工程力学第二章平面力系

A R D
a
F2 C
合力 R 在x 轴上投影：
F3
x
Rx ad ab bc dc
Rx F1x F2 x F3 x
b d c (b)
推广到任意多个力F1、F2、 Fn 组成的平面共 点力系，可得：
Rx F1x F2 x F3 x Fnx Fx
作用点为力的汇交点
二
合力投影定理： 合力在任一轴上的投影，等于它的各分力在 同一轴上的投影的代数和。
证明： 以三个力组成的共点力系为例。设有三个共点力 F1、F2、F3 如图。 F
1
B
F1
A R
F2
A
F2
C D F3
F3
(a)
x
(b)
各力在x 轴上投影：
F1x ab
F2 x bc
F1
B
F3 x dc
1.水平拉力F=5kN时，碾子对地面及障碍物的压力？
2.欲将碾子拉过障碍物，水平拉力F至少多大？
3.力F沿什么方向拉动碾子最省力，及此时力F多大？
解： 1.取碾子，画受力图.
用几何法，按比例画封闭力四边形
Rh θ arccos 30 R 按比例量得 FA 11.4 kN， FB 10 kN
时，只需考虑力偶矩，而不必研究其中力的大小和力
偶臂的长短。
3.平面力偶系的合成与平衡条件
一、力偶系的合成与平衡 平面力偶系可合成为一合力偶。合力偶矩的大
小等于各已知力偶矩的代数和。
M m1 m2 mn mi
R
R’
力偶系中各力偶矩的代数和等于零。
M mi 0
§2-6
2.建立坐标系。
3.将各力向各个坐标轴投影，并应用平衡方程 ∑Fx=0，∑Fy=0， 求解。
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 y B 0 C 600 30 A A Q 解： 1).取研究对象 -------力系的汇交点A 2）作受力图 3).建立坐标系 4).列出对应的平衡方程 5).解方程
第二章 平面力系
2-1 平面基本力系
平面汇交力系
平面基本力系
平面力偶系
2-1.1 平面汇交力系合成与平衡 1 几何法 （图解法）
一. 两个汇交力的合成 (力三角形)
力三角形规则
F F1 F2 F2 F1
二.多个汇交力的合成 (力多变形)
把各力矢首尾相接，形成一条有向折线段（称 为力链）。加上一封闭边，就得到一个多边形，称 为力多边形。
或由图中
FB sin θ F FA FB cos θ F
解得
FB =10kN, FA=11.34kN
应有 FA 0 解得 F P tan θ 11.55kN
2.碾子拉过障碍物，
用几何法
3. 解得 Fmin P sin θ 10 kN
例2-3 已知：AC=CB，P=10kN,各杆自重不计； 求：CD杆及铰链A的受力。 解：CD为二力杆，取AB杆，画受力图。
力系中所有各力在各个坐标轴中每一轴上的
投影的代数和分别等于零。 平面共点力系的平衡方程:
F
x
0
F
y
0
投影法的符号法则：
当由平衡方程求得某一未知力的值为负时，表
示原先假定的该力指向和实际指向相反。
解析法求解共点力系平衡问题的一般步骤:
1.选分离体，画受力图。分离体选取应最好含题设
的已知条件。
力偶系的合成与平衡
例题 图示的铰接四连杆机构OABD，在杆OA 和BD 上分别作用着矩为 m1 和 m2 的力偶，而使机构在图 示位置处于平衡。已知OA = r，DB = 2r，α= 30°， 不计杆重，试求 m1 和 m2 间的关系。
B A A O
α
SAB
m1
SBA
B
m1
m2
NO D
O
m2
D ND
M F d
M O1 F , F M O1 F M O1 F F d x1 F x1 Fd
M O2 F , F F d x2 F x2 F 'd Fd
力矩的符号 M O F 力偶矩的符号 M
在平面力系中，力的平移定理可叙述为：
作用于刚体某平面上任一点的力,可平移到此平面上任意 点而不改变对刚体的作用效应,但须增加一附加力偶,其力偶 矩等于原来的力对新的作用点之矩.
2、几个性质：
(1）、当力线平移时，力的大小、方向都不改变，
但附加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的位 置的不同而不同。 （2）、力线平移的过程是可逆的，即作用在同一平 面内的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原 力大小相等的平行力。 （3）、力线平移定理是把刚体上平面任意力系分解 为一个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
解得
FCD
F cos yB F sin xB l
2-2平面任意力系 ２-２.１ 平面任意力系的简化
１.力的平移定理
作用于刚体上的力,可以平移到同一刚体 的任一指定点,但必须同时附加一力偶,其力 偶矩等于原来的力对此指定点的矩.
对作用于刚体上某一平面的力平移到该平面上的任意点，则附 加力偶的力偶矩只需用代数量的力偶矩表示。
+) =(ΣY)L
mo(R)=RsinαL = R yL
结论:
mo (R ) mo (F)
（补充） 两平行力的合成 *一.同向两平行力的合成
R=F1+F2
A
.
.
C
.
B
F1 BC F2 AC
即内分反比定理。
*二.不等两反向平行力的合成
R = F 2- F1
F1 BC F2 AC
即外分反比定理。
3.只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以 同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变.
Baidu Nhomakorabea
=
=
=
=
=
=
=
4.力偶没有合力，力偶只能由力偶来平衡.
综上所述，可以得出下列两个重要推论： 1、力偶可以在作用面内任意转移，而不影响它对物体的 作用效应。 2、在保持力偶矩的大小和转向不改变的条件下，可以任 意改变力和力偶臂的大小，而不影响它对物体的作用 由上述推论可知，在同一平面内研究有关力偶的问题
o
mn
Fn'
mn= mo(Fn)
将这两个力系分别进行合成
一般情况下平面汇交力系 F1', F2',… Fn' 可合成为 作用于O点的一个力,其力矢量R'称为原力系的主矢.
R' = F1' + F2' +…+ Fn' = F1 + F2 +…+ Fn
R' = Fi
附加平面力偶可合成一个力偶,其力偶矩 Mo 称 为原力系对于简化中心O的主矩.
.
A
.
B
.
C
2 力偶及其性质 一.力偶和力偶矩
1.力偶 由两个等值、反向、不共线的（平行）力组成的 力系称为力偶，记作 F , F
⑴、作用效果：引起物体的转动。 ⑵、力和力偶是静力学的二基本要素。
力偶特性一：
力偶中的二个力，既不平衡，也不 可能合成为一个力。 力偶特性二：
力偶只能用力偶来代替（即只能和另一力偶 等效），因而也只能与力偶平衡。
Fi
i 1 n
的矢量和等于零。
F 0
i 1 i
n
例:图示重物重为Q=30kN,由绳索AB、AC悬挂，求AB、AC的约束反 力。 B 600 A 300 C A. Q Q
300
600 Q
解：取力系的汇交点A为研究对象
作受力图 按一定比例尺作出已知力Q 的大小和方向 根据汇交力系平衡的几何条件,该三个力所构成的力三角形必自行 封闭,故可在力Q的始端和末端画出TB和TC 按同样的比例即可量得TB和TC的大小。
F1
A
B
F2
C
F3
D
R
E
F4
（空间共点力系和平面情形类似，在理论上也 可以用力多边形来合成。但空间力系的力多边形为 空间图形。给实际作图带来困难。）
用几何法作力多边形时，应当注意以下几点：
1 要选择恰当的力的比例尺。按力的比例尺画出各力的大小，并准 确地画出各力的方向。只有这样，才能从图上准确地表示出合力的 大小和方向。 2 作力多边形时，可以任意变换力的次序，虽然得到形状不同的力 多边形，但合成的结果并不改变。
Mo = m1 + m2 +...+ mn = mo(F1) + mo(F2) +...+ mo(Fn) Mo = mo(Fi)
.
Q
x
X 0 Y 0
TB sin 60 0 TC sin 30 0 0
TB cos 60 0 TC cos 30 0 Q 0
2-1.2平面力偶系的合成和平衡
1 力矩的概念和计算
一、平面力对点之矩（力矩）
mo(F)=±Fd
矩心 逆正 顺负 +
力臂 －
三个要素： 1.大小：力F与力臂的乘积 2.方向：转动方向 3.力矩作用面（已知）
根据合力投影定理得
Rx F1x F2 x Fnx Fx
Ry F1 y F2 y Fny Fy
合力的大小
R R R
2 x 2 y

F F
2 x y
2
合力R 的方向
tg
Fy Fx
三
共点力系平衡的充要解析条件：
用几何法，画封闭力三角形。
或 按比例量得
FC 28.3kN, FA 22.4kN
例2-4 如图刹车系统 已知： F , , xB , y B , l ; 求： 平衡时，CD杆的拉力。 解： CD为二力杆，取踏板 由力矩平衡条件
F cos yB F sin xB FCD l 0
2.平面任意力系向一点的简化 主矢和主矩 平面任意力系向一点简化的实质是将此力系用此
点的平面汇交力系和平面力偶系进行等效
(1)主矢和主矩 设在刚体上作用一平面 任意力系F1 ,F2 ,…Fn各力作 用点分别为 A1 , A2 ,… An 如图
F2 F1 A2 o An Fn
A1
所示.
在平面上任选一点o为简化中心.
二、力矩的性质 (P19)
三、汇交力系的合力矩定理
y
平面汇交力系的合力对 平面内任一点的矩等于各分 力对同一点的力矩的代数和.
O
.
α3 L
α A
.
α1
mo(F1)=F 1sinα1L= F 1yL=Y1L
α2
x
mo(F2)=F 2sinα2 L= F 2yL=Y2L
mo(F3)=F 3sinα3 L= F 3yL=Y3L
2 解析法 （坐标法）
一、力在坐标轴上的投影(区别于分解)
Fx F cos
Fy F cos
b´ F a´
y
B
y


F Fx
O
a
b
x
结论：力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与 该轴正向间夹角的余弦。
反之，当投影Fx 、Fy 已知时，则可求出 力 F 的大小和方向： Fy Fx 2 2 cos cos F Fx Fy F F
解：
杆AB为二力杆。
§2-6
力偶系的合成与平衡
A O
α SAB m1
分别写出杆AO 和BD 的平衡方程：
m 0,
m1 S AB r cos 0 m2 2S BAr cos 0
S AB S BA m2 2m1
NO
SBA
B
m2 α
D
ND
例2-2 已知： P=20kN，R=0.6m, h=0.08m: 求：
力多边形的封闭边
Fn
R
R
RF2R2 R2F2 F F Fn
R
Fn
各力的汇交点
F1 F1 F1
F2
F1
3 力多边形中诸力应首尾相连。合力的方向则是从第一个力的起点 指向最后一个力的终点。
三.平面汇交力系平衡的几何条件
平衡条件 Fi 0 力多边形自行封闭
三. 平面汇交力系平衡的几何条件
（1）、共点力系的合成结果 共点力系可以合成为一个力，合力作用在力系 的公共作用点，它等于这些力的矢量和，并可由这 力系的力多边形的封闭边表示。 矢量的表达式：R = F1+ F2+ F3+ ·+ Fn · · （2）、共点力系平衡的充要几何条件： 该力系的力多边形自行闭合，即力系中各力
2.力偶矩
力偶中两力所在平面称为力偶作用面 力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂
两个要素
a.大小：力与力偶臂乘积 b.方向：转动方向
力偶矩
1 M F d 2 F d 2ABC 2
二. 力偶与力偶矩的性质
1.力偶在任意坐标轴上的投影等于零。
2.力偶对作用面内任意点取矩都等于力偶矩， 不因矩心的改变而变.
根据力线平移定理,将各力平移到简化中心O.原力系
转化为作用于O点的一个平面汇交力系F1', F2',… Fn'
以及相应的一个力偶矩分别为m1, m2,… mn的附加平
面力偶系.其中
F1= F1 , F2'= F2 ,…，Fn'= Fn F1'
m1
F2'
m2
m1= mo(F1), m2= mo(F2),…