高中物理选修3静电场微型专题库仑力作用下的平衡学案

微型专题1 库仑力作用下的平衡

[学科素养与目标要求]

物理观念：进一步掌握库仑力的计算公式及库仑力的方向判定.

科学思维：1.会进行库仑力作用下带电体的受力分析.2.会运用合成法、分解法处理共点力作用下的平衡.

一、非共线力作用下带电体的平衡

1.库仑力具有力的一切性质，可以与其他力合成、分解，两点电荷间的库仑力是一对作用力和反作用力，遵从牛顿第三定律.

2.共点力的平衡条件：物体所受外力的合力为零，即F 合＝0或???

??

F x ＝0F y ＝0

.

3.处理平衡问题常用的数学知识和方法有直角三角形、相似三角形和正交分解法.

4.选取研究对象时，要注意整体法和隔离法的灵活运用.

例

1(多选)两个质量分别是m1、m2的小球，各用丝线悬挂在同一点，当两球分别带同种电荷，且电荷量分别为q1、q2时，两丝线张开一定的角度θ1、θ2，如图1所示，此时两个小球处于同一水平面上，则下列说法正确的是( )

图1

A.若m 1＞m 2，则θ1＞θ2

B.若m 1＝m 2，则θ1＝θ2

C.若m 1＜m 2，则θ1＞θ2

D.若q 1＝q 2，则θ1＝θ2 答案 BC

解析 以m 1为研究对象，对m 1受力分析如图所示.由共点力平衡得

F T sin θ1＝F 库① F T cos θ1＝m 1g ②

由①②得tan θ1＝F 库m 1g ，同理tan θ2＝F 库

m 2g ，因为不论q 1、q 2大小如何，两带电小球所受库仑力属于作用力与反作用力，永远相等，故从tan θ＝

F 库mg 知，m 大，则tan θ小，θ也小(θ＜π

2

)，

m相等，θ也相等，故选项B、C正确.

例

2如图2所示，A、B是两个带等量同种电荷的小球，A固定在竖直放置的10cm长的绝缘支杆上，B静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A等高，若B的质量为303g，则B带电荷量是多少？(取g＝10m/s2，小球A、B 视为点电荷，k＝9.0×109N·m2/C2)

图2

答案 1.0×10－6

C

解析 因为B 静止于光滑绝缘的倾角为30°的斜面上且恰与A 等高，设A 、B 之间的水平距离为L .

依据题意可得：tan30°＝h L

则L ＝

h

tan30°＝10

3

3

cm ＝103cm

对B 进行受力分析如图所示，依据物体平衡条件，解得库仑力F ＝mg tan30°＝303×10

－

3

×10×

3

3

N ＝0.3N.

依据F ＝k q 1q 2r 2得：F ＝k q 2

L

2.

解得：q ＝

FL 2

k

＝0.39×10

9×(10

3×10－2)2

C ＝1.0×10－6

C.

二、同一直线上带电体的平衡

1.同一直线上的三个自由点电荷都处于平衡状态时，每个电荷受到的合力均为零，根据平衡条件可得，电荷间的关系为：“两同夹异”“两大夹小”“近小远大”.

2.对于三个自由电荷的平衡问题，只需对其中两个电荷列平衡方程，不必再对第三个电荷列平衡方程.

例

3

如图3所示，带电荷量分别为＋q 和＋4q

的两点电荷A 、B ，相距L ，问：

图3

(1)若A 、B 固定，在何处放置点电荷C ，才能使C 处于平衡状态？ (2)在(1)中的情形下，C 的电荷量和电性对C 的平衡有影响吗？

(3)若A 、B 不固定，在何处放一个什么性质的点电荷，才可以使三个点电荷都处于平衡状态？ 答案 见解析

解析 (1)由平衡条件，对C 进行受力分析，C 应在AB 的连线上且在A 、B 之间，设C 与A 相距r ，则

k ·q ·q C r 2＝k ·4q ·q C (L －r )2，解得：r ＝L

3

(2)距离A 为L

3处，不论C 为正电荷还是负电荷，A 、B 对其作用力的合力均为零，故C 的电荷

量大小和电性对其平衡无影响.

(3)若将C 放在A 、B 电荷两边，A 、B 对C 同为向左(或向右)的力，C 都不能平衡；若将C 放在A 、B 之间，C 为正电荷，则A 、B 都不能平衡，所以C 为负电荷.设放置的点电荷的电荷量大小为Q ，与A 相距r 1，分别对A 、B 受力分析，根据平衡条件，对电荷A ：有k ·4q ·q L 2＝kQ ·q

r 1

2 对电荷B ：有

k ·4q ·q L 2＝kQ ·4q

(L －r 1)

2 联立可得：r 1＝L 3，Q ＝4

9

q (负电荷)

即应在AB 连线上且在A 的右边，与点电荷A 相距L 3处放置一个电荷量为4

9

q 的负电荷.

[学科素养] 通过三个例题，使学生练习了库仑力作用下的受力分析，并能熟练运用“合成法”“分解法”解决各种库仑力作用下的平衡问题，锻炼了学生对所学知识的归纳与迁移应用能力，较好地体现了“科学思维”的学科素养.

1.(库仑力作用下的平衡)(多选)A 、B 两带电小球，质量分别为m A 、m B ，用绝缘不可伸长的细线如图4悬挂，静止时A 、B 两球处于相同高度.若B 对A 及A 对B 的库仑力分别为F A 、F B ，重力加速度为g ，不计空气阻力，则下列判断正确的是( )

图4

A.F A

B.细线AC 对A 的拉力F T A ＝

m A g

2

C.细线OC 的拉力F T C ＝(m A ＋m B )g

D.同时烧断AC 、BC 细线后，A 、B 在竖直方向的加速度相同 答案 CD

解析 两球间的库仑力是作用力与反作用力，大小一定相等，故A 错误；对小球A 受力分析，受重力、库仑力、拉力，如图.由共点力的平衡条件有：m A g ＝F T A cos30°，因此：F T A ＝23

3

m A g ，

故B 错误；由整体法可知，细线OC 的拉力等于两球的总重力，故C 正确；同时烧断AC 、BC 细线后，A 、B 在竖直方向只受重力不变，所以加速度相同，故D 正确.

2.(库仑力作用下的平衡)如图5所示，悬挂在O 点的一根不可伸长的绝缘细线下端有一个带电荷量不变的小球A .在两次实验中，均缓慢移动另一带同种电荷的小球B .当B 到达悬点O 的正下方并与A 在同一水平线上，A 处于受力平衡时，悬线偏离竖直方向的角度为θ，若两次实验中B 的电荷量分别为q 1和q 2，θ分别为30°和45°.则q 2q 1

为( )

图5

A.2

B.3

C.23

D.3 3 答案 C

解析 由A 的受力分析图可得F ＝mg tan θ，由库仑定律得F ＝kq A q B

r 2

，式中r ＝l sin θ(l 为悬线长度)，由以上三式可解得

q B ＝mgl 2sin 2θtan θkq A ，因q A 、m 、l 、g 、k 不变，

则q 2q 1＝sin 245°tan45°sin 230°tan30°

＝2 3. 3.(库仑力作用下的平衡)如图6所示，把一带正电的小球a 放在光滑绝缘斜面上，欲使球a 能静止在斜面上，需在MN 间放一带电小球b ，则b 应( )

图6

A.带负电，放在A 点

B.带正电，放在B 点

C.带负电，放在C 点

D.带正电，放在C 点 答案 C

解析 小球a 受到重力、支持力和库仑力的作用处于平衡状态时，才能静止在斜面上.小球b 带负电、放在C 点或小球b 带正电、放在A 点可使小球a 所受合力为零，故选C.

一、选择题

1.(2018·清华附中高二期中)如图1所示，两个电荷量均为＋q 的小球用长为l 的轻质绝缘细绳连接，静止在光滑的绝缘水平面上.两个小球的半径r ?l ，k 表示静电力常量，则轻绳的张力大小为( )

图1

A.0B.kq 2l 2C.2kq 2l 2D.kq l

2

答案 B

解析 根据小球静止可以知道，绳子拉力大小等于库仑力，因此有：F ＝k q 2

l

2，故B 正确，A 、

C 、

D 错误.

2.一端固定在天花板上的绝缘细线的另一端与一带正电的小球M 相连接，在小球M 下面的一绝缘水平面上固定了另一个带电小球N ，在图中，小球M 能处于静止状态的是( )

答案 B

3.(多选)如图2所示，质量分别为m1、m2，电荷量分别为q1、q2的两小球，分别用绝缘轻丝线悬挂起来，两丝线与竖直方向的夹角分别为α和β(α＞β)，两小球恰在同一水平线上，那么( )

图2

A.两球一定带异种电荷

B.q1一定大于q2

C.m1一定小于m2

D.m1所受的库仑力一定大于m2所受的库仑力

答案AC

解析由于两带电小球相互吸引，所以一定带异种电荷，选项A正确.设轻丝线与竖直方向的

夹角为θ，根据平衡条件可得两球之间的库仑力F＝mg tanθ，α>β，因此m1g＜m2g，即m1＜m2，选项C正确.

4.(多选)如图3所示，可视为点电荷的小球A、B分别带负电和正电，B球固定，其正下方的A球静止在绝缘斜面上，则A球受力个数为( )

图3

A.可能受到2个力作用

B.可能受到3个力作用

C.可能受到4个力作用

D.可能受到5个力作用

答案AC

5.相距为L的点电荷A、B带电荷量分别为＋4q和－q，如图4所示，今引入第三个点电荷C，使三个点电荷都处于平衡状态，则C的电荷量和放置的位置是( )

图4

A.－q ，在A 左侧距A 为L 处

B.－2q ，在A 左侧距A 为L

2处

C.＋4q ，在B 右侧距B 为L 处

D.＋2q ，在B 右侧距B 为3L

2处

答案 C

解析 A 、B 、C 三个电荷要平衡，必须三个电荷在一条直线上，外侧二个电荷相互排斥，中间电荷吸引外侧两个电荷，所以外侧两个电荷距离大，要平衡中间电荷的引力，必须外侧电荷电荷量大，中间电荷电荷量小，所以C 必须带正电，在B 的右侧.设C 所在位置与B 的距离为r ，则C 所在位置与A 的距离为L ＋r ，要能处于平衡状态，所以A 对C 的电场力大小等于

B 对

C 的电场力大小，设C 的电荷量大小为Q ，则有：

k 4q ·Q (L ＋r )2＝k Qq

r

2，解得r ＝L .对点电荷A ，其受力也平衡，则：k 4q ·Q (L ＋r )2＝

k 4q ·q

L 2，解得：Q ＝4q ，即C 带正电，电荷量为4q ，在B 的右侧距B 为L 处.

6.如图5所示，质量为m 、电荷量为q 的带电小球A 用绝缘细线悬挂于O 点，带有电荷量也为q 的小球B 固定在O 点正下方绝缘柱上.其中O 点与小球A 的间距为l ，O 点与小球B 的间距为3l .当小球A 平衡时，悬线与竖直方向夹角θ＝30°.带电小球A 、B 均可视为点电荷.静电力常量为k ，则( )

图5

A.A 、B 间库仑力大小F ＝kq 2

2l

2

B.A 、B 间库仑力大小F ＝

3mg 3

C.细线拉力大小F T ＝kq 2

3l

2

D.细线拉力大小F T ＝3mg 答案 B

解析 带电小球A 受力如图所示，由几何知识得OC ＝

3

2

l ，即C 点为OB 中点，根据对称性AB ＝l .由库仑定律知A 、B 间库仑力大小F ＝kq 2l 2，细线拉力F T ＝F ＝kq 2

l

2，选项A 、C 错误；根

据平衡条件得F cos30°＝12mg ，得F ＝3mg 3，细线拉力F T ＝3mg

3

，选项B 正确，D 错误.

7.(多选)如图6所示，用两根长度相同的绝缘细线把一个质量为0.1kg 的小球A 悬挂在水平板的M 、N 两点，A 上带有Q ＝3.0×10－6

C 的正电荷.两线夹角为120°，两线上的拉力大小分别为F 1和F 2.A 的正下方0.3m 处放有一带等量异种电荷的小球B ，B 与绝缘支架的总质量为0.2kg(重力加速度g 取10m/s 2

，静电力常量k ＝9.0×109

N·m 2

/C 2

，A 、B 球可视为点电荷)，则( )

图6

A.支架对地面的压力大小为2.0N

B.两线上的拉力大小F 1＝F 2＝1.9N

C.将B 水平右移，使M 、A 、B 在同一直线上，此时两线上的拉力大小F 1＝1.225 N ，F 2＝1.0N

D.将B 移到无穷远处，两线上的拉力大小F 1＝F 2＝0.866N 答案 BC

解析 小球A 、B 间的库仑力为F 库＝k

Q ·Q r

2＝9.0×109

× 3.0×10－6

×3.0×10

－6

0.32

N ＝0.9N ，以B 和绝缘支架整体为研究对象，受力分析图如图甲所示，地面对支架的支持力为F N ＝mg －F 库＝1.1N ，由牛顿第三定律知A 错误；

以A 球为研究对象，受力分析图如图乙所示，F 1＝F 2＝m A g ＋F 库＝1.9N ，B 正确；B 水平向右

移，当M 、A 、B 在同一直线上时，A 、B 间距为r ′＝0.6m ，F 库′＝k Q ·Q

r ′2

＝0.225N ，以A 球为研究对象，

受力分析图如图丙所示，可知F 2＝1.0N ，F 1－F 库′＝1.0N ，F 1＝1.225N ，所以C 正确；将B 移到无穷远，则F 库″＝0，可求得F 1＝F 2＝1.0N ，D 错误. 二、非选择题

8.如图7所示，把质量为0.2g 的带电小球A 用绝缘丝线吊起，若将带电荷量为＋4×10－8

C 的小球B 靠近它，两小球在同一高度且相距3cm 时，小球A 平衡，丝线与竖直方向夹角为45°.g 取10m/s 2

，静电力常量k ＝9.0×109

N·m 2

/C 2

，小球A 、B 可视为点电荷，则：

图7

(1)此时小球B 受到的库仑力的大小为多少？ (2)小球A 带何种电荷？

(3)小球A 所带电荷量大小是多少？

答案 (1)2×10－3

N (2)负电荷 (3)5×10－9

C

解析 (1)根据题给条件，可知小球A 处于平衡状态，分析小球A 受力情况如图所示.则

F ＝mg tan45°＝0.2×10－3×10×1N＝2×10－3N.

小球B 受到的库仑力与小球A 受到的库仑力为作用力和反作用力，所以小球B 受到的库仑力大小为2×10－3

N.

(2)小球A 与小球B 相互吸引，小球B 带正电，故小球A 带负电. (3)小球A 、B 之间的库仑力大小F ＝k |q A |·q B

r

2

， 所以|q A |＝Fr 2kq B ＝2×10－3×(3×10－2)29.0×109×4×10

－8C ＝5×10－9C.