第四章 随机信号与线性系统

第四章 随机信号与线性系统

4.１ 引言

确定系统、系统输入、系统输出三者之间的关系是信号与系统分析的中心任务。如果线性系统的输入是随机信号，其输出也是随机信号。此时，对系统输出的测量结果只是随机信号的一次实现，并且随机信号的傅氏变换（如果存在）也是随机信号。因此，随机信号与线性定常系统之间的关系通常是用输入、输出的一、二阶统计特性和系统的特性来表示。

线性系统（因果的）对确定信号的响应分为稳态响应和暂态响应（过渡过程）。类似地，线性系统（因果的）对随机信号的响应可分为平稳情况和非平稳情况。 １．随机信号的渐近平稳性

定义：假设随机信号)(t Y 的一、二阶矩存在（二阶矩过程），若极限

{}==∞→∞

→)()(lim lim t Y E t t y

t μ

常数 (4-1)

lim ∞

→t {})()()(),(lim τττy t y

R t Y t Y E t t R

=+=+∞

→ (4-2)

成立，则称该随机信号是渐近平稳的。

换句话说，对于渐近平稳的随机信号)(t Y ，存在充分大的T ，在T t >以后，)(t Y 是平稳

的。

2．线性系统响应的渐近平稳性

根据系统理论，线性系统的响应)(t Y 为系统单位冲激响应)(t g 和输入)(t X 的卷积，即

)()()()()(t X t g d t X g t Y *=-=?∞

∞

-τττ (4-3)

【对于因果系统: )()()()()()()(0

t X t g d t X g d t X g t Y t

*=-=-=

??

∞

∞

-ττττττ

对于连续单输入－单输出线性系统，如果输入信号)(t X 是随机的，则输出信号)(t Y 也是随机信号，)(t Y 的每一个样本)(t y 由)(t X 的样本)(t x 与所给定系统的冲激响应)(t g 的卷积求得，即

)()()()()(t x t g d t x g t y *=-=?∞

∞

-τττ (4-3)

】

将式(4-3)两边求数学期望值，得

{}{}??∞

∞

-∞∞

-*=-=-==)()()()()()()()(t t g d t g d t X E g t Y E t x x y μττμττττμ

由此可见，系统输出)(t Y 的期望值)(t y μ等于输入)(t X 的期望值)(t x μ与系统单位冲激响应

)(t g 的卷积，即

)()()(t t g t x y μμ*= (4-4)

系统输出)(t Y 的自相关函数),(τ+t t R y 为

{})()(),(ττ+=+t Y t Y E t t R y {}))()(())()((ττ+*+?*=t X t g t X t g E

{

}

))()(())()((222111??∞

∞

-∞∞

--+?-=τττττττd t X g d t X g E

{}??∞∞-∞

∞--+-=

1

22121()()()(τττττττd d t X t X E g g

??+

-+-=t t x d d t t R g g 00

1

22121),()()(τ

τττττττ (4-5)

1）当)(t X 为平稳随机信号时，由(4-3)得

x x y G t g t μμμ?=*=)0()()(=常数 (4-6)

其中，?

∞

∞

-=

ττd g G )()0(；并且由(4-5)得

),(τ+t t R y ??

++-=t t x d d R g g 00

121221)()()(τ

τττττττ (4-7)

2）如果系统)(t g 是渐近稳定的，则

0)(lim =∞

→t g t ，即存在充分大的0>T ，使

0)(=t g ，T t > (4-8)

因此，当t 充分大时，),(τ+t t R y 与起点t 无关，即

)(),(ττy y R t t R =+，T t > (4-9)

例1，当系统输入为白噪声时，)()(2

τδστ?=x x R ，代入（4-5）得

),(τ+t t R y ??++-?

=t t x d d g g 001

2

1

2

2

1

2

)()()(τ

τττττδττσ

??+

+-?=t

t x

d d g g 0

1

2

1

2

2

1

2])()()[(τττττδττσ

τ

?+?=t x

d g g 0

1

1

1

2

)()(ττττσ

当)(t g 渐近稳定，存在充分大的T ，使

),(τ+t t R y ?

--+?=),min()

,0max(1112

)()(T T x d g g ττττττσ)(τy R =

例2，设离散系统1

1

5.011)(---=z

z H ，输入)(n X 为白噪声序列，)()(2

n R x x δστ?=，则输出)()()(1

n X z H n Y -=)())5.0((

n X z i i

i

∑∞

=-=)()5.0((0

i n X n i i

-=∑= {})()(),(m n Y n Y E m n n R y +=+{}∑∑=+=-+-=n i j m

n j i j m n X i n X E 00

)()()5.0()5.0(

∑∑=+=+-=n i j

m

n j i

x

i j m 00

2

)()

5.0()5.0(δσ

∑=+=n

i i

m i

x

2)

5.0()5.0(σ

∑==n

i i

m

x

2)

25.0()

5.0(.σ

=+)0,0(m R y m x )5.0(.2σ，=+)1,1(m R y )25.01()5.0(.2

+m x σ

=+)5,5(m R y )0009765.00039062.0015625.00625.025.01()5.0(.2+++++=m

x σ

对于任

意的

>ε，

存在

>N ，使得当

N

n >，

-+),(|m n n R y |)

25.0()

5.0(.0

2∑=N

i i

m

x

σε<

例如，取2

001.0x σε=，只需取5=N 。

定理：对于线性定常因果系统，若系统输入)(t X 是平稳的，则系统输出)(t Y 是渐近平稳

的。

[ 定理：如果线性系统)(1

-z H 是渐近稳定的，)(n w 是零均值方差为2

w σ的白噪声序列，则过程的输出

)()()(1m w z H m y ?=- (4-10)

是渐近平稳的，即存在0>N ，当N m >以后，)(m y 是平稳的。

证明：由于

∑∞

=--?=0

1

)()(n n z n h z H

若)(1-z H 是渐近稳定的，即)(1

-z H 的极点都在z 平面单位园内，则存在充分大的N ，使得

0)(=n h ,N n >

因此

)())(()(0

m w z n h m y n

n ??=-∞=∑∑∞=-?=0

)()(n n m w n h ∑=-?=

),min(0

)()(N m n n m w n h

)(m y 的均值：

{})()(m y E m y =μ?

?????-?=∑=),min(0)()(N m n n m w n h E {})()()

,min(0n m w E n h N m n -?=∑=0=

对于任意的01>m ，02>m ，012>=-r m m ，)(m y 的自相关函数：

{})()(),(2121m y m y E m m R y ?=?

??

???-??-?=∑∑==),min(0)

,min(02112)()()()(N m i N m j j m w j h i m w i h E

{}∑

∑==--),min(0

)

,min(0

2

1

12)()()()(N m i N m j j m

w i m w E j h i h

∑

∑=+=+-?

=),min(0

)

,min(0

2

1)()()(N m i N i r j w

i j r j h i h δσ

∑=+?

=)

,min(0

21)()(N m i w

i r h i h σ

当N m >1时，)(),(21r R m m R y y =∑=+?=N

i w

i r h i h 0

2)()(σ，与起点1

m 无关。

]

3．系统随机响应的非平稳情况

1）输入是平稳的，暂态过程中的输出是非平稳的； 2）输入是非平稳的； 3）系统本身是时变的； 4）系统是不稳定的。

以后各节，仅考虑线性稳定系统对随机信号的响应，即渐近平稳情况下的稳态响应，且是各态遍历的。不再区分随机信号)(t X （或)(n X ）与它的样本函数)(t x （或)(n x ）。