第2章平面力系
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《工程力学》课件第2章
图 2.3
1.
平移力 F1 , F2 …, Fn 组成的平面汇交力系的合 力 FR , 称为原平面任意力系的主矢。FR 的作用点在简化中
心O点， 大小等于各分力的矢量和，即
（2.2）
在平面直角坐标系中，则有
（2.3） （2.4）
式中，
分别为主矢 和各力在x、 y轴上的投影；
为主矢的大小； α为 与x轴所夹的锐角，的指向由∑Fx和
主矢的大小为
主矢的方向为
由于∑Ｆx和∑Fy都为正，因此主矢 指向第一象限
。
主矩的大小为
主矩的转向为逆时针方向。 力系向O点简化的结果如图2.4(b)所示。
(2) 由于 FR ０ ，MO≠0，根据力的平移定理的逆过程，可
将主矢 F与R主矩MO简化为一个合力FR。合力FR的大小、方向 与主矢 F相R 同，FR的作用线与主矢的作用线平行， 但相距
又如， 图2.1(b)所示的曲柄连杆机构受到转矩M、阻力F 以及约束反力FAx、FAy、FN的作用，显然这些力也构成了平面 力系。平面力系根据其中各力的作用线分布不同又可分为平 面汇交力系(各力的作用线汇交于一点)、平面力偶系(全部由 力偶组成)、平面平行力系(各力的作用线互相平行)和平面任 意力系(各力的作用线在平面内任意分布)。
由例2.2的讨论可知， 平面任意力系的平衡方程除了式 （2.6）所示的基本形式以外， 还有二力矩形式和三力矩形式， 其形式如下：
(2.7)
其中，A、B两点的连线不能与x轴(或y轴)垂直。
(2.8)
其中， A、 B、 C三点不能共线。 在应用二力矩形式或三力矩形式时， 必须满足其限制条
件，否则所列三个平衡方程将不都是独立的。
图 2.6
解 (1)选圆球为研究对象， 主动力：重力G 约束反力：绳子AB的拉力FT、斜面对球的约束力FN。受 力图如图2.6(b)所示。 (2) 建立直角坐标系Oxy， 列平衡方程并求解。
第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
理论力学第2章平面任意力系
空载时轨道A 、 B的约束反力，并问此起重机在使用过程中有无翻
倒的危险。
解：
（1）起重机受力图如图
（2）列平衡方程 ：
MA 0:
Q
Q(6 2) RB 4 W 2 P(12 2) 0
MB 0:
Q(6 2) W 2 P(12 2) RA 4 0
6m
解方程得:
W
P
12m
RA 170 2.5P
FR' Fi Fxi Fy j
MO MO (Fi )
3. 平面任意力系的简化结果
（1）FR´= 0，Mo ≠ 0, （2）FR´ ≠ 0，Mo = 0, （3）FR´≠ 0，Mo ≠ 0, （4）FR´= 0，Mo = 0,
合力偶，合力偶矩，MO MO (Fi )
合力，合力作用线通过简化中心O。
3
F2
j
F3
x
(437.6)2 (161.6)2
F1
1 1
100
Oi
1 2
466.5N
200
MO 21.44N m
y
合力及其与原点O的距离如图(c) 。 MO
x
y
d
x
O
FR FR′ 466.5N FR´
FR
O
d MO 45.96mm
(b)
(c)
FR
10
例11 水平梁AB受按三角形分布的载荷作用，如图示。载荷的
M
l
l
30
B
D
° F
3l
P
q
A
21
解：T字形刚架ABD的受力如图所示。
M
l
l
Fx 0
30
B
FAx 1 • q • 3a Fcos30 0
平面力系
平面力系——各力作用线都在同一平面内的力系。
空间力系——各力作用线不在同一平面内的力系。
汇交力系——作用线交于一点的力系。
平行力系——作用线相互平行的力系。
一般力系——作用线既不完全交于一点又不完全平行的力系。
2.1 平面汇交力系平面汇交力系的工程实例：2.1.1 力的分解按照平行四边形法则，两个共作用点的力，可以合成为一个合力，解是唯一的；但反过来，要将一个已知力分解为两个力，如无足够的条件限制，其解将是不定的。
2.1.2 力在坐标轴上的投影注意:力的投影是代数量，它的正负规定如下：如由a到b的趋向与x轴（或y轴）的正向一致时，则力F的投影Fx（或Fy）取正值；反之，取负值。
2.1.3合力投影定理合力投影定理——合力在某一轴上的投影等于各分力在同一轴上投影的代数和。
2.1.4 平面汇交力系的平衡条件平面汇交力系可以合成为一个合力，即平面汇交力系可用其合力来代替。
显然，如果合力等于零，则物体在平面汇交力系的作用下处于平衡状态。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是该力系的合力F等于零。
即即力系中所有各力在两个坐标轴中每一轴上投影的代数和都等于零。
这是两个独立的方程，可以求解两个未知量。
例2-1 如图所示为一吊环受到三条钢丝绳的拉力作用。
已知F1=2000N，水平向左；F2=5000N，与水平成30度角；F3=3000N，铅直向下，试求合力大小。
（仅是求合力大小）例2-2 图示为一简易起重机装置，重量G=2kN的重物吊在钢丝绳的一端，钢丝绳的另一端跨过定滑轮A，绕在绞车D的鼓轮上，定滑轮用直杆AB和AC支承，定滑轮半径较小，大小可忽略不计，定滑轮、直杆以及钢丝绳的重量不计，各处接触都为光滑。
试求当重物被匀速提升时，杆AB、AC所受的力。
解因为杆AB、AC都与滑轮接触，所以杆AB、AC上所受的力就可以通过其对滑轮的受力分析求出。
因此，取滑轮为研究对象，作出它的受力图并以其中心为原点建立直角坐标系。
由平面汇交力系平衡条件列平衡方程有解静力学平衡问题的一般方法和步骤：1.选择研究对象所选研究对象应与已知力（或已求出的力）、未知力有直接关系，这样才能应用平衡条件由已知条件求未知力；2.画受力图根据研究对象所受外部载荷、约束及其性质，对研究对象进行受力分析并得出它的受力图。
第二章 平面力系
FR F1 F2 Fn Fi
i 1
n
力FR对刚体的作用与原力系对该刚体的作用等效。所以 称此力为汇交力系的合力。
如力系中各力作用线均沿同一直线，则此力系为共线力系， 它是平面汇交力系的特殊情况。显然力系的合力大小和方向 取决于各分力的代数和，即 n
FR Fi
i 1
24
静力学
例题 1-5
平面力系
合力的大小：
2 Rx 2 Ry
FR F F 171.3 N
合力与轴x，y夹角的方向余弦为：
FRx cos( FR , i ) 0.754 FR
F2
y
F1
60
O
45
30
cos( FR , j )
FRy FR
45
x
F4
0.656
F3
平面力系
Fx Fx1 Fx 2 Fxn Fxi i 1 n Fy Fy1 Fy 2 Fyn Fyi i 1
n
合力矢FR的大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2 ( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2
B
D
钢丝绳的另一端绕在铰车D上。 杆AB与BC铰接，并以铰链A，C 与墙连接。如两杆与滑轮的自重
4 .由力三角形图c可得：
I
F
q
FD
J
K
FB
(c)
sin 180 q FB F 750 N sin
11
静力学
例题 1-2
平面力系
水平梁AB中点C作用着力F，其大小等于2 kN，方向与梁
的轴线成60º 角，支承情况如图a 所示，试求固定铰链支座A和活动铰链支座B的约束源自。梁的自重不计。3，
第二章 理论力学平面力系
特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。
2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。 3、投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中 只有一个未知数。
4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。
5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出
负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件，
力系分为：平面力系、空间力系 ①平面汇交力系 平面力系 ②平面平行力系(平面力偶系是其中的特殊情况 ) ③平面一般力系(平面任意力系) 平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 汇交于一点的力系。 研究方法：几何法，解析法。
例：起重机的挂钩。
2.1 平面汇交力系的合成与平衡
2.1.1 平面汇交力系合成的几何法与平衡的几何条件 1、几何法
Y X
87.46 8.852, 83.55O 9.88
由于FRx为负，FRY为正，故 在第二象限，合力 FR的作用线通过汇交点O，如图2.12
【例2.5】
如图2.1 3所示为建筑工地使用的 井架把杆装置，杆AB的一端铰接在井架上， 另一端用钢索BC与井架连接。重物通过卷扬 机由绕过滑轮BC的钢索起吊。已知重物 Fw=2kN，把杆重量、滑轮的重量及滑轮的大 小不计，滑轮的轴承是光滑的。试求钢索BC 的拉力和把杆AB所受的力。
由图2.14(b)可知 DB CB cot l cot 30 0 tan 0.866 AB 2l 2l 40.90 将 40.90 代入方程并求解得 FA 13.2 KN FB 8.66 KN
解题技巧及说明： 1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度
2、主矢和主矩
主矢：力系各力的矢量和，即 主矩：力系中各力对于任选简化中心O之矩的矢量和，即
建筑力学2平面力系
12
2.2 力对点之矩与平面力偶 2.2.1 力对点之矩—简称为：力矩 在力的作用下，物体将发生移动和转动。力 的转动效应用力矩来衡量，即力矩是衡量力转 动效应的物理量。 讨论力的转动效 应时，主要关心 力矩的大小与转 动方向。
13
1.定义 力臂—某定点O到力F的作用线的垂直距离。
矩心—该点O称为矩心。 力对点之矩—力使物体绕某点转动效应的度量。其 数值等于力的大小F与力臂d的乘积。其方向，规 定：力使物体绕矩心逆时钟方向转动时力矩为正， 反之为负。记为 MO(F)=±Fd
F F
y
0
FAC FAC
3
解得
x
4 2 32 63.2kN 4
FT 2
2 12 2 2 FT 2
FT 1 0
0
FAB FAC FAB
1 12 2 2
解得
4 2 32 41.6kN
0
力FAC 是负值，表示该力的假 设方向与实际方向相反 ， 因此杆AC是受压班。
力的等效平移的几个性质：
1、当力平移时，力的大小、方向都不改变，但附 加力偶的矩的大小与正负一般要随指定O点的 位置的不同而不同。
2、力平移的过程是可逆的，即作用在同一平面内
的一个力和一个力偶，总可以归纳为一个和原
力大小相等的平行力。
3、力平移定理是把刚体上平面任意力系分解为一 个平面共点力系和一个平面力偶系的依据。
9
【例2-5】重W=20kN的重物被绞车匀速吊起，绞车 的绳子绕过光滑的定滑轮A,，滑轮由不计重量的 杆AB、AC支撑，A、B、C三点均为光滑铰链， 可忽略滑轮A的尺寸。求杆AB、AC所受的力。
B
4 A FBA B A FAB FAC F’AB y A x F’AC FT2 FT1
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M
O2
0 ( FT1 FT2 ) R m 0 m ( FT1 FT2 ) R 450 0.3 135N m
5
(c)
解： （1）皮带、绳索是柔性约束，施与塔轮、带轮上的力只能是拉力。 （2）研究塔轮 O1 ，受力图如图（b）所示。
0 ( F M （F）
O1 i
T1
FT2 ) r P R 0 FT1 FT2
R 30 P 300 450N r 20
（3）研究带轮，受力图如图（c）所示。
2-19 已知皮带传动机构如图，塔轮 O1 上用绳索悬挂重物 P=300N，在轮 O2 上作用一力偶 m 使其平衡。 已知 r=20cm,R=30cm，试求力偶矩 m 的大小。设皮带轮与皮带之间不打滑。
4
R r
O1
R
O2
m
(a)
F T1
R r
O1
F'T1
R
O2
m
F T2
(b) 题2-19图
F'T2
0F M（F）
O i
NE
FNE 12 kN 200 FD cos 45 200 FD sin 45 1200 0 FD
12 2 kN ( ) 7
（3）研究物系 ABC，受力图如图（c）所示。
12 2 sin 45 FD FC 7 F kN 0.3429kN M B 0 F 1500 FC sin 45 300 0 5
2-17 多跨静定梁如图，已知没 m=40kN·m,q=10kN/m, 试求各支座反力。
q
A
2m
m D C
(a)
B
2m
2m
2m
q
C
m D
(b)
q
A B F NB
FC
C (c) F'C
F ND
FA
题2-17图
解： （1）梁 ABC 为基本部分， CD 为附属部分。 （2）先研究附属部分 CD，受力图如图（b）所示。
m1
(b)
C
E
FC F'C
D
B
m2
（a）
C
题2-11图
(c)
B
m2
FB
解：销子 C 在 AE 上的光滑导槽内滑动，将受到光滑面约束反力。又考虑到主动力偶在杆上，所以先以 ACE 杆为研究对象, 再研究 BCD 杆, 受力如图（b） 、 （c ） 。力偶只能由力偶来平衡，故各处的反力均沿铅垂 方向: F A F C F C F B 列平衡方程：
0 10 2 1 40 FND 4 0 C Fi） M（ FND 15kN () FC FND 10 2 0 Fy 0 FC 5kN ()
3
（3）研究物系 ABC，受力图如图（c）所示。
2-18 剪钢筋设备如图，欲使钢筋受力 12kN，问加于 A 点的 F 多大？
F F
A D
45°
F'D
D D
A
1200
1500
FD 45° FC
(b)
45°
45° (c)
300
C O
200
E
B
(a) 题2-18图
O
(d)
C
F'C
C
F Ox F Oy F NE
E
F Bx
B
F By
解： （1）该装置为机构，E 处钢筋受力已知，CD 为二力杆，先研究 OED 部分，再研究 ABC 杆。 （2）研究 OED，受力图如图（d ）所示。
2
' '
m1 4 4 1.155kN (↑) AC ABcot30 2cot30 4 BC: m=0 m2 FC' AC 0 m2 FC' AC 2cot30 4kN m (↶) 2cot30 注意：求 m2 的大小时可以研究整个物系。
AE ： m=0 FC' AC m1 0 FC' 2-13 起重机重 P1 =10kN，可绕铅垂直轴 AB 转动；起重机挂钩上挂一的重物 P 2 =40kN，起重机的重心 C 到 转 动 轴 的 距 离 为 1.5m ， 其 它 尺 寸 如 图 所 示 。 试 计 算 止 推 轴 承 A 和 B 处 的 约 束 力 。
FA 2 10 2 1 FC' 2 0 FC' FC 5kN FA 15kN() M B 0 ' FA FNB 10 2 FC 0 FNB 40kN() Fy 0
m=0 F e F
NA
h 0 FNA FNB
F e 1000 20 100kN h 200
故， FND 10 N () 2-10 四连杆机构在图示位置处于平衡状态。已知 O1 A=400mm，O2B =600mm，m1 =1kN·m。试计算力 偶矩的 m 2 大小和 AB 杆的受力。
2-11 曲柄滑槽机构，杆 AE 上有一导槽。套在与杆 BD 固连的销子 C 上，销子 C 可以在 AE 上的光滑 导槽内滑动。已知， m1 =4kN·m，转向如图，AB =2m。机构在图示位置平衡， 30 。试求 m2 的大小 以及固定铰支座 A、B 的约束反力。
A
m1
°
D C E
FA
A
' '
m=0 F
' A
O1 A sin 30 m1 0 FA'
m1 1 5kN (←) O1 A sin 30 0.4 1 2
（2）以杆 O2 B 为研究对象画受力图如（d）所示。列平衡方程：
m=0 m
2
' FB' O1B 0 m2 FA O1B 5 0.6 3kN m (↶)
2-9 汽锤在锻压工件时，由于工件的位置偏离中心点，使锤头受到工件的反作用力而偏离中心线 e=20mm， 若已知锻压力 F=1000kN， 锤头高度 h=200mm， 不考虑锤头和导轨之间的摩擦， 试计算锤头对两导轨的压力。
F B
h
F FNB
A
（a） e=20mm
FNA
（b）
F 题2-9图
F
解：研究锤头，两力形成逆时针的力偶，锤头 A、B 两点与导轨接触，受到导轨施与的水平的光滑面约束 反力。受力图如图（b）所示。因力偶只能由力偶来平衡，故 A、B 两处的反力 F NA F NB 。 列平衡方程：
B C B
FB
C
FB
1.5m
P1
5m
P2
P1
P2
A
3.5m (a) 题2-13图
A
F Ax FAy
(b)
解：研究整个起重机，画受力图，建立常规坐标。列平衡方程求未知量
Fy 0 FAy 50kN() FAy P 1P 2 0 mA ( F ) FNB 5 P 1 1.5 P 2 3.5 0 FNB 31kN() F F 0 F 31kN() Ax NB Fx 0 Ax
2-3 三角架由 AB、BC 杆组成，B 点悬挂重 P=10kN 的重物。若两杆的自重不计，试计算各杆的受力。
A
°
B
F BA
P
°
F BC
B
P
（b） （a）
C
题2-3a图
解： （1）AB 为受拉、BC 杆受压的二力杆，取结点 B 为脱离体，画受力图，建立常规坐标。 （2）列平衡方程求未知量
FBC 11.55kN Fy 0 FBC sin 60 P 0 FBA FBC cos 60 0 FN2 5.77kN Fx 0
1
B
A
(b)
FB
B
3°
FA F'A
A
A
B F'B
O1
m1
F O1
O1
m1 m2(c)来自m2（a）(d)
O2
题2-10图
O2
F O2
解：若以整体为研究对象，不能求出任何一个未知量，又考虑到主动力偶在杆 O1 A 上，所以先以 O1 A 杆 为研究对象。 （1）以 O1 A 杆为研究对象画受力图如图（c ） ，因为 AB 为二力杆，故点 A 受力为水平反力，因力偶只能 由力偶来平衡，故 O1 处的反力 F O1 F A F A F B F B F O 2 。 列平衡方程：