第二章 平面力系2

B
水平拉力至少应为多大；(3)力F
A
h
沿什么方向拉动碾子最省力，此
时力F为多大。
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解： 1. 选碾子为研究对象，受力分析如图b所示。 各力组成平面汇交力系，根据平衡的几何条
件，力G ， F ， FA和FB组成封闭的力多边形。
由已知条件可求得
R
cos Rh 0.866 R
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再由力多边形图c 中各矢 量的几何关系可得
第二章 平面力系
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§2-1 平面汇交力系
平面汇交力系： 各力的作用线都在同一平面内且 例：起重机的挂钩。
汇交于一点的力系。
研究方法：几何法，解析法。
一.平面汇交力系合成的几何法
力多边形规则
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§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法
一.多个汇交力的合成 力多边形规则
设有F1与F2两力作用于某刚体上的A点，则由平行四边形法 则，以两力为边作平行四边形，其对角线即为它们的合力 FR，记作FR=F1+F2。为简便作图可省略AC与DC，直接将 F2连在F1的末端，通过ΔABC即可求得合力FR。此法称为 三角形法则。
两个共点力合成的三角形法则
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2. 汇交力系合成的几何法
§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法
一.力在坐标轴上的投影与力沿轴的分解
两个汇交力可以合成一个合力， 其结果是唯一的。反之，若将一个力 分解成两个力，如果没有足够的附加 条件，则其解答是无穷多的（是不定 的）。但一般将它分解为两个正交的 分力FRx、FRy，如图所示：则
F RF R xF R yF xiF yj
FB G
FA
FO
B
A
h
(a)
FB sin F
F
FO
FA FB cos G
(c)
G
解得 FB
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s
F
in
10kN,
FB B
A
F A G F B co s 1.3 1k 4FN A
(b)
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FO
G
FB B
A
FA
FB
G FA
c F
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2. 碾子能越过障碍的力学 条件是 FA=0， 得封闭力三 角形abc。
F2
70 0 60 0
O d
解：设比例尺 0
e
F1
F2
FR
d
a
F1
100 b
F4
F4
F3
F3
F4
c
c
e
FR
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F1
a
F2
b
FRae12N0
1450 11
二.平面汇交力系平衡的几何条件
对于平衡情形下，显然有力系的合力为零， 其力多边形自行封闭。故平面汇交力系平衡的必 要和充分条件是：该力系的合力等于零。即
n
FR Fi i 1
汇交力系的合成结果是一合力，合力的大小和方向由各力的
矢量和确定，作用线通过汇交点。
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2. 汇交力系合成的几何法
用力多边形法则求四个力的合力
F4
FR
F3
FR2
F4
FR
FR2
F2
FR1 F3
FR1
F1
F3
F2
FR
F1
FR2
使各力首尾相接，其封闭边即为合力FR。FR1
F2
F1
F4
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F R 1F 1F 2
3
FR2 FR1F3 Fi i1
F R 1F 1F 2
3
FR2FR1FR3 Fi
i1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
力多边形
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n
FRFRn 1Fn Fi Fi 9 i1
2. 汇交力系合成的几何法 结论
汇交力系合成的结果是一个合力，它等于原力系 中各力的矢量和，其作用线通过各力的汇交点
•合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关
•各分力矢必须首尾相接
•合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端
•按力的比例尺准确地画各力的大小和方向
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例2-1 F 1 1N 0 ,F 2 0 1N 0 ,F 3 0 1N 5 ,F 4 0 2N 0
,方向如图所示,求合力。
F3
90 0
由此可得
a
FB G
Fmin
b F
F G ta n 1.5 1 kN
FBcG os 23.09kN 3. 拉动碾子的最小力为
F m inG si n1k 0N
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汇交力系几何法的解题步骤：
1）选研究对象； 2）画受力图； 3）作力多边形或力三角形； 4）利用几何关系求解未知量。
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设由n个力组成的平面汇交力系，如图所示。其合力FR可
表示为分力的矢量和
n
FRF 1F2 Fn Fi 0 i1
其几何条件是力多边形自行封闭。
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例2-5 如图轧路碾子自重G = 20 kN，
半径 R = 0.6 m，障碍物高h =
0.08 m碾子中心O处作用一水平
拉力F，试求: (1)当水平拉力F =
R
5 kN时，碾子对地面和障碍物的 F O
压力；(2)欲将碾子拉过障碍物，
汇交力系：所有的力的作用线汇交于一点的力系。
共点力系：如所有的力都作用在同一点， 该力系称 为共点力系。
刚体
汇交力系
等价
共点力系
理由：力的可传性原理
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2. 汇交力系合成的几何法
设汇交于A点的力系由n个力Fi（i = 1、2、…、n）组成。记 为F1、F2、…、Fn。根据三角形法则，将各力依次两两合成， FR为最后的合成结果，即合力。汇交力系合力的矢量表达式 为
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2、平面汇交力系合成的解析法
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y
D F3
F3
F2
F
C
A
B F2
o
F1
F1
o
x
a bd c
F x 1 a ,F x b 2 b ,F x c 3 c,F d x ad
因 a da bb ccd ,故 F xF x1F x2F x3
同理可得 FyFy1Fy2Fy3
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2. 汇交力系合成的解析法
定不出力矢作用位置，它们是两个不同的概念。只有对于正
交坐标系它们之间的才有关系：
F RF R xF R yF xiF yj
上式也称为力的解析表达形式
其中
F R xF xi,
F R yF yj
如果已知力FR在x和y轴上的投影，则可求得力FR的 大小和方向余弦为
FR Fx2 Fy2
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coF R s,i()F F R x, coF R s,(j)F F R y
而 F x F R i F R co , F s y F R j F R cos
i, j 分别是x和y轴方向的单位矢量
Fx和Fy称为力FR在x和y轴上的投影
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由此可知，利用力在轴上的投影，可以表示力沿直角坐标轴 分解时分力的大小和方向。
不过应注意的是：分力是矢量，而力的投影是代数量。确