定积分的几何应用

定积分的几何应用

定积分的几何应用

内容摘要

自十七世纪下半叶牛顿和莱布尼茨确定了微积分的基础以来，微积分已经经历了近四百年的发展，微积分不仅在数学领域，在现代科学各个领域都发挥了巨大的作用，微积分的思想更是达到了哲学的高度。可以预见，微积分在将来的应用会越来越广泛，越来越深入，但微积分由于其思想的复杂性、系统性，给使用者带来了不便，本文就微积分在数学几何领域的应用做了一些总结和创新，得出了在直角坐标系和极坐标系情况下，平面图形的面积、旋转体体积、光滑曲线的弧长和旋转曲面的面积的求解方法，以方便相关领域的人士在工作和学习中参考使用。。

【关键词】定积分几何坐标系面积体积弧长

The application of definite integral geometry

Abstract

Since the second half of the seventeenth Century the Newtonian and Leibniz to determine the basis of calculus, calculus has experienced nearly four hundred years of development, not only in the field of mathematics calculus, in modern scientific fields have played an important role, the calculus idea is to achieve a high degree of philosophy. Can foreknow, calculus in the future will be more widely used, more and more deeply, but due to the complexity of ideas of calculus, system, users have inconvenience, the calculus in mathematics geometry application some summary and innovation, derived in Cartesian coordinate and polar coordinate conditions, planar graph area, the volume of body of rotation, smooth arc length of a curve and a rotating surface area method, so as to facilitate the related people in the working and learning reference.

【Key words】Integral geometry coordinates area volume arc length

目录

一、引言 (1)

（一）定积分的历史 (1)

（一）定积分思想的意义 (1)

二、定积分与微元法 (2)

（一）定积分的定义 (2)

（二）微元法的原理 (2)

（三）微元法的步骤 (3)

三、平面图形的面积 (3)

（一）直角坐标系情形 (3)

（二）极坐标系情形 (4)

四、体积 (5)

（一）平行截面面积为已知的立体的体积 (5)

（二）旋转体体积 (5)

五、光滑曲线的弧长 (7)

六、旋转曲面的面积 (8)

参考文献 (9)

致谢 (10)

定积分的几何应用

一、引言

本文在总结前人的经验和方法的基础上，通过使用定积分的方法和思想，得出了在直角坐标系和极坐标系情况下，平面图形的面积、旋转体体积、光滑曲线的弧长和旋转曲面的面积的求解方法。

(一)定积分的历史

十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在英国和德国独自研究并完成了微积分的创立工作，微积分学不仅成了推动近代数学发展强大的引擎，而且同时也极大地推动了天文学、物理学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中的发展。而定积分思想是微积分学的重要组成部分，在现代科学领域有着广泛的应用。

定积分的思想在古代数学家的工作中,就已经能看出端倪。在国外，古希腊时期阿基米德在公元前240年前后,就曾用求和的方法计算过抛物线、弓形及其他图形的面积。在国内，公元263年我国刘徽提出的割圆术,也是同一思想。在历史上,积分观念的形成比微分要早。但是直到牛顿和莱布尼茨的工作出现之前,有关定积分的种种研究成果还是孤立零散的,比较完整的定积分理论还未能形成,直到牛顿-莱布尼茨公式建立以后,计算问题得以解决,定积分才迅速建立发展起来。牛顿和莱布尼茨对微积分的创建都作出了巨大的贡献,但两人的方法和途径是不同的。牛顿是在力学研究的基础上,运用几何方法研究微积分的；莱布尼兹主要是在研究曲线的切线和面积的问题上,运用分析学方法引进微积分要领的。牛顿在微积分的应用上更多地结合了运动学,造诣精深;但莱布尼兹的表达形式简洁准确,胜过牛顿。在对微积分具体内容的研究上,牛顿先有导数概念,后有积分概念;莱布尼兹则先有积分概念,后有导数概念。虽然牛顿和莱布尼兹研究微积分的方法各异,但殊途同归。各自独立地完成了创建微积分的盛业,荣耀应由他们两人共享。

定积分概念的理论基础是极限。人类得到比较明晰的极限概念,花了大约2000年的时间。在牛顿和莱布尼茨的时代,极限概念仍不明确。因此牛顿和莱布尼茨建立的微积分的理论基础还不十分牢靠,有些概念还比较模糊,由此引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论,并引发了第二次学危机。经过十八、十九世纪一大批数学家的努力,特别是柯西首先成功地建立了极限理论,魏尔斯特拉斯进一步给出了现在通用的极限的定义,极限概念才完全确立,微积分才有了坚实的基础。

(二)定积分思想的意义

定积分不仅是一种方法,又是一种基本思想。定积分的思想即化整为零、近似代替、积零为整、取极限。定积分这种求和的极限的思想,在高等数学、物理、工程技术、其他的科学领域以及人们在生产实践活动中具有普遍的意义,很多问题的数学结构与定积分中求和的极限的数学结构是一样的,通过对曲边梯形的面积、变速直线动的路程等实际问题的研究,运用极限方法,分割整体、局部线性化、以直代曲、化有限为无限、变连续为离散等过程,使定积分的概念逐步发展建立起来。可以说,定积分最重要的功能是为我们研究某些问题提供一种思想方法(或思维模式),即用无限的过程处理有限的问题,用离散的过程逼近连续,以直代曲,局部线性化等。定积分的概念及微积分基本公式,不仅是数学史上,而且是科学思想史上的重要里程碑定积分思想,是人类智慧的可贵结晶,已成为人