32柯西积分定理
3.2 柯西积分定理
D
C1
Γ C2
复 变
在边界 C C1 C2 上连续，
函 G 为 D 内的一条“闭曲线”，
数
的 则 f (z)dz f (z)dz f (z)dz .
积
C1
C2
Γ
分
在区域内的一个解析函数沿闭曲线的积分，不因闭曲线在
区域内作连续变形而改变它的值，称此为闭路变形原理。
11
§3.2 柯西积分定理
C1
ba
C2
ab
由 f (z)dz f (z)dz 0, f (z)dz f (z)dz 0,
ba
ab
C1
C2
f (z)dz 0 或 f (z)dz f (z)dz .
C
C1
C2
10
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第 三 闭路变形原理 P78
章 如图，设 f (z) 在 D 内解析，
的 积
(2) 定理中的条件还可以进一步减弱。
分 定理 设单连域 D的边界为C，函数 f (z)
P77 在 D内解析，在 D D C 上连续，
则有 C f (z)dz 0.
G
G
C D
9
§3.2 柯西积分定理
二、闭路变形原理
第
三 将柯西积分定理推广到二连域
D
章 定理 设二连域 D的边界为 C C1 C2 (如图)，
ÑC f (z)d z 0. 6
§3.2 柯西积分定理
第 1825年，柯西给出了“单连通域D内处处解析的 f(z) 在
三 章
D内沿任意一条闭曲线C的积分Ñc f (z)d z 0 ”。
—Cauchy 定理
复 变
当时，解析函数的定义为“ f’(z)存在，且在D内连续”。
3.2 柯西积分定理
C
0
Γ
sin x d x cos x
2
2 0
1 cos 2 .
问: 是否可以直接计算？
即 I sin z d z sin z d z cos z
C
0 2
2 0
1 cos 2 .
五、原函数
§3.2 柯西积分定理
一、柯西积分定理 二、闭路变形原理 三、复合闭路定理 四、路径无关性 五、原函数
一、柯西积分定理
定理 设函数 f (z) 在单连通域 D 内解析，
P60 定理 3.2
D G
G 为 D 内的任意一条简单闭曲线，
则有
Γ f ( z ) d z 0 .
Green公式
(?) C - R方程
[G( z ) H ( z )] G( z ) H ( z ) f ( z ) f ( z ) 0 ,
G( z ) H ( z ) c , 其中，c 为任意常数。
定义 函数 f ( z ) 的原函数 F ( z ) c 称为 f ( z ) 的不定积分，
F F ( z Δ z ) F ( z ) 1 zΔ z 证明 (1) f ( ) d , z z z z (思路)
(跳过?)
1 zΔ z f (z) f ( z ) d , z z
F 1 f (z) z | z |
z
zΔ z
| f ( ) f ( z ) | ds,
f (z) dz
f (z) dz
C2
f (z) dz .
可见，解析函数在单连域内的积分只与起点和终点有关，
复变函数-柯西积分定理
C
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
C1 C2
3z 1 3z 1 dz dz C（ C 1 2 ( z 1)( z 3) z 1)(z 3)
3z 1 3z 1 z 3 dz z 1 dz C2 z 3 z 1
C1 : | z | r1 C2 : | z 1 | r2
由复合闭路定理 , 得到:
C
1 1 1 dz 2 dz 2 dz 2 C C 1 z 2 z z z z z
C
1 1 1 1 由于 2 z z ( z 1) z z 1 z
于是, 得到
C
f ( z )dz 0
C
推论 如果 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析, 则 f ( z )dz 与路线 C 无关，仅由路线 C 的起点及终点来确定。
说明: (1) 曲线C D ;
(2) 若 C D, f ( z) 在 D 及 C 解析, 则
C
f ( z )dz 0
§3.2 柯西积分定理
问 题: f ( z ) 在 什 么 条 件 下 , f ( z )dz 仅 与 积 分 路 径 的 起 点
C
和终点有关 , 而与积分路径无关呢 ?
定理(柯西积分定理) 若 f ( z ) 在单连通域 D 内处处解析, 那么 函数 f ( z ) 沿 D 内任意一条闭曲线C 的积分为零, 即
解 :由柯西积分公式知 , 当 z 在 C 内时,
f ( z ) 2i ( 3 2 7 1) z 2i ( 3 z 2 7 z 1）
f ( z ) 2i (6z 7)
3.2柯西积分定理
一、问题的提出 二、基本定理 三、典型例题
一、问题的提出
积分是否与路线有关, 积分是否与路线有关 可能决定于被积函数的解析性
2
二、柯西积分定理
定理3.2 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 , 定理 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C
2z − 1 ∫Γ z 2 − z dz , Γ 为包含圆周 z = 1 y 在内的任何正向简单闭 曲线. 2z − 1 解 因为函数 2 在复平面 C C z −z o 1 内有两个奇点 z = 0 和 z = 1,
1
2
x
在 Γ 内作两个互不包含也互 不相交的正向圆周 C1 和 C 2 ,
C1 只包含奇点 z = 0,
2
∫
z−i =
1 dz 1z−i
2
1 =− 2
∫
z−i =
=0 1 1 dz = − ⋅ 2πi = − πi . 2 1z−i
2
7
四 几个相关的定理
1. 积分与路径无关 • 定理3.3 如果函数 f (z ) 在单连域内处处解析， 那末积分∫ c f (z )dz 与连结从起点到终点的路线 C 无关. • P61 例3.6
1 1 1 因为 和 都在 z − i ≤ 上解析, z z+i 2
根据柯西定理得
∫
z−i =
1 dz = 2 1 z ( z + 1)
2
∫
z−i =
1 1 1 1 1 − − dz 2z+ i 2z−i 1 z
2
6
=
∫
z−i =
1 1 dz − 2 1z
2
柯西中积分值定理
柯西中积分值定理1. 引言柯西中积分值定理（Cauchy’s Mean Value Theorem）是微积分中的重要定理之一，它建立了函数在闭区间上的平均值与函数在内部某点处的导数之间的关系。
这个定理由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于19世纪初提出，被广泛应用于实际问题的解析和数值求解中。
在本文中，我们将介绍柯西中积分值定理的基本概念和主要结果，并通过一些具体例子来说明其应用和意义。
2. 定义与表述设函数f (x )在闭区间[a,b ]上连续，在开区间(a,b )内可导。
则存在ξ∈(a,b )，使得∫f ba (x )dx =f (ξ)(b −a )其中，∫f ba (x )dx 表示f (x )在[a,b ]上的定积分，f (ξ)表示f (x )在(a,b )内某一点ξ处的取值。
换句话说，柯西中积分值定理告诉我们，在闭区间上连续且可导的函数中，至少存在一个点ξ，使得函数在该点处的导数等于函数在整个闭区间上的平均值。
3. 证明思路柯西中积分值定理的证明可以通过应用拉格朗日中值定理来完成。
具体步骤如下：1. 定义辅助函数F (x )，使得F′(x )=f (x )，即F (x )是f (x )的一个原函数。
2. 根据定积分的定义，我们有∫f ba (x )dx =F (b )−F (a )。
3. 应用拉格朗日中值定理，存在c ∈(a,b )，使得F (b )−F (a )=f (c )(b −a )。
4. 由于f (c )=f (ξ)，我们可以得到∫f b a (x )dx =f (ξ)(b −a )。
通过以上证明思路，我们可以看出柯西中积分值定理与拉格朗日中值定理有着密切的关系。
事实上，柯西中积分值定理可以看作是拉格朗日中值定理在积分形式上的推广。
4. 应用举例例1：计算平均速度假设一个物体在时间t 0到t 1之间沿直线运动。
设物体在t 0时刻的位置为x (t 0)，在t 1时刻的位置为x (t 1)。
§32—§33 柯西-古萨(Cauchy-Goursat)基本定理
f ( z ) dz f ( z ) dz f ( z ) dz 0 .
C C 1
f (z)dz 0.
此为柯西-古萨定理推广-闭路变形定理
本定理直观意义：函数沿闭曲线积分, 闭曲线在区域内作连续变形而不 经过奇点，则积分值不变。
11
§3.3 复合闭路定理
二、 复合闭路变形原理
设C为简单闭曲线, Ci(i=1,2…n )是在C内部的简单闭曲线,互不 相交互不包含,C的内部与 诸Ci的外部围成绿色复连通区域D 称C+C1- +C2- +· · · +Cn-为复围线,记为Γ ,包围着 绿色复连通区域D. 如果 f(z)在D内解析,那么
C
例2 解
函数z在C内处处解析，根据柯西-古萨定理,有
zdz 0
C
6
§3.2
例3
解
柯西-古萨基本定理
1 计算积分 dz . 2 z 1 z i 1
1 1 1 1 , 2 z 1 2i i z i z
1 因 在 z i 1 解析, z i
L L
由于f(z)在区域 B 上解析，
推广：
3
§3.2
柯西-古萨基本定理
二、复通区域情形：当所研究的函数在区域B上非处处解析时(也就是在某些点或
者区域上不可导，即存在奇点，为了排除这些点，就要在区域上挖去这些点，形成 带孔的区域—所谓的复通区域.
柯西积分定理：如果函数f(z)在复通区域 B 上单值解析，则沿着区域内部任
根据柯西－古萨定理得
1 1 1 1 dz dz dz 2 2i i z i z 1 z z i 1 z i 1 z i 1
3.3柯西积分公式
ie d ie cos i sin d
π π
π
e i
π
2i e
0
π
cos
cos(sin )d e cos sin(sin )d
π
π
ez 因为 dz 2π i , z z 1
π cos π cos ez dz 2i e cos(sin )d e sin(sin )d 0 π z z 1
注意到f ( )在以L为边界的闭圆盘上解析,
于是由上式及引理3.3.1知,
f ( ) L z d 2 if ( z).
证毕.
关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在L内部任一点的值用它在边界上的 值表示. (这是解析函数的又一特征)
(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. (这是研究解析函数的有力工具)
1 f ( ) f ( z h) d , L 2 i z h
f ( z h) f ( z ) 1 f ( ) d 2 h 2 i L ( z )
1 1 f ( ) 1 f ( ) h f ( ) d d d 2 h 2 i L z h 2 i L z 2 i L ( z )
2. 解析函数的任意阶导数 定理3.3.2 设D是有界区域, 其边界L由有限条
简单闭曲线组成, f ( z )在区域D内解析,在D及L 所组成的闭区域 D上连续，则对任意z D, f ( z )在D内有任意阶导数 n! f ( ) (n) f ( z) d , (n 1, 2, ). n 1 L 2 i ( z )
3z 1 2 i 2 i. z 3 z 1
3.2柯西积分定理
C = C0 + C1 + C2 +L+ Cn
C1
C2 Cn
C0
D
C = C0 + C + C + L + C
− 1 − 2 − n
C = C0 + C + C + L + C 所围的n + 1连通区域，f ( z)在
定理3.10 设D是由复周线
− 1 − 2 − n
D内解析且连续到边界，则 内 f ( z )dz = 0. ∫
C1 Cn
∫
C0
f (z)dz = ∫ f (z)dz + ∫ f (z)dz +L+ ∫ f (z)dz.
C1 C2 Cn
C1
C2
C0
Cn
D
特例：如图，若f ( z )在二连通 区域D内解析，连续到边界，则
∫
C
f ( z)dz =∫ f ( z)dz.
Γ
可 作用： 把 积
Γ
D
分路径规范化！
C
更 一 般 的 情 形
由格林定理， 由格林定理，有
∫
C
udx − vdy = 0， vdx + udy = 0. ∫
故
∫
C
f ( z )dz = 0
C
柯西 柯西积分定理的严格证明 是古莎给出的，证明过程比较 长，我们略去不予介绍。有兴 趣的同学自己阅读。
定理3.4 设f(z)是单连通区域 的 是单连通区域D的 定理 是单连通区域 解析函数， 解析函数，设C是D内任一闭曲线 是 内任一闭曲线 不必是简单曲线）， ），那么 （不必是简单曲线），那么
由定理3.9，得
3.3柯西积分公式
C
2、关于柯西积分公式的说明: 关于柯西积分公式的说明: (1) 把函数在 内部任一点的值用它在边界上的 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的 值表示. 这是解析函数的又一特征 值表示 (这是解析函数的又一特征 这是解析函数的又一特征) (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积 分的一种方法, 分的一种方法 而且给出了解析函数的一个积分 表达式. 表达式 (这是研究解析函数的有力工具 这是研究解析函数的有力工具) 这是研究解析函数的有力工具
2
z = −1
( 2)
∫
z −1 =
π sin z 4 dz = z2 − 1 1
2
∫
z −1 =
π sin z 4 π sin z z + 1 dz 4 = 2 πi; = 2πi ⋅ 2 1 z −1 z +1
2 z =1
π sin z 由复合闭路定理, ( 3) ∫ 2 4 dz 由复合闭路定理 得 z −1 z =2 π sin z 4 dz = ∫=2 z 2 − 1 z
由复合闭路定理, 由复合闭路定理 得
ez ∫ z =3 z ( z 2 − 1) dz z ez ez e z ( z + 1) z ( z − 1) z 2 − 1 dz + =∫ 1 ∫ z −1 = 14 ( z − 1) dz + ∫ z +1 = 14 ( z + 1) dz z= z 4
§3.3 柯西积分公式
一、柯西积分公式
1、定理 设函数 f ( z ) 在简单闭曲线 C所围区域 D 内解析 , 、 上连续， z 在 D = D ∪ C 上连续， 0 为 D 内任一点 , 则
1 f (z) f (z0 ) = dz. ∫C 2πi z − z0
柯西积分定理名词解释
柯西积分定理名词解释
柯西积分定理（Cauchy's Integral Theorem）是一个重要的数学定理，它描述了一个复杂函数在
复平面上的行为。
它是由法国数学家Augustin Louis Cauchy在1821年提出的。
柯西积分定理指出，如果一个函数在一个复平面区域内是连续的，那么它的积分在该区域内是
定值的。
这意味着，如果一个函数在一个复平面区域内是连续的，那么它的积分在该区域内是
定值的，而不管它在该区域内的具体形状如何。
柯西积分定理的应用非常广泛，它可以用来解决许多复杂的数学问题，例如求解椭圆方程、求
解拉普拉斯方程、求解热传导方程等。
此外，它还可以用来解决物理问题，例如电磁学中的电
场和磁场问题。
柯西积分定理的另一个重要应用是在复数分析中，它可以用来证明复数函数的连续性和可导性。
它还可以用来证明复数函数的可积性，从而为复数函数的积分提供了一种有效的方法。
总之，柯西积分定理是一个重要的数学定理，它可以用来解决许多复杂的数学问题，也可以用
来解决物理问题，特别是在复数分析中，它可以用来证明复数函数的连续性和可导性，从而为
复数函数的积分提供了一种有效的方法。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3.2柯西积分定理
柯西积分定理是复分析中的一个重要定理，它提供了一个判断复函数是否可积的方法。
这个定理的名称来源于法国数学家柯西。
柯西积分定理：设函数f(z)在包含曲线C及其端点的区域内解析，且不取实值。
如果z_0在C的内部，且f(z_0)有限，则对于C上的任意点z，都有：f(z)=12πi∮Cf(z_0)z−z_0dz
其中，C是曲线C的参数形式，t为曲线C的弧长参数，z(t)为C上的点，z_0为C内部的点。
这个定理的证明可以从柯西积分公式出发，利用解析函数的唯一性和柯西积分公式进行证明。
这个定理表明，如果一个复函数在一条曲线上解析，且在这条曲线的内部取有限值，那么这个复函数在这条曲线上的积分等于零。
这个定理有许多重要的推论和应用。
例如，如果一个复函数在一条曲线上解析，且在这条曲线的内部取有限值，那么这个复函数在这条曲线上的积分等于零。
这个推论可以用来判断一个复函数是否可积。
此外，柯西积分定理还可以用来解决一些复分析中的问题，例如计算某些复函数的积分等。
在实际应用中，柯西积分定理可以应用于许多领域，例如物理学、工程学、金融学等。
例如，在物理学中，柯西积分定理可以用来解决一些电磁学和力学中的问题；在工程学中，柯西积分定理可以用来解决一些控制理论和信号处理中的问题；在金融学中，柯西积分定理可以用来解决一些期权定价和风险管理中的问题。
柯西积分定理是复分析中的一个重要定理，它提供了一个判断复函数是否可积的方法，并且可以应用于许多领域。