对四色定理的简单证明-zms于201601

四色定理的简证

一、定义

四色定理：每个平面地图都可以只用四种不同颜色来染色，而且没有两个邻接的区域颜色相同

二、思想

1、归纳演绎

证明平面上五个点彼此两两相连最多可绘制9条两两不相交的连线，以下简称五点问题

2、转化

将四色定理转化为五点问题

三、基本思路

因为平面上四个封闭区域可以两两相邻，所以至少得用四种颜色来为两两相邻的四个区域染色，才能使得相邻的两区域颜色不同。所以要证明一个平面地图是否可以只用四种颜色来染色以使得彼此相邻的两区域颜色不同，只需要证明平面上第五个封闭区域的加入是否可以使得五个封闭区域彼此两两相邻，如若不两两相邻也就证明了四色定理。如果五个区域不能两两相邻，那么六个或六个以上区域也肯定不两两相邻。对于五个以上区域的分析，可以通过区域分离的方式，研究组合中区域之间的关系。因此，只需证明其中五个区域不两两相邻即可

在此证明中，将平面五个封闭区域两两相邻问题转化为五点连线问题----将是否两两相邻转化为五点问题，将封闭区域边界相邻属性通过点线构造抽象化

四、证明五点问题：平面上五个点两两相连最多可画出9条不相交的连线

1、三点情形如图①

如图①平面上3点最多可绘制3条两两不相交的连线

2、四个点的情形

现在再加入一个点，讨论四点情形。若要使得增加的连线最多，显然该点不得落在三条边上，则该点必然在△ABC 内部或△ABC 外部。

分类讨论：

（1）当点D 在△ABC 内部时，如图②，此时最多可画出6条；

（2）当点D 在△ABC 外部时，如图③，此时最多可画出6条；

（3）而图②、图③除形态不一样，本质上是相同的；

3、五个点的情形，不妨取图②用于五点情形的证明

平面上五点可以绘制1025 C 条连线，假设这10条连线是两两不交叉的，那么对于五点连线图形中的任意四点必是两两相连且不交叉的；而四点两两不交叉的图形是唯一的（图②、A C B 图① A C B 图② A C B D 图③ D

图③），因此图②必是五点相连情形的一部分。若使得不交叉连线数最多，第五个点E 必然在图②△ABC 内部或△ABC 外部而绝无其他情形

分类讨论：

（1）当点E 在△ABC 内部时，不妨设点E 在△BDC 内部，如图⑤，此时点E 是△BDC 的内点，点A 是△BDC 的外点，点Ｅ无法与点A 无障碍连接，此时最多可以绘制9条不交叉连线

（2）当点E 在△ABC 外部时，如图④，此时点E 是△ABC 的外点，点D 是△ABC 的外点，点Ｅ无法与点Ｄ无障碍连接，此时最多可以绘制9条不交叉连线

(3)而图④、图⑤在本质上是相同的，由于Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点两两不交叉连线最多可绘制６条，且形态唯一，即在假设五点两两相连情况下必有四点两两相连，所以图④是五点两两相连且不交叉连线最多的情形，且形态是唯一的，故五点两两相连最多可绘制９条两两不交叉的连线，所以假设“平面上五点可以绘制10条不相交叉的连线”不成立

五、证明：平面上五个封闭区域至少有两个区域无公共边

将平面区域相邻问题转化为散点之间连线问题

例：如下图所示平面上两相邻区域Ａ、Ｂ

如上图平面上两相邻区域AB ，边界ef,边界上两点c 、d ，A 、B 的两内点a 、b ；连接ac 、bd,为便于区分用红色连线连接边界上两点cd 。由于AB 均是封闭区域，a,b 均为内点，c,d 均为边界点，所以连线ac 、bd 必然存在。排除AB 仅有一个公共点的特殊情形，cd 也是必然存在的。我们将左图折线拉直，得到右图。至此我们已经将区域AB 相邻问题转化为右图一条特殊的线段ab 。其中ac 为区域A 的子集，cd 为区域AB 边界的子集，db 为区域B 的子集。至此这条特殊的线段已经可以用来表示平面上两任何形状的封闭区域的相邻特性。至于除去线段ab 之外的区域AB 上其他的点已经完全没有关注的必要

现在我们来构造三个及四个封闭区域相邻的情形：

1、三个封闭区域两两相邻情形，如图⑥为三个封闭区域A ，B ，C 两两相邻的情形。我A C B 图④ C B 图⑤ D A D E E A Ｂ

ａ ｂ ａ ｂ 抽象化 ｄ ｃ ｃ ｄ ｅ

ｆ A Ｂ 拉直

c d

b a 们按照上述构造方法，对区域相邻情形进行抽象

2、四个封闭区域两两相邻情形，如图⑦为四个封闭区域A ，B ，C 、D 两两相邻的情形。我们按照同样的构造方法，对区域相邻情形进行抽象

至此，我们通过图⑥、图⑦对三区域A 、B 、C ，四区域A 、B 、C 、D 两两相邻情形进行了抽象化构造。三区域相邻情形可构造出图⑥右图三点不交叉连接问题，四区域相邻情形可构造出图⑦四点不交叉连接问题，红色虚线均为区域间的边界。由此直接将区域边界转化为内点不交叉连线问题。至此我们已经没有直观地构造五区域情形的必要，我们只需假设第五个区域E 的内点e 的位置即可。如果点e 在图⑧的内部，那么由图⑤的分析，最多只能增加3条形态为 的连线；如果点e 在图⑧的外部，那么由图④的分析同样最多只能增加三条该形态的连线。即代表五区域边界线的该形态连线最多可构造9条，从而理论假设平面上五个点可绘制102

5 C 条不交叉连线不成立，即至少有一条连线不存在，即至C B A a b c 图⑥ 抽象化 a b c A C B D a d

b c

抽象化 图⑦

图⑧

少有一条边界线不存在，即五区域中至少有两区域不相邻，即对于平面上五个区域至少需要四种颜色染色才能使得任意相邻两区域颜色不同

六、四色定理本质：三角形对新增区域的封装，使新增区域与外界产生隔绝

受上述证明的启发，现在我们有必要对4区域、5区域、6区域乃至更过区域相邻情况进行分析

a

c

b

构造之初这种特殊形态的线段如上图中的ab是不可能被其他非AB区域穿越的，因此ab是一条实实在在的界线。我们在加入第4个区域D的内点d时，有两种选择：△abc内或△abc外，然而内外本质上是一样的；我们在加入第5个区域E的内点e时，有两种选择：在图⑧的△abc内或△abc外，然而无论怎样添加，最终图形本质上也是一样的我们不妨将第5个区域E的内点e添加到图⑧中△bcd中，显然由于△bcd各边的构造特性，点e是无法与△bcd外的点a发生联系的，也就是区域E被区域BCD封装起来了，与区域A产生了隔绝，所以给区域E染什么颜色与区域BCD有关，而与区域A毫无任何关系。由于区域BCDE彼此两两相邻，那显然区域E的颜色应是除去BCD所染三种颜色外的第四种颜色，由此我们对五区域各临边最多的相邻情形进行了染色，用了4种颜色。当我们向五区域情形中添加第六个区域F的内点f时，我们也只是面临两种选择△abc内或△abc外，然而f面对的命运都是一样的，f注定在一个三角形中被封装起来，所以区域F的颜色必定是封装的三个区域颜色之外的第四种，而F除了与封装三区域产生联系，与该三角形之外区域不发生任何联系，以此类推，在我们构造的无限多的区域相邻情形中，每增加一个区域都力图使得邻边增加更多，为使得各区域相邻颜色不同，我们只用了四种颜色！证毕！

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