+1）2+2， ∵（x+1）2是非负数，∵这个代数式x 2+2x+3的最小值是2，相应的x 的值是-1． 故答案为2；-1；（3）∵x 2-12x+35=（x -6）2-1，∵代数式x 2-12x+35的最小值是-1，相应的x 的值是6； （4）∵-x 2-6x+12=-（x+3）2+21，∵-x 2-6x+12的最大值是21，相应的x 的值是-3． 【点睛】此题考查了因式分解的应用，用到的知识点是完全平方公式，非负数的性质，解题的关键是把给出的式子化成完全平方的形式进行解答．17．对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，例如图1可以得到()2222a b a ab b +=++，请解答下列问题（1）写出图2中所表示的数学等式（2）根据整式乘法的运算法则，通过计算验证上述等式；（3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：若10,35a b c ab ac bc ++=++=，则222a b c ++= （4）小明同学用图3中x 张边长为a 的正方形，y 张边长为b 的正方形z 张边长分别为,a b 的长方形纸片拼出一个面积为()()5794a b a b ++长方形，则x y z ++=【答案】（1）()2222222a b c a b c ab ac bc ++=+++++； （2）见解析 ； （3）30 ； （4）156． 【分析】（1）利用整体法求解正方形的面积为()2a b c ++，利用分割法求解正方形的面积为：222222a b c ab ac bc +++++，从而可得答案；（2）利用多项式乘以多项式的法则把左边通过计算展开，合并同类项后可得结论；（3）利用变形公式：()2222222a b c a b c ab ac bc ++=++---，再整体代入即可得到答案； （4）由题意可得，所拼图形的面积为:22xa yb zab ++，再利用整式的乘法运算法则计算：()()5794a b a b ++，由面积相等可得,,x y z 的值，从而可得答案．【详解】 解：（1）正方形的面积()2a b c =++;正方形的面积222222a b c ab ac bc =+++++()2222222.a b c a b c ab ac bc ++=∴+++++故答案为:()2222222.a b c a b c ab ac bc ++=∴+++++ （2）证明：()()a b c a b c ++++222,a ab ac ab b bc ac bc c =++++++++222222.a b c ab ac bc =+++++（3）10,35a b c ab ac bc ++=++=()2222222a b c a b c ab ac bc ∴++=++---()2102ab ac bc =-++ 100235,=-⨯30.=故答案为:30（4）由题可知，所拼图形的面积为:22xa yb zab ++()()5794a b a b ++2245206328a ab ab b =+++ 22452883a b ab =++ 45,28,83x y z ∴=== 452883156x y z ∴++=++=故答案为：156【点睛】本题考查的是乘法公式的几何意义，整式的乘法运算，公式的应用能力，掌握以上知识是解题的关键．18．设a，b，c为整数，且对一切实数都有(x-a)(x-8)+1=(x-b)(x-c)恒成立．求a+b+c的值．【答案】20或28．【分析】等式两边化简之后，利用一次项系数相等和常数项相等得到两个等式a+8＝b+c和8a+1＝bc；消去a,再因式分解得到（b﹣8）（c﹣8）＝1，进而b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，分别计算出a，b，c 的值即可得出答案．【详解】解：∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝x2﹣（a+8）x+8a+1，（x﹣b）（x﹣c）＝x2﹣（b+c）x+bc又∵（x﹣a）（x﹣8）+1＝（x﹣b）（x﹣c）恒成立，∵﹣（a+8）＝﹣（b+c），∵8a+1＝bc，消去a得：bc﹣8（b+c）＝﹣63，（b﹣8）（c﹣8）＝1，∵b，c都是整数，故b﹣8＝1，c﹣8＝1或b﹣8＝﹣1，c﹣8＝﹣1，解得b＝c＝9或b＝c＝7，当b＝c＝9时，解得a＝10，当b＝c＝7时，解得a＝6，故a+b+c＝9+9+10＝28或7+7+6＝20，故答案为：20或28．【点睛】本题主要考查多项式乘多项式和因式分解变形，有一定难度．此题若直接求a，b，c的值不易，需另辟蹊径，这种解题思想很常用，需要特别注意19．阅读材料：1261 年，我国南宋数学家杨辉著《详解九章算法》，在注释中提到“杨辉三角”解释了二项和的乘方规律．在他之前，北宋数学家贾宪也用过此方法，“杨辉三角”又叫“贾宪三角”．这个三角形给出了()na b +（n 为正整数）的展开式（按a 的次数由大到小的顺序、b 的次数由小到大的顺序排列）的系数规律．例如：在三角形中第三行的三个数 1、2、1，恰好对应()2222a b a ab b +=++展开式中各项的系数；第四行的四个数 1、3、3、1，恰好对应()3322333a b a a b ab b +=+++展开式中各项的系数等．从二维扩展到三维：根据杨辉三角的规则，向下进行叠加延伸，可以得到一个杨辉三角的立体图形．经研究，它的每一个切面上的数字所对应的恰巧是展开式的系数．（1）根据材料规律，请直接写出()4a b +的展开式；（2）根据材料规律，如果将-a b 看成()a b +-，直接写出211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式（结果化简）；若24212527n n n =-+，求211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的值； （3）已知实数a 、b 、c ，满足22224610a b c a b c +++-+=-，且1110123a b c +-=+-+，求a b c +-的值．【答案】（1）()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；（2）211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭221212n n n n =+-+-，211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=1或9；（3）6a b c +-=或2 【分析】（1）依据规律进行计算即可；（2）24212527n n n =-+分子分母同时除以2n 可化为22112725n n =-+，得出222257n n -+=，从而求得2216n n +=，即可求得12n n -=±，代入211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭即可求解； （3）将式子22224610a b c a b c +++-+=-通过完全平方式变形为()()()2221234a b c ++-++=，设1a x +=，2b y -=，3c z +=，通过a b c +-与x y z +-的关系联立阅读材料可求得a b c +-的值．【详解】解：（1）()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；（2）22111=1n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-++-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦222111122121n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-++⨯-+⨯+⨯-⨯ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2212122n n n n =++-+-221212n n n n =+-+-∵24212527n n n =-+ ∵22112725n n =-+，即222257n n -+=，可得2216n n+=，∵2221126n n n n ⎛⎫+=-+= ⎪⎝⎭，可得12n n -=±当12n n -=时，211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭221212n n n n =+-+-=61229=-+⨯=当12n n -=-时，211n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭221212n n n n =+-+-=()61221=-+⨯-=（3）∵22224610a b c a b c +++-+=- 整理得到()()()2221234a b c ++-++= ∵1110123a b c +-=+-+ 设1a x +=，2b y -=，3c z +=，则2224111x y z x y z ⎧++=⎪⎨+-=⎪⎩，解得22240x y z xy xz yz ⎧++=⎨--=⎩ ∵()()()2221234x y z a b c a b c +-=++---=+--222222x y z xy xz yz =+++--()2222x y z xy xz yz =+++--4=∵42a b c +--=±∵当42a b c +--=时，6a b c +-=； 当42a b c +--=-时，2+-=a b c ； ∵6a b c +-=或2 【点睛】本题考查了乘法公式的运用；解题的关键是根据题目式子的形式进行恰当变形，从而求解，注意平方根的个数．20．我们可以用以下方法求代数式265x x ++的最小值．222226523335(3)4x x x x x ++=+⋅⋅+-+=+-①2(3)0x +≥ ①()2443x -≥-+，①当3x =-时，265x x ++有最小值-4． 请根据上述方法，解答下列问题（1）求代数式241x x -+的最小值；（2）求证：无论x 、y 取任何实数，代数式2221066211x y xy x y +---+的值都是正数；（3）已知x 为实数，求代数式()2424162021x x x x ++++的最小值．【答案】（1）241x x -+有最小值3-；（2）证明见解析；（3）()2424162021x x x x ++++有最小值2020．【分析】（1）通过配方可得：241x x -+()223x =--，再利用非负数的性质，结合不等式的性质可得答案； （2）把原式通过配方化为：()()()2221331y x x y -+-+-+，再利用非负数的性质可得：()()()22213311,y x x y -+-+-+≥从而可得结论；（3）利用配方法把原式化为：()2424162021x x x x ++++()22212020x x =+++()412020,x =++ 再利用非负数的性质可得代数式的最小值．【详解】解：（1）241x x -+()2443x x =-+-()223x =-- ()220,x -≥()2233,x ∴--≥-∴ 当2x =时，241x x -+有最小值3-．（2） 2221066211x y xy x y +---+ 22222169691y y x x x xy y =-++-++-++()()()2221331y x x y =-+-+-+ ()()()22210,30,30,y x x y -≥-≥-≥()()()22213311,y x x y ∴-+-+-+≥∴ 22210662111x y xy x y +---+≥，∴ 无论x 、y 取任何实数，代数式2221066211x y xy x y +---+的值都是正数；（3） ()2424162021x x x x ++++()()222214142020x x x x =+++++()22212020x x =+++ ()412020x =++ ()410,x +≥()4120202020,x ∴++≥∴ 当1x =-时，()2424162021x x x x ++++有最小值2020．【点睛】本题考查的是配方法的应用，非负数的性质，利用配方法求代数式的最值，因式分解的应用，掌握利用完全平方式的特点进行配方是解题的关键．。
专题1.2 整式的乘法-重难点题型(举一反三)(北师大版)(解析版)
专题1.2 整式的乘法-重难点题型【北师大版】【题型1 整式乘法中的求值问题】【例1】（2021•开平区一模）已知等式（x+p）（x+q）＝x2+mx+36（p，q为正整数），则m的值不可能是（ ）A．37B．13C．20D．36【分析】利用多项式乘多项式的法则，把等式的左边进行运算，再根据条件进行分析即可．【解答】解：（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，∵（x+p）（x+q）＝x2+mx+36，∴p+q＝m，pq＝36，∵36＝4×9，则p+q＝13，36＝1×36，则p+q＝37，36＝2×18，则p+q＝20，36＝3×12，则p+q＝15，36＝6×6，则p+q＝12，∴p+q不可能为36，即m不可能为36．故选：D．【变式1-1】（2021春•潍坊期末）若（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，则ab﹣a+b的值是（ ）A．﹣11B．﹣7C．﹣6D．﹣55【分析】先利用多项式乘多项式法则计算等式的左边，根据等式得到a、b的值，代入计算出代数式ab﹣a+b的值．【解答】解：∵（x+a）（x﹣5）＝x2+（a﹣5）x﹣5a，又∵（x+a）（x﹣5）＝x2+bx﹣10，∴x2+（a﹣5）x﹣5a＝x2+bx﹣10．∴a﹣5＝b，﹣5a＝﹣10．∴a＝2，b＝﹣3．∴ab﹣a+b＝2×（﹣3）﹣2﹣3＝﹣11．故选：A．【变式1-2】（2020秋•播州区期末）若x+y＝2，xy＝﹣1，则（1﹣2x）（1﹣2y）的值是 ．【分析】根据多项式乘以多项式的法则展开，整理后整体带入求值即可．【解答】解：（1﹣2x）（1﹣2y）＝1﹣2y﹣2x+4xy＝1﹣2（x+y）+4xy，当x+y＝2，xy＝﹣1时原式＝1﹣2×2+4×（﹣1）＝﹣7．故答案为：﹣7．【变式1-3】（2021春•江都区期中）在计算（2x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果是：2x2+8x﹣24；乙错把a看成了﹣a，得到结果：2x2+14x+20．（1）求出a，b的值；（2）在（1）的条件下，计算（2x+a）（x+b）的结果．【分析】（1）根据题意得出（2x+a）（x+6）＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，得出12+a＝8，﹣a+2b＝14，求出a、b即可；（2）把a、b的值代入，再根据多项式乘以多项式法则求出即可．【解答】解：（1）甲错把b看成了6，（2x+a）（x+6）＝2x2+12x+ax+6a＝2x2+（12+a）x+6a＝2x2+8x﹣24，∴12+a＝8，解得：a＝﹣4；乙错把a看成了﹣a，（2x﹣a）（x+b）＝2x2+2bx﹣ax﹣ab＝2x2+（﹣a+2b）x﹣ab＝2x2+14x+20，∴2b﹣a＝14，把a＝﹣4代入，得b＝5；（2）当a＝﹣4，b＝5时，（2x+a）（x+b）＝（2x﹣4）（x+5）＝2x2+10x﹣4x﹣20＝2x2+6x﹣20．【题型2 整式乘法中的不含某项问题】【例2】（2021春•蜀山区校级期中）关于x的代数式（mx﹣2）（2x+1）+x2+n化简后不含有x2项和常数项．（1）分别求m，n的值．（2）求m2020n2021的值．【分析】（1）先展开整理原式，再根据题意建立关于m、n的等式，分别求解即可得出结论．（2）同底数幂乘法的逆运算，使n2021变为n2020•n，再利用积的乘方逆运算即可求出原式的值．【解答】解：（1）原式＝2mx2+mx﹣4x﹣2+x2+n，＝（2m+1）x2+mx﹣4x+n﹣2，由题意2m+1＝0，n﹣2＝0，∴m=―12，n＝2．（2）原式＝m2020•n2020•n，＝（m•n）2020•n，由（1）得m=―12，n＝2，原式＝（―12×2）2020×2，＝2．【变式2-1】（2021春•通川区校级月考）若多项式x2+mx﹣8和x2﹣3x+n的的乘积中不含x2和x3的项，求m+n的值．【分析】利用多项式的乘法法则将两个多项式的乘积展开，令x2项和x3项的系数为0，结论可得．【解答】解：由题意：（x2+mx﹣8）（x2﹣3x+n）＝x4﹣3x3+nx2+mx3﹣3mx2+mnx﹣8x2+24x﹣8n＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m﹣8）x2+（mn+24）x﹣8n．∵乘积中不含x2和x3的项，∴m﹣3＝0，n﹣3m﹣8＝0．∴m＝3，n＝17．∴m+n＝20．【变式2-2】（2021春•金牛区校级月考）已知（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）展开式中不含x3和x2项．（1）求m、n的值；（2）当m、n取第（1）小题的值时，求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【分析】（1）利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含x2和x3项列出关于m与n 的方程组，求出方程组的解即可得到m与n的值；（2）先利用多项式乘以多项式的法则将（m+n）（m2﹣mn+n2）展开，再合并同类项化为最简形式，然后将（1）中所求m、n的值代入计算即可．【解答】解：（1）（x3+mx+n）（x2﹣3x+4）＝x5﹣3x4+（m+4）x3+（n﹣3m）x2+（4m﹣3n）x+4n，根据展开式中不含x2和x3项得：m+4=0 n―3m=0，解得：m=―4n=―12．即m＝﹣4，n＝﹣12；（2）∵（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3，当m＝﹣4，n＝﹣12时，原式＝（﹣4）3+（﹣12）3＝﹣64﹣1728＝﹣1792．【变式2-3】（2021春•太湖县期末）【知识回顾】七年级学习代数式求值时，遇到这样一类题“代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值”，通常的解题方法是：把x、y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，则a＝﹣3．【理解应用】（1）若关于x的多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关，求m值；（2）已知A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，且3A+6B的值与x无关，求y的值；【能力提升】（3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未被覆盖的两个部分（图中阴影部分），设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系．【分析】（1）由题可知代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，故将多项式整理为（2m﹣3）x﹣3m+2m2，令x系数为0，即可求出m；（2）根据整式的混合运算顺序和法则化简3A+6B可得3x（5y﹣2）﹣9，根据其值与x无关得出5y﹣2＝0，即可得出答案；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），即可得到S1﹣S2关于x的代数式，根据取值与x可得a＝2b．【解答】解：（1）（2x﹣3）m+2m2﹣3x＝2mx﹣3m+2m2﹣3x∵其值与x的取值无关，∴2m﹣3＝0，解得，m=3 2，答：当m=32时，多项式（2x﹣3）m+2m2﹣3x的值与x的取值无关；（2）∵A＝（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y），B＝﹣x2+xy﹣1，∴3A+6B＝3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）＝3（2x2﹣2x+x﹣1﹣x+3xy]﹣6x2+6xy﹣6＝6x2﹣6x+3x﹣3﹣3x+9xy﹣6x2+6xy﹣6＝15xy﹣6x﹣9＝3x（5y﹣2）﹣9，∵3A+6B的值与x无关，∴5y﹣2＝0，即y=2 5；（3）设AB＝x，由图可知S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a），∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab，∵当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变．∴S1﹣S2取值与x无关，∴a﹣2b＝0∴a＝2b．【题型3 整式乘法的计算】【例3】（2020秋•河北区期末）计算：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）【分析】（1）根据单项式与多项式相乘的法则计算即可；（2）根据多项式与多项式相乘的法则计算即可．【解答】解：（1）―12x2y⋅(13x3y2―34x2y+16)=―12x2y⋅13x3y2+12x2y⋅34x2y―12x2y⋅16（2）（x﹣1）（2x+1）﹣2（x﹣5）（x+2）＝2x2+x﹣2x﹣1﹣2（x2+2x﹣5x﹣10）＝2x2﹣x﹣1﹣2x2+6x+20＝5x+19．【变式3-1】（2021春•九龙坡区校级期中）计算：（1）2x2y（x―12y+1）；（2）（x﹣2y）（y﹣x）．【分析】（1）单项式与多项式相乘的运算法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．（2）多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【解答】解：（1）原式＝2x3y﹣x2y2+2x2y；（2）原式＝xy﹣x2﹣2y2+2xy＝3xy﹣x2﹣2y2．【变式3-2】（2021春•海陵区校级月考）计算：（1）﹣3x2（2x﹣4y）+2x（x2﹣xy）．（2）（3x+2y）（2x﹣3y）﹣3x（3x﹣2y）．【分析】（1）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可；（2）根据多项式乘多项式，多项式乘单项式进行计算即可．【解答】解：（1）原式＝﹣6x3+12x2y+2x3﹣2x2y＝﹣4x3+10x2y；（2）原式＝6x2﹣9xy+4xy﹣6y2﹣9x2+6xy＝﹣3x2+xy﹣6y2．【变式3-3】（2021春•未央区月考）小奇计算一道整式的混合运算的题：（x﹣a）（4x+3）﹣2x，由于小奇将第一个多项式中的“﹣a”抄成“+a”，得到的结果为4x2+13x+9．（1）求a的值．（2）请计算出这道题的正确结果．【分析】（1）根据题意列出关系式，根据多项式相等的条件即可求出a的值；（2）列出正确的算式，计算即可得到结果．【解答】解：（1）根据题意得：（x+a）（4x+3）﹣2x＝4x2+（3+4a﹣2）x+3a＝4x2+13x+9；∴1+4a＝13，解得：a＝3；（2）正确的算式为（x﹣3）（4x+3）﹣2x＝4x2﹣9x﹣9﹣2x＝4x2﹣11x﹣9．【题型4 整式乘法的应用】【例4】（2021春•铁西区期中）有一电脑程序：每按一次按键，屏幕的A区就会自动减去a，同时B区就会自动加上3a，且均显示化简后的结果．已知A，B两区初始显示的分别是25和﹣16（如图所示）．例如：第一次按键后，A，B两区分别显示：25﹣a，﹣16+3a．（1）那么第二次按键后，A区显示的结果为 ，B区显示的结果为 ．（2）计算（1）中A、B两区显示的代数式的乘积，并求当a＝2时，代数式乘积的值．【分析】（1）根据题意列出代数式即可；（2）利用多项式乘多项式法则进行计算，然后将a＝2代入求值．【解答】解：（1）A区显示的结果为：25﹣a﹣a＝﹣2a+25；B区显示的结果为：﹣16+3a+3a＝6a﹣16；（2）（﹣2a+25）（6a﹣16）＝﹣12a2+32a+150a﹣400＝﹣12a2+182a﹣400，当a＝2时，原式＝﹣12×22+182×2﹣400＝﹣84．【变式4-1】（2021春•碑林区校级期中）为迎接十四运，某小区修建一个长为（3a﹣b）米，宽为（a+2b）米的长方形休闲场所ABCD．长方形内筑一个正方形活动区EFGH和连接活动区到矩形四边的四条笔直小路（如图），正方形活动区的边长为（a﹣b）米，小路的宽均为2米．活动区与小路铺设鹅卵石，其它地方铺设草坪．（1）求铺设草坪的面积是多少平方米；（2）当a＝10，b＝4时，需要铺设草坪的面积是多少？【分析】（1）用大长方形的面积减去小正方形的面积和四个长方形的面积即可；（2）将a＝10，b＝4代入（1）中结果计算可得答案．【解答】解：（1）草坪的面积为：（3a﹣b）（a+2b）﹣（a﹣b）2﹣[3a﹣b﹣（a﹣b）]×2﹣[a+2b﹣（a﹣b）]×2＝3a2+5ab﹣2b2﹣a2﹣b2+2ab﹣2a×2﹣3b×2＝2a2+7ab﹣3b2﹣4a﹣6b（平方米）；（2）当a＝10，b＝4时，草坪的面积为：2×102+7×10×4﹣3×42﹣4×10﹣6×4＝368（平方米）．【变式4-2】（2021春•成都期末）（1）如图是小颖家新房的户型图，小颖的爸爸打算把两个卧室以外的部分都铺上地砖，至少需要多少平方米的地砖？如果某种地砖的价格为每平方米a元，那么购买地砖至少需要多少元？（2）如果房屋的高度是h米，现在需要在客厅和两个卧室四周的墙上贴墙纸，那么至少需要多少平方米的墙纸？如果某种墙纸的价格为每平方米b元，那么购买所需的墙纸至少要多少元？（计算时不扣除门、窗所占的面积，忽略墙的厚度）【分析】（1）求出卫生间，厨房，以及客厅的面积之和即可得到需要地砖的面积；根据每平方米地砖的价格是a元钱，求出需要的钱数即可；（2）求出客厅与卧室的面积，乘以高h，即可得到需要的壁纸数；根据壁纸的价格是b元/平方米，求出需要的钱数即可．【解答】解：（1）由题意知，两个卧室以外的部分面积为：3y•y+2y•（3x﹣x﹣y）＝3y2+4xy﹣2y2＝y2+4xy（平方米）．∴购买地砖所需的费用为：（y2+4xy）a＝ay2+4axy（元）．（2）客厅贴墙纸的面积为：（2y+6y）h＝8yh，两个卧室贴墙纸的面积为：（4x+6y）h＝4xh+6yh，∴贴墙纸的总面积为：8yh+4xh+6yh＝14yh+4xh（平方米），∴购买墙纸所需的费用为：（14yh+4xh）b＝14yhb+4xhb（元）．【变式4-3】（2021春•莲湖区期末）已知有甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别为S1，S2．（1）S1与S2的大小关系为：S1 S2．（2）若一个正方形的周长与甲的周长相等．①求该正方形的边长（用含m的代数式表示）．②若该正方形的面积为S3，试探究：S3与S2的差（即S3﹣S2）是否为常数？若为常数，求出这个常数，如果不是，请说明理由．【分析】（1）根据长方形的面积公式列式，然后根据整式的混合运算法则进行计算求解；（2）①根据正方形和长方形的周长公式计算求解；②根据正方形和长方形的面积公式列式，然后利用整式的混合运算法则进行计算求解．【解答】解：（1）由题意：S1＝（m+2）（m+6）＝m2+6m+2m+12＝m2+8m+12，S2＝（m+5）（m+3）＝m2+5m+3m+15＝m2+8m+15，∵S1﹣S2＝（m2+8m+12）﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+12﹣m2﹣8m﹣15＝﹣3＜0，∴S1＜S2，故答案为：＜，（2）①甲的周长为2（m+2+m+6）＝4m+16，∵正方形的周长与甲的周长相等，∴正方形的边长为4m164=m+4，②由①可得，正方形的面积S3＝（m+4）2，∴S3﹣S2＝（m+4）2﹣（m2+8m+15）＝m2+8m+16﹣m2﹣8m﹣15＝1，∴S3与S2的差（即S3﹣S2）是常数，这个常数是1．【题型5 整式除法的应用】【例5】（2021春•上城区期末）一个长方形的面积是15x3y5﹣10x4y4+20x3y2，一边长是5x3y2，则它的另一边长是（ ）A．2y3﹣3xy2+4B．3y3﹣2xy2+4C．3y3+2xy2+4D．2xy2﹣3y3+4【分析】利用长方形的面积公式，列出相应的式子，结合整式的除法法则进行运算即可．【解答】解：（15x3y5﹣10x4y4+20x3y2）÷（5x3y2）＝15x3y5÷（5x3y2）﹣10x4y4÷（5x3y2）+20x3y2÷（5x3y2）＝3y3﹣2xy2+4．故选：B．【变式5-1】（2020•台湾）计算2x2﹣3除以x+1后，得商式和余式分别为何？（ ）A．商式为2，余式为﹣5B．商式为2x﹣5，余式为5C．商式为2x+2，余式为﹣1D．商式为2x﹣2，余式为﹣1【分析】先将被除式2x2﹣3补0，再列竖式计算即可．【解答】解：∵被除式2x2﹣3缺项，∴补0后变为2x2+0x﹣3，长除法计算为：故选：D．【变式5-2】（2020秋•袁州区校级期中）已知一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，则长方形的周长为 ．【分析】直接利用整式的除法运算法则分别计算得出答案．【解答】解：∵一个长方形的面积是6a2﹣4ab+2a，且它的一条边长为2a，∴长方形的另一边长为：（6a2﹣4ab+2a）÷2a＝3a﹣2b+1，故长方形的周长为：2（3a﹣2b+1+2a）＝10a﹣4b+2．故答案为：10a﹣4b+2．【变式5-3】（2021春•潍坊期末）若多项式A除以2x2﹣3，得到的商式为3x﹣4，余式为5x+2，则A ＝ ．【分析】根据题意列出关系式，计算即可得到结果．【解答】解：∵多项式A除以2x2﹣3，得到的商为3x﹣4，余式为5x+2，∴A＝（2x2﹣3）（3x﹣4）+5x+2＝6x3﹣8x2﹣9x+12+5x+2＝6x3﹣8x2﹣4x+14．故答案为：6x3﹣8x2﹣4x+14．【题型6 整式乘法中的规律探究】【例6】（2020秋•邹城市期末）观察下列各式（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1…（1）分解因式：x5﹣1＝ ；（2）根据规律可得（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝ （其中n为正整数）；（3）计算：（3﹣1）（350+349+348+…+32+3+1）．【分析】（1）观察各式，得到因式结果即可；（2）利用得出的规律计算即可；（3）利用得出的规律计算即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）（x﹣1）（x n﹣1+…+x+1）＝x n﹣1；（3）原式＝351﹣1．故答案为：（1）（x﹣1）（x4+x3+x2+x+1）；（2）x n﹣1【变式6-1】（2021春•包河区期末）探究规律，解决问题：（1）化简：（m﹣1）（m+1）＝ ，（m﹣1）（m2+m+1）＝ ．（2）化简：（m﹣1）（m3+m2+m+1），写出化简过程．（3）化简：（m﹣1）（m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1）＝ ．（n为正整数，m n+m n﹣1+m n﹣2+…+1为n+1项多项式）（4）利用以上结果，计算1+3+32+33+…+3100的值．【分析】（1）（2）根据多项式乘多项式的运算法则进行计算即可；（3）根据（1）（2）得出的规律可直接得出答案；（4）根据（3）的出的规律可直接代数进行计算即可．【解答】解：（1）（m﹣1）（m+1）＝m2﹣1；（m﹣1）（m2+m+1）＝m3﹣1；故答案为：m2﹣1；m3﹣1；（2）（m﹣1）（m3+m2+m+1）＝m4+m3+m2+m﹣m3﹣m2﹣m﹣1＝m4﹣1；（3）（m﹣1）（m n﹣1+m n﹣2+…m2+m+1）＝m n+1﹣1；故答案为：m n+1﹣1；（4）根据（3）得出的规律可得：1+3+32+33+…+3100=31011 31，=310112．【变式6-2】（2021春•合肥期中）观察以下等式：（x+1）（x2﹣x+1）＝x3+1（x+3）（x2﹣3x+9）＝x3+27（x+6）（x2﹣6x+36）＝x3+216…（1）按以上等式的规律，填空：（a+b）（ ）＝a3+b3（2）利用多项式的乘法法则，证明（1）中的等式成立．（3）利用（1）中的公式化简：（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）【分析】（1）根据所给等式可直接得到答案（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；（2）利用多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加进行计算即可得到答案；（3）根据题目所给的例子，找出公式后直接运用即可．【解答】解：（1）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3+b3；故答案为：a2﹣ab+b2；（2）（a+b）（a2﹣ab+b2）＝a3﹣a2b+ab2+a2b﹣ab2+b3＝a3+b3；（3）（x+y）（x2﹣xy+y2）﹣（x﹣y）（x2+xy+y2）＝x3+y3﹣（x3﹣y3）＝2y3．【变式6-3】（2020秋•石狮市校级月考）探究应用：（1）计算：（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝ ．（2）上面的乘法计算结果很简洁，你发现了什么规律（公式）？用含字母a、b的等式表示该公式为： ．（3）下列各式能用第（2）题的公式计算的是 ．A．（m+2）（m2+2m+4）B．（m﹣2n）（m2+2mn+2n2）C．（3﹣n）（9+3n+n2）D．（m﹣n）（m2+2mn+n2）（4）设A＝109﹣1，利用上述规律，说明A能被37整除．【分析】（1）用多项式乘以多项式的法则计算即可；（2）观察第（1）问的计算，找出规律，用字母表示即可；（3）判断各选项是否符合公式的特点；（4）公式的逆用，求得A中有37的因数即可．【解答】解：（1）（x﹣1）（x2+x+1）＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1；（2x﹣y）（4x2+2xy+y2）＝8x3+4x2y+2xy2﹣4x2y﹣2xy2﹣y3＝8x3﹣y3；故答案为：x3﹣1；8x3﹣y3；（2）从第（1）问发现的规律是：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3，故答案为：（a﹣b）（a2+ab+b2）＝a3﹣b3；（3）A．第一个多项式不是减法，不符合题意；B．最后一项应该是4n2，不符合题意；C．符合题意；D．第二个多项式的第二项应该为mn，不符合题意．故选：C．（4）A＝109﹣1＝（103）3﹣1＝（103﹣1）（106+103+12）＝999×1001001＝3×3×3×37×1001001，∴A能被37整除．。
初一整式的乘法(含答案)
、基础知识1、整式的乘法：整式的乘法单项式与单项式相乘，把它们系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
单项式与多项式相乘，就是把单项式与多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘，就是用多项式的每一项和另一个多项式的每一项相乘, 再把所得的积相加。
2、乘法公式平方差公式：（a b）（a b） a2b22 2 2完全平方公式：（a b） a 2ab b二、课前预习（5分钟训练）1.计算下列各式:(1) (2XI03) >(3 >104) >(5 >102); (2) (- X105)3(9 >1O3)2；34 5 (3)5X2(-3xy3)；1(4) (— 3ab)(2a2--- ab+5b2);32.若 x m = 3, x n= 2,贝y x2m+3n =三、课中强化（10分钟训练）1.下列计算正确的是（） A.( — 4X2)(2X2+3X— 1)= — 8x4—12x2— 4xB.(x+y)(x 2+y2)=x3+y3C.( — 4a— 1)(4a — 1)=1 — 16a2D.(X— 2y)2=x2— 2xy+4y 2A.0B.2a 2C. — 6a 2D. — 4a 2四、课后巩固（30分钟训练）1. 化简（—2a ） a — （— 2a ）2的结果是（2.计算:(1)2(a 5)2 (a 2)2—(a 2)4 (a 2)2 a 2 ； (2)(b n )3( b 2)m +3(b 3)n b 2 ( b m J 2； ⑶(27 B1X92)2. 3.(1)化简求值：(x — 2)(x — 3)+2(x+6)(x — 5) — 3(x 2— 7x+13)，其中 x =— 1⑵已知 |a — 2|+(b ——)2= 0,求一a(a 2— 2ab- b 2) — b(ab+2a 2— b 2)的值.24.如图15 — 2 — 2,某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形草地， 若圆的半径为r 米，长方形长为a 米，宽为（1）请用代数式表示空地的面积⑵若长方形长为300米，宽为 200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留n ）.图 15— 2— 22.下列5个算式中，错误的有( )①a2b3+a2b3 = 2a4b6② a2b3+a2b3 = 2a2b3③ a2b3a2b3= 2a2b3④ a2b3 a2b3 = a4b6⑤2a2b 3a3b2= 6a6b2A.1个B.2个C.3个D.4个3.现规定一种运算a*b = ab+a-b，其中 a、b 为实数，则 a*b+(b — a)*b 等于(A.a2— bB.b2— bC.b2D.b2— a4.随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低.某品牌电脑按原售价降低m 元后，又降价20%，现售价为n元，那么该电脑的原售价为4一A.(— n+m)兀55 一一B.( — n+m)兀C.(5m+n)兀4D.(5n+m)元8.填输出”结果:(1)输入x1) 输出[?(2)输入X y[y 3(x z)] y[3z (y 3x)]思路分析：利用长方形的面积公式. 解：（1）空地面积为（ab — nr ）平方米.、课前预习（5分钟训练） 1.计算下列各式:参考答案145(1) (2 XI03) >3 >104) >5 >102); (2) (- X105)3(9 >103)2； ( 3) — x 2(——xy 3);1 1 1(4) (— 3ab)(2a 2—— ab+5b 2); (5) (a+-)(a —-). ""44-x 3y 3;(4)— 6a 3b+a 2b 2— 15ab 3；答案：(1) 3X1010；(2) 3 X1021； (3)— 二、课中强化（10分钟训练） 1.下列计算正确的是（）答案：C2.计算：解：(1)原式=2a 10a 4— a 8a 4a 2= 2a 14— a 14= a 14⑵原式=b 3n•2m+3b 3nb 2•2m —2= b3n+2m+3b3n+2m= 4b3n+2m⑶(27 81 >92)2= (33$4$4)2 = (311)2 = 322.3 解：(1)(x — 2)(x — 3)+2(x+6)(x — 5) — 3(x 2— 7x+13) =18x — 93.当 x =——时，原式=—100.18 11 1 ⑵因为 |a — 2|+(b — — )2= 0,所以 a — 2 = 0, b - = 0.因此 a= 2, b=—.222—a(a 2— 2ab — b 2)— b(ab+2a 2— b 2)=— a 3+2a 2b+ab 2— ab 2— 2a 2b+b 3= — a 3+b 3.1 7当 a= 2, b =—时，原式=—7-.4.如图15 — 2 — 2,某长方形广场的四角都有一块半径相同的四分之一圆形草地， 若圆的半径为r 米，长方形长为a 米，宽为 （1）请用代数式表示空地的面积 ⑵若长方形长为300米，宽为 200米，圆形的半径为10米，求广场空地的面积（计算结果保留n ）.图 15 — 2⑵当 a= 300, b= 200, r = 10 时，ab —冗彳=300X200 — 100 n= (60 000 — 100 n 平方米. 答：广场空地的面积为(60 000 — 100n 平方米. 三、课后巩固(30分钟训练)1.化简(—2a) a — (— 2a)2的结果是( ) 答案：C2.下列5个算式中，错误的有( )思路解析：掌握加法运算与乘法运算的法则，①运算错误，用合并同类项法则，应为 a 2b 3+a 2b 3= 2a 2b 3;②为合并同类项，运算正确；③为单项式的乘法，运算错误，正确的 ⑤为单项式的乘法，运算错误，正确的运算为2a 2b 3a 3b 2=6a 5b 3.答案：C其中a 、b 为实数，则a*b+(b — a)*b 等于(答案：B思路分析：这是一道混合化简求值题，由单项式和多项式相乘组成，运算顺序依然是先 乘法后加减，化简时前后的单项式相乘可以同时进行.对于这类求代数式值的问题,直接将字母的值代入代数式，而应先将代数式化简成最简形式，然后再代入求值 (1)x 2(x 2— x+1) — x(x 3— x 2+x — 1)=x 4—x 3+x 2— x 4+x 3— x 2+x=x ,11 当x=^时，原式=丄.22⑵y [ y — 3(x — z)+y [ 3z — (y — 3x) ] =y(y — 3x+3z)+y(3z — y+3x)=y 2— 3xy+3yz+3yz —2y +3xy=6yz ,运算为a 2b 3a 2b 3= a 4b 6;④正确; 3.现规定一种运算：a*b = ab+a — b, A.a 2— bB.b 2— bC.b 2D.b 2— a4.随着计算机技术的迅猛发展，电脑价格不断降低 .某品牌电脑按原售价降低 m 元后，又降价20%，现售价为n 元，那么该电脑的原售价为 4 一 5 一一A.(— n+m)兀B.( — n+m)兀C.(5m+n)兀54思路解析：原售价为 一n—+m. 答案：B1 20%D.(5n+m)元8.填输出”结果:(1)输入x1) 输出七(2)输入Xy[y 3(x z)] y[3z (y 3x)]不便3当 x= — 23一 , y= — 2, z= — 5 时,37原式=6X( — 2) X— 5)=60.1(2)60答案：⑴丄2。
专题01 整式的乘除【易错题型专项训练】解析版
专题01 整式的乘除【易错题型专项训练】易错点一：同底数幂的乘法1.若2x ＝3，2y ＝4，2z ＝12，求x ，y ，z 之间的关系.【解析】解：∵ 3×4＝12，即2x ·2y ＝2z ，∴ 2x+y ＝2z ，∴ x＋y ＝z.故答案为：x ＋y ＝z2.已知a m ＝2，a n ＝3，求下列各式的值：(1) a m+1；(2)a 3+n ；(3)am+n+2. 【解析】解：∵a m =2,a n =3 ，∴（1）a m+1=a m ×a=2a(2)a 3+n =a 3×a n =3a 3(3)a m+n+2=a m ×a n ×a 2=2×3×a 2=6a2故答案为：（1）2a;（2）3a 3; (3)6a 2易错点二：幂的乘方与积的乘方1.计算：[(a －b)3]2－[－(b －a)2]3.【解析】[(a －b)3]2－[－(b －a)2]3=(a －b)6-[－(b －a)6]= (a －b)6+(b －a)6 =(a-b)6+(a-b)6 =2(a-b)62.若m 为正整数，且（a 2）m+1=a 12，则m 的值为______．【答案】5．【解析】解：∵（a 2）m+1=a 12，∴a 2m+2=a 12， ∴2m+2=12，∴m=5．故答案为5．3.若(a m b ⋅ab n )5＝a 10b 15，则3m(n 2+1)的值是( ).A.8B.10C.12D.15【答案】D.【解答】解：(a m b ⋅ab n )5＝(a m b)5(ab n )5=a 5m b 5a 5b 5n = a 5m a 5 b 5b 5n = a 5m+5 b 5+5n ＝a 10b 15 ∴5m+5=10,5+5n=15，∴m=1，n=2，∴3m(n 2+1)=3×5=15故选D. 4.计算：[(x-y)n ]m .(y-x)2=_______.【答案】(x-y)mn+2 【解答】解：原式=(x-y)mn .(x-y)2=(x-y)mn+2.故答案为：(x-y)mn+2易错点三：同底数幂的除法1.已知：5a =4，5b =6，5c =9，（1）求52a+c-b 的值；（2）试说明：2b=a+c ．【解析】解：（1）52a+b =52a ×5c ÷5b =（5a ）2×5c ÷5b =42×9÷6=24； （2）∵5a+c =5a ×5c =4×9=3652b =62=36，∴5a+c =52b ，∴a+c=2b ．易错点四：整式的乘法1.若(8×106)(5×102)(2×10)＝M ×10a ，则M 、a 的值可为( )A.M ＝8，a ＝8B.M ＝2，a ＝9C.M ＝8，a ＝10D.M ＝5，a ＝10【答案】C.【解析】解：(8×106)(5×102)(2×10)= (8×5×2)×(106×102×10)=80×109=8×1010=M ×10a ∴M ＝8，a ＝10故选C.2.若(－5a m+1b 2n −1)(2a n b m )＝－10a b ，则m －n 等于( )A.－3B.－1C.1D.3【答案】B.【解析】(－5a m+1b 2n −1)(2a n b m )=(-5×2)( a m+1a n )( b 2n −1b m )=-10 a m+n+1 b 2n+m −1∴-10 a m+n+1 b 2n+m −1=－10a 4b 4 ∴∴m=1，n=2∴m －n=-1.故选B.3.已知M 和N 表示单项式，且满足2x （M+3x ）=6x 2y 2+N ，则M=_____，N=______．【答案】3xy 2，6x 2．【解析】解：∵2x （M+3x ）=6x 2y 2+N ，∴2xM+6x 2=6x 2y 2+N ，则N=6x 2，M=6x 2y 2÷2x=3xy 2，故答案为：3xy 2，6x 2．4.要使−5x 3×(x 2＋ax ＋5)的结果中不含x 4项，则a 等于______. 【答案】0．【解析】解：-5x3×x2+(-5x3)×ax+(-5x3)×5=-5x5-5ax4-25x3，∵展开式中不含x4项，则-5a=0，∴a=0.故答案为：a=0.5.若多项式(x 2＋mx＋n)(x2－3x＋4)的展开式不含x3项和x2项，试求m、n的值.【解析】解：原式=x4-3x3+4x2+mx3-3mx2+4mx+nx2-3nx+4n，=x4+（m-3）x3+（4-3m+n）x2+（4m-3n）x+4n．由题意得m-3=0，4-3m+n=0，解得m=3，n=5故答案为：m=3，n=56.若（3x3+M）（2x2-1）是一个五次多项式，则下列说法中正确的是（）A.M是一个三次单项式B.M是一个三次多项式C.M的次数不高于三D.M不可能是一个常数【答案】C.【解析】解：（3x3+M）（2x2-1）=6x5-3x3+2Mx2-M因为结果是一个五次多项式，所以M的次数不高于三故选C．易错点五：平方差公式1.计算：(a-2b+3c)(a-2b-3c)【解析】解：(a-2b+3c)(a-2b-3c)= [(a-2b)+3c][(a-2b)-3c]=(a-2b)2-(3c)2=a2-4ab+4b2-9c2.故答案为：a2-4ab+4b2-9c2.2.计算：(2a－b)(4a2＋b2)(2a＋b)＝________.【答案】16a4-b4.【解析】解：(2a－b)(4a2+b2)(2a+b)＝(2a－b)(2a+b)(4a2+b2)＝(4a2-b2)(4a2+b2)=16a4-b4故答案为：16a4-b4易错点六：完全平方公式1.下列计算正确的是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】A．，故本选项错误；B．，故本选项错误；C．，故本选项正确；D．，故本选项错误．故选D．2.计算：(2a+3b−c)2【解析】解：原式=[(2a+3b)−c]2=(2a+3b)2-2c(2a+3b)+c2=4a2+12ab+9b2-4ac-6bc+c23.若多项式x2-（k-1）x+16是完全平方公式，则k=______．【答案】9或-7．【解析】解：∵多项式x2-（k-1）x+16是完全平方公式，∴（k-1）x是x和4的2倍，∴k-1=±8，解得k=9或-7，故答案为：9或-7．4.如果二次三项式x2-2（m-1）x+16是一个完全平方式，那么m的值是（）A.3B.-5C.3或-5D.5或-3【答案】D.【解析】解：∵多项式x2-2（m-1）x+16是完全平方公式，∴2（m-1）是x和4的2倍，∴m-1=±4，解得m=-3或5，故选D ．5.若x 2＋y 2－4x ＋2y ＋5＝0，求x ＋y 的值.【解析】解：将x 2+y 2-4x+2y+5=0变形得：x 2-4x+4+y 2+2y+1=0，即(x-2)2+(y+1)2=0， ∴x-2=0且y+1=0，解得：x=2，y=-1，则x+y=2+(-1)=1．6.已知a 、b 满足等式a 2+b 2-4（2b-a ）+20=0，求a+b 值．【解析】解：∵a 2+b 2-4（2b-a ）+20=0，∴a 2+b 2-8b+4a+20=0a 2+4a+4+b 2-8b+16=0，∴（a+2）2+（b-4）2=0， ∴， ∴， ∴a+b=-2+4=2．易错点七：整式除法1.计算（5m 2+15m 3n-20m 4）÷（-5m 2）结果正确的是( )A1-3mn+4m 2 B-1-3m+4m 2 C4m 2-3mn-1 D4m 2-3mn 【答案】C ．【解析】解：原式=5m 2（1+3mn-4m 2）÷（-5m 2）=4m 2-3mn-1．故选：C ．2.若一个三角形的面积为6x 2+13x+5，底边长为2x+1，则底边上的高为______.【答案】6x+10．【解析】解：底边上的高是：2（6x 2+13x+5）÷（2x+1）=2（2x+1）（3x+5）÷（2x+1）=2（3x+5）=6x+10．故答案是：6x+10．易错点八：化简求值1.先化简，再求值：22232[()()]2a a b ab b a a b a b ---÷，其中12a =-，13b =． 【解析】22232[()()]2a a b ab b a a b a b ---÷ 3222322()2a b a b a b a b a b =--+÷3222(22)2a b a b a b =-÷1ab =-，当12a =-，13b =时，原式116=-． 2.先化简，再求值：（2a+b ）2-（2a-b ）（a+b ）-2（a-2b ）（a+2b ），其中a=12，b=-2． 【解析】（2a+b ）2-（2a-b ）（a+b ）-2（a-2b ）（a+2b ）=（4a 2+4ab+b 2）–（2a 2+2ab –ab –b 2）–2（a 2–4b 2）=4a 2+4ab+b 2-2a 2-ab+b 2-2a 2+8b 2=3ab+10b 2，当a=，b=-2时，原式=3××（-2）+10×（-2）2=-3+40=37．3.已知a+b=5，ab=6，则a 2+b 2=_____，a-b=____．【答案】13，±1．【解析】解：∵a+b=5，∴（a+b ）2=25，即a 2+2ab+b 2=25，∵ab=6，∴a 2+b 2=25-2×6=25-12=13；∵（a-b ）2=a 2-2ab+b 2=13-2×6=13-12=1，∴a-b=±1．故答案为：13，±1． 4.通过对代数式进行适当变形，求出代数式的值：若m 2＋m －1＝0，求m 3+2m 2＋200的值.【解析】解：m 2+m-1=0即得到：m 2+m=1m 3+2m 2+2008=m 3+m 2+m 2+2008=m(m 2+m)+m 2+2008=m+m 2+2008=1+2008=2009。
【精品讲义】人教版 八年级数学(上) 专题14.1 整式的乘法(知识点+例题+练习题)含答案
第十四章 整式的乘法与因式分解14.1 整式的乘法一、同底数幂的乘法一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，a m ·a n =()m aa a a ⋅⋅⋅个·()n aa a a ⋅⋅⋅个=()m n aa a a +⋅⋅⋅个=m n a +．语言叙述：同底数幂相乘，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的乘法法则的推广：三个或三个以上同底数幂相乘，法则也适用．m n p a a a ⋅⋅⋅=m n pa +++（m ，n ，…，p 都是正整数）．2．同底数幂的乘法法则的逆用：a m +n =a m ·a n （m ，n 都是正整数）． 二、幂的乘方1．幂的乘方的意义：幂的乘方是指几个相同的幂相乘，如（a 5）3是三个a 5相乘，读作a 的五次幂的三次方，（a m ）n 是n 个a m 相乘，读作a 的m 次幂的n 次方． 2．幂的乘方法则：一般地，对于任意底数a 与任意正整数m ，n ，()=mn mm n m m m m m mmn n a a a a a a a +++=⋅⋅⋅=个个．语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数__________．【拓展】1．幂的乘方的法则可推广为[()]m n p mnpa a =（m ，n ，p 都是正整数）．2．幂的乘方法则的逆用：()()mn m n n m a a a ==（m ，n 都是正整数）． 三、积的乘方1．积的乘方的意义：积的乘方是指底数是乘积形式的乘方．如（ab ）3，（ab ）n 等．3()()()()ab ab ab ab =⋅⋅（积的乘方的意义）=（a ·a ·a ）·（b ·b ·b ）（乘法交换律、结合律）=a 3b 3．2．积的乘方法则：一般地，对于任意底数a ，b 与任意正整数n ，()()()()=n n nn an bn ab ab ab ab ab a a a b b b a b =⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅个个个．因此，我们有()nn nab a b =．语言叙述：积的乘方，等于把积的每一个因式分别__________，再把所得的幂相乘． 四、单项式与单项式相乘法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别__________，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．1．只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． 2．单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． 3．单项式乘单项式的结果仍然是单项式．【注意】1．积的系数等于各项系数的积，应先确定积的符号，再计算积的绝对值． 2．相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算． 五、单项式与多项式相乘法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积__________．用式子表示：m （a +b +c ）=ma +mb +mc （m ，a ，b ，c 都是单项式）．【注意】1．单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项．2．计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． 3．对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 六、多项式与多项式相乘1．法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积__________．2．多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m +n ）（a +b +c ），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m （a +b +c ）与n （a +b +c ），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m +n ）（a +b +c ）=m （a +b +c ）+n （a +b +c ）=ma +mb +mc +na +nb +nc ． 【注意】1．运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏．2．多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 七、同底数幂的除法 同底数幂的除法法则：一般地，我们有m n m n a a a -÷=（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 语言叙述：同底数幂相除，底数不变，指数__________．【拓展】1．同底数幂的除法法则的推广：当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质，例如：m n p m n p a a a a --÷÷=（a ≠0，m ，n ，p 都是正整数，并且m >n +p ）． 2．同底数幂的除法法则的逆用：m n m n a a a -=÷（a ≠0，m ，n 都是正整数，并且m >n ）． 八、零指数幂的性质 零指数幂的性质：同底数幂相除，如果被除式的指数等于除式的指数，例如a m ÷a m ，根据除法的意义可知所得的商为1．另一方面，如果依照同底数幂的除法来计算，又有a m ÷a m =a m -m =a 0． 于是规定：a 0=1（a ≠0）．语言叙述：任何不等于0的数的0次幂都等于__________． 【注意】1．底数a 不等于0，若a =0，则零的零次幂没有意义． 2．底数a 可以是不为零的单顶式或多项式，如50=1，（x 2+y 2+1）0=1等． 3．a 0=1中，a ≠0是极易忽略的问题，也易误认为a 0=0． 九、单项式除以单项式单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别__________作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【归纳】该法则包括三个方面：（1）系数相除；（2）同底数幂相除；（3）只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式．【注意】可利用单项式相乘的方法来验证结果的正确性． 十、多项式除以单项式多项式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商__________．【注意】1．多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号．2．多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． 3．多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验．一、相加 二、相乘 三、乘方四、相乘五、相加六、相加七、相减八、1九、相除十、相加1．同底数幂的乘法（1）同底数幂的乘法法则只有在底数相同时才能使用． （2）单个字母或数字可以看成指数为1的幂．（3）底数不一定只是一个数或一个字母，也可以是单项式或多项式．计算m 2·m 6的结果是A ．m 12B ．2m 8C ．2m 12D ．m 8【答案】D【解析】m 2·m 6=m 2+6=m 8，故选D ．计算-（a -b ）3（b -a ）2的结果为A ．-（b -a ）5B ．-（b ＋a ）5C ．（a -b ）5D ．（b -a）5【答案】D【解析】-（a-b ）3（b -a ）2=（b -a ）3（b -a ）2=（b -a ）5，故选D ．2．幂的乘方与积的乘方（1）每个因式都要乘方，不能漏掉任何一个因式．（2）要注意系数应连同它的符号一起乘方，尤其是当系数是-1时，不可忽略．计算24()a 的结果是A ．28aB ．4aC ．6aD ．8a【答案】D【解析】24()a =248a a ⨯=，故选D ．下列等式错误的是A ．（2mn ）2=4m 2n 2B ．（-2mn ）2=4m 2n 2C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6D ．（-2m 2n 2）3=-8m 5n 5【答案】D【解析】A ．（2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； B ．（-2mn ）2=4m 2n 2，该选项正确； C ．（2m 2n 2）3=8m 6n 6，该选项正确；D ．（-2m 2n 2）3=-8m 6n 6，该选项错误．故选D ．3．整式的乘法（1）单顶式与单顶式相乘，系数是带分数的一定要化成假分数，还应注意混合运算的运算顺序：先乘方，再乘法，最后加减．有同类顶的一定要合并同类顶．（2）单顶式与多顶式相乘的计算方法，实质是利用分配律将其转化为单项式乘单项式．计算：3x 2·5x 3的结果为A ．3x 6B ．15x 6C ．5x 5D ．15x 5【答案】D【解析】直接利用单项式乘以单项式运算法则，得3x 2·5x 3=15x 5．故选D ．下列各式计算正确的是A ．2x （3x -2）=5x 2-4xB ．（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2C ．（x +2）2=x 2+2x +4D ．（x +2）（2x -1）=2x 2+5x -2【答案】B【解析】A 、2x （3x -2）=6x 2-4x ，故本选项错误； B 、（2y +3x ）（3x -2y ）=9x 2-4y 2，故本选项正确； C 、（x +2）2=x 2+4x +4，故本选项错误；D 、（x +2）（2x -1）=2x 2+3x -2，故本选项错误．故选B ．4．同底数幂的除法多顶式除以单项式可转化为单项式除以单顶式的和，计算时应注意逐项相除，不要漏项，并且要注意符号的变化，最后的结果通常要按某一字母升幂或降幂的顺序排列．计算2x 2÷x 3的结果是 A ．xB ．2xC ．x -1D ．2x -1【答案】D【解析】因为2x 2÷x 3=2x -1，故选D ．计算：4333a b a b ÷的结果是 A ．aB ．3aC ．abD ．2a b【答案】A【解析】因为43334333a b a b a b a --÷==．故选A ．计算：22(1510)(5)x y xy xy --÷-的结果是A ．32x y -+B ．32x y +C ．32x -+D ．32x --【答案】B【解析】因为2221111121(1510)(5)3232x y xy xy xyx y x y ------÷-=+=+．故选B ．5．整式的化简求值（1）化简求值题一般先按整式的运算法则进行化简，然后再代入求值．（2）在求整式的值时，代入负数时应用括号括起来，作为底数的分数也应用括号括起来．先化简，再求值：2[()(4)8]2x y y x y x x -+--÷，其中8x =，2018y =．【解析】原式222(248)2x xy y xy y x x =-++--÷2(28)2x xy x x =+-÷142x y =+-． 当8x =，2018y =时，原式182018420182=⨯+-=．1．计算3(2)a -的结果是 A ．38a -B ．36a -C ．36aD ．38a2．下列计算正确的是 A ．77x x x ÷=B ．224(3)9x x -=-C ．3362x x x ⋅=D ．326()x x =3．如果2(2)(6)x x x px q +-=++，则p 、q 的值为 A ．4p =-，12q =- B ．4p =，12q =- C ．8p =-，12q =-D ．8p =，12q =4．已知30x y +-=，则22y x ⋅的值是 A ．6B ．6-C ．18D ．85．计算3n ·（-9）·3n ＋2的结果是 A ．-33n -2B ．-3n ＋4C ．-32n ＋4D ．-3n ＋66．计算223(2)(3)m m m m -⋅-⋅+的结果是 A ．8m 5B ．–8m 5C ．8m 6D ．–4m 4+12m 57．若32144m nx y x y x ÷=，则m ，n 的值是 A ．6m =，1n = B ．5m =，1n = C ．5m =，0n =D ．6m =，0n =8．计算（-x ）2x 3的结果等于__________． 9．（23a a a ⋅⋅）³=__________．10．3119(1.210)(2.510)(410)⨯⨯⨯=__________． 11．计算：（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=__________．12．若1221253()()m n n m a b a b a b ++-= ，则m +n 的值为__________． 13．计算：（1）21(2)()3(1)3x y xy x -⋅-+⋅-； （2）23(293)4(21)a a a a a -+--． （3）（21x 4y 3–35x 3y 2+7x 2y 2）÷（–7x 2y ）．14．先化简，再求值：（1）x （x -1）+2x （x +1）-（3x -1）（2x -5），其中x =2； （2）243()()m m m -⋅-⋅-，其中m =2-．15．“三角”表示3xyz ，“方框”表示-4a b d c ．求×的值．16．下列运算正确的是A ．326a a a ⨯=B ．842a a a ÷=C ．3(1)33a a --=-D ．32911()39a a =17．计算5642333312(3)2a b c a b c a b c ÷-÷，其结果正确的是A ．2-B ．0C ．1D ．218．计算：(7)(6)(2)(1)x x x x +---+=__________． 19．如果1()()5x q x ++展开式中不含x 项，则q =__________． 20．已知：2x =3，2y =6，2z =12，试确定x ，y ，z 之间的关系．21．在一次测试中，甲、乙两同学计算同一道整式乘法：（2x +a ）（3x +b ），由于甲抄错了第一个多项式中的符号，得到的结果为6x 2+11x -10；由于乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果为2x 2-9x +10． （1）试求出式子中a ，b 的值；（2）请你计算出这道整式乘法的正确结果．22．（2019•镇江）下列计算正确的是A ．236a a a ⋅=B ．734a a a ÷=C ．358()a a =D ．22()ab ab =23．（2019•泸州）计算233a a ⋅的结果是A ．54aB ．64aC ．53aD ．63a24．（2019•柳州）计算：2(1)x x -=A ．31x -B ．3x x -C ．3x x +D ．2x x -25．（2019•天津）计算5x x ⋅的结果等于__________． 26．（2019•绥化）计算：324()m m -÷=__________． 27．（2019•乐山）若392m n ==，则23m n +=__________． 28．（2019•武汉）计算：2324(2)x x x -⋅． 29．（2019•南京）计算：22()()x y x xy y +-+．1．【答案】A【解析】33(2)8a a -=-，故选A ． 2．【答案】D【解析】A 、76x x x ÷=，故此选项错误； B 、224(3)9x x =-，故此选项错误； C 、336x x x ⋅=，故此选项错误； D 、326()x x =，故此选项正确， 故选D ． 3．【答案】A【解析】已知等式整理得：x 2-4x -12=x 2+px +q ，可得p =-4，q =-12，故选A ．4．【答案】D【解析】∵x +y -3=0，∴x +y =3，∴2y ·2x =2x +y =23=8．故选D ．5．【答案】C【解析】3n ·（-9）·3n ＋2=-3n ·32·3n ＋2=-32n +4，故选C ．6．【答案】A【解析】原式=4m 2·2m 3=8m 5，故选A ．7．【答案】B 【解析】因为33121444m n m n x y x y x y x --÷==，所以32m -=，10n -=，5m =，1n =，故选B ． 8．【答案】x 5【解析】根据积的乘方以及同底数幂的乘法法则可得：（-x ）2x 3=x 2·x 3=x 5．故答案为：x 5． 9．【答案】a 18【解析】（23a a a ⋅⋅）³=（6a ）³=a 18．故答案为：a 18． 10．【答案】241.210⨯【解析】原式=1.2×103×（2.5×1011）×（4×109）=12×1023=1.2×1024．故答案为：1.2×1024． 11．【答案】1b -【解析】（a 2b 3-a 2b 2）÷（ab ）2=（a 2b 3-a 2b 2）÷a 2b 2=a 2b 3÷a 2b 2-a 2b 2÷a 2b 2=1b -．故答案为：1b -． 12．【答案】2【解析】（a m +1b n +2）（a 2n –1b 2m ）=a m +1+2n –1·b n +2+2m =a m +2n ·b n +2m +2=a 5b 3， ∴25223m n n m +=++=⎧⎨⎩， 两式相加，得3m +3n =6，解得m +n =2，故答案为：2．13．【解析】（1）原式=2x 2y +3xy -x 2y=x 2y +3xy ．（2）原式=6a 3-27a 2+9a -8a 2+4a=6a 3-35a 2+13a ．（3）原式=21x 4y 3÷（–7x 2y ）–35x 3y ÷（–7x 2y ）+7x 2y 2÷（–7x 2y ）=–3x 2y 2+5xy –y ．14．【解析】（1）原式=x 2-x +2x 2+2x -6x 2+17x -5=（x 2+2x 2-6x 2）+（-x +2x +17x ）-5=-3x 2+18x -5．当x =2时，原式=19．（2）原式=-m 2·m 4·（-m 3）=m 2·m 4·m 3=m 9．当m =-2时，则原式=（-2）9=-512．15．【解析】由题意得×=（3mn ·3）×（–4n 2m 5） =[]526333(4)()()36m m n n m n ⨯⨯-⋅⋅⋅=-．16．【答案】C【解析】A 、2326a a a ⨯=，故本选项错误；B 、844a a a ÷=，故本选项错误；C 、()3133a a --=-，正确；D 、32611()39a a =，故本选项错误， 故选C ．17．【答案】A【解析】因为5642333352363341312(3)222a b c a b c a b c ab c ------÷-÷=-=-，故选A ． 18．【答案】2x -40【解析】原式=（x 2+x -42）-（x 2-x -2）=2x -40．故答案为：2x -40．19．【答案】15- 【解析】1()()5x q x ++=211()55x q x q +++，由于展开式中不含x 的项，∴105q +=，∴15q =-．故答案为：15-．20．【解析】因为2x =3，所以2y =6=2×3=2×2x =2x ＋1， 2z =12=2×6=2×2y =2y ＋1．所以y =x +1，z =y +1．两式相减，得y -z =x -y ，所以x +z =2y ．21．【解析】（1）由题意得：（2x -a ）（3x +b ）=6x 2+（2b -3a ）x -ab ，（2x +a ）（x +b ）=2x 2+（a +2b ）x +ab ， 所以2b -3a =11①，a +2b =-9②，由②得2b =-9-a ，代入①得-9-a -3a =11，所以a =-5，2b =-4，b =-2．（2）由（1）得（2x +a ）（3x +b ）=（2x -5）（3x -2）=6x 2-19x +10．22．【答案】B【解析】A 、a 2·a 3=a 5，故此选项错误；B 、a 7÷a 3=a 4，正确；C 、（a 3）5=a 15，故此选项错误；D 、（ab ）2=a 2b 2，故此选项错误，故选B ．23．【答案】C【解析】23533a a a ⋅=，故选C ．24．【答案】B【解析】23(1)x x x x -=-，故选B ．25．【答案】6x【解析】56⋅=x x x ，故答案为：6x ．26．【答案】2m【解析】原式64642m m m m ÷－＝＝＝，故答案为：m 2．27．【答案】4【解析】∵23=9=32=m n n ，∴2233339224+=⨯=⨯=⨯=m n m n m n ，故答案为：4．28．【解析】2324(2)x x x -⋅=668x x -67x =．29．【解析】22()()x y x xy y +-+322223x x y xy x y xy y =-++-+ 33x y =+．。
专题02 整式、乘法公式、因式分解(解析版)
专题02 整式、乘法公式、因式分解【中考考向导航】目录【直击中考】 (1)【考向一整式的有关概念】 (1)【考向二整式的运算】 (4)【考向三与乘法公式有关的运算】 (8)【考向四因式分解】 (11)【直击中考】【考向一整式的有关概念】【答案】()21 n n+【分析】第一个图形有1根木料，第二个图形有2(21)122´++=根木料，第三个图形有【点睛】本题考查了图形的变化类问题，仔细观察，分析，归纳并发现其中的规律是解本题的关键．【变式训练】A．9B．10C．11D．12【答案】B【分析】列举每个图形中H的个数，找到规律即可得出答案．【详解】解：第1个图中H的个数为4，【考向二 整式的运算】例题1．（2022·湖南永州·统考中考真题）若单项式3m x y 的与62x y -是同类项，则m =______．【答案】6【分析】由题意直接根据同类项的概念，进行分析求解即可．【详解】解：∵单项式3m x y 与62x y -是同类项，∴6m =．故答案为：6．【点睛】本题主要考查同类项的定义，解答本题的关键是掌握同类项定义中的两个“相同”即相同字母的指数相同．例题2．（2022·青海西宁·统考中考真题）()2332x xy ×-=_________【答案】336x y -【分析】根据积的乘方法则计算即可．【详解】解：()2332x xy ×-=336x y -，故答案为：336x y -．【点睛】本题考查了积的乘方，解题的关键是掌握运算法则．【变式训练】1．（2022·贵州黔西·统考中考真题）计算()232x x -×正确的是（ ）A ．36x B ．312x C ．318x D ．312x -【答案】C【分析】先算积的乘方，再算同底数幂的乘法，即可得．【详解】()232x x -×=239·218x x x =故选：C ．【点睛】本题考查了单项式乘单项式，积的乘方，同底数幂的乘法，能灵活运用法则进行计算是解题的关键．2．（2022·西藏·统考中考真题）下列计算正确的是（ ）A ．2ab ﹣ab ＝abB ．2ab +ab ＝2a 2b 2C ．4a 3b 2﹣2a ＝2a 2bD ．﹣2ab 2﹣a 2b ＝﹣3a 2b 2【答案】A【详解】A 、2ab ﹣ab ＝（2﹣1）ab ＝ab ，选项正确，符合题意；B 、2ab +ab ＝（2+1）ab ＝3ab ，选项不正确，不符合题意；C 、4a 3b 2与﹣2a 不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意；D 、﹣2ab 2与﹣a 2b 不是同类项，不能合并，选项不正确，不符合题意．故选A ．【点睛】本题考查整式的加减．在计算的过程中，把同类项进行合并，不能合并的直接写在结果中即可．3．（2022·青海·统考中考真题）下列运算正确的是（ ）A ．235347x x x +=B ．()222x y x y +=+C ．()()2232394x x x +-=-D ．()224212xy xy xy y +=+【答案】D【分析】根据合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解计算即可．【详解】A .选项，3x 2与4x 3不是同类项，不能合并，故该选项计算错误，不符合题意；B .选项，原式= ()2222x y x xy y +=++，故该选项计算错误，不符合题意；C .选项，原式= 249x -，故该选项计算错误，不符合题意；D .选项，原式=()212xy y +，故该选项计算正确，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查了合并同类项，完全平方公式，平方差公式，因式分解，注意完全平方公式展开有三项是解题的易错点．4．（2022·甘肃武威·统考中考真题）计算：323a a ×=_____________．【答案】53a 【分析】根据单项式的乘法直接计算即可求解．【详解】解：原式＝323a a ×=53a ．故答案为：53a ．【点睛】本题考查了单项式的乘法，正确的计算是解题的关键．5．（2022·内蒙古包头·中考真题）若一个多项式加上2328xy y +-，结果得2235xy y +-，则这个多项式为___________．【答案】23y xy -+【分析】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，求解即可．【详解】设这个多项式为A ，由题意得：22(328)235A xy y xy y ++-=+-，22222(235)(328)2353283A xy y xy y xy y xy y y xy \=+--+-=+---+=-+，故答案为：23y xy -+．【点睛】本题考查了整式的加减，准确理解题意，列出方程是解题的关键．6．（2022·山东威海·统考中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn ＝_____．【答案】1【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m ，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m -n +4，第三行中间数字为n -6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m 可得关于m ，n 方程组，解出即可．【详解】如图，根据题意，可得第二行的数字之和为：m +2+(-2)=m【考向三 与乘法公式有关的运算】例题：（2022·江苏盐城·统考中考真题）先化简，再求值：()()()2443x x x +-+-，其中2310x x -+=．【答案】2267x x --，-9【分析】根据平方差公式和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将x 的值代入化简后的式子即可解答本题．【详解】解：原式221669x x x =-+-+2267x x =--．2310x x -+=Q ，231x x \-=-，原式()()22372179x x =--=´--=-【点睛】本题考查整式的混合运算-化简求值，解答本题的关键是明确整式化简求值的方法．【变式训练】1．（2022·甘肃兰州·统考中考真题）计算：()22x y +=（ ）A ．2244x xy y ++B ．2224x xy y ++C ．2242x xy y ++D ．224x y +【答案】A【分析】根据完全平方公式展开即可．【详解】解：原式=2244x xy y ++故选：A ．【点睛】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．2．（2022·上海·统考中考真题）下列运算正确的是……（ ）A ．a ²+a ³=a 6B ．（ab ）2 =ab 2C ．（a +b ）²=a ²+b ²D ．（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2【答案】D【分析】根据整式加法判定A ；运用积的乘方计算关判定B ；运用完全平方公式计算并判定C ；运用平方差公式计算并判定D ．【详解】解：A .a ²+a ³没有同类项不能合并，故此选项不符合题意；B .（ab ）2 =a 2b 2，故此选项不符合题意；C .（a +b ）²=a ²+2ab +b ²，故此选项不符合题意D .（a +b ）（a -b ）=a ² -b 2，故此选项符合题意故选：D ．【点睛】本题考查整理式加法，积的乘方，完全平方公式，平方差公式，熟练掌握积的乘方运算法则、完全平方公式、平方差公式是解题的关键．3．（2022·江苏南通·统考中考真题）已知实数m ，n 满足222+=+m n mn ，则2(23)(2)(2)-++-m n m n m n 的最大值为（ ）【答案】(1)266a ab +；(2)T =6【分析】(1)根据整式的四则运算法则化简即可；(2)由方程有两个相等的实数根得到判别式△=4a ²-4(-ab +1)=0即可得到21a ab +=，整体代入即可求解．（1）解：T =()()222226949a ab b a b a+++-+=266a ab +；（2）解：∵方程2210x ax ab +-+=有两个相等的实数根，∴()()22410a ab =--+=n ，∴21a ab +=，则T =()26616a ab +=´=．【点睛】本题考查了整式的四则运算法则、一元二次方程的实数根的判别、整体思想，属于基础题，熟练掌握运算法则及一元二次方程的根的判别式是解题的关键．【考向四 因式分解】例题：（2022·贵州黔东南·统考中考真题）分解因式：2202240442022x x -+=_______．【答案】()220221x -##()220221x -【分析】先提公因式，然后再根据完全平方公式可进行因式分解．【详解】解：原式=()()2220222120221x x x -+=-；故答案为()220221x -．【点睛】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键．【变式训练】1．（2022·山东济宁·统考中考真题）下面各式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ）A ．21(1)1x x x x --=--B ．221(1)x x -=-C ．26(3)(2)x x x x --=-+D ．2(1)x x x x-=-【答案】C【分析】根据因式分解的定义对选项逐一分析即可．【详解】把一个多项式化成几个整式积的形式，这种变形叫做因式分解．A 、右边不是整式积的形式，故不是因式分解，不符合题意；B 、形式上符合因式分解，但等号左右不是恒等变形，等号不成立，不符合题意；C 、符合因式分解的形式，符合题意；D 、从左到右是整式的乘法，从右到左是因式分解，不符合题意；故选C ．【点睛】本题考查因式分解，解决本题的关键是充分理解并应用因式分解的定义．2．（2022·广西柳州·统考中考真题）把多项式a 2+2a 分解因式得（ ）A ．a （a +2）B ．a （a ﹣2）C ．（a +2）2D ．（a +2）（a ﹣2）【答案】A【分析】运用提公因式法进行因式分解即可．【详解】22(2)a a a a +=+故选A【点睛】本题主要考查了因式分解知识点，掌握提公因式法是解题的关键．3．（2022·广西河池·统考中考真题）多项式244x x -+因式分解的结果是( )A ．x （x ﹣4）+4B ．（x +2）（x ﹣2）C ．（x +2）2D ．（x ﹣2）2【答案】D【分析】根据完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：()22442x x x -+=-．故选：D ．【点睛】本题主要考查了公式法分解因式，理解完全平方公式是解答关键．4．（2022·江苏扬州·统考中考真题）分解因式：233x -=_____．【答案】()()311x x +-##()()311x x -+【分析】先提取公因式，再用平方差公式即可求解．【详解】233x -()231x =-()()311x x =+-，故答案：()()311x x +-．【点睛】本题考查了用提公因式法和平方差公式分解因式的知识．把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式．因式分解是恒等变形．因式分解必须分解到每一个因式都不能再分解为止．5．（2022·四川绵阳·统考中考真题）因式分解：32312x xy -=_________．【答案】()()322x x y x y +-【分析】先提取公因式3x ，然后根据平方差公式因式分解即可求解．【详解】解：原式＝()()()2234322x x y x x y x y -=+-．故答案为：()()322x x y x y +-．【点睛】本题考查了因式分解，正确的计算是解题的关键．6．（2022·广东广州·统考中考真题）分解因式：2321-=a ab ________【答案】()37-a a b 【分析】直接提取公因式3a 即可得到结果．【详解】解：()232137-=-a ab a a b ．故答案为：()37-a a b 【点睛】本题考查因式分解，解本题的关键是熟练掌握因式分解时有公因式要先提取公因式，再考虑是否可以用公式法．7．（2022·山东济南·统考中考真题）因式分解：244a a ++=______．【答案】()22a +【分析】原式利用完全平方公式分解即可．【详解】解：244a a ++=()22a +．故答案为：()22a +．【点睛】此题考查了公式法的运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．8．（2022·湖北恩施·统考中考真题）因式分解：3269a a a -+=______．【答案】2(3)a a -【分析】先提公因式a ，再利用完全平方公式进行因式分解即可．【详解】解：原式22(69)(3)a a a a a =-+=-，故答案为：2(3)a a -．【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，解题的关键是掌握完全平方公式的结构特征．9．（2022·贵州黔西·统考中考真题）已知2ab =，3a b +=，则22a b ab +的值为_____．【答案】6【分析】将22a b ab +因式分解，然后代入已知条件即可求值．【详解】解：22a b ab +()ab a b =+23=´6=．故答案为：6【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．10．（2022·青海西宁·统考中考真题）八年级课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：将2346a ab b --+因式分解．【观察】经过小组合作交流，小明得到了如下的解决方法：解法一：原式()()()()()()234623223232a ab b a b b b a =---=---=--解法二：原式()()()()()()24362232223a ab b a b a a b =---=---=--【感悟】对项数较多的多项式无法直接进行因式分解时，我们可以将多项式分为若干组，再利用提公因式法、公式法达到因式分解的目的，这就是因式分解的分组分解法．分组分解法在代数式的化简、求值及方程、函数等学习中起着重要的作用．（温馨提示：因式分解一定要分解到不能再分解为止）【类比】(1)请用分组分解法将22x a x a -++因式分解；【挑战】(2)请用分组分解法将222ax a ab bx b +--+因式分解；【应用】(3)“赵爽弦图”是我国古代数学的骄傲，我们利用它验证了勾股定理．如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间是一个小正方形．若直角三角形的两条直角边长分别是a 和()b a b >，斜边长是3，小正方形的面积是1．根据以上信息，先将432234222a a b a b ab b -+-+因式分解，再求值．【答案】(1)()()1x a x a +-+(2)()()a b a b x --+(3)()()222a b a b +-，9【分析】（1）直接将前两项和后两项组合，利用平方差公式再提取公因式，进而分解因式即可；（2）先分组，利用完全平方公式再提取公因式，进而分解因式即可；（3）分组，先提取公因式，利用完全平方公式分解因式，再由勾股定理以及面积得到229a b +=，()21a b -=，整体代入得出答案即可．【详解】（1）解：22x a x a-++()()22x a x a =-++()()()x a x a x a =+-++()()1x a x a =+-+；（2）解：222ax a ab bx b +--+()()222a ab b ax bx =-++-()()2a b x a b =-+-()()a b a b x =--+；（3）解：432234222a a b a b ab b -+-+()()422433222a a b b a b ab =++-+()()222222a b ab a b =+-+()()22222a b a ab b =+-+()()222a b a b =+-，∴根据题意得229a b +=，()21a b -=，∴原式9=．【点睛】此题主要考查了分组分解法以及、提取公因式法、公式法分解因式以及勾股定理的应用，正确分组再运用公式法分解因式是解题关键．。
第一章第05讲 整式的乘法(10类热点题型讲练)(解析版)--初中数学北师大版7年级下册
第05讲整式的乘法(10类热点题型讲练)1．复习幂的运算性质，探究并掌握单项式乘以单项式的运算法则；2．能够熟练运用单项式乘以单项式的运算法则进行计算并解决实际问题；3．能根据乘法分配律和单项式与单项式相乘的法则探究单项式与多项式相乘的法则；4．理解多项式乘以多项式的运算法则，能够按多项式乘法步骤进行简单的乘法运算；5．掌握单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则的应用．知识点01单项式与单项式相乘单项式乘法法则：单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式.单项式乘法法则在运用时要注意以下几点：①积的系数等于各因式系数积，先确定符号，再计算绝对值.这时容易出现的错误的是，将系数相乘与指数相加混淆；②相同字母相乘，运用同底数的乘法法则；③只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数作为积的一个因式；④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用；⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式.知识点02单项式与多项式相乘单项式乘以多项式，是通过乘法的分配律，把它转化为单项式乘以单项式，即单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b+c)m=am+bm+cm单项式与多项式相乘时要注意以下几点：①单项式与多项式相乘，积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同；②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号；③在混合运算时，要注意运算顺序.知识点03多项式与多项式相乘多项式与多项式相乘，先用一个多项式中的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即（a+b)(m+n)=am+an+bm+bn多项式与多项式相乘时要注意以下几点：①多项式与多项式相乘要防止漏项，检查的方法是：在没有合并同类项之前，积的项数应等于原两个多项式项数的积；②多项式相乘的结果应注意合并同类项；③对含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘，其二次项系数为1，一次项系数等于两个因式中常数项的和，常数项是两个因式中常数项的积.即(x+a)(x+b)=x²+（a+b)x+ab对于一次项系数不为1的两个一次二项式(mx+a)和(nx+b)相乘可以得到.题型01计算单项式乘单项式题型02利用单项式乘法求字母或代数式的值题型03计算单项式乘多项式及求值【例题】（2023上·福建龙岩·八年级校考期中）（1）计算：()2232xy xy xy⋅－（2）先化简，再求值：(2)(22)(2)x x x x -+--，其中2x =-．【答案】（1）232246x y x y -；（2）24x -；0【分析】本题考查整式的乘法，化简求解．（1）根据单项式乘多项式的法则计算即可；（2）根据整式的乘法，合并同类项进行计算，再代入求值．【详解】（1）()2232223246xy xy xy x y x y =-⋅－；（2）(2)(22)(2)x x x x -+--()()222242x x x x =----222242x x x x =---+24x =-，当2x =-时，原式()224240x =-=--=．【变式训练】题型04计算多项式乘多项式【例题】（2023上·八年级课时练习）计算：(1)()()342x y x y -+；(2)()()211x x x -++．【答案】(1)22328x xy y +-(2)31x -【分析】（1）根据多项式与多项式的乘法法则计算；（2）根据多项式与多项式的乘法法则计算．【详解】（1）()()342x y x y -+223648x xy xy y =+--22328x xy y =+-（2）()()211x x x -++3221x x x x x =++---31x =-【点睛】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．【变式训练】1．（2023上·八年级课时练习）计算：题型05(x+p)(x+q)型多项式乘法题型06已知多项式乘积不含某项求字母的值题型07多项式乘多项式——化简求值1．（2023上·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）化简求值：题型08单项式乘多项式、多项式乘多项式与图形面积【例题】（2023上·重庆巴南·七年级校联考期中）三张大小不一的正方形纸片按如图1和图2方式分别置于相同的长方形中，它们既不重叠也无空隙．已知正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c．(1)用代数式表示图1中阴影部分的面积，并计算当5a =，3b =，1c =时阴影部分的面积．(2)记图1中阴影部分周长为m ，图2阴影部分周长之和为n ，判断m n -的值是否与正方形A 、B 、C 的边长有关，若有关请说明理由，若无关，求出m n -的值．【答案】(1)13(2)m n -的值与三个小正方形的边长无关，值为0【分析】本题考查了多项式乘以多项式，整式的加减，解题的关键是掌握运算法则．（1）用长方形的面积减去3个正方形的面积即可；（2）分别求出m ，n 的值相减即可．【详解】（1）由题意知：长方形的长为()a b +，宽为()a c +∴长方形的面积()()a b a c =++∴所以图1中阴影部分的面积222()()S a b a c a b c =++---当5a =，3b =，1c =时，阴影部分的面积222(53)(51)531S =+⨯+---13=（2）图1中阴影部分的周长2()2()242m a b a b c a c =++-+=+图2中阴影部分的周长2()22()42n a c b c a c b a c=-++++-=+0m n ∴-=即m n -的值与三个小正方形的边长无关，值为0．【变式训练】1．（2023上·吉林长春·八年级校考期末）如图，某社区有两块相连的长方形空地，一块长为()32m a b +，宽为()2m a b +；另一块长为()m a b +，宽为()m a b -．现将两块空地进行改造，计划在中间边长为()m a b -的正方形（阴影部分）中种花，其余部分种植草坪．(1)求计划种植草坪的面积；(2)已知30a =，10b =，若种植草坪的价格为30元/2m ，求种植草坪应投入的资金是多少元？【答案】(1)计划种植草坪的面积为()2269ma ab +(2)种植草坪应投入的资金是243000元【分析】本题考查了列代数式，多项式乘多项式，以及整式的混合运算-化简求值，弄清楚题意是解答本题的关键．（1）计划种植草坪的面积等于2个矩形的面积减去阴影部分的面积，利用多项式乘多项式法则，平方差公式和完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果即可；（2）将a 与b 的值代入（1）中求得的栽花面积和草坪面积，再根据总价=单价×数量计算即可求解．【详解】（1）解：（1）两块空地总面积：()()()()322a b a b a b a b ⨯+++⨯-＋，2222672a ab b a b =-＋＋＋2277a ab b =＋＋，栽花面积：()2222a b a ab b --＝＋，草坪面积：()2222277269a ab b a ab b a ab ++--+=＋．（2）30a =，10b =，草坪价格为30元/2m ，应投入的资金()()2269306309301030243000a ab =+⨯=⨯+⨯⨯⨯=元．2．（2023上·江西上饶·七年级统考期中）如图，一个长方形运动场被分隔成A ，B ，A ，B ，C ，C 共6个区，A 区是边长为m a 的正方形，B 区是边长为m b 的正方形．(1)列式表示每个C 区长方形场地的周长，并将式子化简；（用含a 、b 的代数式表示）(2)列式表示整个长方形运动场的周长，并将式子化简；（用含a 、b 的代数式表示）(3)如果30a =，10b =，求整个长方形运动场的面积．【答案】(1)右上方C 区长方形场地的周长为：()42m a b +，左下角C 区长方形场地的周长为：()42m a b +(2)整个长方形运动场的周长为：()4m a b +(3)整个长方形运动场的面积为4000m【分析】本题主要考查整式的混合运算与图形周长、面积的计算，掌握整式的混合运算，代入求值是解题的关键．（1）A 区是边长为m a 的正方形，B 区是边长为m b 的正方形，图形结合即可求解；（2）根据长方形的周长的计算方法，整式的加减运算进行化简即可求解；（3）根据长方形的面积的计算方法列式，代入30a =，10b =计算即可．【详解】（1）解：A 区是边长为m a 的正方形，B 区是边长为m b 的正方形，∴C 区长方形场地的长为：()2m a b +，宽为：()m a b -，∴右上方C 区长方形场地的周长为：()()()2242m a b a b a b ++-⨯=+⎡⎤⎣⎦，左下角C 区长方形场地的周长为：()()()2242m a b a b a b ++-⨯=+⎡⎤⎣⎦．（2）解：由（1）可知，C 区长方形场地的长为：()2m a b +，宽为()m a b -，∴整个长方形运动场的长为：()()222m a b a a b ++=+，宽为：()()2m a b a a b -+=-，∴整个长方形运动场的周长为：()()222282m a b a b a b ++-⨯=+．（3）解：整个长方形运动场的长为：()22m a b +，宽为：()2m a b -，∴整个长方形运动场的面积为：()()22222422a b a b a ab b +⨯-=+-，当30a =，10b =时，原式()22430230102104000m =⨯+⨯⨯-⨯=，∴整个长方形运动场的面积为4000m ．题型09多项式乘法中的规律性问题1．我国宋朝数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中提出“杨辉三角”（如图），下图揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的有关规律：杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，例如：()1a b +=，它只有一项，系数为1()1a b a b +=+，它有两项，系数分别为1，1，系数和为2；()2222a b a ab b +=++，它有三项，中间项系数2等于上方数字1加1，系数分别为1，2，1，系数和为4；()3322333a b a a b ab b +=+++，它有四项，中间项系数3等于上方数字1加2，系数分别为1，3，3，1，系数和为8；……(1)写出()4a b +的展开式______请利用整式的乘法验证你的结果．(2)()5a b +的展开式的系数分别为______，系数和为______．(3)()na b +展开式共有______项，系数和为______，请说明你是怎样得到这个结果的？【详解】（1）解：如图，根据杨辉三角可知，()4432234464a b a a b a b ab b +=++++；用整式乘法验证：()4a b +()22a b ⎡⎤=+⎣⎦()2222a ab b =++()()222222a ab b aab b =++++43223223223422422a a b a b a b a b ab a b ab b =++++++++432234464a a b a b ab b =++++；故答案为：++++432234a 4a b 6a b 4ab b ．（2）解：如图，根据杨辉三角可知，()543225345510105a a b a b a a a b b b b =++++++，∴()5a b +的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1，∴系数和为：515101051322+++++==；故答案为：1，5，10，10，5，1；52．（3）解：()1a b a b +=+，共有2项，系数分别为1，1，()2222a b a ab b +=++，共有3项，系数分别为1，2，1，()3322333a b a a b ab b +=+++，共有4项，系数分别为1，3，3，1，()4432234464a b a a b a b ab b +=++++，共有5项，系数分别为1，4，6，4，1，…∴()na b +展开式中共有1n +项，令()na b +中1a =，1b =，则()na b +的展开式中的每一项正好是每一项的系数，∴()na b +的展开式中各项的系数和为()112nn +=．故答案为：1n +；2n ．题型10整式乘法混合运算1．（2023下·湖南岳阳·七年级岳阳市弘毅新华中学校考阶段练习）计算：一、单选题1．（2023上·河北廊坊·八年级校考阶段练习）计算22()a a ⋅-的结果是（）A ．32aB ．32-aC ．22a -D ．22a 【答案】B【分析】本题主要考查了单项式乘以单项式，在解题时要注意单项式的乘法法则的灵活应用是本题的关键．【详解】解：232()2a a a ⋅-=-，故选B ．2．（2023上·四川宜宾·八年级统考期中）若()()2428x x x mx ++=++，则m 的值是（）A ．6B ．6-C ．8D ．8-【答案】A【分析】本题考查的是多项式乘以多项式，再比较各项的系数即可得到答案；熟记多项式乘以多项式的运算法则是解本题的关键．【详解】解：∵()()2242688x x x x x mx ++=++=++，则m 的值为6．故选：A ．3．（2023上·河北石家庄·八年级统考期末）下列正确的是（）A ．23263236a b a b a b ⋅=B ．40.000767.610=⨯C ．()2222a a b a ab-+=-+D ．()()2212232x x x x +-=--【答案】D【分析】根据单项式乘单项式，科学记数法，单项式乘以多项式，，多项式乘以多项式的计算法则计算即可．【详解】解：A 、53232236a b a b a b ⋅=，故选项A 错误，不符合题意；B 、40.000767.610-=⨯，故选项B 错误，不符合题意；C 、()2222a a b a ab -+=--，故选项C 错误，不符合题意；D 、()()2212232x x x x +-=--，故选项D 正确，符合题意．故选：D ．【点睛】本题主要考查单项式乘单项式，科学记数法，单项式乘以多项式，，多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则计算即可．4．（2023上·河南洛阳·八年级校考期中）22(3)(3)x nx x x m ++-+的乘积中不含2x 和3x 项，则m n 、的值为（）A ． 3m = 6n =B ． 3m =5n =C ．6m =3n =D ．6m =4n =【答案】C【分析】本题考查了多项式乘多项式，根据多项式乘以多项式的法则先把要求的式子进行整理，再根据多项式展开后不含2x 和3x 的项，得出30,330n m n -=-+=，求出m n 、的值即可．【详解】解：22(3)(3)x nx x x m ++-+43232233393x x mx nx nx mnx x x m=-++-++-+()()()43233393x n x m n x mn x m=+-+-++-+∴30,330n m n -=-+=，解得：3,6n m ==故选：C ．5．（2023上·山东临沂·八年级校考阶段练习）通过计算比较图中图①，图②中阴影部分的面积，可以验证的计算式子是（）A ．()a b x ab a -=-B ．()b a x ab bx -=-C ．()()a x b x ab ax bx --=--D ．()()2a xb x ab ax bx x --=--+【答案】D【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、单项式乘多项式、整式运算等知识点，先根据图1和图2，分别用两种方法表示出阴影部分面积，然后列出等式即可；掌握数形结合思想成为解题的关键．【详解】解：图1中的阴影部分的面积为()()a x b x --，图2中的阴影部分的面积为2ab ax bx x --+，∴()()2a xb x ab ax bx x --=--+．故选：D ．二、填空题∵2230m m --=，∴223m m =+，223m m -=，∴()()3227323732432232339m m m m m m m m m -+=+-+=-+=-+=⨯+=，故答案为：9．三、解答题11．（2023上·重庆渝北·八年级校联考期中）计算：(1)()223321a b ab ⋅-+；(2)()()22a b a ab b -++．【答案】(1)352263a b a b -+(2)33a b -【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握单项式乘单项式法则和多项式乘多项式法则．（1）根据单项式乘单项式法则，让单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加即可；（2）根据多项式乘多项式法则进行计算即可；【详解】（1）解：原式()223223231a b ab a b =⋅-+⋅352263a b a b =-+；（2）原式()()()2222a a a ab a b b a b ab b b=⋅+⋅+⋅+-⋅+-⋅+-⋅32222333a a b ab a b ab b a b =++---=-．12．（2023下·陕西西安·七年级交大附中分校校考期末）计算：(1)()()3227x y xy ⋅-；(2)()()()()21233a a a a +--+-．【答案】(1)757x y -(2)237a a -+【分析】（1）先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；（2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可．【详解】（1）原式()3267x y xy ⋅-=757x y =-；（2）原式222429a a a a =-+--+【分析】（1）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于m n 、的方程，解之即可求解；（2）先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入m n 、值计算即可；本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．【详解】（1）解：原式32222x x mx mx nx n =-+--+，()()3222x m x m n x n =+--++，∵()22(1)x mx n x +--展开的结果中，不含2x 和x 项，∴20m -=，0m n +=，∴2m =，2n =-；（2）解：()()22m n m mn n -++322223m m n mn m n mn n =++---，33m n =-，把2m =，2n =-代入得，原式()3322=--，()88=--，16=．16．（2023上·陕西安康·八年级校联考阶段练习）如图，在一个长方形空地中，沿它的两个角用栅栏围成两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示），留下一个“T ”型的图形（阴影部分）．(1)用含x ，y 的式子表示“T ”型图形的面积并化简；(2)若30y =米，20x =米，计划在“T ”型区域铺上价格为每平方米25元的草坪，请计算草坪的造价．（不考虑其他费用）【答案】(1)225x xy+(2)95000元【分析】本题考查多项式乘多项式与几何图形的面积．(1)小李同学拼成一个宽为()a b +，长为(2)a b +的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（答案直接填写到横线上）；(2)如果用这三种纸片拼出一个面积为(2)(3)a b a b ++的大长方形，求需要A ，(3)利用上述方法，画出面积为22252a ab b ++的长方形，并求出此长方形的周长【答案】(1)22()(2)32a b a b a ab b ++=++这个长方形的周长为：2[(2⨯答：此长方形的周长为6a 18．（2023上·福建龙岩·八年级校考阶段练习）做整式的乘法运算时利用几何直观的方法获取结论，在解决整式运算问题时经常运用．例1：如图1，可得等式：(1)如图3，将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a b c ++的正方形，从中你发现的结论用等式表示为；(2)利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知75a x =-，42b x =-+，c =-ab bc ac ++的值；(3)如图4，拼成AMGN 为大长方形，记长方形ABCD 的面积与长方形EFGH 的面积差为（1）正方形的面积为()2a b c ++，各小块面积总和为：222222a b c ab bc ac +++++，再由面积相等，即可得出答案；（2）由题意可得1a b c ++=，由（1）可得：()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++，结合22237a b c ++=可得2137222ab bc ac =+++，进行计算即可得出答案；（3）由图可得：2BC a =，3DE a =，EH CF b ==，从而得出3EF x b a =+-，根据ABCD EFGH S S S =-长方形长方形，表示出()223S a b x b ab =--+，最后由S 的值与CD 无关，可得20a b -=，即可得出答案．【详解】（1）解：由图可得：正方形的面积为()2a b c ++，各小块面积总和为：222222a b c ab bc ac +++++， 面积相等，()2222222a b c a b c ab bc ac ∴++=+++++，故答案为：()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（2）解： 75a x =-，42b x =-+，34c x =-+，()()7542347542341a b c x x x x x x ∴++=-+-++-+=--+-+=，由（1）可得：()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++， 22237a b c ++=，2137222ab bc ac ∴=+++，()236ab bc ac ∴++=-，18ab bc ac ∴++=-；（3）解：由图可得：2BC a =，3DE a =，EH CF b ==，DC x = ，3EF CD CF DE x b a ∴=+-=+-，ABCD EFGH S S S =- 长方形长方形，S CD BC EF EH∴=⋅-⋅()23x a x b a b=⋅-+-⋅223ax bx b ab=--+()223a b x b ab =--+，S 的值与CD 无关，20a b ∴-=，2a b ∴=．。
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整式乘法计算专题训练
1、（2a+3b）（3a﹣2b） 2、
3、（x+2y﹣3）（x+2y+3） 4、5x（2x2﹣3x+4）
5、 6、计算： a3·a5+（－a2）4－3a8
7、﹣5a2（3ab2﹣6a3） 8、计算：（x+1）（x+2）
9、（x﹣2）（x2+4） 10、2x
11、计算：（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2） 12、﹣（﹣a）2•（﹣a）5•（﹣a）3
13、（﹣）×（﹣）2×（﹣）3； 14、（x﹣y）（x2+xy+y2）．
15、（﹣2xy2）2•（xy）3； 16、
17、计算：（x+3）（x+4）﹣x（x﹣1） 18、（a+2b）（3a﹣b）﹣（2a﹣b）（a+6b）
19、3x（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+y）
20、（﹣a2）3﹣6a2•a4
21、（y﹣2）（y+2）﹣（y+3）（y﹣1）
22、
23、 （2x﹣y+1）（2x+y+1）
24、
25、4(a+2)(a+1)－7(a+3)(a－3)
参考答案
一、计算题
1、（2a+3b）（3a﹣2b）
=6a2﹣4ab+9ab﹣6b2
=6a2+5ab﹣6b2
【点评】此题考查多项式的乘法，关键是根据三角函数、零指数幂和负整数指数幂计算．
2、
3、（x+2y﹣3）（x+2y+3）
=（x+2y）2﹣9
=x2+4xy+4y2﹣9；
4、【考点】单项式乘多项式．
【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=10x3﹣15x2+20x．
5、
6、 ——————————6分
7、原式=﹣15a3b2+30a5；
8、原式=x2+2x+x+2=x2+3x+2；
9、（x﹣2）（x2+4）=x3﹣2x2+4x﹣8；
10、原式=x2﹣2x+x2+2x
=2x2；
11、（x﹣1）（x+3）﹣x（x﹣2）
=x2+2x﹣3﹣x2+2x
=4x﹣3；
12、原式=﹣a2•a5•a3=﹣a10；
13、原式=（﹣）1+2+3=（﹣）6=；
14、（x﹣y）（x2+xy+y2）
=x3+x2y+xy2﹣x2y﹣xy2﹣y3
=x3﹣y3．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键．
15、（﹣2xy2）2•（xy）3
=4x2y4•x3y3
=4x5y7；
16、
17、【考点】整式的混合运算．
【分析】直接利用多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式运算法则化简求出即可．
【解答】解：（x+3）（x+4）﹣x（x﹣1）
=x2+7x+12﹣x2+x
=8x+12．
【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．
18、（a+2b）（3a﹣b）﹣（2a﹣b）（a+6b）
=3a2﹣ab+6ab﹣2b2﹣2a2﹣12ab+ab+6b2
=a2﹣6ab+4b2
19、原式=3x2﹣3xy﹣2x2﹣xy+y2=x2﹣4xy+y2；
20、（﹣a2）3﹣6a2•a4
=﹣a6﹣6a6
=﹣7a6；
21、（y﹣2）（y+2）﹣（y+3）（y﹣1）
=y2﹣4﹣y2﹣2y+3
=﹣2y﹣1；
22、
=
=2a6b5c5；
23、（2x﹣y+1）（2x+y+1）
=[（2x+1）﹣y][（2x+1）+y]
=（2x+1）2﹣y2
=4x2+4x+1﹣y2；
24、6a3-35a2+13a (
25、