第3章_电路分析基础(张永瑞)(第三版)

由叠加定理得
u u u 9 8 17 V ab
' ab " ab " " i i i 1 23 A 1 1 1
例3.1-2 如图3.1 - 3(a)电路，含有一受控源，求电流i, 电压u。
例3.1- 3 例3.1-2用图
解
' 10 2 i ' ' ' ' ' i , u 1 i 2i 3i 2 1
R 6 // 3 4 // 4 4 0
(3) 由求得的 uoc ，R0 画出等效电压源 ( 戴维南电源 ) ，接 上待求支路，如 (d) 图所示。注意画等效电压源时不要将 uoc 的极性画错。若a端为所设开路电压uoc参考方向的“+”极性 端，则在画等效电压源时使正极向着a端。由(d)图求得
例 3.1 – 1 如图3.1 - 2(a)所示电路，求电压uab和电流i1。
图 3.1 - 2 例3.1 - 1用图
解
' uab [6// 31]3 9 V
3 i 3 1A 3 6
' 1
6 12 i 2 A 6 3
" 1 ' " u 6 i 6 2 1 6 2 Байду номын сангаас 2 8 V ab 1
(2) 求R０。
i 0
" 1
200 i 0
" 1
40 isc 0 .4 A 100
u 10 oc R 25 0 i 0 .4 sc
' 1
" 1
叠加定理可表述为： 在任何由线性元件、线性受控源 及独立源组成的线性电路中，每一支路的响应(电压或电流)
都可以看成是各个独立电源单独作用时，在该支路中产生
响应的代数和。
设该电路的网孔方程为
R i1 R i2 R im u 11 12 1 m s11 R i i2 R im u 21 1 R 22 2m s22 R i i2 R im u m 1 1 R m 2 mm smm
式中，k11, k21, …，km1是与电路结构、元件参数及线性受 控源有关的常数。
(1) 叠加定理仅适用于线性电路求解电压和电流响应而不能用来计算 功率。
(2) 应用叠加定理求电压、电流是代数量的叠加，应特别注意各代数
量的符号 (3) 当一独立源作用时，其他独立源都应等于零(即独立理想电压源 短路，独立理想电流源开路) 。 (4) 若电路中含有受控源，应用叠加定理时，受控源不要单独作用 (这是劝告! 若要单独作用只会使问题的分析求解更复杂化)，在独立源每 次单独作用时受控源要保留其中，其数值随每一独立源单独作用时控制 量数值的变化而变化。 (5) 叠加的方式是任意的，可以一次使一个独立源单独作用， 也可 以一次使几个独立源同时作用，方式的选择取决于对分析计算问题简便 与否。
(3.1 - 3) …
(3.1-3)式中：Δj1为Δ中第一列第j行元素对应的代数余子式， j=1, 2, …, m，例如
R2 2 R2 3 R2m 1 1 (1)11 R2 3 R3 3 R3m Rm2 Rm3 Rmm
R1 2 R1 3 R1m 2 1 (1)21 R3 2 R3 3 R3m Rm2 Rm3 Rmm
图 3.2-5 例3.2- 2用图
解 如果根据已知的uab=0的条件求得ab支路电流i，即
u 3 i 3 0 i 1 A ab
对节点a列方程
1 1 1 v 20 1 a 4 2 4
解之， 得
va 8 V
因uab=0，所以vb=va=8V。
u " Ro i u uoc R0i
图 3.3-6 证明戴维南定理用图
图 3.3-7 戴维南等效源模型图
3.3.2
诺顿定理 (Norton′s Theorem) 可表述为：一个含独立电 源、线性受控源和线性电阻的二端电路 N ，对两个端子来
说都可等效为一个理想电流源并联内阻的模型。其理想电
(1) 电压等于uk的理想电压源；
(2) 电流等于ik的理想电流源；
(3) 阻值为uk/ik的电阻。
图 3.2-2 置换定理示意图
图 3.2- 3 验证置换定理正确性的一个电路
如图3.2-3(a) 所示电路，我们先应用节点法计算出各支 路电流及ab支路电压。列写节点方程，得
4 1 1 va 8 6 2 1 2 ua b va 4V
流源的数值为有源二端电路 N 的两个端子短路时其上的电 流isc，并联的内阻等于N内部所有独立源为零时电路两端子 间的等效电阻，记为R0。
图 3.3-8 诺顿定理示意图
图 3.3-9 证明诺顿定理简图
例3.3-1 图3.3-10(a)所示电路，负载电阻RL可以改变，求 RL=1Ω其上的电流i；若RL改变为6Ω， 再求电流i。
例3.1 – 3 图3.1 - 4为一线性纯电阻网络NR，其内部结 构不详。已知两激励源us、is是下列数值时的实验数据为 当us=1V，is=1A时，响应u2=0; 当us=10V，is=0时，u2=1V。 问当us=30 V，is=10 A时，响应u2=?
图 3.1-4 例3.1 - 3用图
解
… … …
(3.1-2)
根据克莱姆法则，解(3.1 - 2)式求i1
R 11 R 12 R 1 m R 21 R 22 R 2 m
…
… … … …
R m 1 R m 2 R mm
us11 R 12 R 1m us22 R 22 R 2m usmm R m2 R mm 11 us11 21 us22 j1usjj m1usmm
3.3.1 戴维南定理
一个含独立源、线性受控源、线性电阻的二端电路 N，
对其两个端子来说都可等效为一个理想电压源串联内阻的模 型。其理想电压源的数值为有源二端电路 N的两个端子间的
开路电压uoc，串联的内阻为N内部所有独立源等于零(理想电
压源短路，理想电流源开路)，受控源保留时两端子间的等效 电阻Req，常记为R0
u k u k i 2 1 s 2 s
式中：k1，k2为未知的比例常数，其中k1无量纲，k2的单位为Ω。
k1 1 k2 1 0 k1 10 k2 0 1
k 0 . 1 , 1
k 0 . 1 1
u 0 . 1 30 ( 0 . 1 ) 10 2 V 2
在(a)图中设出支路电流i1, iR，电压uR。由欧姆定律及KCL，得
vb 8 i1 1A 8 8 i R i1 1 1 1 2 A u R v c v b 20 8 12 V u R 12 R 6 iR 2
3.3 戴维南定理与诺顿定理
图 3.3-1 戴维南定理示意图
图 3.3-2 求开路电压电路
(1) 开路、短路法。
u oc R0 i sc
图 3.3-3 求短路电流电路
(2) 外加电源法。
u Req R 0 i
图 3.3-4 外加电源法求内阻R0
u u ' u "
图 3.3-5 二端电路N接负载电路
u' uoc
( R R ) i R i u 1 2 A 2 s s
u R s 2 i i A s R R R R 1 2 1 2
' " 如令 i ， 则可将电流 u /( R R ), i R i /( R R ) 1 s 1 21 1 s 1 2 i1写为
i i 1 i
例 3.3-3 对图3.3-12(a)所示电路，求负载电阻RL上消耗 的功率pL。
图 3.3-12 例3.3-3用图
解 (1) 求uoc。
' ' 100 i ' 200 i 100 i 40 1 1 1
所以
" i 0 . 1 A , 1 ' u 100 i 100 0 . 1 10 V oc 1
… … … …
… …
usjj为第j个网孔独立电压源的代数和， 所以
1 11 21 m 1 i u u u 1 s 11 s 22 smm
若令k11=Δ11/Δ，k21=Δ21/Δ，…，km1=Δm1/Δ，代入(3.14)式，得
i k u k u k u 1 1 s 1 1 1 1 s 2 2 m 1 smm
齐次定理表述为：当一个激励源(独立电压源或独立电 流源)作用于线性电路，其任意支路的响应(电压或电流)与 该激励源成正比。
u u , u 0 , , u 0 s 11 s s 22 smm
i1 k u 11 s
线性电路中，当全部激励源同时增大到 (K为任意常数) 倍，其电路中任何处的响应 (电压或电流) 亦增大到K倍。
3.2 置换定理
图 3.2-1 平衡电桥电路
图 3.2-1(a) 为一平衡电桥电路，桥路上电流 ig=0 ，桥路 两端电压uac=0, 若要计算电流i，先来计算等效电阻Rbd。因
ig=0， 故可以将Rg开路，如(b)图，于是得
R ( 6 12 ) //( 6 3 ) 6 bd
第三章 常用的电路定理
3.1 叠加定理和齐次定理
3.2 置换定理
3.3 戴维南定理与诺顿定理
3.4 最大功率传输定理
3.5 互易定理
3.6 小结
3.1 叠加定理和齐次定理
3.1.1 叠加定理
图 3.1 - 1 说明叠加定理的一个例
如求电流i1，我们可用网孔法。设网孔电流为iA, iB。由图可 知iB=is，对网孔A列出的KVL方程为