非线性椭圆型方程的nehari流形

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R^(N)_(+)上不同阶椭圆方程组的Liouville型定理

R^(N)_(+)上不同阶椭圆方程组的Liouville型定理
赵围围;邵晓翎;胡昌慧;程之羽
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2024(37)2
【摘要】本文研究带Navier边值的不同阶椭圆方程组的Liouville型问题.主要结论的证明采用了伸缩变换,双边引理和积分形式的移动平面方法.
【总页数】7页(P482-488)
【作者】赵围围;邵晓翎;胡昌慧;程之羽
【作者单位】海南大学数学与统计学院;海南大学网络空间安全学院(密码学院)【正文语种】中文
【中图分类】O29
【相关文献】
1.对角形椭圆型方程组的解的Liouville型定理
2.环域上的二阶椭圆型方程组的正径向解
3.三阶椭圆型方程组的复形式与存在定理
4.对角形椭圆型方程组解的Liouville型定理——对p-1/2(p/p-1)<r<p-1+p/n 的情形
5.对角形椭圆型方程组的解的Liouville定理
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ns方程椭圆型

ns方程椭圆型
ns方程椭圆型，又称Navier-Stokes方程椭圆型，是流体力学中的基本方程之一。

它描述了流体运动的速度场和压力场之间的关系，以及流体内部的应力与应变之间的关系。

在数学上，ns方程椭圆型可以表示为以下形式：
\(\rho \frac{D\mathbf{u}}{Dt} = -\nabla p + \nabla \cdot \mathbf{T} + \rho \mathbf{g}\)
其中，\(\mathbf{u}\) 表示流体的速度场，\(p\) 表示流体的压力，\(\mathbf{T}\) 表示流体的应力张量，\(\mathbf{g}\) 表示重力加速度。

ns方程椭圆型的解可以用来描述各种流体运动的现象，例如流体在管道中的流动、流体在容器中的波动、流体在自然界中的流动等。

因此，ns方程椭圆型在流体力学、气象学、环境科学等领域有着广泛的应用。

非线性发展方程的无网格比高精度有限元方法

非线性发展方程的无网格比高精度有限元方法石东洋;王俊俊【摘要】对于几类非线性的发展型方程——非线性抛物方程、非线性Schr?dinger方程、非线性Sobolev方程、非线性双曲方程,本文从协调有限元方法、非协调有限元方法、混合有限元方法等不同角度,利用不同技巧深入系统地研究了其线性化的全离散格式的构造、无网格比约束下的超逼近和超收敛分析.【期刊名称】《数学杂志》【年(卷),期】2019(039)001【总页数】19页(P1-19)【关键词】非线性发展方程;线性化的全离散格式;无网格比;超逼近及超收敛性【作者】石东洋;王俊俊【作者单位】郑州大学数学与统计学院,河南郑州 450001;平顶山学院数学与统计学院,河南平顶山 467000【正文语种】中文【中图分类】O242.211 前言众所周知,非线性发展方程的解通常无法直接用解析式写出来,或是写出来的表达式非常复杂,所以利用数值方法给出其近似解就显得尤为重要.而对于有限元方法这一主流方向,我们常见的线性化BE(Backward-Euler)方法和CN(Crank-Nicolson)方法凭借可以避免在每一个时间层都要求解非线性方程的劣势且不降低计算精度的优势,成为了该方向的研究热点之一.事实上,研究一个非线性发展方程的线性化有限元方法总会涉及到一个有限元解关于某种模的有界性问题,由于这些模的先验估计不容易直接得到,通常的处理技巧就是利用逆不等式.比如在二维的情况下,考虑有限元解有界时的经典做法是其中un是原始问题的解,Ih是某个插值算子或者投影算子.由于通常有误差估计(m1,m2为某些正数),要使有界就不可避免的要对时间步长τ有一个限制,从而导致空间网格参数h与时间步长τ需要满足某个比值关系(即网格比).在实际计算中,这样的网格比经常会导致时间步长变的非常小,从而引起很长的耗时.因此,怎样甩掉这些限制就成了备受关注的课题.最近,为了克服这一严重缺陷,孙伟伟、李步扬、王冀鲁、高华东等学者都在此方面做出了许多有价值的工作.其主要思想(见文献[1])是通过引入一个时间离散方程系统,并利用其解Un把误差分裂成两部分——时间误差un−Un和空间误差,利用时间误差的结果得到关于时间离散方程解的正则性,再利用空间误差得到有限元解的无网格比有界性事实上,由于空间误差的分析过程中甩掉了经典误差估计中的截断误差项,只要空间上的误差能写成(m3,m4为某些正数)的形式,网格比即可去掉.随后,王冀鲁、高华东、司志勇等又把该思想应用于非线性多孔介质流问题[2,3],非线性的Joule Heating方程[4],非线性Thermistor方程[5,6],非线性Schrdinger方程[7,8]和非线性Navier-Stokes方程[9]等.以上研究都考虑了这些非线性发展方程在协调元下关于无网格比的收敛性,有许多问题需要进行更深层次的研究.首先,为了提高有限元解的逼近精度,超收敛的思想已成为了一个重要的研究途径.事实上,在理论分析和实际计算中,若有好的网格,有限元解与有限元插值的误差在某种范数的意义下比有限元解与真解的误差要小得多,即超逼近现象.从上个世纪80年代开始,以林群院士为代表的众多学者专家都在此方面取得了许多有出色的成果,所以如何将无网格比收敛的结果推广到无网格比超收敛上去是我们感兴趣的话题.但是,为了达到超收敛的结果,如果我们把文献[1–9]中所考虑的区域换成更具一般性的矩形区域(不再满足C2的条件),则由椭圆的正则性可以看到,引入的时间离散方程解的有界性就很难达到H3-模.因此,如何在时间离散方程解的有界性较弱的前提下,探讨无网格比的超逼近结果就显得尤为重要.其次,由于非协调元方法在大多数情况下对方程解的正则性要求比较低,因此人们对非协调元的研究一直保持着较高的热度(见以石钟慈院士为代表的众多学者专家所得到的具有特色的工作).这样就很有必要研究怎样利用自由度少、精度高的低阶非协调单元研究非线性发展方程的无网格比的超收敛性.再次,传统的有限元方法对解的光滑度要求都比较高,这会给实际计算造成很多困难,因此混合有限元方法受到了高度的关注.事实上,混合有限元方法的关键性问题在于如何构造出合适的空间对,使其满足LBB条件,这其实是不容易做到的.因此构造特别的格式来降低LBB条件的难度成为了一个热点,比如:文献[10–13]对二阶椭圆问题提出了一种混合元格式,它具有当两个逼近空间满足一个简单的包含关系时,LBB条件容易满足且能避勉因涉及散度算子带来的麻烦等优点.另一方面,直接绕开LBB稳定性条件(如最小二乘法、稳定化有限元方法等)也成为了大家另一个关注的方面.事实上,1998年,Pani在文献[14]中提出了一种称之为H1-Galerkin混合有限元方法．这种方法不需要所选取的混合元空间满足LBB相容性条件,并被广泛应用在各种方程上.例如,长波方程[15],双曲方程[16],带有记忆项的方程[17],积分微分方程[18–20],抛物方程[21].因此,怎样利用H1-Galerkin方法得到非线性发展方程无网格比的超收敛结果是值得深思的.最后,对于线性化的全离散格式来说,由于当时时刻的时间层分析需要用到上一时刻时间层的结论,我们往往会选择数学归纳法进行证明.但是对于每一个时间层的结果到最后都应该由一个统一的系数来控制这个问题显然就不是一件容易的事了.更进一步地,根据不同非线性问题的具体特点,针对不同方程的逼近格式,设计新的高效的有限元数值算法来验证理论分析的正确性也是必须且困难的.最近,我们在文献[22–34]中,在分裂思想的基础上,博采众家之长,创新性的把无网格比、高精度分析与非协调单元、新的线性化离散格式等特色和优势有机结合起来,形成非线性发展方程在全离散格式上无网格比约束的有限元超收敛分析的一套新理论体系.与此同时,更是尝试着探索、研究一些特殊的方程,考虑绕过分裂的方法也达到无网格比的超收敛结果.近期所做的工作,主要的创新点集中表现在以下几个方面:(1)超收敛结果对方程解的光滑性要求比较高,但构造时间离散辅助问题(即时间离散方程系统)时,在多边形区域(例如矩形)下,就无法保证其解较强模的有界性.因此我们利用了一些特殊的、不同以往的技巧,在其解空间较弱的条件下得到无网格比超收敛的结论;巧用Taylor展开式对非线性项进行处理,以保证对时间步长τ的阶不丢失.(2)由于选择的全离散格式是线性化的形式,在利用数学归纳法分析第n层的结果时需要用到第n−1层的结论,我们用一个统一的系数来控制每一个时间层的结果,这也是其数学归纳法成立的关键所在.(3)构造了非线性双曲方程新的二阶格式,以此得到无网格比超收敛结果.而以往对非线性双曲方程的无网格比研究甚至连收敛性也没有见到报道.(4)对一些特殊的非线性发展方程,抛弃分裂误差思想,采用一些新的技巧也证明了其无网格比超收敛性.本文的目的是在前期我们所做的工作的基础上,挑拣出有特色的创新点给予说明,以期窥探出对非线性发展方程无网格比超收敛分析的重要方法和思路,起到抛砖引玉的作用.2 非线性抛物方程的无网格比超收敛分析非线性抛物方程有着深刻的物理背景,它的有限元方法也越来越受人们关注.例如:文献[35]针对一般的非线性抛物方程建立了两种线性化的格式,当τ≤h时,利用线性三角形元得到了L2-模意义下的收敛结果.文献[36]在限制下利用两层时间离散的方法讨论了非线性抛物方程的最优误差估计.文献[37]采用了一个非线性H1投影,当τ4=O(hq),q≤3时,得到了其解在L2-模和H1-模意义下的最优误差估计.文献[1]利用分裂技巧摆脱了此类限制,给出了一类称之为Joule Heating的非线性抛物型方程的协调元无网格比收敛性分析.我们看到,一方面,一般的非线性抛物方程中的非线性项∇·(a(u)∇u)的处理对于超收敛的分析是很有挑战的,特别是在分析空间误差的时候,怎样处理a(u)才可以在不降阶的情况下使其结果能提出空间网格参数h,才能在使用逆不等式的时候不产生网格比,但同时还得能维持数学归纳法所需要要的系数统一性?另一方面,当非线性抛物方程右端的非线性项是局部Lipschitz连续时,对有限元解的正则性要求可能会更苛刻,如何把这些限制考虑进去且得到无网格比超收敛结果是我们想要研究的方向之一.考虑如下非线性抛物方程其中Ω⊂R2是一个矩形,其边界为∂Ω,0<T<∞,X=(x,y),u0(X)是已知光滑函数.a(u)关于u是二阶可导连续的函数,其中0<a0≤a(u)≤a1,a0,a1是某些正数.利用低阶非协调单元(参见文献[21,38–40]),对(2.1)式开展了无网格比超收敛性质的研究.在矩形区域下,引进了一个时间离散方程,证明了时间离散方程解的H2-模有界.绕过时间离散方程解较弱的正则性,利用Taylor展开,在不降低时间方向阶的前提下,得到其CN格式的无网格比超逼近结果.另一方面,限制(2.1)式右端项为仅满足局部Lipschitzt连续条件,利用数学归纳法,巧妙的使用几个不等式,在每一层都得到数值解L∞-模有界的前提下,保证了结果系数的统一性,采用双线性元(参见文献[13,41]),得到其在BE格式下无网格比超逼近结果.2.1 非协调有限元方法首先,设f(u)是Ω上整体Lipschitz连续的函数,Ω是一个四条边都平行于坐标轴的矩形,Γh是一个拟一致正则矩形剖分.对于给定的K∈Γh,令其四个顶点和四条边分别为ai,i=1∼4和.记.定义非协调有限元空间:其中[vh]表示vh跨过单元边界F的跳度,而当F⊂∂Ω时,[vh]=vh.令Ih:H1(Ω)→Vh 为相对应的插值算子,且Ih=Ih|K满足则文献[21,38–40]证明了下面重要引理.引理1 若,则对于任意的vh∈Vh,有进一步地,若,则有这里∇h表示分片梯度,且是Vh上的一个能量模.文献[40]证明了对于任意正整数m,vh∈Vh,设{tn:tn=nτ;0≤n≤N}是[0,T]上的一个等距剖分,时间步长为τ=T/N,设,且u(X,tn)=un,若为一列函数.记利用这些记号,考虑(2.1)式的线性化Galerkin有限元逼近:寻找,使得对于任意的vh∈Vh0,类似于文献[35],由以下方程求解:其中.可以看到先利用(2.7)式计算出,再利用(2.8)式得到.由于线性化后,(2.6)–(2.8)式是一个线性系统,其解的存在唯一性是显然的.下面分步骤地阐述有创新性的重要过程.第一步建立一个时间离散系统,当n>1时求Un满足当n=1时,利用以下式子计算U1:和其中U1,0(X)|∂Ω =0,U1(X)|∂Ω =0.令e1,0,u1−U1,0,en,un−Un(n=0,1,2,···,N). 通过分析时间误差,给出U1,0,Un(n=0,1,2,···,N) 的正则性. 设u和Um(m=0,1,2,···,N) 分别为 (2.1)和(2.9)–(2.11)式的解,u∈L∞(0,T;H3(Ω)),ut,utt∈L∞(0,T;H2(Ω)),uttt∈L∞(0,T;L2(Ω)),则对于m=1,···,N,存在τ0>0,使得当τ≤τ0 时,有和其中C0是一个与m,h和τ无关的正数.此时,注意到由于Ω是矩形,其边界不属于C1,那么就不容易得到Un的H3-模有界性.因此随后的无网格比超收敛分析需要利用新的方法得到.第二步讨论空间误差,也为最终无网格比超逼近结果kIhun−做好准备.给出记号令分别为 (2.9)–(2.11)和 (2.6)–(2.8)式的解,其中m=1,2,···,N,在前面所做工作的前提下,当τ充分小时,有第三步令设分别为(2.1)和(2.6)–(2.8)式的解,则对n=1,2,···,N,有在这个过程中注意到,将τ从内积的一端转向另一端的恒等变化化简过之后需要估计误差如果按照传统的方法,则有这样最终的结果会降一阶.但是若利用Taylor展开则有其中这样就可以保持到想要的结果.在这里我们还指出本节的结果对于正方形网格上的非协调单元(参见文献[42]),矩形的带约束的非协调单元(参见文献[43])和P1-非协调四边形单元(参见文献[44])也成立,因为这些单元都满足引理1.2.2 协调有限元方法限制f(u)为局部Lipschitz连续的,利用双线性协调单元可研究(2.1)式的无网格比超逼近性质(区域及剖分如前面一样).定义其有限元空间Vh0为其中Ih:H2(Ω)→Vh0是相对应的插值算子,且对于以上双线性元有以下高精度结果[41].引理2 若,则对于任意的vh∈Vh0,有考虑(2.1)式的线性化有限元逼近:寻找,使得其中,显然(2.19)式在每一个时间层只需要解决一个线性问题.引入时间离散方程:当n≥1时求Un满足接下来,我们分别就时间误差和空间误差中的新技巧予以说明.时间误差记,则有注意到在第n−1层中归纳假设(2.21)式成立后,进一步地得到是必需的.主要表现在以下两个方面.1.在第n层估计中,误差方程左端有,右端部分在的前提下有估计项和可以看到,此时当τ充分小时,在第n层误差方程的右端才可以去掉.2.由于f的局部Lipschitz连续,要想估计误差方程右端项,则必须得有做前提,这样就保证了空间误差注意到,由于f的局部Lipschitz连续,在估计下面误差时,利用前面的结论以及协调元的性质,有这样可以估计得到注1更进一步地,我们在文献[34]中将文献[10–12]中的混合元和无网格比的思想有机的结合起来,利用分裂内积等思想,得到了(2.1)式关于原始变量u的H1-模和~p=∇u的L2-模的无网格比超收敛结果.3 非线性Schrdinger方程的无网格比超收敛分析对于非线性Schrdinger方程来说,文献[7,8]利用分裂技巧得到了协调元的无网格比收敛结果.但是怎样能够使得其无网格比的超收敛结果成立呢？首先,要使得时间误差H2-模的阶比文献[7,8]有所提高,这样才能为下面的无网格比超逼近结果做铺垫.其次,可以看到,文献[7,8]是利用投影算子来得到的无网格比的收敛结果的.事实上,对我们而言,仅用投影算子是不能直接利用插值后处理技巧得到整体超收敛的.所以从这个角度考虑,利用插值算子更有优势.但是,若仅仅考虑插值算子得到超逼近的结果,则在tn时刻对时间离散方程解Un的正则性要求就比较高了,而在矩形网格下,要想得到Un的H3-模以上的有界性并不是那么容易的事情.既然单独利用插值算子或者投影算子都不能得到令人满意的效果,那把二者结合在一起是否会有更好的结果?考虑如下 Schrdinger方程其中Ω同(2.1)式,i是虚数单位,u0(X)是已知复值函数.另外,f(s)是一个实值函数,且关于s是二阶可导连续的.在克服非线性Schrdinger方程由于虚数单位i所带来困难的同时,需要采用新的技巧,得到每一层数值解的L∞-模有界性质,保证其每一层解的存在唯一性,并导出其无网格比超逼近性质.一方面,我们利用新的技巧得到了比文献[8]更高阶的时间误差,从而导出了结果更好的时间离散方程解的正则性,这也为下面无网格比的超逼近奠定了基础.另一方面,在证明过程中我们引入了经典的Ritz投影算子,避开了对引入的时间离散方程解的正则性要求过高的麻烦,得到了合适的空间误差结果.同时,结合插值算子和Ritz投影算子相结合的思想达到了超逼近的结果.最后,利用文献[41]中的插值后处理算子得到了整体超收敛性质.选用上一部分的区域,剖分和双线性元单元,且仍定义其有限元空间为Vh0.令Rh:是定义在Vh0上的相对应的Ritz投影算子有且更进一步地,当u∈H3(Ω),又由文献[13]可知其中Ih是定义在Vh0上相对应的插值算子.下面我们仍采用了分裂技巧,分别给出时间误差和空间误差上分析时所遇到的困难和解决方法.时间误差对于CN格式将误差方程相邻两层相减,则就变成至此,得到的结果kenk2=O(τ2)相关估计,可以比文献[8]的结果高二分之一阶,也就是这样的结果导出了,为后面的无网格比超逼近结果奠定了基础.对于BE格式得到结果kenk2=O(τ)比文献[7]中的结果阶高二分之一阶,这也导出了,也为下面的空间误差做出了铺垫.空间误差 1.对误差方程相邻两层相减,对比文献[45]中的结果,可以看到不需要的有界性也得到了无网格比高精度的结果,这就改进了已有结论.2.使用插值算子和投影算子相结合的思想:若仅使用插值算子,为了得到高精度结果,避免不了利用高精度结果(∇(un−Ihun),∇vh)=O(h2)kunk3kvhk1或者(∇(un−Ihun),∇vh)=O(h2)kunk4kvhk0,则对Un和un的正则性要求过于苛刻.然而,在Ω为一个矩形的前提下,目前只能得到kUnk2的有界性,此时选用投影算子Rh是合适的.另一方面,若仅仅使用投影算子Rh,则不能构造相应于Rh的插值后处理算子,也就不能得到整体超收敛结果了.4 非线性Sobolev方程H1-Galerkin混合有限元方法的无网格比超收敛分析Sobolev方程起源于流体通过裂隙岩石的流动、二阶流体的热力学剪切和粘土的固结等物理现象.到目前为止,已有很多文献研究了它的数值方法.例如:文献[46]得到了当τ=O(hd/3)(d≤3)时,在三种情况下关于H1-模最优误差估计结果.而文献[47]利用混合有限元方法,在条件τ=O(h)下得到了最优误差估计.文献[38]控制条件为τ=O(h1+ε)(ε>0)时分别利用协调有限元和非协调有限元讨论了其特征有限元方法,也得到了H1(Ω)-模和L2(Ω)-模的最优误差估计.大家都知道,H1-Galerkin方法是一个不需要满足LBB条件的混合有限元方法,加上一些技巧的应用,还可得到关于流量~p=∇u散度模的误差估计.但是由于H1-Galerkin混合有限元方法需要的时间离散方程解的正则性较高,在矩形区域下不容易得到,所以对于一般的诸如非线性抛物方程利用上述分裂技巧直接处理暂时还不能去掉h和τ的比值.非线性Sobolev方程有着其自身的特点,它比非线性抛物方程多了一个非线性的导数项,正是多了这一项,使得我们考虑在分析的时候可以不用以上的分裂法就得到无网格比超收敛结果.因此我们通过与前面不同的分析,不引进时间离散方程,即在不必考虑所谓的时间误差的前提下,避免由于时间离散方程解的正则性达不到相应的要求而带来的麻烦,给出了无网格比的超逼近结论.考虑如下非线性Sobolev方程:这里对于正数b1,有|b(u)|≤b1,其余同(2.1)式中的假设.首次尝试选择非协调元单元对及零阶Raviart-Thomas(RT)单元)构造H1-Galerkin混合有限元格式去解决(4.1)式的无网格比超逼近问题.给出一个重要引理,完全不同于文献[1–9]的思路,先估计和k∇ξ1k0的结果,再通过不等式k∇ξnk0≤给出k∇ξnk0超收敛性,其中,Ih是相对应的插值算子.采用非协调元,假定所有符号同第二节.设零阶RT单元的空间定义为对于,定义相对应的插值算子Πh为其中是单元边上li的外法线.令,相对应的弱形式是:寻找,使得其中.给出线性化的CN全离散格式:寻找,使得n≥2时,当n=1时,和其中.下面先给出一个新的引理.引理3 对于任意的,则有这里仅给出该引理成立的关键点.事实上,由的定义可知,在K上为常数,利用的插值定义以及空间性质,图1其中l1,l3分别为K的下边和上边,l2,l4分别为K右边和左边,则有注意到,由于该引理的证明利用了的插值定义,若此时将单元对换成协调单元对Q11×Q10×Q01,此结果将不再成立.令由引理3,并利用数学归纳法,可分以下几步分析说明非线性Sobolev方程的无网格比超收敛结果第一步 .第二步利用,得到利用Gronwall引理,当τ充分小时有所以第三步进一步地,将(4.9)式代入(4.10)式,当τ充分小,利用Gronwalls引理有,再利用(4.9)式得到kξnkh≤Ch2+Cτ2.这里强调以下三点(1)如果直接估计kξnkh,对τ和h的比例限制将不可避免;(2)在分析中起到重要的作用;(3)在通常的估计中,的阶低一阶,而在这里保持了一样的阶.5 非线性双曲方程在物理上,双曲方程是一类一直很受关注的偏微分方程,它可以用来描述声波和电磁波的传播等现象,其中也有很多文献关注其非线性问题的有限元方法.例如,文献[48]和[49]分析了非线性双曲方程的全离散格式,其中文献[48]讨论了混合有限元方法,达到了最优误差估计.文献[49]利用Galerkin交替方向法讨论了一类三维非线性双曲方程,利用先验估计的结果得到了误差的H1(Ω)-模和L2(Ω)-模.但上述结果也都没有摆脱h和τ的比值限制,在文献[48]和[49]中分别需要假设条件τ=O(h),hr=O(τ)(1≤r≤k+1,k≥0)和τ=O(h2).因此,如何有效的对非线性双曲方程展开无网格比的研究具有相当重要的科学价值.另一方面,在现有的参考文献中对非线性双曲方程的二阶线性化格式讨论的非常少,怎样构造新的非线性双曲方程的线性化全离散格式,使得其有更好的稳定性以及超收敛结果也值得进行深入的探讨. 考虑如下非线性双曲方程关于方程的一些基本假设如同第二节.我们将对(5.1)式创造性地构造一个新的线性化二阶格式,技巧性地证明其截断误差的二阶性质,给出其相对应的时间离散方程解的正则性,并由此得到在非协调单元下无网格比的超逼近结果.本节仍采用第二节中非协调元的空间.记则有利用这些记号,考虑(5.1)式线性化的逼近方程:寻找,使得当n≥2,有利用如下方程求解:和其中,且utt(0)可以利用utt(0)=∇·(a(u0)∇u0)+f(u0)得到,u0是已知函数.时间误差引入时间离散方程,利用其解Un分裂误差,通过估计时间误差得到Un的正则性.令,则有和注意到,在这一节里针对非线性双曲方程构造了一个新的线性化的二阶格式,可以看到要证明其截断误差为O(τ2)是非常不容易的.另一方面,在得到误差结果时,由于C0在第n层和第n+1层必须统一,则在估计误差时,我们需要利用ēm+1≤τ(m≤n−1),而不是ēm+1≤C0τ2(m≤n−1)来得到结果.空间误差利用以上结果得到超逼近结果,令,则有在此过程中,有以下几点需要特别关注1.如果将本节使用的单元换成协调单元(比如Q11单元),由于没有的和的H2-模的有界性,则结果(5.8)式将不成立.2.(5.8)式的右端不能直接被估计成C1(h2+τ2),否则h和τ的比值将无法避免.事实上,也不能将其估计为C1h,因为利用数学归纳法,我们需要统一n层和n+1层的,所以利用了.进一步地,在误差估计过程中会出现以下项如果利用类似前面的估计方法,将τ从内积的一端转向另一端,则有结果,这时将不可避免的出现网格比.为了克服关键问题,重新分裂内积为则有其中以及rn=Un−IhUn.这样可得到最后可导出以下结果6 总结与展望本文在矩形区域下,对非线性抛物方程、非线性Schrdinger方程、非线性Sobolev方程、非线性双曲方程,讨论了它们线性化的全离散格式的构造以及无网格比超收敛分析.首先,把原来文献中已有的对非线性发展方程无网格比收敛的结果,进一步延伸到对非线性发展方程无网格比的超逼近和超收敛的研究中.由于要想得到高精度的结果,对原始方程解正则性的要求往往都会比较高.那么怎样绕过在矩形区域下,引入的时间离散方程解的有界性达不到H3(Ω)时,有技巧的得到无网格比超逼近结果是之前文献所不曾见过的.其次,对于非线性发展方程,其非线性项中a(u)的处理也是之前很少有的.我们创新性的利用Taylor展开式,保持了最后时间方向上的误差不丢失阶.。

非线性模态的分类和新的求解方法

第　28　卷　第　3　期力学学报V o l.28,N o.3 1996　年　5月A CTA M ECHAN I CA S I N I CA M ay,1996非线性模态的分类和新的求解方法1)吴志强陈予恕毕勤胜(天津大学力学与工程测试系,天津300072)摘要　引入不可分偶数维不变流形的概念来定义非线性模态.在此基础上,揭示出了一种新的模态——耦合非线性模态,并对实际系统中各种可能的模态进行了分类.这种分类可能是新的构筑非线性模态理论的框架.用此方法构造非线性模态,得到的模态振子具有范式的形式,形式最简、却能反映原系统在平衡点附近的主要动力学行为,且易于得到非线性频率及非线性稳定性等方面的信息.不仅适用于分析一般的多自由度系统,还可用于分析奇数维系统;不仅可构造内共振系统的非耦合模态,还可用于构造内共振耦合模态.从掌握的资料看,以前的方法还不能解决上述所有问题.关键词　非线性模态,不变流形,范式引　言关于非线性模态研究的发展,文献[1]作了较完整的综述,在一系列相关的研究中,Ro sen2 berg[2]及Shaw和P ierre[3,4]的工作有着开创性的意义.Ro senberg于60年代初,首先提出了非线性模态的概念,为该领域随后30年的研究奠定了基础.最近,Shaw和P ierre引入动力系统理论中二维不变流形的概念来定义非线性模态,拓宽了研究领域.他们的方法除象Ro senberg 的方法那样可分析多自由度保守系统外,还可分析非保守系统及陀螺系统.近30年来,在非线性模态理论的研究方面,人们已经做了大量的工作,取得了不少进展.尽管如此,仍存在不少亟待解决的问题.首先,非线性模态理论还缺少统一的框架.即使是对非线性模态这一最基本的概念,也还缺少统一的认识.为此,本文引入动力系统中不变流形的概念来定义非线性模态,进而对实际系统中可能存在的非线性模态进行了分类,形成了构筑非线性模态理论的框架.文中给出的例子说明了本文定义及分类的合理性.对于内共振系统的非线性模态,以前还没有一种方法能进行有效的求解.用本文的方法,不仅可以构造这类系统的非耦合模态,还可以构造内共振模态.另外,用以前的方法构造非线性模态,得到的模态振子不能明显地反映原系统的非线性特征.而用本文方法构造的非线性模态,得到的模态振子形式最简、具有范式的形式,易于得到系统的非线性频率及非线性稳定性等方面的信息,而且能够反映原系统的主要动力学行为[5].　1)国家自然科学基金和教委博士点基金资助项目.1995203227收到第一稿,1995211204收到修改稿.1　非线性模态的定义及分类考虑一般的高维弱非线性自治系统x α=A x +F (x )(1)其中x ∈R n ,F :R n R n .假定A 有N 对纯虚根,在A 的Jo rdan 标准形矩阵中其对应的子矩阵为对角阵,而其余特征根实部均不为0,在变换x =T u u +H (u )(2)作用下(其中T u 是由纯虚特征根对应的特征向量组成的n ×2N 复矩阵,H (u )是u 的非线性函数向量),系统(1)可简化为范式形式u α=J u +C (u )(3)其中u =(u 1,u 2,u 3,…,u N ,u N +1,…,u 2N ), u j =u θj +N (j =1,2,…,N ) Κ=(Κ1,Κ2,…,Κ2N ),Κj =Κj +N (j =1,2,…,N )对于某个变量u s 来说,其非线性项C s (u )是由非线性项u m 组成的,指数向量m 满足〈m ,Κ〉-Κs =0这些Po incar é共振项可分为三类:非耦合共振项(自共振项)、耦合共振项、内共振项.若将向量m 的前半部分、后半部分分别记为m δm ^^,则有的Po incar é共振项满足 m δ-m ^^ =1,特点是,这些项成为共振项并不要求特征值Κ之间有任何特殊关系,而其它共振项满足 m δ-m ^^ ≠1,这些项之所以成为共振项,是因为若干个特征值间存在特殊关系.前者,若仅含有u s ,u θs ,则称为非耦合共振项(或自共振项),如(u ,s u θs )3u s ,若除u s ,u θs 外还含有其它变量或它们的共轭,则称为耦合共振项,如(u 1u θ1)u s ,s ≠1;而后者,则称为内共振项,如:当Κ1=2Κs 时,非线性项u 1u θs .系统(3)有可能是由若干个相互独立的单元组成的,这些单元内部变量的运动方程间是相互耦合的,而与其它任何单元的变量的运动方程是不耦合的.根据所含非线性项种类的不同,这种单元可分为非耦合单元、耦合单元、内共振单元.1)非耦合单元M Iu αs =i Ξu s +u s 6∞j =1C j (u s u θs )u s ∈MI={u s }(4)方程中只有非耦合共振项(自共振项).2)耦合单元M IIu αs =i Ξs u s +G s (M I I,M{I I )u s ∈MI I(5)992第　3　期吴志强等:非线性模态的分类和新的求解方法MI I中的元素,或其共轭至少(5)的耦合项中出现一次.3)内共振单元MIIIu αs =i Ξs +G s (M I I I,M{I I I)u s ∈MI I I(6)G s 中的耦合项使上述方程间是耦合的,另外所有G s 中至少有一个内共振项.下面定义的非线性正交模态是非线性方程(1)的不可分偶数维不变子空间.所谓“不可分”,指的是该子空间不能表示成若干个较低维不变子空间的直和.另外,该子空间一般不是平面流形,且在平衡点处与相应的线性特征空间相切.定义　非线性自治系统(1)的非线性模态为发生在系统相空间不可分偶数维(2i )不变流形上的运动.该流形具有如下的性质:通过系统稳定的平衡点,并在该点处与相应的线性特征空间相切.系统(3)中所含的各类单元的数目不只一个,也可能只有其中的某类单元.但不论是同类单元间,还是不同类单元间都是解耦的,因而某个单元上的运动不可能引起其它单元上的运动,该单元上所有可能的运动就构成了一个不变流形,即存在不同的不变流形与组成系统的各个单元分别对应.在本文的定义下,这些不变流形即为非线性模态,相应的单元即为模态振子.根据模态上的动力学方程(模态振子)的类型,非线性模态可分为三类,分别与上述三类单元对应:1)非耦合模态M I (i =1),2)耦合模态M II (i Ε2),3)内共振模态M I I I (i Ε2).实际上内共振模态也是一种耦合模态,为简单起见,称非内共振耦合模态为耦合模态,称内共振耦合模态为内共振模态.2　非线性模态的求解方法由模态定义知,当u j ∈u M 时,u j =0,此处u M 含义为:1)非耦合模态,u M ={M I ,M {I },2)耦合模态,u M ={M II ,M{II },3)内共振模态,u M ={M III ,M{III }.因为变换(2)可写为x =T M u M +H (u m )(7)此即所求非线性模态.T M 为n ×2i 矩阵,非线性项H (u M )满足D H J M u M -A H =f (T M u M +H (u M ))-D H C M -T M C M(8)其中J M 为由所求非线性模态涉及到的特征值组成的Jo rdan 标准形2i ×2i 矩阵,而C M 所求模态对应的共振多项式向量.相应的模态振子为u αM =J M u M +C M (u M )(9)一般地,只能求得非线性模态级数形式的近似表达.在具体求解过程中,若式(8)左端是非奇异03力学学报 1996　年　第　28　卷的,则C M 中相应项的系数为0;若是奇异的(秩为r ),则C M 中相应项的系数一般不为0,以C M 中相应的r 个元素,再适当选取H 中N 2r 个元素,作为未知量,使得式(8)是可解的.当系统(1)是多自由度系统时,式(8)还可以简化,限于篇幅,这里不再给出.3　本文方法的应用下面通过几个例子说明本文方法的特点及贡献:例1　双质量弹簧系统的非线性模态(文献[3],例2,101页)x α1=y 1, y α1=-(1+k )x 1+kx 2-g x 31x α2=y 2, y α2=kx 1-(1+k )x 2(10)若令x =(x 1,x 2,y 1,y 2)T ,则由(1)知A =0　IΑ　Β,Α=-(1+k )kk-(1+k ),Β=0　00　0设系统的非耦合模态为x αj =2R e [A0j 0z +A0j 1z 2+A0j 3z 3+A0j 4z 2Z θ]+A0j 2z zλy αj =2R e [B0j 0z +B 0j 1z 2+B 0j 3z 3+B 0j 4z 2Z θ]+B0j 2z zλ　(j =1,2)(11)相应的模态振子为z α=Κz +C 1z 2z λ+C 2z 3z λ2+…(12)根据上节内容,不难导得模态系数及振子中线性及非线性项系数满足的方程:(z ):A0j 0Κ2=62s =1(Αjs A0s 0+ΚΒjs A0s 0)ΚA0j 0=B0j 0　(j =1,2)(13) (z 3):A 013A 023=[q Κ2I -Α]-1f 013f023B 013B023=3ΚA 013A023(14)103第　3　期吴志强等:非线性模态的分类和新的求解方法 (z 2zλ):选取A 014=0,则C 1A 024=(3Κ+Κ)A 010-k(3Κ+Κ)A020(1+k )+(2Κ+Κ)2-1f 014f024B 014B024=(2Κ+Κ)A 014A024+A 010A020C 1(15)根据式(13)～(15),逐式求解,可得两个非线性模态如下:模态1　(Κ=i )x 1=2x +8-k 32-8kg x (x 2-3y 2)y 1=-2y -32g y (x 2+y 2)+24-3k 32-8k g y (y 2-3x 2)x 2=2x +3gk k (x 2-y 2)-g k32-8kx (x 2-3y 2)y 2=-2y -12+1k 3g y (x 2+y 2)-3g k 32-8ky (y 2-3x 2)振幅比为x 2x 1=y =01+12g x 2k (8+g x 2)-64g x 2+20g 2x 4(8+g x 2)[64+8g x 2-k (16+g x 2)]相应的模态振子为z α=iz +i3g 4z 2z λ其非线性频率为1+34g r 2(r = z ).模态2　(Κ=i 1+2k )　x 1=2x +(8-17k )g x (x 2-3y 2)32+136k +144k 2　y 1=-21+2k y -3gy (x 2+y 2)21+2k+1+2k gy (24+51k )32+136k +144k 2(y 2-3x 2)　x 2=-2x +3g k x (x 2+y 2)-g kx 32+136k +144k 2(x 2-3y 2)　y 2=21+2k y +121+2k-1+2kk3gy (x 2+y 2)-3g k 1+2k 32+136k +144k2y (y 2-3x 2)振幅比(y =0时)为x 2x 1=-1+12g x 2k (8+g x 2)+64g x 2+212g 2x 48+g x 2+k (128g x 2+448g 2x 4)8+g x 264+288k 2+8g x 2+k (272+17g x 2)203力学学报 1996　年　第　28　卷模态振子为z α=i1+2k z +i3g 41+2k z 2z λ其非线性频率为Ξ=1+2k 1+3g r 241+2k下面将所得结果与Shaw 的结论作比较:1)两种方法得到的模态振子的非线性频率是相同的.2)模态2的振幅比与Shaw 的结论定性相同,而模态1的振幅比难与Shaw 的结论比较.3)本文得到的模态振子具有范式形式,能够反映原系统主要的局部和全局动力学行为,从模态振子表达式不加计算即可获知模态的非线性频率、非线性稳定性等信息,即本文得到的模态振子简洁地反映了系统的主要非线性特征.4)对多自由度系统的非耦合模态来说,本文方法与文献[3]的方法同样有效.但本文方法还可用于求解内共振系统的非耦合模态(见例2).另外,本文的方法还可分析奇数维系统(例4).例2　内共振系统的非线性模态当k 接近4时,系统(10)两特征值之比1 1+2k 接近1 3,为内共振系统:x α1=y 1, y α1=-(1+k )x 1+kx 2-g x 31x α2=y 2, y α2=kx 1-(1+k )x 2(16)设系统非线性模态为x =6l 1+l 2+l 3+l 4Ε1Al 1l 2l 3l 4Z l 11Z l 22Z l 33Z l44y =6l 1+l 2+l 3+l 4Ε1B l 1l 2l 3l 4Z l 11Z l 22Z l 33Z l 44(17)其中x =(x 1,x 2)T ,y =(y 1,y 2)TA l 1l 2l 3l 4=A ϖl 1l 2l 3l 4=(A(1)l 1l 2l 3l 4A(2)l 1l 2l 3l 4)T Bl 1l 2l 3l 4=B ϖl 1l 2l 3l 4=(B (1)l 1l 2l 3l 4B(2)l 1l 2l 3l 4)T相应模态振子为z α=J z +6l 1+l 2+l 3+l 4Ε2C l 1l 2l 3l 4Z l 11Z l 22Z l 33Z l44(18)其中z =(z 1zλ1z 2z λ2)TJ =diag (i -i 1+2k i -1+2k i )C l 1l 2l 3l 4=(C (1)l 1l 2l 3l 4,C (2)l 1l 2l 3l 4,C (3)l 1l 2l 3l 4,C (4)l 1l 2l 3l 4)T根据例1计算,可知303第　3　期吴志强等:非线性模态的分类和新的求解方法A 1000B1000=11i i,　A 0020B0020=1-1i Ξ2-i Ξ2其中Ξ2=1+2k .下面求模态表达式的非线性部分,为此将原系统的非线性项展开(略去四阶以上的非线性项),得x 21=z 31+z 32+3z 21z λ1+3z 22z λ2+3z 21z 2+3z λ21z 2+6z 1z λ1z 2+6z 1z 2z λ2+3z 1z λ22+3z 2z 22+C 1C 1式中C .C .表示前面所有项的复共轭.(z 31):　det (3iI -A )=0　(I 为单位阵)因而z 31是共振项,今取A(1)3000=0,以特征值i 1+2k 对应的特征向量代替(3iI -A )的第一列,得到关于C (3)3000,A(2)3000,B(1)3000,B (2)3000的方程10-10-13i 0-1i Ξ2-k3i 0i Ξ21+k3iC (3)3000A (2)3000B (1)3000B(2)3000=00-g 0解之得C (3)3000=g (8-k )8(3+Ξ2)iA3000=0g 8,　B3000=g i8(3+Ξ2)8-k1+k +3Ξ2同样可求得模态表达式及模态振子中的其它非线性项的系数.代回式(17),整理得内共振模态的实表达式(此处从略).代入式(18),得模态振子为z α1=iz 1+i 3g 4z 21z λ1-i3g (4+k -4Ξ2)8(1+k +Ξ2)z λ21z 2+i 3g 2z 1z λ2z 2z α2=i Ξ2z 2+i g (8-k )8(3+Ξ2)z 31+i 3g 4Ξ2z 22z λ2+i 3g 2Ξ2z 1z λ1z 2(19)从上面的计算可以看出,本文方法可以有效求解内共振系统的内共振模态.另外,我们还发现内共振系统中存在非耦合模态.在式(17)及(19)中,令z 1=0,即可得上例中的模态2及其振子.但令z 2=0,却得不到第一阶模态,表明内共振系统中不存在该非线性非耦合模态.本文求非耦合模态的方法,可以求出内共振系统中的非耦合模态.当用来求解模态振子中403力学学报 1996　年　第　28　卷非耦合共振项以外的项的系数的方程奇异时(如例1中模态1的z 3项的系数方程(14)),表示系统中有内共振产生,正在求解的模态无效(例1中的模态1),不存在于内共振系统中.例3　耦合非线性模态考虑如下系统x α1=y 1, y α1=-(1+k )x 1+kx 2x α2=y 2, y α2=kx 1-(1+k )x 2-g (x 21+y 21)y 2(20)利用文献[3]中给出的方法求解其非线性模态,不难得到它的两个模态振子(求解过程从略).模态1u α=v v α=-u +k k -1(u 2+v 2)模态2u α=v v α=-(1+2k )u +a 7u 2v +a g v 3其中a 7a g=1(1+3k )(9+19k )6(1+2k )2+3(1+2k )+k 7k +5显然,当k =-1 3或k =-9 19时,模态2的振子中非线性项系数将出现分母为0的情况,模态振子及相应的模态均失去意义.但此时两模态振子的频率比1 1+2k 很明显是无理数,即原系统不是内共振的.因此,从本例的分析不难得到如下结论:1)文献[3]的方法,即使对于非内共振系统,也可能失效.失效的原因在于模态间的非内共振耦合.这也是本文的重要发现之一,同时,这也从一个侧面说明我们提出的一类新的模态,即耦合非线性模态的合理性.2)本文的方法解决了这一问题.方程(8)的奇异性取决于原系统的线性部分,而不受原系统非线性项的影响.本例与例1相比,只是非线性项作了改变,因此本文方法可用于例3,不存在非内共振失效的问题.例4　奇数维系统的非线性模态[6] y α1 y α2y α3=2v -1-1012v -100-vy 1y 2y 3+y 1y 3y 2y 3-(y 21+y 22+y 23)(21)503第　3　期吴志强等:非线性模态的分类和新的求解方法易知Μ=0.5时,系统有一对纯虚根Κ=±i ,i 相应的特征向量为H 10=(0.5-0.5i 0)T .设其非线性模态的表达式为y =6j +k Ε1H jk z j z λk (H jk =H {k j )(22)模态振子为z α=Κz +C 1z 2z λ+…(23)将式(22)代入式(21)中的非线性项f (y )= y 1y 3 y 2y 3-(y 21+y 22+y 23)=6j +k Ε2f jk z jzλk可以求出f jk (只求到j +k =3即可).代入方程(8),先求出j +k =2时所有的H jk .再令H21,1=0,得z 2zλ系数的方程C 1H 21,2H21,3=01510-015i ii +0.5-1　f21=1ii -10………………-1i解得C 1=-2故模态振子为z α=iz -2z 2zλ非线性模态的表达式较繁,此处从略.参考文献1　吴志强.多自由度非线性系统的非线性模态及N o r m al Fo r m 直接方法.天津大学博士学位论文,1996,22　Ro senberg RM .N o r m al modes in nonlinear dual mode system s .J A pp l M ech ,1960,27:263～2683　Shaw S W ,P ierre C .N o r m al modes fo r nonlinear vibrato ry system s .J S ound V ,1993,164(1):85～1244　Shaw S W ,P ierre C .N o r m al modes of vibrati on fo r nonlinear continuous system s .J S ound V ,1994,169(3):319～3475　陈予恕.非线性动力系统的分叉和混沌理论.北京:高教出版社,19936　H assard BD ,etc .T heo ry and A pp licati ons of Hopf B ifurcati on .Cam bridgeU njiversity P ress ,1981603力学学报 1996　年　第　28　卷CLASSIF I CAT I ON OF NONL INEAR NOR M AL MOD ESAND THE IR NE W CONSTRUCT IVE M ETHODW u Zh iqiang Chen Yu shu B i Q in sheng(D ep art m ent of M echanics ,T ianj in U niversity ,T ianj in 300072,Ch ina )Abstract T he defin iti on of the non linear no r m al m odes is given by in troducing the undividedeven 2di m en si onal invarian t m an ifo ld ,and a new k ind of no r m al m odes (i.e .coup led non lin 2ear m ode )are p ropo sed w h ich m ay classify all the no r m al m odes exp ected in physical sys 2tem s .T h is idea of classificati on m ay fo r m a new base of con structing the non linear no r m al m ode theo ry .M odal o scillato rs ob tained by the m ethod p resen ted here are of N o r m al Fo r m type ,w h ich are si m p lest in exp ressi on and can rep resen t the m ain dynam ical behavi o r of the o riginal system s .F rom w h ich the info r m ati on ,such as non linear frequency and non linear stab ility etc .,can be easily gained .T he m ethod is su itab le to analyse the general m u lti 2de 2gree freedom system s and odd 2di m en si onal non linear dynam ical system s ;it can be u sed to con struct no t on ly uncoup led no r m al m odes bu t also coup led no r m al m odes of the system s w ith in ternal resonance .T he so lu ti on s of the above p rob lem s have no t been found in the lit 2eratu res up till now .Key words non linear no r m al m ode ,invarian t m an ifo ld ,no r m al fo r m703第　3　期吴志强等:非线性模态的分类和新的求解方法。

离散的非线性Ablowitz方程的Jacobi椭圆函数解

１引言、
将（）（）（）５、６、７代人方程（）４得
求解非线性偏微分方程，长期以来一直是物理学家和数学家研究的重要课题，特别是求非线性方程的孤波解在理论上和实际应用中有重要价值。近年来，非线性数学物理的研究颇具特色的新成就之一是创造了求非线性数学物理方程（）组精确解的各种方法，如反散射法Ⅲ Ｂ，ａｋｕｄ和Ｄｒｏｘ变换目Ｈｉｔｃｌｎａｂｕ，ｒａ双线性算子法［混合指数法［双曲函ｏ３１，４１，数法［齐次平衡法【５１，母等等。然而这些方法大多寻求的是非线性方程的精确解，很少涉及到有关求解微分一差分方程的。微分一差分方程的数学模型在物理现象中有很重要的应用，比如晶格中的质点振动，生物链中的脉冲等。此外，微分一差分方程在数值逼近非线性微分方程、队问排题及量子物理中有着广阔的应用。近年来，用Ｊｃｂ椭圆函数展开法非线性微分方程有了很大的应ａｏｉ用，很多非线性微分方程的周期波解被得到。本文用Ｊｃｂ椭圆函数ａｏｉ展开法获得离散的非线性Ａｌｉ方程周期波解，包括三种形式的椭ｂｗｔｏｚ圆函数解和极限情形下的孤立子解。２Ｊｃｂ椭圆醋数展开法、ａｏｉ近期提出并发展的／ｅｂ椭圆函数展开法可用来求解非线性数学ａｏｉ物理方程的周期波解。这是求非线性方程的周期波解很有用的方法。而Ｊｃｂ椭圆函数展开法又可看成是Ｆａｏｉ一展开法的具体情形。Ｊｃｂ椭圆函数展开法解非线性微分一ａｉｏ差分方程分为以下４个步
ｕ（＝（）±一ｔＤｈ（）ｔｈｋ＋ｅ，ｔｎ）ｎ（ｎｋａ

关于求解非线性耦合Schrǒdinger方程的Sonnier—Christov格式

．
（．１）４
由（）知，只要一Ｌ和Ｒ足够大（一Ｌ即Ｘ，Ｒ》０）则问题（．）（．）（１一１），１１～１与１）（．、４３（）一致的．是
收稿日期：０７１ —５修订日期：０９０ — ６２０ —２１；２０ —２１
、、
（．）１１
（．１）２（．１）３
（半半）
进行了数值研究，提出Ｔ－＋ＮＮ－恒差分格式．其中、１－，￣Ｆ是已知常数．非线性耦合Ｓｈ６ｉｅ方程在诸如非线性光学、量子物理等物理学的很多领域都有很重要的应ｃｒｄｇｒｎ用［９便于计算，我们取如下边界条件４］－．ＵＸ，）ｕｘ，），ＶＸ，）（ｎ０＝０（Ｌ０（ｎ０＝０（Ｌ０＝ｖｘ，）．
文献［５指出非守恒格式容易导致非线性的ｂｏ —ｐ并对非线性ＳｈＳｉｇｒ方程提１】ｌｕ，ｗｃｒｄｎｅ出一个新的线性化守恒差分格式．Ｌ和Ｖ — ｏ也在文献ｆ］ｉｕＱｕｃ１中指出 “ ｏｒａ，ｈ６ｉｓｍｅａｅｓｔｅｎ
Ｅ— ａｌｍｉ：ｗａｎｔｎｈｕｇｉｇｃｎ＠ｎｕａｅａｄｕ．ｎｃ
．
基金项目：国家自然科学基金（０７０７１５２５）资助
Ｎ．王廷春等：关于求解非线性耦合Ｓｈ６ｉｇｒ程的Ｓｎｉ — ｒｔｖ格式ｏ１ｃｒｄｎｅ方ｏｎｅＣｈｉｏｒｓ初边值问题（．１）有两个重要的守恒性质．即电荷守恒１）（．具１４

【国家自然科学基金】_统计流形_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140731

科研热词推荐指数谱间隔条件 2 流形学习 2 惯性流形 2 半流 2 黎曼流形 1 阻尼boussinesq方程 1 邻域保持投影 1 识别 1 结构 1 粒子滤波 1 第二基本形式 1 稳定性 1 目标识别 1 监督保局投影 1 测地曲率 1 流形优化 1 法曲率 1 极限环 1 李群 1 强阻尼boussinesq方程 1 射影变换 1 子流形 1 复杂网络 1 声目标识别 1 去相关邻域保持判别投影 1 单变量非静态增长模型 1 切向量场 1 人耳识别 1 二维 1 不变锥 1 stiefel流形 1 gabor小波 1 f-调和映射的稳定性 1
推荐指数 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24
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2012年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42

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科研热词非径向对称变号解薛定谔方程组 nehari流形解析解柱坐标原子链鱼眼镜头高聚物粘结炸药(pbx) 非线性畸变非球面非接触测量非对称等离子体弧非对称非互易相位误差零轴向速度包络面隧道轴对称问题轴向速度超小间距贝塞尔位势核解释模型角度分辨率衬垫巴西试验虹膜识别翘曲纯弯拱纯压拱移动平面法磁场误差瞬态压力瞬态睫毛检测眼睑检测监测界面电阻抗成像点插值法灰度值漂移测量误差浅埋波动信号水平井水力旋流器残余应力正交频分复用横向拉伸试验标度指数有限元法有限元分析有限元无网格法
2010年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37
科研热词物理光学黏性流非线性周期振动非线性动力学特性辐射式电场轴对称偏振光超弹性球形薄膜螺旋电极聚焦环形孔径光阑环境平均风场热带气旋混合p-截面体涡旋柱孔扩张柔性膜片机理推广微磨料水射流微槽径向偏振光强度变化多普勒雷达塑性区周期阶梯载荷台风初始应力各向异性凸性冲蚀机理内核结构偏振转换主应力 rossby波 pzt薄片 p-截面体 ehvvp方法 c切钒酸钇晶体
推荐指数 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2011年序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

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非线性椭圆型方程的nehari流形
非线性椭圆型方程的Nahari流形是一种非线性函数，它可以用来描述复杂的系统，如经
济学、物理学和生物学中的系统。Nahari流形是一种非线性函数，它可以用来描述复杂的

系统，如经济学、物理学和生物学中的系统。它可以用来描述复杂的系统，如经济学、物
理学和生物学中的系统。Nahari流形的优点是它可以提供一种简单的方法来描述复杂的系
统，并且可以用来求解复杂的问题。

Nahari流形的应用非常广泛，它可以用来求解复杂的优化问题，如最小二乘法、最小角度
法和最小距离法。它还可以用来求解复杂的控制问题，如控制系统的稳定性和可靠性。此
外，Nahari流形还可以用来求解复杂的统计问题，如回归分析和多元分析。

Nahari流形的另一个优点是它可以用来求解复杂的数学问题，如微分方程和积分方程。它
还可以用来求解复杂的物理问题，如力学和热力学。此外，Nahari流形还可以用来求解复
杂的生物学问题，如生物系统的动力学和生物系统的结构。

总之，Nahari流形是一种非常有用的非线性函数，它可以用来描述复杂的系统，并且可以
用来求解复杂的优化、控制、统计和数学问题。它的应用非常广泛，可以用来解决各种复
杂的问题，因此它是一种非常有用的工具。。