欧拉平衡微分方程

p Z z
二、欧拉平衡微分方程的综合形式
将欧拉平衡微分方程分别乘以dx，dy，dz， 后相加得：
p p p dx dy dz ( Xdx Ydy Zdz ) x y z
dp ( Xdx Ydy Zdz ) （2.4）—综合形式
（压强差公式）
当力势函数存在时，有： U U U X ,Y ,Z x y z U U U dU dx dy dz x y z dp dU （2.5） 所以： 只有当质量力是有势力时，液体才处于平衡状态
dp dU （2.5）
（2.5）表明压强在空间的变化是由质量力引起的. 等压面：在同一种连续液体中，由压强相等的各 点所组成的面。 在等压面上，压强p=常数(const)，于是：
三、质量力的势函数、有势力、等压面
有力势函数存在的力场，叫势场。
dp ( Xdx Ydy Zdz )
（2.4）
（2.4）式左边是p(x, y, z)的全微分，右边括号 内各项之和也应是某一函数的全微分，这个 函数是U (x, y, z) ，称为质量力的势函数, 简称 力势函数。
dp ( Xdx Ydy Zdz )
dp dU 0
dU 0
U=常数(const)，所以等压面也是等势面
等压面的微分方程：
dp 0
即：
Xdx Ydy Zdz 0 （2.6）—等压面的微分方程
dx，dy，dz是单位质量力的微小位移在各坐 标轴方向的投影。（2.6）表明： 单位质量力所做的微功等于零. 由于质量力和位移都不为零，所以在静止液 体中质量力与等压面正交。
一、欧拉平衡微分方程的推导
如图2.5，在平衡液体中， 取一微小六面体，为研 究的方便，使其各边分 别平行于坐标轴，边长 分别为：dx, dy, dz,其形 心点为M(x, y, z)，点M 的压强为p(x, y, z)
图2.5
分析作用于六面体表面的力：
（为简化，只讨论X方向，Y， Z方向同理可得）
1.表面力：只有静水压力 由于六面体各面的形心到点M的距离很 小,压强在M点附近的变化可用泰勒级数 表示,且可忽略二阶以上的微量,于是：

a'b'd'c'面上的中心点M1（x-dx/2，y，z），其压强为：
p p dx x 2

abdc面上的中心点M2（x+dx/2，y，z）， 其压强为： p dx p x 2
除以dxdydz，得： 同理可得：
p X 0 x p Y 0 y p Z 0 z
(2.2)
p X x p Y y p Z z
(2.3)
p X x
p Y y
(2.3) 欧拉平衡微分方程：表明，在静 止液体中,静水压强沿某方向的变 化率与该方向单位体积上的质量 力相等。
因此，在质量力只有重力时，等压面为一水 平面。 常见的等压面： 1.液体的自由表面 2.不相混合的两种液体的交界面
图2.6
Fra Baidu bibliotek
M1
M2
图2.5
2.质量力F： 单位质量力在各坐标轴方向的分量为：X， Y，Z，六面体的质量为：
m v dxdydz Fx dxdydzX Fy dxdydzY Fz dxdydzZ
根据平衡条件∑Fx=0，则有：
p dx p dx (p )dydz ( p )dydz dxdydzX 0 x 2 x 2