评价指标的无量纲化处理

在多指标综合评价中涉及到两个基本变量:一是各评价指标的实际值，另一个是各指标的评价值。由于各指标所代表的物理涵义不同，因此存在着量纲上的差异。这种异量纲性是影响对事物整体评价的主要因素。指标的无量纲化处理是解决这一问题的主要手段。无量纲化，也称作数据的标准化、规格化，是一种通过数学变换来消除原始变量量纲影响的方法。

(1)直线型无量纲化方法

基本思想是假定实际指标和评价指标之间存在着线性关系，实际指标的变化将引起评价指标一个相应的比例变化。代表方法有:阈值法、标准化法(Z-score 法)、比重法等等。

a. 阈值法

阈值也称临界值，是衡量事物发展变化的一些特殊指标值，比如极大值、极小值、满意值、不允许值等。阈值法是用指标实际值与阈值相比以得到指标评价值的无量纲化方法。常用算法公式有:

xi (2.24) y,imaxxi1,i,n

maxxminxx，,iii1,i,n1,i,ny , (2.25) imaxxi1,i,n

maxx,xii1,i,n y, (2.26) imaxx,minxii1,i,n1,i,n

x,maxxii1,i,n y, (2.27) imaxx,minxii1,i,n1,i,n

maxx,xii1,i,ny,k，q (2.28) imaxminx,xii1,i,n1,i,n

b 标准化法

统计学原理告诉我们，要对多组不同量纲数据进行比较，可以先将它们标准化转化成无量纲的标准化数据。而综合评价就是要将多组不同的数据进行综合，因而可以借助于标准化方法来消除数据量纲的影响。标准化 (Z-score)公式为:

xx,i (2.29) y,is

上式中:

n1x,x (2.30) ,ini,1

n12 (2.31) s,(x,x),in,1,1i

c 比重法

比重法是将实际值转化为它在指标值总和中所占的比重，主要公式有

xi, (2.32) yin

x,ii,1

xi或 (2.33) y,in2x,i,1i

以上介绍了三种常用的直线型无量纲化处理方法，这些方法的最大特点是简单、直观。直线型无量纲化方法的实质是假定指标评价值与实际值成线性关系，评价值随实际值等比例变化，而这往往与事物发展的实际情况不相符的。这也是直线型无量纲化方法的最大缺陷。为了解决这个问题，我们很自然想到用折线或曲线代替直线。

(2)折线型无量纲化方法

常用的有凸折线型、凹折线型和三折线型三种类型，现简单介绍一种用阈值法构造的凸折线型无量纲化法作为代表。常用公式如下:

x,i,,y0xxmim,xm,,y (2.34) ,t,xximy，(1,y)x,x,mmimmaxx,i1,i,n,

xxy式中为转折点指标值，为的评价值。 mmm

从理论上来讲，折线型无量纲化方法比直线型无量纲化方法更符合事物发展的实际情况，但应用的前提是评价者必须对被评事物有较为深刻的理解和认识，合理的确定指标值的转折点及其评价值。

(3)曲线型无量纲化方法

有些事物发展阶段性的临界点不很明显，而前中后各期发展情况截然不同，也就是说指标值变化对事物发展水平的影响是逐渐变化的，而非突变的。在这种情况下，曲线型无量纲化公式更为适用。常用的公式有:

00,x,a,,y, (2.35) ,2,k(x,a),1,ex,a,

00,x,a,

,2y, (2.36) k(x,a),x,a2,1()，ky,a,

,00,x,a

,,k1y,a(x,a)a,x,a， (2.37) ,ka,

,11x,a，k,a,

00,x,a,

,11xa，b,y,,sin(x,)a,x,b (2.38) ,22b,a2,

1x,b,,

无量纲化方法在使用时，尽可能选择适合于讨论对象性质的方法，不能不加考虑随便选用一种方法。当然也可以选用几种，然后分析不同的无量纲化对结论会产生多大的影响。实际工作表明，不是越复杂的方法就越合适，关键在于是否切合实际的要求，在这个前提下，应该说越简单、越方面使用，越会受欢迎。

多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择

多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择叶宗裕摘要：本文用实例说明了多指标综合评价中，用“倒数逆变换法”进行指标正向化时会完全改变原指标的分布规律，影响综合评价结果的准确性；对三种常用无量纲化方法——极差变换法、标准化法和均值化法的选择使用问题，用实例进行了比较分析。关键词：综合评价，正向化，无量纲化，标准化法，均值化法在多指标综合评价中，有些是指标值越大评价越好的指标，称为正向指标（也称效益型指标或望大型指标）；有些是指标值越小评价越好的指标，称为逆向指标（也称成本型指标或望小型指标），还有些是指标值越接近某个值越好的指标，称为适度指标。在综合评价时，首先必须将指标同趋势化，一般是将逆向指标和适度指标转化为正向指标，所以也称为指标的正向化。不同评价指标往往具有不同的量纲和量纲单位，直接将它们进行综合是不合适的，也没有实际意义。所以必须将指标值转化为无量纲的相对数。这种去掉指标量纲的过程，称为指标的无量纲化（也称同度量化），它是指标综合的前提。在多指标评价实践中，常将指标无量纲化以后的数值作为指标评价值，此时，无量纲化过程就是指标实际值转化为指标评价值（即效用函数值）的过程，无量纲化方法也就是指如何实现这种转化。从数学角度讲就是要确定指标评价值依赖于指标实际值的一种函数关系式，即效用函数fj。因此，指标的无量纲化是综合评价的一项重要内容，对综合评价结果有重要影响。指标的正向化和无量纲化都有多种方法，应用时，应根据实际情况选择合适的方法，否则将会使综合评价的准确性受到影响。本章就如何选择正向化和无量纲化方法作些讨论。（一）关于指标正向化方法对于指标的正向化，在实际应用中许多学者常使用将指标取倒数的方法（苏为华教授称其为“倒数逆变换法”[1]），写成公式为： yij=C/xij （1）其中C为正常数，通常取C=1。很明显，用（1）式作为指标的正向化公式时，当原指标值xij较大时，其值的变动引起变换后指标值的变动较慢；而当原指标值较小时，其值的变动会引起变换后指标值的较快变动。特别是当原指标值接近0时，变换后指标值的变动会非常快，使得指标评价值的确定，也即指标的无量纲化变得困难。比如徐国祥等将指标资产负债率、流动比率、速动比率作为适度指标[2]，对它们的正向化方法为（2）适度值k取各单位该指标值的平均值。这种取倒数的方法使得：一些接近k的指标值之间的差距扩大，而远离k的指标值之间的差距缩小，因而不能真实反映原指标的分布情况。笔者选取2001年全国各地区全部国有及规模以上非国有工业企业主要经济效益指标中的资产负债率为例（为节省篇幅选前10个省市的值），用（2）式进行正向化变换，10个省市的资产负债率及其正向化值见表1。资产负债率的平均值k=58.59。表1 10省市资产负债率及其正向化值

数据标准化处理方法

数据标准化处理方法在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA 分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max 标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为：新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值）二、z-score 标准化

这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。三、Decimal scaling小数定标标准化

数据的无量纲化处理及示例

数据的无量纲处理方法及示例在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前，通常需要先将数据规范化，利用规范化后的数据进行分析。数据规范化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。（1）极值化方法可以选择如下的三种方式：（A ）' max min i i i x x x R = =- 即每一个变量除以该变量取值的全距，规范化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。 (B)' min min max min i i i x x x R --= =- 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，规范化后各变量的取值范围限于[0,1]。 (C) ' max i i x x =，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，规范化后使变量的最大取值为1。采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。（2）规范化方法利用'i i x x x s -= 来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的规范差，无量纲化后各变量的平均值为0，规范差为1，从而消除量纲和数量级的影响。虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且规范差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。（3）均值化方法计算公式为：' i i i x x x =，该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差异程度上的信息。（4）规范差化方法计算公式为：'i i x x s = 。该方法是规范化方法的基础上的一种变形，两者的差别仅在无量纲化后各变量的均值上，规范化方法处理后各变量的均值为0，而规范差化方法处理后各

指标无量纲化

评价指标的无量纲化处理在多指标综合评价中涉及到两个基本变量:一是各评价指标的实际值，另一个是各指标的评价值。由于各指标所代表的物理涵义不同，因此存在着量纲上的差异。这种异量纲性是影响对事物整体评价的主要因素。指标的无量纲化处理是解决这一问题的主要手段。无量纲化，也称作数据的标准化、规格化，是一种通过数学变换来消除原始变量量纲影响的方法。（1）直线型无量纲化方法基本思想是假定实际指标和评价指标之间存在着线性关系，实际指标的变化将引起评价指标一个相应的比例变化。代表方法有：阈值法、标准化法(Z-score 法)、比重法等等。 a. 阈值法阈值也称临界值，是衡量事物发展变化的一些特殊指标值，比如极大值、极小值、满意值、不允许值等。阈值法是用指标实际值与阈值相比以得到指标评价值的无量纲化方法。常用算法公式有： n i i i i x x y ≤≤=1m a x （2.24） n i i i n i i n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤-+=111m a x m i n m a x （2.25） n i i n i i i n i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111m i n m a x m a x （2.26） n i i n i i n i i i i x x x x y ≤≤≤≤≤≤--=111m i n m a x m a x （2.27） q k x x x x y n i i n i i n i i i i +--=≤≤≤≤≤≤111m i n m a x m a x （2.28） b 标准化法统计学原理告诉我们，要对多组不同量纲数据进行比较，可以先将它们标准化转化成无量纲的标准化数据。而综合评价就是要将多组不同的数据进行综合，因而可以借助于标准化方法来消除数据量纲的影响。标准化（Z-score ）公式为：

数据标准化处理

在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为：新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值）二、z-score 标准化这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。三、Decimal scaling小数定标标准化这种方法通过移动数据的小数点位置来进行标准化。小数点移动多少位取决于属性A

数据的无量纲化处理及示例

数据得无量纲处理方法及示例在对实际问题建模过程中，特别就是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型得数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位与数量级得不尽相同,从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前,通常需要先将数据规范化，利用规范化后得数据进行分析.数据规范化处理主要包括同趋化处理与无量纲化处理两个方面.数据得同趋化处理主要解决不同性质得数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力得综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系得作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据得不可比性，在此处主要介绍几种数据得无量纲化得处理方式。（１)极值化方法可以选择如下得三种方式: (A) 即每一个变量除以该变量取值得全距,规范化后得每个变量得取值范围限于[－1，1］。 (B) 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值得全距，规范化后各变量得取值范围限于[0，1]。（C）,即每一个变量值除以该变量取值得最大值，规范化后使变量得最大取值为1。采用极值化方法对变量数据无量纲化就是通过变量取值得最大值与最小值将原始数据转换为界于某一特定范围得数据，从而消除量纲与数量级得影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量得最大值与最小值这两个极端值有关,而与其她取值无关,这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。 (2）规范化方法利用来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量得规范差,无量纲化后各变量得平均值为０，规范差为1，从而消除量纲与数量级得影响.虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有得数据信息,但就是该方法在无量纲化后不仅使得转换后得各变量均值相同，且规范差也相同，即无量纲化得同时还消除了各变量在变异程度上得差异. （3)均值化方法计算公式为：，该方法在消除量纲与数量级影响得同时,保留了各变量取值差异程度上得信息。（4)规范差化方法计算公式为：。该方法就是规范化方法得基础上得一种变形，两者得差别仅在无量纲化后各变量得均值上，规范化方法处理后各变量得均值为0，而规范差化方法处理后各变量均值为原始变量均值与规范差得比值。综上所述，针对不同类型得数据,可以选择相应得无量纲化方法。如下得示例就就是一个典型得评价体系中无量纲化得范例. 示例:近年来我国淡水湖水质富营养化得污染日益严重,如何对湖泊水质得富营养化进行综合评价与治理就是摆在我们面前得任务，下面两个表格分别为我国5个湖泊得实测数据与湖泊水质评价规范。表2-２全国五个主要湖泊评价参数得实测数据

指标标准化方法

3.2.2指标数据的标准化方法 (1)正向指标的标准化正向指标指数值越大表明经济状况越好的指标。设：x ij –第i 个评价地区第j 个指标的隶属度,v ij –第i 个评价地区第j 个指标的值,m –被评价地区的个数。根据正向指标的打分公式[19]，则x ij 为 111min()max()min()ij ij i m ij ij ij i m i m v v x v v ≤≤≤≤≤≤?=? (1) (2)负向指标的标准化负向指标指数值越小表明经济状况越好的指标。设：x ij –第i 个评价地区第j 个指标的隶属度，v ij –第i 个评价地区第j 个指标的值，m –被评价地区的个数。根据负向指标的打分公式[19]，则x ij 为 111max()max()min()ij ij i m ij ij ij i m i m v v x v v ≤≤≤≤≤≤?=? (2) (3)适中指标的标准化适中指标指越接近某一个规定的值越好的指标。设：x ki –第i 个被评价年第k 个指标规范化处理后的值； q –第i 个被评价年第k 个指标理想值；V ki –第i 个被评价年第k 个指标的值。根据适中指标的打分公式[19]，则x ki 为 11111,max(min(),max())1max(min(),max())1,ki ki ki ki i n i n ki ki ki ki ki i n i n ki q V V q q V V q V q ,x V q V V q V q ≤≤≤≤≤≤≤≤????????=??? q (3) (4)最佳区间型指标的标准化最佳区间型指标指数值在某一个特定区间内都是合理的指标。设：x ij –第i 个评价地区第j 个指标的隶属度；v ij –第i 个评价地区第j 个指标的值；m –被评价地区的个数。根据最佳区间型指标的打分公式[19]，则x ij 为 111211*********,max(min(),max())1max(min(),max())1,ij ij ij ij i m i m ij ij ij ij ij i m i m ij q v v q q v v q v q v q x q v v q q v q ≤≤≤≤≤≤≤≤???=???????,≤≤? (4) 其中，q 1–指标最佳区间左边界；v ij –第i 个评价地区第j 个指标的值；q 2–指标最佳区间右边界。

数据标准化的几种方法

数据标准化的几种方法在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为：新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值）二、z-score 标准化

这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。在SPSS中依次点击Analyze Descriptive Descriptive 点击Save standardized values as varianles即可。用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。标准化后的变量值围绕0上下波动，大于0说明高于平均水平，小于0说明低于平均水平。三、Decimal scaling小数定标标准化

数据标准化.归一化处理

数据的标准化在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”

和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为：新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值）二、z-score 标准化这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。步骤如下：求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； .进行标准化处理：zij＝（xij－xi）／si,其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。将逆指标前的正负号对调。标准化后的变量值围绕0上下波动，

多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择

多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择叶宗裕摘要：本文用实例说明了多指标综合评价中，用“倒数逆变换法”进行指标正向化时会完全改变原指标的分布规律，影响综合评价结果的准确性；对三种常用无量纲化方法——极差变换法、标准化法和均值化法的选择使用问题，用实例进行了比较分析。关键词：综合评价，正向化，无量纲化，标准化法，均值化法在多指标综合评价中，有些是指标值越大评价越好的指标，称为正向指标（也称效益型指标或望大型指标）；有些是指标值越小评价越好的指标，称为逆向指标（也称成本型指标或望小型指标），还有些是指标值越接近某个值越好的指标，称为适度指标。在综合评价时，首先必须将指标同趋势化，一般是将逆向指标和适度指标转化为正向指标，所以也称为指标的正向化。不同评价指标往往具有不同的量纲和量纲单位，直接将它们进行综合是不合适的，也没有实际意义。所以必须将指标值转化为无量纲的相对数。这种去掉指标量纲的过程，称为指标的无量纲化（也称同度量化），它是指标综合的前提。在多指标评价实践中，常将指标无量纲化以后的数值作为指标评价值，此时，无量纲化过程就是指标实际值转化为指标评价值（即效用函数值）的过程，无量纲化方法也就是指如何实现这种转化。从数学角度讲就是要确定指标评价值依赖于指标实际值的一种函数关系式，即效用函数f j。因此，指标的无量纲化是综合评价的一项重要内容，对综合评价结果有重要影响。指标的正向化和无量纲化都有多种方法，应用时，应根据实际情况选择合适的方法，否则将会使综合评价的准确性受到影响。本章就如何选择正向化和无量纲化方法作些讨论。（一）关于指标正向化方法对于指标的正向化，在实际应用中许多学者常使用将指标取倒数的方法（苏为华教授称其为“倒数逆变换法”[1]），写成公式为： y ij=C/x ij（1）其中C为正常数，通常取C=1。很明显，用（1）式作为指标的正向化公式时，当原指标值x ij较大时，其值的变动引起变换后指标值的变动较慢；而当原指标

关于多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择

关于多指标综合评价中指标正向化和无量纲化方法的选择叶宗裕在多指标综合评价中，有些是指标值越大评价越好的指标，称为向指标。也称效益型指标或望大型指标。有些是指标值越小评价越好的指标，称为逆向指标，也称为成本型指标或望小型指标。还有些是指标值越接近某个值越好的指标，称为适度指标。在综合评价时，首先必须将指标同趋势化，一般是将逆向指标和适度指标转化为正向指标，所以也称为指标的正向化。不同评价指标往往具有不同的量纲和量纲单位。为了消除由些带来的不可公度性，还应将各评价指标作无量纲化处理。指标的同趋势化和无量纲化都有多种方法，应用时应根据实际情况选择合适的方法，否则，将会使综合评价的准确性受到影响。本文就如何选择同趋势化和无量纲化方法作些讨论。一、关于指标的正向化方向对于指标的正向化，在实际应用中许多学者常使用将指标取倒数的方法。比如徐国祥等在《上市公司经营业绩综合评价及其实研究》载统计研究2000年第9期一文中将指标资产负债率、流动比率、速动比率作为适度指标，对它们的正向化方法为： x ij =k x ij -1 （1）适度值k 取各单位该指标值的平均值。这种取倒数的方法使得一些接近k 的指标值之间的差距扩大，而远离k 的指标值之间的差距缩小，因而不有真实反映原指标的分布情况。笔者选取各地区全部国有及规模以上非国有工业企业主要经济效益指标2001年中的资产负债为例，用1式进行正向化变换，可得变换后的值见表1。由表1易见，天津与内蒙古的资产负债率原值为58.28和58.44，相差极小，而变换后的值分别为3.25和6.76，相差很大；北京和上海的原值分别为55.29和46.46，相差很大，而变换后的值为0.30和0.08，相差很小。可见用这种取倒数的变换方法完全改变了原指标的分布规律，所得综合评价结果肯定是不准确的，因而是不可取的。笔者认为，对逆向指标正各化方法应为： x ij =max {}ij x -x ij 或x ij =-x ij ≤1i ≤n 对适度指标正向化方法应为： x ij =max k x ij --k x ij - 或x ij =-k x ij - ≤1i ≤n 这种线性变换不会改变指标值的分布规律，是比较好的变换方法。

数据的无量纲化处理

常用的数据无量纲化处理方法，主要包括如下几种：（1）总和标准化。分别求出各聚类要素所对应的数据的总和，以各要素的数据除以该要素的数据的总和，即 ),,2,1;,,2,1(1n j m i x x x m i ij ij ij ==='∑= （2.4.1）经过总和标准化处理后所得到的新数据ij x '，满足 ∑==='m i ij n j x 1),,2,1(1 （2）标准差标准化，即 ),,2,1;,,2,1(n j m i s x x x j j ij ij ==-=' （2.4.2）式中： ∑==m i ij j x m x 1 1 ∑=-=m i j ij j x x m s 1 2)(1 经过标准差标准化处理后所得到的新数据ij x '，各要素（指标）的平均值为0，标准差为1，即有： 011 ='=∑=m i ij j x m x ∑=='-'=m i j ij j x x m s 1 21)(1 （3）极大值标准化，即 ),,2,1;,,2,1(}{m a x n j m i x x x ij i ij ij ===' （2.4.3）经过极大值标准化处理后所得的新数据ij x '，各要素（指标）的极大值为1，其余各数值小于1。（4）极差的标准化，即

{} {}{}),,2,1;,,2,1(m i n m a x m i n n j m i x x x x x ij i ij i ij i ij ij ==--= （2.4.4）经过极差标准化处理后所得的新数据ij x '，各要素（指标）的极大值为1，极小值为0，其余的数值均在0与1之间。

数据标准化的几种方法

数据标准化的几种方法数据的标准化（normalization）是将数据按比例缩放，使之落入一个小的特定区间。在某些比较和评价的指标处理中经常会用到，去除数据的单位限制，将其转化为无量纲的纯数值，便于不同单位或量级的指标能够进行比较和加权。其中最典型的就是数据的归一化处理，即将数据统一映射到[0,1]区间上，常见的数据归一化的方法有： min-max标准化(Min-max normalization) 也叫离差标准化，是对原始数据的线性变换，使结果落到[0,1]区间，转换函数如下：其中max为样本数据的最大值，min为样本数据的最小值。这种方法有一个缺陷就是当有新数据加入时，可能导致max和min的变化，需要重新定义。 log函数转换通过以10为底的log函数转换的方法同样可以实现归一下，具体方法如下：看了下网上很多介绍都是x*=log10(x)，其实是有问题的，这个结果并非一定落到[0,1]区间上，应该还要除以log10(max)，max为样本数据最大值，并且所有的数据都要大于等于1。 atan函数转换用反正切函数也可以实现数据的归一化：使用这个方法需要注意的是如果想映射的区间为[0,1]，则数据都应该大于等于0，小于0的数据将被映射到[-1,0]区间上。

而并非所有数据标准化的结果都映射到[0,1]区间上，其中最常见的标准化方法就是Z 标准化，也是SPSS中最为常用的标准化方法： z-score 标准化(zero-mean normalization) 也叫标准差标准化，经过处理的数据符合标准正态分布，即均值为0，标准差为1，其转化函数为：其中μ为所有样本数据的均值，σ为所有样本数据的标准差。

数据标准化处理方法

数据标准化处理方法在数据分析之前，通常需要先将数据标准化（normalization），再利用标准化后的数据进行分析。数据标准化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。同趋化处理主要解决数据不同性质的问题，对不同性质指标直接运算，不能正确反映不同作用的综合结果，须先考虑改变各指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用同趋化，再运算，才能得出正确结果。无量纲化处理主要解决数据可比性的问题，方法有很多种，常用的有“Min-Max标准化”、“z-score标准化”和“小数定标标准化”等三种。原始数据转换为无量纲化指标后，各指标值处于同一个数量级上，方便进行综合测评分析。一、Min-Max 标准化 Min-Max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设Min和Max 分别为指标A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过Min-Max 标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为： x'=（x-Min）/（Max-Min）即：新数据=（原数据-最小值）/（最大值-最小值）二、z-score 标准化 z-score标准化方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）。将A的原始值x使用z-score标准化到x'的公式为：

x'=（x-Mean）/Std 即：新数据=（原数据-均值）/标准差 z-score标准化方法适用于指标A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。三、小数定标（Decimal scaling）标准化 Decimal scaling标准化方法通过移动数据的小数点位置来进行标准化。小数点移动多少位取决于指标A的取值中的最大绝对值。将指标A的原始值x使用decimal scaling标准化到x'的计算方法是： x'=x/（10*j）即：新数据=原数据/（10*j）其中，j是使x'的绝对值小于1的最小整数，*指幂指数运算。例如假定A的值由-986到917，A的最大绝对值为986，为使用小数定标标准化，我们用1000（即j=3）除以每个值，这样-986被规范化为-0.986。最后，标准化会对原始数据做出改变，需要保存所使用标准化方法的参数，以便对后续的数据进行统一的标准化处理。

数据标准化方法

数据标准化方法问题1：将一个人的体重和身高相加在一起有无什么意义？答：量纲（就是单位）不同的量相加是没有意义的。不加处理就将两个不同量纲的量相加这是数学建模的大忌！问题2：如何将一个人的体重G 和身高H 这两个指标综合为一个指标用以评价一个人身材？答：通常考虑加法模型和乘法模型。乘法模型在这里不太适合，故考虑加法模型，一般采用加权组合的方式，即12P w G w H =+，这里121w w +=，但是这样就犯了一个严重的错误。因此需要先对,G H 进行预处理→无量纲化，也就是数据标准化方法。数据标准化方法主要有以下三种：（1）规范化方法对序列12,,...,n x x x 进行变换： 111m in{} m ax{}m in{} i j j n i j j j n j n x x y x x ≤≤≤≤≤≤-= - 则新序列12,,...,[0,1]n y y y ∈且无量纲。一般的数据需要时都可以考虑先进行规范化处理。（2）正规化方法对序列12,,...,n x x x 进行变换： i i x x y s -= ，这里1 1 n i i x x n == ∑ ，s = 则新序列12,,...,n y y y 的均值为0，而方差为1，且无量纲。（3）归一化方法对正项序列12,,...,n x x x 进行变换： 1 i i n i i x y x == ∑ 则新序列12,,...,[0,1]n y y y ∈且无量纲，并且显然有1 1n i i y ==∑。归一化方法在确定权重时经常用到。针对实际情况，也可能有其他一些量化方法，或者要综合使用多种方法，总之最后的结果都是无量纲化。

数据标准化的几种方法

数据标准化的几种方法 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】

这种方法基于原始数据的均值（mean）和标准差（standard deviation）进行数据的标准化。将A的原始值x使用z-score标准化到x'。 z-score标准化方法适用于属性A的最大值和最小值未知的情况，或有超出取值范围的离群数据的情况。新数据=（原数据-均值）/标准差 spss默认的标准化方法就是z-score标准化。在SPSS中依次点击Analyze Descriptive Descriptive 点击Save standardized values as varianles即可。用Excel进行z-score标准化的方法：在Excel中没有现成的函数，需要自己分步计算，其实标准化的公式很简单。步骤如下： 1.求出各变量（指标）的算术平均值（数学期望）xi和标准差si ； 2.进行标准化处理： zij＝（xij－xi）／si 其中：zij为标准化后的变量值；xij为实际变量值。 3.将逆指标前的正负号对调。

(完整版)2.3数据的无量纲化处理及示例(可编辑修改word版)

i i i i i i 数据的无量纲处理方法及示例在对实际问题建模过程中，特别是在建立指标评价体系时，常常会面临不同类型的数据处理及融合。而各个指标之间由于计量单位和数量级的不尽相同，从而使得各指标间不具有可比性。在数据分析之前，通常需要先将数据标准化，利用标准化后的数据进行分析。数据标准化处理主要包括同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据的同趋化处理主要解决不同性质的数据问题，对不同性质指标直接累加不能正确反应不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对评价体系的作用力同趋化。数据无量纲化主要解决数据的不可比性，在此处主要介绍几种数据的无量纲化的处理方式。（1）极值化方法可以选择如下的三种方式：（A ） x ' = x i max - = x i min R 即每一个变量除以该变量取值的全距，标准化后的每个变量的取值范围限于[-1,1]。 (B) x ' = xi - max - min = min x i - min R 即每一个变量与变量最小值之差除以该变量取值的全距，标准化后各变量的取值范围限于[0,1]。 (C) 值为 1。 x ' = x i max ，即每一个变量值除以该变量取值的最大值，标准化后使变量的最大取采用极值化方法对变量数据无量纲化是通过变量取值的最大值和最小值将原始数据转换为界于某一特定范围的数据，从而消除量纲和数量级的影响。由于极值化方法对变量无量纲化过程中仅仅对该变量的最大值和最小值这两个极端值有关，而与其他取值无关，这使得该方法在改变各变量权重时过分依赖两个极端取值。（2）标准化方法利用 x ' = x i - s x 来计算，即每一个变量值与其平均值之差除以该变量的标准差，无量纲化后各变量的平均值为 0，标准差为 1，从而消除量纲和数量级的影响。虽然该方法在无量纲化过程中利用了所有的数据信息，但是该方法在无量纲化后不仅使得转换后的各变量均值相同，且标准差也相同，即无量纲化的同时还消除了各变量在变异程度上的差异。（3）均值化方法计算公式为： x ' = 异程度上的信息。 x i ，该方法在消除量纲和数量级影响的同时，保留了各变量取值差 x i （4）标准差化方法计算公式为： x ' = x i 。该方法是标准化方法的基础上的一种变形，两者的差别仅在无 s 量纲化后各变量的均值上，标准化方法处理后各变量的均值为 0，而标准差化方法处理后各

数据标准化处理方法

数据标准化处理方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

数据标准化处理方法在数据分析之前，我们通常需要先将数据标准化（normalization），利用标准化后的数据进行数据分析。数据标准化也就是统计数据的指数化。数据标准化处理主要包括数据同趋化处理和无量纲化处理两个方面。数据同趋化处理主要解决不同性质数据问题，对不同性质指标直接加总不能正确反映不同作用力的综合结果，须先考虑改变逆指标数据性质，使所有指标对测评方案的作用力同趋化，再加总才能得出正确结果。数据无量纲化处理主要解决数据的可比性。数据标准化的方法有很多种，常用的有“最小—最大标准化”、“Z-score标准化”和“按小数定标标准化”等。经过上述标准化处理，原始数据均转换为无量纲化指标测评值，即各指标值都处于同一个数量级别上，可以进行综合测评分析。一、Min-max 标准化 min-max标准化方法是对原始数据进行线性变换。设minA和maxA分别为属性A的最小值和最大值，将A的一个原始值x通过min-max标准化映射成在区间[0,1]中的值x'，其公式为：新数据=（原数据-极小值）/（极大值-极小值）二、z-score 标准化

指标的无量纲化

指标的无量纲化无量纲化是通过数学变换来消除原始指标量纲影响的方法。无量纲化的方法很多，归结起来有三大类方法，即直线型无量纲化方法、折线型无量纲化方法和曲线型无量纲化方法。本文将采用不安全指数法进行无量纲化，后两种方法不作讨论。生态安全评价是多指标综合评价，指标涉及范围广，如果指标间不可公度，即各个指标间没有统一的度量标准，难以进行比较。为了使表示不同含义的各种指标能够综合起来，表征生态安全，也需将各类指标无量纲化，都化成以百分比为单位的指标值。本文提出生态安全指标的安全趋向性有正向和逆向之分，安全正向性即上面提到的指标值越大越安全，相反，安全逆向性则为越小越安全，这是土地安全评价指标的两种属性。假设X i , (i =1,2,...,n)为第i 个指标的实际值，S i ， (i =1,2,...,n)为评价指标的标准值，P (X i )为该指标的不安全指数，P ′(X i )为该指标的安全指数，具体确定过程为: (1)安全正向性指标如果以“安全”为标准值: 如X i ≧ S i ，则P (X i )=0；如i i S X <，则i i i S X X P /1)(-=。如果以“不安全”为标准值: 如i i S X ≤，则()1=i X P ；如i i S X >，则()i i i X S X P /=。 (2)安全逆向性指标如果以“安全”为标准值: 如i i S X ≤，则()0=i X P ；如i i S X >，则i i i X S X P /1)(-=。如果以“不安全”为标准值: 如i i S X ≥，则 ()1=i X P 。如i i S X <，则()i i i X S X P /=。本文进行无量纲化处理，是为了消除不同指标之间由于不同量纲所带来的不可综合性问题，那么对于量化指标体系中，本身指标实际值就是相对数的情况，