2014高三数学一轮复习：2.5二次函数与幂函数
二次函数与幂函数专题复习
学校：年级：教学课题：二次函数与幂函数学员姓名：辅导科目：数学学科教师：教学目标专题复习二次函数和幂函数的图像与性质教学内容一. 【复习目标】1.准确理解函数的有关概念.2.体会数形结合及函数与方程的数学思想方法.一、幂函数(1)幂函数的定义形如 (α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数(2)幂函数的图象函数y＝x y＝x2y＝x3y＝x12y＝x－1定义域R R R[0，＋∞){x|x∈R且x≠0} 值域R [0，＋∞)R[0，＋∞){y|y∈R y≠0} 奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增x∈[0，＋∞)时，增，x∈(－∞，0]时，减增增x∈(－∞，0)时，减定点(0,0)，(1,1) (1,1)例1.下列函数中是幂函数的是（ ）A ．y ＝2x 2B ．y ＝1x 2C ．y ＝x 2＋xD ．y ＝－1x例2. (2011·陕西高考)函数y ＝13x的图象是( )例3.幂函数y ＝x m 2－2m －3(m ∈Z )的图象关于y 轴对称，且当x ＞0时，函数是减函数，则m 的值为( )． A ．－1＜m ＜3B ．0C ．1D ．2练习：已知点(2，2)在幂函数y ＝f (x )的图象上，点⎝⎛⎭⎪⎫－2，12在幂函数y ＝g (x )的图象上，若f (x )＝g (x )，则x ＝________.已知点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3在幂函数f (x )的图象上，则f (x )的表达式为( )A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝x －2C ．f (x )＝x 12xD ．f (x )＝12x-设α∈⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x α的定义域为R 且为奇函数的所有α值为 （ ）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3对于函数y ＝x 2，y ＝x 12有下列说法：①两个函数都是幂函数；②两个函数在第一象限内都单调递增；③它们的图象关于直线y ＝x 对称；④两个函数都是偶函数；⑤两个函数都经过点(0,0)、(1,1)；⑥两个函数的图象都是抛物线型．其中正确的有________．二、二次函数1、二次函数的三种形式【1】【2】【3】2.二次函数的图像和性质二次函数())0(2≠++=a c bx ax x f 的图像是一条抛物线，对称轴的方程为 顶点坐标是（ ） 。
高考数学总复习第五节 二次函数与幂函数
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考点三 二次函数的图象与性质
[锁定考向]
题点多变型考点——多角探明
高考对二次函数图象与性质进行单独考查的频率较
低．常与一元二次方程、一元二次不等式等知识交汇命题是
高考的热点，多以选择题、填空题的形式出现，考查二次函
数的图象与性质的应用．
常见的命题角度有：
(1)二次函数的单调性问题；
(2)二次函数的最值问题；
∴f(2)＝2 －12
＝
2 2.
答案：C
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)
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2．函数 f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数，且在 x∈(0，＋∞) 上为增函数，则实数 m 的值为________． 解析：∵f(x)＝(m2－m－1)xm 是幂函数， ∴m2－m－1＝1，解得 m＝－1 或 m＝2. 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数， ∴m＝2. 答案：2
y＝x3
1
y＝x 2
y＝x－1
_奇__ 非 __奇__非___偶_ _奇__
单调性
(－∞，0)
_增__ 减，(0， _增___ ＋∞)增
(－∞，0)
_增__ 和(0,＋∞)
减
公共点
__(_1_,_1_)__
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2．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：f(x)＝ ax2＋bx＋c(a≠0) ； (2)顶点式：f(x)＝ a(x－m)2＋n(a≠0) ； (3)零点式：f(x)＝ a(x－x1)(x－x2)(a≠0) ．
(2)若幂函数 y＝xα(α∈R )是偶函数，则 α 必为偶数． 当 α 是分数时，一般将其先化为根式，再判断．
(3)若幂函数 y＝xα 在(0，＋∞)上单调递增，则 α＞0， 若在(0，＋∞)上单调递减，则 α＜0.
高考数学一轮复习第2章函数的概念及基本初等函数Ⅰ第4节二次函数与幂函数课件理新人教A版
第四节 二次函数与幂函数
栏
课 前 ·基 础 巩 固 1
目
导
课 堂 ·考 点 突 破 2
航
3 课 时 ·跟 踪 检 测
[最新考纲]
[考情分析]
[核心素养]
1.了解幂函数的概念.
2.结合函数 y＝x，y＝x2，y
幂函数一般不单独命题，常与指数、对数
＝x3，y＝1x，y＝x12的图象，函数交汇命题；二次函数的图象与应用仍是 1.逻辑推理
(2)二次函数的图象和性质
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
图象
定义域 值域
(－∞，＋∞) 4ac4－a b2，＋∞
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
(－∞，＋∞) －∞，4ac4－a b2
解析式
f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)
f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)
单调性
在－∞，－2ba上单调递减； 在 6 ___－__∞__，__－__2b_a__上单调递增； 在 5 ___－__2b_a_，__＋__∞___上单调递 在－2ba，＋∞上单调递减 增
考点二 二次函数的图象与性质 |题组突破|
4．如图是二次函数 y＝ax2＋bx＋c 图象的一部分，图象过点 A(－3，0)，对称轴为 x ＝－1.给出下面四个结论：①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a<b.其中正确的 是( )
A．②④ B．①④ C．②③ D．①③
解析：选 B 因为图象与 x 轴交于两点，所以 b2－4ac>0，即 b2>4ac，①正确；对称 轴为 x＝－1，即－2ba＝－1，2a－b＝0，②错误；结合图象知，当 x＝－1 时，y>0，即 a －b＋c>0，③错误；由对称轴为 x＝－1 知，b＝2a.又函数图象开口向下，所以 a<0，所 以 5a<2a，即 5a<b，④正确．故选 B．
高三数学知识点总结9：二次函数和幂函数
（十一）二次函数一．二次函数解析式（1）一般式：).0()(2≠++=a c bx ax x f（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为),,(k h 则其解析式).0()()(2≠+-=a k h x a x f（3）交点式：若二次函数的图象与x 轴的交点为),0,(),0,(21x x 则),)(()(21x x x x a x f --= .0≠a二．二次函数的对称轴（1）对于二次函数)(x f y =的定义域内有21,x x 满足),()(21x f x f =则二次函数的对称轴为.221x x x += （2）对于一般函数)(x f y =对定义域内所有,x 都有)()(x a f x a f -=+成立，那么函数 )(x f y =图像的对称轴方程为：a x =.三．二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 在],[n m 上的最值（1）0>a ① 最小值讨论三种情况 1.)(2min m f y m a b =≤-，；2.)2(2min a b f y n a b m -=<-<，；3.)(2min n f y n ab =≥-，. ② 最大值讨论两种情况 1.)(,22max n f y n m a b =+≤-；2.)(22max m f y n m a b =+>-，. （2）0<a ① 最大值讨论三种情况 1.)(2max m f y m a b =≤-，；2.)2(2max a b f y n a b m -=<-<，；3.)(,2max n f y n ab =≥-. ② 最小值讨论两种情况 1.)(,22min n f y n m a b =+≤-；2.)(22min m f y n m a b =+>-，. 四．三个二次的关系一元二次方程的根=一元二次函数的零点=一元二次不等式解集的端点.五．一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的实根分布（1）数的角度：① 两实根异号等价于0<a c ；② 有两个正根等价于.0,0,0>>-≥∆a c a b ；③ 有两个负根等价于.0,0,0><-≥∆ac a b （2）形的角度：画出满足要求的图像，用“内有无，内无有”（开口内有端点则不需要考虑对称轴和，∆开口内无端点则需要考虑对称轴和.∆）。
【高考复习方案 】2014年高考数学(文,江苏教育版)一轮复习课件：第12讲 函数模型及其应用
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第12讲
函数模型及其应用
点 面 讲 考 向
[归纳总结] (1)指数函数模型常与增长率相结合进行 考查，在实际问题中有人口增长、银行利率、细胞分裂等 增长问题可以利用指数函数模型来表示． (2)应用指数函数模型时，先设定模型，将已知的相关 数据代入验证，确定参数，从而确定函数模型． (3)对于函数 y＝a(1＋x)n 通常利用指数运算与对数函 数的性质进行求解．
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第12讲
双 向 固 基 础
函数模型及其应用
4． 1992 年底世界人口达 54.8 亿， 若人口的年平均增长率 为 x% ， 2014 年底世界人口数为 y(亿)， 那么 y 与 x 的函数关系 式是____________________．
[答案]
y＝54.8(1＋x%)22
[解析] 因为 2014－1992＝22，所以 y＝54.8(1＋x%)22.
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第12讲
函数模型及其应用
点 面 讲 考 向
可见，细胞总数 y 与时间 x(小时)之间的函数关系为 y＝ 3x 100×(2) ，x∈N*. 3x 3x 10 由 100×(2) >10 ，得(2) >108. 3 8 两边取以 10 为底的对数，得 xlg >8，解得 x> . 2 lg 3－lg 2 8 8 因为 ＝ ≈45.45， lg 3－lg 2 0.477－0.301 所以 x>45.45. 故经过 46 小时，细胞总数超过 1010 个．
ax＝300， x＝120， 解得 （a＋1）（x－12）＝300＋78. a＝2.5.
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第12讲
双 向 固 基 础
函数模型及其应用
3．某车站有快、慢两种车，始发站距终点站 7.2 km，慢 车到终点站需 16 min，快车比慢车晚发车 3 min，且行驶 10 min 后到达终点站，则在慢车出发________min 后两车相遇， 相遇时距终点站________ km. [答案] 8 3.6
高考数学第一轮复习幂函数图像与性质
幂函数的性质与图像 幂函数及其性质 1、幂函数的定义一般地，形如y x α=（x ∈R ）的函数称为幂孙函数，其中x是自变量，α是常数.如11234,,y x y x y x-===等都是幂函数，幂函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数. 2、函数的图像（1）y x = （2）12y x= （3）2y x= （4）1y x-= （5）3yx=用描点法在同一坐标系内画出以上五个函数图像，通过观察图像，可以看出幂函数的性质。
3．幂函数性质（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且图象都过点（1，1）；（2）x ＞0时，幂函数的图象都通过原点，并且在[0，+∞]上，是增函数（3）α＜0时，幂函数的图象在区间（0，+∞）上是减函数.（4）在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近.3. 幂函数y x α=的图象，在第一象限内，直线1x =的右侧，图象由下至上，指数 . y 轴和直线1x =之间，图象由上至下，指数α .：4. 规律总结1．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论；2．对于幂函数y ＝αx ，我们首先应该分析函数的定义域、值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定曲线的类型，即α＜0，0＜α＜1和α＞1三种情况下曲线的基本形状，还要注意α＝0，±1三个曲线的形状；对于幂函数在第一象限的图象的大致情况可以用口诀来记忆：“正抛负双，大竖小横”，即α＞0（α≠1）时图象是抛物线型；α＜0时图象是双曲线型；α＞1时图象是竖直抛物线型；0＜α＜1时图象是横卧抛物线型． 在[0，+∞]上，y x =、2y x=、3y x=、12y x=是增函数， 在（0，+∞）上，1y x -=是减函数。
例1．已知函数()()2531m f x m m x --=--，当 m 为何值时，()f x ：（1）是幂函数；（2）是幂函数，且是()0,+∞上的增函数；（3）是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数；简解：（1）2m =或1m =-（2）1m =-（3）45m =-（4）25m =-（5）1m =-变式训练： 已知函数()()2223m m f x m m x--=+，当 m 为何值时，()f x 在第一象限内它的图像是上升曲线。
二次函数与幂函数典型例题含答案完整版
二次函数与幂函数典型例题含答案Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】二次函数与幂函数1．求二次函数的解析式．2．求二次函数的值域与最值．3．利用幂函数的图象和性质分析解决有关问题．【复习指导】本节复习时，应从“数”与“形”两个角度来把握二次函数和幂函数的图象和性质，重点解决二次函数在闭区间上的最值问题，此类问题经常与其它知识结合命题，应注重分类讨论思想与数形结合思想的综合应用．基础梳理1．二次函数的基本知识(1)函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)叫做二次函数，它的定义域是R.(2)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象是一条抛物线，对称轴方程为x＝－，顶点坐标是.①当a＞0时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当x＝－时，f(x)＝；min②当a＜0时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当x＝－时，f(x)＝.max③二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)当Δ＝b2－4ac＞0时，图象与x轴有两个交点M1(x1,0)、M2(x2,0)，|M1M2|＝|x1－x2|＝.(3)二次函数的解析式的三种形式：①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋h(a≠0)；③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)．2．幂函数(1)幂函数的定义形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数．(2)幂函数的图象(3)幂函数的性质第一象限一定有图像且过点（1，1）；第四象限一定无图像；当幂函数是偶函数时图像分布第一二象限，奇函数时图像分布第一三象限；第一象限图像的变化趋势；当a<0时，递减，a>0时，递增，其中a>1时，递增速度越来越快，0<a<1时，递增速度越来越慢。
二次函数、一元二次方程和一元二次不等式是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的相互关系，能用函数与方程、分类讨论、数形结合思想来研究与“三个二次”有关的问题，高考对“三个二次”知道的考查往往渗透在其他知识之中，并且大都出现在解答题中．两种方法二次函数y＝f(x)对称轴的判断方法：(1)对于二次函数y＝f(x)对定义域内x1，x2，都有f(x1)＝f(x2)，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝；(2)对于二次函数y＝f(x)对定义域内所有x，都有f(a＋x)＝f(a－x)成立，那么函数y＝f(x)图象的对称轴方程为x＝a(a为常数)．两种问题与二次函数有关的不等式恒成立问题：(1)ax2＋bx＋c＞0，a≠0恒成立的充要条件是(2)ax2＋bx＋c＜0，a≠0恒成立的充要条件是双基自测1．下列函数中是幂函数的是( )．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )．A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞253．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)4．(2011·陕西)函数的图象是( )．5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x，则x1＋x2＝________.2考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．考向二幂函数的图象和性质【例2】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．双基自测1．(人教A版教材习题改编)下列函数中是幂函数的是( )．A．y＝2x2B．y＝C．y＝x2＋x D．y＝－解析A，C，D均不符合幂函数的定义．答案B2．(2011·九江模拟)已知函数f(x)＝4x2－mx＋5在区间[－2，＋∞)上是增函数，则f(1)的范围是( )．A．f(1)≥25B．f(1)＝25C．f(1)≤25D．f(1)＞25解析对称轴x＝≤－2，∴m≤－16，∴f(1)＝9－m≥25.答案A3．(2011·福建)若关于x的方程x2＋mx＋1＝0，有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是( )．A．(－1,1)B．(－2,2)C．(－∞，－2)∪(2，＋∞)D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)解析依题意判别式Δ＝m2－4＞0，解得m＞2或m＜－2.答案C4．(2011·陕西)函数的图象是( )．解析由幂函数的性质知：①图象过(1,1)点，可排除A，D；②当指数0＜α＜1时为增速较缓的增函数，故可排除C.答案B5．二次函数y＝f(x)满足f(3＋x)＝f(3－x)(x∈R)且f(x)＝0有两个实根x1，x，则x1＋x2＝________.2解析由f(3＋x)＝f(3－x)，知函数y＝f(x)的图象关于直线x＝3对称，应有＝3x1＋x2＝6.答案 6考向一求二次函数的解析式【例1】已知函数f(x)＝x2＋mx＋n的图象过点(1,3)，且f(－1＋x)＝f(－1－x)对任意实数都成立，函数y＝g(x)与y＝f(x)的图象关于原点对称．求f(x)与g(x)的解析式．[审题视点]采用待定系数法求f(x)，再由f(x)与g(x)的图象关于原点对称，求g(x)．解依题意得解得：∴f(x)＝x2＋2x.设函数y＝f(x)图象上的任意一点A(x0，y0)，该点关于原点的对称点为B(x，y)，则x＝－x，y0＝－y.∵点A(x0，y0)在函数y＝f(x)的图象上，∴y0＝x＋2x0，∴－y＝x2－2x，∴y＝－x2＋2x，即g(x)＝－x2＋2x.二次函数解析式的确定，应视具体问题，灵活地选用其形式，再根据题设条件列方程组，即运用待定系数法来求解．在具体问题中，常常会与图象的平移、对称，函数的周期性、奇偶性等知识有机地结合在一起．【训练1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8.试确定此二次函数的解析式．解法一利用二次函数的一般式．设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得解之得∴所求二次函数的解析式为y＝－4x2＋4x＋7.法二利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，∵f(2)＝f(－1)．∴此二次函数的对称轴为x＝＝.∴m＝，又根据题意，函数有最大值8，即n＝8.∴y＝f(x)＝a2＋8，∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解之得a＝－4.∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.考向二幂函数的图象和性质【例2】幂函数y＝xm2－2m－3(m∈Z)的图象关于y轴对称，且当x＞0时，函数是减函数，则m的值为( )．A．－1＜m＜3 B．0C．1 D．2[审题视点]由幂函数的性质可得到幂指数m2－2m－3＜0，再结合m是整数，及幂函数是偶函数可得m的值．解析由m2－2m－3＜0，得－1＜m＜3，又m∈Z，∴m＝0,1,2.∵m2－2m－3为偶数，经验证m＝1符合题意．答案C根据幂函数的单调性先确定指数的取值范围，当α＞0时，幂函数在(0，＋∞)上为增函数，当α＜0时，幂函数在(0，＋∞)上为减函数，然后验证函数的奇偶性．【训练2】已知点(，2)在幂函数y＝f(x)的图象上，点在幂函数y＝g(x)的图象上，若f(x)＝g(x)，则x＝________.解析由题意，设y＝f(x)＝xα，，则2＝()α，得α＝2，设y＝g(x)＝xβ，则＝(－)β，得β＝－2，由f(x)＝g(x)，即x2＝x－2，解得x＝±1.答案±1考向三二次函数的图象与性质【例3】已知函数f(x)＝x2－2ax＋1，求f(x)在区间[0,2]上的最值．[审题视点]先确定对称轴，再将对称轴分四种情况讨论．解函数f(x)＝x2－2ax＋1＝(x－a)2＋1－a2的对称轴是直线x＝a，(1)若a＜0，f(x)在区间[0,2]上单调递增，当x＝0时，f(x)min＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(2)若0≤a＜1，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝2时，f(x)max＝f(2)＝5－4a；(3)若1≤a＜2，则当x＝a时，f(x)min＝f(a)＝1－a2；当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；(4)若a≥2，则f(x)在区间[0,2]上单调递减，当x＝0时，f(x)max＝f(0)＝1；当x＝2时，f(x)min＝f(2)＝5－4a.解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y＝a(x－m)2＋n(a≠0)的形式，得顶点(m，n)或对称轴方程x＝m，分三个类型：①顶点固定，区间固定；②顶点含参数，区间固定；③顶点固定，区间变动．【训练3】已知f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)，m，n是f(x)的零点，且m＜n，则a，b，m，n从小到大的顺序是________．解析由于f(x)＝1－(x－a)(x－b)(a＜b)的图象是开口向下的抛物线，因为f(a)＝f(b)＝1＞0，f(m)＝f(n)＝0，可得a∈(m，n)，b∈(m，n)，所以m＜a ＜b＜n.答案m＜a＜b＜n考向四有关二次函数的综合问题【例4】设函数f(x)＝ax2－2x＋2，对于满足1＜x＜4的一切x值都有f(x)＞0，求实数a的取值范围．[审题视点]通过讨论开口方向和对称轴位置求解．解当a＞0时，f(x)＝a＋2－.∴或或∴或或∴a≥1或＜a＜1或，即a＞；当a＜0时，解得a∈；当a＝0时，f(x)＝－2x＋2，f(1)＝0，f(4)＝－6，∴不合题意．综上可得，实数a的取值范围是a＞.含有参数的二次函数与不等式的结合问题是高考的热点，通过围绕二次函数的开口方向、对称轴，不等式的恒成立等基本问题展开，重点考查学生分类讨论的思想、函数与方程的思想，以及分析、解决问题的能力．【训练4】已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且对任意实数x均有f(x)≥0成立．(1)求F(x)的表达式；(2)当x∈[－2,2]时，g(x)＝f(x)－kx是单调函数，求k的取值范围．解(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，∴f(x)＝ax2＋(a＋1)x＋1.∵f(x)≥0恒成立，∴∴∴a＝1，从而b＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋1，∴F(x)＝(2)g(x)＝x2＋2x＋1－kx＝x2＋(2－k)x＋1.∵g(x)在[－2,2]上是单调函数，∴≤－2，或≥2，解得k≤－2，或k≥6.所以k的取值范围为k≤－2，或k≥6.规范解答3——如何求解二次函数在某个闭区间上的最值【问题研究】二次函数在闭区间上的最值问题，一定要根据对称轴与区间的相对位置关系确定最值，当函数解析式中含有参数时，要根据参数的取值情况进行分类讨论，避免漏解．【解决方案】对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)而言，首先确定对称轴，然后与所给区间的位置关系分三类进行讨论．【示例】(本题满分12分)(2011·济南模拟)已知f(x)＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，求a的值及函数表达式f(x)．求二次函数f(x)的对称轴，分对称轴在区间的左侧、中间、右侧讨论．[解答示范]∵f(x)＝－42－4a，∴抛物线顶点坐标为.(1分)①当≥1，即a≥2时，f(x)取最大值－4－a2.令－4－a2＝－5，得a2＝1，a＝±1＜2(舍去)；(4分)②当0＜＜1，即0＜a＜2时，x＝时，f(x)取最大值为－4a.令－4a＝－5，得a＝∈(0,2)；(7分)③当≤0，即a≤0时，f(x)在[0,1]内递减，∴x＝0时，f(x)取最大值为－4a－a2，令－4a－a2＝－5，得a2＋4a－5＝0，解得a＝－5或a＝1，其中－5∈(－∞，0]．(10分)综上所述，a＝或a＝－5时，f(x)在[0,1]内有最大值－5.∴f(x)＝－4x2＋5x－或f(x)＝－4x2－20x－5.(12分)求解本题易出现的问题是直接利用二次函数的性质——最值在对称轴处取得，忽视对称轴与闭区间的位置关系，不进行分类讨论．【试一试】设函数y＝x2－2x，x∈[－2，a]，求函数的最小值g(a)．[尝试解答] ∵函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，∴对称轴为直线x＝1，而x＝1不一定在区间[－2，a]内，应进行讨论．当－2＜a＜1时，函数在[－2，a]上单调递减，则当x＝a时，y min＝a2－2a；当a≥1时，函数在[－2,1]上单调递减，在[1，a]上单调递增，则当x＝1时，ymin ＝－1.综上，g(a)＝。
高考北师大版数学总复习课件：2.5幂函数
[解析] (1)若 f(x)为正比例函数，则
2 m ＋ m－ 1＝ 1， 2 m ＋ 2m≠ 0
－ 1 2 3 2 2 3
－4
1 3
4．下列命题： ①幂函数的图像都经过点(1,1)和点 (0,0)； ②幂函数的图像不可能在第四象限； ③ n＝ 0 时，函数 y＝ xn 的图像是一条直线； ④幂函数 y＝ xn，当 n>0 时是增函数； ⑤幂函数 y＝ xn， 当 n<0 时， 在第一象限内函数值随 x 值的 增大而减小
(3)α <0 时幂函数的图像在区间 (0， ＋∞ )上是 减函数．在第 一象限内，当 x 从右边趋向于原点时，图像在 y 轴右方无限地 逼近
y轴 ，当 x 趋于＋∞时，图像在 x 轴上方无限地逼近
x轴．
(4)当 α 为奇数时，幂函数为 奇函数 ；当 α 为偶数时， 幂函数为 偶函数．
4． 5 个具体幂函数的性质
[答案] B
[解析 ] 依据幂函数的定义， y＝ 2x2 的系数不是 1， y＝ x2 ＋ x 是两个函数的和的形式， y＝ 1 也不同于 y＝ x0(x≠0)，因此 1 这三个都不是幂函数，只有 y＝ 2符合． x
2． (2012· 陕西宝鸡期末)函数 y＝ x 是 ( A．奇函数，并且在(0，＋∞ )上为增函数 B．偶函数，并且在 (－∞， 0)上为减函数 C．奇函数，并且在(0，＋∞ )上为减函数 D．偶函数，并且在(－∞，0)上为增函数
4 5
)
[答案] B
5 4 [解析] y＝ x ＝ x ，x∈ R，且满足 f(－ x)＝ f(x)，故为偶
4 5
4 函数． 又 >0， 所以在第一象限内的图像是单调递增， 因此在 (－ 5 ∞， 0)上为减函数．
幂函数与指对数运算课件高三数学一轮复习
幂函数及其应用
1. 概念理解：
幂函数及其应用
2. 函数图象：
幂函数及其应用
2. 函数图象：
幂函数及其应用
3. 二次函数相关： ① 函数解析式
题给条件要看清，方程颇有选择性。
点乘双根法 二三次方程韦达定理
能判断“图象” 能熟练“配方” 能用好“零点”
幂函数及其应用
3. 二次函数相关： ① 函数解析式
朗博同构 1 一元同构：
朗博同构 1 一元同构：
朗博同构 1 一元同构：
朗博同构 2 二元同构：
朗博同构 2 二元同构：
朗博同构 3 同构与切线不等式：
朗博同构 3 同构与切线不等式：
课后小结
1. 幂函数及其图象. 2. 幂的运算性质. 3. 对数的概念及其运算性质. 4.三个二次之间的关系 5.大小比较 6.同构的应用技巧
题给条件要看清，方程颇有选择性。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关： ① 函数解析式
题给条件要看清，方程颇有选择性。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
② 函数值域
定义端点与中点，关注一线点间穿。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
② 函数值域
定义端点与中点，关注一线点间穿。
幂函数及其应用
3. 二次函数相关：
③ 二次不等式
能否分解要确定，先看开口后比根。
指数与对数运算
1. 对数运算：
指数与对数运算
2.大小比较： 选好中间量，用好单调性
指数与对数运算
2.大小比较： 分参构造新函数，然后再手单调性。
朗博同构
指对共存须同构，看清形式再变形。
朗博同构
构造以后用图象，六个图象必记清。
高中数学讲义 第4节 幂函数与二次函数
第四节幂函数与二次函数课标解读考向预测1.通过具体实例，结合函数y ＝x，y ＝x 2，y ＝x 3，y ＝x 12，y ＝x －1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程、转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择题、填空题，中档难度．预计2025年高考对于幂函数的考查最多出一道选择题，以幂函数的图象和性质应用为主．对于二次函数的考查一般与其他知识综合，题型一般为选择题、填空题，中档难度.必备知识——强基础1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数01y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数．(2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象(3)幂函数的性质①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；②当α＞0时，幂函数的图象都过点02(0，0)和03(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增；③当α＜0时，幂函数的图象都过点04(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减；④当α为奇数时，y ＝x α为05奇函数；当α为偶数时，y ＝x α为06偶函数．2．二次函数解析式的三种形式一般式：f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；顶点式：f (x )＝a (x －h )2＋k (a ≠0)；两根式：f (x )＝a (x －x 1)(x －x 2)(a ≠0)．3．二次函数的图象和性质1．概念辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数y ＝－x12是幂函数．()(2)当α<0时，幂函数y ＝x α在定义域内单调递减．()(3)若幂函数y ＝x α是偶函数，则α为偶数．()(4)若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2．小题热身(1)已知幂函数f (x )f (4)的值是()A ．64B ．42C.24D.14答案D(2)(北师大版必修第一册1.4.2例4改编)若一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象可能是()答案C解析因为一次函数y ＝ax ＋b 的图象经过第二、三、四象限，所以a <0，b <0，所以二次函数y ＝ax 2＋bx 的图象开口向下，对称轴为直线x ＝－b2a<0，且过原点．故选C.(3)已知α－2，－1，－12，12，1，2f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则α＝________．答案1解析由y ＝x α为奇函数，知α取－1，1，又y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1.(4)(人教B 必修第二册4.4例1改编)已知a ＝0.40.3，b ＝0.30.3，c ＝0.30.4，则a ，b ，c 的大小关系是________(用“<”连接)．答案c <b <a解析由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c <b <a .考点探究——提素养考点一幂函数的图象与性质例1(1)若幂函数y ＝x －1，y ＝x m 与y ＝x n 在第一象限内的图象如图所示，则m 与n 的取值情况为()A ．－1<m <0<n <1B ．－1<n <0<m <12C ．－1<m <0<n <12D ．－1<n <0<m <1答案D解析幂函数y ＝x α，当α>0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m <1.当α<0时，y ＝x α在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x ＝2，由图象得2－1<2n ，则－1<n <0.综上，－1<n <0<m <1.故选D.(2)(2024·江苏连云港海滨中学高三学情检测)若幂函数f (x )＝(m 2－2m －2)x －m 2＋m ＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________．解析因为幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，2－2m－2＝1，m2＋m＋3<0.由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；当m＝3时，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合题意．综上，m＝3.【通性通法】(1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式．(2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定．(3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较．(4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)．【巩固迁移】1．(2023·皖淮联考)已知a＝2ln2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则()A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a答案B解析因为2ln2＝ln4>ln e＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故选B. 2．(2023·江苏南京高三二模)幂函数f(x)＝x a(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.写出符合上述条件的一个函数：f(x)＝________．答案x 23(答案不唯一)解析取f(x)＝x 23，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)23＝x23＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝223＝34，满足f(－1)<f(2)<2.故f(x)＝x 23满足题意．考点二二次函数的解析式例2已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________．答案－4x2＋4x＋7解析解法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．c＝－1，1，8，解得＝4，＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.解法二(利用“顶点式”)：设f (x )＝a (x －m )2＋n (a ≠0)．∵f (2)＝f (－1)，∴函数图象的对称轴为直线x ＝2＋(－1)2＝12，∴m ＝12.又函数有最大值8，∴n ＝8，∴y ＝f (x )＝＋8.∵f (2)＝－1，∴＋8＝－1，解得a ＝－4，∴f (x )＝－＋8＝－4x 2＋4x ＋7.解法三(利用“两根式”)：由已知得f (x )＋1＝0的两根为x 1＝2，x 2＝－1，故可设f (x )＋1＝a (x －2)(x ＋1)(a ≠0)，即f (x )＝ax 2－ax －2a －1.又函数有最大值8，即4a (－2a －1)－(－a )24a＝8，解得a ＝－4.∴所求函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【通性通法】根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：【巩固迁移】3．已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )＝________．答案x 2－2x ＋3解析由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，所以函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以b2＝1，即b ＝2，所以f (x )＝x 2－2x ＋3.考点三二次函数的图象与性质(多考向探究)考向1二次函数的图象例3(多选)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的部分图象如图，图象过点A (－3，0)，对称轴为直线x ＝－1，则下列四个结论中正确的是()A．b2＞4ac B．2a－b＝1C．a－b＋c＝0D．5a＜b答案AD解析因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－b2a＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；因为2a－b＝0，即b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．故选AD.【通性通法】1．识别二次函数图象应学会“三看”2．解决二次函数图象问题的基本方法(1)排除法，抓住函数的特殊性质或特殊点．(2)讨论函数图象，依据图象特征，得到参数间的关系．【巩固迁移】4．设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是()答案D解析因为abc >0，二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，对于A ，a <0，b <0，c <0，不符合题意；对于B ，a <0，b >0，c >0，不符合题意；对于C ，a >0，b >0，c <0，不符合题意．故选D.考向2二次函数的单调性例4若函数f (x )＝x 2＋a |x |＋2，x ∈R 在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a 的取值范围是()A.－113，－3B ．[－6，－4]C ．[－3，－22]D ．[－4，－3]答案B解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )在[1，2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，当x >0时，f (x )＝x 2＋ax ＋2，图象的对称轴为直线x ＝－a 2，∴2≤－a2≤3，解得－6≤a ≤－4.故选B.【通性通法】解决二次函数单调性问题的基本方法(1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．(2)若已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0)在区间A 上单调递减(单调递增)，则A ∞，⊆－b2a，＋即区间A 一定在函数图象的对称轴的左侧(右侧)．【巩固迁移】5．若函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a 的取值范围为()A ．[－3，0)B ．(－∞，－3]C ．[－2，0]D ．[－3，0]答案D解析当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；当a ≠0时，f (x )图象的对称轴为直线x ＝3－a2a.由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，－1，解得－3≤a ＜0.综上，实数a 的取值范围为[－3，0]．故选D.考向3二次函数的最值例5已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a 的值为________．答案38或－3解析f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a ＞0时，函数f (x )在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；当a ＜0时，函数f (x )在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a＝－3.综上可知，实数a 的值为38或－3.【通性通法】求二次函数在闭区间上最值的类型及策略【巩固迁移】6．设关于x 的方程x 2－2mx ＋2－m ＝0(m ∈R )的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________．答案7解析＋β＝2m ，＝2－m ，且Δ＝4m 2－4(2－m )≥0，解得m ≤－2或m ≥1，所以α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m 2＋2m ＋1，令f (m )＝4m 2＋2m ＋1，而f (m )图象的对称轴为直线m ＝－14，且m ≤－2或m ≥1，所以f (m )min ＝f (1)＝7.课时作业一、单项选择题1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是()A ．y ＝x 3B ．y ＝x 2C ．y ＝xD ．y ＝x 58答案D解析根据题中函数图象可得①对应的幂函数y ＝x α在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D 符合要求．故选D.2．已知幂函数y ＝f (x )的图象经过点(3，3)，则f (x )()A ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B ．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数C ．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D ．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案D解析设幂函数的解析式为y ＝x α，将点(3，3)的坐标代入解析式得3α＝3，解得α＝12，所以y ＝x 12，函数的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D.3．已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，其中a >0，c <0，a ＋b ＋c ＝0，则()A ．∀x ∈(0，1)，都有f (x )>0B ．∀x ∈(0，1)，都有f (x )<0C ．∃x ∈(0，1)，使得f (x )＝0D ．∃x ∈(0，1)，使得f (x )>0答案B解析由a >0，c <0，a ＋b ＋c ＝0可知抛物线开口向上，f (0)＝c <0，f (1)＝a ＋b ＋c ＝0，所以∀x ∈(0，1)，都有f (x )<0.故选B.4．(2024·甘肃武威十八中一诊)若函数f (x )＝ax 2＋2x －1在区间(－∞，6)上单调递增，则实数a 的取值范围是()A.－16，0－16，－16，＋∞－16，答案A解析当a ＝0时，函数f (x )＝2x －1在R 上单调递增，即a ＝0符合题意；当a ≠0时，由二<0，－1a≥6，解得－16≤a <0.综上，实数a 的取值范围是－16，0.故选A.5．(2024·江苏南京高三摸底)已知a＝243，b＝425，c＝2513，d＝623，则()A．b<a<d<c B．b<c<a<d C．c<d<b<a D．b<a<c<d 答案D解析由题意得a＝243＝1613，b＝425＝1615，c＝2513，d＝623＝3613，因为幂函数y＝x13在R上单调递增，所以a<c<d.又因为指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a.故选D. 6．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)．已知f(m)<0，则()A．f(m＋1)≥0B．f(m＋1)≤0C．f(m＋1)>0D．f(m＋1)<0答案C解析因为f(x)图象的对称轴为直线x＝－12，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示，由f(m)<0，得－1<m<0.所以m＋1>0.所以f(m＋1)>f(0)>0.故选C.7．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为()A．0B．1C．2D．4答案C解析设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c(t≥k)，函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的部分，即g(x)的值域为f(x)的值域的子集，即[2，＋∞)⊆[k，＋∞)，可得k≤2，即实数k的最大值为2.故选C.8．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是()A．[－2，2]B．[1，2]C．[2，3]D．[1，2]答案B解析由于f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴为直线x＝t，又y＝f(x)在(－∞，1]上是减函数，所以t≥1，则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－2≤t≤ 2.又t ≥1，所以1≤t ≤2.故选B.二、多项选择题9.二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则下列说法正确的是()A ．2a ＋b ＝0B ．4a ＋2b ＋c <0C ．9a ＋3b ＋c <0D ．abc <0答案ACD 解析由二次函数图象开口向下知a <0，图象的对称轴为直线x ＝－b 2a ＝1，即2a ＋b ＝0，故b >0，又因为f (0)＝c >0，所以f (2)＝f (0)＝4a ＋2b ＋c >0，f (3)＝f (－1)＝9a ＋3b ＋c <0，abc <0.故选ACD.10．已知幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x m 2＋m －3，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，都满足f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，若a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，则下列结论可能成立的是()A ．a ＋b >0且ab <0B ．a ＋b <0且ab <0C ．a ＋b <0且ab >0D ．以上都可能答案BC 解析因为f (x )＝(m 2－m －1)x m 2＋m －3为幂函数，所以m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.依题意f (x )在(0，＋∞)上单调递增，所以m ＝2，此时f (x )＝x 3，因为f (－x )＝(－x )3＝－x 3＝－f (x )，所以f (x )＝x 3为奇函数．因为a ，b ∈R 且f (a )＋f (b )<0，所以f (a )<f (－b )，又y ＝f (x )为增函数，所以a <－b ，所以a ＋b <0.故选BC.三、填空题11．已知函数f (x )为幂函数，且f (4)＝12，则当f (a )＝4f (a ＋3)时，实数a ＝________．答案15解析设f (x )＝x α，则4α＝12，所以α＝－12，因此f (x )＝x -12，从而a -12＝4(a ＋3)-12，解得a ＝15.12．已知二次函数f (x )的图象经过点(4，3)，且图象被x 轴截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )的解析式为________．答案f (x )＝x 2－4x ＋3解析∵f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，∴f (x )图象的对称轴为直线x ＝2，又f (x )的图象被x轴截得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x －3)，即f(x)＝x2－4x＋3.13．已知定义在R上的奇函数f(x)满足：当x≥0时，f(x)＝x3，若不等式f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是________．答案(－∞，－2)解析由题意知，f(x)在R上是增函数，结合f(－4t)＞f(2m＋mt2)对任意实数t恒成立，知－4t＞2m＋mt2对任意实数t恒成立，∴mt2＋4t＋2m＜0对任意实数t恒成立，<0，＝16－8m2<0，∴m∈(－∞，－2)．14．(2024·浙江台州模拟)已知函数f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函数，则f(x)的值域是________．答案[－16，＋∞)解析因为f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)＝(x－3)(x＋1)(x2＋ax＋b)是偶函数，所以－3)＝f(3)＝0，＝f(－1)＝0，代入整理，－3a＋b＝0，＋a＋b＝0，＝2，＝－3.所以f(x)＝(x2－2x－3)·(x2＋2x－3)＝(x2－3)2－4x2＝x4－10x2＋9＝(x2－5)2－16≥－16，所以f(x)的值域为[－16，＋∞)．四、解答题15．(2024·福建百校高三联考)已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)x m＋1在(0，＋∞)上是减函数．(1)求f(x)的解析式；(2)若(5－a)1m>(2a－1)1m，求实数a的取值范围．解(1)由幂函数的定义，知m2＋m－1＝1，即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1.因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数，所以m＋1<0，即m<－1，则m＝－2.故f(x)＝x－1＝1x.(2)由(1)可得m＝－2，设g(x)＝x-12，则g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g(x)在定义域上为减函数，因为(5－a)-12>(2a－1)-12，－a>0，a－1>0，－a<2a－1，解得2<a<5.故实数a的取值范围为(2，5)．16．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则实数a的取值范围为________．答案(2，4]解析函数y＝x2－4x－4的图象如图所示，因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，故实数a的取值范围为(2，4]．17．已知幂函数f(x)＝(m－1)2x m2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－3t，对任意x1∈[1，5)，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则t的取值范围是________．答案13，73解析因为f(x)＝(m－1)2x m2－4m＋2为幂函数，则(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，舍去，故f(x)＝x2.当x∈[1，5)时，f(x)∈[1，25)，故g(5)＝25－3t≥25，所以t≤73；g(1)＝2－3t≤1，所以t≥13.综上所述，t的取值范围是13，73. 18．(2024·福建福州高三模拟)已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.(1)若f(x)在区间[1，2]上单调递减，求a的取值范围；(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1，2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．解(1)当a>0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝12a，所以f(x)在区间[1，2]2，，解得0<a≤14；当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝12a<0，所以f (x )在区间[1，2]上单调递减需满足a <0.综上，a 的取值范围是(－∞，0)，14.(2)①当0<12a ≤1，即a ≥12时，f (x )在区间[1，2]上单调递增，此时g (a )＝f (1)＝3a －2；②当1＜12a ＜2，即14＜a ＜12时，f (x )在区间1，12a 上单调递减，在区间12a，2上单调递增，此时g (a )＝2a －14a－1；③当12a ≥2，即0<a ≤14时，f (x )在区间[1，2]上单调递减，此时g (a )＝f (2)＝6a －3.综上所述，g (a )a－3，a ，14，a －14a－1，aa －2，a ∈12，＋。